1.   引言

线性码的重量分布是编码理论中的一个重要研究问题。近几年，线性码的重量分布，尤其是循环码的重量分布，被国内外的编码学者广泛关注与研究。Ding等人^[1]研究了不可约循环码的重量分布，利用不可约循环码构造了一些参数较好的线性码。基于指数和理论，文献[2,3]在有限域上某些可约循环码的重量分布研究中也取得了很大进展。

少重量线性码，如常重量线性码^[4]、2-重量线性码^[5]、3-重量线性码^[6]以及其他少重量线性码^[7,8]等，是重要的线性码类，可用于认证码^[9]、结合方案以及秘密共享方案的构造。Ding^[10]基于不可约循环码的重量分布构造了几类3-重量线性码。Schmidt等人^[11]基于离散傅里叶变换和高斯和理论得到了不可约循环码至多有两个重量的充要条件。Zhou等人^[12]构造了7类3-重量循环码并分析了由这些3-重量循环码得到的秘密共享方案的结构。

拟循环码是一类重要的线性码，它与卷积码和低密度校验码密切相关。指标为2的拟循环码也称为分块长度相等的双循环码。Borges等人^[13]给出了2元域上双循环码的显式生成元并确定了双循环码及其对偶码生成元之间的关系。Gao等人^[14,15]给出了4元双循环码的生成元以及与对偶码生成元之间的关系，并且证明了4元双循环码是渐进优的。Patanker等人^[16]利用高斯和确定了几类2元双循环码的重量分布。

本文主要利用有限域上指标为2的不可约拟循环码构造少重量的线性码。首先，基于有限域上的高斯周期，本文给出了几类指标为2的不可约拟循环码的重量分布；其次，基于不可约拟循环码的重量分布，本文构造了几类2-重量线性码和3-重量线性码，其中包括3类最优的2-重量线性码。

2.   基本知识

令$p$是一个素数，$q = {p^m}$，$r = {q^t}$，其中$m$和$t$是正整数。令${F_q}$表示$q$元有限域。 ${F_q}^l$的线性子空间称为有限域${F_q}$上码长为$l$的线性码。${A_i}$表示线性码$C$中Hamming重量为$i$的码字个数。 定义码长为$l$的线性码$C$的重量分布多项式为$1 + {A_1}x + \cdots + {A_l}{x^l}$。

令$l = {m_0} + {m_1}$。如果$C$中的任意码字$c = ({c_{1,0}},{c_{1,1}}, \cdots ,{c_{1,{m_0} - 1}}|{c_{2,0}},{c_{2,1}}, \cdots ,{c_{2,{m_1} - 1}})$经循环移位$T$作用后有$T(c) = ({c_{1,{m_0} - 1}},{c_{1,0}}, \cdots ,{c_{1,{m_0} - 2}}| {c_{2,{m_1} - 1}}, {c_{2,0}} ,\cdots$, ${c_{2,{m_1} - 2}}) \in C$则称线性码$C$是分块长度为$({m_0},{m_1})$的双循环码。若${m_0} = {m_1}$，则称线性码$C$是指标为2的拟循环码。

令${F_r} = {F_{{q^t}}}$表示${q^t}$元有限域且$\zeta$为其本原元。设$\theta \in {F_r}^* = {F_r}\backslash \{ 0\}$，${\rm{ord}}\;(\theta ) = n$，$h(x)$是${\theta ^{ - 1}}$在${F_q}$上的极小多项式，$\deg (h(x)) = s$，则${{{F_q}[x]} \mathord{\left/ {\vphantom {{{F_q}[x]} {\left\langle {h(x)} \right\rangle }}} \right. } {\left\langle {h(x)} \right\rangle }} = {F_{{q^s}}}$是一个${q^s}$元有限域且$\theta \in {F_{{q^s}}}^* = {F_{{q^s}}}\backslash \{ 0\}$。因为$\deg (h(x)) = s$，所以$s|t$，$({q^s} - 1)|({q^t} - 1)$。令${F_{{q^s}}}^* = \left\langle w \right\rangle$，其中$w = {\zeta ^{\frac{{{q^t} - 1}}{{{q^s} - 1}}}}$，则$w$为${F_{{q^s}}}$的本原元。

