一种基于有限内存拟牛顿法的混合波束成形算法

严军荣; 江沛莲; 李沛

doi:10.11999/JEIT230656

一种基于有限内存拟牛顿法的混合波束成形算法

doi: 10.11999/JEIT230656

杭州电子科技大学通信工程学院杭州 310000

基金项目: 国家自然科学基金(U21A20450, 62301204)

详细信息

作者简介:
严军荣：男，讲师，研究方向为无线通信网络、软件定义网络、视觉目标跟踪等

江沛莲：女，硕士生，研究方向为无线电通信系统、毫米波大规模MIMO系统中的预编码技术

李沛：女，讲师，研究方向为多波束传输、空间资源优化、延时感知节能方案等

通讯作者:
严军荣　yjrcn@163.com

中图分类号: TN929.5
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出版历程
- 收稿日期: 2023-07-03
- 修回日期: 2023-11-13
- 录用日期: 2023-11-14
- 网络出版日期: 2023-11-21
- 刊出日期: 2024-06-30

A Hybrid Beamforming Algorithm Based on Limited-Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

School of Communication Engineering, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou 310000, China

Funds: The National Natural Science Foundation of China (U21A20450, 62301204)

摘要

摘要: 针对现有混合波束成形算法运行时间长、频谱效率低、误码率高的问题，该文提出一种基于有限内存拟牛顿法的混合波束成形算法(LBFGS)。该算法首先通过数字预编码器的最小二乘解构建单变量目标函数；然后采用目标函数的梯度近似黑塞矩阵的逆得到搜索方向并沿搜索方向更新模拟预编码器，直到满足停止条件；最后固定模拟预编码器得到数字预编码器。MATLAB仿真结果表明，LBFGS算法较现有MO算法减少了28%的运行时间，频谱效率提高了1.05%，误码率降低了1.06%。
- 毫米波 /
- 大规模MIMO /
- 混合波束成形 /
- 重叠天线阵列
Abstract: To solve the problems of long runtime, low spectral rate and high bit error rate, which exist in conventional hybrid beamforming schemes, a hybrid beamforming algorithm based on Limited-Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (LBFGS) is proposed. Firstly, a single variable objective function is constructed through the least squares solution of the digital precoder. Then, the gradient of the objective function is used to approximate the inverse of the Hessian matrix for obtaining the search direction and the analog precoder is updated along the search direction until the stop condition is satisfied. Finally, the analog precoder is fixed to obtain the digital precoder. The MATLAB simulation analysis indicate that LBFGS algorithm reduces the running time by 28%, increases spectral rate by 1.05%, and reduces bit error rate by 1.06%, compared to MO algorithm.
- Millimeter wave /
- Massive MIMO /
- Hybrid beamforming /
- Overlapped antenna arrays

HTML全文

1. 引言

随着无线通感一体化技术的飞速发展，云连接、车联网、无人驾驶及机器间通信等物联网(Internet of Things, IoT)类新型场景逐渐进入人们视野，物联网设备及各类机器、无线终端对复杂环境下的通信性能提出挑战^[1,2]。在典型的应用场景下，无人机、传感器等机器类终端偶尔需要通过小型数据包来传送各类猝发指令、紧急控制信息(如启动、停止、移动、移位、旋转)以及传感器数据(如温度、功耗、密度)^[3,4]。这些零星偶发的短数据包具有容量小、周期短、发送时间不定等特点。接收端每间隔一定周期进行信号检测，检测的信号能量超出阈值后，才会进行高效地同步、解调等过程，否则认为没有信号到达。值得一提的是，本文所提检测仅指存在性检测，传统意义上检测包含存在性检测、信道估计与同步、解调信息不同，本文针对无前导的信息帧，因此需依靠信息帧实现存在性检测、同步、解调等过程，而在后续分析中检测为整个过程中的主要短板，因此本文重点关注如何提升接收端的检测性能。与此同时，在短数据包的传输过程中，高传输速率、抗干扰性能的信息资源利用问题显得格外重要^[5–7]，而制约系统信息传输的主要短板则在于在给定虚警概率前提下，检测性能远低于解调性能，检测性能低下意味着接收端将携带信息的信号当作噪声，导致信号到达后无法准确地进入后续的解调过程，因此，检测过程直接决定着环境感知、目标识别及指挥控制等关键任务的成败。同时，由于各类终端与机器间通信常采用短数据包的形式传输控制命令与传感器数据，而传统的短数据包不仅携带接收机待获取的信息比特，还携带要保证无线协议正确运行的附加比特，包含短数据包的检测、同步、信道估计等信息，这些数据被称作前导序列。传统的短包结构中，为保证信息传输过程的可靠性，执行协议的前导序列占比开销过大，同时利用前导训练可实现一定程度的抗干扰性能，实现低误码的信息交换^[8,9]。然而这将直接导致短包的传输速率下降，为提高信息传输吞吐量只能增加短数据包的长度，又无疑限制了短包传输的时效性。为提高短包通信效率，减小或消除前导序列能有效解决前导序列占比过大的问题。

在物联网的远距离(Long Range, LoRa)调制技术中，Chirp信号在物理层调制的信息数据前充当检测同步头^[10]，且Chirp信号在分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform, FrFT)域具有脉冲特性，可代替短包中前导序列的检测与同步作用。借助这一思想，通过Chirp扩频调制能有效实现信息加载及检测过程，可实现完全消除前导序列，提高通信效率。FrFT将Chirp信号随着变换阶数不断转换实现能量聚集与分散，滤除噪声成分，保留信号特征^[11]。在合适的分数阶下，Chirp信号能量汇集，出现窄带脉冲峰，从而实现能量检测与估计^[12]。不仅如此，Chirp信号为线性调频信号，具有良好的时频耦合特性，对多普勒频偏具有天然的免疫性，可较好地抵抗在动态场景下因频率偏移对信息解调造成的译码干扰。传统的Chirp扩频(Chirp Spread Spectrum, CSS)技术通过控制Chirp信号的调频率调制信息比特^[13]。文献[14]采用Chirp信号作为信号基，通过二进制正交键控(Binary Orthogonal Keying, BOK)调制技术来载荷信息。Chirp-BOK为最常用的调制技术之一，原理简单，在解调时只需要通过能量检测就可以恢复原始数据，Chirp信号的调频率在噪声中很难被扭曲，因此Chirp-BOK调制在抑制噪声方面有很好的鲁棒性。然而，Chirp-BOK信号每个码元仅携带受调频率制约的1 bit信息，并未解决短包传输中的效率低下问题。文献[15]利用Chirp信号设计了一种超宽带多址系统。该系统利用多条带宽建立独立支路，多路之间用户相互正交，实现信息传输速率的提升。但该方法消耗了大量的带宽资源，换取系统的吞吐量。频移Chirp调制(Frequency Shift Chirp Modulation, FSCM)技术是解决这一问题的关键^[16,17]。频移调制技术借助信号序列良好的自相关性和互相关性，为实现短数据包的检测与同步提供了可能，同时利用频移量的载荷能够在不增加信号带宽和持续时间的前提下传输信息^[18,19]。2022年，Kassem^[20]提出了针对物联网通信的准正交短包传输，利用循环频移技术将信息加载在伪随机序列的循环移位中，极大地提高了传输效率，但伪随机序列对多径和多普勒频移较敏感，在复杂环境下检测与同步性能急剧下降。文献[21]利用Chirp信号的FrFT域的检测与估计，利用分数傅里叶变换的能力聚集特性实现频移Chirp调制的通信信号抗截获波形设计。

