1.   引言

卫星移动通信系统，作为全球化通信网络的重要组成部分，以其覆盖面广、部署灵活、不易受地理条件限制等优点，成为了实现全球无缝覆盖、构建天地一体化信息网络的关键手段^[1–3]。跳时技术通过时间跳变提高通信安全性，是卫星移动通信的一个重要发展方向。本文设计了一种跳时图案随机的通信系统，即按照特定的跳时图案将信息符号分散在不同的时隙中进行重复传输，相比于传统的非跳时系统，可降低发送端的发射功率，并且在每次传输时采用不同的跳时图案，通信双方预先约定跳时图案的变化范围。然而，在获得安全性提升的同时，使得合法接收机工作在低信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)条件下，并增加了跳时同步的时间不确定性，给通信可靠性带来挑战。

为了提高跳时通信系统在低信噪比条件下的通信可靠性，本文提出一种多跳相干合并技术。本技术通过在接收端对信噪比极低的跳时信号进行多跳相干合并，以获得信噪比增益，从而有效降低解调误码率。然而，由于跳时图案的随机性以及每跳信号的载波相位在接收端的不确定性，接收机必须精确估计跳时图案与每跳信号的载波相位，并对载波相位进行相应的补偿，以完成信号的相干合并与解调。由于在低信噪比条件下，参数估计的难度随着维度的增加而显著提高，亟需研究面向跳时通信系统的低复杂度的多维参数估计方法。

Scholtz^[4]率先提出了跳时脉冲多址通信方式，文献[5]进一步将多种调制方案，包括二进制相移键控调制(Binary Phase Shift Keying, BPSK)， 开关键控调制(On-Off Keying, OOK)， 脉冲幅度调制(Pulse Amplitude Modulation, PAM)以及脉冲位置调制(Pulse Position Modulation, PPM)等应用于跳时系统中。后续学者对基于不同调制方案的跳时系统性能进行研究^[6]，最常用的两种调制方案为跳时脉冲位置调制(Time-Hopping Pulse Position Modulation, TH-PPM)与跳时二进制相移键控调制(Time-Hopping Binary Phase Shift Keying, TH-BPSK)，在误码率性能方面，TH-BPSK通常优于TH-PPM。

在跳时通信系统中，通信信号同步处理技术是接收机设计的关键。针对同步技术的研究中广泛涉及信号到达时间的估计。文献[7]介绍了一种基于有噪模板的时间同步算法，并对该算法的非数据辅助和数据辅助两种模式进行了分析。研究显示，与数据辅助模式相比，非数据辅助模式在误码率性能方面与理论值存在显著偏差。文献[8]提出了一种自适应同步算法，该算法借助同步序列的辅助信息，通过迭代过程自适应调整误差系数，有效使均方根误差逐步逼近精度要求。文献[9]提出了一种盲同步算法，它首先通过能量估计和基于跳时序列信息的最小距离准则进行粗同步，然后引入一种频域估计方法以实现更高分辨率的细同步。此外，文献[10]探讨了一种基于时间序列分析的信号到达时间盲估计方法，并选用遗传算法作为优化手段。进一步地，文献[11]采用了交叉递归图算法，相较于遗传算法，该算法展现出更优的性能。然而，这两种算法都存在计算时间长的问题。

关于信号到达时间的估计，不仅涉及信道时延，还包含对跳时图案的估计。伪卫星系统中，跳时技术得到了广泛应用^[12,13]，在接收信号的捕获阶段，针对跳时图案的估计问题展开了研究。文献[14]介绍了逐脉冲搜索法与多脉冲相关法。逐脉冲搜索法将单个脉冲捕获结果依次与跳时图案进行匹配，低信噪比下检测概率较低。为了提高弱信号的检测概率，文献[14]中介绍了多脉冲相关法，文献[15]提出了一种基于码序列映射的跳时脉冲检测方法，利用多个脉冲捕获结果与本地模板相关，以改善检测性能。文献[16]采用动态贝叶斯网络对跳时图案进行估计，在提高检测概率的同时，缩短了捕获时间，但是需要有预先确定的跳时图案作为推测条件，并未考虑跳时图案随机变化的情况。

