UAV-relay Assisted Covert Communication with Finite Block-length
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摘要: 由于中长距离的无线隐蔽通信中信号发射功率较大，容易被监测者检测到，针对此问题该文提出无人机(UAV)中继协助的有限码长隐蔽传输方案。首先，根据无人机通信的信道模型，推导从发射机经过无人机中继到合法接收机的信噪比(SNR)，得到隐蔽传输中断概率及吞吐量的表达式；然后，分析监测者的检测性能, 即KL(Kullback-Leibler)散度，并将其作为隐蔽通信的约束条件；最后，在此约束的条件下，联合优化发射机和中继的发射功率以及无人机的飞行高度，从而最大化隐蔽通信的吞吐量。仿真结果验证了系统的隐蔽性能，并且通过与缺少无人机协助的传统方案对比，揭示所提出的无人机中继隐蔽传输方案可以有效地降低监测者的KL散度。Abstract: To avoid the high detection in long-distance covert communications due to the large transmission power, an Unmanned Aerial Vehicle (UAV)-relay based covert communication scheme with finite block block-length is proposed in this paper. Firstly, the Signal-to -Noise-Ratio (SNR) at the legal receiver via the UAV-relay is derived, based on which the outage probability and throughput of the covert communication link are also obtained. Secondly, the detection performance of the monitor is analyzed, i.e. KL (Kullback-Leibler) scatter, and it is used as a constraint on the covert communication. Finally, to maximize the throughput of the covert communication, the transmission power at the transmitter and the UAV-relay, as well as the flight height of UAV are jointly optimized. The simulation results verify the performance of the proposed covert communication scheme, and also show its superiority to the traditional strategies without UAVs since it greatly reduces the KL divergence at the warder.
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Key words:
- Covert communication /
- Unmanned Aerial Vehicle (UAV) /
- Relay /
- Finite block-length
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1. 引 言
合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar, SAR)采用微波波段，具有全天时全天候高分辨成像能力，是对地观测的重要手段。地基合成孔径雷达(Ground-Based Synthetic Aperture Radar, GBSAR)通常将雷达置于直线轨道上，对观测场景进行非接触式连续定点扫描观测，获得同一观测区的时间序列图像，通过对时间序列图像的差分相位进行分析，反演得到观测场景图像各像素的形变量。形变反演精度可达亚波长量级，形变信息的获取有助于滑坡、坍塌等灾害预警。GBSAR因其非接触式大面积区域定点连续观测的优势，以及极高的形变量反演精度，在地质灾害预警、矿山滑坡监测等领域具有广泛的应用[1-5]。
