1.   引言

脱氧核糖核酸(DNA)是一种长链聚合物。通常DNA是由两条DNA链反向平行盘绕构成，具有双螺旋结构。每条DNA链的组成单元为$4$种脱氧核苷酸，即腺嘌呤脱氧核苷酸$A$，胸腺嘧啶脱氧核苷酸$T$，胞嘧啶脱氧核苷酸$G$，鸟嘧啶脱氧核苷酸$C$。两条DNA链按照Watson-Crick模型链接：$A$与$T$相连，$C$与$G$相连，这种配对是反向平行的。设$\varXi = \left\{ {A,G,T,C} \right\}$，定义${\varXi ^n} = \left\{ {({{{c}}_0},{{{c}}_1}, ···,{{{c}}_{{{n}} - 1}}): }\right.$$\left.{{{{c}}_0},{{{c}}_1}, ···,{{{c}}_{{{n}} - 1}} \in \varXi } \right\}$，其中$n$是一个正整数。设$a \in \varXi$，与$a$配对的元素称为$a$的补，记作$\bar a$，即${{\overline A}} = {{T}}$, $\overline {{C}} = {{G}}$, $\overline {{T}} = {{A}}$, $\overline {{G}} = {{C}}$。

对于${\varXi ^n}$中的每个$n -$元组${{x}} = ({x_0},{x_1}, ··· ,{x_{n - 1}})$，定义${{x}}$的补、倒换和倒换补分别为${ {\bar x}} = ({{\bar {x}}_0},{{\bar {x}}_1},··· ,{{\bar {x}}_{n - 1}})$, ${{{x}}^r} \!=\! ({x_{n - 1}},{x_{n - 2}}, ··· ,{x_0})$和${{{\bar x}}^r} \!=\! ({{\bar x}_{n - 1}},{{\bar x}_{n - 2}}, ··· ,{\bar x_0})$。因此，对于一个长度为$n$的DNA单链${{x}}$，与之配对的另一条DNA单链为${{{\bar x}}^r}$。例如，设${{AGTTC}}$是一条DNA链，则它的补为${{TCAAG}}$，而与这条链配对的另外一条DNA链为${{GAACT}}$。

基于DNA分子的特殊结构，Adleman^[1]通过生化方法求解了$7$个顶点的哈密顿回路问题，显示了DNA计算的可行性和高效性。${\varXi ^n}$的每个非空子集$C$都叫做一个码长${{n}}$的DNA码。在DNA计算中，关键在于设计满足特定约束的DNA码。设$d$是一个固定的整数，针对特定的目的，通常考虑如下约束：

(1) 汉明距离约束：对任意${{x}} = ({x_0},{x_1}, ··· ,{x_{n - 1}}),$${{y}} = ({y_0},{y_1}, ··· ,{y_{n - 1}}) \in C$且${{x}} \ne {{y}}$, $\left| {\{ i:{x_i} \ne {y_i},}0 \le\right.$$\left. { i \le n - 1\} } \right| = :d({{x}},{{y}}) \ge d$；

