1.   引言

支持多场景应用为目标的5G移动通信已经实现商业化部署，研究界的重点目前正在转向B5G和6G，其预期性能指标显著提高^[1]。为了实现更高的性能指标、满足多样化的需求，需要引入智能的技术，以有效提高传输可靠性和系统吞吐量，并支持更大规模设备的互联。非正交多址接入(Non-Orthogonal Multiple Access, NOMA)由于具有高接入能力和灵活性而受到广泛关注^[2]。功率域NOMA技术是基于功率复用的多址技术，多个用户占用相同的时频资源进行信息的传输，通过给用户分配不同的功率进行区分，其用户接入数量允许大于可分配的资源数目，在某些场景下可获得比正交多址更高的频谱效率。智能反射表面(Intelligent Reflecting Surface, IRS)没有射频单元电路，仅反射无线信号，通过调整反射单元的相位和幅度，可以实现对无线环境的智能控制^[3]，合理利用IRS可增强NOMA系统的性能^[4]。文献[5]针对单个IRS辅助的下行链路NOMA系统，采用机器学习的方法优化IRS的部署和反射相移来提高能源效率。文献[6]研究了一个多集群多输入单输出(Multiple-Input Single-Output, MISO)的IRS辅助NOMA系统模型，在用户分组给定情况下，通过联合优化基站的波束赋形矢量和IRS反射系数来最小化基站发送功率。文献[7]则在文献[6]的基础上进一步考虑了功率分配的问题。文献[8]针对IRS辅助毫米波NOMA系统，在用户分组已经确定的条件下，通过联合优化波束赋形和功率分配来最大化用户和速率。

在NOMA系统中，用户的分组和配对是影响系统性能的重要环节之一。在配备多发送天线的情况下，各用户信道间的增益差、相关性等是进行用户配对时需要考虑的关键因素。如文献[9]提出了一种多输入多输出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)系统中基于用户信道相关性和增益差的分组算法，所提算法可以获得和穷举法相近的系统容量；文献[10]给出了MISO系统中基于信道增益差的分组算法，通过联合求解用户分组和功率分配来最大化用户和速率。在IRS辅助的NOMA系统中，由于IRS具有改变无线传播环境的能力，因此用户配对就与IRS相移的设置密切相关，为了获得较好的系统性能，用户配对应与IRS相移的优化联合进行，还需要与发送波束赋形和发送功率进行联合优化。现有对IRS辅助NOMA系统的优化进行研究的文献，在对波束赋形和IRS相移进行优化时，一般都假设用户分组已经确定，没有将用户配对问题纳入联合优化问题中，如文献[6-8]。

本文针对下行IRS辅助多天线NOMA系统的优化问题进行研究，在优化波束赋形和IRS相移的同时，也对用户分组进行优化。本文的系统模型中，各用户与基站都有直连信道，同时也都有经过IRS反射形成的反射信道，这与文献[7]中仅考虑基站与强用户存在直连信道的情况以及文献[8]中仅存在反射信道的情况不同。本文的系统模型更接近实际情况，也更为一般化，文献[7,8]的系统模型都可以看作本文模型的特殊情况。在这样的系统模型下，优化问题更复杂也更难以求解。将用户分组与IRS相移的设置、基站的波束赋形进行联合优化能获得最好的性能，但联合优化问题很难求解，只能采用遍历搜索的方法，计算复杂度非常高。考虑到基站天线数较少时波束数量不宜过多，同时也为了降低系统优化的复杂度，本文采用每组用户分配一个波束的方案，并将用户分组的优化与其他优化分开进行求解，给出一种不依赖于IRS相移和基站波束赋形的分组算法。本文分组中依据的分组度量与其他文献不同，是本文的特色之一。在此基础上，再给出一种基站发送功率和波束赋形矢量、IRS相移矩阵联合优化的求解算法。

2.   系统模型

本文研究IRS辅助的下行NOMA系统模型如图1所示。系统由基站、IRS和K个用户组成。基站配置J根天线，IRS包含N个反射单元，用户则配置单根天线。假设所有信道均为准静态平坦衰落信道。将K个用户分成M个组，假设前L个组每组内用户数为2，其余的M–L个组只有1个用户。第k组中的第i个用户记为U_k,i，BS和IRS与用户U_k,i间的信道系数矢量分别记为${\boldsymbol{h}}_{k,i}^{\text{H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times J}}$, ${\boldsymbol{g}}_{k,i}^{\text{H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times N}}$，BS与IRS间的信道系数矩阵记为${\boldsymbol{G}} \in {\mathbb{C}^{N \times J}}$。

图 1  IRS 辅助 NOMA 系统模型

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在用户数量多于基站发射天线数，或者用户间信道的相关性较高时，利用发送波束赋形不能有效地在空间分离发送给不同用户的信号，会存在较为严重的用户间干扰。为解决这一问题，本文将用户进行分组，每组共享一个波束赋形，发送给组内各用户的信号采用非正交叠加传输的方式，这样可减少波束的数量，一方面可降低组间干扰，同时也能降低波束赋形优化的复杂度。用户进行接收信号检测时，仅针对发送给组内其他用户的信号进行串行干扰消除(Successive Interference Cancellation, SIC)，相较于对发送给所有用户的信号都进行SIC，检测复杂度可明显降低。基站的发送信号表示为