在现有关于跳时技术的研究中，尚未见对于载波相位的估计。上述方法难以满足在低信噪比条件下对随机跳时图案与每跳信号载波相位的多维参数估计的需求。因此，本文提出一种交叉熵(Cross-Entropy, CE)迭代辅助的跳时图案与载波相位联合估计算法，可在低信噪比条件下以较低复杂度实现多维参数估计，并能快速迭代收敛至最优解附近。利用该估计结果对信号进行相关运算与补偿，进而实现多跳相干合并与解调。

本文设计了一种基于随机跳时图案的跳时通信系统，并提出了交叉熵迭代辅助跳时图案与多跳信号载波相位联合估计方法，主要贡献如下：

(1) 设计了跳时图案随机的跳时通信方法，并提出了跳时图案和载波相位估计的数学模型。

(2) 提出交叉熵迭代辅助的跳时图案与多跳信号载波相位联合估计算法，可实现多跳信号相干合并。

(3) 对所提算法的迭代收敛特性、参数估计误差、合并误码率性能等进行仿真分析。仿真结果表明，所提算法可以达到接近理论最佳合并的误码率性能，且计算复杂度相较于网格遍历法有显著降低。

2.   系统模型

本文考虑TH-BPSK通信系统，信号的发送和接收过程遵循特定的时序规则。将通信时间窗口划分为多个持续时间相等的时帧，每个时帧包含若干个时隙，在不同时帧的指定时隙中重复发送待传输的符号，即在每个时帧中选择一个时隙发送信号，称为一跳。单次业务中发送信号的时隙分布称为跳时图案，该跳时图案由跳时码决定。

假设待发送的符号个数为${N_{\rm s}}$，在${N_{\rm f}}$个时帧中分别选择一个时隙重复发送信息符号，每跳信号的发射功率相同。单个时帧的持续时间为${T_{\text{f}}}$，每个时帧包含${N_{\text{h}}}$个时隙，单个时隙的持续时间为${T_{\text{c}}}$， 三者的关系满足${T_{\text{f}}} = {N_{\text{h}}}{T_{\text{c}}}$，如图1所示。单个时隙的持续时间${T_{\text{c}}}$与符号周期${T_{\text{s}}}$之间满足${T_{\text{c}}} = {N_{\text{s}}}{T_{\text{s}}}$。上述跳时系统的发送信号模型可表示为

图 1  跳时通信时隙结构示意图

下载: 全尺寸图片 幻灯片

其中，${b_k}$表示第$k$个BPSK调制符号，${b_k} \in \{ - 1, + 1\}$, $w(t)$表示成型滤波器的单位冲激响应。${c_m}$表示第$m$个时帧的跳时码，则第$m$个时帧发送信号的时移为${c_m}{T_{\rm c}}$，${c_m} \in \{ 0,1,\cdots,{N_{\rm h}} - 1\}$。${f_0}$为发射信号的载波中心频率，${\varphi _{0,m}}$为第$m$个时帧发射信号载波的初始相位。

通信双方约定跳时码在指定的若干个整数内随机变化。由接收端估计发送端采用的跳时码以及每跳信号的载波相位，并完成多跳信号的相干合并与解调。接收信号表示为

其中，$A$为信号到达接收机时的幅度，$\tau$为接收端相对于发送端的时延，${f_{\rm d}}$为接收信号相对于发射信号的频偏，${\varphi _m}$为第$m$个时帧中接收信号的载波初相。$n(t)$表示均值为0，方差为$\sigma _{\mathrm{n}}^2$的加性复高斯白噪声。

本文的研究重点为跳时图案即跳时码${c_m}$与载波相位${\varphi _m}$的估计方法，因此可理想假设接收机已完成时延$\tau$和频偏${f_{\rm d}}$的理想同步。经过接收机的采样等处理后，第$m$帧中时移为${v_m}{T_{\rm c}}$的一个时隙内第$k$个数据可表示为

