利用部分可信信号的导航终端欺骗干扰检测方法

王环宇; 林红磊; 欧钢; 唐小妹

doi:10.11999/JEIT240067

利用部分可信信号的导航终端欺骗干扰检测方法

doi: 10.11999/JEIT240067

国防科技大学电子科学学院卫星导航技术重点实验室长沙 410073

详细信息

作者简介:
王环宇：女，博士生，研究方向为卫星导航信号认证

林红磊：男，副研究员，研究方向为卫星导航系统与信号处理

欧钢：男，教授，研究方向为卫星导航定位、综合导航定位授时

唐小妹：女，研究员，研究方向为导航信号体制设计、导航安全对抗等

通讯作者:
林红磊　linhonglei@nudt.edu.cn

中图分类号: TN967.1
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出版历程
- 收稿日期: 2024-01-29
- 修回日期: 2024-09-05
- 网络出版日期: 2024-09-09
- 刊出日期: 2024-10-30

The Spoofing Detection Method of Navigation Terminal Using Partial Authenticated Signals

Key Laboratory of Satellite Navigation Technology, College of Electronic Science and Technology, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China

摘要

摘要: 导航信号认证服务处于初步部署阶段，认证信号对地覆盖重数无法满足独立定位授时需求，现有研究对这一阶段利用部分通过认证的信号，即可信信号，实现欺骗检测的方法关注度较低。针对这一现状，该文根据欺骗攻击原理，提出以可信信号为基准，基于可信信号伪距残差的欺骗检测方法，建立该场景下的欺骗检测模型，并分析影响所提方法检测性能的因素。经过仿真，在可信卫星数目为3颗、用户定位精度约10 m条件下，当欺骗导致的定位偏差为100 m时，该方法的平均欺骗检测概率可达0.96。此外，该文对算法欺骗检测盲区进行了分析，证明所提算法对于绝大部分欺骗导致的定位结果均有效。
- 抗欺骗 /
- 导航认证信号 /
- 接收机自主完好性监测 /
- 伪距残差
Abstract: The navigation signal authentication service is in the initial stage. The coverage multiple numbers of the authentication signal to ground can not meet the requirement of independent positioning and timing. The existing research has paid little attention to the deception detection method based on partially trusted signals at this stage. Aiming at the status quo, according to the principle of spoofing attack, a spoofing detection method is proposed based on the pseudo-distance residual of the authentication signal, and the spoofing detection model is established in this scenario, and the factors that affect the detection performance of the proposed method are analyzed. After simulation, the average deception detection probability of the algorithm can reach 0.96 when the positioning deviation is 100 m, the positioning accuracy is about 10 m, and the number of trusted satellites is 3. In addition, the blind area of the algorithm is analyzed, and it is proved that the algorithm is effective for most of the deception positions.
- Anti-spoofing /
- Navigation authentication signal /
- Receiver Autonomous Integrity Monitoring (RAIM) /
- Pseudo-range residuals

HTML全文

1. 引言

线性码的重量分布是编码理论中的一个重要研究问题。近几年，线性码的重量分布，尤其是循环码的重量分布，被国内外的编码学者广泛关注与研究。Ding等人^[1]研究了不可约循环码的重量分布，利用不可约循环码构造了一些参数较好的线性码。基于指数和理论，文献[2,3]在有限域上某些可约循环码的重量分布研究中也取得了很大进展。

少重量线性码，如常重量线性码^[4]、2-重量线性码^[5]、3-重量线性码^[6]以及其他少重量线性码^[7,8]等，是重要的线性码类，可用于认证码^[9]、结合方案以及秘密共享方案的构造。Ding^[10]基于不可约循环码的重量分布构造了几类3-重量线性码。Schmidt等人^[11]基于离散傅里叶变换和高斯和理论得到了不可约循环码至多有两个重量的充要条件。Zhou等人^[12]构造了7类3-重量循环码并分析了由这些3-重量循环码得到的秘密共享方案的结构。

拟循环码是一类重要的线性码，它与卷积码和低密度校验码密切相关。指标为2的拟循环码也称为分块长度相等的双循环码。Borges等人^[13]给出了2元域上双循环码的显式生成元并确定了双循环码及其对偶码生成元之间的关系。Gao等人^[14,15]给出了4元双循环码的生成元以及与对偶码生成元之间的关系，并且证明了4元双循环码是渐进优的。Patanker等人^[16]利用高斯和确定了几类2元双循环码的重量分布。

本文主要利用有限域上指标为2的不可约拟循环码构造少重量的线性码。首先，基于有限域上的高斯周期，本文给出了几类指标为2的不可约拟循环码的重量分布；其次，基于不可约拟循环码的重量分布，本文构造了几类2-重量线性码和3-重量线性码，其中包括3类最优的2-重量线性码。

