1.   引言

随着移动互联网络的不断发展，无线连接的需求呈指数级增长，这使得用户对无线通信网络的需求越来越高。更高的系统容量、更高的数据速率、更低的延迟、更高的安全性和更好的服务质量成为未来第6代无线通信系统亟待解决的问题^[1]。此外，频谱资源的短缺和大规模连接也已成为当前和未来第6代无线通信系统需要解决的困难。为了有效地解决上述挑战，研究者提出了一些极具潜力的技术来满足上述需求。例如非正交多址接入 (Non-Orthogonal Multiple Access, NOMA) ^[2]、认知无线电(Cognitive Radio, CR)^[3]。

与传统的正交多址接入技术 (Orthogonal Multiple Access, OMA)相比，NOMA可以通过功率复用以低延迟在同一资源块中服务更多用户，从而提高频谱效率，并满足大规模接入的需求。在发送端，发送器根据不同用户的信道条件向其服务的不同用户分配不同的功率，并进行叠加编码。在接收端，利用连续干扰消除技术解码用户信号^[4]。此外，NOMA可以给较弱的信道条件用户分配更多的功率，给较强信道用户分配更少的功率，从而确保用户的公平性^[5]。文献[6]为了提高网络能效性能，提出了一种在保证用户的公平性的条件下的基于功率域NOMA的能效优化算法。为了支持超可靠性、高吞吐量和多个并发连接，文献[7]研究了混合自动重复请求辅助NOMA系统的中断概率的分集顺序相对于发射功率的变化。文献[8]为了有效缓解频谱资源，提出了一种基于功率域NOMA的无线携能D2D网络鲁棒能效最大化资源分配的算法。

除此之外，CR也是一种具有高频谱利用率的无线传输技术。在CR网络中，次级网络可以在一定条件下访问主网络的授权频谱，从而提高网络频谱利用率^[9]。在CR网络模型中，覆盖认知是一种很具潜力的方式，因为它能支持主网络和次级网络同时传输。次级用户可作为中继为主网络接收端提供服务，也可使用主网络的频谱资源传输自己信息^[10]。

为了进一步提高网络性能，许多研究人员将CR技术引入NOMA网络。文献[11]通过推导了衬底式CR-NOMA网络中次级用户成对错误概率的闭式表达式，分析了该网络的性能。文献[12]考虑了一个衬底CR-NOMA网络，并推导了所有次级用户的保密和速率的解析表达式，以研究该网络的保密性能。文献[13]提出了一种NOMA辅助的合作频谱共享框架，结果表明此框架有明显的优点，可以改善系统性能。

为了更加全面研究非理想条件对系统影响，在中继处引入非线性功率放大器，将信号放大后转发到目的节点。实际上，高功率放大器可以建模为无记忆的，其特征是振幅到振幅和振幅到相位的转换。在实践中，无记忆高功率放大器最常用的型号是固态功率放大器、行波管放大器和软包络限制器(Soft Envelope Limiter, SEL)^[14]。文献[15]研究了残余硬件损伤、信道估计误差和非理想连续干扰消除(incomplete Successive Interference Cancellation, ipSIC)对Nakagami-m信道NOMA系统的影响，推导了中断概率(Outage Probability, OP)和遍历和率的精确表达式且对高信噪比下的中断进行渐进分析。考虑非线性功率放大(Non-Linear Power Amplification, NLPA)和非完美信道状态信息(Channel State Information, CSI)，文献[16]导出了OP的闭式表达式，并根据渐近OP得到系统的分集阶数，研究了双向多中继网络性能，并分析非理性因素对系统性能的影响。文献[17]研究了具有非完美CSI和NLPA的多中继网络在Nakagami-m衰落信道上的性能，推导了整数衰落参数和非整数衰落参数的OP的闭合表达式，并对OP进行了渐近分析，得到所考虑的多中继系统的分集阶数。文献[18]基于大尺度衰落的干扰消除顺序，分析干扰消除的误差情况，进一步推导出距基站由近至远次序为k的用户设备的覆盖概率，并利用平均覆盖概率来研究ipSIC条件下对NOMA上行传输系统性能的影响。

尽管许多学者已经对NOMA, CR, NLPA, ipSIC和非完美CSI进行了研究，但关于上述因素对系统性能的联合影响的研究很少。为了弥补这点缺陷，本文提出一种CR-NOMA系统，并考虑影响系统实际性能的NLPA、信道估计误差和ipSIC因素。所考虑系统由主网络和次级网络组成。在主网络中，主发射机发送叠加信息给主用户(Primary User, PU)。在次级网络中，次级用户(Secondary User, SU)接收自己的信息，并充当主网络的中继转发信息给PU。考虑该中继使用NLPA。基于所提模型，通过推导给出了OP和吞吐量(System Throughput, ST)的解析表达式。为了进一步获得参数对性能的影响，分析了高信噪比区域下的渐近OP性能，并给出高信噪比系统分集增益，揭示NLPA, ipSIC和非完美CSI 3种干扰因素同时存在的条件下对CR-NOMA性能的复合影响。