其中${C_m}({v_m})$为跳时码指示函数

所有${N_{\rm f}}$帧中时移为${v_m}{T_{\rm c}}$的一个时隙内第$k$个数据组成的矢量表示为${{\boldsymbol{y}}_k} = {[{y_{1,k}},{y_{2,k}}, \cdots ,{y_{{N_{\rm f}},k}}]^{\rm T}}$，全部${N_{\rm s}}$个数据组成的数据矢量表示为${\boldsymbol{y}} = [{\boldsymbol{y}}_1^{\rm T}, {\boldsymbol{y}}_2^{\rm T},\cdots,{\boldsymbol{y}}_{{N_{\rm s}}}^{\rm T}]{}^{\rm T}$。

将${N_{\rm f}}$帧全部待估计参数表示为向量${\boldsymbol{\varPhi}} = [{{{v}}_1}, {{{v}}_2}, \cdots ,{v_{{N_{\rm f}}}},{{{\varphi}} _1},{{{\varphi}} _2},\cdots,{\varphi _{{N_{\rm f}}}}]^{\rm T} = {[{\boldsymbol{v}},{\boldsymbol{\varphi}} ]^{\rm T}}$，${\boldsymbol{\varPhi}}$的对数似然函数$\mathcal{L}({\boldsymbol{\varPhi}} ;{\boldsymbol{y}}) = \ln p({\boldsymbol{y}}\left| {\boldsymbol{\varPhi}} \right.)$，对${\boldsymbol{\varPhi}}$进行最大似然估计

其中，${\boldsymbol{b}}$为BPSK调制符号，${\boldsymbol{b}} = [{b_1},{b_2}, \cdots ,{b_{{N_{\rm s}}}}]$。

首先推导$p({y_{m,k}}|{v_m},{\varphi _m},{b_k})$ ,${n_{m,k}}$是均值为0，方差为$\sigma _{\mathrm{n}}^2$的复高斯白噪声，由${n_{m,k}}{\text{～}}{\mathrm{CN}}(0,\sigma _{\mathrm{n}}^2)$得到

每个时帧之间的噪声独立同分布，则${{\boldsymbol{y}}_k}$的条件概率密度函数为

去掉与待估计参数${v_m}$,${\varphi _m}$无关的常数项，得到

其中，${b_k}$为独立同分布的离散随机变量，取值为±1，$P({b_k} = 1) = P({b_k} = - 1) = 1/2$，根据全概率公式求$p({{\boldsymbol{y}}_k}\left| {\boldsymbol{\varPhi}} \right.)$，得到

每个时隙的${N_{\rm s}}$个数据相互独立，则${N_{\rm f}}$帧全部数据矢量${\boldsymbol{y}}$的条件概率密度函数为

${\boldsymbol{\varPhi}} = {[{\boldsymbol{v}},{\boldsymbol{\varphi}} ]^{\rm T}}$的最大似然估计为

其中，$\mathcal{F}$为${N_{\rm f}}$帧跳时码和载波相位的取值范围。

由式(10)、式(11)可见，该最大似然参数估计问题可归结为一个多维非线性优化问题。跳时码与载波相位的随机性显著增加了参数估计的复杂度。跳时码的随机变化扩展了接收端在时间维度的搜索范围，而载波相位的不确定性进一步增加了参数估计的维度。在低信噪比条件下，多维参数估计面临极大的挑战，直接求解十分困难。传统网格遍历法搜索空间大且搜索次数多，存在复杂度较高的问题。为了应对上述挑战，本文提出了交叉熵迭代辅助的跳时图案估计与多跳相干合并方法。

3.   算法设计

交叉熵作为一种全局随机优化算法，被广泛应用于多维、大范围、非线性优化问题中。其基本原理是将优化问题转化为小概率事件的概率估计问题，即最优解的发生为小概率事件，采用自适应重要性采样策略，根据目标函数选择效果较好的样本用于更新概率分布，利用更新的概率分布产生新的样本，依次迭代使得最优解更容易发生。将交叉熵应用于低信噪比条件下的跳时图案与载波相位的多维估计问题，能够以低复杂度取得接近理论的误码率性能。