(2) 倒换约束：对任意${{x}},{{y}} \in C$, $d({{{x}}^r},{{y}}) \ge d$；

(3) 倒换补约束：对任意${{x}},{{y}} \in C$, $d({{{\bar x}}^r},{{y}}) \ge d$；

(4) GC常重量约束：码$C$中的每个码字含有${{G}}$和${{C}}$的总位数是一个常值。

前${{3}}$个约束的目的是为了减少非特定配对的概率，GC常重量约束用于获得相似的熔化温度^[2,3]。

基于各种经典的线性码，学者们构造了满足各种特定约束的DNA码。文献[4]利用域${{\mathbb F}_4}$上的循环码构造了满足倒换约束的DNA码。随后，通过加性和线性的四元码，构造了满足各种约束的DNA码^[5]，特别地，以四元汉明码和${{\mathbb Z}_4}$Kerdock码为工具构造了两类满足GC常重量约束的DNA码。文献[6]用域${{\mathbb F}_4}$上的循环码构造了满足倒换补约束的DNA码，并获得了一些参数好的DNA码，自此，循环DNA码受到学者们的关注。学者们进一步研究了环${{{{\mathbb F}_2}[u]} / {({u^2} - 1)}}$上的循环码并构造了满足倒换补约束的DNA码^[7]，同时，基于擦除距离，研究了满足GC常重量约束的循环DNA码。文献[8]基于环${{{{\mathbb F}_2}[u]} / {({u^2})}}$研究了长度为奇数的循环码，构造了满足各种约束的DNA码。文献[9]将文献[8]的结果推广到一般情形，构造了任意长度的满足各种约束的DNA码。对于满足倒换约束和倒换补约束的任意长度的循环DNA码的结构，文献[10]利用Gray映射进行了研究。Dinh等人^[11]建立了多项式环${{{\mathbb F}_2}[u,v]} /$${({u^2},{v^3} = v)}$中元素与$64$密码子之间的联系，从而构造了满足倒换约束和倒换补约束的DNA码。接着Shi等人^[12]研究了环${{{{\mathbb F}_2}[u,v]}/ {({u^3},{v^2} = v,uv - vu)}}$上循环DNA码的结构，Singh等人^[13]研究了一类64元环上的循环码的对偶码，并由此构造了DNA码。目前，满足GC常重量约束的DNA码的研究相对较少。2017年Oztas等人^[14]基于不可约循环码构造了一类满足GC常重量约束的DNA码，受此启发，本文通过可约循环码构造满足GC常重量约束的DNA码。

2.   预备知识

设${{\mathbb F}_4} = \{ 0,1,\omega ,\bar \omega \}$是$4$元有限域，其中$\bar \omega = {\omega ^2} =$$\omega + 1$。设${\mathbb F}_4^n$是${{\mathbb F}_4}$上的$n$维行向量空间，其中，$n$是一个正奇数。向量空间${\mathbb F}_4^n$的每个非空子集$C$都称为一个码长$n$的四元码。对于任意的$a \in {{\mathbb F}_4}$和向量${{x}} = ({x_0},{x_1}, ··· ,{x_{n - 1}}) \in {\mathbb F}_4^n$，定义

码$C$的最小汉明距离定义为

向量${{x}}$的GC重量定义为

码$C$的GC重量分布定义为${{N}}(C) = \{ {{{N}}_{{{\rm GC}}}}({{x}}):$${{x}} \in C\}$。如果${{N}}(C)$只有一个值，则称$C$为GC常重量码。用$(n,M,{d_1},{d_2})$表示一个码长为$n$码字个数为$M$最小汉明距离为${d_1}$GC重量为${d_2}$的GC常重量码。定义映射$\varphi :{{\mathbb F}_4} \to \varXi$, $0 \mapsto {{A}}$, $\omega \mapsto {{C}}$, $\bar \omega \mapsto {{G}}$且$1 \mapsto {{T}}$。将映射 $\varphi$延拓可得

显然，映射$\varPhi$是一个双射。设$C$是一个码长为$n$的四元码，定义$\varPhi (C) = \{ \varPhi ({{c}}):{{c}} \in C\}$，则$\varPhi (C)$是一个码长为$n$的DNA码。如果码$C$是一个码长为$n$的GC常重量码，由$\varPhi$的定义，$\varPhi (C)$是一个满足GC常重量约束的DNA码。于是构造满足GC常重量约束的DNA码等价于构造一个GC常重量码。

