1.   引言

在分布式存储系统中，三重备份能够保证数据的可靠性，并且它是最简单的方法^[1]。然而三重备份的存储效率低、存储代价过大，于是人们提出了存储负荷更低的纠删码方案^[2,3]。传统纠删码能满足高效存储的需求，但是修复效率低，因此编码学者提出了局部修复码^[3]。2012年，Gopalan等人^[4]提出LRC的概念以及Singleton-Like (S-L)界，但是S-L界在小域^[4,5]上是不紧的。为了更加精确地描述$q$元局部修复码4个参数之间的关系，Cadambe和Mazumdar^[6]提出考虑域的大小的界，即Cadambe-Mazumdar (C-M)界。

在工程应用中，小域上LRC的编、解码复杂度较低，更具有使用价值^[7]。二元域上LRC取得一定进展，人们研究了达到S-L界^[8,9]以及C-M界^[10,11]的局部度最优LRC。文献[12,13]研究了三元距离较小或者维数较低的局部度最优LRC。在四元域上，人们得到一些局部度最优LRC：文献[14]构造了2类距离为3的四元LRC；文献[15]构造了距离为4的四元LRC；这3类LRC是局部度最优和拟最优的^[14,15]。Barg等人^[16]利用代数曲线和代数曲面构造了码长为18、维数为11、距离为3、局部度为2的四元LRC。文献[17]通过缩短$q$元汉明码与$({q^2} + 1) -$cap构造了距离为3和4的LRC，从而可得到16个距离为3和12个距离为4的局部度最优四元LRC。Jin等人^[18]利用有限域上的自同构群构造一般域上LRC，可得到码长不超过5的四元LRC。由以上结果可知，当码长不超过20时，文献[14,15,16]构造了特定距离的局部度最优或拟最优四元LRC，但只有1个码是距离最优码；文献[17]的2个四元LRC以及文献[18]的1个四元LRC都不是距离最优码。

由文献[19]可知，当域的大小为2的幂次时，码的运行速度快，并且文献[20]给出了RS码校验关系的等价转换方式，避免了复杂的符号转化。依据文献[21-23]，码长不超过20的距离最优四元码的参数完全确定。由文献[23]可知，对于给定的码长和维数，距离最优四元码往往有很多，但是它们的局部度也有差别，人们往往更关注局部度尽可能小的LRC。基于此本文研究四元LRC，由已有文献结果可知，目前四元LRC的研究并不充分，其结果较为零散，因此本文将研究码长不超过20的四元码，设法构造距离最优且局部度尽可能小的四元LRC，并利用S-L界或C-M界判断其局部度的最优性。

2.   预备知识

令${{{F}}_4} = \{ 0,1,\omega ,{\omega ^2}\}$为四元域，记$\omega = 2$，${\omega ^2} = 3$，${{{F}}_4} = \{ 0,1,2,3\}$。${\boldsymbol{F}}_4^n$为${{{F}}_4}$上的$n$维向量空间，若一个非零向量的第1个非零分量是1，则称此向量为首一向量。称${\boldsymbol{F}}_4^n$的$k$维子空间${\boldsymbol{C}}$为四元线性码${[n,k]_4}$，并记为${\boldsymbol{C}} = {[n,k]_4}$，$n$称为${\boldsymbol{C}}$的码长，${\boldsymbol{C}}$中的向量称为码字。

