基于凸松弛的图像选择性分割模型的快速算法

金正猛; 连晓煜; 杨天骥

doi:10.11999/JEIT210184

基于凸松弛的图像选择性分割模型的快速算法

doi: 10.11999/JEIT210184

南京邮电大学南京 210023

基金项目: 国家自然科学基金(11671004, 11771005)

详细信息

作者简介:
金正猛：男，1982年生，教授，主要研究方向为非线性偏微分方程及其在图像处理中的应用

连晓煜：女，1994年生，硕士生，研究方向为非线性偏微分方程及其在图像处理中的应用

杨天骥：男，1997年生，硕士生，研究方向为非线性偏微分方程及其在图像处理中的应用

通讯作者:
连晓煜　lianxiaoyujj@foxmail.com

中图分类号: TN911.73
计量
- 文章访问数: 465
- HTML全文浏览量: 215
- PDF下载量: 87
- 被引次数: 1
出版历程
- 收稿日期: 2021-03-03
- 修回日期: 2022-03-07
- 录用日期: 2022-03-07
- 网络出版日期: 2022-03-18
- 刊出日期: 2022-07-25

Fast Algorithm of Image Selective Segmentation Model Based on Convex Relaxation

Nanjing University of Posts and Telecommunications, Nanjing 210023, China

Funds: The National Natural Science Foundation of China (11671004, 11771005)

摘要

摘要: 针对基于测地距离的图像选择性分割模型非凸的缺陷，该文结合凸松弛方法，提出凸松弛的选择性分割模型，并通过证明，给出凸松弛模型的解与原模型解之间的关系。然后，应用交替方向乘子法(ADMM)，设计凸松弛模型的数值求解算法，并给出了该算法的收敛性。数值实验结果表明：该文所提算法的收敛速度不仅大大优于求解原模型的加性算子分裂算法，而且分割结果也更精确。
- 图像选择性分割 /
- 凸松弛 /
- 交替极小化 /
- 交替方向乘子法
Abstract: In view of the non-convex defect of the image selective segmentation model based on geodesic distance, a convex selective segmentation model by convex relaxation is proposed. The relationship between the solution of the convex model and that of the original model is given. Then by incorporating the Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM), this paper designs a fast algorithm for numerically solving the convex model and gives the convergence of the algorithm. Finally, numerical experimental results show that convergence speed of the proposed algorithm is much better than the original algorithm based on the additive operator splitting method, and the segmentation results of the proposed algorithm are more accurate.
- Image selective segmentation /
- Convex relaxation /
- Alternate minimization /
- Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM)

HTML全文

1. 引言

图像分割是指根据某种均匀性或一致性原则将图像分成若干个特定的、具有独特性质的目标区域，从而实现对这些目标的提取和识别。目前，图像分割已经广泛应用于人脸识别、目标检测、精准医疗、自动驾驶、卫星定位等各个方面，且起着关键的作用。现有的图像分割方法可分为两种：全局分割方法和选择性分割方法。当前大多数分割模型都是基于全局分割方法，旨在将图像中所有的目标提取出来。而选择性分割是指按照某种方式对图像中感兴趣单个特定目标进行局部分割和提取，在医学影像处理中有着广泛的应用，如：组织分类、肿瘤定位、肿瘤体积估计、血细胞勾画、图谱匹配和图像配准等。基于医学影像的选择性分割，在疾病的病灶识别、早期诊断、治疗方案规划、术中导航等方面起着非常重要的作用，是当前医学影像处理研究中的难点问题。

近30年来，基于变分偏微分方程知识的建模已成功应用于全局分割方法中。基于变分法的全局分割模型主要分为两类：一类是基于边缘的分割模型，主要是依赖图像中的边缘信息来捕捉物体边界，例如经典的Snake模型^[1]和GAC模型^[2]。虽然这些方法是有效的，并且分割效果良好，但是它们的分割结果依赖图像初始轮廓线的选取。另一类是基于区域的分割模型，基本思想是利用图像中的物体呈分片区域的特点，实现对目标物体的有效分割，如经典MS模型^[3]和CV模型^[4]，这些模型对灰度均匀分布的图像分割效果较好。

本文关注的是基于变分法的选择性分割模型。对图像进行选择性分割时，首先需要用户输入一些靠近待分割目标的标记点 $\left( {{x_i},{y_i}} \right)$ ，形成标记集 $M = \left\{ {({x_i},{y_i}) \in \varOmega ,1 \le i \le k} \right\}$ 。然后，构造基于标记集 $M$ 的距离函数，并将其嵌入分割模型中，以此来实现对图像中特定目标的局部分割。2010年，文献[5]将距离函数、活动轮廓的几何约束^[6]纳入CV模型中，提出BC选择性分割模型。BC模型对灰度均匀的图像有较好的分割结果，但对灰度不均匀和边缘模糊的图像分割效果欠佳，且其分割结果对用户输入较敏感。2013年，文献[7]在BC模型中添加面积拟合项，可防止BC模型在目标边缘模糊的地方过度分割。但其模型关于 $H(\phi )$ 是非线性的，不满足对子问题进行凸化的条件，其分割结果依赖于初始值的选取。2015年，文献[8]在BC模型中，引入基于标记集 $M$ 的欧氏距离作为独立线性项，并采用惩罚约束条件的凸松弛方法，提出了凸松弛的选择性分割模型，称SC模型。SC模型的分割结果对初始值的选取具有较好的鲁棒性，但对于含强噪声和边缘模糊的图像分割结果不理想。进一步，文献[9]用测地距离替换SC模型中的欧氏距离，提出RCI选择性分割模型。与其它选择性分割模型相比，RCI模型对用户输入有较强的鲁棒性，能较好地分割一些边缘模糊的图像。然而，文献[9]利用加性算子分裂(Additive Operator Splitting, AOS)算法^[10,11]来设计算法数值求解RCI模型，虽然可以取得较好的精度，但计算复杂且求解耗时。本文在RCI模型的基础上，利用几何测度论知识构造新的凸松弛方法，得到新的凸松弛模型，并使用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)^[12,13]设计新模型的数值求解算法，大大提升了分割速度。数值实验结果表明本文算法同AOS算法相比，不仅收敛速度更快，而且分割精度更高。

本文章节安排如下：第2节，回顾已有的全局变分分割模型和选择性变分分割模型。第3节，引入凸松弛模型，并给出凸松弛模型的解与原模型解之间的关系。然后，应用交替方向乘子法，设计凸松弛模型的数值求解算法，并给出该算法的收敛性。第4节，给出本文算法和其他算法的分割结果并进行比较，验证本文算法的有效性及可行性。

2. 变分分割模型

本文中， $\varOmega \subset {\mathbb{R}^2}$ 表示具有Lipschitz边界的有界图像域， $z:x \in \varOmega \to \mathbb{R}$ 为输入图像， $\varGamma$ 为一条简单闭曲线。

