1.   引言

高斯整数序列(Gaussian Integer Sequence, GIS)是一类元素为复数$a + {\rm{j}}b$，且$a$, $b$均为整数的序列，当GIS的主峰值不为0，副峰值都为0时，称为完备高斯整数序列(Perfect Gaussian Integer Sequence, PGIS)。如今，PGIS作为一种特殊的离散信号在码分复用(Code Division Multiplexing, CDM)系统^[1,2]和正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)系统^[3-5]中已被广泛应用，最近的研究表明，基于PGIS的CDM系统有更好的性能表现^[6]，完备高斯整数序列的构造已然成为重要的研究主题^[7]。

完备高斯整数序列的构造方法大致可以分为直接构造法和间接构造法，直接构造法基于代数理论^[8]，例如本文使用的经典分圆就属于代数理论。在经典分圆理论的基础上，文献[9]分别利用2阶分圆和4阶分圆构造PGIS，首次提出了PGIS中各不同元素值与$f$应满足的条件，文献[10]用2阶分圆结合傅里叶变换分别构造了2阶和3阶PGIS，然后对长为奇素数$p$的2阶和3阶PGIS通过采样分别构造出$mp$长的3阶和4阶PGIS。文献[11]将GIS分离成实部序列$a$和虚部序列$b$，基于PGIS的实部序列和虚部序列应满足的充分必要条件，对$a$, $b$序列2阶分圆构造出实部序列为恒值(1值)，虚部序列最多为3值的2阶和3阶PGIS，然后提出一种方法，将长度为奇素数$v$的PGIS扩展成长度为偶数$2v$的PGIS，其构造方法参数设置简单方便，能够很好的借助计算机得到大量完备高斯整数序列。

文献[11]定理1约束条件尚不完整，因此本文在文献[11]的基础上进一步研究，并提出了实部序列和虚部序列都可为3值的构造方法，将此方法实部序列设为非0元1值可以得到文献[11]中约束完整的结论；还提出一种新的扩展方法，将$v$长PGIS扩展成$2v$长PGIS，其中$v$为奇素数，该扩展方法可以获得跟基序列能量效率相同的PGIS。工程实践中，利用本文定理1参数设置简单灵活的特性，可以很方便地通过计算机搜索的方式获得大量能量效率高于95%的PGIS，再结合本文定理2对其扩展补充，对工程实践具有重要意义。

2.   基础知识

定义1^[11]　设$v = ef + 1$为奇素数，序列$a$, $b$为$v$长整数序列，$a = \left\{ {a(t)|0 \le t \le v - 1} \right\}$, $b = \left\{ b(t)| 0 \le t \le v - 1 \right\}$，序列$s$为$v$长高斯整数序列(GIS)，$s = \left\{ {s(t) = a(t) + {\rm{j}}b(t)|0 \le t \le v - 1} \right\}$, ${\rm{j}} = \sqrt { - 1}$，则序列$a$的自相关函数为

序列$a$, $b$的互相关函数为

那么，序列$s$的自相关函数可以表示为

其中，符号${s^*}\left( {t + \tau } \right)$表示$s\left( {t + \tau } \right)$的共轭复数，$0 \le \tau \le v - 1$。若满足

则序列$s$是完备高斯序列(PGIS)，其中$R$为正整数。

定义2^[12]　设$v = ef + 1$为奇素数，$\theta$是$v$阶有限域${\rm{GF}}\left( v \right)$的本原元，令$H_i^{\left( {e,v} \right)} = \left\{ {\theta ^{i + et}},t = 0,1, \cdots , f - 1 \right\}, 0 \le i \le e - 1$，则称这些$H_i^{\left( {e,v} \right)}$为${\rm{GF}}\left( v \right)$上的$e$阶分圆类，可简记为$H_i^e$。