若${\boldsymbol{x}} = ({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n})$，${\boldsymbol{y}} = ({y_1},{y_2}, \cdots ,{y_n}) \in {\boldsymbol{F}}_4^n$，${\boldsymbol{x}}$的汉明重量为${\rm{wt}}({\boldsymbol{x}}) = \# \{ i\left| {1 \le i \le n,} \right.{x_i} \ne 0\}$，${\boldsymbol{x}}$与${\boldsymbol{y}}$的汉明距离为$d({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{y}}) = {\rm{wt}}({\boldsymbol{x}} - {\boldsymbol{y}})$。若${\boldsymbol{C}}$中非零码字的最小汉明重量为$d$，则记${\boldsymbol{C}} = {[n,k,d]_4}$，若不存在${[n,k,d + 1]_4}$码，则称${\boldsymbol{C}} = {[n,k,d]_4}$为距离最优码。对于${\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{y}} \in {\boldsymbol{F}}_4^n$，${\boldsymbol{x}}$与${\boldsymbol{y}}$的内积为$\left( {{\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{y}}} \right) =$$\sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot {y_i}}$。称${{\boldsymbol{C}}^ \bot } = \{ {\boldsymbol{x}} \in {\boldsymbol{F}}_{\rm{4}}^n|({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{c}}) = 0,\forall {\boldsymbol{c}} \in {\boldsymbol{C}}\}$为${\boldsymbol{C}}$的对偶码，显然${{\boldsymbol{C}}^ \bot }$的维数为$n - k$。由${\boldsymbol{C}}$的一组基构成的$k \times n$矩阵${{\boldsymbol{G}}_{k,n}}$称为${\boldsymbol{C}}$的生成阵，${{\boldsymbol{C}}^ \bot }$的生成阵${{\boldsymbol{H}}_{n - k,n}} = {\left( {{{\boldsymbol{h}}_1}^{\rm{T}},{{\boldsymbol{h}}_2}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\boldsymbol{h}}_{n - k}}^{\rm{T}}} \right)^{\rm{T}}}$称为${\boldsymbol{C}}$的校验阵。${\boldsymbol{C}} = {[n,k,d]_q}$是码长为$n$、维数为$k$、最小距离为$d$的$q$元线性码，若码字${\boldsymbol{c}} = ({c_1},{c_2}, \cdots ,{c_n}) \in {\boldsymbol{C}}$的第$i$个码元${c_i}$$(1 \le i \le n)$都能通过除第$i$位以外的其他至多$r$位恢复，则称${\boldsymbol{C}}$的局部度为$r$，并记${\boldsymbol{C}} = {[n,k,d;r]_q}$。线性码的局部度可以由生成阵和校验阵确定，具体如下：

引理1^[4] 设线性码${\boldsymbol{C}} = {[n,k,d]_q}$的生成阵为${{\boldsymbol{G}}_{k,n}} = ({{\boldsymbol{g}}_1},{{\boldsymbol{g}}_2}, \cdots ,{{\boldsymbol{g}}_n})$，${{\boldsymbol{g}}_i}$是$k$维列向量，当$i \in [n]$时，若存在大小不超过r的子集${A_i} \subseteq [n]\backslash \left\{ i \right\}$使得${{\boldsymbol{g}}_i}$被至多$r$个${{\boldsymbol{g}}_j}$($j \in {A_i}$)线性表出，则${\boldsymbol{C}}$的局部度为$r$。

引理2^[9] ${\boldsymbol{H}} = {({{\boldsymbol{H}}_l}^{\rm{T}},{{\boldsymbol{H}}_{n - k - l}}^{\rm{T}})^{\rm{T}}}$为线性码${[n,k,d]_q}$的校验阵，${{\boldsymbol{H}}_l}$中的列均为非零列向量，${{\boldsymbol{H}}_l}$的行称为${\boldsymbol{H}}$的局部度行。若${{\boldsymbol{H}}_l}$的行向量的汉明重量不超过$r + 1$，则${\boldsymbol{C}}$的局部度为r。

下面介绍常用的S-L界和C-M界。

引理3^[4,6] 若${\boldsymbol{C}} = {[n,k,d;r]_q}$存在，式(1)和式(2)成立时，分别称为S-L界^[4]与C-M界^[6]

等式成立时，称码达到S-L界。特别地，当$k = r$时，S-L界退化为经典的Singleton界。

其中，$k_{\rm{opt}}^q(n,d)$是码长为$n$、最小距离为$d$的$q$元码的最大维数。等式成立时称${\boldsymbol{C}}$达到C-M界。

若${\boldsymbol{C}} = {[n,k,d;r]_q}$达到S-L界或C-M界，或者${[n,k,d;r - {\rm{1}}]_q}$的局部修复码不存在，则称${\boldsymbol{C}}$是局部度最优的($r -$最优的)。

