1.   引言

近年来，国际上恐怖主义活动增多，恐怖袭击事件频发，未来民航安检面临着越来越严峻的安全形势。而民航运输业主要的威胁来源是潜在危险人员随身携带的危险品\违禁品，因此引入高效智能可靠的人体安检设备就成了迫切的需求^[1,2]。现有的安检设备，例如金属探测器，难以应对非金属违禁物品的威胁，且需要人工复检，效率低，可靠性欠佳。X光安检仪尽管成像精度高，但用于旅客安检时会造成电离辐射伤害。鉴于上述传统人体安检技术存在各种弊端，毫米波人体安检技术已成为目前研究的热点。毫米波是指频率在30～300 GHz，波长在1～10 mm之间的电磁波，可穿透人体表层衣物以实现对隐匿物品探测，且不会造成黑体辐射，对人体无危害^[3,4]。但是由于毫米波波长较短，对于以半波长排布的均匀阵列天线来说，会导致收发天线数量上升，资源开销过大^[5]。而且在毫米波安检成像后处理时，传统3维重建算法在平衡重建精度与效率时存在局限性，使得传统均匀阵列天线结合3维重建算法在实际工程应用中受到阻碍。

对于近场天线阵列，为了提高近场能量的汇聚效果、获得更窄的波束宽度以及更低的副瓣电平，实现更好的近场阵列性能，需要有较大的自由度，但这会导致阵列孔径的增大。在阵元间距一定的情况下，往往通过设置更多的阵元数量来增大阵列孔径的大小，但是对于均匀直线阵列来说，阵元数量的增加会显著增加实际工程应用的成本与复杂度^[6]。为了克服以上缺点，对阵元非均匀排布的稀疏阵列的研究引起了广泛的关注。这种稀疏布置的方法可以有效减弱阵元间的互耦效应，同时降低天线馈电网络的设计难度和成本^[7]。为了实现阵列的稀疏性，文献[8]提出了一种基于子阵的聚焦阵天线，但该天线方向图具有较高的副瓣电平，且其设计基于经验，自由度不高，无法满足复杂的近场波束赋形的要求，并且其适用性会受到较大的限制。文献[9]采用遗传算法合成具有可控副瓣电平的稀疏阵列。但该方法效果不明显，且随机优化耗时长，存在局部收敛问题。文献[10]提出了一种基于序列凸优化的稀疏近场聚焦阵列，但易出现变量耦合而导致的求解难题与运算收敛速度慢的问题。现有的近场稀疏文献的研究存在求解难、耗时长、局部收敛的问题且主要集中研究均匀阵列的稀疏化方法，对于稀疏阵列的成像处理方面却鲜有研究。

近场3维重建算法按照重建处理域可以划分为频域与时域两大类，前者利用多普勒频率变化实现方位维度高分辨聚焦操作^[11]，而后者直接计算天线与网格点的斜距历程利用相干积累实现聚焦^[12]。频域的3维重建处理算法由于在近场环境条件下，统一的距离徙动校正函数在校正距离徙动过程出现因插值近似而导致的相位误差，使得最终3维重建目标聚焦质量下降。时域积分是处理距离徙动校正最好的方式^[13]，通过将脉冲压缩数据与成像空间分辨单元逐点相干积累，以保证重建高精度。时域成像方法在近场应用环境下优势明显，但时域积分的运算负担与阵列天线的阵元数量及所需重建区域的网格划分数量成正比关系。因此，难以平衡高精度与高效率的要求，无法满足实际人体安检的需求。

针对上述问题，本文提出一种强稀疏低副瓣的近场聚焦稀疏阵列设计方法，并通过改进3维时域成像算法进行回波成像处理。本方法在阵列稀疏化方面，通过建立近场聚焦稀疏阵列天线优化模型，运用分解调和思想，将约束优化问题分解为子问题1：焦点、峰值旁瓣的约束优化，子问题2：天线阵元最小化处理。在子问题1中，引入辅助变量，建立焦点位置、峰值旁瓣约束与辅助变量的等式代换关系，以便阵列权向量可以摆脱目标函数与复杂约束的耦合。在子问题2中，通过复数求导结合启发式近似方法对阵列激励进行优化选择，最后通过交替方向多乘子法^[14](Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)的框架交替分步求解辅助变量和权重向量以及拉格朗日参量，得到权向量的全局最优解。在成像处理方面，通过所设计稀疏阵列接收到的3维回波，在距离-高度维运用快速分解后向投影(Fast Factorized Back-Projection, FFBP)算法，将阵列分解为多个子孔径，然后通过线性插值递归融合相邻子图，完成距离-高度的2维聚焦。最后，应用后向投影(Back-Projection, BP)算法完成距离-方位维度的重建。实测数据实验表明，本文方法可以在保持孔径不变的基础上，控制聚焦的位置，阵元稀疏程度更高，获得的天线方向图的旁瓣更低，同时成像精度更高。仿真和实测数据验证了本文方法的有效性和优越性。