2.1 全局变分分割模型

2001年，文献[4]结合水平集方法，用分片常数函数代替MS模型中的分片光滑函数，提出CV分割模型为

$\begin{split} & \mathop {\min }\limits_{\phi ,{c_1},{c_2}} \left\{ {\int\limits_\varOmega {|\nabla H\left( \phi \right)|{\rm{d}}\varOmega } + {\lambda _1}\int\limits_\varOmega {|z - {c_1}{|^2}H(\phi )} {\rm{d}}\varOmega } \right.\\ & \quad \left. { + {\lambda _2}\int\limits_\varOmega {|z - {c_2}{|^2}(1 - H(\phi )){\rm{d}}\varOmega } } \right\}\\[-21pt] \end{split}$

(1)

其中， ${\lambda _1},{\lambda _2} > 0$ 为权重参数， $H$ 为Heaviside函数，分割曲线 $\varGamma = \left\{ {x:\phi (x) = 0} \right\}$ ， ${c_1}$ 和 ${c_2}$ 分别表示 $\varGamma$ 内外区域的图像灰度强度。CV模型计算简便，可操作性强，对成像灰度均匀的目标物体分割效果较好。但是该模型非凸，分割结果取决于初始轮廓的选取。2006年，Chan等人^[14]在CV模型的基础上，定义 $u: = H(\phi )$ 并将其松弛到[0,1]，提出凸松弛的CV模型

$\begin{split} & \underset{{c}_{1},{c}_{2},u\in \left[0\text{，}1\right]}{\mathrm{min}}\{{\displaystyle \underset{\varOmega }{\int }|\nabla u|{\rm{d}}\varOmega }+{\lambda }_{1}{\displaystyle \underset{\varOmega }{\int }|z-{c}_{1}{|}^{2}u{\rm{d}}\varOmega }\\ & \quad +{\lambda }_{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }|z-{c}_{2}{|}^{2}(1-u){\rm{d}}\varOmega }\} \end{split}$

(2)

文献[14]证明了对于给定的 ${c}_{1},\,{c}_{2} \gt 0$ ，如果 $\hat u$ 为变分问题式(2)的解，那么 ${1_\varSigma }(x): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\begin{array}{*{20}{c}} {x \in \varSigma }&{} \end{array}} \\ {0,x \in \varOmega \backslash \varSigma } \end{array}} \right.$ 是CV模型式(1)的全局最小解，其中 $\varSigma ：= \left\{x\in \varOmega \text{|}\widehat{u}(x)\ge \mu ，\text{a}\text{.e}\text{.}\mu \in \left[0,1\right]\right\}$ 。凸松弛的CV模型式(2)能很好地克服CV模型非凸的缺陷，目前很多基于变分的图像分割方法都是在该模型的基础上进行优化。

2.2 选择性分割模型

近年来，选择性变分分割模型已经取得了较大的发展。2015年，文献[8]将标记集 $M$ 的归一化欧氏距离 ${D_{\text{E}}}$ 作为独立项引入能量泛函中，提出选择性分割模型

$\begin{split} & \mathop {\min }\limits_{\varGamma ,{c_1},{c_2}} \{ \mu \int\limits_\varGamma {g\left( {|\nabla z|} \right){\rm{d}}s} + {\lambda _1}\int\limits_{{\text{inside}}(\varGamma )} {{{(z - {c_1})}^2}{\rm{d}}\varOmega } \\ & \quad + {\lambda _2}\int\limits_{{\text{outside}}(\varGamma )} {{{(z - {c_2})}^2}{\rm{d}}\varOmega } + \theta \int\limits_{{\text{inside}}(\varGamma )} {{D_E}{\rm{d}}\varOmega } \} \end{split}$

(3)

其中， $\mu ,{\lambda _1},{\lambda _2},\theta$ 为非负参数，边缘检测函数

$g\left( \omega \right) = \frac{1}{{1 + \gamma {\omega ^2}}}$

(4)

其中， $\gamma$ 为阈值参数，欧氏距离 ${D_{\text{E}}}$ 定义为

$\left. \begin{aligned} & {D_0}(x,y) = \sqrt {{{\left( {x - {x_i}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y_i}} \right)}^2}} ,\,(x,y) \in \varOmega \\ & {D_{\text{E}}}(x,y) = \frac{{{D_0}(x,y)}}{{||{D_0}\left( {x,y} \right)|{|_{{L^\infty }}}}} \\ \end{aligned} \right\}$

(5)

为了充分提取输入图像中噪声、模糊、纹理等特征信息，2019年，文献[9]用改进的测地距离 ${D_{\text{G}}}$ 替代欧氏距离，提出RCI选择性分割模型

$\begin{split} & \mathop {\min }\limits_{\varGamma ,{c_1},{c_2}} \{ \mu \int\limits_\varGamma {g\left( {|\nabla z|} \right){\rm{d}}s} + {\lambda _1}\int\limits_{{\text{inside}}\left( \varGamma \right)} {{{(z - {c_1})}^2}{\rm{d}}\varOmega } \\ & \quad + {\lambda _2}\int\limits_{{\text{outside}}\left( \varGamma \right)} {{{(z - {c_2})}^2}{\rm{d}}\varOmega } + \theta \int\limits_{{\text{inside}}\left( \varGamma \right)} {{D_{\text{G}}}{\rm{d}}\varOmega } \} \end{split}$

(6)

其水平集形式为

$\begin{split} & \mathop {\min }\limits_{\phi ,{c_1},{c_2}} \{ \mu \int\limits_\varOmega {g(|\nabla z|)|\nabla H\left( \phi \right)|{\rm{d}}\varOmega } + \theta \int\limits_\varOmega {{D_{\text{G}}}H(\phi ){\rm{d}}\varOmega } \\ & \quad + {\lambda _1}\int\limits_\varOmega {{{(z - {c_1})}^2}H(\phi ){\rm{d}}\varOmega } \\ & \quad + {\lambda _2}\int\limits_\varOmega {{{(z - {c_2})}^2}(1 - H(\phi )){\rm{d}}\varOmega } \}\\[-21pt] \end{split}$

(7)

其中， ${D_{\text{G}}}$ 表示图像与标记集 $M$ 的测地距离，可通过求解如下偏微分方程得到

$\left.\begin{aligned} & \text{|}\nabla {D}_{M}^{\text{0}}(x,y)|=f(x,y),(x,y)\in \varOmega \backslash M\\ & {D}_{M}^{\text{0}}(x,y)=0,(x,y)\in M\\ & {D}_{\text{G}}\left(x,y\right)=\frac{{D}_{M}^{0}\left(x,y\right)}{\left|\right|{D}_{M}^{0}\left(x,y\right)|{|}_{{L}^{\infty }}} \end{aligned}\right\}$

(8)