约定：${[n,k,d]_4}$简记为$[n,k,d]$；${[n,k,d;r]_4}$简记为$[n,k,d;r]$。${{\boldsymbol{i}}_n} = (i,i, \cdots ,i)$$(i = 0,1,2,3)$表示长度为$n$且分量为$i$的行向量，${\boldsymbol{i}}_n^{\rm{T}} = {(i,i, \cdots {\rm{,}}i)^{\rm{T}}}$为${{\boldsymbol{i}}_n} = (i{\rm{,}}i, \cdots {\rm{,}}i)$的转置。$[n] = \{ 1{\rm{,}}2, \cdots {\rm{,}}n\}$，并约定$n \le 20$；${{\boldsymbol{I}}_n}$为$n$阶单位阵。记${{\boldsymbol{G}}_{k,m}}$的$l$个并置为${{\boldsymbol{G}}_{k,lm}} = \left( {{{\boldsymbol{G}}_{k,m}},{{\boldsymbol{G}}_{k,m}}, \cdots ,{{\boldsymbol{G}}_{k,m}}} \right) = \left( {l{{\boldsymbol{G}}_{k,m}}} \right)$。

3.   ${{{{\boldsymbol{F}}}}_{\bf{4}}}$上短码长LRC的构造

码长$n \le 20$的距离最优码共210个，其中$[n,n,1]$码不具有局部修复功能，还余下190个距离最优码。对于$n \ge 2$，${{{{\textit{1}}}}_n}$生成$[n,1,n;1]$码，其对偶码为$[n,n - 1,2;n - 1]$，此两码达到S-L界。故以下仅需考虑$[n,k,d]$和$[n,n - k,d']$($k \ge 2$)形式的局部修复码构造，分7个小节展开讨论。

由文献[22,23]，分以下3步构造距离最优码的生成阵${{\boldsymbol{G}}_{k,n}}$：

步骤1　由文献[22,23]得到距离最优码的生成阵，利用四元域中的乘法运算将生成阵中的列向量化为首一列向量；

步骤2　将首一列向量按照列汉明重量由小到大的顺序排列；

步骤3　对排序后的生成阵做列置换，依次删除生成阵${{\boldsymbol{G}}_{k,n}}$的最后$j$$(1 \le j < n - k)$个列向量得到子矩阵${{\boldsymbol{G}}_{k,n - j}}$，从而由已有LRC构造新LRC。

3.1   参数为$[n,2,d]$和$[n,n - 2,d']$的LRC

构造${{\boldsymbol{G}}_{2,5}} = \left( \begin{array}{l} {\rm{1\;0\;1\;1\;1}} \\ {\rm{0\;1\;1\;2\;3}} \end{array} \right) = \left( {{{\boldsymbol{g}}_1},{{\boldsymbol{g}}_2}, \cdots ,{{\boldsymbol{g}}_5}} \right)$，${{\boldsymbol{G}}_{2,i}} = \left( {{{\boldsymbol{g}}_1},{{\boldsymbol{g}}_2}, \cdots ,{{\boldsymbol{g}}_i}} \right)$以及${{\boldsymbol{G}}_{2,2i}} = \left( {{{\boldsymbol{G}}_{2,i}}\left| {{{\boldsymbol{G}}_{2,i}}} \right.} \right)$，$2 \le i \le 5$。

由${{\boldsymbol{G}}_{2,i}}$$\left( {3 \le i \le 5} \right)$可得$[3,2,2;2]$，$[4,2,3;2]$和$[5,2,4;2]$码；由${{\boldsymbol{G}}_{2,2i}}$$(3 \le i \le 5)$可得$[6,2,4;1]$，$[8,2,6;1]$和$[10,2,8;1]$码。令${{\boldsymbol{G}}_{2,5 + j}} = \left( {{{\boldsymbol{G}}_{2,5}}\left| {{{\boldsymbol{G}}_{2,j}}} \right.} \right)$$(j =$$2,4)$，可得$[7,2,5;2]$和$[9,2,7;2]$码。若$n = 5l$且$l \ge 2$，则${{\boldsymbol{G}}_{2,5l}} = \left( {l{{\boldsymbol{G}}_{2,5}}} \right)$生成$[5l,2,4l;1]$码。若$n = 5l + i \ge$$11$，$1 \le i \le 4$且$l \ge 2$，则${{\boldsymbol{G}}_{2,5l + i}} =$ $\left( {{{\boldsymbol{G}}_{2,5(l - 1)}}\left| {{{\boldsymbol{G}}_{2,5 + i}}} \right.} \right)$生成$[5l + i,2,4l + i - 1;1]$码。当$2m \ge 6$时，构造校验阵

