分段线性忆阻系统的簇发振荡及其机理分析

马铭磷; 陈亮; 李志军; 王梦蛟; 邱志成

doi:10.11999/JEIT210337

分段线性忆阻系统的簇发振荡及其机理分析

doi: 10.11999/JEIT210337

湘潭大学自动化与电子信息学院湘潭 411105

基金项目: 国家重点研发计划(2018AAA0103300)，国家自然科学基金(62071411)

详细信息

作者简介:
马铭磷：男，1978年生，副教授、硕士生导师，研究方向为混沌、集成电路设计

陈亮：男，1997年生，硕士生，研究方向为基于忆阻系统的非线性动力学及应用

李志军：男，1973年生，教授、硕士生导师，研究方向为非线性电路与系统，数模混合集成电路

王梦蛟：男，1983年生，副教授、硕士生导师，研究方向为非线性电路与系统

通讯作者:
马铭磷　minglin_ma@xtu.edu.cn

中图分类号: TN601
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出版历程
- 收稿日期: 2021-04-21
- 修回日期: 2021-07-17
- 网络出版日期: 2021-07-27
- 刊出日期: 2022-07-25

Bursting Oscillations and the Formation Mechanism in a Piecewise Linear Memristive System

College of Automation and Electronic Information, Xiangtan University, Xiangtan 411105, China

Funds: The National Key Research and Development Project (2018AAA0103300), The National Natural Science Foundation of China (62071411)

摘要

摘要: 为了研究分段线性忆阻系统的簇发振荡及其形成机理，该文在一非自治系统中引入分段线性忆阻器模型与慢变化的周期激励项，建立了一种两时间尺度的4D分段线性忆阻系统。由于分段线性忆阻器模型的引入，系统被非光滑分界面分成不同的子系统。相应子系统控制的名义平衡轨迹的稳定性与非光滑分界面均会影响系统的簇发现象，导致轨迹在非光滑分界面处的突然跃迁与非光滑分岔的产生，从而展现出两种不同机理的簇发模式。利用微分包含定理对分岔机理进行分析，并借助时序图、转换相图等，通过数值仿真与Multisim电路仿真验证了理论分析的正确性，该文对分段线性忆阻系统的动力学行为及应用研究具有重要意义。
- 分段线性忆阻器 /
- 非光滑分岔 /
- 簇发振荡 /
- 非光滑分界面
Abstract: In order to explore the bursting oscillations and its mechanism of the piecewise linear memristor-based system, a 4D piecewise linear memristor-based system with two-timescale is created by introducing a piecewise linear memristive model and a periodically excitation based on a non-autonomous system. Due to the introduction of the piecewise linear memristive model, the system is divided into different subsystems by non-smooth boundaries. It is pointed that not only the stability of the nominal equilibrium orbits but also the non-smooth boundaries may influence the bursting, resulting in the abrupt jumping of the trajectory and non-smooth bifurcations, which reveal two different bursting patterns. Based on the generalized differential of Clarke, the bifurcation mechanism is studied. And the bursting mechanism is analyzed by time history and transformation phase diagram. Finally, the numerical simulation and Multisim circuit simulation are conducted to verify the validity. This paper is of great significance to study the dynamical behavior of the piecewise linear memristor and its application to practice.
- Piecewise linear memristor /
- Non-smooth bifurcation /
- Bursting oscillation /
- Non-smooth boundary