综上所述，针对无前导短数据包的传输方案，本文采用频移Chirp的扩频调制方法来提高信息吞吐量。考虑到无前导短包的检测性能远低于解调性能，从而制约系统信息传输过程，本文旨在提高检测性能，在给定虚警概率前提下，降低漏检概率，解决传统FrFT检测频移Chirp时能量分散的问题。本文研究了基于FrFT的频移Chirp信号短包的检测问题，提出一种自适应FrFT方法。相比于传统FrFT检测方法，自适应FrFT针对未知起始频移调制前提下，均自适应地检测出频移Chirp信号的能量峰值，有效提升了经频移调制后Chirp信号帧的检测性能。主要研究内容如下：

(1) 分析了短数据包结构模型，以及Neyman-Pearson检测模型在频移Chirp信号帧检测的应用。给出Chirp码元与频移调制技术的结合方法，同时说明了频移Chirp信号中信息加载过程。在信息检测过程中，分析收发两端的多种状态下，借助评价函数和判定阈值，利用虚警概率和漏检概率能清晰描述短包传输过程中的检测性能。

(2) 利用传统的FrFT对完整Chirp信号进行变换，可得到单个窄脉冲峰值。当Chirp码元进行频移调制后，会出现两个相对较小的峰值，削弱了频移Chirp信号帧的检测性能。提出一种自适应FrFT的频移Chirp信号帧的检测方法。通过对传统FrFT的积分算子进行分段并搜索峰值，巧妙地将Chirp码元散落的峰值结合在一固定点上，实现了检测性能地有效提高。

(3) 针对检测过程中搜索时移对自适应FrFT的峰值聚集产生影响的问题，对第1个码元和第2～N个码元结构分别进行分析，量化了自适应FrFT在存在搜索时移情况下的最小峰值，证明了自适应FrFT对频移Chirp信号检测的可能性与可靠性。

(4)使用自适应FrFT、传统FrFT对频移Chirp信号帧的虚警概率分布、漏检概率分布进行了仿真，同时分析了给定虚警概率，不同信噪比下的漏检概率分布。结果表明，本文算法与传统FrFT方法对比，具有较好的检测性能，验证了自适应FrFT的有效性。

2. 系统模型

针对零星偶发的无前导短数据包，接收端并没有短包的到达信息。因此，接收端不断地进行信号检测，旨在准确无误地识别到达信号。然而，受信道噪声影响，接收端可能会误把噪声当作信号或信号到达却未检出，尤其在较低信噪比下，这种错误将会更加明显。为更清晰地量化这种错误概率，本节主要介绍了系统中短数据包模型以及检测模型，通过描述频移Chirp的调制技术原理以及短数据包中的码元结构，建立短数据包模型。通过引出Neyman-Pearson这一经典检测模型，对虚警概率和漏检概率进行分析，从而引出后续自适应FrFT与Neyman-Pearson模型的结合。

2.1 短数据包模型

短数据包是将信息进行分组打包形成的信息块，通常仅包含少量比特位信息。相比于长数据包，短数据包的前导序列占比开销较大，因此本模型并不包含用于信道估计、同步等的前导序列^[20,21]。因此，本文考虑发送的短数据包长度为1信号帧，信号帧包含N个码元，每个码元又被均匀的分为q个频移段 $\{ {s_1},{s_2},\cdots,{s_{q - 1}},{s_q}\}$ ，每个频移段代表等分的Chirp信号。将N个频率移位后的Chirp信号作为符号中的码元，构成信号帧 ${F_0} = \{ {P_{{k_1}}},{P_{{k_2}}},\cdots,{P_{{k_N}}}\}$ ， ${P_{{k_i}}}$ 为对初始Chirp码元 ${P_0}$ 进行频移调制，频移段移动 ${k_i}$ 位后的序列，同时表示帧中的第i个符号， ${k_i} \in \{ 0,1,\cdots,q - 1\}$ 。结构分布如图1所示。频移调制技术的调制原理如表1所示。

图 1 短数据包构成及Chirp码元频率移位示意图

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表 1 频移调制技术调制原理

频移量	码元表示	频移段排列状态
0	P₀	{s₁, s₂, s₃,···, s_q–2, s_q–1, s_q}
1	P₁	{s_q, s₁, s₂, s₃,···, s_q–2, s_q–1}
2	P₂	{s_q–1, s_q, s₁, s₂, s₃,···, s_q–2}
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
q–2	P_q–2	{s₃,…, s_q–2, s_q–1, s_q, s₁, s₂}
q–1	P_q–1	{s₂, s₃,···, s_q–2, s_q–1, s_q, s₁}

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频移调制技术主要通过对Chirp信号的q个段落依次频率移位，每次移动形成的新序列作为一个携带信息的Chirp码元，继而形成短包进行传输。

2.2 Neyman-Pearson检测模型

在短包传输过程中，本文基于Neyman-Pearson检测方法集中讨论接收帧的N·q个码元中，是否检测到信号帧Y。基于接收帧采样的多个随机变量，对发送端的两种状态做出两种假设：

H0：未发送信号帧状态，概率表示 ${f_{{{\mathrm{H}}0}}}$ ；

H1：已发送信号帧状态，概率表示 ${f_{{{\mathrm{H}}1}}}$ 。

对于给定的观测结果，根据接收帧的特征构建评价函数S(Y)，通过比较评价函数S(Y)与判断阈值U₀来决定是否存在信号帧。在检测理论中，检测器的判别形式可以用以下4种情况之一表示：