以${{\boldsymbol{H}}_{2,2m}}$和${{\boldsymbol{H}}_{2,2m + 1}}$为校验阵的码为$\left[ n,n - 2,$$2;\left\lceil {{{(n - 2)} / 2}} \right\rceil \right]$($n = 2m,2m + 1 \ge 6$)。

以上构造的LRC都是距离最优码，其中r=1的LRC的局部度已达到最小；码长$3 \le n \le 10\;(n \ne 7,9)$的$[n,2,d;r]$码和$n \ge 6$的$\left[ n,$$n - 2, 2;\left\lceil {{{(n - 2)} / 2}} \right\rceil \right]$达到S-L界；$[7,2,5;2]$和$[9,2,7;2]$达不到S-L界和C-M界，但不难验证$[7,2,5;1]$和$[9,2,7;1]$不存在，故这两个码仍是$r -$最优的。

3.2   参数为$[n,3,d]$和$[n,n - 3,d']$的LRC

记${{\boldsymbol{G}}_{3,n}} = ({{\boldsymbol{I}}_3}|{{\boldsymbol{B}}_{3,n - 3}})$，构造如式(4)的4个矩阵：

以上${{\boldsymbol{G}}_{3,n}}$分别生成$[5,3,3;3]$，$[9,3,6;2]$，$[16,3,12;2]$和$[21,3,16;2]$码。由${{\boldsymbol{G}}_{3,5}}$的子矩阵可得$[{\rm{4}},{\rm{3}},{\rm{2}};{\rm{3}}]$；${{\boldsymbol{G}}_{3,5}}$添加列向量${\left( {1,3,1} \right)^{\rm{T}}}$得到${{\boldsymbol{G}}_{3,6}}$，${{\boldsymbol{G}}_{3,6}}$生成$[6,3,4;3]$。类似地，由${{\boldsymbol{G}}_{3,9}}$的子矩阵可得$[7,3,4;2]$和$[8,3,5;2]$码；由${{\boldsymbol{G}}_{3,16}}$的子矩阵${{\boldsymbol{G}}_{3,n}}$$\left( {n = 16 - j,1 \le j \le 5} \right)$可得$[16 - j,3,12 - j;2]$码。当$17 \le n = 21 - j \le 21$时，由${{\boldsymbol{G}}_{3,21}}$的子矩阵${{\boldsymbol{G}}_{3,n}}$可得$[21 - j,3,16 - j;2]$。特别地，当$i = 5,6$时，构造${{\boldsymbol{G}}_{3,2i}} = \left( {{{\boldsymbol{G}}_{3,i}}\left| {{{\boldsymbol{G}}_{3,i}}} \right.} \right)$，${{\boldsymbol{G}}_{3,2i}}$生成$[10,3,6;1]$和$[12,3,8;1]$码。记${{\boldsymbol{G}}_{3,n}} = \left( {{\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots {\rm{,}}{\alpha _n}} \right)$，$7 \le n \le 21$。当$13 \le n = 21 - j \le 21$时，以${{\boldsymbol{G}}_{3,n}}$为校验阵的码为$[n,n - 3,3;15 - j]$^[19]。当$7 \le n =$$12 - j \le 12$时，以${{\boldsymbol{G}}_{3,n}}$为校验阵的码为$\left[ 12 - j,9 - j,$$3;6 - \left\lfloor {{{2j} / 3}} \right\rfloor \right]$。

以上构造的LRC均为距离最优码，其中$4 \le n \le 10$的$[n,{\rm{3}},d;r]$以及$\left[ {n,n - 3,3;6 - \left\lfloor {{{2j} / 3}} \right\rfloor } \right]$ $(7 \le n = 12 - j \le 12)$和$[n,n - 3,3;15 - j]$$\left( 13 \le n =$$21 - j \le 21 \right)$码达到S-L界; $11 \le n = 16 - j \le 15$的$[n,3,12 - j;2]$，$[16,3,12;2]$和$[n,3,16 - j;2]$$(17 \le n =$$21 - j \le 21)$码为达到C-M界的LRC。