面向长期定点连续监测需求，为避免露天环境对GBSAR雷达设备的影响，雷达设备需放置于监测站内，天线通过透波罩收发信号。由于雷达信号易产生多径效应，相较于露天环境，接收到的回波容易受到封闭空间的近距离强散射信号干扰以及发射机和接收机之间隔离不足引起的直达波耦合信号影响[6,7]，从而在后期成像时形成干扰信号，不仅影响图像清晰度，而且不利于形变量的反演。
直达波信号是由发射机与接收机之间隔离度不足引起的耦合信号，因收发天线随着雷达平台一起运动，该耦合信号的时变性较小，可通过慢时间去均值进行抑制。而发射信号在封闭空间中形成的近距离强散射耦合信号具有一定的时变性，仅通过慢时间去均值难以去除。
现有基于主成分分析(PCA)的耦合信号抑制方法，相比于去均值方法，可以更好地分离在慢时间具有一定时变性的耦合信号。PCA方法[8]利用了耦合信号在慢时间方向具有较强的相关性，而实际场景的回波在慢时间方向的相关性相对较低这一特性，通过对回波进行奇异值分解(SVD)，提取和对消耦合信号。PCA采用了如下假设：除耦合信号外，其他信号为较小的高斯分布噪声信号，然而实际场景回波通常并不满足这一假设，因此该方法中，实际场景回波信号将影响耦合信号的提取。
鲁棒主成分分析(RPCA)是鲁棒的PCA方法。RPCA相比于PCA方法，加入了稀疏正则化，即该方法将数据矩阵分解为低秩矩阵和稀疏矩阵两部分，优化分解的代价函数是低秩矩阵的低秩性和稀疏矩阵的稀疏性的加权和。本文将RPCA方法用于雷达信号的距离多普勒域，在该域中，近距离强散射耦合信号表现为沿距离向分布的亮线，具有低秩性；而场景回波因波束锐化的原理在该域初步聚焦，因边坡、矿区等观测场景通常具有稀疏特性，则在该域中场景回波信号也具有稀疏特性[9]，满足RPCA的使用条件[10]。本文提出基于RPCA的耦合信号抑制方法，该方法利用了观测场景的稀疏特性，可解决非高斯分布的场景信号对低秩耦合信号提取的影响。在此基础上，针对现有RPCA算法中，稀疏正则化系数λ的选取主要依赖于经验的问题，本文提出基于相关性分析的稀疏正则化系数λ优化选择方法。本文通过实际GBSAR数据验证了基于RPCA的近距强耦合信号抑制方法的有效性，并通过分析图像熵指标[11-13]来验证本文方法相较于基于PCA的耦合信号抑制方法性能有所提升。
2. 直线扫描GBSAR几何与信号模型
2.1 直线扫描GBSAR几何模型与点目标信号模型
直线扫描GBSAR几何模型如图1所示，雷达系统在直线轨道上匀速运动，天线波束指向前方区域，雷达以一定的时间间隔，发射雷达信号，并接收从场景反射的回波信号。以轨道中心为坐标原点
O ，轨道运动方向为x轴，垂直于轨道方向为y轴建立直角坐标系，雷达平台沿x轴的正方向移动。假设雷达发射信号为调频连续波信号，发射信号的表达式为
St(t)=exp(jπKt2+j2πfct),t∈[0,TP] (1) 其中，
fc 为发射信号中心频率，K 为调频率，t 为快时间，TP 为调频连续波脉冲宽度。假设场景中包含点目标P，则点目标P的基带回波信号模型为
Sr(t,τ)=σ⋅St(t−2R(τ)c)⋅S∗t(t) (2) 其中，
c 是光速，τ 为慢时间，符号*表示共轭，σ 为目标P的复散射系数，R(τ) 表示点目标P到雷达平台的距离，其表达式为R(τ)=√R20+(τv)2−2R0τv⋅sin(θP) (3) 其中，
v 为平台匀速运动的速度，R0 为目标P到原点的距离，θP 为OP 与y 轴的夹角，即雷达相对于目标P 的斜视角，P 在x正半轴时，斜视角θP 为正，否则为负。为了后续给出距离多普勒域的解析表达式，此处对式(3)所示的距离等式进行近似，设直线轨道长度为L ，当R0≫L 时，距离等式(3)可近似为R(τ)≈R0−τv⋅sinθP (4) 对回波信号式(2)作RVP残余视频相位校正处理[14]，得到信号
Sr(t,τ)=σ⋅exp{−j4π(K(t−TP/2)+fc)cR(τ)} (5) 令中心波数