2.   成像几何模型及信号模型

圆柱体扫描是一种在高度向采用竖直线性阵列电扫描，方位向采用圆周机械扫描的扫描方式。这种扫描方式具有多角度观察能力，可以减少图像重建次数，提升系统扫描效率^[15]。图1即为基于圆柱体扫描的毫米波安检成像几何示意图，以原点O建立3维坐标系$(X,Y,Z)$，其中$X$轴为距离维，$Y$轴为方位维，$Z$轴为高度维，受检测人员站在圆柱中心。天线阵列为间距是$\Delta h$的均匀线阵，线阵以$Z$轴为轴心，以${R_0}$为半径绕着$Z$轴做轴心旋转，天线阵列在每个位置扫描完目标后，移动至下一个位置继续扫描直到结束，2维扫描形成一个圆柱扫描面。天线阵列位置与$X$轴的夹角定义为$\theta$，每次运动的角度间隔为$\Delta \theta$，天线俯仰波束宽度与线阵旋转范围决定了高度-方位两维分辨率大小。

图 1  圆柱体扫描毫米波安检成像几何示意图

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假设天线阵列以$\Delta \theta$进行扫描，发射信号采用线性调频信号，设某方位时刻第$n$个天线单元发射的信号为

其中，$t$, ${T_{\text{p}}}$, ${f_{\text{c}}}$分别代表快时间、脉宽以及载频，$\gamma$为线性调频率。假设第$n$个天线单元${M_n}$的位置为$({R_0}\cos \theta ,{R_0}\sin \theta ,n\Delta h)$，目标散射点${P_i}$的位置为$({x_i},{y_i},{z_i})$，则从天线单元${M_n}$到目标散射点${P_i}$的距离为

此时，天线单元${M_n}$接收到目标散射点${P_i}$回波可写为

其中，$\tau = 2R/{\text{c}}$，表示回波延迟。通常对于距离向的数据采用脉冲压缩方法处理，将式(3)下变频后沿距离维做傅里叶变换得

式(4)经频域匹配滤波后，由距离向傅里叶反变换得

其中，$B$为带宽，由式(5)可见，回波信号经脉冲压缩处理后，在距离时域表示为${\text{sinc}}$函数形式，说明回波在距离维度已完成距离压缩操作，完成距离维度的聚焦。

3.   稀疏阵列综合

稀疏阵列是在不明显改变阵列孔径的情况下减少一些阵元，可以用满阵几分之一的阵元构造一个高增益和低副瓣的方向性阵列，符合大型阵列设计中降低成本及软硬件复杂度的需求^[16]。现有的稀疏阵列综合算法主要分为3类。第1类是基于数值方法的快速稀疏化方法，例如矩阵束算法^[17]、迭代傅里叶算法^[18]。第2类是基于智能优化算法的稀疏阵列综合，例如遗传算法^[19]、粒子群算法^[20]等。这两类算法在随着阵列规模的增大，存在容易陷入局部最优解的问题。第3类是确定性的稀疏化方法^[21]，通常是基于解析公式，具有适应性强，求解精确的优点，本文将设计这种类型的方法对稀疏阵列进行优化。

3.1   近场聚焦阵列模型

在进行阵列稀疏化处理前，首先需要对均匀阵列的近场聚焦阵列模型进行建模，以该模型为依据进行阵列稀疏化处理。建立如图2所示的近场阵列模型，模型中将阵列天线的物理中心处阵元作为参考阵元，$O(0,0)$为参考原点坐标(假设阵元总数为奇数)。$K({x_k},{y_k})$为空间中任一散射点，${{\boldsymbol{r}}_k}$表示参考阵元$O$到散射点$K$的向量，${{\boldsymbol{d}}_{n,k}}$表示阵列中序号为$n$的阵元指向散射点$K$向量，则序号为$n$的阵元辐射场可以表示为