3.3   参数为$[n,4,d]$和$[n,n - 4,d']$的LRC

记${{\boldsymbol{G}}_{4,n}} = ({{\boldsymbol{I}}_4}|{{\boldsymbol{B}}_{4,n - 4}})$，构造如式(5)的5个矩阵，${{\boldsymbol{G}}_{4,17}}$由文献[17]给出

${{\boldsymbol{G}}_{4,6}}$和${{\boldsymbol{G}}_{4,10}}$分别生成$[6,4,2;2]$和$[10,4,6;3]$码。删除${{\boldsymbol{G}}_{4,10}}$的后$i$($1 \le i \le 3$)列，可得$[9,4,5;3]$，$[8,4,$$4;3]$和$[7,4,3;3]$码。${{\boldsymbol{G}}_{4,23}}$生成$[23,4,16;2]$码，删除${{\boldsymbol{G}}_{4,23}}$的后$i$($1 \le i \le 4$)列可得$[22,4,15;2]$，$[21,4,$$14;2]$，$[20,4,13;2]$和$[19,4,12;2]$码。${{\boldsymbol{G}}_{4,17}}$添加${{\boldsymbol{G}}_{4,17}}$中的1列可得$[18,4,12;3]$，由文献[17]删除校验阵${{\boldsymbol{G}}_{4,17}}$的列可得到$[n,n - 4,4;{r_n}]$，$9 \le n = 17 - j \le 17$，其中$n = 9,10, \cdots ,16,17$时局部度分别为${r_n} = 4,5,6,6,7,$$8,9,10,11$。记${{\boldsymbol{G}}_{4,17}} = ({{\boldsymbol{\beta}} _1},{{\boldsymbol{\beta}} _2}, \cdots ,{{\boldsymbol{\beta}} _{17}})$，令${{\boldsymbol{G}}_{4,n}} = ({{\boldsymbol{\beta}} _1},$${{\boldsymbol{\beta}} _2}, \cdots , {{\boldsymbol{\beta}} _n})$，$(11 \le n$$= 17 - j \le 17)$，${{\boldsymbol{G}}_{4,n}}$生成$[n,4,$$12 - j; 3]$码。以${{\boldsymbol{H}}_{4,21}}$为校验阵的码为$[21,17,3;9]$。当$1 \le i \le 3$时，删除${{\boldsymbol{H}}_{4,21}}$的后$i$列得到$[20,16,3;9]$，$[19,15,3;8]$和$[18,14,3;7]$码。以上构造的LRC都是距离最优码，其中$6 \le n \le 10$的$[n,4,d;r]$码和$9 \le$$n \le 17$的$[n,n - 4,4;r]$码达到S-L界; 达到C-M界的LRC为$11 \le n \le 23$$(n \ne 19)$的$[n,4,d;r]$以及$18 \le$$n \le 21$的$[n,n - 4,3;r]$；而$[19,4,12;2]$LRC达不到S-L界和C-M界。

3.4   参数为$[n,5,d]$和$[n,n - 5,d']$的LRC

记${{\boldsymbol{G}}_{5,n}} = ({{\boldsymbol{I}}_5}|{{\boldsymbol{B}}_{5,n - 5}})$，构造以下7个矩阵，${{\boldsymbol{X}}_{\boldsymbol{i}}} = ({{\boldsymbol{\gamma}} _1},{{\boldsymbol{\gamma}} _2}, \cdots ,{{\boldsymbol{\gamma}} _i})$$(4 \le i \le 6)$：