假设$\theta = {w^N}$，其中$nN = {q^s} - 1$。定义指标为2的不可约拟循环码为

其中，${\beta _0},{\beta _1} \in {F_{{q^s}}}^*\backslash \left\langle \theta \right\rangle$，${\rm{Tr}}( \cdot )$表示从${F_{{q^s}}}$到${F_q}$的迹映射。此外，$C$在${F_q}$上的校验多项式为${\theta ^{ - 1}}$的极小多项式$h(x)$且维数为$\dim (C) = s$。

设${{\rm{Tr}}_{{q \mathord{\left/ {\vphantom {q p}} \right. } p}}}$表示从${F_q}$到${F_p}$的迹映射，$\chi$是从${F_q}$到模长为1的复数组成的乘法群的映射，对任意的$x,y \in {F_q}$有$\chi (x + y) = \chi (x)\chi (y)$。设$b \in {F_q}$，定义

为${F_q}$上的加法特征。如果$b = 0$，则${\chi _0}(c) = 1$，${\chi _0}$称为${F_q}$上的平凡加法特征；如果$b = 1$，则${\chi _1}$称为${F_q}$上的标准加法特征。

定义${C}_{i}{}^{(N,{q}^{s})}={w}^{i}\langle {w}^{N}\rangle ，i=0,1,\cdots ,N$，其中$\left\langle {{w^N}} \right\rangle$表示${F_{{q^s}}}^*$的一个子群，陪集${C_i}^{(N,{q^s})}$称为${F_{{q^s}}}$的阶为$N$的分圆类。根据加法特征和分圆类，定义${F_{{q^s}}}$上的高斯周期为

其中，$\chi$是${F_{{q^s}}}$上的标准加法特征。一般情况下，高斯周期的值很难计算，但是可以通过高斯多项式${\psi _{(N,{q^s})}}(X)$^[17]得到一些特殊的值，其中高斯多项式定义为

引理1^[1]　当$N = 2$时，高斯周期的值为

和${\eta _1}^{(2,{q^s})} = - 1 - {\eta _0}^{(2,{q^s})}$。

引理2^[1]　当$N = 3$时，高斯多项式${\psi _{(3,{q^s})}}(X)$的分解如下：

(1)如果$p \equiv 2({\rm {mod}} 3)$，则$s \cdot m$为偶数并且

(2)如果$p \equiv 1({\rm {mod}} 3),s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 3)$，则

其中，${c_1}$和${d_1}$满足$4{q^{\frac{s}{3}}} = c_1^2 + 27d_1^2,{c_1} \equiv 1({\rm {mod}} 3), \gcd ({c_1},p) = 1$。

引理3^[1]　当$N = 4$时，高斯多项式${\psi _{(4,{q^s})}}(X)$的分解如下：

(1)如果$p \equiv 3({\rm {mod}} 4)$，则$s \cdot m$为偶数并且

(2)如果$p \equiv 1({\rm {mod}} 4),s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$，则

其中，${u_1},{v_1}$满足${q^{\frac{s}{2}}} = u_1^2 + 4v_1^2,{u_1} \equiv 1\left( {{\rm {mod}} 4} \right), \gcd \left( {{u_1},p} \right) = 1$。