2.   系统模型

本文考虑提出一种覆盖式CR-NOMA系统，本系统包括1个主发射机(Primary Transmitter, PT)、主远端接收用户(PRimary user, PR1)、主近端接收用户(PR2)、次发射机(Secondary Transmitter, ST)和次级接收用户(Secondary User, SR)，如图1所示。为了提高PR1性能，SR充当中继转发信息到PR1。本研究考虑实际中存在的3种非理想因素：(1) 非完美CSI；(2) 非理想SIC；(3) SR采用NLPA。注：在实际通信中，网络中所有设备均可能使用NLPA，本研究为了便于分析假设只有SR采用NLPA。此外，本文还假设：(1) 所有节点都配备1个天线；(2) 所有信道均遵循独立非同分布的瑞利衰落。

图 1  系统模型

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现实系统中获得完美CSI非常困难，常用方法是通过信道估计算法来获得估计信道。本文考虑使用线性最小均方误差(Linear Minimum Mean Square Error, LMMSE)，因为LMMSE考虑噪声的影响，且具有较低的计算复杂度。正如文献[19]所示，信道系数为：${h_i} = {\hat h_i} + {e_i}\left( {i = p{p_i},p{s_1},s{s_1},{s_1}{p_i}} \right)$。其中${e_i} \sim {\text{CN}}\left( {0,\sigma ^2_{{e_i}}} \right)$为估计误差，$\sigma ^2_{{e_i}}$是固定的常数^[20]，${\hat h_i}$是估计信道系数。由于LMMSE算法的正交性，${\hat h_i}$和${e_i}$独立正交，估计信道服从分布： ${\hat h_{p{p_1}}} \sim {\text{CN}}\left( {0,{\lambda _{p{p_1}}}} \right)$, ${\hat h_{p{p_2}}} \sim {\text{CN}}\left( {0,{\lambda _{p{p_2}}}} \right)$, ${\hat h_{p{s_1}}} \sim {\text{CN}} \left( {0,{\lambda _{p{s_1}}}} \right)$, ${\hat h_{s{s_1}}} \sim {\text{CN}} \left( {0,{\lambda _{s{s_1}}}} \right)$, ${\hat h_{{s_1}{p_1}}} \sim {\text{CN}}\left( {0,{\lambda _{{s_1}{p_1}}}} \right)$, ${\hat h_{{s_1}{p_2}}} \sim {\text{CN}} \left( {0,{\lambda _{{s_1}{p_2}}}} \right)$。整个通信过程分为两个时隙。

2.1   第1时隙

在第1时隙中，PT通过功率域多路复用将叠加信号传输至PR1,PR2,SR,PR1接收的信号可以写为：${y_{p{p_1}}} = \left( {{{\hat h}_{p{p_1}}} + {e_{p{p_1}}}} \right)\left( {\sqrt {{\alpha _1}{p_p}} {x_{p,1}} + \sqrt {{\alpha _2}{p_p}} {x_{p,2}}} \right) + {n_{p{p_1}}}$，其中${x_{p,1}}$和${x_{p,2}}$是发给PR1和PR2的信息，且满足${\rm{E}}\left( {{{\left| {{x_{p,1}}} \right|}^2}} \right) = 1,{\rm{E}}\left( {{{\left| {{x_{p,2}}} \right|}^2}} \right) = 1$；${p_p}$是PT的发射功率；${\alpha _1}$和${\alpha _2}$分别是发射信息${x_{p,1}}$，${x_{p,2}}$的发射机的功率分配系数且需满足${\alpha _1} + {\alpha _2} = 1$。${n_{p{p_1}}}$表示复杂的高斯噪声，它服从分布${n_{p{p_1}}} \sim {\text{CN}}\left( {0,\sigma ^2_{p{p_1}}} \right)$。为使计算方便，后面所涉及的噪声方差均设为$\sigma ^2_{p{p_1}} = \sigma ^2_{p{p_2}} = \sigma ^2_{p{s_1}} = \sigma ^2_{s{s_1}} = \sigma ^2_{{s_1}{p_1}} = \sigma ^2_{{s_1}{p_2}} = \sigma ^2$。

PR1解码${x_{p,1}}$并将${x_{p,2}}$视为干扰，则接收到的信干噪比(Signal to Interference and Noise Ratio, SINR)可以表示为

其中，${\rho _p} = {{{p_p}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{p_p}} {{\sigma ^2}}}} \right. } {{\sigma ^2}}}$是PT处的发射SINR。

PR2接收的信号可以表示为：${y_{p{p_2}}} = \Bigr( {{\hat h}_{p{p_2}}} + {e_{p{p_2}}} \Bigr)\left( {\sqrt {{\alpha _1}{p_p}} {x_{p,1}} + \sqrt {{\alpha _2}{p_p}} {x_{p,2}}} \right) + {n_{p{p_2}}}$，其中${n_{p{p_2}}} \sim {\text{CN}} \left( {0,\sigma ^2_{p{p_2}}} \right)$。PR2先对${x_{p,1}}$解码，再对${x_{p,2}}$解码。在PR2处解码${x_{p,1}}$的SINR为