由${{\boldsymbol{G}}_{5,n}}$分别可得$[7,5,2;3]$，$[11,5,6;4]$，$[14,5,8;3]$，$[17,5,10;3]$和$[24,5,16;2]$码。由${{\boldsymbol{G}}_{5,11}}$的子矩阵可得$[10,5,5;4]$，$[9,5,4;4]$，$[8,5,3;4]$码；由${{\boldsymbol{G}}_{5,14}}$的子矩阵可得$[13,5,7;3]$，$[12,5,6;4]$码；由${{\boldsymbol{G}}_{5,17}}$的子矩阵可得$[16,5,9;3]$，$[15,5,8;3]$码。当$1 \le i \le 6$时，依次删除${{\boldsymbol{G}}_{5,24}}$的后$i$列分别可得$[23,5,15;3]$，$[22,5,14;3]$，$[21,5,13;2]$，$[20,5,12;3]$，$[19,5,11;3]$，$[18,5,10;2]$码。以${{\boldsymbol{H}}_{5,3i}}$$(i = 4,5,6)$为校验阵的码为$[12,7,4;3]$，$[15,10,4;4]$和$[18,13,4;5]$。删除${{\boldsymbol{H}}_{5,3i}}$$(i = 5,6)$的最后1列可分别为$[14,9,4;4]$与$[17,12,4;5]$；删除${{\boldsymbol{H}}_{5,15}}$的第10和15列得到$[13,8, 4;4]$码，删除${{\boldsymbol{H}}_{5,18}}$的第12和18列可得$[16, 11,4;5]$码。${{\boldsymbol{H}}_{5,18}}$依次添加列向量${\left( {1,1,1,2,3} \right)^{\rm{T}}}$和${\left( {1,2,3,1,1} \right)^{\rm{T}}}$得到${{\boldsymbol{H}}_{5,19}}$与${{\boldsymbol{H}}_{5,20}}$, 以${{\boldsymbol{H}}_{5,19}}$为校验阵的码为$[19,14,4;6]$，以${{\boldsymbol{H}}_{5,20}}$为校验阵的码为$[20,15,4;7]$。以上构造的LRC都是距离最优码，其中$7 \le n \le 11$的$[n,5,d;r]$和$12 \le n \le 20$$(n \ne 13)$的$[n,n - 5,4;r]$码达到S-L界；$12 \le n \le 24$($n \ne$$19,20$)的$[n,5,d;r]$码以及$[13,8,4;4]$码达到C-M界；而$[19,5,11;3]$和$[20,5,$$12;3]$码达不到S-L界和C-M界。

3.5   参数为$[n,6,d]$和$[n,n - 6,d']$的LRC

记${{\boldsymbol{G}}_{6,n}} = ({{\boldsymbol{I}}_6}|{{\boldsymbol{B}}_{6,n - 6}})$，构造以下7个矩阵，横线以上的行为校验阵的局部度行。

由${{\boldsymbol{G}}_{6,12}}$和${{\boldsymbol{G}}_{6,12}}$的子矩阵可得$[12,6,6;5]$和$[11,6,5;5]$码；由${{\boldsymbol{G}}_{6,15}}$和${{\boldsymbol{G}}_{6,15}}$的子矩阵可得$[15,6,$$8;4]$，$[14,6,7;4]$和$[13,6,6;4]$码；由${{\boldsymbol{G}}_{6,18}}$和${{\boldsymbol{G}}_{6,18}}$的子矩阵可得$[18,6,10;4]$，$[17,6,9;4]$，$[16,6,8;4]$码；由${{\boldsymbol{G}}_{6,20}}$和${{\boldsymbol{G}}_{6,20}}$的子矩阵可得$[20,6,11;3]$和$[19,6,$$10;3]$码。以${{\boldsymbol{H}}_{6,14}}$为校验阵的码为$[14,8,5;5]$，删除${{\boldsymbol{H}}_{6,14}}$的最后1列得到$[13,7,5;4]$码；以${{\boldsymbol{H}}_{6,17}}$为校验阵的码为$[17,11,5;7]$，依次删除${{\boldsymbol{H}}_{6,17}}$的后2列得到$[16,10,5;6]$和$[15,9,5;5]$码；由${{\boldsymbol{H}}_{6,21}}$可得$[21,15, 5;11]$，删除${{\boldsymbol{H}}_{6,21}}$的后3列得到$[20,14,5;10]$，$[19,13,5;9]$，$[18,12,5;8]$码。以上构造的LRC均为距离最优码，其中$[11,6,5;5]$和$[12,6,6;5]$码达到S-L界；$13 \le n \le$$18$的$[n,6,d;4]$及$13 \le n \le 21$的$[n,n - 6,5;r]$码达到C-M界；而$[19,6,10;3]$和$[20,6,11;3]$码达不到S-L界和C-M界。