其中，s_l,i (i=1,2)～$\mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$表示基站发送给第l (1 ≤ l ≤ L)组中第i个用户的信号，s_m,1～$\mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$表示基站发送给第m (L+1 ≤ m ≤ M)组用户的信号。${{\boldsymbol{w}}_l} \in {\mathbb{C}^{J \times 1}}$, ${{\boldsymbol{w}}_m} \in {\mathbb{C}^{J \times 1}}$表示发送波束赋形矢量，P_l,1, P_l,2, P_m,1分别表示发送第l组中第1, 2个用户和第m组用户信号的功率。用户U_k,i的接收信号可表示为

其中，${n_{k,i}} \sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma ^2})$为U_k,i处的加性复高斯白噪声，${\boldsymbol{\varPhi}} = {\text{diag}}({A_1}{{\text{e}}^{{\text{j}}{\theta _1}}},{A_2}{{\text{e}}^{{\text{j}}{\theta _2}}}, \cdot \cdot \cdot ,{A_N}{{\text{e}}^{{\text{j}}{\theta _N}}})$为IRS的相移矩阵，其中${A_n} \in [0,1]$, ${\theta _n} \in [0,2\pi ]$分别表示IRS第n个反射单元的反射幅度与反射相位，n=1,2,···,N。将式(1)代入式(2)并展开，采用非正交叠加传输的用户U_l,i (i=1,2)的接收信号可表示为

其中，当i =1时，$\bar i$=2，而当i =2时，$\bar i$=1；$I_{l,i}^{\rm{u}} = \left( {{\boldsymbol{g}}_{l,i}^{\text{H}}{\boldsymbol{\varPhi}} {\boldsymbol{G}} + {\boldsymbol{h}}_{l,i}^{\text{H}}} \right) \displaystyle\sum\nolimits_{\begin{subarray}{l} k = 1 \\ k \ne l \end{subarray}} ^L {{{\boldsymbol{w}}_k} \left( {\sqrt {{P_{k,1}}} {s_{k,1}} + \sqrt {{P_{k,2}}} {s_{k,2}}} \right)} + \left( {{\boldsymbol{g}}_{l,i}^{\text{H}}} \right. {\boldsymbol{\varPhi}} {\boldsymbol{G}}+$ $\left. {{\boldsymbol{h}}_{l,i}^{\text{H}}} \right)\displaystyle\sum\nolimits_{m = L + 1}^M {{{\boldsymbol{w}}_m}\sqrt {{P_{m,1}}} {s_{m,1}}}$。单独成组的用户U_m,1的接收信号为

其中，$I_{m,1}^u = \left( {{\boldsymbol{g}}_{m,1}^{\text{H}}{\boldsymbol{\varPhi}} {\boldsymbol{G}} + {\boldsymbol{h}}_{m,1}^{\text{H}}} \right)\displaystyle\sum\nolimits_{l = 1}^L {{\boldsymbol{w}}_l}\left( \sqrt {{P_{l,1}}} {s_{l,1}} + \sqrt {{P_{l,2}}} {s_{l,2}} \right) + \left( {\boldsymbol{g}}_{m,1}^{\text{H}}{\boldsymbol{\varPhi}} {\boldsymbol{G}} + {\boldsymbol{h}}_{m,1}^{\text{H}} \right)$$\displaystyle\sum\nolimits_{\begin{subarray}{l} k = L + 1 \\ k \ne m \end{subarray}} ^M {{{\boldsymbol{w}}_k}\sqrt {{P_{k,1}}} {s_{k,1}}}$。

对于采用非正交叠加传输的用户组l，假设组中U_l,2具有相较于U_l,1更好的信道质量。U_l,2在检测发送给自己的信号前要先检测发送给U_l,1的信号，然后将发送给U_l,1的信号从接收信号中消掉，再解码发送给自己的信号。U_l,1不进行干扰对消，在解码自己的信号时将发送给U_l,2的信号视为干扰。U_l,i处解码发送给U_l,1的信号时，信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)为

其中，$P_{l,i}^u = \displaystyle\sum\nolimits_{\begin{subarray}{l} k = 1 \\ k \ne l \end{subarray}} ^L {{{\left| {\left( {{\boldsymbol{g}}_{l,i}^{\text{H}}{\boldsymbol{\varPhi}} {\boldsymbol{G}} + {\boldsymbol{h}}_{l,i}^{\text{H}}} \right){{\boldsymbol{w}}_k}} \right|}^2} \left( {{P_{k,1}} + {P_{k,2}}} \right)} + \displaystyle\sum\nolimits_{m = L + 1}^M {{{\left| {\left( {{\boldsymbol{g}}_{l,i}^{\text{H}}{\boldsymbol{\varPhi}} {\boldsymbol{G}} + {\boldsymbol{h}}_{l,i}^{\text{H}}} \right){{\boldsymbol{w}}_m}} \right|}^2}{P_{m,1}}}$为组间干扰功率。U_l,2在解码发送给自己的信号时，发送给U_l,1的信号已经被对消掉，因此SINR为