为了确定指标为2的不可约拟循环码的重量分布，本文还需要以下引理。

引理 4^[1]　设${e_1}$是${q^s} - 1$的正因数并且$0 \le i \le {e_1}$，则

其中$\dfrac{{q - 1}}{{{e_1}}}\gcd \left(\frac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},{e_1}\right) \cdot C_i^{(\gcd (\frac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},{e_1}),{q^s})}$表示$C_i^{(\gcd (\frac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},{e_1}),{q^s})}$中的任意元素在集合${\text{\{ }}xy:y \in F_q^*, x \in C_i^{({e_1},{q^s})}{\text{\} }}$中出现的次数均为$\dfrac{{q - 1}}{{{e_1}}}\gcd \left(\frac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},{e_1}\right)$。

3.   几类指标为2的不可约拟循环码的重量分布

设$N＞1$是一个正整数且满足$n = \dfrac{{{q^s} - 1}}{N}, {N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right)$。令$\theta = {w^N}$，其中$w$为${F_{{q^s}}}$的本原元。$Z({q^s},{\beta _0})$和$Z({q^s},{\beta _1})$分别为使等式${\rm{Tr}}(\alpha {\beta _0}{\theta ^i}) = 0$和${\rm{Tr}}(\alpha {\beta _1}{\theta ^j}) = 0$成立的$i,j$的个数。对于$C$中任意的码字$c$，如果$\alpha \ne 0$，则它的Hamming重量为${W}_{H}(c)=2n-Z({q}^{s},{\beta }_{0})-Z({q}^{s},{\beta }_{1})$，其中

令$\chi '$为${F_q}$上的加法特征，由引理4有

其中，$k,l = 0,1, \cdots ,{N_1} - 1$。

下面给出当${\beta _0},{\beta _1} \in F_{{q^s}}^*\backslash \langle \theta \rangle ,{N_1} = 2,3,4$时，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码的重量分布。显然，${C_0}^{({N_1},{q^s})}\backslash {C_0}^{(N,{q^s})},{C_1}^{({N_1},{q^s})}, \cdots ,C_{{N_1} - 1}^{({N_1},{q^s})}$构成了$F_{{q^s}}^*\backslash \langle \theta \rangle$的一个划分。定义$S$为$F_{{q^s}}^*\backslash \langle \theta \rangle$中的一个分圆类。

定理1　设$N$是${q^s} - 1$的正因数且使得${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 2$，则

情形(1)如果${\beta _0},{\beta _1}$在相同的分圆类$S$中，则由式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表1所示。

表 1  情形(1)：不可约拟循环码的重量分布

重量($i$)	频数(${A_i}$)
0	1
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 2\eta _0^{(2,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 2\eta _1^{(2,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

情形(2)如果${\beta _0},{\beta _1}$在不同的分圆类$S$中，则由式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表2所示。

表 2  情形(2)：不可约拟循环码的重量分布

重量($i$)	频数(${A_i}$)
0	1
$\dfrac{2}{N}(q - 1){q^{s - 1}}$	${q^s} - 1$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

证明　对于情形(1)本文只给出当${\beta _0},{\beta _1} \in C_0^{(2,{q^s})}\backslash C_0^{(N,{q^s})}$时的证明过程。

当$\alpha \in C_0^{(2,{q^s})}$时，因为${\beta _0},{\beta _1} \in C_0^{(2,{q^s})}\backslash C_0^{(N,{q^s})}$，所以$\alpha {\beta _0},\alpha {\beta _1} \in C_0^{(2,{q^s})}$。此时，对于$c\in C$，有${W}_{H}(c)= 2n-2\left(\dfrac{n}{q}+\dfrac{2(q-1)}{Nq}\cdot {\eta }_{0}^{(2,{q}^{s})}\right)$，出现的频数为$\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$。同理，当$\alpha \in C_1^{(2,{q^s})}$时，对于$c\in C$，有${W}_{H}(c)=2n-2\left(\dfrac{n}{q}+\dfrac{2(q-1)}{Nq}\cdot {\eta }_{1}^{(2,{q}^{s})}\right)$，出现的频数为$\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$。因此，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码的重量分布如表1所示。