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1. 引言

多时间尺度系统具有广泛的工程背景，如神经元放电模式^[1,2]、生物代谢中变构效应^[3]、化学反应中不同数量级的反应速率^[4]等。簇发振荡(Bursting Oscillations, BOs)是多时间尺度系统中普遍存在的一种复杂动力学行为，表现为随时间演化大幅振荡与小幅振荡交替出现^[5,6]。2000年，文献[7,8]提出了快慢分析法，其主要思想是将多时间尺度系统分解为快、慢两个子系统，通过研究快子系统的稳定性和分岔模式可以揭示簇发振荡的生成机理。簇发振荡由沉寂态(Quiescent State, QS)和激发态(SPiking state, SP)组成，当系统状态变量表现为微振幅振荡或几乎不变时，系统处于沉寂态；当状态变量表现为大幅振荡时，系统处于激发态。近年来，国内外学者借助快慢分析法对自治系统的簇发振荡及其机理进行了深入研究，取得了丰富的成果。如，Innocenti等人^[9]研究了Hindmarsh-Rose(HR)神经元模型从周期簇发到混沌簇发的转换机制；而Bao等人^[10]揭示了两快一慢Morris–Lecar(ML)神经元模型的混沌簇发和共存多稳态放电模式及其生成机理，并通过硬件电路实验验证了系统的簇发行为。对于非自治系统(周期激励系统)，当外部激励频率远小于系统固有频率时，外部激励可以视为慢子系统，在此基础上可以得到快子系统关于慢变参数的分岔图，用于揭示簇发的动力学机制。大量研究表明：激励幅值和激励频率是影响非自治系统簇发行为的两个重要因素^[11-13]。由于在实际系统中往往存在着多种激励共存的现象，因此多频激励系统的动力学行为也激起了广泛的兴趣^[14-16]。如，Han等人^[17,18]研究了两个慢变激励下Duffing和Van der Pol系统的不同簇发模式和分岔机制。他们的研究成果表明，系统中的两个慢激励在一定条件下可以转化为单一慢变量^[19]，从而可以结合快-慢分析法揭示多频慢激励系统复杂的簇发行为。此外，最近的研究表明，当两个激励项存在相位差时，也可以诱发双稳定性和复杂而有趣的簇发动力学^[20]。

作为第4个基本无源器件，忆阻器建立磁通和电荷之间的关系，其瞬时阻值与电压幅度、极性、频率和工作时间相关。由于忆阻器具有独特的“记忆”功能，采用忆阻器模拟生物突触在硬件神经形态电路中得到了广泛的应用^[21,22]。忆阻型神经元电路中的复杂簇发振荡现象近年来也引起了广大学者的关注^[23-25]。如，Chen等人^[24]采用图解法研究了3阶忆阻型FitzHugh-Nagumo电路的簇发机理；而在文献[25]中，Bao等人分析了忆阻型HR神经元模型的隐藏簇发振荡和生成机理；在基于低通滤波器的忆阻型振荡器中Wu等人^[26]发现由延迟霍普分岔诱导的各种复杂簇发现象。

由于忆阻型系统的簇发研究相对甚少，特别是针对多频激励下忆阻型系统的簇发研究几乎没有，为了揭示多频激励忆阻型混沌系统的簇发现象并探讨其分岔机制，本文在经典Shimizu-Morioka(S-M)系统中引入广义忆阻器和两个慢变激励，建立了一种新的多频慢激励忆阻型S-M系统。借助快慢分析法本文首先研究了单一激励下S-M系统的簇发行为及分岔机制，发现了一种对称型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发模式。由于快慢分析法不能直接分析多频激励系统，本文借助De Moivre公式^[19]将多频激励系统转化为单频激励系统。在此基础上研究了附加激励幅度对“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发的影响，发现了两种新的簇发模式，并分析了相应的簇发机制。

2. 系统模型

在经典Shimizu-Morioka(S-M)系统^[27]中引入广义忆阻器和两个不同频率和幅度的外激励β_1,2cos(ω_1,2t)，本文得到了一种多频慢激励忆阻型S-M系统

$\begin{split} \left. \begin{aligned} & \dot x = y \\ & \dot y = x - ay - xz + kMy + {\beta _{\rm{1}}}\cos ({\omega _1}t) + {\beta _2}\cos ({\omega _2}t) \\ & \dot z = - bz + {x^2} \end{aligned} \right\}\\ \end{split}$

(1)

其中，x, y, z是状态变量，a, b, k是系统参数，β_1,2是两个外激励的幅值，ω_1,2分别表示两个外部激励信号的频率，M则表示忆阻器，其赋定关系为^[28]：M=x²–2。当外激励信号频率满足0<ω_1,2<<1时，即外激励频率与系统固有频率之间存在量级差距，系统式(1)可以视为含多时间尺度的快慢耦合系统。在多频激励的系统中，由于激励信号之间的相互影响，不能直接采用快慢分析法分析系统的簇发机理。为了解决这个问题，本文首先对单频激励忆阻型S-M系统的簇发振荡进行研究，将激励项β₁cos(ω₁t)视为快子系统的慢变参数，采用快慢分析法分析了快子系统的稳定性和分岔集；然后借助De Moivre公式将另外一个激励项β₂cos(ω₂t)转化为该慢变参数的函数表达式分析了该系统的多频簇发机制。