Kc=4πfc/c ，令距离波数为Kr=4π(K(t−TP/2)+fc)c (6) 将式(4)、式(6)代入式(5)，可得
Sr(Kr,τ)≈σ⋅exp{−jKr⋅R0 + jKr⋅v⋅τ⋅sinθP}≈σ⋅exp{−jKr⋅R0 + jKc⋅v⋅τ⋅sinθP} (7) 令方位波数
Ka=−Kcvτ ，则式(7)变为Sr(Kr,Ka)≈σ⋅exp{−jKrR0−jKasinθP} (8) 对式(8)作2维傅里叶逆变换，可得距离多普勒域信号
Sr(R,u)≈σ⋅exp(−jKcR0)sinc(2KTPc(R−R0))sinc{KcLc(u−sinθP)} (9) 其中，
u 为波数Ka 对应的空间域，式(9)等号右侧的相位包含了目标的距离信息，若目标发生形变，则相位发生变化，通过差分干涉可得到与视线方向形变量有关的差分干涉相位。从式(9)可以看到，在距离多普勒域，点目标聚焦于位置(R0,sinθP) 处，即距离多普勒域信号已是初步聚焦的场景图像，其中一维是距离，而另一维是目标相对雷达的斜视角的正弦值，近似为极坐标系图像。要得到最终的高精度监测图像，还需要进一步的成像处理。雷达场景和图像在很多情况下是具有明显稀疏性的，即场景中只存在少数较强散射点[9]，本文中的应用场景主要是矿区、边坡等具有明显稀疏特性的场景。距离多普勒域信号是初步聚焦的场景图像，也具有稀疏特性。2.2 耦合信号模型
GBSAR的耦合信号主要可分为两类，一类是由雷达天线的阻抗不匹配、天线收发隔离度不够等因素导致的部分发射信号直接通过天线波束副瓣进入天线接收端中，即直达波耦合信号，这类耦合信号通常随平台运动变化较小，可通过慢时间去均值去除；另一类是发射信号与近距离环境产生强散射耦合信号，这类耦合信号是外部环境引起的，随平台运动发生一定变化，难以通过简单的慢时间去均值去除。耦合信号由于是近距离产生的，信号强度远超过观测场景实际回波，因此将对最终图像产生较大的干扰，不仅影响图像的清晰度，同时影响差分相位的获取精度。
接收到的直达波耦合信号经RVP残余视频相位校正处理后的信号模型为
Sco(Kr,τ)=M∑i=1σi⋅exp{−jKrRi} (10) 其中，雷达耦合的路径数目是
M ，σi 为第i 个耦合路径的信号复系数，Ri 为第i 个耦合路径的距离。当σi 与Ri 不随慢时间τ 变化时，式(10)所示的直达波耦合信号也不随慢时间变化，则直达波距离多普勒域信号为Sco(R,u)≈M∑i=1σi⋅exp(−jKcRi)⋅sinc(2KTPc(R−Ri))sinc{KcLcu} (11) 直达波耦合信号位于零多普勒位置，虽然距离
Ri 都较小，但由于信号能量极强，远高于远距离处的场景回波，因此其距离旁瓣呈干扰线分布于零多普勒位置，影响图像质量。这种耦合信号可通过对式(10)所示信号，在慢时间τ 去均值实现抑制。接收到的近距离强散射干扰信号经RVP残余视频相位校正处理后的信号模型为
Smp(Kr,τ)=N∑j=1σj⋅exp{−jKrRj(τ)} (12) 其中，近距离环境散射中心数是
N ，σj 为第j 个环境散射中心的散射系数，Rj(τ) 为散射中心随慢时间变化的距离。近距离强散射回波的距离多普勒域信号为Smp(R,u) = N∑j=1σj⋅exp(−jKcRj)⋅sinc(2KTPc(R−Rj))⋅sinc{KcLc(u−sinθj)} (13) 其中，
θj 为雷达相对于近距离强散射中心的斜视角，(Rj,sinθj) 为散射中心位置。近距离强散射中心回波信号能量也极强，远高于远距离处的场景回波。这种信号通常并不位于零多普勒位置，而是位于散射中心相对于雷达的斜视角方向。信号的距离旁瓣能量也很强，呈沿距离向分布的干扰线，影响图像质量，这种信号无法通过在慢时间对信号去均值进行抑制。
除上述干扰信号外，还存在近距离环境的复杂多径散射信号，这类信号的距离延时随慢时间变化，路径延时与近距离环境分布相关，模型较为复杂，但也可等效为多个散射中心，因此在距离多普勒域也表现为沿距离向分布的亮线干扰。
根据上面的分析，可知在距离多普勒域，直达波耦合信号与近距环境散射中心信号呈现为位于零多普勒或其他多普勒位置的多条亮线干扰，沿距离向分布。秩是线性无关的基向量的个数，低秩是指矩阵的秩远小于矩阵的维度。耦合信号在距离多普勒域表现为若干条亮线，即属于低秩信号。因此上述耦合信号在距离多普勒域具有低秩特性。