2. 基本知识

令 $p$ 是一个素数， $q = {p^m}$ ， $r = {q^t}$ ，其中 $m$ 和 $t$ 是正整数。令 ${F_q}$ 表示 $q$ 元有限域。 ${F_q}^l$ 的线性子空间称为有限域 ${F_q}$ 上码长为 $l$ 的线性码。 ${A_i}$ 表示线性码 $C$ 中Hamming重量为 $i$ 的码字个数。定义码长为 $l$ 的线性码 $C$ 的重量分布多项式为 $1 + {A_1}x + \cdots + {A_l}{x^l}$ 。

令 $l = {m_0} + {m_1}$ 。如果 $C$ 中的任意码字 $c = ({c_{1,0}},{c_{1,1}}, \cdots ,{c_{1,{m_0} - 1}}|{c_{2,0}},{c_{2,1}}, \cdots ,{c_{2,{m_1} - 1}})$ 经循环移位 $T$ 作用后有 $T(c) = ({c_{1,{m_0} - 1}},{c_{1,0}}, \cdots ,{c_{1,{m_0} - 2}}| {c_{2,{m_1} - 1}}, {c_{2,0}} ,\cdots$ , ${c_{2,{m_1} - 2}}) \in C$ 则称线性码 $C$ 是分块长度为 $({m_0},{m_1})$ 的双循环码。若 ${m_0} = {m_1}$ ，则称线性码 $C$ 是指标为2的拟循环码。

令 ${F_r} = {F_{{q^t}}}$ 表示 ${q^t}$ 元有限域且 $\zeta$ 为其本原元。设 $\theta \in {F_r}^* = {F_r}\backslash \{ 0\}$ ， ${\rm{ord}}\;(\theta ) = n$ ， $h(x)$ 是 ${\theta ^{ - 1}}$ 在 ${F_q}$ 上的极小多项式， $\deg (h(x)) = s$ ，则 ${{{F_q}[x]} \mathord{\left/ {\vphantom {{{F_q}[x]} {\left\langle {h(x)} \right\rangle }}} \right. } {\left\langle {h(x)} \right\rangle }} = {F_{{q^s}}}$ 是一个 ${q^s}$ 元有限域且 $\theta \in {F_{{q^s}}}^* = {F_{{q^s}}}\backslash \{ 0\}$ 。因为 $\deg (h(x)) = s$ ，所以 $s|t$ ， $({q^s} - 1)|({q^t} - 1)$ 。令 ${F_{{q^s}}}^* = \left\langle w \right\rangle$ ，其中 $w = {\zeta ^{\frac{{{q^t} - 1}}{{{q^s} - 1}}}}$ ，则 $w$ 为 ${F_{{q^s}}}$ 的本原元。

假设 $\theta = {w^N}$ ，其中 $nN = {q^s} - 1$ 。定义指标为2的不可约拟循环码为

$\begin{split} C =& \{ ({\rm{Tr}}(\alpha {\beta _0}),{\rm{Tr}}(\alpha {\beta _0}\theta ), \cdots ,{\rm{Tr}}(\alpha {\beta _0}{\theta ^{n - 1}}){\text{|}} \\ &{\rm{Tr}}(\alpha {\beta _1}),{\rm{Tr}}(\alpha {\beta _1}\theta ), \cdots ,{\rm{Tr}}(\alpha {\beta _1}{\theta ^{n - 1}}))|\alpha \in {F_{{q^s}}}\} \\ \end{split}$

(1)

其中， ${\beta _0},{\beta _1} \in {F_{{q^s}}}^*\backslash \left\langle \theta \right\rangle$ ， ${\rm{Tr}}( \cdot )$ 表示从 ${F_{{q^s}}}$ 到 ${F_q}$ 的迹映射。此外， $C$ 在 ${F_q}$ 上的校验多项式为 ${\theta ^{ - 1}}$ 的极小多项式 $h(x)$ 且维数为 $\dim (C) = s$ 。

设 ${{\rm{Tr}}_{{q \mathord{\left/ {\vphantom {q p}} \right. } p}}}$ 表示从 ${F_q}$ 到 ${F_p}$ 的迹映射， $\chi$ 是从 ${F_q}$ 到模长为1的复数组成的乘法群的映射，对任意的 $x,y \in {F_q}$ 有 $\chi (x + y) = \chi (x)\chi (y)$ 。设 $b \in {F_q}$ ，定义

${\chi }_{b}(c)={{\rm{e}}}^{2\pi \sqrt{-1}{{\rm{Tr}}}_{q/p}(bc)/p},\forall c \in {F}_{q}$

(2)

为 ${F_q}$ 上的加法特征。如果 $b = 0$ ，则 ${\chi _0}(c) = 1$ ， ${\chi _0}$ 称为 ${F_q}$ 上的平凡加法特征；如果 $b = 1$ ，则 ${\chi _1}$ 称为 ${F_q}$ 上的标准加法特征。

定义 ${C}_{i}{}^{(N,{q}^{s})}={w}^{i}\langle {w}^{N}\rangle ，i=0,1,\cdots ,N$ ，其中 $\left\langle {{w^N}} \right\rangle$ 表示 ${F_{{q^s}}}^*$ 的一个子群，陪集 ${C_i}^{(N,{q^s})}$ 称为 ${F_{{q^s}}}$ 的阶为 $N$ 的分圆类。根据加法特征和分圆类，定义 ${F_{{q^s}}}$ 上的高斯周期为