为了保证SIC的正常进行，发送给U_l,1的信息都应该能被U_l,2和U_l,1正确解码，因此发送给U_l,1的信息的传输速率应为

发送给U_l,2的信息的传输速率为

对于组内仅有1个用户的后M–L组，不需要进行SIC，所有发送给其他用户的信号都视为干扰，用户进行信号检测时的SINR为

其中，$P_{m,1}^{\rm{u}} = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^L {\left| {\left( {{\boldsymbol{g}}_{m,1}^{\text{H}}{\boldsymbol{\varPhi}} {\boldsymbol{G}} + {\boldsymbol{h}}_{m,1}^{\text{H}}} \right)} \right.} {\left. {{{\boldsymbol{w}}_k}} \right|^2} \left( {P_{k,1}} + {P_{k,2}} \right) + \displaystyle\sum\nolimits_{\begin{subarray}{l} k = L + 1 \\ k \ne m \end{subarray} }^M {\left| {\left( {{\boldsymbol{g}}_{m,1}^{\text{H}}{\boldsymbol{\varPhi}} {\boldsymbol{G}} + {\boldsymbol{h}}_{m,1}^{\text{H}}} \right)} \right.} {\left. {{{\boldsymbol{w}}_m}} \right|^2}{P_{m,1}}$为组间干扰功率。信息传输速率为

3.   优化问题的求解

本文的优化问题为在满足各用户最小传输速率的要求下，联合优化用户的分组、基站的发送波束赋形矢量、发送功率和IRS的相移矩阵，最小化基站发送总功率。用户分组与波束赋形、发送功率、相移矩阵是相互关联的，联合求解十分困难。本文将用户分组单独作为一个子问题，其他优化作为另一个子问题，分别求解。下面先讨论用户分组算法，然后讨论在用户分组给定情况下基站发送功率、基站发送波束赋形矢量和IRS相移矩阵的联合优化问题的求解。

3.1   用户分组

在下行传输中，由于用户设备的供电和计算能力较为受限，难以实现全用户的SIC检测。另外，当基站天线数小于用户数时，如果每个用户分配1个波束，则波束成形的效果会大大降低。本文对用户进行分组，组内用户信道相关性较高，组间信道相关性较低，每组分配1个波束。组间信号通过波束赋形进行分离，仅在组内进行SIC检测，可显著降低用户检测的计算量。另外，采用非正交叠加传输和SIC检测时，用户间的信道增益差较大时能获得更高的和速率^[11]。基于以上考量，本文根据用户信道的相关性和增益差进行用户分组，基本原则是组间用户信道相关性应足够小，而组内用户信道相关性则越高越好，同时还应有足够大的信道增益差。

由于IRS的引入，每个用户的信道由直连信道和反射信道合成，理论上用户分组与IRS相移优化应联合进行。为降低复杂度，在进行用户分组时不考虑IRS相移的因素。将直连信道与反射信道一起，看作一个MISO信道，再考虑到基站到IRS的信道是所有用户共享，用户间信道的相关性取决于基站到用户、IRS到用户的信道，因此将用户i和用户j信道间的相关系数定义为

其中，${\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{h}}} _i} = \left[ {{\boldsymbol{h}}_i^{\rm{H}}} \right.{\left. {{\boldsymbol{g}}_i^{\rm{H}}} \right]^{\rm{H}}}$$\left({\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{h}}} _j} = \left[ {{\boldsymbol{h}}_j^{\rm{H}}} \right.{\left. {{\boldsymbol{g}}_j^{\rm{H}}} \right]^{\rm{H}}}\right)$为由基站到用户i(用户j)的信道矢量和IRS到用户i(用户j)的信道矢量合成的信道矢量。再定义用户信道增益为

再进行归一化得到${E_i} = {{({\xi _i} - {\xi _{\min }})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({\xi _i} - {\xi _{\min }})} {({\xi _{\max }} - {\xi _{\min }})}}} \right. } {({\xi _{\max }} - {\xi _{\min }})}}$，其中${\xi _{\min }}$和${\xi _{\max }}$分别表示所有用户信道增益的最小值和最大值。用户i和用户j信道增益差的定义为

用户分组时综合考虑用户间信道的相关性和增益差，综合度量值定义为

其中α (0 ≤ α ≤ 1)表示相关性在分组度量时所占的权重。两用户间的度量值越大，越适合分到一组。

用户分组算法的基本过程为：首先计算出所有用户信道间的相关系数和增益差，并将信道相关系数大于阈值C^th (0 ≤ C^th ≤ 1)的用户组合放入分组候选集中；其次计算候选集合中所有用户组合的综合度量值；从候选集合中选择综合度量值最大的一个组合，作为一个非正交传输的用户组，并将候选集合中包含这两个用户的所有组合从集合中删除；重复从候选集合中选择最大综合度量值并删除包含这两个用户的所有组合这一过程，直到分组候选集合为空，或用户组数达到了K/2。未进入候选分组集合的用户单独成组，不采用非正交叠加传输。

3.2   基站发送功率、发送波束赋形矢量和IRS相移矩阵的联合优化

在用户分组确定后，基站发送功率、波束赋形矢量和相移矩阵的优化可以表示为

其中，$R_{l,i}^{\min }$和$R_{m,1}^{\min }$分别表示用户U_l,i和U_m,1最小速率需求。问题P1中优化变量和约束多，求解困难。本文先将其分解为发送功率的优化和波束赋形矢量、相移矩阵的优化两个子问题，通过在两个子问题间进行交替迭代求解获得问题P1的解。

3.2.1   发送功率的优化

在${\boldsymbol{\varPhi}}$和w_k (1 ≤ k ≤ M)给定的情况下，合成信道矢量$\tilde {\boldsymbol{h}}_{k,i}^{\text{H}} = {\boldsymbol{g}}_{k,i}^{\text{H}}{\boldsymbol{\varPhi}} {\boldsymbol{G}} + {\boldsymbol{h}}_{k,i}^{\text{H}}$是固定的，将P1中与${\boldsymbol{\varPhi}}$和w_k相关的约束去掉，得到发送功率的优化问题