在实际应用中，接收机传输和检测过程中总是存在一些类型的错误，例如同步错误、残余损伤或内在约束。假设在PR2处发生ipSIC，则在PR2处解码${x_{p,2}}$的SINR为

其中，${g_1}$代表ipSIC系数，$0 \le {g_1} \le 1$, ${g_1} = 0$和${g_1} = 1$分别表示理想SIC和无SIC。后面所涉及的${g_2}$和${g_3}$均代表ipSIC系数，满足$0 \le {g_2} \le 1$, $0 \le {g_3} \le 1$。

SR接收的信号可以表示为：${y_{p{s_1}}} = \Bigr( {{\hat h}_{p{s_1}}} + {e_{p{s_1}}} \Bigr)\left( {\sqrt {{\alpha _1}{p_p}} {x_{p,1}} + \sqrt {{\alpha _2}{p_p}} {x_{p,2}}} \right) + {n_{p{s_1}}}$，其中${n_{p{s_1}}} \sim {\text{CN}}\left( {0,\sigma ^2_{p{s_1}}} \right)$。SR先解码${x_{p,1}}$，再解码${x_{p,2}}$。故SR处解码${x_{p,1}}$,${x_{p,2}}$的SINR为

2.2   第2时隙

在第2时隙中，SR从ST接收信息${x_s}$，SR同时充当中继，从PT处接收${x_{p,1}}$,${x_{p,2}}$信息，之后经NLPA放大转发信息到PR1和PR2。故在SR处接收PT的信号可以表示为：${y_{p{s_1}}} = \left( {{{\hat h}_{p{s_1}}} + {e_{p{s_1}}}} \right) \left( {\sqrt {{\alpha _1}{p_p}} {x_{p,1}} + \sqrt {{\alpha _2}{p_p}} {x_{p,2}}} \right) \;+\; {n_{p{s_1}}}$，其中${n_{p{s_1}}} \sim {\text{CN}} \left( {0,\sigma ^2_{p{s_1}}} \right)$，放大转发增益(Amplify-and-forward, AF)操作应用于${y_{p{s_1}}}$，放大后信息为：$y_{p{s_1}}^{{\text{AF}}} = G{y_{p{s_1}}}$，其中$G = \sqrt {{{{\rho _s}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\rho _s}} {\left( {{{\left| {{{\widehat h}_{p{s_1}}}} \right|}^2}{\rho _p} + {\sigma ^2}_{{e_{p{s_1}}}}{\rho _p}} \right) + 1}}} \right. } {\left( {{{\left| {{{\widehat h}_{p{s_1}}}} \right|}^2}{\rho _p} + \sigma ^2_{{e_{p{s_1}}}}{\rho _p}} \right) + 1}}}$，G为放大增益^[21]，${\rho _s} = {{{p_s}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{p_s}} {{\sigma ^2}}}} \right. } {{\sigma ^2}}}$，${p_s}$和${\rho _s}$为ST发射功率和发射信噪比。根据线性化定理，NLPA的输出为^[22,23]：$y_{p{s_1}}^{{\text{NLPA}}} = {C_0}y_{p{s_1}}^{{\text{AF}}} + {N_0}$，其中${N_0} \sim {\text{CN}} (0,{\varOmega _{{N_0}}})$，${C_0}$为常量值。考虑NLPA中SEL模型^[24]，SEL用于模拟具有完美预失真的高功率放大器，其中两个常量值可表示为${C_0} = 1 - \exp \left( {{{ - A_{{\text{sat}}}^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - A_{{\text{sat}}}^2} {{p_s}}}} \right. } {{p_s}}}} \right) + \left( {{{{A_{{\text{sat}}}}\sqrt \pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{{A_{{\text{sat}}}}\sqrt \pi } {2\sqrt {{p_s}} }}} \right. } {2\sqrt {{p_s}} }}} \right){\text{erfc}}\left( {{{{A_{{\text{sat}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{A_{{\text{sat}}}}} {\sqrt {{p_s}} }}} \right. } {\sqrt {{p_s}} }}} \right)$, ${\varOmega _{{N_0}}} = {p_s} - {p_s} \exp \left( {{{ - A_{{\text{sat}}}^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - A_{{\text{sat}}}^2} {{p_s}}}} \right. } {{p_s}}}} \right) - {p_s}{\left| {{C_0}} \right|^2}$，其中，${A_{{\text{sat}}}}$代表PA的饱和振幅。之后SR广播放大的NLPA信息。