交叉熵迭代辅助的跳时图案估计与多跳相干合并技术，主要由以下关键模块构成：参数量化、参数补偿与多跳合并、信噪比估计，以及交叉熵迭代，如图2所示。参数量化模块用于对跳时码和载波相位进行二进制量化，生成参数搜索网格。在参数补偿与多跳合并模块中，根据跳时码选择对应时隙的数据，并对每跳信号的载波相位进行补偿，对补偿后的信号执行多跳相干合并。信噪比估计模块负责计算合并过程中信噪比的损失，这一损失值被用作交叉熵迭代模块的目标函数。在迭代过程中，系统将选择合并信噪比损失较小的参数组合，以此更新概率分布，从而使估计参数逐步逼近最优解。当迭代过程终止时，系统将根据最优参数组合完成跳时码和载波相位的最终补偿，从而实现多跳信号相干合并与解调。

图 2  交叉熵迭代辅助的跳时图案估计与相干合并算法框图

下载: 全尺寸图片 幻灯片

每帧信号的载波初相搜索范围为$[0,2\pi )$，通信双方约定${{\boldsymbol{c}}_m}$的搜索范围为$\{ 0,1, \cdots ,{N_{\mathrm{h}}} - 1\}$。对待估计的载波初相和跳时码分别进行${D_1}$和${D_2}$位的二进制量化，第$m$时帧中接收信号的载波初相和跳时码的搜索参数可分别表示为${{\boldsymbol{\varphi}} _m} = [{\varphi _{m,1}}, {\varphi _{m,2}}, \cdots , {\varphi _{m,{N_1}}}]$, ${{\boldsymbol{c}}_m} = [{c_{m,1}},{c_{m,2}}, \cdots ,{c_{m,{N_2}}}]$，其中${N_1} = {2^{{D_1}}}$, ${N_2} = {2^{{D_2}}}$。

令${\varphi _{m,d}}$表示第$m$帧的第$d$个载波初相估计值，则有

令${c_{m,u}}$表示第$m$帧的第$u$个跳时码估计值，则有

接收端根据跳时码选择对应时隙的数据，并补偿载波相位，将补偿后的多跳信号进行相干合并。${N_{\rm f}}$个时帧所选时隙的第$k$个数据合并后的信号可表示为

${\hat {{c}}_m}$和${\hat {{\varphi}} _m}$分别为跳时码和相位估计的估计值，若二者估计准确，即${{{c}}_m} - {\hat {{c}}_m} ={{\bf{0}}}$且${{{\varphi }}_m} - {\hat {{\varphi }}_m} ={{\bf{0}}}$，此时可得理论最佳相干合并信号

相干合并后信号的信噪比为${N_{\rm f}}{A^2}/\sigma _{\mathrm{n}}^2$，即在准确估计跳时码与载波相位的情况下，${N_{\rm f}}$个时帧信号相干合并获得的信噪比增益为$10\lg ({N_{\rm f}})$，由于实际的参数估计精度有限，实际获得的信噪比增益小于理论值，用${\hat \gamma _{{\mathrm{comb}}}}$表示实际合并信噪比的估计结果，${\gamma _1}$表示单跳信噪比，则合并信噪比损失表示为

本系统通过分别计算信号功率与噪声功率，得到信噪比估计结果，其计算公式为

其中，${\text{mean}}( \cdot )$表示取均值，${{\mathrm{var}}} ( \cdot )$表示取方差，“–3 dB”是因为此处仅取实部进行计算。

用${{\boldsymbol{q}}^i} = [{{\varphi}} _1^i,{{\varphi}} _2^i, \cdots ,{{\varphi}} _{{N_{\rm f}}}^i,{\boldsymbol{\hat c}}_1^i,{\boldsymbol{\hat c}}_2^i,\cdots,{\boldsymbol{\hat c}}_{{N_{\rm f}}}^i]$表示第$i$次迭代时由${N_{\rm f}}$个时帧的一组载波相位与跳时码估计值组成的向量。${{\boldsymbol{q}}^i}$的二进制量化形式表示为${{\boldsymbol{x}}^i} = [b_1^i,b_2^i,b_3^i,\cdots,b_{{N_{\rm f}}({D_1} + {D_2})}^i]$，其中${{x}}_j^i$表示第$j$位量化比特，${{x}}_j^i \in \{ 0,1\}$。由${{\boldsymbol{x}}^i}$映射得到${{\boldsymbol{q}}^i}$，迭代更新${{\boldsymbol{x}}^i}$中每个元素取0或1的概率，从而更新估计参数。结合式(12)、式(13)，由$d - 1 = (x_{{D_1}(m - 1) + 1}^i x_{{D_1}(m - 1) + 2}^i \cdots x_{{D_1}m}^i)_{\rm B}$, $u - 1 = (b_{{N_{\rm f}}{D_1} + {D_2}(m - 1) + 1}^ix_{{N_{\rm f}}{D_1} + {D_2}(m - 1) + 2}^i \cdots x_{{N_{\rm f}}{D_1} + {D_2}m}^i)_{\rm B}$完成第$m$帧一组量化比特到估计值的映射，其中${( \cdot )_{\rm B}}$表示二进制数。