${\eta }_{i}{}^{(N,{q}^{s})}={\displaystyle \sum _{x\in {C}_{i}{}^{(N,{q}^{s})}}\chi (x)},\;\;i=0,1,\cdots ,N$

其中， $\chi$ 是 ${F_{{q^s}}}$ 上的标准加法特征。一般情况下，高斯周期的值很难计算，但是可以通过高斯多项式 ${\psi _{(N,{q^s})}}(X)$ ^[17]得到一些特殊的值，其中高斯多项式定义为

${\psi _{(N,{q^s})}}(X) = \prod\limits_{i = 0}^{N - 1} {(X - {\eta _i}^{(N,{q^s})})}$

引理1^[1]　当 $N = 2$ 时，高斯周期的值为

${\eta _0}^{(2,{q^s})} = \left\{ \begin{aligned} & \frac{{ - 1 + {{( - 1)}^{s \cdot m - 1}}{q^{\frac{s}{2}}}}}{2},\;\qquad\qquad p \equiv 1({\rm {mod}} 4) \\ & \frac{{ - 1 + {{( - 1)}^{s \cdot m - 1}}{{(\sqrt { - 1} )}^{sm}}{q^{\frac{s}{2}}}}}{2},\;p \equiv 3({\rm {mod}} 4) \\ \end{aligned} \right.$

和 ${\eta _1}^{(2,{q^s})} = - 1 - {\eta _0}^{(2,{q^s})}$ 。

引理2^[1]　当 $N = 3$ 时，高斯多项式 ${\psi _{(3,{q^s})}}(X)$ 的分解如下：

(1)如果 $p \equiv 2({\rm {mod}} 3)$ ，则 $s \cdot m$ 为偶数并且

${\psi }_{(3,{q}^{s})}(X)=\left\{\begin{aligned} & {3}^{-3}(3X+1+2{q}^{\frac{s}{2}})(3X+1-q^{\frac{s}{2}})^{2}， \\ &\qquad\qquad \frac{sm}{2}为偶数\\ & {3}^{-3}(3X+1-2{q}^{\frac{s}{2}})(3X+1+q^{\frac{s}{2}})^{2}， \\ &\qquad\qquad \frac{sm}{2}为奇数 \end{aligned}\right.$

(2)如果 $p \equiv 1({\rm {mod}} 3),s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 3)$ ，则

$\begin{split} {\psi _{(3,{q^s})}}(X) =& \frac{1}{{27}}(3X + 1 - {c_1}{q^{\frac{s}{3}}})\\ & \cdot\left(3X + 1 + \frac{1}{2}({c_1} + 9{d_1}){q^{\frac{s}{3}}}\right) \\ & \cdot \left(3X + 1 + \frac{1}{2}({c_1} - 9{d_1}){q^{\frac{s}{3}}}\right) \\ \end{split}$

其中， ${c_1}$ 和 ${d_1}$ 满足 $4{q^{\frac{s}{3}}} = c_1^2 + 27d_1^2,{c_1} \equiv 1({\rm {mod}} 3), \gcd ({c_1},p) = 1$ 。

引理3^[1]　当 $N = 4$ 时，高斯多项式 ${\psi _{(4,{q^s})}}(X)$ 的分解如下：

(1)如果 $p \equiv 3({\rm {mod}} 4)$ ，则 $s \cdot m$ 为偶数并且

${\psi }_{(3,{q}^{s})}(X)=\left\{\begin{aligned} & {4}^{-4}(4X+1+3{q}^{\frac{s}{2}})(4X+1-q^{\frac{s}{2}})^3，\\ & \qquad\qquad\frac{sm}{2}为偶数\\ & {4}^{-4}(4X+1-3{q}^{\frac{s}{2}})(4X+1+q^{\frac{s}{2}})^3，\\ & \qquad\qquad\frac{sm}{2}为奇数 \end{aligned}\right.$

(2)如果 $p \equiv 1({\rm {mod}} 4),s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$ ，则

$\begin{split} {\psi _{(3,{q^s})}}(X) =& {4^{ - 4}}((4X + 1) + {q^{\frac{s}{2}}} + 2{u_1}{q^{\frac{s}{4}}})\\ & \cdot{((4X + 1) + {q^{\frac{s}{2}}} - 2{u_1}{q^{\frac{s}{4}}})^3} \\ & \times {4^{ - 4}}((4X + 1) - {q^{\frac{s}{2}}} + 4{v_1}{q^{\frac{s}{4}}})\\ & \cdot((4X + 1) - {q^{\frac{s}{2}}} - 4{v_1}{q^{\frac{s}{4}}}) \end{split}$

其中， ${u_1},{v_1}$ 满足 ${q^{\frac{s}{2}}} = u_1^2 + 4v_1^2,{u_1} \equiv 1\left( {{\rm {mod}} 4} \right), \gcd \left( {{u_1},p} \right) = 1$ 。