图 2  笛卡尔坐标系下近场线性阵列天线模型

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其中，$\lambda$为阵列天线工作波长，而${f_0}(\theta ,\psi )$中的$\theta$与$\psi$为阵列天线固有属性与模型本身无关，因此可以忽略。${w_n}$表示序号为$n$的天线阵元对应的激励权值。

此时，由式(6)可知，阵列天线在$K({x_k},{y_k})$点的导向矢量${\boldsymbol{D}}({x_k},{y_k})$可以表示为

因此，该阵列天线在目标散射点$K$处的增益表达式可以表示为

其中，${\boldsymbol{w}} = {[{w_1},{w_2}, \cdots ,{w_n}]^{\text{T}}}$，${\boldsymbol{w}}$中每一个元素的位置代表着天线阵元的位置，每一个元素的大小代表着天线阵元激励的幅度，在近场人员安检条件下，人体具有3维尺寸，因此需要将增益表达式$\varGamma ({{\boldsymbol{r}}_k})$中的${{\boldsymbol{r}}_k}$替换成需要观测区域的其他距离向量以完成所需观测区域内的波束图综合。

3.2   ADMM稀疏阵列优化

稀疏阵列优化问题的本质是最小化阵元数目问题，它可以转化为求解阵列激励非零值最少问题，这实际上是${\ell _0}$范数最小化的解。然而，${\ell _0}$范数最小化问题是NP难的，即使对于少量的未知数也需要大量的计算。在文献[22]中证明，在一定条件下，${\ell _0}$范数的解可以用${\ell _1}$范数优化近似求解，并且${\ell _p}$范数(0<$p$<1)比${\ell _1}$范数更接近${\ell _0}$范数，因此获得的解稀疏度更高^[23]。基于${\ell _p}$范数的优良稀疏性，引入阵列权向量的${\ell _p}$范数最小化作为稀疏阵列综合问题的目标函数来实现稀疏阵列优化设计

其中，${\boldsymbol{D}}(0,{y_k})$和${\boldsymbol{D}}({x_s},{y_k})$分别为峰值和旁瓣区域目标点的导向矢量，$s$为观测目标点数，${\rho _{{\text{sll}}}}$为旁瓣电平，${\boldsymbol{w}}$为$n$维阵列权重向量。式(9)可通过随机搜索求解，但结果容易陷入局部最优解，且收敛速度较慢。此外，由于${\boldsymbol{w}}$的所有约束互相影响，存在耦合，因此计算复杂度非常高。

本节通过利用ADMM框架下的方法来求解式(9)所示${\ell _p}$范数最小化问题，该方法首先将一个复杂约束问题分解为子问题1：焦点、峰值旁瓣的约束优化，子问题2：天线阵元最小化处理，以求得全局最优解。这种形式的分解协调过程允许并行或分步式处理，并且它在参数更新过程中具有较好的收敛性。为了消除耦合并简化计算，本文引入了辅助变量

由式(10)可知，辅助变量${q_0}$,${g_s}$的引入建立了聚焦位置以及旁瓣约束与辅助变量间的等价代换模型，为了进一步求解，将式(10)代入式(9)得

由式(11)可知，辅助变量${q_0}$和${g_s}$的引入使约束函数$|{{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{H}}} \cdot {\boldsymbol{D}}(0,{y_k})|$以及$|{{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{H}}} \cdot {\boldsymbol{D}}({x_s},{y_k})|$分别分解为两项独立的约束，使其变得易解。为了继续求解，由式(11)构造增广拉格朗日函数为

其中，$\rho$是自定义的步长设置，拉格朗日参数$\gamma _0^{\mathrm{r}}$, $\gamma _0^{\mathrm{i}}$, $\varsigma _s^{\mathrm{r}}$, $\varsigma _s^{\mathrm{i}}$分别对应约束条件$\Re ({q_0}) - \Re \left[ {{{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{H}}} \cdot {\boldsymbol{D}}(0,{y_k})} \right]$, $\Im ({q_0}) - \Im \left[ {{{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{H}}} \cdot {\boldsymbol{D}}(0,{y_k})} \right]$, $\Re ({g_s}) - \Re \left[ {{{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{H}}} \cdot {\boldsymbol{D}}({x_s},{y_k})} \right]$, $\Im ({g_s}) - \Im \left[ {{{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{H}}} \cdot {\boldsymbol{D}}({x_s},{y_k})} \right]$。基于ADMM，本文将式(12)构造的增广拉格朗日函数，每一步通过固定辅助变量、权值向量、拉格朗日参数向量的其中两项，去更新第3个变量的值，使用迭代步骤分步求解辅助变量、阵列权重向量以及拉格朗日参数向量。