(1)未发未检概率：P(S(Y)<U₀|H0)，正确接收状态，表示未发送信号时接收帧不存在信号帧；

(2)已发已检概率：P(S(Y))>U₀|H1)，正确接收状态，表示发送信号时接收帧检测到信号帧；

(3)未发已检概率，即虚警概率：P(S(Y))>U₀|H0)，错误接收状态，表示未发送信号，但接收端产生虚警判别信号帧；

(4)已发未检状态，即漏检概率：P(S(Y))<U₀|H1)，表示接收端受噪声影响未识别到已发送的信号帧。

基于4种收发状态，虚警概率和漏检概率直接决定着接收端的复杂度和检测成功率。给定未发送信号帧概率密度函数 ${f_{{{\mathrm{H}}0}}}$ 、已发送信号帧概率密度函数 ${f_{{{\mathrm{H}}1}}}$ 、判定阈值U₀时，虚警概率和漏检概率可分别表示为

${P_{{\text{fa}}}} = \int\limits_{{U_0}}^{ + \infty } {{f_{{{\mathrm{H}}0}}}(x){\text{d}}x}$

(1)

${P_{{\text{md}}}} = \int\limits_{ - \infty }^{{U_0}} {{f_{{{\mathrm{H}}1}}}(x){\text{d}}x}$

(2)

其中，变量x表示接收帧的评价函数S(Y)。

虚警概率和漏检概率、概率密度函数 ${f_{{{\mathrm{H}}0}}}$ , ${f_{{{\mathrm{H}}1}}}$ 与判断阈值U₀的关系如图2所示。

图 2 虚警概率和漏检概率、概率密度函数与判断阈值的关系

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信号的检测问题通常可以归纳为虚警概率与漏检概率的平衡问题，平衡点则是判定阈值的选取。选取阈值较小，虚警概率增大，尽管获得较小漏检概率，但未发信息时常判定为接收到信号帧，继而进行同步、解调工作，造成大量的复杂度和工作量损耗；选取阈值较大，虚警概率很小，但发送信息时接收端漏检概率增大，造成重要信息流失，通信任务失败。为正确选取判定阈值U₀，给定约束条件P_fa为固定值，通过一种有效的信号帧检测方法构建评价函数S(Y)，使得P_md取最小值。

3. 自适应FrFT检测方法

3.1 频移Chirp信号的检测原理

传统意义上检测包含存在性检测、信道估计与同步、解调信息不同，本文针对无前导的信息帧，因此需依靠信息帧实现存在性检测、同步、解调等过程，本文所提检测仅指存在性检测。自适应FrFT的主要思想是接收端未知Chirp频移调制量的前提下，该方法均能有效检测出频移Chirp信号在分数傅里叶域的能量峰值。完整的Chirp信号在分数傅里叶域能量在合适的变换阶次能量聚集，产生一个窄带脉冲峰。当Chirp信号进行频率移位后，所得码元并非连续Chirp信号。下面研究FrFT对频移Chirp信号的变换规律。假设信号帧中的初始Chirp信号码元的复数表达式为

${s_0}(t) = \exp (2{{{\rm i}\pi }}({f_0}t + 0.5\mu {t^2})),t \in [0,T]$

(3)

其中， ${f_0}$ 表示线性调频信号初始频率， $\mu = B/T$ 表示调频率参数，B为Chirp信号带宽，T为持续时间。经频移调制后循环移位k位的的Chirp码元可表示为

$s(t) = \left\{ \begin{aligned} & \exp \left( 2{{{\rm i}\pi }}\left( \left({f_0} + 0.5\mu \frac{{q - k}}{q}T\right)t + 0.5\mu {t^2}\right) \right),\\ & \quad t \in \left[0,\frac{k}{q}T \right] \\ &\exp \left(2{{{\rm i}\pi }}\left(\left({f_0} - 0.5\mu \frac{k}{q}T \right)t + 0.5\mu {t^2}\right)\right),\\ & \quad t \in \left[\frac{k}{q}T,T\right] \end{aligned} \right.$

(4)

其中， $k \in \left\{ {\left. {0,1,\cdots,q - 1} \right\}} \right.$ 。分数傅里叶变换可以看作是Chirp基分解，因此适宜检测Chirp类的信号。信号s(t)的p阶FrFT可定义为

${{\mathcal{F}}^p}[s(t)] = \{ {{\mathcal{F}}^p}s\} (t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{K_p}(x,t)s(t){\text{d}}t}$

(5)

${K_p}(x,t) = {A_\alpha }\exp [{{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha - 2xt\csc \alpha + {t^2}\cot \alpha )]$

(6)

${A_\alpha } = \frac{{\exp [ - {{{\rm i}\pi }}{{\mathrm{sgn}}} (\sin \alpha )/4 + {\text{i}}\alpha /2)}}{{{{\left| {\sin \alpha } \right|}^{1/2}}}}$

(7)

其中， $\alpha = {{p{\pi}}}/{2}$ , ${K_p}(x,t)$ 表示分数傅里叶变换的积分算子，x表示分数傅里叶域的自变量。

将频移调制后的Chirp码元公式代入，合并指数项，可以得到积分号里面的表达式为

$\begin{split} {K_p}(x,t)s(t) =\;& {A_\alpha }\exp ({{{\mathrm{i}}\pi }}({x^2}\cot \alpha - 2xt\csc \alpha \\ \;&+ {t^2}\cot \alpha )) \cdot \exp ({{{\mathrm{i}}\pi }}\mu {t^2} + 2{{{\mathrm{i}}\pi }}{f_t}t) \\ = \;&{A_\alpha }\exp ({{{\mathrm{i}}\pi }}({x^2}\cot \alpha ) + 2t({f_t} - x\csc \alpha ) \\ \;&+ {t^2}(\mu + \cot \alpha ) \\[-1pt] \end{split}$

(8)

${f_t} = \left\{ \begin{aligned} & {f_0} + 0.5\mu \frac{{q - k}}{q}T,\;t \in \left[0,\frac{k}{q}T\right] \\ & {f_0} - 0.5\mu \frac{k}{q}T ,\quad\;\;\;\, t \in \left[\frac{k}{q}T,T \right] \end{aligned} \right.$

(9)

其中，积分变量为t，积分核中含有t的项为1次项 $2t({f_t} - x\csc \alpha )$ 和2次项 ${t^2}(\mu + \cot \alpha )$ 。若要使分数傅里叶有稳定的峰值存在，需调整阶数p，消去2次项，可得

$\mu = - \cot \alpha$

(10)

2次项的系数为0，可确定旋转角度 $\alpha$ 以及变换阶次p的值。若要1次项系数同样为0，即

${f_t} = x\csc \alpha\;$

(11)