3. 单频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡

当β₂=0时，系统式(1)为单一慢变激励S-M系统

$\left. \begin{aligned} & \dot x = y \\ & \dot y = x - ay - xz + kMy + \gamma \\ & \dot z = - bz + {x^2} \end{aligned} \right\}$

(2)

其中，γ=β₁cos(ω₁t)为外激励项。根据快慢分析法，系统式(2)可以看作是快子系统和慢子系统的耦合，其中慢子系统可以表示为 $\dot \gamma = - {\beta _1}{\omega _1}\sin \left( {{\omega _1}t} \right)$ 。由于慢变参数调控的快子系统的分岔模式决定了系统在沉寂态和激发态的切换机制，因此研究快子系统的分岔机制对研究簇发机理具有重要的作用。

系统式(2)的平衡点可以表示为E₀(x, y, z)=(x₀, 0, x₀²/b)，其中x₀由x₀³–bx₀–bγ=0决定。在平衡点附近将系统式(2)线性化，得到雅可比矩阵为

${{J}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0}&{1}&0\\ {1 - \dfrac{{x_0^2}}{b}}&{ - a + k\left( {x_0^2 - 2} \right)}&{ - {x_0}}\\ {2{x_0}}&{0}&{ - b} \end{array}} \right)$

(3)

其特征方程表示为

$\begin{split} & {\lambda ^3} + {\lambda ^2}[a + b - k({x_0}^2 - 2)] \\ & \quad+ \lambda \left[ab - bk({x_0}^2 - 2) - 1 + \frac{{{x_0}^2}}{b}\right]\\ & \quad- (3{x_0}^2 - b) = 0 \end{split}$

(4)

由于慢变参数γ的周期性变化影响了系统平衡点的稳定性，根据Routh-Hurwitz判据可以得到分岔条件

(1) Fold分岔：

$3{x_0}^2 - b = 0$

(5)

此时系统平衡点的轨迹会发生跃迁。

(2) Hopf分岔：

$\begin{split} & [a + b - k({x_0}^2 - 2)] \cdot \left[ab - bk({x_0}^2 - 2) - 1 + \frac{{{x_0}^2}}{b}\right] \\ & \quad - (3{x_0}^2 - b) = 0\\[-12pt] \end{split}$

(6)

此时出现一对纯虚特征值，系统式(2)将产生周期振荡。

为了揭示系统的簇发机理，固定参数a = 0.8, b = 0.35, k = 0.35, ω₁=0.002，采用XPPAUT软件绘制了系统式(2)关于慢变参数γ的分岔图，如图1(a)所示。当外部激励幅度β₁=4时，系统式(2)展现了簇发振荡，变量x的时序图如图1(c)所示。为了解释该簇发振荡的生成机理，x-γ平面的转换相图和分叉图的叠加图如图1(b)所示。假设轨迹从A点出发，受到稳定平衡点E-的吸引轨迹严格沿着平衡点曲线前行，系统表现为沉寂态。当γ增大到sub-Hopf点(γ=0.18)时，平衡点E-失去稳定性。由于延迟效应轨迹继续沿不稳定平衡点E-继续前行直到Fold1点(γ_fold =0.24)才产生跳变，受稳定平衡点E+的吸引轨迹沿平衡点曲线E+作衰减振荡，完成了从沉寂态到激发态的转换。当慢变参数γ增大到正极值γ=4时，系统恢复到沉寂态。然后慢变参数γ由正极值逐渐减小，类似地，轨迹从B点严格沿着平衡曲线E+向左运动直到Fold2点(γ_fold =–0.24)点才下跳到稳定平衡点E-，然后沿平衡点曲线E-作衰减振荡直至慢变参数达到负极值γ=–4，从而完成了一个周期的运动。由于该簇发振荡的沉寂态和激发态之间的转换是由sub-Hopf分岔引起的，且具有对称结构，因此这种簇发模式可以称为对称型“sub-Hopf /sub-Hopf”簇发。