定义3^[12]　设$v = ef + 1$为奇素数，对于$0 \le m, n \le e - 1$，则称

为$e$阶分圆数，且当$\tau \in H_k^e$时，$x + \tau = y$的解的个数为${(m - k,n - k)_e}$。

定义4^[13]　设序列$s = \left\{ {s(t)|0 \le t \le v - 1} \right\}$，则$s$的能量效率$\eta$为

在工程实践中，通常期望序列具有较高的能量效率。

定义5^[14]　完备高斯整数序列中，若不同非零元的个数为$n$，则称$n$为该PGIS的电平数(degree)或阶数。

引理1^[15]　设$v = 2f + 1$为奇素数，则

(1)若$f$为偶数，则2阶分圆数满足

(2)若$f$为奇数，则2阶分圆数满足

引理2^[9]　设$v = 2f + 1$为奇素数，2次分圆类为$H_i^2$，$0 \le i \le 1$，则

(1)若$f$为偶数，$g \in H_i^2$，则$v - g \in H_i^2$；

(2)若$f$为奇数，$g \in H_i^2$，则$v - g \in H_{i + 1}^2$。

引理3^[11]　设$a$,$b$为$v$长整数序列，$a = \left\{ a\left( t \right)| 0 \le t \le v - 1 \right\}$, $b = \left\{ {b\left( t \right)|0 \le t \le v - 1} \right\}$，则序列$s = \left\{ {s\left( t \right) = a\left( t \right) + {\rm{j}}b\left( t \right)|0 \le t \le v - 1} \right\}$是PGIS的充要条件为${R}_{a}\left(\tau \right)+{R}_{b}\left(\tau \right)=\left\{\begin{aligned}& R, \tau =0\\ & 0, 其他\end{aligned} \right.$且${R_{ab}} = {R_{ba}}\left( \tau \right)$, $0 \le \tau \le v - 1$ ，$R$为正整数。

3.   PGIS构造方法

3.1   长度为奇素数$v$的PGIS构造

设$v = 2f + 1$为奇素数，序列$s$是长度为$v$的GIS，序列$a$, $b$分别为高斯整数序列$s$的实部序列和虚部序列，2阶分圆类为$H_i^2$，$0 \le i \le 1$，其中$s = \left\{ s\left( t \right) = a\left( t \right) + {\rm{j}}b\left( t \right)|0 \le t \le v - 1 \right\}$, $a = \left\{ {a\left( t \right)|0 \le t \le v - 1} \right\}$, $b = \left\{ {b\left( t \right)|0 \le t \le v - 1} \right\}$，令

$A$,$B$,$C$不同时为0，$D$,$E$,$F$不同时为0，且全为整数。

定理1　上述高斯整数序列$s$为PGIS的充分必要条件是

(1)$f$为奇数时，满足

(2)$f$为偶数时，满足

证明　由引理3可知，按上述方法设计的高斯整数序列$s$是完备高斯整数序列需要同时满足以下两种情况。

情况1　${R}_{a}(\tau )+{R}_{b}(\tau )=\left\{\begin{aligned}& R,\tau =0\\& 0,其他\end{aligned}\right.$，其中$R$为正整数。

当$\tau {\text{ = 0}}$时，$R = {R_a}(\tau ) + {R_b}(\tau ) = {A^2} + f{B^2} + f{C^2} + {D^2} + f{E^2} + f{F^2}$，而$A,B,C$不同时为${\text{0}}$，$D,E, F$不同时为${\text{0}}$，所以$R$为正整数恒成立。

当$\tau \ne 0$时，由定义1和定义2有

由引理1、引理2可知，式(12)和式(13)的取值与$f$的奇偶和$\tau$所属分圆类有关，所以分别讨论：

(1)若$f$为奇数，当$\tau \in {H_0}$时，由定义3、引理1有

令${R_a}(\tau ) + {R_b}(\tau ) = 0$得

当$\tau \in {H_1}$时，同理有

即当$f$为奇数时，${R_a}(\tau ) + {R_b}(\tau ) = 0$成立的充分必要条件为式(16)成立。

(2)若$f$为偶数，当$\tau \in {H_0}$时，由定义3、引理1有

令${R_a}(\tau ) + {R_b}(\tau ) = 0$得

当$\tau \in {H_1}$时，同理有

即当$f$为偶数时，${R_a}(\tau ) + {R_b}(\tau ) = 0$成立的充要条件为式(19)、式(20)同时成立。

情况2　${R_{ab}}(\tau ) = {R_{ba}}\left( \tau \right)$，$0 \le \tau \le v - 1$ ，$R$为正整数。

由定义1、定义2有

由引理1、引理2可知，上式的取值与$f$的奇偶有关，所以分别讨论：

(1)若$f$为奇数，当$\tau \in {H_0}$时，令${R_{ab}} = {R_{ba}}\left( \tau \right)$，由定义3、引理1有