$x = {f_t}/\csc \alpha$

(12)

1次项和2次项均被消去后，频移Chirp信号的幅值为

$\left| {{{\mathcal{F}}^p}[s(t)]} \right| = \left| {\int\limits_0^T {{A_\alpha }\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha ){\text{d}}t} } \right|$

(13)

给定变换域自变量x、旋转角度 $\alpha$ ，频移Chirp信号在 $x = {f_t}/\csc \alpha$ 处得到窄带脉冲。若 $x \ne {f_t}/\csc \alpha$ ，则会出现1次项积分核 ${A_\alpha }\exp ({\text{i}}2{\pi}t({f_t} - x\csc \alpha ))$ ，但由于在周期时间[0, T]内 $\sin (2{\pi}({f_t} - x\csc \alpha )t)$ 和 $\cos (2{\pi}({f_t} - x\csc \alpha )t)$ 积分项为0，使得频移Chirp信号的幅值均为0。

考虑到频移Chirp信号并非一段完整的Chirp信号，式(10)中，频移Chirp信号前后前两部分的调频参数 $\mu$ 相同，故出现峰值时对应的变换阶次和旋转角度 $\alpha$ 为一固定值。式(9)、式(12)中， ${f_t}$ 被分为两段，需考虑不同时间段的峰值位置以及幅值大小。

$\left| {{{\mathcal{F}}^p}[s]} \right| = \left\{ \begin{aligned} & \left| {{A_\alpha }\frac{k}{q}T\exp ({{{\mathrm{i}}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|, \;\;\qquad x = \left({f_0} + 0.5\mu \frac{{q - k}}{q}T\right)/\csc \alpha \\ &\left| {{A_\alpha }\frac{{q - k}}{q}T\exp ({{{\mathrm{i}}\pi }}({x^2}\cot \alpha )\,} \right|,\;\; x = \left({f_0} - 0.5\mu \frac{k}{q}T \right)/\csc \alpha \end{aligned} \right.$

(14)

频移Chirp信号经FrFT后的信号，会出现两个峰值，峰值的大小取决于频移段移位数k，若此时根据最大峰值选择检测阈值U₀，则丢失一部分信号能量，极大地增大漏检概率，造成短包传输丢失。对接收端的FrFT进行修正为自适应FrFT，将分数傅里叶积分算子修正为

${K'_{zp}}(x,t) = \left\{ \begin{aligned} & {A_\alpha }\exp \left[{{{\rm i}\pi }}\left({x^2}\cot \alpha - 2t \left(x\csc \alpha + 0.5\mu \frac{{q - k'}}{q}T \right) + {t^2}\cot \alpha \right)\right],t \in \left[0,\frac{{k'}}{q}T \right] \\ & {A_\alpha }\exp \left[{{{\rm i}\pi }}\left({x^2}\cot \alpha - 2t \left(x\csc \alpha - 0.5\mu \frac{{k'}}{q}T \right) + {t^2}\cot \alpha \right)\right],\quad\;\; t \in \left[\frac{{k'}}{q}T,T \right] \end{aligned} \right.$

(15)

其中 $k' \in \left\{ {\left. {0,1,\cdots,q - 1} \right\}} \right.$ 。当 $k' = k$ 时，频移Chirp信号的自适应FRFT峰值大小及其位置为

$\left| {{\mathcal{F}}_z^p[s]} \right| = \left| {{A_\alpha }T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,x = {f_0}/\csc \alpha$

(16)

自适应FrFT能将因频移调制产生的两个峰值结合形成一个脉冲峰，利用此种能量聚集方案能较好地集中信号能量。当 $k' \ne k$ ，检测峰会将原有的两个峰化解为多个峰。以 $0 \le k' \le k \le q - 1$ 为例，在时间域上周期 $[0,T]$ 范围内划分为3个时间段，分别为 $\left\{ \left[0,\dfrac{{k'}}{q}T \right],\left[\dfrac{{k'}}{q}T,\dfrac{k}{q}T \right],\left[\dfrac{k}{q}T,T \right]\right\}$ ，自适应FrFT的幅值及位置表示为

$\left| {{\mathcal{F}}_z^p[s]} \right| = \left\{ \begin{aligned} & \left| {{A_\alpha }\frac{{k'}}{q}T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\quad\;\;\; x = \left({f_0} + 0.5\mu \frac{{q - k}}{q}{T_0}\right)/\csc \alpha \\ & \left| {{A_\alpha }\frac{{k - k'}}{q}T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,x = \left({f_0} - 0.5\mu \frac{{k - k'}}{q}T\right)/\csc \alpha \\ & \left| {{A_\alpha }\frac{{q - k}}{q}T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\;\; x = \left({f_0} - 0.5\mu \frac{k}{q}T \right)/\csc \alpha \end{aligned} \right.$

(17)

$k' \ne k$ 时，自适应FrFT的幅值被分成3个部分，无法作为判定阈值的参考。将 $k'$ 的值在 $\left\{ {\left. {0,1,\cdots,q - 1} \right\}} \right.$ 范围内遍历， $k' = k$ 时，出现单个最大窄带峰值，增大频移Chirp信号的检测概率。

3.2 评价函数计算

评价函数S(Y)是用于短包信号帧检测算法中主要的度量参数。从接收样本中，可分为多个预置的频移Chirp码元 ${Y_1},{Y_2},\cdots,{Y_N}$ ，分别对N个预置码元进行自适应FrFT，选取每个码元在分数傅立叶域的峰值，对N个峰值取和作为能量累计检测的评价函数S(Y)。然而，对于无前导序列的短包传输，无法估计出准确的帧头部的位置，并且在工程应用中，检测窗口若逐个码片移动进行检测，这将导致大量的计算量耗费。因此，实际应用时搜索窗通常采用1个码元长度q、半个码元长度q/2或者更小的步进值进行移动，带来的复杂度也会逐渐增加，从而保证能获取信号中的大多数能量，这种偏移会对评价函数值造成一定影响。本文以搜索长度q为例，搜索及评价函数计算过程如图3所示。

图 3 时间偏移

$\varDelta$ 时自适应FrFT的检测示意图

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由，以单个循环段数持续时间为最小单位，搜索窗与信号帧实际到达时间的偏移量为 $- q/2 \le \varDelta \le q/2$ 。下面以加性高斯白噪声W(t)为例，分析偏移量对信号帧评价函数造成的影响。