对于情形(2)，可采用相同的讨论方法。证毕

推论1　 如果${\beta _0},{\beta _1}$满足定理1中的情形(1)，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一个参数为$\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$的2-重量线性码，其重量分布为$1 + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2} {x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}}$。

证明　如果${\beta _0},{\beta _1}$满足定理1中的情形(1)，则由引理1可知，当$p \equiv 1({\rm {mod}} 4)$时，$\eta _0^{(2,{q^s})} = - \dfrac{{{q^{\frac{s}{2}}} + 1}}{2},\eta _1^{(2,{q^s})} = \dfrac{{{q^{\frac{s}{2}}} - 1}}{2}$；当$p \equiv 3({\rm {mod}} 4)$时，$\eta _0^{(2,{q^s})} = \dfrac{{{q^{\frac{s}{2}}} - 1}}{2},\eta _1^{(2,{q^s})} = - \dfrac{{{q^{\frac{s}{2}}} + 1}}{2}$。将$\eta _0^{(2,{q^s})}, \eta _1^{(2,{q^s})}$的值分别代入表1中，可得到式(1)中定义的指标为2的不可约拟循环码是一个参数为$\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s, \dfrac{2(q-1)({q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$的2-重量线性码，其重量分布为$1 + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2} {x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}}$。证毕

类似于定理1，当${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3$时，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码的重量分布由以下定理给出。

定理2　设$N$是${q^s} - 1$的正因数且使得${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3$，则

情形(3) 如果${\beta _0},{\beta _1}$在相同的分圆类$S$中，则式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表3所示。

表 3  情形(3)：不可约拟循环码的重量分布

重量($i$)	频数(${A_i}$)
0	1
$\dfrac{2}{ {Nq} }(q - 1)({q^s} - 1 - 3\eta _0^{(3,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 3\eta _1^{(3,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 3\eta _2^{(3,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

情形(4) 如果${\beta _0},{\beta _1}$在不同的分圆类$S$中，则式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表4所示。

表 4  情形(4)：不可约拟循环码的重量分布

重量($i$)	频数(${A_i}$)
0	1
$\dfrac{1}{{Nq}}(q - 1)[2({q^s} - 1) - 3(\eta _0^{(3,{q^s})} + \eta _1^{(3,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$
$\dfrac{1}{{Nq}}(q - 1)[2({q^s} - 1) - 3(\eta _1^{(3,{q^s})} + \eta _2^{(3,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$
$\dfrac{1}{{Nq}}(q - 1)[2({q^s} - 1) - 3(\eta _2^{(3,{q^s})} + \eta _0^{(3,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

推论2　设$N$是${q^s} - 1$的正因子，${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3,p \equiv 2({\rm {mod}} 3)$。若${\beta _0},{\beta _1}$满足定理2中情形(3)且$s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为$\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$的2-重量线性码，其重量分布为

若$s \cdot m \equiv 2({\rm {mod}} 4)$，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为$\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-2{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$的2-重量线性码，其重量分布为

证明：　当${\beta _0},{\beta _1}$满足定理2中情形(3)时，如果$s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$，此时$\dfrac{{s \cdot m}}{2}$为偶数，由引理2可得$\eta _0^{(3,{q^s})} = - \dfrac{{1 + 2{q^{\frac{s}{2}}}}}{3},\eta _1^{(3,{q^s})} = \eta _1^{(3,{q^s})} = - \dfrac{{1 - 2{q^{\frac{s}{2}}}}}{3}$，将其代入表3，可得到推论2中的第1种结果；如果 $s \cdot m \equiv 2({\rm {mod}} 4)$， 此时$\dfrac{{s \cdot m}}{2}$为奇数，则由引理2可得$\eta _0^{(3,{q^s})} = - \dfrac{{1 - 2{q^{\frac{s}{2}}}}}{3},\eta _1^{(3,{q^s})} = \eta _1^{(3,{q^s})} = - \dfrac{{1 + 2{q^{\frac{s}{2}}}}}{3}$，将其代入表3，可得到推论2中的另一种结果。 证毕