3.6   参数为$[n,7,d]$和$[n,n - 7,d']$的LRC

记${{\boldsymbol{G}}_{7,n}} = ({{\boldsymbol{I}}_7}|{{\boldsymbol{B}}_{7,n - 7}})$，构造4个矩阵(见下页)。矩阵${{\boldsymbol{G}}_{7,n}}$分别生成$[16,7,8;5]$，$[18,7,9;5]$和$[20,7,10;5]$码；删除这3者的最后1列分别得到${{\boldsymbol{G}}_{7,n - 1}}$$(n = 16,18,20)$及其生成的$[15,7,7;5]$，$[17,7,8;5]$和$[19,7,9;5]$码。以${{\boldsymbol{H}}_{7,20}}$为校验阵得到$[20,13,6;7]$码，依次删除${{\boldsymbol{H}}_{7,20}}$的后$i$$\left( {1 \le i \le 6} \right)$列得到$[19,12,6;7]$，$[18,11,6;6]$，$[17,10,6;6]$，$[16,9,6;5]$，$[15,8,6;5]$，$[14,7,6;4]$码。以上构造的LRC都是距离最优码，其中$15 \le n \le 18$的$[n,7,d;r]$和$14 \le n \le 20$的$[n,n - 7,6;r]$码达到C-M界；而$[19,7,9;5]$和$[20,7,$$10;5]$码达不到S-L界和C-M界。

3.7   参数为$[n,k \ge 8,d]$和$[n,n - k,d']$的LRC

构造以下7个矩阵，如式(9)，以${{\boldsymbol{H}}_{8,17}}$为生成阵的码为$[17,8,8;6]$, 其前16列生成$[16,8,7;6]$码；以${{\boldsymbol{H}}_{8,17}}$为校验阵的码为$[17,9,7;7]$。由校验阵${{\boldsymbol{H}}_{8,21}}$可得$[21,13,6;8]$码，删除${{\boldsymbol{H}}_{8,21}}$的后$s$$\left( {1 \le s \le 3} \right)$列可得到$[20,12,6;7]$, $[19,11,6;7]$和$[18,10,6;6]$码。由${{\boldsymbol{H}}_{9,18}}$可得$[18,9,8;7]$码，删除${{\boldsymbol{H}}_{9,18}}$的最后1列可得$[17,8,8;6]$码。由校验阵${{\boldsymbol{H}}_{9,21}}$可得$[21,12,7;8]$码，删除${{\boldsymbol{H}}_{9,21}}$的后$i$$\left( {1 \le i \le 2} \right)$列可得$[21 - i,12 - i, 7;8 - i]$码。以${{\boldsymbol{H}}_{10,20}}$为校验阵的码为$[20,10,8;7]$码，删除${{\boldsymbol{H}}_{10,20}}$的后$i$$\left( {1 \le i \le 2} \right)$列可得$[20 - i,10 - i,8;7 - i]$码。由校验阵${{\boldsymbol{H}}_{11,22}}$可得$[22,11,8;7]$码，删除${{\boldsymbol{H}}_{11,22}}$的后$s$$\left( {1 \le s \le 3} \right)$列可得$[21,10,8;6]$，$[20,9,8;5]$和$[19,8,8;5]$码。以上构造的LRC均为距离最优码，其中$[n,n - 8,7;r]$$(n = 16,17)$, $19 \le n \le 21$的$[n,n - 9,$$7;r]$, $[n,n - 9,8;r]$ $(n = 17,18)$, $18 \le n$$\le 20$的$[n,n - 10,8;r]$以及$20 \le n \le 23$的$[n,n - 12,9;r]$达到C-M界；而$[n,n - 8,6;r]$$(18 \le n \le 20)$, $[19,8,8;5]$和$[20,9,8;5]$达不到S-L界和C-M界。