步骤1　求解子问题1：焦点、峰值旁瓣的约束优化。更新${q_0}(i + 1)$, ${g_s}(i + 1)$，在${\boldsymbol{w}}(i)$, ${{\boldsymbol{\gamma}} ^{\mathrm{r}}}(i)$, ${{\boldsymbol{\gamma}} ^{\mathrm{i}}}(i)$, ${{\boldsymbol{\varsigma}} ^{\mathrm{r}}}(i)$, ${{\boldsymbol{\varsigma}} ^{\mathrm{i}}}(i)$已知的情况下通过以下优化问题，优先求得辅助变量值。将${\boldsymbol{w}}(i)$, ${{\boldsymbol{\gamma}} ^{\mathrm{r}}}(i)$, ${\boldsymbol{{\gamma}} ^{\mathrm{i}}}(i)$, ${{\boldsymbol{\varsigma }}^{\mathrm{r}}}(i)$, ${{\boldsymbol{\varsigma}} ^{\mathrm{i}}}(i)$代入式(12)并忽略其中与${q_0}$以及${g_s}$不相关项和常数项，对其化简并配平方，可得

其中

对于$s = 1,2, \cdots ,S$，定义${x_0} = x_0^{\mathrm{r}} + {\mathrm{j}}x_0^{\mathrm{i}}$, ${y_s} = y_s^{\mathrm{r}} + {\mathrm{j}}y_s^{\mathrm{i}}$，则式(13)可继续化简为

此问题已经变为简单的求定义域内函数最小值，其解为

由式(16)即可得旁瓣电平以及确定稀疏天线阵列聚焦点的位置，${q_0}$以及${g_s}$的求解过程是通过数学上等效代换的思想，对增广拉格朗日函数进行化简，等效为定义圆内的最小值问题来进行求解。

步骤2　求解子问题2：天线阵元最小化处理。用求得的${q_0}(i + 1)$, ${g_s}(i + 1)$和给定的${{\boldsymbol{\gamma}} ^{\mathrm{r}}}(i)$, ${{\boldsymbol{\gamma}} ^{\mathrm{i}}}(i)$, ${{\boldsymbol{\varsigma}} ^{\mathrm{r}}}(i)$, ${{\boldsymbol{\varsigma}} ^{\mathrm{i}}}(i)$代入式(12)，忽略与${\boldsymbol{w}}$无关的项并化简，通过求解下述优化问题来更新${\boldsymbol{w}}(i + 1)$

其中，${\boldsymbol{d}} = [{d_0},{\tau _1}, \cdots, {\tau _S}]$，导向矢量${\boldsymbol{D}} = [D(0,{y_k}), D({x_1},{y_k}), \cdots ,D({x_S},{y_k})]$，且

将式(17)所示目标函数展开得

为了得到阵列权向量${\boldsymbol{w}}$的表达式，在式(19)中对${\boldsymbol{w}}$进行求偏导数，可得

其中，${\boldsymbol{P}} = {\text{diag}}(p)$, ${\boldsymbol{p}} = [{p_1},{p_2}, \cdots ,{p_n}]$, ${p_i} = |{{\boldsymbol{w}}_i}{|^{2 - p}}$，令式(20)偏导数为0，则可得非线性方程

由于已知${{\boldsymbol{w}}^{(k)}}(i)$，则通过式(21)可以计算出下次迭代中的阵列加权向量

其中，${{\boldsymbol{w}}^{(k + 1)}}(i + 1)$以及${{\boldsymbol{P}}^{(k)}}$分别表示式(22)循环第$k$次后阵列激励的值和上一次循环${\boldsymbol{P}}$的值，而${\boldsymbol{P}}$与${{\boldsymbol{w}}^{(k)}}(i)$有关。根据上一次的初值${{\boldsymbol{w}}^{(k)}}(i)$不断迭代，可以获得${{\boldsymbol{w}}^{(k + 1)}}(i + 1)$，直到设置的迭代次数。${\boldsymbol{w}}$主要是通过复数求导结合启发式优化的方法进行求解，该方法通过复数求导的方法来得出式(17)所示优化问题阵列激励的显式解，但该解并不一定是最优解，在步骤2求解中需要通过式(22)对阵列激励${\boldsymbol{w}}$进行迭代近似，在每次迭代中求解出用于下次迭代的阵列激励的显式解，直到设置的迭代次数或终止条件。由式(22)${\boldsymbol{w}}$中非0元素的个数即可得稀疏天线阵列阵元的个数。