为了确定指标为2的不可约拟循环码的重量分布，本文还需要以下引理。

引理 4^[1]　设 ${e_1}$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因数并且 $0 \le i \le {e_1}$ ，则

$\begin{array}{l}\{xy:y\in {F}_{q}{}^{*},x\in {C}_{i}{}^{({e}_{1},{q}^{s})}\}\\ \begin{array}{ccc}& & =\frac{q-1}{{e}_{1}}\end{array}\mathrm{gcd}(\frac{{q}^{s}-1}{q-1},{e}_{1})\cdot{C}_{i}{}^{(\mathrm{gcd}(\frac{{q}^{s}-1)}{q-1},{e}_{1}),{q}^{s})}，\end{array}$

其中 $\dfrac{{q - 1}}{{{e_1}}}\gcd \left(\frac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},{e_1}\right) \cdot C_i^{(\gcd (\frac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},{e_1}),{q^s})}$ 表示 $C_i^{(\gcd (\frac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},{e_1}),{q^s})}$ 中的任意元素在集合 ${\text{\{ }}xy:y \in F_q^*, x \in C_i^{({e_1},{q^s})}{\text{\} }}$ 中出现的次数均为 $\dfrac{{q - 1}}{{{e_1}}}\gcd \left(\frac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},{e_1}\right)$ 。

3. 几类指标为2的不可约拟循环码的重量分布

设 $N＞1$ 是一个正整数且满足 $n = \dfrac{{{q^s} - 1}}{N}, {N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right)$ 。令 $\theta = {w^N}$ ，其中 $w$ 为 ${F_{{q^s}}}$ 的本原元。 $Z({q^s},{\beta _0})$ 和 $Z({q^s},{\beta _1})$ 分别为使等式 ${\rm{Tr}}(\alpha {\beta _0}{\theta ^i}) = 0$ 和 ${\rm{Tr}}(\alpha {\beta _1}{\theta ^j}) = 0$ 成立的 $i,j$ 的个数。对于 $C$ 中任意的码字 $c$ ，如果 $\alpha \ne 0$ ，则它的Hamming重量为 ${W}_{H}(c)=2n-Z({q}^{s},{\beta }_{0})-Z({q}^{s},{\beta }_{1})$ ，其中

$\begin{array}{l}Z({q}^{s},{\beta }_{0})=\left|\{0\le i\le n-1:{\rm{Tr}}(\alpha {\beta }_{0}{\theta }^{i})=0\}\right|，\\ \\ Z({q}^{s},{\beta }_{1})=\left|\{0\le j\le n-1:{\rm{Tr}}(\alpha {\beta }_{1}{\theta }^{j})=0\}\right|\end{array}$

令 $\chi '$ 为 ${F_q}$ 上的加法特征，由引理4有

$\begin{split} & Z({q}^{s},{\beta }_{0})=\frac{n}{q}+\frac{(q-1){N}_{1}}{Nq}\cdot {\eta }_{k}{}^{({N}_{1},{q}^{s})}，\\ & Z({q}^{s},{\beta }_{1})=\frac{n}{q}+\frac{(q-1){N}_{1}}{Nq}\cdot {\eta }_{l}{}^{({N}_{1},{q}^{s})} \end{split}$

其中， $k,l = 0,1, \cdots ,{N_1} - 1$ 。

下面给出当 ${\beta _0},{\beta _1} \in F_{{q^s}}^*\backslash \langle \theta \rangle ,{N_1} = 2,3,4$ 时，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码的重量分布。显然， ${C_0}^{({N_1},{q^s})}\backslash {C_0}^{(N,{q^s})},{C_1}^{({N_1},{q^s})}, \cdots ,C_{{N_1} - 1}^{({N_1},{q^s})}$ 构成了 $F_{{q^s}}^*\backslash \langle \theta \rangle$ 的一个划分。定义 $S$ 为 $F_{{q^s}}^*\backslash \langle \theta \rangle$ 中的一个分圆类。

定理1　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因数且使得 ${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 2$ ，则

情形(1)如果 ${\beta _0},{\beta _1}$ 在相同的分圆类 $S$ 中，则由式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表1所示。

表 1 情形(1)：不可约拟循环码的重量分布

重量( $i$ )	频数( ${A_i}$ )
0	1
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 2\eta _0^{(2,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 2\eta _1^{(2,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$

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情形(2)如果 ${\beta _0},{\beta _1}$ 在不同的分圆类 $S$ 中，则由式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表2所示。

表 2 情形(2)：不可约拟循环码的重量分布

重量( $i$ )	频数( ${A_i}$ )
0	1
$\dfrac{2}{N}(q - 1){q^{s - 1}}$	${q^s} - 1$

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证明　对于情形(1)本文只给出当 ${\beta _0},{\beta _1} \in C_0^{(2,{q^s})}\backslash C_0^{(N,{q^s})}$ 时的证明过程。