情况1　 $\varDelta = 0$ 时，接收帧中的每个频移Chirp码元均与自适应FrFT的时域对齐，参考式(16)，评价函数可获得最大值。

$S(Y) = N\left| {{A_\alpha }T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right| + \left| {{\mathcal{F}}_z^p[{W_{1{\text{～}}N}}]} \right|$

(18)

${W_{1{\text{～}}N}}$ 表示接收帧第1～N个码元对应的噪声信号，对噪声信号和信号帧同时进行自适应FrFT，取最大值点作为评价函数值S(Y)。

情况2　 $0 < \varDelta \le q/2$ 时，接收帧中的Chirp码元与自适应FrFT的时域有一定偏移量，此处引入时移量 $\tau = \varDelta \cdot T/q$ ，表示因检测时搜索窗与实际信号到达时间的时间偏移。此时 $- q/2 \le \varDelta < 0$ 分析同理。假设受时间偏移量影响，不含噪声的第一个接收码元可表示为

(1) $\varDelta < q - k$ 时

${s}_{1}(t)=\left\{\begin{aligned} & 0,t\in [0,\tau ]\\ & \mathrm{exp}(2{{\mathrm{i}} \pi}(({f}_{0}+0.5\mu \frac{q-k-\varDelta }{q}T)t+0.5\mu {t}^{2})),\\ & \quad t\in \left[\tau ,\frac{k}{q}T+\tau \right]\\ & \mathrm{exp}(2{{\mathrm{i}} \pi}(({f}_{0}-0.5\mu \frac{k+\varDelta }{q}T)t+0.5\mu {t}^{2})),\\ & \quad t\in \left[\frac{k}{q}T+\tau ,T \right] \end{aligned}\right.$

(19)

遍历 $k'$ 的值，当 $k' = k + \varDelta$ 时自适应FrFT取最大峰值，此时峰值分布为

$\left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_1}]} \right| = \left| {{A_\alpha }(T - \tau )\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,x = {f_0}/\csc \alpha$

(20)

(2) $\varDelta > q - k$ 时

${s_1}(t) = \left\{ \begin{aligned} & 0,t \in [0,\tau ] \\ & \exp \left( 2{{{\rm i}\pi }}\left( \left({f_0} + 0.5\mu \frac{{q - k - \varDelta }}{q}T \right)t + 0.5\mu {t^2}\right) \right),\\ & \quad t \in [\tau ,T] \end{aligned} \right.$

(21)

遍历 $k'$ 的值，当 $k' = 0$ 时自适应FrFT取最大峰值，此时峰值分布为

$\begin{split} & \left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_1}]} \right| = \left| {{A_\alpha }(T - \tau )\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \qquad x = \left({f_0} + 0.5\mu \left(T - \tau - \frac{k}{q}\right)\right)/\csc \alpha \end{split}$

(22)

尽管第1个码元可能有两种分布，但得到的自适应FrFT峰值结果 $\left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_1}]} \right|$ 是相同的，体现出了自适应FrFT的能量汇聚能力。对于第2～N个频移Chirp码元来说，上一个码元的尾部长度 $\varDelta$ 的信号会成为下一个码元的偏移头部。这些头部信息会对码元的自适应FrFT造成两种可能的影响：(1)在非本码元的产生最大峰值的对应自变量x上，出现1或2个大小范围为 $(0,\left| {{A_\alpha }\tau \exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|]$ 的峰；(2)在本码元的产生最大峰值的对应自变量x上，额外增加大小在范围 $(0,\left| {{A_\alpha }\tau \exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|]$ 的值。式(20)、式(22)的峰值仅作为第2～N个码元自适应FrFT产生的最小峰值。

证明详见附录1。因此，当搜索窗偏移量 $0 < \varDelta \le q/2$ 时，评价函数

$S(Y) \ge N\left| {{A_\alpha }(T - \tau )\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right| + \left| {{\mathcal{F}}_z^p[{W_{1{\text{～}}N}}]} \right|$

(23)

3.3 复杂度分析

尽管自适应FrFT检测方法有效提升频移Chirp短包的检测性能，但其代价是在检测过程中，需要遍历频移Chirp的循环移位量，检测复杂度增大。因此本节主要从空间复杂度和时间复杂度两方面及进行分析。

(1)空间复杂度

传统的FrFT检测方法对完整的Chirp信号进行单次分数傅里叶变换后，进行谱峰搜索可有效匹配Chirp信号的脉冲峰值。然而，对于自适应FrFT检测方法，由于检测对象为频移Chirp信号，频移段总数为q，自适应FrFT检测器中需进行q次循环移位，同时对接收信号进行自适应分数傅里叶变化，可得到最大脉冲峰值。因此，需额外增加q–1个自适应FrFT检测器，有效提升频移Chirp的检测性能。

(2)时间复杂度

由于传统FrFT对完整Chirp信号的检测为周期为T_s的时间，而频移Chirp信号的持续时间同样为T_s，自适应FrFT检测尽管需分段检测，但检测总时长仍为一个码元周期，因此，时间复杂度并未增加。

4. 仿真结果与分析

为了验证自适应FrFT对频移Chirp短包的检测性能优势，本节分别仿真了使用自适应FrFT、传统FrFT对频移Chirp信号帧的虚警概率分布、漏检概率分布，同时分析了给定虚警概率，不同信噪比下的漏检概率分布。传统的FrFT通常用来检测完整Chirp信号存在性，利用分数傅里叶变化对Chirp信号的脉冲特性捕获信号。然而，对于频移Chirp信号而言，式(14)说明传统FrFT的脉冲能量分散，影响信号帧的存在性检测结果。文献[22,23]均详细介绍了传统FrFT变化的检测方法。而对于频移Chirp，主要影响其性能的主要参数为频宽时宽积，即B_sT_s值，本节对扩频因子SF=6(B_sT_s=64)的频移Chirp信号的存在性检测方法进行分析^[10,20]，表2给出了系统仿真参数设定。

表 2 系统仿真参数设定

参数名称	符号表示	参数取值
信号帧长度	N	64
扩频因子	SF	6
循环段数	q	64
循环段数持续时间	T_c	10 ms
Chirp码元持续时间	T_s	640 ms
初始频率	f₀	50 Hz
离散调频率	$\mu$	1
带宽	B_s	100 Hz
采样率	f_s	100 Hz

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为了研究自适应FrFT对频移Chirp码元的能量汇聚效果，对不同偏移量下信号帧的虚警概率和漏检概率分布进行了10⁵次仿真分析。给出了当信噪比为–12 dB，搜索长度为q时，测试了3种不同状态，第1种状态评估了完全同步时的检测情况( $\varDelta = 0$ )，第2种状态评估了部分同步时的检测情况( $\varDelta = q/4$ )，第3种状态评估了搜索长度为q时，对应最恶劣的检测情况( $\varDelta = q/2$ )。检测时对噪声信号的评价函数进行了归一化，以便于对各种情况下自适应FrFT的检测性能对比。