其中， $f(x,y)$ 是根据输入图像中灰度、噪声和模糊等信息构造的特征函数。如果 $f\left( {x,y} \right) \equiv 1$ (即 $|\nabla D_M^0 (x,y)| = 1$ )，易知测地距离 ${D_{\rm{G}}}$ 就是欧氏距离 ${D_{\rm{E}}}$ 。记 $u: = H(\phi )$ ，则式(6)转化为

$\begin{split} & \mathop {\min }\limits_{u \in \left\{ {0,1} \right\},{c_1},{c_2}} \{ \mu \int\limits_\varOmega {g(|\nabla z|)|\nabla u|{\rm{d}}\varOmega } + {\lambda _1}\int\limits_\varOmega {{{(z - {c_1})}^2}u{\rm{d}}\varOmega }\\ & \quad {\text{ + }}{\lambda _2}\int\limits_\varOmega {{{(z - {c_2})}^2}(1 - u){\rm{d}}\varOmega } + \theta \int\limits_\varOmega {{D_{\rm{G}}}u{\rm{d}}\varOmega } \}\\[-21pt] \end{split}$

(9)

很明显，式(9)中能量泛函关于变量 $u$ 是非凸的。进一步，文献[9]将 $u$ 的取值范围松弛到[0,1]区间，并引入约束惩罚项 $\nu (u): = \max \left\{ {0,2\left| {u - \dfrac{1}{2}} \right| - 1} \right\}$ ，提出如下的凸松弛选择性分割模型(以下简称为CRCI模型)

$\begin{split} & \mathop {\min }\limits_{u,{c_1},{c_2}} \{ \int\limits_\varOmega {\left[ {{\lambda _1}{{\left( {z - {c_1}} \right)}^2} - {\lambda _2}{{\left( {z - {c_2}} \right)}^2}} \right]u{\rm{d}}\varOmega } \\ & \quad + \mu \int\limits_\varOmega {g\left( {\left| {\nabla z} \right|} \right)\left| {\nabla u} \right|{\rm{d}}\varOmega } + \alpha \int\limits_\varOmega {\nu \left( u \right){\rm{d}}\varOmega } \\ & \quad + \theta \int\limits_\varOmega {{D_{\rm{G}}}u{\rm{d}}\varOmega } \} \end{split}$

(10)

然后，利用交替迭代极小化方法对该模型数值求解。注意到：式(10)中 ${c_1},{c_2}$ 可通过式(11)求解

${c_1} = \frac{{\int\limits_\varOmega {uz{\rm{d}}\varOmega } }}{{\int\limits_\varOmega {u{\rm{d}}\varOmega } }}\text{，}{c_2} = \frac{{\int\limits_\varOmega {(1{{ - }}u)z{\rm{d}}\varOmega } }}{{\int\limits_\varOmega {(1 - u){\rm{d}}\varOmega } }}$

(11)

当 ${c_1},$ ${c_2}$ 固定时，文献[9]使用AOS算法对关于 $u$ 的子问题进行求解，将每个维度问题做独立运算，然后结果相加。基于AOS的分割算法虽可以有效地分割出图像中所感兴趣的目标区域，但求解速度慢。

3. 本文模型及其快速算法

3.1 本文凸松弛模型

本文利用几何测度论知识和文献[14]的思想，给出一种新的RCI模型(9)凸松弛方法。具体地，针对求解式(9)中关于变量 $u$ 的子问题时，本文直接将 $u$ 松弛到[0,1]区间内，得到凸松弛模型

$\begin{split} & \mathop {\min }\limits_{u \in [0,1]}\{ \mu \int\limits_\varOmega {g(|\nabla z|)|\nabla u|{\rm{d}}\varOmega } + \theta \int\limits_\varOmega {{D_{\rm{G}}}u{\rm{d}}\varOmega } \\ & \quad + {\lambda _1}\int\limits_\varOmega {{{(z - {c_1})}^2}u{\rm{d}}\varOmega } + {\lambda _2}\int\limits_\varOmega {{{(z - {c_2})}^2}(1 - u){\rm{d}}\varOmega } \} \end{split}$

(12)

进一步，给出凸松弛模型式(12)的解与RCI模型解之间的如下关系。

定理1　对于任意给定的 ${c_1}$ 和 ${c_2}$ ，如果 $u$ 是松弛问题式(12)的一个解，则对几乎处处的 $\xi \in [0,1]$ ，二值函数 ${1_\varSigma }$ 是原RCI模型式(9)的一个解，其中 $\varSigma = {\text{\{ }}x:u(x) > \xi \}$ 。

证明　首先对于给定的 ${c_1}$ 和 ${c_2}$ ，由于 $u \in [0,1]$ ，根据余面积公式，对第1项加权TV范数有

$\begin{split} & \int\limits_\varOmega {g\left( {\left| {\nabla z} \right|} \right)\left| {\nabla u} \right|{\rm{d}}\varOmega } \\ & \quad = \int\limits_0^1 {g\left( {\left| {\nabla z} \right|} \right){\text{Per}}\left( {\left\{ {\left( {x,y} \right):u(x,y) \ge \xi } \right\};\varOmega } \right){\rm{d}}\xi }\\ & \quad{\text{ = }}\int\limits_0^1 {g\left( {\left| {\nabla z} \right|} \right){\text{Per}}\left( {\varSigma \left( \xi \right);\varOmega } \right){\rm{d}}\xi }\\ & \quad {\text{ = }}\int\limits_0^1 {\left( {\int_\varGamma {g\left( {\left| {\nabla z} \right|} \right){\text{d}}s} } \right){\rm{d}}\xi } \\[-21pt] \end{split}$

(13)

其中， ${\text{Per}}(\varSigma )$ 表示 $\varSigma$ 的周长。用 ${\chi _\varSigma }$ 表示 $\varSigma$ 的特征函数，因此有

$\begin{split} \int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_1}} \right)}^2}u{\rm{d}}\varOmega } =& \int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_1}} \right)}^2}} \int\limits_0^1 {{\chi _\varSigma }{\rm{d}}\xi {\rm{d}}\varOmega } \\ & = \int\limits_0^1 {\int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_1}} \right)}^2}{\chi _\varSigma }{\rm{d}}\varOmega {\rm{d}}\xi } } \\ = & \int\limits_0^1 {\int\limits_\varOmega {{r_1}{\chi _\varSigma }{\rm{d}}\varOmega {\rm{d}}\xi } } \end{split}$

(14)

同理，可以得到

$\begin{split} \int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_2}} \right)}^2}\left( {1 - u} \right)} {\rm{d}}\varOmega =& \int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_2}} \right)}^2}} \int\limits_0^1 {\left( {1 - {\chi _\Sigma }} \right){\rm{d}}\xi {\rm{d}}\varOmega } \\ =& \int\limits_0^1 {\int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_2}} \right)}^2}\left( {1 - {\chi _\varSigma }} \right){\rm{d}}\varOmega {\rm{d}}\xi } } \\ =&\int\limits_0^1 {\int\limits_\varOmega {{r_2}\left( {1 - {\chi _\varSigma }} \right){\rm{d}}\varOmega {\rm{d}}\xi } } \\[-21pt] \end{split}$