当 $\alpha \in C_0^{(2,{q^s})}$ 时，因为 ${\beta _0},{\beta _1} \in C_0^{(2,{q^s})}\backslash C_0^{(N,{q^s})}$ ，所以 $\alpha {\beta _0},\alpha {\beta _1} \in C_0^{(2,{q^s})}$ 。此时，对于 $c\in C$ ，有 ${W}_{H}(c)= 2n-2\left(\dfrac{n}{q}+\dfrac{2(q-1)}{Nq}\cdot {\eta }_{0}^{(2,{q}^{s})}\right)$ ，出现的频数为 $\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$ 。同理，当 $\alpha \in C_1^{(2,{q^s})}$ 时，对于 $c\in C$ ，有 ${W}_{H}(c)=2n-2\left(\dfrac{n}{q}+\dfrac{2(q-1)}{Nq}\cdot {\eta }_{1}^{(2,{q}^{s})}\right)$ ，出现的频数为 $\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$ 。因此，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码的重量分布如表1所示。

对于情形(2)，可采用相同的讨论方法。证毕

推论1　如果 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理1中的情形(1)，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一个参数为 $\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$ 的2-重量线性码，其重量分布为 $1 + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2} {x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}}$ 。

证明　如果 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理1中的情形(1)，则由引理1可知，当 $p \equiv 1({\rm {mod}} 4)$ 时， $\eta _0^{(2,{q^s})} = - \dfrac{{{q^{\frac{s}{2}}} + 1}}{2},\eta _1^{(2,{q^s})} = \dfrac{{{q^{\frac{s}{2}}} - 1}}{2}$ ；当 $p \equiv 3({\rm {mod}} 4)$ 时， $\eta _0^{(2,{q^s})} = \dfrac{{{q^{\frac{s}{2}}} - 1}}{2},\eta _1^{(2,{q^s})} = - \dfrac{{{q^{\frac{s}{2}}} + 1}}{2}$ 。将 $\eta _0^{(2,{q^s})}, \eta _1^{(2,{q^s})}$ 的值分别代入表1中，可得到式(1)中定义的指标为2的不可约拟循环码是一个参数为 $\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s, \dfrac{2(q-1)({q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$ 的2-重量线性码，其重量分布为 $1 + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2} {x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}}$ 。证毕

类似于定理1，当 ${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3$ 时，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码的重量分布由以下定理给出。

定理2　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因数且使得 ${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3$ ，则

情形(3) 如果 ${\beta _0},{\beta _1}$ 在相同的分圆类 $S$ 中，则式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表3所示。

表 3 情形(3)：不可约拟循环码的重量分布

重量( $i$ )	频数( ${A_i}$ )
0	1
$\dfrac{2}{ {Nq} }(q - 1)({q^s} - 1 - 3\eta _0^{(3,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 3\eta _1^{(3,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 3\eta _2^{(3,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$

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情形(4) 如果 ${\beta _0},{\beta _1}$ 在不同的分圆类 $S$ 中，则式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表4所示。

表 4 情形(4)：不可约拟循环码的重量分布

重量( $i$ )	频数( ${A_i}$ )
0	1
$\dfrac{1}{{Nq}}(q - 1)[2({q^s} - 1) - 3(\eta _0^{(3,{q^s})} + \eta _1^{(3,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$
$\dfrac{1}{{Nq}}(q - 1)[2({q^s} - 1) - 3(\eta _1^{(3,{q^s})} + \eta _2^{(3,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$
$\dfrac{1}{{Nq}}(q - 1)[2({q^s} - 1) - 3(\eta _2^{(3,{q^s})} + \eta _0^{(3,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{3}$

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推论2　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因子， ${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3,p \equiv 2({\rm {mod}} 3)$ 。若 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理2中情形(3)且 $s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$ ，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为 $\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$ 的2-重量线性码，其重量分布为

$1 + \frac{{2({q^s} - 1)}}{3}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \frac{{{q^s} - 1}}{3}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + 2{q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} 。$

若 $s \cdot m \equiv 2({\rm {mod}} 4)$ ，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为 $\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-2{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$ 的2-重量线性码，其重量分布为

$1 + \frac{{{q^s} - 1}}{3}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - 2{q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \frac{{2({q^s} - 1)}}{3}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}}。$

证明：　当 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理2中情形(3)时，如果 $s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$ ，此时 $\dfrac{{s \cdot m}}{2}$ 为偶数，由引理2可得 $\eta _0^{(3,{q^s})} = - \dfrac{{1 + 2{q^{\frac{s}{2}}}}}{3},\eta _1^{(3,{q^s})} = \eta _1^{(3,{q^s})} = - \dfrac{{1 - 2{q^{\frac{s}{2}}}}}{3}$ ，将其代入表3，可得到推论2中的第1种结果；如果 $s \cdot m \equiv 2({\rm {mod}} 4)$ ，此时 $\dfrac{{s \cdot m}}{2}$ 为奇数，则由引理2可得 $\eta _0^{(3,{q^s})} = - \dfrac{{1 - 2{q^{\frac{s}{2}}}}}{3},\eta _1^{(3,{q^s})} = \eta _1^{(3,{q^s})} = - \dfrac{{1 + 2{q^{\frac{s}{2}}}}}{3}$ ，将其代入表3，可得到推论2中的另一种结果。证毕