3. 基于PCA的耦合信号抑制方法
PCA是利用耦合信号的低秩性直接从回波数据中提取耦合信号，随后将原始回波信号与耦合信号对消得到耦合信号抑制后的回波信号[8]。该方法将采集到的GBSAR原始回波数据看作具有高斯小噪声特性的场景回波信号、耦合信号叠加而成。
Ss(t,τ)=Sr(t,τ)+Sco(t,τ) (14) 其中，
Ss 为原始回波信号，Sco 为耦合信号，Sr 为场景回波信号。PCA算法流程如图2所示，其主要流程是首先对原始回波信号做慢时间去均值，去除直达波耦合信号；然后对慢时间去均值后的信号做SVD分解，保留前若干个数值较大的奇异值，重构矩阵得到低秩的耦合信号；最后将耦合信号对消，得到耦合信号抑制后的场景回波信号。该方法中耦合信号的构造直接影响了耦合信号对消性能。因场景信号通常并不满足高斯小噪声特性要求，可能存在耦合信号估计不准确的问题。
4. 基于RPCA的耦合信号抑制方法
4.1 RPCA抑制耦合信号的基本原理
RPCA考虑到了其他信号为非高斯分布情况，将一个数据矩阵
D (包含了有用信息和复杂噪声)分解为两个矩阵之和，即D=A+E 形式。其中，A 是低秩部分，E 是稀疏部分。本文提出的基于RPCA方法的耦合信号抑制原理是将采集到的回波信号变换到距离多普勒域，在该域，耦合信号满足低秩特性，场景回波满足稀疏特性，然后直接利用RPCA对信号进行低秩和稀疏分解。信号的组成如式(15)所示，原始信号
Ss 由稀疏的场景回波Sr 、低秩的耦合信号Sco 和高斯分布噪声信号Sn 组成Ss(R,u)=Sr(R,u)+Sco(R,u)+Sn(R,u) (15) RPCA考虑了非高斯分布的稀疏信号，将低秩信号和稀疏信号同时提取，解决了非高斯分布信号对低秩信号提取的影响。
4.2 RPCA模型与算法实现
RPCA在PCA基础上增加了对稀疏矩阵
E 的正则化约束，模型为minA,Erank(A)+λ||E||0,s.t. D=A+E (16) 其中，rank为矩阵的秩，
|| ||0 为0范数。由于该问题的优化是NP问题，所以要对上式进行松弛，通常采用1范数对0范数进行凸松弛，矩阵秩用核范数进行近似。上述问题就转换为求解式(17)模型minA,E||A||∗+λ||E||1,s.t. D=A+E,λ=c√max(m,n) (17) 其中，
||A||∗ 表示矩阵A 的核范数，即矩阵A 奇异值的和，(m,n) 为矩阵的维度，c 为常数。将RPCA应用于GBSAR耦合信号抑制的算法流程如图3所示，主要步骤为，首先对原始回波信号进行慢时间去均值，去除直达波耦合信号；然后通过2维傅里叶逆变换将信号变换至距离多普勒域，对信号进行RPCA分解，得到的低秩信号即为耦合信号
Sco ，稀疏信号则为场景信号Sr 。其中，稀疏正则化系数通过相关性分析方法进行最优取值选择，将在后文具体介绍。需要说明的是，采用RPCA方法得到的是耦合抑制后的信号，还需要对信号进行2维傅里叶变换，变换至距离频域-方位时域，然后采用地基SAR频域或时域成像算法进行成像，得到无耦合信号干扰的最终图像。4.3 RPCA最优稀疏正则化系数的选择
RPCA中稀疏正则化参数λ选择较为重要，系数过大，则稀疏性权重过大，导致场景信号损失，系数过小，则面临耦合信号提取不完整的问题。考虑到RPCA将原始信号分解为低秩耦合信号与稀疏场景信号两类不相关的成分，可以对低秩
A 矩阵和稀疏E 矩阵做相关性分析，当取得的相关度较低时可认为A 与E 几乎不关联，此时认为所选择的稀疏正则化系数λ较优。定义
Aλ 和Eλ 分别为随λ值变化的低秩矩阵和稀疏矩阵，对两个矩阵求相关系数ρ 。ρ=∑m∑n(Aλ−ˉAλ)(Eλ−ˉEλ)√(∑m∑n(Aλ−ˉAλ)2)(∑m∑n(Eλ−ˉEλ)2) (18) 其中，
ˉEλ ,ˉAλ 分别为稀疏和低秩矩阵的均值。取最小的相关系数对应的稀疏正则化系数为最优正则系数。ˆλ=argminλ(ρ) (19) 当噪声较大导致不容易直接获取最优值时，可对相关系数
ρ 随λ 变化的曲线进行多项式拟合，选取拟合曲线最小值对应的λ 为优化参数。如式(17)所示，稀疏正则化系数λ中的不确定参数为常系数