问题P2的约束和目标函数对于P_l,1, P_l,2和P_m,1是凸的，因此可以采用成熟的凸优化问题求解算法进行求解，也可以采用CVX, Sedumi等凸优化问题的求解器进行求解，本文不再进行详细的讨论。

3.2.2   波束赋形矢量和相移矩阵的优化

在发送功率给定的情况下，波束赋形矢量和相移矩阵优化的目标为最大化用户和速率，优化问题为

问题P3的目标函数相对于w_k和${\boldsymbol{\varPhi}}$是非凸的，需要先进行变换。引入辅助变量χ={χ_1,1,χ_1,2,···,χ_L,1,χ_L,2, χ_L+1,1,···,χ_M,1}，将P3目标函数中速率表达式中的min{${\gamma _{l,2 \to 1}}$, ${\gamma _{l,1 \to 1}}$}, ${\gamma _{l,2 \to 2}}$,${\gamma _{m,1}}$分别用χ_l,1, χ_l,2, χ_m,1进行松弛，并增加对松弛变量相应的约束，就可将其转换为

P4中的约束C2,C3和C5是非凸约束，P4的求解仍然十分困难，因此将其分解为两个子问题：(1) 固定${\boldsymbol{\varPhi}}$，优化w_k；(2) 固定w_k，优化${\boldsymbol{\varPhi}}$。w_k和${\boldsymbol{\varPhi}}$交替迭代优化，直至收敛。

3.2.2.1   ${\boldsymbol{\varPhi}}$固定时的w_k优化

在IRS相移矩阵${\boldsymbol{\varPhi}}$固定的情况下，问题P4退化为

将式(5)代入到约束C5第1个不等式中，并进行整理后得到

式(20)是关于w_k的非凸约束，可通过半定松弛(SemiDefinite Relaxation, SDR)方法将其转换为凸约束。先将${\left| {\tilde {\boldsymbol{h}}_{l,i}^{\text{H}}{{\boldsymbol{w}}_l}} \right|^2}$改写为${\boldsymbol{w}}_l^{\text{H}}{\tilde {\boldsymbol{H}}_{l,i}}{{\boldsymbol{w}}_l}$，其中${\tilde {\boldsymbol{H}}_{l,i}} = {\tilde {\boldsymbol{h}}_{l,i}}\tilde {\boldsymbol{h}}_{l,i}^{\text{H}}$，引入松弛矩阵${{\boldsymbol{W}}_l} = {{\boldsymbol{w}}_l}{\boldsymbol{w}}_l^{\text{H}}$，显然${{\boldsymbol{W}}_l} \succcurlyeq 0$, ${\text{rank}}\left( {{{\boldsymbol{W}}_l}} \right) = 1$, ${\boldsymbol{w}}_l^{\text{H}}{\tilde {\boldsymbol{H}}_{l,i}}{{\boldsymbol{w}}_l} = {\text{Tr}}\left( {{{\tilde {\boldsymbol{H}}}_{l,i}}{{\boldsymbol{W}}_l}} \right)$。利用该关系，约束C5第1个不等式可改写为

类似地，可将约束C5第2个、第3个不等式变换为

其中，${I_{l,i}} = \displaystyle\sum\nolimits_{\begin{subarray}{l} k = 1 \\ k \ne l \end{subarray} }^L {\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^2 {{\text{Tr}}\left( {{{\tilde {\boldsymbol{H}}}_{l,i}}{{\boldsymbol{W}}_k}} \right){P_{k,i}}} } + \displaystyle\sum\nolimits_{m = L + 1}^M {{\text{Tr}}\left( {{{\tilde {\boldsymbol{H}}}_{l,i}}{{\boldsymbol{W}}_m}} \right){P_{m,1}}} + {\sigma ^2}$, ${I_{m,1}} = \displaystyle\sum\nolimits_{l = 1}^L \displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^2 {\text{Tr}} \left( {{{\tilde {\boldsymbol{H}}}_{m,1}}{{\boldsymbol{W}}_l}} \right){P_{l,i}} +$ $\displaystyle\sum\nolimits_{\begin{subarray}{l} k = L + 1 \\ k \ne m \end{subarray}} ^M {{\text{Tr}}\left( {{{\tilde {\boldsymbol{H}}}_{m,1}}{{\boldsymbol{W}}_k}} \right){P_{k,1}}} + {\sigma ^2}$。式(22)两个不等式左边均是双线性非凸函数，采用基于算术几何均值不等式的连续凸逼近(Successive Convex Approximation, SCA)方法^[7]，可将该非凸可行集近似为凸集。由不等式2ab ≤ a²+b²(其中a和b是非负实数)，式(22)左边的一个上界为

其中，α_l,2, α_m为可行集中的任意点，影响上界的紧密程度，也影响最后优化结果的准确性。为了获得更紧密的上界，可以采用迭代的方法，根据上次迭代优化的结果更新上界，即${\alpha _{l,2}} = {{I_{l,2}^{({c_3} - 1)}} \mathord{\left/ {\vphantom {{I_{l,2}^{({c_3} - 1)}} {\chi _{l,2}^{({c_3} - 1)}}}} \right. } {\chi _{l,2}^{({c_3} - 1)}}}$, ${\alpha _m} =$ ${{I_{m,1}^{({c_3} - 1)}} \mathord{\left/ {\vphantom {{I_{m,1}^{({c_3} - 1)}} {\chi _{m,1}^{({c_3} - 1)}}}} \right. } {\chi _{m,1}^{({c_3} - 1)}}}$，其中上标中的c₃为迭代轮次。利用上界式(23)，可将式(22)转换为凸约束为