类似于推论2的证明方法，可得到以下3个结论。

推论3　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因子， ${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3,p \equiv 2({\text{mod}}3)$ 。若 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理2中的情形(4)且 $s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$ ，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为 $\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$ 的2-重量线性码，其重量分布为

$1 + \frac{{2({q^s} - 1)}}{3}{x^{\frac{{(q - 1)(2{q^s} + {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \frac{{{q^s} - 1}}{3}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} 。$

若 $s \cdot m \equiv 2({\rm {mod}} 4)$ ，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为 $\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{(q-1)(2{q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$ 的2-重量线性码，其重量分布为

$1 + \frac{{2({q^s} - 1)}}{3}{x^{\frac{{(q - 1)(2{q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \frac{{2({q^s} - 1)}}{3}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} 。$

推论4　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因子， ${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3,p \equiv 1({\rm {mod}} 3)$ 。若 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理2中的情形(3)且 $s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 3)$ ，则式(1)定义的不可约拟循环码是一个参数为 $\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s\right]$ 的3-重量线性码，其重量分布为

$\begin{split} & 1 + \frac{{{q^s} - 1}}{3}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - {c_1}{q^{\frac{s}{3}}})}}{{Nq}}}} + \frac{{{q^s} - 1}}{3}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + \frac{1}{2}({c_1} + 9{d_1}){q^{\frac{s}{3}}})}}{{Nq}}}} \\ & \quad+ \frac{{{q^s} - 1}}{3}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + \frac{1}{2}({c_1} - 9{d_1}){q^{\frac{s}{3}}})}}{{Nq}}}} 。 \end{split}$

推论5　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因子， ${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 3,p \equiv 1({\rm {mod}} 3)$ 。若 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理2中的情形(4)且 $s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 3)$ ，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为 $\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s\right]$ 的3-重量线性码，其重量分布为

$\begin{split} 1 & + \frac{{{q^s} - 1}}{3}{x^{\frac{{(q - 1)(2{q^s} + \frac{1}{2}(9{d_1} - {c_1}){q^{\frac{s}{3}}})}}{{Nq}}}} \\ & + \frac{{{q^s} - 1}}{3}{x^{\frac{{(q - 1)(2{q^s} - \frac{1}{2}({c_1} + 9{d_1}){q^{\frac{s}{3}}})}}{{Nq}}}} \\ & + \frac{{{q^s} - 1}}{3}{x^{\frac{{(q - 1)(2{q^s} + {c_1}{q^{\frac{s}{3}}})}}{{Nq}}}} 。 \end{split}$

类似定理1，当 ${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 4$ 时，式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布由以下定理给出。

定理3　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因数使得 ${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 4$ ，则

情形(5)如果 ${\beta _0},{\beta _1}$ 在相同的分圆类 $S$ 中，则式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表5所示。

表 5 情形(5)：不可约拟循环码的重量分布

重量( $i$ )	频数( ${A_i}$ )
0	1
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 4\eta _0^{(4,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 4\eta _1^{(4,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 4\eta _2^{(4,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)({q^s} - 1 - 4\eta _3^{(4,{q^s})})$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$

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情形(6)如果下列条件之一成立，则式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表6所示。

表 6 情形(6)：不可约拟循环码的重量分布

重量( $i$ )	频数( ${A_i}$ )
0	1
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _0^{(4,{q^s})} + \eta _1^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _1^{(4,{q^s})} + \eta _2^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _2^{(4,{q^s})} + \eta _3^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _3^{(4,{q^s})} + \eta _0^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{4}$

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(a) ${\beta _0},{\beta _1} \in \{ C_0^{(4,{q^s})}\backslash C_0^{(N,{q^s})},C_1^{(4,{q^s})}\}$ ；

(b) ${\beta _0},{\beta _1} \in \{ C_0^{(4,{q^s})}\backslash C_0^{(N,{q^s})},C_3^{(4,{q^s})}\}$ ；

(d) ${\beta _0},{\beta _1} \in \{ C_2^{(4,{q^s})},C_3^{(4,{q^s})}$ 。

情形(7) 如果下列条件之一成立，则式(1)定义的不可约拟循环码的重量分布如表7所示。

表 7 情形(7)：不可约拟循环码的重量分布

重量( $i$ )	频数( ${A_i}$ )
0	1
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _0^{(4,{q^s})} + \eta _2^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$
$\dfrac{2}{{Nq}}(q - 1)[({q^s} - 1) - 2(\eta _1^{(4,{q^s})} + \eta _3^{(4,{q^s})})]$	$\dfrac{{{q^s} - 1}}{2}$

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(e) ${\beta _0},{\beta _1} \in \{ C_0^{(4,{q^s})}\backslash C_0^{(N,{q^s})},C_2^{(4,{q^s})}\}$ ；