如算法1所示，令${\hat {\boldsymbol{p}}^i} = [\hat p_1^i,\hat p_2^i, \cdots ,\hat p_{{N_{\rm f}}({D_1} + {D_2})}^i]$表示第$i$次迭代的量化比特生成概率向量，$\hat p_j^i$表示第$i$次迭代生成${{\boldsymbol{x}}^i}$时第$j$ 个元素取1的概率。每次迭代时以概率${\hat {\boldsymbol{p}}^i}$生成${N_{\rm c}}$个量化向量作为候选组，根据每一量化向量映射得到的估计值，选择对应时隙的数据，并补偿载波相位，将多跳信号进行相干合并。对合并后的信号进行信噪比估计，计算得到${N_{\rm c}}$个合并信噪比损失估计值，将其从小到大排序，取合并信噪比损失最小的前${N_{\rm e}}$个量化向量作为优选组，将优选组向量表示为$[{\boldsymbol{x}}_1^i;{\boldsymbol{x}}_2^i;{\boldsymbol{x}}_3^i;\cdots;{\boldsymbol{x}}_{{N_{\rm e}}}^i]$，计算优选组中每一量化比特为1的概率，得到

表 1  交叉熵迭代辅助的跳时图案估计与相干合并算法

输入：载波初相和跳时码的量化候选组数${N_{\rm c}}$，优选组数${N_{\rm e}}$，平滑系数$\alpha$，最大迭代次数${I_{\max}}$，${N_{\rm f}}$帧数据，载波初相量化比特位数${D_1}$， 　跳时码量化比特位数${D_2}$；
初始化：${N_{\rm f}}$帧信号的载波初相和跳时码量化比特生成概率${\hat {\boldsymbol{p}}^1} = 0.5 \times {{{{\textit{1}}}}_{1 \times {N_{\rm f}}({D_1} + {D_2})}}$，${\hat {\boldsymbol{p}}^i}$元素为0或1的个数$M = 0$，迭代次数$i = 1$；
while $M \lt {N_{\rm f}}({D_1} + {D_2})$ && $1 \le i \le {I_{\max}}$ do
(1) 根据概率${\hat {\boldsymbol{p}}^i}$生成${N_{\rm c}}$组候选组参数向量；
(2) 根据每组参数向量对${N_{\rm f}}$帧数据分别进行时隙选择与载波初相补偿，并进行多跳信号的相干合并；
(3) 对每组参数向量得到的合并信号进行合并信噪比损失估计，将共${N_{\rm c}}$组估计结果按照从小到大排序；
(4) 取合并信噪比损失最小的前${N_{\rm e}}$组作为优选组，计算优选组量化比特为1的概率${{\boldsymbol{p}}^{i + 1}}$，更新概率向量${\hat {\boldsymbol{p}}^{i + 1}}$；
(5) 将合并信噪比损失最小的一组参数向量记为${\boldsymbol{q}}_{{\mathrm{tmp}}}^i$，其损失记为$\gamma _{{\mathrm{tmp}}}^i$；
if $i = = 1$ then
${{\boldsymbol{q}}_{{\mathrm{opt}}}} = {\boldsymbol{q}}_{{\mathrm{tmp}}}^i$; ${\gamma _{\min }} = \gamma _{{\mathrm{tmp}}}^i$;
else if $\gamma _{{\mathrm{tmp}}}^i \lt {\gamma _{\min }}$ then
${{\boldsymbol{q}}_{{\mathrm{opt}}}} = {\boldsymbol{q}}_{{\mathrm{tmp}}}^i$; ${\gamma _{\min }} = \gamma _{{\mathrm{tmp}}}^i$;
end if
(6) 更新${\hat {\boldsymbol{p}}^{i + 1}}$元素为0或1的个数$M$，$i = i + 1$；
end while
输出：${N_{\rm f}}$帧载波初相和跳时码的最优组合${{\boldsymbol{q}}_{{\mathrm{opt}}}}$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