式(21)也是非凸的，因为该式的两边均是双线性非凸函数，不能采用式(22)式转换中采用的方法。根据Schur补^[12]，式(21)等价为

其中t_l,1是松弛变量。式(25)第2个不等式是凸差分函数，仍然是非凸的。采用1阶泰勒级数近似可得该不等式左边的下界为

将式(25)第2个不等式的左边用该下界替换，可将其转换为凸约束。式(26)中${\tilde t_{l,1}}$和${\tilde I_{l,i}}$是可行集中的任意点，其越接近于最优w_k下的t_l,1和I_l,i，近似的准确度越高。为提高优化的性能，需要采用迭代的方式更新${\tilde t_{l,1}}$和${\tilde I_{l,i}}$，即${\tilde I_{l,i}} = I_{l,i}^{({c_3} - 1)}$, ${\tilde t_{l,1}} = t_{l,1}^{({c_3} - 1)}$。利用式(25)和式(26)，式(21)可变换为

将P5中的优化变量w_k松弛为W_k，约束C5替换为式(27)和式(24)，并忽略对W_k的秩-1约束，问题P5就可以转换为

P6对于{W_k}已经是一个凸问题，可以采用凸优化问题的求解算法或求解器进行求解。由于忽略了对{W_k}的秩-1约束，P6的解${\boldsymbol{W}}_k^{{\rm{opt}}}$秩可能不为1。如果P6的解${\boldsymbol{W}}_k^{{\rm{opt}}}$秩为1，则对${\boldsymbol{W}}_k^{{\rm{opt}}}$进行特征值分解，非零特征值对应的特征向量就是P5的解${\boldsymbol{w}}_k^{{\rm{opt}}}$。如果P6的解${\boldsymbol{W}}_k^{{\rm{opt}}}$秩不为1，可利用高斯随机化^[13]方法获得近似解。

3.2.2.2   w_k固定时的Φ优化

在w_k给定的情况下，问题P4退化为

约束C2和C5不是凸函数，需要进行变换。将${\boldsymbol{\varPhi}}$的对角线元素组织为一个矢量${\boldsymbol{v}} = \left[ {{A_1}{{\text{e}}^{{\text{j}}{\theta _1}}},\,} \right. \,{A_2}{{\text{e}}^{{\text{j}}{\theta _2}}}, \cdots , {\left. {{A_N}{{\text{e}}^{{\text{j}}{\theta _N}}}} \right]^{\text{H}}}$，定义${{\boldsymbol{a}}_{k,l,i}} = {\text{diag(}}{\boldsymbol{g}}_{l,i}^{\text{H}}{\text{)}}{\boldsymbol{G}}{{\boldsymbol{w}}_k}$, ${{\boldsymbol{b}}_{k,l,i}} = {\boldsymbol{h}}_{l,i}^{\text{H}}{{\boldsymbol{w}}_k}$和N+1阶Hermitian矩阵${{\boldsymbol{R}}_{l,l,i}} \;=$ $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{a}}_{l,l,i}}{\boldsymbol{a}}_{l,l,i}^{\text{H}}} & {{{\boldsymbol{a}}_{l,l,i}}{\boldsymbol{b}}_{l,l,i}^{\text{H}}} \\ {{\boldsymbol{a}}_{l,l,i}^{\text{H}}{{\boldsymbol{b}}_{l,l,i}}} & { {\textit{0}}} \end{array}} \right)$，将SINR表达式中的$({\boldsymbol{g}}_{l,i}^{\text{H}}{\boldsymbol{\varPhi}} {\boldsymbol{G}} + {\boldsymbol{h}}_{l,i}^{\text{H}}){{\boldsymbol{w}}_l}$改写为$({\boldsymbol{g}}_{l,i}^{\text{H}}{\boldsymbol{\varPhi}} {\boldsymbol{G}} + {\boldsymbol{h}}_{l,i}^{\text{H}}){{\boldsymbol{w}}_l} = {{\boldsymbol{v}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{a}}_{l,l,i}} + {{\boldsymbol{b}}_{l,l,i}}$，并引入辅助变量$\bar {\boldsymbol{v}}{\text{ = }}\left[ {{{\boldsymbol{v}}^{\rm{H}}},} \right.{\left. { {\textit{1}}} \right]^{\rm{H}}}$, ${\boldsymbol{V}}{\text{ = }}\bar {\boldsymbol{v}}{\bar {\boldsymbol{v}}^{\text{H}}}$，P7中约束C5的第1个不等式改写为

类似地，约束C5第2个、第3个不等式改写为

其中，${\eta _{l,i}} = \displaystyle\sum\nolimits_{\begin{subarray}{l} k = 1 \\ k \ne l \end{subarray}} ^L \displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^2 \left( {{\text{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{R}}_{k,l,i}}{\boldsymbol{V}}} \right) + {{\left| {{{\boldsymbol{b}}_{k,l,i}}} \right|}^2}} \right) {P_{k,i}} + \sum\nolimits_{m = L + 1}^M {\left( {{\text{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{R}}_{m,l,i}}{\boldsymbol{V}}} \right) + {{\left| {{{\boldsymbol{b}}_{m,l,i}}} \right|}^2}} \right){P_{m,1}}} + {\sigma ^2}$, ${\eta _{m,1}} = \displaystyle\sum\nolimits_{l = 1}^L {\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^2 {} }$ $\left( {\text{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{R}}_{l,m,1}}{\boldsymbol{V}}} \right) + {{\left| {{{\boldsymbol{b}}_{l,m,1}}} \right|}^2} \right){P_{l,i}} + \displaystyle\sum\nolimits_{\begin{subarray}{l} k = L + 1 \\ k \ne m \end{subarray} }^M {\left( {{\text{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{R}}_{k,m,1}}{\boldsymbol{V}}} \right) + {{\left| {{{\boldsymbol{b}}_{k,m,1}}} \right|}^2}} \right)} + {\sigma ^2}$。对于式(30)，采用对P5中约束C5第1个不等式类似的变换方法，将其变换为