PR1接收的信号表示为：${y_{{s_1}{p_1}}} = \Bigr( {{\hat h}_{{s_1}{p_1}}} + {e_{{s_1}{p_1}}} \Bigr)y_{p{s_1}}^{{\text{NLPA}}} + {n_{{s_1}{p_1}}}$，其中${n_{{s_1}{p_1}}} \sim {\text{CN}}\left( {0,\sigma ^2_{{s_1}{p_1}}} \right)$即 ${y_{{s_1}{p_1}}} = \left( {{{\widehat h}_{{s_1}{p_1}}} + {e_{{s_1}{p_1}}}} \right)$$\Bigr[ {C_0}G\left( {{{\widehat h}_{p{s_1}}} + {e_{p{s_1}}}} \right)\left( \sqrt {{\alpha _1}{p_p}} {x_{p,1}} + \sqrt {{\alpha _2}{p_p}} {x_{p,2}} \right) + N_0 + {C_0}G{n_{p{s_1}}} \Bigr] + {n_{{s_1}{p_1}}}$。PR1只解码${x_{p,1}}$而将其他信号视为干扰，故PR1处的SINR可表示为

其中，${C_1} = {\alpha _1}{\rho _p}$, ${C_2} = {\alpha _2}{\rho _p} + {{{\varOmega _{{N_0}}}{\rho _p}}/{{C_0}^2\sigma ^2{\rho _s}}}$, ${C_3} = \sigma ^2_{{e_{p{s_1}}}}{\rho _p} + 1 + {{{\varOmega _{{N_0}}}\left( {\sigma ^2_{{e_{p{s_1}}}}{\rho _p} + 1} \right)}/ {{C_0}^2\sigma ^2{\rho _s}}}$, ${C_4} = \sigma ^2_{{e_{{s_1}{p_1}}}}{\rho _p} + {{\left( {{\varOmega _{{N_0}}}\sigma ^2_{{e_{{s_1}{p_1}}}} + \sigma ^2} \right){\rho _p}}/ {{C_0}^2\sigma ^2{\rho _s}}}$, ${C_5} = \sigma ^2_{{e_{p{s_1}}}} \sigma ^2_{{e_{{s_1}{{p_1}}}}}{\rho _p} + \sigma ^2_{{e_{{s_1}{p_1}}}} + \left( {{\varOmega _{{N_0}}}\sigma ^2_{{e_{{s_1}{p_1}}}} + \sigma ^2} \right) {{\left( {\sigma ^2_{{e_{p{s_1}}}}{\rho _p} + 1} \right)} / {{C_0}^2\sigma ^2 {\rho _s}}}$ 。

PR2接收的信号表示为：${y_{{s_1}{p_2}}} = \bigr( {{\hat h}_{{s_1}{p_2}}} + {e_{{s_1}{p_2}}} \bigr)y_{p{s_1}}^{{\text{NLPA}}} + {n_{{s_1}{p_2}}}$，其中${n_{{s_1}{p_2}}} \sim {\text{CN}}\left( {0,\sigma ^2_{{s_1}{p_2}}} \right)$，即 ${y_{{s_1}{p_2}}} = \left( {{{\widehat h}_{{s_1}{p_2}}} + {e_{{s_1}{p_2}}}} \right)$$\Bigr[ {C_0}G\left( {{{\widehat h}_{p{s_1}}} + {e_{p{s_1}}}} \right)\left( \sqrt {{\alpha _1}{p_p}} {x_{p,1}} + \sqrt {{\alpha _2}{p_p}} {x_{p,2}} \right)+N_0 + {C_0}G{n_{p{s_1}}} \Bigr] + {n_{{s_1}{p_2}}}$。PR2先解码边缘用户的信息${x_{p,1}}$，再解码自己的信息${x_{p,2}}$。因此，PR2处解码${x_{p,1}}$, ${x_{p,2}}$的SINR可表示为

其中，${C_6} = \sigma ^2_{{e_{{s_1}{p_2}}}}{\rho _p} + {{\left( {{\varOmega _{{N_0}}}\sigma ^2_{{e_{{s_1}{p_2}}}} + \sigma ^2} \right){\rho _p}} / {{C_0}^2\sigma ^2{\rho _s}}}$, ${C_7} \;=\; \left( {{\varOmega _{{N_0}}}\sigma ^2_{{e_{{s_1}{p_2}}}} + \sigma ^2} \right)\;{{\left( {\sigma ^2_{{e_{p{s_1}}}}{\rho _p} + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\sigma ^2_{{e_{p{s_1}}}}{\rho _p} + 1} \right)} {{C_0}^2\sigma ^2{\rho _s}}}} \right. } {{C_0}^2\sigma ^2{\rho _s}}} +$ $\sigma ^2_{{e_{p{s_1}}}}\sigma ^2_{{e_{{s_1}{{p_2}}}}}{\rho _p} + \sigma ^2_{{e_{{s_1}{{p_2}}}}}$, ${C_8} = {\alpha _2}{\rho _p}$, ${C_9} = {g_3}{\alpha _1}{\rho _p} + {{{\varOmega _{{N_0}}}{\rho _p}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\varOmega _{{N_0}}}{\rho _p}} {{C_0}^2\sigma ^2{\rho _s}}}} \right. } {{C_0}^2\sigma ^2{\rho _s}}}$。