四元距离最优LRC的构造结果：码长$n \le 20$的距离最优码共210个，除$[n,n,1]$码外的190个距离最优码具有局部修复功能，其中$d = 2$的码共34个且达到S-L界。表1给出剩下的156个LRC$[n,k,d;r]$，达到S-L界的67个LRC用蓝色表示；达到C-M界的75个LRC用黑色表示；红色表示12个达不到S-L界和C-M界且非$r -$最优的LRC；$[7,2,5;2]$和$[9,2,7;2]$达不到S-L界和C-M界，但它们仍是$r -$最优的。经查阅已有文献，这些构造结果包含了文献[15]中参数为$[7,4,3;3]$的四元LRC，以及文献[17]中的16个$d = 3$和12个$d = 4$的四元LRC，具体参数为$[17 - s,13 - s,4;11 - s]\;$$(0 \le s \le 5)$，$[12 - j,8 - j,4;$$6 - 3i - t]$$(j = 4i + t,0 \le t \le 3,0 \le i \le 1)$及$[21 -$$s,$$18 - s,3;15 - s]\;(1 \le s \le 9)$和$[12 - j,9 - j,3;6 - 2i$$- t]$$(1 \le j = 3i + t \le 4,0 \le t \le 2,0 \le i \le 2)$。此外，还包含文献[18]中参数为$[2,1,2;1]$，$[4,1,4;1]$，$[4,3,2;3]$，$[3,2,2;2]$，$[5,4,2;4]$的5个四元LRC。

表 1  $d \ge 3$, $n \le 20$时四元LRC的结果

n/k	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3	3(1)
4	4(1)	3(2)
5	5(1)	4(2)	3(3)
6	6(1)	4(1)	4(3)
7	7(1)	5(2)	4(2)	3(3)
8	8(1)	6(1)	5(2)	4(3)	3(4)
9	9(1)	7(2)	6(2)	5(3)	4(4)	3(4)
10	10(1)	8(1)	6(1)	6(3)	5(4)	4(5)	3(5)
11	11(1)	8(1)	7(2)	6(3)	6(4)	5(5)	4(6)	3(6)
12	12(1)	9(1)	8(1)	7(3)	6(3)	6(5)	4(3)	4(6)	3(6)
13	13(1)	10(1)	9(2)	8(3)	7(3)	6(4)	5(4)	4(4)	4(7)
14	14(1)	11(1)	10(2)	9(3)	8(3)	7(4)	6(4)	5(5)	4(4)
15	15(1)	12(1)	11(2)	10(3)	8(3)	8(4)	7(5)	6(5)	5(5)
16	16(1)	12(1)	12(2)	11(3)	9(3)	8(4)	8(5)	7(6)	6(5)
17	17(1)	13(1)	12(2)	12(3)	10(3)	9(4)	8(5)	8(6)	7(7)
18	18(1)	14(1)	13(2)	12(3)	10(2)	10(4)	9(5)	8(5)	8(7)
19	19(1)	15(1)	14(2)	12(2)	11(3)	10(3)	9(5)	8(5)	8(6)
20	20(1)	16(1)	15(2)	13(2)	12(3)	11(3)	10(5)	9(4)	8(5)
n/k	10	11	12	13	14	15	16	17
13	3(7)
14	4(8)	3(8)
15	4(4)	4(9)	3(9)
16	5(6)	4(5)	4(10)	3(10)
17	6(6)	5(7)	4(5)	4(11)	3(11)
18	6(6)	6(6)	5(8)	4(5)	3(7)	3(12)
19	7(6)	6(7)	6(7)	5(9)	4(6)	3(8)	3(13)
20	8(7)	7(7)	6(7)	6(7)	5(10)	4(7)	3(9)	3(14)

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4.   结束语

本文研究了四元域上局部度较小的短码长LRC的构造，通过分析四元距离最优码的码长和维数，首先利用其生成阵或校验阵构造少量参数优良的LRC，然后删除或并置已有矩阵得到新LRC的生成阵或校验阵，最后利用S-L界或C-M界判断LRC的局部度最优性。与文献[15,17,18]比较，本文构造的四元LRC都是距离最优码且其结果更具有一般性，这对研究四元域上其他LRC的构造有很好的借鉴意义。在未来的工作中，将进一步研究四元域上码长和维数均较大时最优LRC的新构造。