类似于推论2的证明方法，可得到以下3个结论。

推论3　设$N$是${q^s} - 1$的正因子，${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3,p \equiv 2({\text{mod}}3)$。若${\beta _0},{\beta _1}$满足定理2中的情形(4)且$s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为$\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$的2-重量线性码，其重量分布为

若$s \cdot m \equiv 2({\rm {mod}} 4)$，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为$\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{(q-1)(2{q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$的2-重量线性码，其重量分布为

推论4　设$N$是${q^s} - 1$的正因子，${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3,p \equiv 1({\rm {mod}} 3)$。若${\beta _0},{\beta _1}$满足定理2中的情形(3)且$s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 3)$，则式(1)定义的不可约拟循环码是一个参数为$\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s\right]$的3-重量线性码，其重量分布为

推论5　设$N$是${q^s} - 1$的正因子，${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3,p \equiv 1({\rm {mod}} 3)$。若${\beta _0},{\beta _1}$满足定理2中的情形(4)且$s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 3)$，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为$\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s\right]$的3-重量线性码，其重量分布为

类似定理1，当${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 4$时，式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布由以下定理给出。

定理3　设$N$是${q^s} - 1$的正因数使得${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 4$，则

情形(5)如果${\beta _0},{\beta _1}$在相同的分圆类$S$中，则式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表5所示。

表 5  情形(5)：不可约拟循环码的重量分布

重量($i$)	频数(${A_i}$)
0	1
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 4\eta _0^{(4,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 4\eta _1^{(4,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 4\eta _2^{(4,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 4\eta _3^{(4,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

情形(6)如果下列条件之一成立，则式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表6所示。

表 6  情形(6)：不可约拟循环码的重量分布

重量($i$)	频数(${A_i}$)
0	1
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _0^{(4,{q^s})} + \eta _1^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _1^{(4,{q^s})} + \eta _2^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _2^{(4,{q^s})} + \eta _3^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _3^{(4,{q^s})} + \eta _0^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

(a) ${\beta _0},{\beta _1} \in \{ C_0^{(4,{q^s})}\backslash C_0^{(N,{q^s})},C_1^{(4,{q^s})}\}$；

(b) ${\beta _0},{\beta _1} \in \{ C_0^{(4,{q^s})}\backslash C_0^{(N,{q^s})},C_3^{(4,{q^s})}\}$；

(c) ${\beta _0},{\beta _1} \in \{ C_1^{(4,{q^s})},C_2^{(4,{q^s})}\}$；

(d) ${\beta _0},{\beta _1} \in \{ C_2^{(4,{q^s})},C_3^{(4,{q^s})}$。

情形(7) 如果下列条件之一成立，则式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表7所示。

表 7  情形(7)：不可约拟循环码的重量分布

重量($i$)	频数(${A_i}$)
0	1
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _0^{(4,{q^s})} + \eta _2^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _1^{(4,{q^s})} + \eta _3^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

(e) ${\beta _0},{\beta _1} \in \{ C_0^{(4,{q^s})}\backslash C_0^{(N,{q^s})},C_2^{(4,{q^s})}\}$；

(f) ${\beta _0},{\beta _1} \in \{ C_1^{(4,{q^s})},C_3^{(4,{q^s})}\}$。

由引理3、推论2和定理3，可得到以下推论。

推论6　设$N$是${q^s} - 1$的正因子，${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 4,p \equiv 3({\rm {mod}} 4)$。若${\beta _0},{\beta _1}$满足定理3中的情形(5)且$s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为$\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$的2-重量线性码，其重量分布为

若$s \cdot m \equiv 2({\rm {mod}} 4)$，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为$\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-3{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$的2-重量线性码，其重量分布为