图 1 单激励下系统的动力学行为分析

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4. 双频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡

引入激励β₂cos(ω₂t)后，系统式(1)中存在两个慢变激励。因此，无法用常规的快慢分析法系统的簇发行为。为了解决这个问题，本文借鉴文献[19]的方法，采用De Moivre公式对系统式(1)进行转化，转换过程如下。

对于两个激励频率ω₁和ω₂，假设其比例关系为m:n，则频率ω_1,2可以分别表示为ω₁=εpgcd (m:n), ω₂=εqgcd (m:n)，其中0<ε<<1，gcd(m:n)表示m和n的最大公约数 (gcd), p和q是互质数。因此两个激励可以分别写成ω₁=εqgcd (m:n), ω₂=εpgcd (m:n)，则系统式(1)可以转换为

$\left. \begin{aligned} & \dot x = y \\ & \dot y = x - ay - xz + kMy + {\beta _1}f_p^*(g(t)) + {\beta _2}f_q^*(g(t)) \\ & \dot z = - bz + {x^2} \end{aligned} \right\}$

(7)

其中，g(t)可以视为系统的慢变量，可以表示为g(t)=cos(εgcd(m:n)t), f_p^*(g(t))和f_q^*(g(t))分别表示cos(ω₁t)和cos(ω₂t)的三角多项式，其通式f_n^*为

$\begin{split} f_n^*(x) =\,& C_n^0{x^n} - C_n^2{x^{n - 2}}(1 - {x^2}) + C_n^4{x^{n - 4}}{(1 - {x^2})^2} \\ &- ··· + {i^m}C_n^m{x^{n - m}}{(1 - {x^2})^{\frac{m}{2}}}\\[-12pt] \end{split}$

(8)

其中，i为虚数。从数学角度看，这样的变换对于系统的动力学行为没有任何影响，然而经过变换以后，双频激励系统中只存在一个慢变量g(t)了，因而可以采用快慢分析法对系统的簇发机制进行分析。简单起见，本文仅考虑ω₂为ω₁的整数倍情况，即ω₂=kω₁，则g(t)=cos(ω₁t)，那么双频激励系统可以简化为

$\left. \begin{aligned} & \dot x = y \\ & \dot y = x - ay - xz + kMy + {\beta _1}g(t) + {\beta _2}f_n^*(g(t)) \\ & \dot z = - bz + {x^2} \end{aligned} \right\}$

(9)

下面本文将结合式(9)和快慢分析法分两种情况研究附加激励项β₂cos(ω₂t)对系统簇发振荡的影响：(1)β₁>β₂; (2)β₁<β₂。

4.1 β₁>β₂：扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡

保持系统其他参数不变，取β₁=5, β₂=1, ω₁=0.002, 图2(a)—图2(c)分别给出了k=5, 9和13时，即ω₂=0.010, ω₂=0.018和ω₂=0.026的状态x的时序图。从图2可以看出，系统式(1)在β₁>β₂的情况下展现出一种特殊的簇发行为。与图1的“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发不同的是，在任意两个相邻的激发态之间，即沉寂态，系统展现出小幅振荡，且振荡的频率随激励频率ω₂的增加而增加，并与激励频率ω₂保持严格相等。

图 2 扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡的时序图

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为了揭示这种特殊的簇发现象，本文绘制了快子系统关于慢变参数的分岔图、分岔图和转换相图的叠加图，分别如图3(a)—图3(f) 所示。从快子系统的分岔图可以看出，附加激励β₂cos(ω₂t)使原本光滑的稳定平衡点分支发生了扭曲变形，导致系统的平衡点曲线出现了极值点，并且极值点的数量随激励频率ω₂增加而增加。当ω₂=0.010时快子系统的平衡点分支由于扭曲变形出现了4个极值点；当ω₂=0.018时，出现了8个极值点；而当ω₂=0.026时出现了12个极值点。