(15)

且

$\int\limits_\Omega {{D_{\rm{G}}}u{\rm{d}}\varOmega } {\text{ = }}\int\limits_\varOmega {{D_G}} \int\limits_0^1 {{\chi _\Sigma }{{\rm{d}}}\xi {\rm{d}}\varOmega } = \int\limits_0^1 {\int\limits_\varOmega {{D_{\rm{G}}}{\chi _\varSigma }{\rm{d}}\varOmega {\rm{d}}\xi } }$

(16)

其中， $\varSigma = {\text{\{ }}x:u(x) > \xi \}$ ，因此，有

$\begin{split} E(u) =& \int\limits_\varGamma \int\limits_0^1 ( {{g}}\left( {|\nabla z|} \right){\text{d}}s{\text{ + }}{\lambda _1}\int\limits_\varOmega {{r_1}{\chi _\varSigma }{\text{d}}\varOmega } \\ & + {\lambda _2}\int\limits_\varOmega {{r_2}\left( {1 - {\chi _\varSigma }} \right){\text{d}}\varOmega } + \theta \int\limits_\varOmega {{D_G}{\chi _\varSigma }{\text{d}}\varOmega } ) {\text{d}}\xi \\ =& \int\limits_0^1 {{F_{{\rm{RCI}}}}(\varGamma ,{c_1},{c_2}){\text{d}}\xi }\\[-21pt] \end{split}$

(17)

综上所述，如果 $u$ 是模型式(12)的一个极小值解，那么对几乎处处的 $\xi \in [0,1]$ ，二值函数 ${1_\varSigma }$ 是原RCI模型式(9)的一个极小值解，这里 $\varSigma = {\text{\{ }}x:u(x) > \xi \}$ 。证毕

基于定理1，本文使用交替迭代极小化算法数值求解RCI模型：首先固定 $u$ ，通过式(11)求解 ${c_1}$ 和 ${c_2}$ ；然后固定 ${c_1}$ 和 ${c_2}$ ，利用ADMM方法，对关于变量 $u$ 的子问题式(12)进行数值求解。

3.2 本文算法

注意到松弛后的优化问题式(12)是凸的，本文结合ADMM方法，设计模型式(12)的快速数值求解算法。首先引入变量 ${\boldsymbol{d}}$ ，将式(12)转化为如式(18)等价的约束问题

$\begin{split} & \mathop {\min }\limits_{u \in [0,1],{\boldsymbol{d}}} \mu \int\limits_\varOmega {g\left( {\left| {\nabla z} \right|} \right)\left| {\boldsymbol{d}} \right|{{\rm{d}}}\varOmega } + \theta \int\limits_\varOmega {{D_{\rm{G}}}u{{\rm{d}}}\varOmega }\\ & \quad + {\lambda _1}\int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_1}} \right)}^2}u{{\rm{d}}}\varOmega } + {\lambda _2}\int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_2}} \right)}^2}\left( {1 - u} \right){{\rm{d}}}\varOmega } \\ &{\text{s}}{\text{.t}}{\text{.}}{\nabla u = {\boldsymbol{d}}} \\[-10pt] \end{split}$

(18)

然后，引入拉格朗日乘子 ${\boldsymbol{\lambda }}$ ，将式(18)转化为无约束优化问题，相应的增广拉格朗日函数为

$\begin{split} L(u,{\boldsymbol{d}},{\boldsymbol{\lambda}} ) = &\mu \int\limits_\varOmega {g\left( {\left| {\nabla z} \right|} \right)\left| {{{\boldsymbol{d}}}} \right|{{\rm{d}}}\varOmega } + {{{\lambda}} _1}\int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_1}} \right)}^2}u{{\rm{d}}}\varOmega } \\ &+ {\lambda _2}\int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_2}} \right)}^2}\left( {1 - u} \right){{\rm{d}}}\varOmega } {\text{ + }}\theta \int\limits_\varOmega {{D_G}u{{\rm{d}}}\varOmega } \\ & + \frac{\beta }{2}\int\limits_\varOmega {{{\left| {{\boldsymbol{d}}{{ - }}\nabla {{u}}} \right|}^{\text{2}}}{{\rm{d}}}\varOmega } + \left\langle {{\boldsymbol{\lambda}} ,{\boldsymbol{d}} - \nabla u} \right\rangle \\[-21pt] \end{split}$

(19)

其中， $\beta$ 为罚因子。在给定迭代步数 $k$ 时算法2求解 $L\left( {u,{\boldsymbol{d}},{\boldsymbol{\lambda}} } \right)$ 的过程如下：

(1) 固定 ${u^k}$ ， ${{\boldsymbol{\lambda}} ^k}$ ，更新 ${{\boldsymbol{d}}^{k + 1}}$

${{\boldsymbol{d}}^{k + 1}} = \arg \mathop {\min }\limits_{\boldsymbol{d}} L\left( {{\boldsymbol{d}},{{\boldsymbol{\lambda}} ^k},{u^k}} \right)$

(20)

进一步，

$\begin{split} {{\boldsymbol{d}}^{k + 1}} =& {\text{shrink}}\left( {\nabla {u^{k + 1}} + \frac{{{{\boldsymbol{\lambda}} ^k}}}{\beta },\beta } \right) \\ =& \frac{{\nabla {u^{k + 1}} + \frac{{{\lambda ^k}}}{\beta }}}{{\left| {\nabla {u^{k + 1}} + \frac{{{{\boldsymbol{\lambda}} ^k}}}{\beta }} \right|}}\\ & \cdot\max \left\{ {\left| {\nabla {u^{k + 1}} + \frac{{{\lambda ^k}}}{\beta }} \right| - \frac{{\mu g\left( {\left| {\nabla z} \right|} \right)}}{\beta },0} \right\} \end{split}$

(21)

(2) 固定 ${{\boldsymbol{d}}^{k + 1}}$ ， ${{\boldsymbol{\lambda}} ^k}$ ，更新 ${u^{k + 1}}$

${u^{k + 1}} = \arg \mathop {\min }\limits_u L({{\boldsymbol{d}}^{k + 1}},{{\boldsymbol{\lambda}} ^k},u)$

(22)