SR接收的信号表示为：${y_{s{s_1}}} = \left( {{{\hat h}_{s{s_1}}} + {e_{s{s_1}}}} \right) \sqrt {{p_s}} {x_s} + {n_{s{s_1}}}$，其中${n_{s{s_1}}} \sim {\text{CN}}\left( {0,{\sigma ^2}_{s{s_1}}} \right)$。当解码${x_s}$时，SR处的SINR可以表示为

3.   系统性能分析

3.1   中断概率分析

根据NOMA协议，在两种情况下PR1会发生中断事件：(1)PR1无法解码直连链路的信息${x_{p,1}}$；(2)SR成功放大转发来自PT的信息后，PR1无法成功解码信息${x_{p,1}}$。因此，PR1处的中断概率可表示为

其中，${r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}$表示${x_{p,1}}$的目标SINR。注：后面提到的${r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}$和${r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{3}}}}}$表示${x_{p,2}}$和${x_s}$的目标SINR。

命题1　PR1处中断概率的解析表达式为

其中，${M_1} \;=\; {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}\left( {{\sigma ^2}_{{e_{p{p_1}}}}{\rho _p} + 1} \right)}\; \mathord{\left/ {\vphantom {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}\left( {{\sigma ^2}_{{e_{p{p_1}}}}{\rho _p} + 1} \right)} {\left[ {{\rho _p}\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right)} \right]}}} \right. } {\left[ {{\rho _p}\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right)} \right]}}$, ${\theta _1} = {{{C_3}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{C_3}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} {\left( {{C_1} - {C_2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_1}}}} \right)}}} \right. } {\left( {{C_1} - {C_2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_1}}}} \right)}}$, ${M_2} = 4{C_4}{\theta _1} \left( {{\theta _1} + {C_5}} \right) / {C_3}{\lambda _{{s_1}{p_1}}}$, ${M_3} = \left( {{{{C_4}{\theta _1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{C_4}{\theta _1}} {{\lambda _{{s_1}{p_1}}}{C_3}}}} \right. } {{\lambda _{{s_1}{p_1}}}{C_3}}}} \right) + \left( {{{{\theta _1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\theta _1}} {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right. } {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right)$， 且式子须满足$0 < {r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}} < {\alpha _1}/{\alpha _2}$，否则$P_{{\text{out}}}^{{\text{PR1}}} = 1$。

推论1　高信噪比下PR1中断概率为

其中，${M_4}\; =\; {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}{\sigma ^2}_{{e_{p{p_1}}}}} \;\mathord{\left/ {\vphantom {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}{\sigma ^2}_{{e_{p{p_1}}}}} {\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right)}}} \right. } {\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right)}}$, ${M_5} \;= \left[ {r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}} \left( {{{{\sigma ^2}_{{e_{{s_1}{p_1}}}}}/ {{\lambda _{{s_1}{p_1}}}}}} \right) + \left( {{{{\sigma ^2}_{{e_{p{s_1}}}}} / {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right) \right]/ {\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right)}$, ${\theta _3}$和n均为常数，${M_6} = {{{M_2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{M_2}} {\sqrt {{\lambda _{p{s_1}}}} }}} \right. } {\sqrt {{\lambda _{p{s_1}}}} }}$, ${M_7} = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 0}^{n - 1} {{{\left( {{{\sqrt {{\lambda _{p{s_1}}}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {{\lambda _{p{s_1}}}} } {2\sqrt {{M_2}} }}} \right. } {2\sqrt {{M_2}} }}} \right)}^k}\;\left( {{{\varGamma \left( {k + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}} \right)} \;\mathord{\left/ {\vphantom {{\varGamma \left( {k + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}} \right)} {\left( {k!\Gamma \left( {{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2} - k} \right)} \right)}}} \right. } \;{\left( {k!\varGamma \left( {{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2} \;-\; k} \right)} \right)}}} \right)} \;$+ ${{{\theta _3}\varGamma \left( {n + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\theta _3}\Gamma \left( {n + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}} \right)} {\left( {{{\left( {2\sqrt {{M_2}/{\lambda _{p{s_1}}}} } \right)}^n}n!\varGamma \left( {{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2} - n} \right)} \right)}}} \right. } {\left( {{{\left( {2\sqrt {{M_2}/{\lambda _{p{s_1}}}} } \right)}^n}n!\varGamma \left( {{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2} - n} \right)} \right)}}$。

推论2　理想状态下PR1中断概率的高信噪比近似$\left( {{\sigma ^2}_{{e_i}} = {g_i} = {\varOmega _{{N_0}}} = 0,{C_0} = 1} \right)$

其中，${B_1} = {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} {\left( {\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right){\rho _p}} \right)}}} \right. } {\left( {\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right){\rho _p}} \right)}}$。

根据NOMA协议，在两种情况下PR2会发生中断事件：(1)PR2无法解码直连链路的信息${x_{p,1}}$, ${x_{p,2}}$；(2)SR成功放大转发来自PT的信息后，PR2无法成功解码信息${x_{p,1}}$, ${x_{p,2}}$。因此，PR1处的中断概率可表示为