对${{\boldsymbol{p}}^{i + 1}}$进行平滑处理，更新下一次迭代的量化比特生成概率

其中，$\alpha$为平滑系数，$\alpha \in (0,1]$，$\alpha$越大，算法收敛速度越快，取$\alpha = 1$，即${\hat {\boldsymbol{p}}^{i + 1}} = {{\boldsymbol{p}}^{i + 1}}$，可快速收敛。

当${\hat {\boldsymbol{p}}^i} = [\hat p_1^i,\hat p_2^i, \cdots ,\hat p_{{N_{\rm f}}({D_1} + {D_2})}^i]$中每个比特的生成概率均变为0或1，或者迭代次数达到设置的最大次数时，算法停止迭代。由于每次迭代生成参数向量具有随机性，迭代过程中可能出现比迭代停止时的参数向量更优的解，因此本文中设置全局最优向量组${{\boldsymbol{q}}_{{\mathrm{opt}}}}$。第$i$次迭代得到${N_{\rm c}}$个合并信噪比损失估计值，其中最小值为$\gamma _{{\mathrm{tmp}}}^i$，$\gamma _{{\mathrm{tmp}}}^i$对应的参数向量为${\boldsymbol{q}}_{{\mathrm{tmp}}}^i$，如果$\gamma _{{\mathrm{tmp}}}^i$小于当前记录的全局最小合并信噪比损失${\gamma _{\min }}$，则更新${{\boldsymbol{q}}_{{\mathrm{opt}}}} = {\boldsymbol{q}}_{{\mathrm{tmp}}}^i$,${\gamma _{\min }} = \gamma _{{\mathrm{tmp}}}^i$，否则全局最优向量组不变，迭代停止后输出全局最优向量组。

4.   仿真结果与分析

通过仿真对所提算法的性能进行评估，包括优选组数与候选组数的比例即${N_{\rm e}}/{N_{\rm c}}$对合并信噪比损失迭代收敛性能的影响，跳时码估计的正确率与载波相位估计的均方根误差，以及不同载波相位量化比特位数对解调误码率的影响。进一步地，对交叉熵算法与网格遍历法的性能进行对比，并仿真跳时码变化范围对搜索次数的影响，最后给出不同合并跳数下误码率随单跳信噪比的变化规律。

仿真的部分参数如表1所示。

表 1  仿真参数

参数名称	参数设置
调制方式	BPSK
信道类型	AWGN
跳数	2, 4, 8
每时帧的时隙数	4, 16, 32, 64
每跳的符号数	1 000

下载: 导出CSV 

| 显示表格

4.1   算法的收敛性能

在4.1～4.4节中设置${N_{\rm f}} = 8$, ${N_{\rm h}} = 4$, ${N_{\rm s}} = 1{\text{ }}000$，交叉熵算法的候选组数${N_{\rm c}} = 300$。本节改变${N_{\rm e}}/{N_{\rm c}}$，对合并信噪比损失与迭代次数之间的关系进行仿真，结果如图3所示。当${N_{\rm e}}/{N_{\rm c}}$较小时，算法收敛速度较快，但易陷入局部最优解；反之，随着${N_{\rm e}}/{N_{\rm c}}$的增大，收敛次数增加，但全局最优解的获取概率显著提升。具体而言，${N_{\rm e}}/{N_{\rm c}} = 0.01$时，算法在5次迭代内快速收敛，但合并信噪比损失较高，约为2.3 dB；而当${N_{\rm e}}/{N_{\rm c}}$提升至0.3时，尽管收敛过程需约25次迭代，但信噪比损失显著降低至约0.1 dB，体现了更优的全局性能。综合考虑算法复杂度与解的最优性，后续仿真中选取${N_{\rm e}}/{N_{\rm c}} = 0.2$。