首先，

$\begin{split} {u^{k + \frac{1}{2}}} =& \arg \mathop {\min }\limits_u \left\{ {\lambda _1}\int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_1}} \right)}^2}u{\rm{d}}\varOmega }\right. \\ & + {\lambda _2}\int\limits_\varOmega {{{\left( {z - {c_2}} \right)}^2}\left( {1 - u} \right){\rm{d}}\varOmega } + \theta \int\limits_\varOmega {{D_G}u{\rm{d}}\varOmega } \\ &\left. { + \frac{\beta }{2}\int\limits_\varOmega {{{\left| {\nabla u - {{\boldsymbol{d}}^{k + 1}}} \right|}^2}{\rm{d}}\varOmega } + \left\langle {{{\boldsymbol{\lambda}} ^k},\nabla u - {{\boldsymbol{d}}^{k + 1}}} \right\rangle } \right\} \\ \end{split}$

(23)

满足Euler-Lagrange方程

$\begin{split} \beta \Delta {u^{k + \frac{1}{2}}} =& {\lambda _1}{\left( {z - {c_1}} \right)^2} - {\lambda _2}{\left( {z - {c_2}} \right)^2}{\text{ + }}\theta {D_{\rm{G}}} \\ & + \nabla \cdot \left( {\beta {{\boldsymbol{d}}^{k + 1}} - {{\boldsymbol{\lambda}} ^k}} \right) \end{split}$

(24)

该方程可通过Gauss-Seidel方法快速求解，本文用 ${\text{GS}}$ 表示。注意到 $u$ 的取值范围，因此

$u_{i,j}^{k + 1} = \Pr {\text{o}}{{\text{j}}_\varGamma }(u_{i,j}^{k + \frac{1}{2}})$

(25)

其中， $\Pr {\text{o}}{{\text{j}}_\varGamma }(u): = \max \left\{ {\min \left\{ {u,1} \right\},0} \right\}$ 。

(3) 固定 ${{\boldsymbol{d}}^{k + 1}}$ , ${u^{k + 1}}$ ，更新 ${{\boldsymbol{\lambda}} ^{k + 1}}$

${{\boldsymbol{\lambda}} ^{k + 1}} = {{\boldsymbol{\lambda}} ^k} + \beta (\nabla {u^{k + 1}} - {{\boldsymbol{d}}^{k + 1}})$

(26)

下面给出关于 $u$ 子问题的收敛性结果。由于 $u$ 子问题的收敛性证明与经典的ADMM算法^[12,13]的收敛性证明过程相同，这里不再赘述。

定理2　对于任意给定的 $\beta \gt 0$ 和任意的初始值 $\left( {{u^0},{{\boldsymbol{\lambda}} ^0}} \right)$ ，由ADMM算法产生的迭代序列 $\left\{ {{{\boldsymbol{d}}^k},{u^k},{{\boldsymbol{\lambda}} ^k}} \right\}$ 收敛到增广拉格朗日函数 $L\left( {{\boldsymbol{d}},u,{\boldsymbol{\lambda}} } \right)$ 的鞍点 $\left( {{{\boldsymbol{d}}^*},{u^*},{{\boldsymbol{\lambda}} ^*}} \right)$ 。

在求解 $u$ 子问题的基础上，给出本文求解RCI模型的算法，具体求解流程如表1所示。

表 1 本文算法的求解流程

初始赋值： ${{\boldsymbol{d}}^0} = 0$ ， ${{\boldsymbol{\lambda}} ^0} = 0$ ， ${u^0}$ 取决于标记集 $M$
迭代：更新 ${u^{k + 1}}$ ， ${{\boldsymbol{d}}^{k + 1} }$ ， ${{\boldsymbol{\lambda}} ^{k + 1} }$
${ {\boldsymbol{d} }^{k + 1} } = {\text{shrink} }\left(\nabla {u^k} + \dfrac{ { {{\boldsymbol{\lambda}} ^k} } }{\beta },\beta \right)$ ，
${u^{k + \frac{1}{2} } } = {\text{GS} }({{\boldsymbol{d}}^{k + 1} },{{\boldsymbol{\lambda}} ^k})$ ， ${u^{k + 1} } = \Pr {\text{o} }{ {\text{j} }_\varGamma }({u^{k + \frac{1}{2} } })$ ，
${ {\boldsymbol{\lambda} } ^{k + 1} } = { {\boldsymbol{\lambda} } ^k} + \beta (\nabla {u^{k + 1} } - {{\boldsymbol{d}}^{k + 1} })$ ，
${\varSigma ^{ {\text{k} } + 1} } = \left\{ {x \in \varOmega \|{u^{k + 1} }(x) \ge \xi } \right\}$ 对于任意 $\xi \in [0,1]$ ，　 ${c_1}^{k + 1} = \dfrac{ {\displaystyle\int\limits_\varOmega {z{u^{k + 1} }{\rm{d}}\varOmega } } }{ {\displaystyle\int\limits_\varOmega { {u^{k + 1} }{\rm{d}}\varOmega } } }$ ， ${c_2}^{k + 1} = \dfrac{ {\displaystyle\int\limits_\varOmega {z(1 - {u^{k + 1} }){\rm{d}}\varOmega } } }{ {\displaystyle\int\limits_\varOmega {(1 - {u^{k + 1} }){\rm{d}}\varOmega } } }$ ，
迭代终止条件： $\dfrac{{{\text{\|\|}}{u^{k + 1}} - {u^k}\|\|}}{{\|\|{u^k}\|\|}} \lt {\text{Tol}}$ 。

下载: 导出CSV

| 显示表格

4. 实验结果及分析

本节将对多幅不同类型的图像进行分割，以检验本文所提算法的分割效果，并同BC算法^[5]、SC算法^[8]和基于AOS的CRCI算法^[9]的分割结果进行对比。采用Dice相似系数^[15](Dice Similarity Coefficient, DSC)和Hausdorff距离^[16](Hausdorff Distance, HD)作为不同算法分割精度的定量评价指标。其定义分别为

${\text{DSC}}({S_1},{S_2}): = \frac{{2|{S_1} \cap {S_2}|}}{{|{S_1}| + |{S_2}|}} \times 100\%$

(27)

$\begin{split} \qquad\;{\text{HD}}(A,B): = & \max \left( \frac{1}{n}\sum\limits_{a \in A} {\mathop {\min }\limits_{b \in B} ||a - b||,}\right. \\ & \left.\frac{1}{n}\sum\limits_{b \in B} {\mathop {\min }\limits_{a \in A} ||a - b||} \right) \end{split}$

(28)

其中，“ $: =$ ”表示“定义为”， ${S_1}$ 代表分割后目标物体的区域， ${S_2}$ 代表对应的真实区域， $n$ 指分割目标边界集的总数， $A$ 为分割后的二值图像， $B$ 是相应的真实二值图像。显然：DSC值越高，HD值越低，表明分割结果越精确。

4.1 参数的选择

在以下所有仿真实验中，本文均按照文献[9]中的方法，构造RCI模型中的特征函数。具体地，

$f\left( {x,y} \right) = {\varepsilon _{\text{D}}} + {\beta _{\text{G}}}|\nabla {\text{G}}{{\text{S}}^p}\left( {z\left( {x,y} \right)} \right){|^2} + \upsilon {D_{\text{E}}}\left( {x,y} \right)$