命题2　PR2处中断概率的解析表达式为

其中，${M_8} = {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}\left( {\sigma ^2_{{e_{p{p_2}}}}{\rho _p} + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}\left( {{\sigma ^2}_{{e_{p{p_2}}}}{\rho _p} + 1} \right)} {\left( {{\rho _p}\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right)} \right)}}} \right. } {\left( {{\rho _p}\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right)} \right)}}$, ${M_9} = {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}\left( {\sigma ^2_{{e_{p{p_2}}}}{\rho _p} + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}\left( {{\sigma ^2}_{{e_{p{p_2}}}}{\rho _p} + 1} \right)} {{\rho _p}\left( {{\alpha _2} - {\alpha _1}{g_1}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}} \right)}}} \right. } {{\rho _p}\left( {{\alpha _2} - {\alpha _1}{g_1}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}} \right)}}$, ${M_{10}} =$$\max \left( {{M_8},{M_9}} \right) , {M_{11}} = \left( {{{{C_6}{\theta _1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{C_6}{\theta _1}} {{\lambda _{{s_1}{p_2}}}{C_3}}}} \right. } {{\lambda _{{s_1}{p_2}}}{C_3}}}} \right) + \left( {{{{\theta _1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\theta _1}} {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right. } {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right)$, ${M_{12}} = {{4{C_6}{\theta _1}\left( {{\theta _1} + {C_7}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{4{C_6}{\theta _1}\left( {{\theta _1} + {C_7}} \right)} {{C_3}{\lambda _{{s_1}{p_2}}}}}} \right. } {{C_3}{\lambda _{{s_1}{p_2}}}}}$, ${M_{13}} = 1 - \sqrt {{M_{12}}{\lambda _{p{s_1}}}} {K_1}\left( {\sqrt {{{{M_{12}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{M_{12}}} {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right. } {{\lambda _{p{s_1}}}}}} } \right){{\text{e}}^{ - {M_{11}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {{M_{12}}{\lambda _{p{s_1}}}} {K_1}\left( {\sqrt {{{{M_{12}}} / {{\lambda _{p{s_1}}}}}} } \right){{\text{e}}^{ - {M_{11}}}}} {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right. } {{\lambda _{p{s_1}}}}$, ${M_{14}} = \left( {{{{C_6}{\theta _2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{C_6}{\theta _2}} {{\lambda _{{s_1}{p_2}}}{C_3}}}} \right. } {{\lambda _{{s_1}{p_2}}}{C_3}}}} \right) + \left( {{{{\theta _2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\theta _2}} {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right. } {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right)$ , ${M_{15}} = 4{C_6}{\theta _2}{{\left( {{\theta _2} + {C_7}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{\theta _2} + {C_7}} \right)} {{C_3}{\lambda _{{s_1}{p_2}}}}}} \right. } {{C_3}{\lambda _{{s_1}{p_2}}}}}$, ${M_{16}} = 1 - {{\sqrt {{M_{15}}{\lambda _{p{s_1}}}} {K_1}\left( {\sqrt {{{{M_{15}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{M_{15}}} {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right. } {{\lambda _{p{s_1}}}}}} } \right){{\text{e}}^{ - {M_{14}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {{M_{15}}{\lambda _{p{s_1}}}} {K_1}\left( {\sqrt {{{{M_{15}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{M_{15}}} {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right. } {{\lambda _{p{s_1}}}}}} } \right){{\text{e}}^{ - {M_{14}}}}} {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right. } {{\lambda _{p{s_1}}}}}$, ${M_{17}} = \max \left( {{M_{13}},{M_{16}}} \right)$, ${\theta _2} = {{{C_3}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{C_3}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}} {\left( {{C_8} - {C_9}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right)}}} \right. } {\left( {{C_8} - {C_9}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}} \right)}}$，以上式子必须满足条件$0 < {r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}} < {\alpha _1}/{\alpha _2}$，否则$P_{{\text{out}}}^{{\text{PR2}}} = 1$。