c 。本文实际是通过改变常系数c ，获得不同的低秩矩阵和稀疏矩阵分解。通过对低秩部分和稀疏部分的相关性分析，得出最优的常系数c 。RPCA正则化系数选取流程如图4所示。稀疏正则化系数λ的优化选择时，需要针对不同的正则化系数做RPCA处理，需要耗费额外的计算时间。在实际形变监测应用中，地基雷达通常对固定区域进行连续监测，耦合信号与场景信号随时间变化较小，稀疏正则化系数λ只需在数据获取开始时进行1次优化选择，后续连续监测中可直接使用该值，无需重复计算。4.4 耦合信号抑制分析指标
本文采用图像熵(image entropy)的指标来定量化评价耦合信号的抑制性能。在图像处理领域，熵值反映图像质量[15]，也常用在合成孔径雷达图像质量评价中，熵值越大代表图像的不确定性越大，图像越模糊，所含的干扰和噪声成分较多，相反，熵值越小则代表信号比较明确，图像越清晰，所含干扰和噪声相对较低。以8 bit 256级灰度图像为例，图像中的1维熵计算公式为
H=255∑i=0PiInPi (20) 其中，
Pi 表示图像中灰度值为i 所占的像素比例。5. 实验验证
本文采用实际GBSAR形变监测数据对所提方法进行验证，观测场景为内蒙古某矿区。实验使用的GBSAR系统在传统直线轨道扫描的基础上增加了大视场观测功能。观测几何如图5所示，雷达波束指向可通过云台进行调整，首先调整天线波束指向至波束1，沿轨道匀速直线运动采集雷达数据，该视角数据采集完毕后调整天线波束指向至波束2，再次在直线轨道上匀速直线运动采集雷达数据，以此类推，通过分时扫描获取不同视角雷达观测数据，最后将多个视角数据融合，形成大视场数据。雷达系统照片如图6所示。
本实验中，大视场数据由GBSAR系统分时获取的3个视角数据融合而成，总视场为100°，系统和实验参数如表1所示。
表 1 仿真参数参数名称 参数值 信号载频(GHz) 17.2 信号带宽(MHz) 400 合成孔径长度(m) 2 波束宽度(°) 40 波束中心斜视角(°) –30, 0, 30 图7给出了地基SAR监测图，监测图为3个视角合成后的直角坐标系图像。图7(a)为室外采集时的地基SAR幅度图，可以看到处于图像中心由直达波信号引起的亮线，在图中用红框框出。图7(b)—图7(d)为雷达系统放置于室内的数据采集结果，因受室内环境及前方透波罩等影响，监测结果受近距离强耦合信号影响较大。因信号衰减程度与距离4次方呈正比，近距强散射信号旁瓣相比于远距离地物信号强度仍然较大，表现为亮线。其中，图7(b)为观测场景的幅度图像，红框内亮线是直达波信号，属于本文中定义的第1类耦合信号，蓝色框中沿径向分布的亮线是由近距强耦合信号引起的，属于本文中定义的第2类耦合信号，严重地干扰了图像清晰度；图7(c)为同一场景两幅不同时间获取的复图像对的相干系数图，可以看到，这些亮线也具有一定的相干性，难以通过设置相干性阈值将其去除；图7(d)为复图像对的干涉相位图，可以看到，干扰线上的相位污染了场景原本的形变相位信息。
在距离多普勒域，耦合信号具有低秩特性，而场景信号具有稀疏特性。在该域，我们利用本文所提的基于RPCA的耦合信号抑制算法对各个视角的数据分别进行耦合信号抑制。图8展示了对各斜视角数据进行RPCA最佳系数选择的曲线。通过相关性分析，针对–30°, 0°和30°斜视角数据，稀疏正则化系数λ中的常系数
c 分别取为0.83, 0.82和0.83时最优，在图8中以红圈表示。图8(a)在常系数c 为0.83附近较为平坦，表明该数据条件下，在一定取值范围内相关系数对常系数c 的变化不敏感，当常系数c 在0.83附近变化时对耦合信号的抑制效果没有明显差异，但是当偏离0.83较远时，耦合信号抑制效果明显下降。后续还需要进一步研究敏感性更强的参数优化方法。图9展示了30°和0°斜视角数据在距离多普勒域的耦合信号抑制前后对比图，其中，图9(a)和图9(b)为原始的距离多普勒域信号；图9(c)和图9(d)为采用本文提出的基于RPCA的耦合信号抑制方法处理后得到的信号，可以看到，耦合信号得到抑制，而场景信号得到了保留。图9(e)和图9(f)为基于PCA的耦合信号抑制方法处理后得到的信号，可以看到，由于对耦合信号估计分离不准确，图像中可能出现黑线。