其中， ${\beta _{\text{G}}} = 1000$ ， ${\varepsilon _{\text{D}}} = {10^{ - 3}}$ ， $\upsilon {\text{ = }}0.1$ ，且 ${\text{GS}}$ 表示Gauss–Seidel迭代，迭代次数 $p$ 取100次。另外，RCI模型中含有模型参数 $\mu$ , ${\lambda _1}$ , ${\lambda _2}$ 和 $\theta$ 。同其他选择性分割模型一样，首先设置 $\mu = 1$ ， ${\lambda _1} = {\lambda _2}$ 。注意到参数 ${\lambda _1} = {\lambda _2}$ 控制模型中的保真项，而 $\theta$ 是模型测地距离项前面的参数。故本文中所有的实验按照如下方式取值：如果目标区域的边缘较复杂， ${\lambda _1} = {\lambda _2}$ 且取较大的值，反之，其值取较小。如果待分割图像含有噪声、边缘模糊等特征越复杂， $\theta$ 的取值越大；若图像干净且分割目标简单，则 $\theta$ 的取值较小，具体取值如表2所示，其中，行1、行2、行3分别指对应图中每一行的所有子图。本文算法中惩罚参数 $\beta$ 的取值，只要不是取得太大或者太小，对算法的分割结果影响不大。数值实验部分，固定取值 $\beta {\text{ = }}4$ 。实验中停止准则设置为 ${\text{Tol}} = {10^{ - 4}}$ 。

表 2 本文算法分割图像的参数

${\lambda _1}$ ,

${\lambda _2}$ 和

$\theta$ 的值

参数	图2			图3			图4			图5
参数	行1	行2	行3	行1	行2	行3	行1	行2	行3	行1	行2
${\lambda _1}$ , ${\lambda _2}$	10	13	13	6	6	7	2	2	2	5	5
$\theta$	32	39	41	10	13	11	110	185	180	6	7

下载: 导出CSV

| 显示表格

4.2 数值实验

首先，讨论本文算法对初值选取的敏感性。在图1中，图1(a)给出差异很大的4种初始轮廓，但是对于这4种不同的初值，本文算法都能精准地分割出四边形。进一步，通过图1(c)的DSC值与迭代步数的关系图可以发现：不同初值条件下，本文算法都是在5步以内达到收敛，且分割精度接近100%。这些结果都表明了本文算法对轮廓初始化的鲁棒性。

图 1 不同初始轮廓下的分割结果

下载: 全尺寸图片幻灯片

其次，图2展示了不同算法对MR图像中脑白质的分割结果，其中，标记集为蓝色线，groundtruth为红色线，分割结果为绿色线。分析图2中3幅脑部图的分割结果，不难发现：BC算法和SC算法的分割结果很不准确；CRCI算法和本文算法的分割效果较好。值得一提的是，本文算法能识别出较精细的点块状脑灰质，得到更精确的分割结果。进一步，表3给出了不同算法在分割脑白质目标时的DSC值、HD值、收敛迭代步数以及收敛时间，其中加粗字体是指每列中的最佳值。这些结果表明：本文算法在分割MR脑图像时，不仅收敛速度快，而且分割的精度更高。

图 2 不同算法对MR脑图像白质的分割结果

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 3 图2中分割结果的DSC(%)、HD值、迭代收敛步数及收敛时间(s)

图像	脑部图1				脑部图2				脑部图3
图像	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间
BC算法	77.78	3.8190	400	112.31	76.98	4.2858	380	107.57	74.95	3.7832	380	106.14
SC算法	92.48	2.2155	484	73.00	85.62	3.1259	500	74.86	86.41	2.7437	500	84.63
CRCI算法	94.62	1.7000	600	88.85	93.03	2.1251	4783	78.46	92.87	1.8523	619	89.45
本文算法	96.36	1.2660	24	7.77	94.40	1.8216	38	12.16	93.91	1.6728	32	10.03

下载: 导出CSV

| 显示表格

然后，图3展示了本文算法对不同噪声水平图像的分割结果，其中标记集为蓝色线，groundtruth为红色线，分割结果为绿色线。图3中每一行分别带有方差为 $\sigma {\text{ = }}0.01$ , $\sigma {\text{ = }}0.02$ , $\sigma {\text{ = }}0.03$ 的高斯噪声，通过比较不同模型的分割结果，不难发现：BC和SC算法对噪声比较敏感，不能精确分割出目标物体；CRCI算法与本文算法的分割结果对噪声有很好的鲁棒性。同时，表4的各项指标数据也表明：相比较于BC算法、SC算法和CRCI算法，本文算法取得了最佳的分割效果，其收敛时间和迭代步数也明显优于其它算法，其中加粗字体是指每列中的最佳值。

图 3 不同算法对不同噪声图像的分割结果

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 4 图3中分割结果的DSC(%)、HD值、迭代收敛步数及收敛时间(s)

图像	σ=0.01				σ=0.02				σ=0.03
图像	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间
BC算法	88.92	0.9940	180	45.40	88.67	1.0917	330	97.94	88.28	1.2310	600	153.86
SC算法	93.97	2.2062	715	107.62	83.54	2.0744	850	121.29	92.53	2.5350	900	126.69
CRCI算法	96.43	1.1073	450	64.44	96.33	1.1073	450	62.44	96.39	1.1746	281	43.07
本文算法	96.43	1.0870	36	13.21	96.38	1.1336	34	9.13	96.43	1.0990	41	11.43

下载: 导出CSV

| 显示表格

接着，图4给出了不同模型对比度较低、边缘模糊的医学CT图像的分割结果图4(b)—图4(e)，其中标记集为蓝色线，groundtruth为红色线，分割结果为绿色线。不难从这些结果中看出：由于CT图像中目标物体的边缘不明显，BC算法、SC算法和CRCI算法的分割结果中均出现了过度分割现象；而本文算法能精准地识别目标物体，取得了较好的分割结果。进一步，表5的各项指标结果表明：本文算法取得的DSC和HD值要优于其他算法，且其收敛速度更快，其中加粗字体是指每列中的最佳值。

图 4 不同算法对CT图像的分割结果

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 5 图4中分割结果的DSC(%)、HD值、迭代收敛步数及收敛时间(s)

图像	CT图像1				CT图像2				CT图像3
图像	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间
BC算法	84.99	1.5763	25	10.20	69.11	1.8017	20	7.29	75.73	0.8411	18	6.79
SC算法	97.33	0.6366	720	96.06	90.37	0.4213	1050	147.80	95.00	0.1860	850	111.86
CRCI算法	97.08	0.6119	912	129.51	86.27	0.1729	4797	800.83	95.55	0.1719	1787	313.94
本文算法	98.39	0.5968	75	20.12	97.90	0.2929	66	17.08	98.25	0.1284	54	13.88