推论3　高信噪比下PR2中断概率为

其中，${M_{18}} = {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}\sigma ^2_{{e_{p{p_2}}}}} /{\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right)}}$, ${M_{19}} = {r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}} \sigma ^2_{{e_{p{p_2}}}}/ {\left( {{\alpha _2} - {\alpha _1}{g_1}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}} \right)}$, ${M_{20}} = \max \left( {{M_{18}},{M_{19}}} \right)$, ${M_{21}} = {{{M_{12}}} / {\sqrt {{\lambda _{p{s_1}}}} }}$, ${M_{22}} = {{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}\left( { \left( {{{\sigma ^2_{{e_{{s_1}{p_2}}}}} / {{\lambda _{{s_1}{p_2}}}}}} \right) + \left( {{{\sigma ^2_{{e_{p{s_1}}}}} / {{\lambda _{{s_1}{p_2}}}}}} \right)} \right)}/ {\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right)}$, ${M_{23}} = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 0}^{n - 1} {} {\left( {{{\sqrt {{\lambda _{p{s_1}}}} } / {2\sqrt {{M_{12}}} }}} \right)^k} \left( \varGamma \left( k + {3 / 2} \right) / {\left( {k!\varGamma \left( {{3 / 2} - k} \right)} \right)} \right) + {{\theta _3}\varGamma \left( {n + {3/ 2}} \right)} / \left( {{\left( {2\sqrt {{M_{12}} / {\lambda _{p{s_1}}}} } \right)}^n}\right.$ $n!\varGamma \left( {{3 / 2} - n} \right) \Bigr)$, ${M_{24}} = 1 - {M_{23}}\sqrt {{\pi /2}} {{\text{e}}^{ - {M_{21}} - {M_{22}}}}$, ${M_{25}} = {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}\left( {\left( {{{\sigma ^2_{{e_{{s_1}{p_2}}}}} / {{\lambda _{{s_1}{p_2}}}}}} \right) + \left( {{{\sigma ^2_{{e_{p{s_1}}}}}/ {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right)} \right)}/ {\left( {{\alpha _1} - {\alpha _2}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right)}}$, ${M_{27}} = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 0}^{n - 1} {} {\left( {{{\sqrt {{\lambda _{p{s_1}}}} }/ {2\sqrt {{M_{15}}} }}} \right)^k} \left( {{{\varGamma \left( {k + {3 /2}} \right)} / {\left( {k!\varGamma \left( {{3 / 2} - k} \right)} \right)}}} \right)$ $+{{\theta _3}\varGamma \left( {n + {3/ 2}} \right)}/ {\left( {{{\left( {2\sqrt {{M_{15}}/{\lambda _{p{s_1}}}} } \right)}^n}n!\varGamma \left( {{3 /2} - n} \right)} \right)}$, ${M_{26}} = {{{M_{15}}} / {\sqrt {{\lambda _{p{s_1}}}} }}$, ${M_{28}} = 1 - {M_{27}}\sqrt {{\pi/ 2}} {{\text{e}}^{ - {M_{25}} - {M_{26}}}}$, ${M_{29}} = \max \left( {{M_{24}},{M_{28}}} \right)$。

推论4　理想状态下PR2中断概率的高信噪比近似

其中，${B_2} = {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}}} {\left( {\left( {{\alpha _2} - {\alpha _1}{g_1}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right){\rho _p}} \right)}}} \right. } {\left( {\left( {{\alpha _2} - {\alpha _1}{g_1}{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}}} \right){\rho _p}} \right)}}$, ${B_3} = \max \left( {{B_1},{B_2}} \right)$, ${B_4} = {{{B_1}{\rho _p}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{B_1}{\rho _p}} {{\lambda _{{s_1}{p_2}}}{\rho _s}}}} \right. } {{\lambda _{{s_1}{p_2}}}{\rho _s}}} + {{{B_1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{B_1}} {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right. } {{\lambda _{p{s_1}}}}}$, ${B_5} = {B_2}{\rho _p}$ $/{\lambda _{{s_1}{p_2}}}{\rho _s} + {{{B_2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{B_2}} {{\lambda _{p{s_1}}}}}} \right. } {{\lambda _{p{s_1}}}}} , {B_6} = \max \left( {{B_4},{B_5}} \right)$。

当SR未能解码信息${x_s}$时将发生中断，故SR处的中断概率可表示

命题3　SR处中断概率的解析表达式为

其中，${M_{30}} = {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{3}}}}}\left( {{\sigma ^2}_{{e_{s{s_1}}}}{\rho _s} + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{3}}}}}\left( {{\sigma ^2}_{{e_{s{s_1}}}}{\rho _s} + 1} \right)} {{\rho _s}}}} \right. } {{\rho _s}}}$。

推论5　高信噪比下SR中断概率为

推论6　理想状态下SR中断概率的高信噪比近似

为了获得更多的信息，提供了PR1, PR2和SR在高信噪比区域下根据中断概率进行的渐进分集阶数分析。分集阶数定义为^[20]