图 3 扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡的平衡点分布曲线及和转换相图的叠加图

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当两个外激励同时作用于系统时，整个激励项可表示为g(T)=β₁cos(ω₁t)+β₂cos(ω₂t)。由于β₁>β₂，且ω₁<ω₂，在整个激励项中β₁cos(ω₁t)占了主导地位，β₂cos(ω₂t)仅导致整个激励g(T)沿β₁cos(ω₁t)作小幅波动。当慢变量cos(0.002t)对快子系统进行调制时，慢变量会周期性的经过sub-Hopf点和Fold点，从而使得系统激发态出现的频率与主导激励β₁cos(ω₁t)的频率相同。而在主导激励β₁cos(ω₁t)的一个信号周期内，附加激励信号β₂cos(ω₂t)会振荡k次，致使光滑的平衡点分支产生扭曲，出现k-1个极值点，因而小幅振荡的频率与附加激励频率相同。根据图3(d)—图3(f)的转移相图和分叉图的叠加图可知，当慢变量cos(ω₁t)由小到大经过sub-Hopf-点和Fold-点时，轨迹会上跳变到稳定点平衡点分支E+并展现出簇发行为。由于受稳定平衡点E+的吸引，振荡幅度逐渐衰减最后轨迹稳点在平衡点分支E+。由于受附加激励项β₂cos(ω₂t)的影响，平衡点分支E+虽然产生了扭曲和变形，但不会改变平衡点分支E+的稳定性。因此轨迹会严格遵循扭曲的稳定平衡点分支E+运动直到慢变参数达到最大值，从而使得系统在沉寂态期间表现出小幅振荡。当慢变量cos(ω₁t)由大到小经过sub-Hopf+点和Fold+点时，轨迹会下跳变到稳定点平衡点分支E-并产生簇发振荡，同样由于附加激励项β₂cos(ω₂t)的影响，平衡点分支E-也产生了扭曲和变形，从而使得系统沿平衡点分支E-运动时也会产生小幅振荡。由于这种簇发振荡沉寂态和激发态之间的转换是由sub-Hopf分岔引起的，并且在沉寂态期间由于附加激励项的影响使得系统表现出小幅振荡行为，因此这种簇发模式可以称之为扭曲型“sub-Hopf /sub-Hopf”簇发。

4.2 β₁<β₂: 嵌套级联型“sub-Hopf/ sub-Hopf”簇发振荡

从4.1节分析可知，小幅度附加激励项β₂cos(ω₂t)会使系统的稳定平衡点分支产生扭曲和变形，从而使得系统在沉寂态期间表现出小幅振荡行为。在本节本文主要讨论当β₂>β₁时，激励项β₁cos(ω₁t)和β₂cos(ω₂t)如何共同影响忆阻型S-M系统的簇发行为。

保持系统其他参数不变，取β₁=1, β₂=2, ω₁=0.01，图4给出了ω₂分别为ω₂=0.02, ω₂=0.03, ω₂=0.04时变量x的时序图。本文发现，随着ω₂的增加，在激励项β₁cos(ω₁t)的每个周期内会产生越来越多的沉寂态和激发态。图5给出了快子系统的分岔图及其与转换相图的叠加图。从图5(a)—图5(c)可以看出，附加激励项β₂cos(ω₂t)的引入使系统平衡点分支上产生了额外的Hopf分岔点和Fold分岔点，这意味着在激励项β₁cos(ω₁t)的1个周期出现了多次簇发模式的级联。这是由于β₂>β₁，在整个激励项g(T)= β₁cos(ω₁t)+β₂cos(ω₂t)中，β₂cos(ω₂t)占了主导地位，且由于ω₂=kω₁保持不变，这意味着在一个β₁cos(ω₁t)的振荡周期内，β₂cos(ω₂t)振荡k次。因此在一个β₁cos(ω₁t)的振荡周期内，整个激励项g(T)分别通过sub-Hopf-点和Fold-, sub-Hopf+点和Fold+分岔点k次，从而可以得到k级“sub-Hopf /sub-Hopf”级联簇发振荡。

图 4 级联型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡的时序图

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图 5 级联型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡的平衡点分布曲线及和转换相图的叠加图