下载: 导出CSV

| 显示表格

最后，图5展示了不同算法对灰度不均匀的图像进行选择性分割的结果，其中标记集为蓝色线，groundtruth为红色线，分割结果为绿色线。从图5(b)—图5(e)的分割结果可以看出：SC算法的分割结果欠佳，CRCI算法和本法算法的分割结果较好，表明基于测地距离的选择性分割模型相比基于欧氏距离的分割模型，在分割灰度不均匀的图像时更有优势。进一步，表6给出了不同算法在分割图5两幅真实图像时的DSC值、HD值以及收敛迭代步数，其中加粗字体是指每列中的最佳值。不难发现：本文算法都能取得理想的分割结果。而且，就收敛迭代步数而言，本文算法的收敛速度无疑是最快的。

图 5 不同算法对灰度不均匀图像的分割结果

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 6 图5中分割结果的DSC(%)、HD值、迭代收敛步数及收敛时间(s)

图像	真实图像1				真实图像2
图像	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间
BC算法	98.52	0.5298	300	89.13	98.10	0.6631	100	22.20
SC算法	90.48	1.7070	700	97.15	81.03	2.5656	800	114.58
CRCI算法	97.80	0.6896	335	47.77	97.61	0.7284	174	18.78
本文算法	98.06	0.6304	43	11.20	98.00	0.6961	20	6.54

下载: 导出CSV

| 显示表格

5. 结束语

本文在RCI模型的基础上，结合CV凸松弛方法，提出新的凸松弛选择性分割模型，并给出了凸松弛模型的解与原问题解的关系。此外，结合ADMM方法，设计了新模型的快速数值求解算法，并给出了该算法的收敛性结果。最后，数值试验结果验证了本文算法的有效性和可行性。

图 1 不同初始轮廓下的分割结果

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 不同算法对MR脑图像白质的分割结果

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 不同算法对不同噪声图像的分割结果

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 4 不同算法对CT图像的分割结果

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 5 不同算法对灰度不均匀图像的分割结果

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 本文算法的求解流程

初始赋值： ${{\boldsymbol{d}}^0} = 0$ ， ${{\boldsymbol{\lambda}} ^0} = 0$ ， ${u^0}$ 取决于标记集 $M$
迭代：更新 ${u^{k + 1}}$ ， ${{\boldsymbol{d}}^{k + 1} }$ ， ${{\boldsymbol{\lambda}} ^{k + 1} }$
${ {\boldsymbol{d} }^{k + 1} } = {\text{shrink} }\left(\nabla {u^k} + \dfrac{ { {{\boldsymbol{\lambda}} ^k} } }{\beta },\beta \right)$ ，
${u^{k + \frac{1}{2} } } = {\text{GS} }({{\boldsymbol{d}}^{k + 1} },{{\boldsymbol{\lambda}} ^k})$ ， ${u^{k + 1} } = \Pr {\text{o} }{ {\text{j} }_\varGamma }({u^{k + \frac{1}{2} } })$ ，
${ {\boldsymbol{\lambda} } ^{k + 1} } = { {\boldsymbol{\lambda} } ^k} + \beta (\nabla {u^{k + 1} } - {{\boldsymbol{d}}^{k + 1} })$ ，
${\varSigma ^{ {\text{k} } + 1} } = \left\{ {x \in \varOmega \|{u^{k + 1} }(x) \ge \xi } \right\}$ 对于任意 $\xi \in [0,1]$ ，　 ${c_1}^{k + 1} = \dfrac{ {\displaystyle\int\limits_\varOmega {z{u^{k + 1} }{\rm{d}}\varOmega } } }{ {\displaystyle\int\limits_\varOmega { {u^{k + 1} }{\rm{d}}\varOmega } } }$ ， ${c_2}^{k + 1} = \dfrac{ {\displaystyle\int\limits_\varOmega {z(1 - {u^{k + 1} }){\rm{d}}\varOmega } } }{ {\displaystyle\int\limits_\varOmega {(1 - {u^{k + 1} }){\rm{d}}\varOmega } } }$ ，
迭代终止条件： $\dfrac{{{\text{\|\|}}{u^{k + 1}} - {u^k}\|\|}}{{\|\|{u^k}\|\|}} \lt {\text{Tol}}$ 。

下载: 导出CSV

表 2 本文算法分割图像的参数 ${\lambda _1}$ , ${\lambda _2}$ 和 $\theta$ 的值

参数	图2			图3			图4			图5
参数	行1	行2	行3	行1	行2	行3	行1	行2	行3	行1	行2
${\lambda _1}$ , ${\lambda _2}$	10	13	13	6	6	7	2	2	2	5	5
$\theta$	32	39	41	10	13	11	110	185	180	6	7

下载: 导出CSV

表 3 图2中分割结果的DSC(%)、HD值、迭代收敛步数及收敛时间(s)

图像	脑部图1				脑部图2				脑部图3
图像	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间
BC算法	77.78	3.8190	400	112.31	76.98	4.2858	380	107.57	74.95	3.7832	380	106.14
SC算法	92.48	2.2155	484	73.00	85.62	3.1259	500	74.86	86.41	2.7437	500	84.63
CRCI算法	94.62	1.7000	600	88.85	93.03	2.1251	4783	78.46	92.87	1.8523	619	89.45
本文算法	96.36	1.2660	24	7.77	94.40	1.8216	38	12.16	93.91	1.6728	32	10.03

下载: 导出CSV

表 4 图3中分割结果的DSC(%)、HD值、迭代收敛步数及收敛时间(s)

图像	σ=0.01				σ=0.02				σ=0.03
图像	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间
BC算法	88.92	0.9940	180	45.40	88.67	1.0917	330	97.94	88.28	1.2310	600	153.86
SC算法	93.97	2.2062	715	107.62	83.54	2.0744	850	121.29	92.53	2.5350	900	126.69
CRCI算法	96.43	1.1073	450	64.44	96.33	1.1073	450	62.44	96.39	1.1746	281	43.07
本文算法	96.43	1.0870	36	13.21	96.38	1.1336	34	9.13	96.43	1.0990	41	11.43

下载: 导出CSV

表 5 图4中分割结果的DSC(%)、HD值、迭代收敛步数及收敛时间(s)

图像	CT图像1				CT图像2				CT图像3
图像	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间
BC算法	84.99	1.5763	25	10.20	69.11	1.8017	20	7.29	75.73	0.8411	18	6.79
SC算法	97.33	0.6366	720	96.06	90.37	0.4213	1050	147.80	95.00	0.1860	850	111.86
CRCI算法	97.08	0.6119	912	129.51	86.27	0.1729	4797	800.83	95.55	0.1719	1787	313.94
本文算法	98.39	0.5968	75	20.12	97.90	0.2929	66	17.08	98.25	0.1284	54	13.88