图 3  ${N_{\rm e}}/{N_{\rm c}}$对合并信噪比损失收敛性能的影响

下载: 全尺寸图片 幻灯片

4.2   跳时码与载波相位估计误差

为评估所提算法的参数估计性能，对跳时码与载波相位估计误差进行仿真。仿真设置单跳信号的${E_{\mathrm{b}}}/{N_0}$范围为–6～1 dB，跳时码取值范围为离散整数集合，量化比特位数取决于${N_{\rm h}}$，即${D_2} = {\log _2} {N_{\rm h}} = 2$。跳时码估计正确率的仿真结果如图4所示。可见，在单跳${E_{\mathrm{b}}}/{N_0}$范围为–6～1 dB时，跳时码估计的正确率均超过98%。随着信噪比提高，正确率提高，当单跳${E_{\mathrm{b}}}/{N_0}$ >–2 dB时，正确率接近1。

图 4  跳时码的估计正确率

下载: 全尺寸图片 幻灯片

将载波相位在连续的$[0,2\pi )$范围内量化成离散搜索网格，搜索步进取决于量化比特位数${D_1}$，即搜索步进$\Delta \varphi = 2\pi /{2^{{D_1}}}$。仿真中设置实际的载波相位在搜索网格的中间位置，则估计误差至少为$2\pi /{2^{{D_1} + 1}}$。仿真量化位数为3～6时载波相位估计的均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE)，结果如图5所示。可见，随着信噪比提高，载波相位估计的RMSE下降。当相位量化位数为3时，RMSE接近$2\pi /{2^4}$ rad，此时受搜索步进影响较大；当量化位数增加到4时，RMSE降低到原来的0.6倍。随着量化比特位数继续增加，RMSE仿真结果与$2\pi /{2^{{D_1} + 1}}$差距增大，并且逐渐收敛于约0.19 rad。

图 5  载波相位估计RMSE

下载: 全尺寸图片 幻灯片

4.3   载波相位量化比特位数对解调误码率的影响

仿真不同相位量化比特位数下解调误码率的变化，结果如图6所示。可见，当相位量化位数从3提高到4时，解调信噪比损失降低约0.5 dB(${\text{@BER}} = 1 \times {10^{ - 5}}$)。其原因是增加量化比特位数，会使得相位估计误差减小，从而降低合并信噪比损失，改善误码率性能。当相位量化位数为5时，解调信噪比与理论性能相比损失约0.2 dB(${\text{@BER}} = 1 \times {10^{ - 5}}$)，当继续增加量化位数到6时，解调误码率性能基本不变。

图 6  不同相位量化位数的解调误码率

下载: 全尺寸图片 幻灯片

4.4   交叉熵与网格遍历法对比

网格遍历法的工作原理是在跳时码与载波相位的2维网格上进行逐点搜索。在理想情况下，这种方法能够对离散的跳时码进行精确估计，其性能损失来自于载波相位的网格搜索步进。类似于交叉熵算法中使用的量化位数，可以用量化比特位数${D_{\rm g}}$表示相位维度的网格数为${2^{{D_{\rm g}}}}$，搜索步进$\Delta \varphi = 2\pi /{2^{{D_{\rm g}}}}$。仿真中将实际载波相位设置在网格的中间位置，则网格遍历法在理想情况下存在$2\pi /{2^{{D_g + 1}}}$的相位估计误差。设交叉熵相位量化比特位数${D_1} = 5$，改变${D_{\rm g}}$，对比网格遍历法与交叉熵迭代辅助算法的解调误码率性能。

从图7可见，相比于所提算法相位量化位数为5时的解调误码率性能，网格遍历法相位量化位数为3 时，解调信噪比损失约0.5 dB(${\text{@BER}} = 1 \times {10^{ - 5}}$)，当量化位数为4时，与所提算法的误码率性能基本一致，继续增加量化位数到5时，解调信噪比有约0.1 dB的改善(${\text{@BER}} = 1 \times {10^{ - 5}}$)。对两种算法的网格搜索次数进行分析，跳时码量化比特位数均为${D_2} = 2$，在所提算法中，如图3所示，${N_{\rm e}}/{N_{\rm c}} = 0.2$时迭代约${I_{\max }} = 20$次后收敛，搜索次数为${N_{\rm c}}{I_{\max }} = 6\;000$；在网格遍历法中，总量化比特位数为${N_{\rm f}}({D_{\rm g}} + {D_2})$，搜索次数为${2^{{N_{\rm f}}({D_{\rm g}} + {D_2})}}$，相位量化位数为3时，搜索次数为2⁴⁰，远大于所提算法搜索次数，而且解调性能相比于所提算法有约0.5 dB的损失。随着相位量化位数增加，网格遍历法的搜索次数呈指数级增长。因此，相比于网格遍历法，所提算法能以较低的复杂度取得接近理论的解调误码率性能。