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从图5(d)可以看出，当ω₁=0.01, ω₂=0.02时，慢变量cos(ω₁t)由负到正变化时，轨迹沿稳定平衡点曲线向右运动，系统在这个阶段表现为沉寂态。当慢变量减小至sub-H1点时，sub-Hopf导致平衡点失稳。由于延迟效应，轨迹在经过Fold1点后产生下跳变并沿稳定平衡点作衰减振荡，实现了从沉寂态到激发态的转换。由于受稳定平衡点的吸引，随后轨迹稳定在平衡点曲线并继续沿平衡点曲线向右运动。当慢变量继续增加至sub-H4和Fold4时，平衡点分支失稳，受稳点平衡点的吸引，轨迹产生上跳变并沿其作衰减振荡，系统又从沉寂态切换到激发态。随后在外部信号的激励下，慢变量由正到负变化，轨迹一直沿稳定平衡点曲线向左运动直至慢变参数减小至sub-H3和Fold3时，轨迹产生下跳变并沿平衡点曲线作衰减振荡，系统第3次从沉寂态切换到激发态。然后轨迹沿稳定平衡点继续向左运动，当慢变量减小至sub-H3和Fold3时，轨迹产生上跳变并展现出大幅度的簇发脉冲，系统第4次实现沉寂态到激发态的切换。随后轨迹沿稳定平衡点曲线返回到起点，从而完成了1个周期的运动。从上述分析过程可以看出，在1个慢变量的变化周期内，系统4次实现了沉寂态和激发态的相互切换，从而实现了一种两级“sub-Hopf /sub-Hopf” 嵌套级联簇发振荡。当ω₂增加时，则级联的级数增加，系统的动力学行为将变得更加复杂。图5(e)和图5(f)分别为ω₂=0.03和0.04时，系统展现出复杂的3级“sub-Hopf /sub-Hopf”嵌套级联簇发振荡和4级“sub-Hopf /sub-Hopf”嵌套级联簇发振荡。

5. 电路仿真

为了揭示多频激励忆阻型S-M系统的簇发振荡行为，本文采用了模块化电路设计方法构建了系统式(1)的整体实现电路如图6所示，其中V_1,2=A_1,2sin(2πf_1,2t)是幅值为A_1,2和频率f_1,2的交流电压；运算放大器UA741实现积分运算和比例运算，模拟乘法器AD633JN实现非线性项，所有的有源器件均采用±15V电源供电。根据基尔霍夫定理本文可以得到相应的电路方程为

图 6 双频激励下忆阻型S-M系统的电路原理图

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$\left. \begin{aligned} & {C_1}\frac{{{\rm{d}}{v_x}}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{1}{{{R_1}}}{v_y} \\ & {C_2}\frac{{{\rm{d}}{v_y}}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{1}{{{R_4}}}{v_x} - \frac{1}{{{R_5}}}{v_y} - \frac{1}{{10V{R_6}}}{v_x}{v_z} \\ &\qquad + \left(\frac{1}{{100V{R_8}}}v_x^2 - \frac{1}{{{R_7}}}{v_y}\right) + \frac{1}{{{R_9}}}{A_1}\cos (2\pi {f_1}t)V \\ & \qquad + \frac{1}{{{R_{10}}{C_2}}}{A_2}\cos (2\pi {f_2}t)V \\ & {C_3}\frac{{{\rm{d}}{v_z}}}{{{\rm{d}}t}} = - \frac{1}{{{R_{12}}}}{v_z} + \frac{1}{{100V{R_{13}}}}v_x^2 \end{aligned} \right\}$

(10)

其中，v_x, v_y, v_z分别对应电容C₁, C₂, C₃的端电压。引入时间转换因子t=τ/RC=τ₀τ和归一化变量X=v_x/1V, Y=v_y/1V和z=v_z/1V，系统式(10)可以转换成无量纲形式