步骤3　用求得的${q_0}(i + 1)$, ${g_s}(i + 1)$以及${\boldsymbol{w}}(i + 1)$更新拉格朗日参数矢量${{\boldsymbol{\gamma }}^{\mathrm{r}}}(i + 1)$, ${{\boldsymbol{\gamma}} ^{\mathrm{i}}}(i + 1)$, ${{\boldsymbol{\varsigma}} ^{\mathrm{r}}}(i + 1)$, ${{\boldsymbol{\varsigma}} ^{\mathrm{i}}}(i + 1)$

由式(23)可得更新后的拉格朗日参量，将上述更新后的变量重复步骤1～3，直到设置的最大迭代次数，得到最终结果${q_0}$, ${g_s}$, ${\boldsymbol{w}}$。根据${q_0}$, ${g_s}$确定稀疏阵列的峰值旁瓣电平以及聚焦点的位置，再根据${\boldsymbol{w}}$中非0元素的个数以及位置确定优化后稀疏阵列阵元的个数以及位置。

3.3   稀疏阵列优化算法流程

由3.2节分析可见，稀疏阵列优化算法流程可分为3步，第1步固定拉格朗日参量以及阵列权重向量求解得到辅助变量${q_0}$, ${g_s}$。第2步通过固定拉格朗日参量以及上一步求解的辅助变量通过求导迭代近似得到阵列权重向量${\boldsymbol{w}}$。第3步由第1步和第2步求解的辅助变量与阵列权重向量来求解拉格朗日参量，将上述步骤不断迭代直到设置的最大迭代次数，即可得最终结果${q_0}$, ${g_s}$, ${\boldsymbol{w}}$。通过${\boldsymbol{w}}$即得到优化后稀疏阵列的阵元位置及个数，所设计稀疏阵列将经由圆柱式扫描的方式发射信号并接收回波，接收回波数据经距离压缩后，由本文第3节所述成像算法进行3维成像。3.2节所示近场聚焦阵列稀疏优化算法流程可描述在算法1中。

表 1  稀疏阵列优化算法

(1)初始化：${{\boldsymbol{\gamma}} ^{\mathrm{r}}}(0)$, ${{\boldsymbol{\gamma}} ^{\mathrm{i}}}(0)$, ${{\boldsymbol{\varsigma}} ^{\mathrm{r}}}(0)$, ${{\boldsymbol{\varsigma}} ^{\mathrm{i}}}(0)$, ${\boldsymbol{w}}(0)$，给定循环的迭代 　次数$K$, $N$
(2) for $i = 0,1, \cdots ,K$
步骤1　得到${q_0}(i + 1)$和${g_s}(i + 1)$通过式(12)–式(16)
步骤2　求解${\boldsymbol{w}}(i + 1)$
for $k = 0,1, \cdots ,N$
(1)得到关于${\boldsymbol{w}}$非线性方程通过式(17)–式(21)
(2)确定${{\boldsymbol{w}}^{(k)}}(i + 1)$通过式(22)
End for $k = N$
步骤3　通过式(23)更新${{\boldsymbol{\gamma}} ^{\mathrm{r}}}(i + 1)$, ${{\boldsymbol{\gamma}} ^{\mathrm{i}}}(i + 1)$, ${{\boldsymbol{\varsigma}} ^{\mathrm{r}}}(i + 1)$, ${{\boldsymbol{\varsigma}} ^{\mathrm{i}}}(i + 1)$
end for $i = K$
得到最终阵列权值向量的结果${\boldsymbol{w}}$