图 7  所提算法与网格遍历法的误码率对比

下载: 全尺寸图片 幻灯片

4.5   不同跳时码变化范围的搜索次数

改变跳时码变化范围，取${N_{\rm h}} = 16,32,64$，则跳时码变化范围分别为$\{ 0,1, \cdots ,15\}$, $\{ 0,1, \cdots ,31\}$, $\{ 0,1, \cdots ,63\}$，跳时码量化位数分别为4, 5, 6。设置${N_{\rm f}} = 8$, ${N_{\rm s}} = 1\;000$，在所提交叉熵算法中，固定载波相位量化位数为5，随着跳时码量化位数增加，需要增加候选组数${N_{\rm c}}$以提高算法的全局搜索能力，减小合并信噪比损失。固定优选组数与候选组数的比例${N_{\rm e}}/{N_{\rm c}} = 0.2$，改变候选组数${N_{\rm c}}$，仿真不同${N_{\rm h}}$下合并信噪比损失随${N_{\rm c}}$变化的曲线，如图8所示。随着${N_{\rm c}}$增加，每次搜索的跳时码组数增多，更容易获取最优解，但是搜索次数随之提高。

图 8  不同跳时码变化范围的合并信噪比损失

下载: 全尺寸图片 幻灯片

在${N_{\rm h}}$=16, 32, 64 条件下分别取${N_{\rm c}}$=600, 1 200, 2 100，根据仿真所得迭代次数计算所提算法的搜索次数，与遍历法的搜索次数进行对比，结果记录如表2所示。随着跳时码变化范围增大，跳时码量化位数提高，所提算法的候选组数与迭代次数增加，从而导致搜索次数增加，但是所提算法的搜索次数及其增长速度远低于遍历法。

表 2  不同跳时码变化范围的搜索次数

跳时码量化位数	4	5	6
候选组数	600	1200	2100
迭代次数	30	38	51
所提算法搜索次数(相位5 bit量化)	18 000	45 600	107 100
遍历法搜索次数(相位3 bit量化)	256	264	272
遍历法搜索次数(相位4 bit量化)	264	272	280
遍历法搜索次数(相位5 bit量化)	272	280	288

下载: 导出CSV 

| 显示表格

4.6   不同跳数合并的误码率性能

设置${N_{\rm h}} = 4$,${N_{\rm s}} = 1\;000$，取${N_{\rm f}} = 2,4,8$，仿真不同跳数合并的误码率性能，结果如图9所示，为了达到${\text{BER}} = 1 \times {10^{ - 5}}$，2跳合并所需单跳${E_{\mathrm{b}}}/{N_0}$约为6.6 dB。当跳数增加到4跳时，所需单跳${E_{\mathrm{b}}}/{N_0}$约为3.7 dB，继续增加跳数到8跳合并，所需单跳${E_{\mathrm{b}}}/{N_0}$降低到约0.7 dB。随着跳数增加，达到相同解调误码率所需单跳信噪比降低，跳数增加1倍，单跳信噪比降低3 dB。

图 9  不同跳数合并的误码率性能

下载: 全尺寸图片 幻灯片

5.   结论

本文面向卫星通信应用设计了一种跳时图案随机变化的跳时通信系统。为了改善信噪比，提出一种多跳信号相干合并技术。针对低信噪比条件下跳时图案和多跳信号载波相位多维参数估计难题，提出交叉熵迭代辅助的跳时图案与多跳载波相位联合估计算法。通过仿真验证了所提算法的有效性，分析了其在迭代收敛特性、参数估计误差以及合并误码率等方面的性能。研究结果表明，与常规的网格遍历法相比，所提算法在保持较低复杂度的同时，能够实现接近理论最优的误码率性能。