其中${\varepsilon _{l,1}}$是引入的辅助变量。${\tilde \varepsilon _{l,1}}$和${\tilde \eta _{l,i}}$是可行集中的任一点，需要进行迭代更新，更新公式为${\tilde \eta _{l,i}} = \eta _{l,i}^{({c_4} - 1)}$, ${\tilde \varepsilon _{l,1}} = a_{l,1}^{({c_4} - 1)}$，上标中的c₄表示迭代轮次。

对于式(31)，采用如P5中约束C5第2个不等式类似的变换方法，将其变换为

其中${\rho _{l,2}}$和${\rho _m}$为可行集中的任一点，需要进行迭代更新，更新公式为${\rho _{l,2}} = {{\eta _{l,2}^{({c_4} - 1)}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\eta _{l,2}^{({c_4} - 1)}} {\chi _{l,2}^{({c_4} - 1)}}}} \right. } {\chi _{l,2}^{({c_4} - 1)}}}$, ${\rho _m} = {{\eta _{m,1}^{({c_4} - 1)}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\eta _{m,1}^{({c_4} - 1)}} {\chi _{m,1}^{({c_4} - 1)}}}} \right. } {\chi _{m,1}^{({c_4} - 1)}}}$。

将C5替换为式(32)和式(33)，问题P7可以转换为

P8是一个凸问题，可以采用凸优化问题的求解算法进行求解。如果求得问题P8的解${{\boldsymbol{V}}^{{\rm{opt}}}}$秩为1，则对${{\boldsymbol{V}}^{{\rm{opt}}}}$进行特征值分解，将非零特征值对应的特征向量对角化就可得相移矩阵${\boldsymbol{\varPhi}}$的解。如果${{\boldsymbol{V}}^{{\rm{opt}}}}$的秩不为1，通过高斯随机化方法得到相移矩阵${\boldsymbol{\varPhi}}$的解。

基站发送功率和波束赋形矢量、IRS相移矩阵联合优化的求解算法如算法1所示。算法开始时，w_k和${\boldsymbol{\varPhi}}$随机赋值，解优化问题P2得到各用户信号的初始发送功率。然后进行w_k, ${\boldsymbol{\varPhi}}$与发送功率的迭代优化。每次迭代中，在联合优化w_k和${\boldsymbol{\varPhi}}$时又包含w_k优化和${\boldsymbol{\varPhi}}$优化间的迭代。算法1中c₁为波束赋形、相移矩阵优化与发送功率优化的迭代轮次，c₂为波束赋形和相移矩阵优化间的迭代轮次；λ₁和λ₂为迭代误差容忍度，控制两个迭代的终止；${R_{{\text{toll}}}} = \displaystyle\sum\nolimits_{l = 1}^L {({R_{l,1}} + {R_{l,2}})} + \displaystyle\sum\nolimits_{m = L + 1}^M {{R_{m,1}}}$为系统和速率；${P_{{\text{toll}}}} = \displaystyle\sum\nolimits_{l = 1}^L {({P_{l,1}} + {P_{l,2}})} + \displaystyle\sum\nolimits_{m = L + 1}^M {{P_{m,1}}}$为基站发送总功率。

算法1 优化问题P1的求解算法
(1) 初始化参数：$c=0$, ${\lambda _1}$, ${\lambda _2}$，随机取值相移矩阵${\boldsymbol{\varPhi}}^{(0)}$，和 　　 波束赋形矢量${\boldsymbol{w}}_k^{(0)}$，求解问题P2，$P_{l,i}^{(0)}$得到和$P_{m,1}^{(0)}$
(2) while；
(3) ${c_1} = {c_1} + 1$
(4)初始化参数：${c_2} = 0$, ${P_{l,i}} = P_{l,i}^{(0)}$, ${P_{m,1}} = P_{m,1}^{(0)}$
(5) while；
(6) ${c_2} = {c_2} + 1$
(7)令${\boldsymbol{ \varPhi}} = {{\boldsymbol{\varPhi}} ^{({c_2} - 1)}}$，求解问题P6，得到${\boldsymbol{W}}_k^{({c_2})}$
(8)对${\boldsymbol{W}}_k^{({c_2})}$进行特征值分解可得${\boldsymbol{w} }_k^{({c_2})}$
(9)令${ {\boldsymbol{w} }_k} = {\boldsymbol{w} }_k^{({c_2})}$，求解问题P8，得到${{\boldsymbol{V}}^{({c_2})}}$
(10)对${{\boldsymbol{V}}^{({c_2})}}$进行特征值分解，再对角化得到${{\boldsymbol{\varPhi}} ^{({c_2})}}$
(11) 由${{\boldsymbol{\varPhi}} ^{({c_2})}}$和${\boldsymbol{w}}_k^{({c_2})}$计算$R_{{\rm{toll}}}^{({c_2})}$
(12) until ${ {R_{ {\rm{toll} } }^{({c_2})} - R_{ {\rm{toll} } }^{({c_2} - 1)} } / {R_{ {\rm{toll} } }^{({c_2} - 1)} } } \le {\lambda _2}$
(13) 输出${\boldsymbol{w} }_k^{({c_1})} = {\boldsymbol{w} }_k^{({c_2})}$, ${{\boldsymbol{\varPhi}} ^{({c_1})}} = {{\boldsymbol{\varPhi}} ^{({c_2})}}$。
(14)令${{\boldsymbol{w}}_k} = {\boldsymbol{w}}_k^{({c_1})}$, ${\boldsymbol{\varPhi}} = {{\boldsymbol{\varPhi}} ^{({c_1})}}$，求解问题P2，得到$P_{l,i}^{({c_1})}$和 　　 $P_{m,1}^{({c_1})}$，更新$P_{{\rm{toll} } }^{({c_1})}$。
(15) until ${ {P_{ {\rm{toll} } }^{({c_1})} - P_{ {\rm{toll} } }^{({c_1} - 1)} } / {P_{ {\rm{toll} } }^{({c_1} - 1)} } } \le {\lambda _1}$