图10和图11分别展示了采用已有的基于PCA的耦合信号抑制方法后的大视场监测图像，以及采用本文提出的基于RPCA的耦合信号抑制方法后的大视场监测图像。大视场监测图像为多个视角的合成图像，成像坐标系为直角坐标系。可以看到，两种方法都具备抑制耦合信号的能力，需要说明的是图10(a)和图11(a)幅度图像中间有一条黑线，这是由慢时间去均值处理带来的，以抑制直达波强耦合信号。由于基于PCA的方法对耦合信号估计不准确，图像中其他位置出现黑线，丢失了场景的有用信息，而本文基于RPCA的方法则能够在保留有用信号的同时，去除沿径向分布的亮线型耦合信号，且图像对保持了较好的相干性，也表明在去除耦合信号的同时，场景有用信息得到了很好的保留。
表2为对各个角度图像的图像熵进行测试的结果。采用PCA方法抑制耦合信号后，30°斜视角的图像熵较原图像不降反升，说明图像信息受到一定损失。采用RPCA抑制耦合信号后，3个角度的图像熵较原图像均明显降低，证明耦合信号抑制效果良好，且采用最优系数得到的耦合信号抑制图像质量最佳。
表 2 图像熵指标参数方法 –30°斜视角图像熵 0°斜视角图像熵 30°斜视角图像熵 原始图像 7.2602 7.2139 7.2850 基于PCA方法 7.2303 7.0497 7.3193 本文RPCA方法(常系数c：0.7, 0.7, 0.7) 7.2349 7.0521 7.2662 本文RPCA方法(最优常系数c：0.83, 0.82, 0.83) 7.1759 7.0085 7.2148 本文RPCA方法(常系数c：0.9, 0.9, 0.9) 7.2227 7.0417 7.2594 在数据处理时间效率方面，采用PCA方法的单视角数据耦合抑制运行时间约0.541 s，同样条件下采用RPCA方法的运行时间约9.032 s。数据处理采用Matlab软件，计算机CPU为2.4 GHz主频Intel Xeon Silver 4210R。RPCA方法相比于PCA方法算法复杂度更高，但耦合信号抑制效果更好。
6. 结论
本文分析了GBSAR安放于封闭的监测站内对图像产生干扰的耦合信号，给出了耦合信号模型。为了解决近距离强散射耦合信号产生的干扰问题，本文提出了基于RPCA的耦合信号抑制方法。在距离多普勒域，耦合信号为低秩信号，而场景信号为稀疏信号，利用RPCA可以很好地将二者分离。相较于已有的基于PCA的耦合信号抑制方法，本方法解决了非高斯分布场景信号对耦合信号提取的影响。在此基础上，本文提出了基于相关性分析的RPCA中稀疏正则化系数的优化选择方法，利用低秩信号与耦合信号的低相关性选择最优系数。实际GBSAR数据验证了本文方法的有效性，相较于已有的基于PCA的方法，采用本文方法后，图像熵指标更优，证明了本文方法能够在保留目标信息的同时更好地抑制耦合信号。
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表 1 关于最大隐蔽吞吐量及最优发射功率算法
输入：初始化D01，ϵ，δ，Pmaxa，Pmaxr，γw，γb；给定传输速率R； 输出：η∗，P*a，P*r。 (1)将优化问题式(17)转化为两个子优化问题式(25)、式(29)； (a)根据式(16)，求得D01关于γw的1阶导数，将隐蔽性约束转化为一个等式，通过D01(γ‡w)=2ϵ2得到γ\ddagw；
(b)通过求γw关于Pa的偏导，利用链式法则，得到D01关于Pa的偏导∂D01∂Pa=dD01dγw∂γw∂Pa；
(c)通过求γw关于Pr的偏导，讨论ˉρarσ2w、ˉρawσ2r的关系，利用链式法则，得到D01关于Pr的偏导∂D01∂Pr=dD01dγw∂γw∂Pr；(2)根据式(15)，由γw(P\ddaga)=γ\ddagw，可以反解出P\ddaga，通过给定Pr，得到最优发射功率P∗a=min{P\ddaga,Pmaxa}来求解优化问题式(25)； (3)根据式(15)，由γw(P\ddagr)=γ\ddagw，得到P\ddagr； (a)当ˉρarσ2w>ˉρawσ2r时，得到最优发射功率P∗r=min{P\ddagr,Pmaxr}求解优化问题式(29)； (b)当ˉρarσ2w<ˉρawσ2r时，给定Pr=Pmaxr，得到P∗a=min{P\ddaga,Pmaxa}； (4)根据η=R(1−δ)，得到最大隐蔽吞吐量η∗； (a)根据式(11)，利用Q函数，求得δ关于γb的1阶导数； (b)由于η与δ成反比，当δ取最小值时，得到最大的隐蔽吞吐量η∗。 
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