(f) ${\beta _0},{\beta _1} \in \{ C_1^{(4,{q^s})},C_3^{(4,{q^s})}\}$ 。

由引理3、推论2和定理3，可得到以下推论。

推论6　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因子， ${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 4,p \equiv 3({\rm {mod}} 4)$ 。若 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理3中的情形(5)且 $s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$ ，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为 $\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$ 的2-重量线性码，其重量分布为

$1 + \frac{{3({q^s} - 1)}}{4}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \frac{{{q^s} - 1}}{4}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + 3{q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}}。$

若 $s \cdot m \equiv 2({\rm {mod}} 4)$ ，则式(1)定义的不可约拟循环码是参数为 $\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s,\dfrac{2(q-1)({q}^{s}-3{q}^{\frac{s}{2}})}{Nq}\right]$ 的2-重量线性码，其重量分布为

$1 + \frac{{3({q^s} - 1)}}{4}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \frac{{{q^s} - 1}}{4}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - 3{q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} 。$

推论7　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因子， ${N}_{1}=\mathrm{gcd} \left(\dfrac{{q}^{s}-1}{q-1},N\right)=4，p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ 。如果 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理3中的情形(6)或情形(7)，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是参数为 $\left[\dfrac{{2\left( {{q^s} - 1} \right)}}{N},s,\dfrac{{2(q - 1)({q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}\right]$ 的2-重量线性码，其重量分布为 $1 + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}} + \dfrac{{{q^s} - 1}}{2}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + {q^{\frac{s}{2}}})}}{{Nq}}}}$ 。

推论8　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因子， ${N_1} = \gcd \left(\dfrac{{{q^s} - 1}}{{q - 1}},N\right) = 4,p \equiv 1({\rm {mod}} 4)$ 。若 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理3中的情形(7)且 $s \cdot m \equiv 0({\rm {mod}} 4)$ ，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是参数为 $\left[\dfrac{2({q}^{s}-1)}{N},s\right]$ 的2-重量线性码，其重量分布为

$\begin{split} & 1 + \frac{{{q^s} - 1}}{2}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} + ({u_1} + 2{v_1}){q^{\frac{s}{4}}})}}{{Nq}}}} \\ & \quad + \frac{{{q^s} - 1}}{2}{x^{\frac{{2(q - 1)({q^s} - ({u_1} + 2{v_1}){q^{\frac{s}{4}}})}}{{Nq}}}}。 \end{split}$

4. 最优码的构造

定理4　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因子， ${N_1} = 3, p \equiv 2({\rm {mod}} 3),s \cdot m \equiv 2({\rm {mod}} 4)$ 。若 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理2中的情形(4)，则有

(1)如果 $p = 2,s = 2,N = 3({2^m} - 1)$ ，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一类2-重量MDS码，其参数为 $\left[\dfrac{2}{3}({2^m} + 1),2,\dfrac{1}{3}({2^{m + 1}} - 1)\right]$ 。

(2)如果 $s = 2,2N = 3({p^m} - 1)$ ，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一类达到Griesmer界的最优码，其参数为 $\left[\dfrac{4}{3}({p^m} + 1),2,\dfrac{2}{3}(2{p^m} - 1)\right]$ 。

证明　将情形(1)中所给的条件代入推论4，可得式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一类2-重量线性码且其参数满足 $n = k + d - 1$ 。由引理5可得到一类2-重MDS码，其参数为 $\left[\dfrac{2}{3}({2^m} + 1), 2,\dfrac{1}{3}({2^{m + 1}} - 1)\right]$ 。

将情形(2)中所给的条件代入推论4，可得到式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一类2-重量线性码且参数满足 $n = \displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^{k - 1} {\left\lceil {\dfrac{d}{{{q^i}}}} \right\rceil }$ 。由引理6可得到一类达到Griesmer界的最优码，其参数为 $\left[\dfrac{4}{3}({p^m} + 1),2,\dfrac{2}{3}(2{p^m} - 1)\right]$ 。证毕

例1　令 $({N_1},p,m,s,N) = (3,2,3,2,21)$ 。由定理4，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是 ${F_8}$ 上参数为 $[6,2,5]$ 的2-重量MDS码，其重量分布为 $1 + 42{x^5} + 21{x^6}$ 。

例2　令 $({N_1},p,m,s,N) = (3,11,1,2,15)$ 。由定理4，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是 ${F_{11}}$ 上参数为 $[16,2,14]$ 的达到Griesmer界的2-重量最优码，其重量分布为 $1 + 80{x^{14}} + 40{x^{16}}$ 。

类似于定理4，可由以下定理得到另一类2-重量MDS码。

定理5　设 $N$ 是 ${q^s} - 1$ 的正因子， ${N_1} = 4, p \equiv 3({\rm {mod}} 4)$ 。若 ${\beta _0},{\beta _1}$ 满足定理3中的情形(6)或情形(7)， $s = 2,N = 4({p^m} - 1)$ ，则式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是一类2-重量MDS码，其参数为 $\left[\dfrac{1}{2}({p^m} + 1),2,\dfrac{1}{2}({p^m} - 1)\right]$ 。