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3.3   算法收敛性分析

问题P1的求解包含两层迭代，外层迭代是优化发送功率和优化波束赋形、相移矩阵之间的迭代；内层迭代的每轮迭代中，先在相移矩阵为上一轮迭代得到的最优值下以最大化和速率为目标优化波束赋形，优化后的和速率一定会增加；再保持波束赋形为优化值，优化相移矩阵使和速率最大化，优化后和速率也一定会增加。外层迭代是先在给定发送功率下进行使和速率最大化的波束赋形和相移矩阵的优化，优化后和速率将增加，超过要求的最小速率。在该波束赋形和相移下，再进行一次发送功率的优化就能使满足最小速率要求所需的发送总功率降低。因此，经过每次迭代，系统的总发送功率降低，至少能保持不变，算法一定是收敛的。

4.   仿真

本节的仿真中无特别说明时，系统中用户数为K=6，基站天线数J=6，IRS的反射单元数N=8，各用户最小速率约束为0.1 bit/(s·Hz)。系统中各节点的位置用3维坐标描述，单位为米(m)。其中基站坐标为(20,0,30)，IRS坐标为(0,50,10)，6个用户的坐标分别为(10,50,0), (20,50,0), (30,50,0), (20,45,0), (20,60,0),(20,40,0)。各节点间信道为莱斯衰落信道，信道衰落包括路径损耗(大尺度衰落)和小尺度衰落。从基站到IRS的信道矩阵的模型为${{\boldsymbol{H}}_{{\text{BR}}}} = \sqrt {{L_{\text{0}}}d_{{\text{BR}}}^{ - {\alpha _{{\text{BR}}}}}} \left( {\sqrt {{{{\kappa _{{\text{BR}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\kappa _{{\text{BR}}}}} {1 + {\kappa _{{\text{BR}}}}}}} \right. } {1 + {\kappa _{{\text{BR}}}}}}} {\boldsymbol{H}}_{{\text{BR}}}^{{\text{LOS}}} + \sqrt {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {1 + {\kappa _{{\text{BR}}}}}}} \right. } {1 + {\kappa _{{\text{BR}}}}}}} {\boldsymbol{H}}_{{\text{BR}}}^{{\text{NLOS}}}} \right)$，其中$\sqrt {{L_{\text{0}}}d_{{\text{BR}}}^{ - {\alpha _{{\text{BR}}}}}}$为路径损耗，L₀=–30 dB表示参考距离为1 m时的路径损耗，α_BR为路径损耗指数，d_BR为基站到IRS之间的距离，κ_BR为莱斯衰落因子，${\boldsymbol{H}}_{{\text{BR}}}^{{\text{NLOS}}}$为非视距传输部分的信道系数矩阵，矩阵中的各元素为0均值、单位方差的复高斯随机变量，${\boldsymbol{H}}_{{\text{BR}}}^{{\text{LOS}}}$表示基站到IRS之间的视距传输部分的信道系数矩阵，根据发射天线的方位角和仰角以及IRS的方位角和仰角生成^[14]。类似地，IRS与用户间信道、基站与用户间信道的模型类似，信道系数矢量分别为${{\boldsymbol{h}}_{{\text{RU}}}} = \sqrt {{L_{\text{0}}}d_{{\text{RU}}}^{ - {\alpha _{{\text{RU}}}}}} \left( \sqrt {{{{\kappa _{{\text{RU}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\kappa _{{\text{RU}}}}} {1 + {\kappa _{{\text{RU}}}}}}} \right. } {1 + {\kappa _{{\text{RU}}}}}}} {\boldsymbol{h}}_{{\text{RU}}}^{{\text{LOS}}} + \sqrt {{1 /{1 + {\kappa _{{\text{RU}}}}}}} {\boldsymbol{h}}_{{\text{RU}}}^{{\text{NLOS}}} \right)$, ${{\boldsymbol{h}}_{{\text{BU}}}} = \sqrt {{L_{\text{0}}}d_{{\text{BU}}}^{ - {\alpha _{{\text{BU}}}}}} \left( \sqrt {{{{\kappa _{{\text{BU}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\kappa _{{\text{BU}}}}} {1 + {\kappa _{{\text{BU}}}}}}} \right. } {1 + {\kappa _{{\text{BU}}}}}}}\cdot {\boldsymbol{h}}_{{\text{BU}}}^{{\text{LOS}}} + \sqrt {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {1 + {\kappa _{{\text{BU}}}}}}} \right. } {1 + {\kappa _{{\text{BU}}}}}}} {\boldsymbol{h}}_{{\text{BU}}}^{{\text{NLOS}}} \right)$。仿真中，设置α_BR=α_RU=2.2, α_BU=3.67, κ_BR=κ_BU=κ_RU=3，信道噪声功率为σ²=–80 dBm。用户分组中相关系数的阈值C^th=0.5，分组度量中的权重α=0.6。算法1中迭代误差容忍度λ₁=λ₂=10^–3。