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4.   基于稀疏阵列改进3维时域成像算法

基于第3节所设计的稀疏阵列接收到的人体回波数据，经过距离压缩，通过本节提出的FFBP算法与BP算法相结合的方式来实现稀疏阵列圆柱扫描方式的3维成像。首先在距离-高度维采用FFBP算法完成距离-高度2维聚焦与解耦。FFBP算法原理主要是将整个阵列孔径按照一定的分解系数划分成若干较短的子孔径，并将子孔径对应的距离压缩数据后向投影到以其孔径中心为原点的局部极坐标网格，从而得粗分辨子图像。在处理阶段，先前阶段的子图像将不断融合成当前阶段子图像。随着递归融合的进行，子孔径的长度不断增加，子孔径的数目不断减少，子图像的角分辨力不断提高。在最后阶段，将极坐标图像变换到直角坐标系，得到全空间高分辨率雷达图像。

根据FFBP算法原理，应在初始阶段进行孔径划分，假设孔径总长度为${L_{{\text{all}}}}$，初始阶段子孔径数目为$U$，第$n$$(n = 1,2, \cdots ,N)$阶段的子孔径数目为${U^{(n)}} = U/{2^{(n - 1)}}$，子孔径长度为${l^{(n)}} = {L_{{\text{all}}}}/{U^{(n)}}$，第$u$$(u = 1,2, \cdots ,{U^{(n)}})$个子孔径中心的高度坐标为$z_u^{(n)} = (u - {U^{(n)}}/2 - 1/2){l^{(n)}}$，每幅子图像被重建在各自子极坐标系下，下面以$\theta _u^{(n)}$表示方位维度下第$n$级的第$u$个子孔径下的局部极坐标系的角域划分。图3即为距离-高度维第1级的第$u$个子孔径局部极坐标网格。

图 3  距离-高度维局部极坐标网格

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考虑子孔径极坐标系内任一散射点${P_0}({\rho _0},\theta _{0,u}^{(1)})$，阵元位于${P_t}(0,{z_m})$，$m$为子孔径中含有的阵元个数，$m$的大小取决于当前子孔径长度下稀疏阵元的个数，来自${P_0}$点处距离-高度维的距离压缩数据可由式(5)得

其中，${R_0}$为阵元${P_t}(0,{z_m})$到目标点${P_0}$的斜距，${R_0} = \sqrt {{{({\rho _0}\cos \theta _{0,u}^{(1)})}^2} + {{({z_m} - {\rho _0}\sin \theta _{0,u}^{(1)})}^2}}$。如图3所示，沿第1级第$u$个孔径进行积分，则重建的子图像可以表示为

其中，${K_{{\text{Rc}}}} = \dfrac{{4{\pi}}}{\lambda }$为中心频率波数，$\lambda$为工作波长，$R({z_m}) = \sqrt {{{(\rho \cos \theta _u^{(1)})}^2} + {{({z_m} - \rho \sin \theta _u^{(1)})}^2}}$，为天线阵元到子孔径极坐标网格像素点$P(\rho ,\theta _u^{(1)})$的斜距。

通过式(25)可以实现第1级第$u$子孔径下的距离-高度2维聚焦，每个子孔径分别重复上述步骤，即可以实现第1级子孔径下的距离-高度2维聚焦，此时所形成的图像为角域采样率较低的粗分辨图像。在第$2{\text{～}}N$级的融合处理阶段，先前阶段的子图像通过相干叠加得到当前阶段的子图像，最后，子孔径图像逐级递归融合的表达式为

其中，符号$\coprod$表示相干叠加。在完成第$N$阶段处理后，子孔径合并为一个全孔径，此时局部坐标系等价与全局坐标系，随后将极坐标图像$I(\rho ,\theta )$变换到笛卡尔坐标系得

其中，$x = \rho \cos \theta$, $z = \rho \sin \theta$，由式(27)可见，在方位维度已完成距离-高度FFBP算法处理，实现了距离维和高度维2维解耦，即距离徙动校正。

通过上述FFBP算法，实现了距离与高度维的2维聚焦，然而此时沿方位维分布的散射点仍然无法区分，利用BP算法可以在距离-方位两维分辨出不同散射点。在具体的算法处理过程中，需要将3维场景沿Z轴划分成N个$XOY$成像切面相叠加的形式，如图4所示，其中每一个截面的高度与天线阵元高度一一对应，利用能适应圆周运动的BP算法来对每个$XOY$成像切面进行聚焦。