设$C$是一个码长$n$的四元码，如果$C$是${\mathbb F}_4^n$的线性子空间，则称$C$是一个码长$n$的四元线性码。四元线性码$C$中，对任意$({c_0},{c_1}, ··· ,{c_{n - 1}}) \in C$，有$({c_{n - 1}},{c_0},{c_1},··· ,{c_{n - 2}}) \in C$，称四元线性码$C$为循环码。设$R = {{{{\mathbb F}_4}[x]}/{({x^n} - 1)}}$表示多项式环${{\mathbb F}_4}[x]$关于理想$({x^n} - 1)$的商环，则环$R$是一个主理想环。定义映射$\phi :{\mathbb F}_4^n \to R$, $({c_0},{c_1}, ··· ,{c_{n - 1}}) \mapsto {c_0} + {c_1}x + ··· +$${c_{n - 1}}{x^{n - 1}}$，则码$C$是一个码长$n$的四元循环码当且仅当$\phi (C)$是环$R$的理想，其中$\phi (C)$表示码$C$在映射$\phi$下的像。在不引起混淆的情况下，本文不区分$C$与$\phi (C)$。由于$R$是主理想环，所以存在$g(x) \in {{\mathbb F}_4}[x]$使得$C = (g(x))$且$\left. {g(x)} \right|({x^n} - 1)$。通常，$g(x)$称为$C$的生成多项式，$h(x) = {{({x^n} - 1)} / {g(x)}}$称为$C$的校验多项式。如果$h(x)$是不可约的，则称$C$为不可约循环码，如果$h(x)$是可约的，则称$C$为可约循环码。

设$m$是一个正整数，用${{\mathbb F}_{{4^m}}}$表示域${{\mathbb F}_4}$的$m$次扩域。域${{\mathbb F}_{{4^m}}}$到域${{\mathbb F}_4}$的迹函数定义为${{\rm Tr}}_2^m(x) = x + {x^4} +$$··· +{x^{{4^{m - 1}}}}$，对任意的$x \in {{\mathbb F}_{{4^m}}}$。可以验证，${{Tr}}_2^m$是一个${{\mathbb F}_{{4^{m^{ -}}}}}$线性映射。类似地，域${{\mathbb F}_{{4^m}}}$到域${{\mathbb F}_2}$的绝对迹定义为${{Tr}}_1^m(x) = x + {x^2} + ··· + {x^{{2^{m - 1}}}}$。关于迹函数的更多性质可参阅文献[15]。设$g$是域${{\mathbb F}_{{4^m}}}$的一个本原元，$t$是一个正整数，$s$是使得

成立的最小正整数，显然，$s$整除$m$。

定义码$C = \{ {{c}}(a,b) = ({c_0}(a,b),{c_1}(a,b), ··· ,{c_{{4^m} - 2}}$$(a,b)):a \in {{\mathbb F}_{{4^s}}},b \in {{\mathbb F}_{{4^m}}}\}$，其中${c_l}(a,b) = {{Tr}}_2^s(a{g^{lt}}) +$${{Tr}}_2^m(b{g^l})$, $0 \le l \le {4^m} - 2$，则$C$是一个码长为${4^m} - 1$维数为$m + s$的四元可约循环码。下文通过码$C$构造$3$类码长为$n$的GC常重量码，并由此构造$3$类满足GC常重量约束的DNA码。

3.   主要结果

情形1　 $t=0$，即$s = 1$，定义$\tilde{C}=\{{{c}}(a,b)=$$({{c}_{0}}(a,b),{{c}_{1}}(a,b), ··· ,{{c}_{{{4}^{m}}-2}}(a,b)):a\in \{0,1\}$, $b\in {{\mathbb F}}_{{{4}^{m}}}^{*}\}$则码$\tilde C$的参数如下。

定理1　码$\tilde C$是一个参数为$({4^m} - 1,2({4^m} - 1),$$3 \times {4^{m - 1}} - 1,{2^{2m - 1}})$的GC常重量码。

证明　码长和码字的个数是显然的。下面讨论码$\tilde C$的最小汉明距离和GC重量。由定义，码$\tilde C$的最小汉明距离为

其中$a,a' \in \{ 0,1\} ,b,b' \in {\mathbb F}_{{4^m}}^*$。对任意的$a \in \{ 0,1\}$，$b \in {\mathbb F}_{{4^m}}^*$和$\beta \in {{\mathbb F}_4}$，定义