仿真中同时给出5种对比方案的结果进行性能对比。对比方案1—每个用户一个波束赋形方案^[15]：除了每个用户采用一个波束赋形矢量外，其他与本文算法一样。对比方案2—基于信道增益差进行分组的方案^[10]：将信道增益最高和最低的用户配为一对，再将信道增益次高和次低的配为一对，依次类推，直到所有用户配对完成，分组时不考虑信道间的相关性。除了分组方法不同，其他与本文算法一样。对比方案3—IRS随机相移方案：IRS的相移矩阵随机取值，其他与本文算法一样。对比方案4—没有IRS方案：没有IRS，其他与本文算法一样。对比方案5—最大比发射(Maximum Ratio Transmission, MRT)方案：采用与本文算法相同的分组方案，1个组采用1个波束，采用MRT波束赋形，其中NOMA用户组的波束赋形矢量根据强用户的合成信道矢量进行设计，单独成组用户的波束赋形矢量就根据其合成信道矢量设计，需要进行相移矩阵和波束赋形间的迭代更新。

图2给出了基站发送功率随着用户最小速率约束变化的情况。所有方案的基站发送功率随着最小速率约束的增加而增大。本文所提方案的发送功率略高于每个用户1个波束方案的发送功率。这是由于仿真中天线与用户数同为6，每个用户1个波束时波束仍具有较好的指向性。基于增益差分组方案的发送功率较本文所提方案高，说明本文方案分组时兼顾信道相关性对于降低组间干扰有较明显的效果。MRT方案的发送功率明显高于本文所提方案，说明根据优化目标对波束赋形进行优化是必要的。没有IRS的方案发送功率最高，甚至高于IRS随机相移方案，说明IRS在改善信道传播特性、降低功耗方面的效果非常明显。

图 2  用户最小速率对基站发射功率的影响，J=6, N=8

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图3给出基站发送功率随着基站处的发射天线数变化的情况。从图3可以看出，所有方案总发送功率都随天线数目的增多而减小。当天线数小于6时，本文方案的发送功率要低于每个用户1个波束的方案，这是因为仿真中用户数为6，天线数小于用户数时，每个用户1个波束的方案波束的指向性会有明显的下降，而本文是每组1个波束，波束数量较少，指向性反而更好，组间干扰抑制的效果也更好。当天线数大于等于6以后，天线数不再低于用户数，每个用户1个波束方案的发送功率就要稍低于本文方案。与图2的仿真结果类似，本文方案的发送功率始终低于除每个用户1个波束方案外的其他4种对比方案。

图 3  发射天线数对基站发射功率的影响，N=8

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图4给出基站发送功率随着IRS的反射单元数变化的情况。可以看出，除没有IRS的方案外，其他5种方案总发送功率均随着IRS的反射单元数增加而减小，说明IRS的反射元件越多，改善信道传播特性的效果越明显。

图 4  IRS 反射单元数对基站发射功率的影响，J=6

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图5给出基站发送功率随着用户数增加的变化情况。用户数为8个时新增的两个用户的坐标为(15,55,0)和(25,45,0)，用户数为10个时另新增用户的坐标为(15,45,0)和(25,55,0)，用户数为12个时再新增用户的坐标为(20,55,0)和(28,47,0)。与图3的仿真结果类似，当用户数不大于基站天线数时，每个用户1个波束方案的性能要稍优于本文方案，而当用户数目大于天线个数后，本文方案的性能则要稍优于每个用户1个波束方案。本文方案的性能始终要优于其他4种对比方案，且随着用户数目的增多，本文方案相较于仅基于增益差分组方案的性能优势还逐渐增大，这是因为用户数目增多时，用户分组数量增加，组间干扰也增加，本文方案分组时考虑了用户间信道相关性，组间相关性相对较低，对于组间干扰抑制的效果也更加明显。

图 5  用户数目对基站发射功率的影响，J=6, N=8

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5.   结论

本文对IRS辅助的多天线NOMA系统中用户分组、功率分配、波束赋形和IRS相移矩阵的优化进行研究。由于合成信道的特性与IRS相移有关，因此用户的分组与IRS相移的优化相关联，联合优化复杂度很高。本文将用户分组与其他优化分离，首先给出了不依赖于IRS相移的、基于信道相关性和增益差的度量作为分组的依据，以及基于该度量的用户分组算法。在用户分组的基础上，给出了以基站发送总功率最小化为目标的、基站发送波束赋形矢量、IRS的相移矩阵和发送信号功率分配的联合优化算法。通过计算机仿真的方式对所提算法的性能进行了评估，仿真结果显示，当用户数大于天线数时，所提方案优于每个用户1个波束的方案，在天线数较多时也与该方案非常接近，但本文的波束数量更少，优化复杂度更低。相较于其他4种对比方案，本文所提方案的发送功率始终更低，特别是相比较无IRS的方案，说明通过引入IRS并对其相移矩阵进行优化能显著提高系统性能。