下载: 导出CSV

表 6 图5中分割结果的DSC(%)、HD值、迭代收敛步数及收敛时间(s)

图像	真实图像1				真实图像2
图像	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间	DSC	HD	迭代收敛步数	收敛时间
BC算法	98.52	0.5298	300	89.13	98.10	0.6631	100	22.20
SC算法	90.48	1.7070	700	97.15	81.03	2.5656	800	114.58
CRCI算法	97.80	0.6896	335	47.77	97.61	0.7284	174	18.78
本文算法	98.06	0.6304	43	11.20	98.00	0.6961	20	6.54

下载: 导出CSV

参考文献(16)

[1]	KASS M, WITKIN A, and TERZOPOULOS D. Snakes: Active contour models[J]. International Journal of Computer Vision, 1988, 1(4): 321–331. doi: 10.1007/BF00133570
[2]	CASELLES V, KIMMEL R, and SAPIRO G. Geodesic active contours[J]. International Journal of Computer Vision, 1997, 22(1): 61–79. doi: 10.1023/A:1007979827043
[3]	MUMFORD D and SHAH J. Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variational problems[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1989, 42(5): 577–685. doi: 10.1002/cpa.3160420503
[4]	CHAN T F and VESE L A. Active contours without edges[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2001, 10(2): 266–277. doi: 10.1109/83.902291
[5]	BADSHAH N and CHEN Ke. Image selective segmentation under geometrical constraints using an active contour approach[J]. Communications in Computational Physics, 2010, 7(4): 759–778. doi: 10.4208/cicp.2009.09.026
[6]	LE GUYADER C and GOUT C. Geodesic active contour under geometrical conditions: Theory and 3D applications[J]. Numerical Algorithms, 2008, 48(1/3): 105–133. doi: 10.1007/s11075-008-9174-y
[7]	RADA L and CHEN Ke. Improved selective segmentation model using one level-set[J]. Journal of Algorithms & Computational Technology, 2013, 7(4): 509–540. doi: 10.1260/1748-3018.7.4.509
[8]	SPENCER J and CHEN Ke. A convex and selective variational model for image segmentation[J]. Communications in Mathematical Sciences, 2015, 13(6): 1453–1472. doi: 10.4310/CMS.2015.v13.n6.a5
[9]	ROBERTS M, CHEN Ke, and IRION K L. A convex geodesic selective model for image segmentation[J]. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 2019, 61(4): 482–503. doi: 10.1007/s10851-018-0857-2
[10]	ALI H, FAISAL S, CHEN Ke, et al. Image-selective segmentation model for multi-regions within the object of interest with application to medical disease[J]. The Visual Computer, 2021, 37(5): 939–955. doi: 10.1007/s00371-020-01845-1
[11]	KAPURIYA B R, PRADHAN D, and SHARMA R. Geometric constraints based selective segmentation for vector valued images[C]. The IEEE 2020 International Conference on Computer Communication and Informatics (ICCCI), Coimbatore, India, 2020: 1–5.
[12]	ZHANG Jianjun and NAGY J G. An effective alternating direction method of multipliers for color image restoration[J]. Applied Numerical Mathematics, 2021, 164: 43–56. doi: 10.1016/j.apnum.2020.07.008
[13]	PADCHAROEN A, KITKUAN D, KUMAM P, et al. Accelerated alternating minimization algorithm for Poisson noisy image recovery[J]. Inverse Problems in Science and Engineering, 2020, 28(7): 1031–1056. doi: 10.1080/17415977.2019.1709454
[14]	CHAN T F, ESEDOGLU S, and NIKOLOVA M. Algorithms for finding global minimizers of image segmentation and denoising models[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2006, 66(5): 1632–1648. doi: 10.1137/040615286
[15]	VAASSEN F, HAZELAAR C, VANIQUI A, et al. Evaluation of measures for assessing time-saving of automatic organ-at-risk segmentation in radiotherapy[J]. Physics and Imaging in Radiation Oncology, 2020, 13: 1–6. doi: 10.1016/j.phro.2019.12.001
[16]	LIU Qiong, PENG Hao, CHEN Jifeng, et al. Design and implementation of parallel algorithm for image matching based on Hausdorff Distance[J]. Microprocessors and Microsystems, 2021, 82: 103919. doi: 10.1016/j.micpro.2021.103919

施引文献

期刊类型引用(0)
其他类型引用(1)

资源附件(0)

访问统计

图(5) / 表(6)

计量

文章访问数: 465
HTML全文浏览量: 215
PDF下载量: 87
被引次数: 1

1. 引言
2. 变分分割模型
2.1 全局变分分割模型
2.2 选择性分割模型
3. 本文模型及其快速算法
3.1 本文凸松弛模型
3.2 本文算法
4. 实验结果及分析
4.1 参数的选择
4.2 数值实验
5. 结束语

姓名
邮箱
手机号码
标题
留言内容
验证码

留言板

基于凸松弛的图像选择性分割模型的快速算法

doi: 10.11999/JEIT210184

通讯作者:
连晓煜　lianxiaoyujj@foxmail.com

计量

Fast Algorithm of Image Selective Segmentation Model Based on Convex Relaxation

1. 引言

2. 变分分割模型

2.1 全局变分分割模型

2.2 选择性分割模型

3. 本文模型及其快速算法

3.1 本文凸松弛模型

3.2 本文算法

4. 实验结果及分析

4.1 参数的选择

4.2 数值实验

5. 结束语

期刊类型引用(0)

其他类型引用(1)

计量

目录

1. 引言

2. 变分分割模型

2.1 全局变分分割模型

2.2 选择性分割模型

3. 本文模型及其快速算法

3.1 本文凸松弛模型

3.2 本文算法

4. 实验结果及分析

4.1 参数的选择

4.2 数值实验

5. 结束语

留言板

基于凸松弛的图像选择性分割模型的快速算法

doi: 10.11999/JEIT210184

通讯作者: 连晓煜 lianxiaoyujj@foxmail.com

计量

出版历程

Fast Algorithm of Image Selective Segmentation Model Based on Convex Relaxation

1. 引言

2. 变分分割模型

2.1 全局变分分割模型

2.2 选择性分割模型

3. 本文模型及其快速算法

3.1 本文凸松弛模型

3.2 本文算法

4. 实验结果及分析

4.1 参数的选择

4.2 数值实验

5. 结束语

期刊类型引用(0)

其他类型引用(1)

计量

出版历程

目录

1. 引言

2. 变分分割模型

2.1 全局变分分割模型

2.2 选择性分割模型

3. 本文模型及其快速算法

3.1 本文凸松弛模型

3.2 本文算法

4. 实验结果及分析

4.1 参数的选择

4.2 数值实验

5. 结束语

通讯作者:
连晓煜　lianxiaoyujj@foxmail.com