推论7　设$N$是${q^s} - 1$的正因子，${N}_{1}=\mathrm{gcd} \left(\dfrac{{q}^{s}-1}{q-1},N\right)=4，p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$。如果${\beta _0},{\beta _1}$满足定理3中的情形(6)或情形(7)，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是参数为$\left[\dfrac{{2\left( {{q^s} - 1} \right)}}{N},s,\dfrac{{2(q - 1)({q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}\right]$的2-重量线性码，其重量分布为$1 + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}}$。

推论8　设$N$是${q^s} - 1$的正因子，${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 4,p \equiv 1({\rm {mod}} 4)$。若${\beta _0},{\beta _1}$满足定理3中的情形(7)且$s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是参数为$\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s\right]$的2-重量线性码，其重量分布为

4.   最优码的构造

定理4　设$N$是${q^s} - 1$的正因子，${N_1} = 3, p \equiv 2({\rm {mod}} 3),s \cdot m \equiv 2({\rm {mod}} 4)$。若${\beta _0},{\beta _1}$满足定理2中的情形(4)，则有

(1)如果$p = 2,s = 2,N = 3({2^m} - 1)$，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一类2-重量MDS码，其参数为$\left[\dfrac{2}{3}({2^m} + 1),2,\dfrac{1}{3}({2^{m + 1}} - 1)\right]$。

(2)如果$s = 2,2N = 3({p^m} - 1)$，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一类达到Griesmer界的最优码，其参数为$\left[\dfrac{4}{3}({p^m} + 1),2,\dfrac{2}{3}(2{p^m} - 1)\right]$。

证明　将情形(1)中所给的条件代入推论4， 可得式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一类2-重量线性码且其参数满足$n = k + d - 1$。 由引理5可得到一类2-重MDS码，其参数为$\left[\dfrac{2}{3}({2^m} + 1), 2,\dfrac{1}{3}({2^{m + 1}} - 1)\right]$。

将情形(2)中所给的条件代入推论4，可得到式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一类2-重量线性码且参数满足$n = \displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^{k - 1} {\left\lceil {\dfrac{d}{{{q^i}}}} \right\rceil }$。由引理6可得到一类达到Griesmer界的最优码，其参数为$\left[\dfrac{4}{3}({p^m} + 1),2,\dfrac{2}{3}(2{p^m} - 1)\right]$。 证毕

例1　令$({N_1},p,m,s,N) = (3,2,3,2,21)$。由定理4，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是${F_8}$上参数为$[6,2,5]$的2-重量MDS码，其重量分布为$1 + 42{x^5} + 21{x^6}$。

例2　令$({N_1},p,m,s,N) = (3,11,1,2,15)$。由定理4，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是${F_{11}}$上参数为$[16,2,14]$的达到Griesmer界的2-重量最优码，其重量分布为$1 + 80{x^{14}} + 40{x^{16}}$。

类似于定理4，可由以下定理得到另一类2-重量MDS码。

定理5　设$N$是${q^s} - 1$的正因子，${N_1} = 4, p \equiv 3({\rm {mod}} 4)$。若${\beta _0},{\beta _1}$满足定理3中的情形(6)或情形(7)，$s = 2,N = 4({p^m} - 1)$，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一类2-重量MDS码，其参数为$\left[\dfrac{1}{2}({p^m} + 1),2,\dfrac{1}{2}({p^m} - 1)\right]$。

例3　令$({N_1},p,m,s,N) = (4,3,3,2,104)$。由定理5，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是${F_{27}}$上参数为$[14,2,13]$的2-重量MDS码，其重量分布为$1 + 364{x^{13}} + 364{x^{14}}$。

5.   结论

本文研究了有限域上指标为2的不可约拟循环码的重量分布，构造了几类2-重量线性码和3-重量线性码。特别地，本文得到了3类最优的2-重量线性码。如何利用${Z_p}{Z_p}[v]$-加性码^[18,19]的重量分布构造有限域上的最优码是一个有意义的研究问题。