图 4 传统FrFT及自适应FrFT对频移Chirp信号帧检测性能对比

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给定虚警概率P_fa=10^–4, 10^–3, 10^–2, 10^–1时，漏检概率曲线如图5所示。

图 5 –12 dB下漏检概率随虚警概率的变化曲线

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由图4、图5，对于传统FrFT和自适应FrFT，随着时间不断偏移，漏检概率曲线左移，说明虚警概率确定后，时移令漏检概率相应增加。当传统FrFT与自适应FrFT对信号帧检测的虚警概率密度函数处于同一水平后，相同偏移情况下，自适应FrFT的漏检概率远小于传统FrFT，说明自适应FrFT有效地增强了信号帧的检测性能。同时，对比图4(a)、图4(b)，自适应FrFT检测出的概率密度曲线更窄，说明其汇聚信号能量性能更强，进一步说明了自适应FrFT算法的优越性。

为了更清晰地表现自适应FrFT对频移Chirp信号帧在低信噪比下的检测性能，在给定虚警概率P_fa=10^–4, 10^–3, 10^–2, 10^–1时，仿真对比不同信噪比下[–16 dB, –12 dB]无时间偏移( $\varDelta = 0$ )的漏检概率，仿真结果如图6(a)所示，其中黑色虚线为理想检测下的解调误码率P_e。为进一步说明自适应FrFT的检测方法对无前导频移Chirp短数据包传输性能提升，结合检测、解调两部分，对比在不同虚警概率下的误码率。其中误码率P_e为理想检测下解调的误码率，不包括检测部分，误码率P_s为联合检测、解调的短包传输误码率，其关系为P_s=P_md+(1–P_md)_˙P_e。仿真结果如图6(b)所示。

图 6 给定虚警概率时低信噪比下[–16 dB，–12 dB]的错误概率

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由图6(a)，给定虚警概率时，随着信噪比的增加，漏检概率不断减小。漏检概率的大小直接决定着频移Chirp信号帧的检测性能。在同虚警概率情况下，自适应FrFT的抗噪声的漏检概率均小于传统FrFT，例图中虚警概率P_fa=10^–1，漏检概率P_md=10^–1时，自适应FrFT的检测性能提高了约1.5 dB，与理想检测下的频移Chirp解调性能相差只有约0.3 dB，表明自适应FrFT的检测抗噪性能远优于传统FrFT。同时，在给定的虚警概率下，漏检概率几乎都高于解调模块误码率，传统的FrFT检测性能则远低于理想检测下的解调性能。

由图6(b)进一步看出，联合检测和解调两部分的误码率与图6(a)中的漏检概率曲线差别较小，这说明漏检概率制约着传输性能，而通过自适应FrFT后的误码率在不同的虚警概率下均明显降低，证明了自适应FrFT通过改善系统的检测性能，有效降低频移Chirp短包传输的错误概率。

5. 结束语

本文面向复杂环境下短数据包传输的可靠性与高效性问题，针对无前导频移Chirp信号帧的检测性能，提出了一种自适应FrFT检测方法。通过对传统FrFT检测方案进行分析，推导了经频移调制后Chirp信号的能量聚集的约束条件，给出了自适应FrFT的具体表达式，详细论述了频移Chirp信号的脉冲特性表现机理。在此基础上，分析了检测过程中存在时偏现象对信号帧评价函数的影响，量化了自适应FrFT对频移Chirp信号的脉冲峰值。仿真结果表明，自适应FrFT相较于传统FrFT，在给定虚警概率的前提下，有效降低了漏检概率，同时降低了频移Chirp短包传输的误码率。

附录1　时移 $\varDelta$ 对第2～N个码元的自适应FrFT变换峰值

正文中仅考虑第1个码元的自适应FrFT峰值，从第2个码元起始，搜索窗内的码元分为两部分：前个码元的尾部，当前码元的头部。如图7所示。

图 7 第2～N个码元结构分布

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其中第i个码元结构中包含上个码元 ${P_{{k_{i - 1}}}}$ 尾部 $\varDelta$ 个循环移位段，当前码元 ${P_{{k_i}}}$ 头部 $q - \varDelta$ 个循环移位段，后部分的自适应FrFT已在式(19)–式(22)进行分析，此处主要分析长度 $\varDelta$ 的码元头对变换峰值造成的影响。

情况1　当 $q - {k_{i - 1}} \ge \varDelta$ ，说明码元头部中是一段连续的Chirp信号，含有的信息段是初始Chirp信号P₀在 $t \in \left[\dfrac{{q - {k_{i - 1}} - \varDelta }}{q}T,\dfrac{{q - {k_{i - 1}}}}{q}T \right]$ 的信号，由式(3)、式(19)和式(21)的第1段可表示为

$\begin{split} {s_i}^\varDelta (t) = \;&\exp \left(2{{{\rm i}\pi }}\left(\left({f_0} + 0.5\mu \frac{{q - {k_{i - 1}} - \varDelta }}{q}T \right) \right.\right.\\ & \cdot t+ 0.5\mu {t^2})), t \in [0,\tau ]\\[-1pt] \end{split}$

(24)

(1) $\varDelta < q - {k_i}$ 时，当 $k' = k + \varDelta$ 时，该段的自适应FrFT的绝对值及其位置表示为

$\begin{split} & \left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_i}^\varDelta ]} \right| = \left| {{A_\alpha }\tau \exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \qquad x = \left({f_0} + 0.5\mu \left(\frac{{{k_i} - {k_{i - 1}}}}{q}\right)T\right)/\csc \alpha \end{split}$

(25)

${k_i} = {k_{i - 1}}$ 时，头部码元会使整个码元的自适应FrFT出现单峰值，峰值大小及位置为

$\left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_i}]} \right| = \left| {{A_\alpha }T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,x = {f_0}/\csc \alpha$

(26)

${k_i} \ne {k_{i - 1}}$ 时，出现双峰值，峰值大小及位置为

$\left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_1}]} \right| = \left\{ \begin{aligned} & \left| {{A_\alpha }(T - \tau )\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = {f_0}/\csc \alpha \\ & \left| {{A_\alpha }\tau \exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = \left({f_0} + 0.5\mu \left(\frac{{{k_i} - {k_{i - 1}}}}{q}\right)T \right)/\csc \alpha \end{aligned} \right.$