图 4  3维场景成像切片划分

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在本节中，由于已经利用FFBP算法完成距离向和高度向的解耦，对于每一个垂直于Z轴的2维$XOY$截面来说，利用BP算法将每个方位时刻的数据做插值，得到2维$XOY$成像切面上每个像素点的数据，设像素点为$({x_i},{y_j})$，数据在方位向做相干叠加，得出一个2维$XOY$切面上距离-方位图像为

其中，${R_{i,j}}$表示网格点坐标到阵元的斜距历程，$s(t,\theta )$表示距离-方位维的距离压缩数据，对于不同高度的$X O Y$成像切面，均重复上述步骤，直到Z轴上所有成像切面处理完成，此时即完成距离-方位维度2维解耦。即可得重建后3维场景图像为

其中，$I(x,z)$由式(27)可得，$I(x,y)$由式(28)可得。由式(29)可知，3维图像数据$I(x,y,z)$由距离-高度维图像数据$I(x,z)$以及距离-方位维图像数据$I(x,y)$两个2维数据组成，最后，为了便于对场景目标观察和检测，以所提算法重建的3维人体图像按照不同的观测角度进行距离维最大值投影，即可得到全方位观测角度下的2维图像。

5.   实验验证

本节应用仿真以及实测数据对所设计稀疏阵列的优越性、可行性以及改进3维时域成像算法高精度、高效率的优势进行验证。在阵列稀疏化实验部分，采用权值迭代${\ell _1}$稀疏优化算法进行对比，在稀疏阵列3维重建算法实验中采用距离徙动算法^[24](Range Migration Algorithm, RMA)进行对比，验证所提算法的有效性与优越性。

5.1   阵列稀疏化实验

在这个实验中，考虑一个1维均匀天线阵列，应用场景为近场，阵列尺寸为191λ，阵元总数为383，阵元间距为0.5λ，其中波长λ为0.010 35 m。设置近场扫描范围为0.628 m，阵列参考点选择阵列物理中心位置处并将其作为坐标原点O(0,0)，主瓣波束范围为[–0.65λ, 0.65λ]，副瓣区域[–95.5λ, –0.65λ]∪[0.65λ, 95.5λ]，副瓣最大电平${\rho _{{\text{sll}}}}$设定为–20 dB，对于本文所提算法，设$p$为0.5，外层迭代次数$K$设置为50，内层迭代次数$N$设置为50。图5以及图6分别表示初始阵列天线、权值迭代${\ell _1}$稀疏优化分布下的阵列天线以及本算法稀疏优化分布下的阵列天线的天线方向图以及阵元激励情况。

图 5  不同算法下天线方向图对比

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图 6  阵元位置分布及其对应激励值

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在图5中，虚线表示均匀阵列的方向图，点线表示权值迭代${\ell _1}$稀疏优化阵列的天线方向图，实线表示本文所提算法设计的稀疏优化阵列的天线方向图，可以明显看出本文所提算法设计的稀疏优化阵列的天线方向图与均匀阵列以及权值迭代${\ell _1}$稀疏优化阵列相比，主瓣宽度不变且旁瓣增益更低。所以本文所提算法可以在保持主瓣宽度不变的基础上，有效降低天线旁瓣增益，提高天线阵列的性能。在图6中，从上到下依次为均匀阵列的激励、权值迭代${\ell _1}$稀疏优化阵列的激励以及所提算法稀疏优化阵列的激励，阵元激励幅度为零则表示该处阵元被稀疏处理。因此，从图6中可以看出权值迭代${\ell _1}$范数最小化方法可以稀疏76个阵元，稀疏率为80.16%。本文所提方法可以稀疏115个阵元，稀疏率为69.97%，因此本文所提算法能够实现更低的阵列稀疏度，以更少的阵元数量达到更好的天线方向图效果，在阵列成本控制及复杂度降低方面具有更好的潜力。

为了进一步说明实验结果可靠性，给出辅助变量${q_0}$, ${g_s}$收敛曲线如图7所示，迭代时间为14.01 s。由图7所示，辅助变量${q_0}$, ${g_s}$随着迭代次数的增加收敛曲线变化趋于平稳，证明所提算法为收敛的，实验结果为可靠的。