因为${{c}}(a,b) - {{c}}(a',b') = {{c}}(a - a',b - b')$，所以${{{N}}_0}({{c}}(a,b) - {{c}}(a',b')) = {{{T}}_{a - a',b - b'}}(0)$。

当$b \ne 0$时，${T_{a,b}}\left( \beta \right) = \left| \left\{ {x \in {\mathbb F}_{{4^m}}^*:{\rm Tr}_2^m\left( x \right) =}\right.\right.$$\left.\left.\beta - a \right\} \right|$。由于${{\rm Tr}}_2^m$是${{\mathbb F}_{{4^m}}}$到${{\mathbb F}_4}$的${4^{m - 1}}$对1的满映射，故当$\beta \ne a$时，${T_{a,b}}(\beta ) = {4^{m - 1}}$；当$\beta = a$时，${{{T}}_{a,b}}(\beta ) =$${4^{m - 1}} - 1$。由此推出，

即码$\tilde C$的最小汉明距离为$3 \times {4^{m - 1}} - 1$。

接下来，证明码$\tilde C$的GC重量为${2^{2m - 1}}$。对任意$b \in {\mathbb F}_{{4^m}}^*$，由GC重量的定义，

综上所述，结论成立。 证毕

情形2　$m \ge 4$是一个偶数且$t = {2^m} + 1$。容易验证，$s = {m / 2}$。对任意的$\alpha \in {{{\mathbb F}}_{4}}$，设

显然$\{ (a,b):a \in {\mathbb F}_{{2^m}}^*,b \in {{\mathbb F}_{{4^m}}}\} = {{{L}}_0} \cup {{{L}}_1} \cup {{{L}}_\omega } \cup {{{L}}_{\bar \omega }}$。定义

下面，证明码${{\overset\frown{C}} _1}$和${{\overset\frown{C}} _2}$是GC常重量码。为此，首先给出两个必要的引理。

引理1 设${{{L}}_\alpha }$定义如上，则

证明　对任意的$\beta \in {{\mathbb F}_{{4^{{m / 2}}}}}$，令${{\cal M}_\alpha } = \{ x \in {{\mathbb F}_{{4^m}}}:$${x^{{2^m} + 1}} = \beta \}$。显然$\left| {{{\cal M}_0}} \right| = 1$。当$\beta \ne 0$时，容易验证，${x^{{2^m} + 1}}$是${\mathbb F}_{{4^m}}^*$到${\mathbb F}_{{4^{{m/ 2}}}}^*$的${2^m} + 1$对$1$满映射，故$\left| {{{\cal M}_\beta }} \right| = {2^m} + 1$。又因为${{\rm Tr}}_2^{{m / 2}}$是${{\mathbb F}_{{4^{{m / 2}}}}}$到${{\mathbb F}_4}$的${2^{m - 2}}$对1满映射，于是当$\alpha \ne 0$时，

当$\alpha = 0$时，

综上所述，结论成立。 证毕

引理2　设$a\in {\mathbb F}_{{{2}^{m}}}^{*}$和$b\in {{{\mathbb F}}_{{{4}^{m}}}}$，则

证明　首先，${x^{{2^m} + 1}}$是${\mathbb F}_{{4^m}}^*$到${\mathbb F}_{{2^m}}^*$的${2^m} + 1$对1满映射，所以，

接下来，计算

因此，$S(a,b) = - {2^m}{( - 1)^{{{\rm Tr}}_1^{{m / 2}}({a^{ - 1}}{b^{{2^m} + 1}})}}$。 证毕

定理2　 (1) 码${{\overset\frown{C}} _1}$是一个参数为$({4^m} - 1, ({4^m} -$${2^{m + 1}} \!+\! 1){2^{m - 1}},3 \times {4^{m - 1}} - {2^{m - 2}},2({4^{m - 1}} + {2^{m - 2}}))$的GC常重量码。