(27)

(2) $\varDelta > q - {k_i}$ 时，当 $k' = 0$ 时，该段的自适应FrFT的绝对值及其位置表示为

$\begin{split} & \left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_i}^\varDelta ]} \right| = \left| {{A_\alpha }\tau \exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \qquad x = \left({f_0} + 0.5\mu \left(\frac{{q - {k_{i - 1}} - \varDelta }}{q}\right)T\right)/\csc \alpha \end{split}$

(28)

${k_i} = {k_{i - 1}}$ 时，头部码元会使整个码元的自适应FrFT出现单峰值，峰值大小及位置为

$\begin{split} & \left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_i}]} \right| = \left| {{A_\alpha }T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \qquad x = \left({f_0} + 0.5\mu \left(T - \tau - \frac{k}{q}\right)\right)/\csc \alpha \end{split}$

(29)

${k_i} \ne {k_{i - 1}}$ 时，出现双峰值，峰值大小及位置为

$\left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_1}]} \right| = \left\{ \begin{aligned} & \left| {{A_\alpha }(T - \tau )\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = {f_0}/\csc \alpha \\ & \left| {{A_\alpha }\tau \exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = \left( {f_0} + 0.5\mu \left( \frac{{q - {k_{i - 1}} - \varDelta }}{q} \right) T \right) / \csc \alpha \end{aligned} \right.$

(30)

情况2　当 $q - {k_{i - 1}} < \varDelta$ ，码元头部并非是一段连续的Chirp信号，含有的信息段是初始Chirp信号P₀在 $t \in \left[\dfrac{{\varDelta + {k_{i - 1}} - q}}{q}T,T \right]$ 和 $t \in \left[0,\dfrac{{q - {k_{i - 1}}}}{q}T \right]$ 的信号，由式(3)、式(19)和式(21)的第1段可表示为

$\begin{split} & {s_i}^\varDelta (t) = \\ & \left\{ \begin{aligned} & \exp \left(2{{{\rm i}\pi }}\left(\left({f_0} + 0.5\mu \frac{{\varDelta + {k_{i - 1}} - q}}{q}T \right)t + 0.5\mu {t^2}\right)\right),\\ & \quad t \in \left[0,\frac{{\varDelta + {k_{i - 1}} - q}}{q}T \right] \\ & \exp \left(2{{{\rm i}\pi }}\left(\left({f_0} - 0.5\mu \frac{{\varDelta + {k_{i - 1}} - q}}{q}T \right)t + 0.5\mu {t^2}\right)\right),\\ & \quad t \in \left[\frac{{\varDelta + {k_{i - 1}} - q}}{q}T,\tau \right] \end{aligned} \right. \end{split}$

(31)

(1) $\varDelta < q - {k_i}$ 时，当 $k' = k + \varDelta$ ，该段的自适应FrFT的绝对值及其位置表示为

$\begin{split} & \left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_i}^\varDelta ]} \right| =\\ & \left\{ \begin{aligned} & \left| {{A_\alpha }\frac{{\varDelta + {k_{i - 1}} - q}}{q}T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = \left({f_0} - 0.5\mu \left(\frac{{2q - {k_i} - {k_{i - 1}}}}{q}\right)T \right)/\csc \alpha \\ & \left| {{A_\alpha }\frac{{q - {k_{i - 1}}}}{q}T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = \left({f_0} + 0.5\mu \left(\frac{{{k_i} - {k_{i - 1}}}}{q}\right)T\right)/\csc \alpha \, \end{aligned} \right. \end{split}$

(32)

${k_i} = {k_{i - 1}}$ 时，头部码元会使整个码元的自适应FrFT出现双峰值，峰值大小及位置为

$\begin{split} & \left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_i}]} \right| =\\ & \left\{ \begin{aligned} & \left| {{A_\alpha }\frac{{\varDelta + {k_{i - 1}} - q}}{q}T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = \left({f_0} - 0.5\mu \left(\frac{{2q - {k_i} - {k_{i - 1}}}}{q}\right)T \right)/\csc \alpha \\ & \left| {{A_\alpha }\frac{{2q - {k_i} - \varDelta }}{q}T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = {f_0}/\csc \alpha \, \end{aligned} \right. \end{split}$

(33)

${k_i} \ne {k_{i - 1}}$ 时，出现三峰值，峰值大小及位置为

$\begin{split} & \left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_i}]} \right| = \\ & \left\{ \begin{aligned} & \left| {{A_\alpha }\frac{{\varDelta + {k_{i - 1}} - q}}{q}T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = \left({f_0} - 0.5\mu \left(\frac{{2q - {k_i} - {k_{i - 1}}}}{q} \right)T \right)/\csc \alpha \\ & \left| {{A_\alpha }\frac{{q - {k_{i - 1}}}}{q}T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = \left({f_0} + 0.5\mu \left(\frac{{{k_i} - {k_{i - 1}}}}{q}\right)T \right)/\csc \alpha \\ & \left| {{A_\alpha }(T - \tau )\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = {f_0}/\csc \alpha \end{aligned} \right. \end{split}$

(34)

(2) $\varDelta > q - {k_i}$ 时，当 $k' = 0$ 时，整个码元的自适应FrFT出现三峰值，峰值大小及位置为

$\begin{split} & \left| {{\mathcal{F}}_z^p[{s_i}^\varDelta ]} \right| = \\ & \left\{ \begin{aligned} & \left| {{A_\alpha }\frac{{\varDelta + {k_{i - 1}} - q}}{q}T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = \left({f_0} + 0.5\mu \left(\frac{{\varDelta + {k_{i - 1}} - q}}{q}\right)T \right)/\csc \alpha \\ & \left| {{A_\alpha }\frac{{q - {k_{i - 1}}}}{q}T\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = \left({f_0} - 0.5\mu \left(\frac{{\varDelta + {k_{i - 1}} - q}}{q}\right)T \right)/\csc \alpha \\ & \left| {{A_\alpha }(T - \tau )\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|,\\ & \quad x = {f_0}/\csc \alpha \end{aligned} \right. \end{split}$

(35)

综合情况1和情况2，第2～N个码元自适应FrFT产生的最小峰值 $\left| {{A_\alpha }(T - \tau )\exp ({{{\rm i}\pi }}({x^2}\cot \alpha )} \right|$ ，这将作为偏移 $0 < \varDelta \le q/2$ 时单个频移Chirp码元自适应FrFT的最低检测值。

证毕。

图 1 点对点毫米波混合波束成形系统

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图 2 不同波束成形算法的内部循环总次数随信噪比变化曲线