$\left. \begin{aligned} & \dot X = \frac{R}{{{R_1}}}Y \\ & \dot Y = \frac{R}{{{R_4}}}X - \frac{R}{{{R_5}}}Y - \frac{R}{{10{R_6}}}XZ \\ &\qquad + \frac{R}{{100{R_8}}}\left({X^2} - \frac{{100{R_8}}}{{{R_7}}}\right)Y \\ &\qquad+ \frac{R}{{{R_9}}}{A_1}\cos \left(\frac{{2\pi {f_1}t}}{{{\tau _0}}}\right) \\ &\qquad + \frac{R}{{{R_9}}}{A_2}\cos \left(\frac{{2\pi {f_2}t}}{{{\tau _0}}}\right) \\ & \dot Z = - \frac{R}{{{R_{12}}}}Z + \frac{R}{{10{R_{13}}}}{X^2} \end{aligned} \right\}$

(11)

比较系统方程式(1)和电路方程式(11)，当电路参数与系统参数满足式(12)的关系

$\left. \begin{aligned} & \frac{R}{{{R_1}}} = \frac{R}{{{R_4}}} = \frac{R}{{{R_9}}} = \frac{R}{{10{R_6}}} = \frac{R}{{10{R_{13}}}}=1 \\ & \frac{R}{{{R_5}}} = a \\ & \frac{R}{{100{R_8}}} = k \\ & \frac{{100{R_8}}}{{{R_7}}} = 2 \\ & \frac{R}{{{R_{12}}}} = b \\ & {\omega _1} = \frac{{2\pi {f_1}}}{{{\tau _0}}} \\ & {\omega _2} = \frac{{2\pi {f_2}}}{{{\tau _0}}} \end{aligned} \right\}$

(12)

则图6实现的电路能正确模拟系统式(1)的动力学行为。取系统参数分别为a＝0.8, b＝0.4, k=0.35, τ₀=1000，则相应的电路参数为

$\begin{aligned} &C = {C_1} = {C_2} = {C_3} = 10\,{\rm{nF}},\\ &R = {R_1} = {R_4} = {R_9} = 100\,{{\rm k}{\Omega}},\\ &{R_6} = {R_{13}} = {R_2} = {R_3} = 10\,{{\rm k}{\Omega}},\\ &{R_{10}} = {R_{11}} = {R_{14}} = {R_{15}} = 10\,{{\rm k}{\Omega}},\\ &{R_5} = 125\,{{\rm k}{\Omega}} ,{R_8} = 285.7\,{{\rm k}{\Omega}},\\ &{R_7} = 1.43\,{\rm M}\Omega ,{R_{12}} = 250\,{{\rm k}{\Omega}} {\text{。}} \end{aligned}$

本文基于Multisim平台对多频激励忆阻型S-M电路的簇发振荡进行了仿真分析和验证。在验证扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡时，取激励信号V₁和V₂的幅度A₁=5 V和A₂=1 V，并保持激励频率f₁=0.32 Hz不变，调节V₂的激励频率分别为f₂=1.6 Hz, f₂=2.9 Hz, f₂=4.2 Hz时得到的仿真结果如图7所示。限于篇幅，本文仅给出了v_x关于慢变量的转换相图。从图7可以看出，附加激励信号V₂的引入使得系统原本光滑的平衡点分支产生了扭曲和变形，并且随着激励频率f₂的增加，平衡点分支的极值点也按比例的增加。从而导致电路不但能展现尖峰振荡，而且在沉寂态期间展现出微幅振荡行为。由于图7的电路仿真结果与图3的理论分析结果完全一致，从而本文从电路上验证了系统式(1)的扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发模式。

图 7 扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡的仿真结果

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保持电路其他参数不变，取A₁=1 V, A₂=2 V, f₁=1.6 Hz，调节激励频率f₂得到的v_x关于慢变量的转换相图分别如图8所示。由于附加激励频率f₂的影响使得慢变参数通过sub-Hopf分岔点的次数增加，从而导致了电路产生复杂的“sub-Hopf/sub-Hopf”级联簇发振荡。图8(a)和图8(b)分别为3级“sub-Hopf/sub-Hopf”嵌套级联簇发振荡和4级“sub-Hopf/sub-Hopf”嵌套级联簇发振荡的仿真结果，与图5的数值分析结果完全一致，从而有效地验证了系统的复杂“sub-Hopf/sub-Hopf”嵌套级联簇发模式。