(2) 码${{\overset\frown{C}} _2}$是一个参数为$({4^m} - 1,({4^m} - 1){2^{m - 1}},$$3 \times {4^{m - 1}} - {2^{m - 2}},2({4^{m - 1}} - {2^{m - 2}}))$的GC常重量码。

证明　下面证明定理2(1)成立。定理2(2)的证明是类似的，略去。

由引理1和${{\overset\frown{C}} _1}$的定义知，$\left| {{{{\overset\frown{C}} }_1}} \right| = \left| {{{{L}}_0}} \right| + \left| {{{{L}}_1}} \right| =$$({4^m} - {2^{m + 1}} + 1){2^{m - 1}}$。下面讨论码${{\overset\frown{C}} _1}$的最小汉明距离和GC重量。由定义，码${{\overset\frown{C}} _1}$的最小汉明距离为

因为，${{c}}(a,b) - {{c}}(a',b') = {{c}}(a - a',b - b')$，所以

由特征的正交关系^[15]，

其中${{\rm Tr}}$表示${{\mathbb F}_4}$到${{\mathbb F}_2}$的迹映射。

当$a - a' = 0$, $b - b' \ne 0$, ${{{N}}_0}({{c}}(a,b) - {{c}}(a',b')) =$${4^{m - 1}} - 1$。

当$a - a' \ne 0$，由引理2，

所以，

注意当$(a,b) \ne (a',b') \in {L_\alpha }$时，$(a,b) - (a',b')$取遍${{\mathbb F}_{{2^m}}} \times {{\mathbb F}_{{4^m}}}$中非零元，故码${{\overset\frown{C}} _1}$的最小汉明距离为$3 \times {4^{m - 1}} - {2^{m - 2}}$。

由GC重量的定义得

对任意的$\beta \in {\mathbb F}_4^*$, ${{{N}}_\beta }({{c}}(a,b)) = |\{ x \in {\mathbb F}_{{4^m}}^*:$${{\rm Tr}}_2^{{m / 2}}(a{x^{{2^m} + 1}}) + {{\rm Tr}}_2^m(bx) = \beta \} |$。由于$a \in {\mathbb F}_{{2^m}}^*$和$b \in {{\mathbb F}_{{4^m}}}$，则

由引理1

由于$(a,b) \in {L_\alpha }$，所以

即

由此推出，当$(a,b) \in {{{L}}_0} \cup {{{L}}_1}$时，

综上所述，结论成立。 证毕

由定理1和定理2，得出如下推论。

推论　(1) 设$m$是一个正整数，则存在参数为$({4^m} - 1,2({4^m} - 1),3 \times {4^{m - 1}} - 1,{2^{2m - 1}})$且满足GC常重量约束的DNA码。

(2) 设$m$为偶数，且$m \ge 4$，则存在参数为$( {4^m} - 1,$${({4^m} - {2^{m + 1}} + 1){2^{m - 1}},3 \times {4^{m - 1}} - {2^{m - 2}}}$, $2({4^{m - 1}} +$${2^{m - 2}}))$的满足GC常重量约束的DNA码。

(3)设$m \ge 4$是偶数，则存在参数为$( {4^m} - 1 ,$${({4^m} - 1){2^{m - 1}},3 \times {4^{m - 1}} - {2^{m - 2}}}$, $2({4^{m - 1}} - {2^{m - 2}}))$的满足GC常重量约束的DNA码。

4.   结束语

本文基于四元可约的循环码构造了$3$类满足GC常重量的DNA码。通过建立四元码和DNA码的一个对应关系，将构造满足GC常重量约束的DNA码转化为构造四元GC常重量码。利用循环码的迹表示，选取循环码的特定子码，构造了$3$类四元GC常重量码，由此获得$3$类满足GC常重量约束的DNA码。