推论7　PR1, PR2和SR的分集阶数可以表示为

从推论1、推论3和推论5可以发现，当传输的信噪比接近无穷大时，PR1, PR2和SR渐近运算结果变成一个固定常数，这表明运算有一个误差下限，导致分集阶数为0。

3.2   吞吐量分析

ST是描述频谱利用率的重要性能指标。利用导出的OP表达式，可以得到ST为

4.   仿真分析

本节为了验证分析的准确性，提供了以下数值结果，这些结果是基于${10^6}$蒙特卡罗模拟的。若无特殊说明，仿真中系统预设参数如下：功率分配系数${\alpha _1} = 0.9$, ${\alpha _2} = 0.1$，估计信道系数${\lambda _{p{p_1}}} = 2$, ${\lambda _{p{p_2}}} = 4$, ${\lambda _{p{s_1}}} = 0.1$, ${\lambda _{s{s_1}}} = 2$, ${\lambda _{{s_1}{p_1}}} = 1$, ${\lambda _{{s_1}{p_2}}} = 1$，信道估计误差${\sigma ^2}_{{e_{p{p_1}}}} = 0.05$, ${\sigma ^2}_{{e_{p{p_2}}}} = 0.05$, ${\sigma ^2}_{{e_{p{s_1}}}} = 0.01$, ${\sigma ^2}_{{e_{s{s_1}}}} = 0.03$, ${\sigma ^2}_{{e_{{s_1}{p_1}}}} = 0.02$, ${\sigma ^2}_{{e_{{s_1}{p_2}}}} = 0.06$，噪声功率${\sigma ^2}_{p{p_1}} = {\sigma ^2}_{p{p_2}} = {\sigma ^2}_{p{s_1}} = {\sigma ^2}_{s{s_1}} = {\sigma ^2}_{{s_1}{p_1}} = {\sigma ^2}_{{s_1}{p_2}} = {\sigma ^2} = 1$，ipSIC系数${g_1} = {g_2} = {g_3} = 0.001$，目标SINR参数${r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{1}}}}} = 0.8$, ${r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{2}}}}} = 0.9$, ${r_{{\text{t}}{{\text{h}}_{\text{3}}}}} = 2$。

图2表示用户在理想和非理想条件下的中断概率曲线，在理想条件下参数设置如下：$\sigma ^2_{{e_i}} = {g_i} = {\varOmega _{{N_0}}} = 0$, ${C_0} = 1$。从图2可以看出，理论分析结果曲线与仿真结果曲线高度一致。随着传输功率的增加，PR1,PR2,SR的中断概率逐渐减小，最终收敛到一个固定值，产生误差下限。在高信噪比范围内，本文发现中断概率分析结果与渐近结果基本一致。此外，理想条件下用户的中断概率值均小于非理想条件下的中断概率值。结果表明，NLPA, ipSIC和估计误差的存在降低了系统的可靠性。

图 2  理想和非理想条件下用户的OP与信噪比关系图

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图3表示用户在理想和非理想条件下的吞吐量曲线，在理想条件下的参数设置同上。随着传输功率的增加，PR1, PR2, SR和系统总的吞吐量逐渐增大，最终收敛到一个固定值。这是因为当${\rho _p} \to \infty$, ${\rho _s} \to \infty$时，如上述推论可知，中断概率趋于一个固定常数，而吞吐量和中断概率趋势保持一致，故在高信噪比下也会趋于一个固定值。此外，理想条件下每个用户和系统总的吞吐量值均大于非理想条件下的吞吐量。这从另一方面证明了NLPA, ipSIC和估计误差的存在降低了系统的可靠性。

图 3  理想和非理想条件下用户的ST与信噪比关系图

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图4绘制不同的功率分配系数${\alpha _2}$和用户中断概率之间的关系，设传输功率为40 dB。随着功率分配系数${\alpha _2}$的增加，PR1的中断概率逐渐增大，PR2的中断概率先减小后增大，这是由功率分配系数的约束引起的。随着${\alpha _2}$增大，解码${x_{p,2}}$的困难程度降低，解码${x_{p,1}}$的困难程度增加。但就总体看来，功率分配系数对中断概率的影响不是很大。此外，随着目标SINR参数的减小用户的中断概率也减小，系统的可靠性增高。

图 4  用户的OP与功率分配系数${\alpha _2}$关系图

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图5绘制不同功率分配系数${\alpha _2}$和用户吞吐量之间的关系，设传输功率为40 dB。随着功率分配系数${\alpha _2}$的增加，PR1, PR2和系统吞吐量的变化忽略不计，即其对系统可靠性影响很小。此外，随着目标SINR参数的减小用户的吞吐量增大，系统的可靠性增高。

图 5  用户的ST与功率分配系数${\alpha _2}$关系图

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5.   结束语

本文提出一种基于NOMA的CR系统，考虑NLPA, ipSIC和非完美CSI对该系统可靠性的影响，推导了OP和ST的闭合表达式、OP的分集阶数、用户在高信噪比下OP的渐近表达式以及理想和非理想情况下的OP和ST的表达式。为了验证分析的准确性，进行了一系列蒙特卡罗模拟，仿真结果和实际分析相吻合。结果表明：随着传输功率的增加，用户的OP逐渐减小，ST逐渐增大，系统可靠性增强；OP逐渐减小，在某一值处将不再发生变化，从而产生误差下限；理想与非理想仿真对比表明NLPA、ipSIC和估计误差的存在降低了系统的可靠性；目标SINR参数减小可以使用户的OP减小，增强系统的可靠性；功率分配系数可以影响OP和ST但整体影响不大。最后本文指出：提高系统的可靠性可通过在信道模型中增加距离来实现，而且可以通过分析系统的遍历性来进一步了解参数对系统的影响，具体工作将在未来的研究中进一步展开。