图 7  辅助变量收敛曲线

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5.2   稀疏阵列3维重建算法实验

为了验证所提算法实际工作性能，采用实测数据进行验证。实验所采用的阵列天线是以固定的角速度沿圆周运动，围绕实测人体进行圆周柱面扫描，圆周柱面阵列天线实验台相关参数如表1所示。其中图8(a)所示成像结果是通过均匀阵列采集到的回波在完成3维成像处理后沿距离维进行最大值投影得到的成像图。图8(b)与图8(c)所示成像结果是通过本文算法所优化的稀疏阵列，通过对人体进行圆柱扫描采集到的回波分别通过RMA算法以及本文所提成像算法进行成像处理后距离维最大值投影的结果。

表 1  圆周柱面阵列天线实测数据参数

雷达参数	数值		雷达参数	数值		雷达参数	数值
系统工作带宽	6.5 GHz		方位/俯仰波束角	55°/55°		旋转次数	314
工作频率	27 GHz		单脉冲采样点数	64		单次旋转角度	0.2867°
目标距离	0.4～0.8 m		阵元间距	0.0052 m		旋转半径	0.628 m

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图 8  均匀阵列与稀疏阵列成像结果对比

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从定性角度分析来说，由图8(b)与图8(c)对比发现，图8(b)所示人体图像在人体容易藏匿危险品的位置，如左右大腿、膝盖、胸部以及手臂下侧成像响应较低，强点的旁瓣压低了弱点的主瓣，成像对比度差，影响了危险品的检测，有着较大的安全隐患。而图8(c)在上述区域成像更清晰、更完整，无明显成像特征缺失，验证本文所提稀疏阵列改进3维时域成像算法与RMA成像算法相比高精度的优势。且稀疏阵列所成图像与均匀阵列所成图像对比后发现，图8(c)存在局部区域图像质量的降低，这是由于稀疏阵列非均匀的采样引起高的副瓣和栅瓣，影响了图像质量，但是关键区域细节清晰且相比于均匀阵列，稀疏阵列成本及复杂度更低。

从定量的角度分析来说，选取一个点目标，对其均匀阵列成像结果、稀疏阵列RMA成像结果以及稀疏阵列改进3维时域成像结果，给出方位及高度剖面图，定量分析其成像质量好坏，实验结果如图9所示。由图9可以看出在方位向，由于未进行稀疏处理，均匀阵列成像、稀疏阵列RMA成像与稀疏阵列改进3维时域成像具有相同的成像质量，在高度向，由表2所示，可以看出稀疏阵列改进3维时域成像相比于稀疏阵列RMA成像峰值旁瓣比更低，相比于均匀阵列成像峰值旁瓣比升高3.95 dB，高度向分辨率一致，成像质量下降，但是在阵列成本显著降低的情况下，高度向成像质量的牺牲在可接受的范围内。最后，经分析图8(a)成像数据量为64×383×314，图8(c)成像数据量为64×268×314，如图中结果所示，优化后的稀疏阵列改进3维时域成像在保证成像质量的同时，成像数据量减少了30.02%，且FFBP算法的运算复杂度为$O({N^2}{\log _2}N)$，BP算法运算复杂度为$O({N^3})$，故所提稀疏阵列改进3维时域成像算法具有高效率的优势。

图 9  均匀阵列与稀疏阵列点目标成像结果剖面图

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表 2  均匀阵列与稀疏阵列点目标成像结果剖面图定量分析

点目标高度向成像结果	峰值旁瓣比(dB)	高度向分辨率(mm)
均匀阵列成像	–24.27	7.76
稀疏阵列RMA成像	–16.82	7.76
稀疏阵列改进3维时域成像	–20.32	7.76

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6.   结论

本文面向圆柱式线性阵列电扫描安检成像场景，提出了一种近场聚焦稀疏阵列设计方法，本方法可以在强稀疏条件下，精确控制焦点以及压低副瓣电平。本方法首先建立一个基于近场聚焦稀疏阵列的${\ell _p}$范数最小化目标模型，并提出用于控制焦点以及峰值旁瓣电平的约束条件，通过变量分裂的方法引入辅助变量，建立辅助变量与复杂约束的等价代换模型，利用等价代换思想对增广拉格朗日函数化简并求解，再由复数求导结合启发式优化的方式对阵列权向量进行优化选择，接着交替求解辅助变量、阵列权向量以及拉格朗日参量，得到阵列权向量的全局最优解，然后利用改进3维时域成像算法实现稀疏阵列回波成像处理，最后基于仿真以及实测数据验证所设计稀疏阵列优越性以及成像算法高精度、高效率的优势。