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图 3 不同波束成形算法的运行时间随信噪比的变化曲线

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图 4 不同波束成形算法的频谱效率随信噪比的变化曲线

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图 5 不同波束成形算法的误码率随信噪比的变化曲线

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算法1　计算搜索方向
输入： ${\gamma _0}{\text{ = }}1$ ， ${\mathrm{grad}}{{\boldsymbol{\mathcal{J}}}_{{{\boldsymbol{v}}_k}}}$ ，已存储的梯度向量　 $\{ {\boldsymbol{s}}_i^{(k)},{\boldsymbol{y}}_i^{(k)}\} _{i = k - m}^{k - 1}$
输出：搜索方向 ${{\boldsymbol{\eta}} _k}$
${\boldsymbol{\mathcal{H}}}_k^0 = {\gamma _k}$ ；
${\boldsymbol{d}} \leftarrow {\mathrm{grad}}{{\boldsymbol{\mathcal{J}}}_{{v_k}}}$ ；
If $m \ne 0$
for $i = k - 1,k - 2, \cdots ,k - m$ do
${\boldsymbol{\alpha}} \leftarrow {\rho _i} < {\boldsymbol{s}}_i^{(k)},{\boldsymbol{d}} >$
${\boldsymbol{d}} \leftarrow {\boldsymbol{d}} - {\alpha _i}{\boldsymbol{y}}_i^{(k)}$
end for
${\boldsymbol{e}} \leftarrow {\boldsymbol{\mathcal{H}}}_k^0{\boldsymbol{d}}$
for $i = k - m,k - m + 1, \cdots ,k - 1$
$\beta \leftarrow {\rho _i} < {\boldsymbol{y}}_i^{(k)},{\boldsymbol{e}} >$
${\boldsymbol{e}} \leftarrow {\boldsymbol{e}} + {\boldsymbol{s}}_i^{(k)} < {\varepsilon _i} - \beta >$
end for
${{\boldsymbol{\eta}} _k} = - {\boldsymbol{e}}$
else
${{\boldsymbol{\eta}} _k} = - {\boldsymbol{\mathcal{H}}}_k^0{\boldsymbol{d}}$
end if

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算法2　基于有限内存拟牛顿法的模拟预编码器算法
输入：最优全数字矩阵 ${{\boldsymbol{V}}_{\rm{opt}}}$ ，初始模拟波束成形矩阵 ${\boldsymbol{V}}_{\rm{RF}}^0$ ，内存　容量 $\forall M \in \mathbb{Z}$ 且 $M > 0$ 。
输出： ${{\boldsymbol{V}}_{\rm{RF}}}$
初始化：内部循环次数 $k = 0$ ，内存占用量 $m = 0$
根据式(10)计算黎曼梯度 ${\mathrm{grad}}{{\boldsymbol{\mathcal{J}}}_{{{\boldsymbol{v}}_0}}}$
while梯度的范数达到阈值 ${\mu _2}$
根据计算搜索方向 ${{\boldsymbol{\eta}} _k}$
线搜索并回缩得到 ${{\boldsymbol{v}}_{k + 1}}{\text{ = }}{{{R}}_{{{\boldsymbol{v}}_k}}}({\alpha _k}{{\boldsymbol{\eta}} _k})$
计算黎曼梯度 ${\mathrm{grad}}{{\boldsymbol{\mathcal{J}}}_{{{\boldsymbol{v}}_{k + 1}}}}$
计算 ${\boldsymbol{s}}_k^{(k + 1)}$ ， ${\boldsymbol{y}}_k^{(k + 1)}$ ， ${\rho _{k + 1}} = 1/ < {\boldsymbol{s}}_k^{(k + 1)},{\boldsymbol{y}}_k^{(k + 1)} >$
if 满足存储条件
计算 ${\gamma _{k + 1}} = < {\boldsymbol{s}}_k^{(k + 1)},{\boldsymbol{y}}_k^{(k + 1)} > /\|\|{\boldsymbol{y}}_k^{(k + 1)}\|{\|^2}$
if溢出
丢弃 ${\boldsymbol{s}}_{k - M}^{(k)}$ ， ${\boldsymbol{y}}_{k - M}^{(k)}$ ；
end if
历史梯度向量传输
存储 ${\text{\{ }}{\boldsymbol{s}}_k^{(k + 1)},{\boldsymbol{y}}_k^{(k + 1)}{\text{\} }}$
若 $m < M$ ，那么 $m = m + 1$ ，否则 $m = M$
else
${\gamma _{k + 1}} = {\gamma _k}$ ；
end if
$k \leftarrow k + 1$
end

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1. 引言
2. 系统模型
2.1 短数据包模型
2.2 Neyman-Pearson检测模型
3. 自适应FrFT检测方法
3.1 频移Chirp信号的检测原理
3.2 评价函数计算
3.3 复杂度分析
4. 仿真结果与分析
5. 结束语

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一种基于有限内存拟牛顿法的混合波束成形算法

doi: 10.11999/JEIT230656

通讯作者:
严军荣　yjrcn@163.com

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A Hybrid Beamforming Algorithm Based on Limited-Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

1. 引言

2. 系统模型

2.1 短数据包模型

2.2 Neyman-Pearson检测模型

3. 自适应FrFT检测方法

3.1 频移Chirp信号的检测原理

3.2 评价函数计算

3.3 复杂度分析

4. 仿真结果与分析

5. 结束语

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目录

1. 引言

2. 系统模型

2.1 短数据包模型

2.2 Neyman-Pearson检测模型

3. 自适应FrFT检测方法

3.1 频移Chirp信号的检测原理

3.2 评价函数计算

3.3 复杂度分析

4. 仿真结果与分析

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一种基于有限内存拟牛顿法的混合波束成形算法

doi: 10.11999/JEIT230656

通讯作者: 严军荣 yjrcn@163.com

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出版历程

A Hybrid Beamforming Algorithm Based on Limited-Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

1. 引言

2. 系统模型

2.1 短数据包模型

2.2 Neyman-Pearson检测模型

3. 自适应FrFT检测方法

3.1 频移Chirp信号的检测原理

3.2 评价函数计算

3.3 复杂度分析

4. 仿真结果与分析

5. 结束语

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1. 引言

2. 系统模型

2.1 短数据包模型

2.2 Neyman-Pearson检测模型

3. 自适应FrFT检测方法

3.1 频移Chirp信号的检测原理

3.2 评价函数计算

3.3 复杂度分析

4. 仿真结果与分析

5. 结束语

通讯作者:
严军荣　yjrcn@163.com