图 8 嵌套级联型“sub-Hopf /sub-Hopf”簇发振荡的仿真结果

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6. 结束语

本文分析了双频激励下忆阻型S-M系统复杂的簇发行为和分岔机制。与单一激励相比，多频慢激励下忆阻型S-M系统表现出更丰富的簇发动力学。根据De Moivre公式将双频频激励忆阻S-M系统转化为单频激励系统，采用快慢分析法分析转化后的单频激励系统本文发现：激励幅值之间的大小关系对系统簇发振荡有重要影响。当β₁>β₂时，β₂cos(ω₂t)的存在使平衡点曲线发生扭曲变形，导致系统在沉寂态期间展现出小幅振荡，从而产生了一种扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡；当β₁<β₂时，平衡点曲线上会出现许多额外的分岔点，从而产生了一种嵌套级联型“sub-Hopf /sub-Hopf”簇发振荡。本文采用模块化设计方法搭建了系统的具体实现并采用Multisim进行了仿真分析，仿真结果与理论分析结果完全一致，从而从电路实验上有效地验证了系统复杂的簇发行为。本文首次对多频激励忆阻型系统的簇发行为进行了研究，发现了两种新的簇发模式，进一步丰富了忆阻型系统的簇发路径。

图 1 分段线性忆阻器的特性图

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图 2 (w, z)平面示意图

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图 3 α=4时(w, z)平面相图

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图 4 (x, z)平面相图

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图 5 α=4时变量z的时序图及局部放大图

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图 6 α=4时(w, z)平面相图与NEOs叠加图

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图 7 α=7时(w, z)平面相图

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图 8 α=7时变量z的时序图及局部放大图

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图 9 (x, z)平面相图

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图 10 α=7时(w , z)平面相图与NEOs叠加图

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图 11 分段线性忆阻系统簇发振荡的电路原理图

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图 12 α=7时Multisim电路仿真图

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图 13 α=4时Multisim电路仿真图

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参考文献(28)

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1. 引言
2. 系统模型
3. 单频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡
4. 双频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡
4.1 β1>β2：扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡
4.2 β1<β2: 嵌套级联型“sub-Hopf/ sub-Hopf”簇发振荡
5. 电路仿真
6. 结束语

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分段线性忆阻系统的簇发振荡及其机理分析

doi: 10.11999/JEIT210337

通讯作者:
马铭磷　minglin_ma@xtu.edu.cn

计量

Bursting Oscillations and the Formation Mechanism in a Piecewise Linear Memristive System

1. 引言

2. 系统模型

3. 单频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡

4. 双频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡

4.1 β₁>β₂：扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡

4.2 β₁<β₂: 嵌套级联型“sub-Hopf/ sub-Hopf”簇发振荡

5. 电路仿真

6. 结束语

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目录

1. 引言

2. 系统模型

3. 单频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡

4. 双频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡

4.1 β₁>β₂：扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡

4.2 β₁<β₂: 嵌套级联型“sub-Hopf/ sub-Hopf”簇发振荡

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doi: 10.11999/JEIT210337

通讯作者: 马铭磷 minglin_ma@xtu.edu.cn

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Bursting Oscillations and the Formation Mechanism in a Piecewise Linear Memristive System

1. 引言

2. 系统模型

3. 单频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡

4. 双频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡

4.1 β1>β2：扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡

4.2 β1<β2: 嵌套级联型“sub-Hopf/ sub-Hopf”簇发振荡

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1. 引言

2. 系统模型

3. 单频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡

4. 双频慢激励忆阻型S-M系统的簇发振荡

4.1 β1>β2：扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡

4.2 β1<β2: 嵌套级联型“sub-Hopf/ sub-Hopf”簇发振荡

5. 电路仿真

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通讯作者:
马铭磷　minglin_ma@xtu.edu.cn

4.1 β₁>β₂：扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡

4.2 β₁<β₂: 嵌套级联型“sub-Hopf/ sub-Hopf”簇发振荡

4.1 β₁>β₂：扭曲型“sub-Hopf/sub-Hopf”簇发振荡

4.2 β₁<β₂: 嵌套级联型“sub-Hopf/ sub-Hopf”簇发振荡