例3　令 $({N_1},p,m,s,N) = (4,3,3,2,104)$ 。由定理5，式(1)定义的指标为2的不可约拟循环码是 ${F_{27}}$ 上参数为 $[14,2,13]$ 的2-重量MDS码，其重量分布为 $1 + 364{x^{13}} + 364{x^{14}}$ 。

5. 结论

本文研究了有限域上指标为2的不可约拟循环码的重量分布，构造了几类2-重量线性码和3-重量线性码。特别地，本文得到了3类最优的2-重量线性码。如何利用 ${Z_p}{Z_p}[v]$ -加性码^[18,19]的重量分布构造有限域上的最优码是一个有意义的研究问题。

图 1 不同可信卫星数目下时间欺骗导致的伪距拉偏距离与平均欺骗检测概率的关系曲线

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图 2 M=2时接收机钟差变化量对算法检测性能的影响曲线

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图 3 不同安全认证信号数目的检测性能

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图 4 观测时刻不同用户测距误差的标准差与不同可信卫星数目单点定位精度统计结果对比图

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图 5 不同卫星数目观测时刻检测统计量取值统计结果对比图

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图 6 伪距测量误差标准差与平均欺骗检测概率的关系

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图 7 欺骗导致的定位偏差r与平均欺骗检测概率之间的关系曲线

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$\Delta {d'^2}$ 与欺骗信号检测概率之间的曲线对比图(接收机位于北京，r=50 m, ${P_{{\text{fa}}}} = 0.01$ , ${\sigma _{{\text{URE}}}} = 5.9{\text{ m}}$ )

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图 9 算法检测盲区理论计算分布图

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表 1 只存在时间欺骗时，不同可信卫星数目下，算法可检测出的接收机钟差欺骗距离的理论值(s)

可信卫星数目M	1	2	3
算法可检测出的接收机钟差欺骗	$\ge 7.7 \times {10^{ - 8}}$	$\ge 5.9 \times {10^{ - 8}}$	$\ge 5.0 \times {10^{ - 8}}$

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表 2 仿真场景参数

参数	描述
仿真时段	2023年9月2日16:00-2023年9月3日16:00，观测时间间隔为10 min，观测历元共144个
北斗星座	本文采用北斗三号卫星星座，包括：24颗MEO卫星，Walker24/3/1星座，卫星轨道高度为21 528 km，轨道倾角为55°； 3颗GEO卫星，轨道高度为35 786 km，分别定位于东经80°, 110.5°, 140°；3颗IGSO卫星，轨道高度35 786 km，轨道倾角55°，相位间隔120°
低轨星座	卫星播发认证信号，为近极地星座，为Walker类型，共有60颗卫星，6个轨道面，相位因子为1，轨道高度为1 175 km，轨道倾角为86.5°
接收机位置	随机选择国内5个城市作为接收机所在位置(地心地固坐标)，包括：哈尔滨(–2661.32,3576.94,4546.01) km、北京(–2176.85,4387.47,4071.96) km、兰州(–1231,5014.65,3736.14) km、成都(–1334.67,5326.66,3234.39) km、海口(–2083.66,5620.29,2172.46) km
接收机天线	最低仰角为15°

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参考文献(16)

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施引文献

期刊类型引用(2)

1.	李艳俊，王琦，项勇，谢惠琴. 动态密码组件对合MDS矩阵的设计与实现. 微电子学与计算机. 2024(07): 37-45 . 百度学术
2.	李建佳，蔚保国，鲍亚川，杨梦焕，崔宋祚，田润泽，赵军. 一种适应复杂地下环境的导航增强型脉冲超宽带通导一体自组网体制设计研究. 电子与信息学报. 2023(11): 4179-4189 . 本站查看

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1. 引言
2. 基本知识
3. 几类指标为2的不可约拟循环码的重量分布
4. 最优码的构造
5. 结论

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留言板

利用部分可信信号的导航终端欺骗干扰检测方法

doi: 10.11999/JEIT240067

通讯作者:
林红磊　linhonglei@nudt.edu.cn

计量

The Spoofing Detection Method of Navigation Terminal Using Partial Authenticated Signals

1. 引言

2. 基本知识

3. 几类指标为2的不可约拟循环码的重量分布

4. 最优码的构造

5. 结论

期刊类型引用(2)

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目录

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2. 基本知识

3. 几类指标为2的不可约拟循环码的重量分布

4. 最优码的构造

5. 结论

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利用部分可信信号的导航终端欺骗干扰检测方法

doi: 10.11999/JEIT240067

通讯作者: 林红磊 linhonglei@nudt.edu.cn

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出版历程

The Spoofing Detection Method of Navigation Terminal Using Partial Authenticated Signals

1. 引言

2. 基本知识

3. 几类指标为2的不可约拟循环码的重量分布

4. 最优码的构造

5. 结论

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出版历程

目录

1. 引言

2. 基本知识

3. 几类指标为2的不可约拟循环码的重量分布

4. 最优码的构造

5. 结论

通讯作者:
林红磊　linhonglei@nudt.edu.cn