当$\tau \in {H_1}$时，令${R_{ab}} = {R_{ba}}\left( \tau \right)$，同理有

即当$f$为奇数时，${R_{ab}}(\tau ) = {R_{ba}}\left( \tau \right)$成立的充分必要条件为满足式(22)。

(2)若$f$为偶数，当$\tau \in {H_0}$时，有${R_{ab}}(\tau )$恒等于${R_{ba}}(\tau )$，当$\tau \in {H_1}$时，亦有${R_{ab}}(\tau )$恒等于${R_{ba}}(\tau )$。即${R_{ab}}(\tau ) = {R_{ba}}\left( \tau \right)$的充要条件为满足式(22)。

综上所述，按上述条件构造的高斯整数序列$s$是PGIS的充要条件是

(1)$f$为奇数时，满足

(2)$f$为偶数时，满足

证明

3.2   长度为奇素数$v$的PGIS扩展成$2v$的PGIS构造方法

推论1　设序列$s = \left\{ {s(t) = a(t) + {\rm{j}}b(t)|0 \le t \le v - 1} \right\}$为PGIS，则对$a$取反，或仅对$b$取反，或同时对$a$, $b$取反，或对序列$s$移位，得到的序列${s'}$为PGIS。

证明　以下仅对$a$取反的情况做出证明，其他情况同理。

设序列$s$为PGIS，对其实部序列$a$取反后得到序列${s'}$，其实部序列和虚部序列分别为$- a$, $b$。根据定义1，显然有${R_a}(\tau ) = {R_{ - a}}(\tau )$, ${R_{( - a)b}}(\tau ) = - {R_{ab}}(\tau )$, ${R_{b( - a)}}(\tau ) = - {R_{ba}}(\tau )$；又由引理3可知，${R_a}(\tau )$, ${R_b}(\tau )$, ${R_{ab}}(\tau )$, ${R_{ba}}(\tau )$满足充分必要条件关系式，结合定义1 可知，${R_{ - a}}(\tau )$, ${R_b}(\tau )$, ${R_{( - a)b}}(\tau )$, ${R_{b( - a)}}(\tau )$亦满足这两个充要条件关系式，即${s'}$亦为PGIS。证毕

设序列$s$是长度为奇素数$v$的PGIS，对序列$s$进行推论1中的任意组合种变换得到${s'}$，然后对${s'}$依次移位得到矩阵

令序列${s_p}$, ${s_q}$分别为矩阵${{\boldsymbol{M}}_{v \times v}}$中第$p$行、第$q$行构成的序列，$T = |p - q|$，其中$0 \le p,q \le v - 1$。构造交织序列

$I$表示交织操作。设系数序列$k = ({k_0},{k_1})$是长度为2的PGIS，构造系数矩阵

其中，$a$,$b$是不全为0的整数。令系数序列$k$为系数矩阵${\boldsymbol{K}}$任意一行，定义长度为偶数$2v$的序列$u=\{u(t)={u}^{\text{'}}(t)·{k}_{t\mathrm{mod}2}\text{|}0\le t\le 2v-1\}$。

定理2　当$T = |p - q|{\text{ = }}\dfrac{{v + 1}}{2}$时，上述序列$u$是长度为偶数$2v$的PGIS。

证明　设推论1中的变换为对$s$的实部序列$a$取反，得到序列${s'}$。由定义1可知系数序列$k$的自相关函数为

令$\tau = 2{\tau _1} + {\tau _2}$, $0 \le {\tau _1} \le v - 1$, $0 \le {\tau _2} \le 1$，分以下3种情况讨论${R}_{s}\left(\tau \right)=\left\{\begin{aligned}& R, \tau =0\\ & 0, \;其他\end{aligned} \right.$

(1)当$\tau = 0$时

(2)当$\tau \ne 0$，且${\tau _2} = 0$时，必有${\tau _1} \ne 0$，此时

(3)当$\tau \ne 0$，且${\tau _2} = 1$时，由$T = \dfrac{{v + 1}}{2}$有

综上所述，定理2成立。证毕

推论2　设序列$s$为PGIS，当上述扩展方法的系数矩阵$K$中${\text{|}}a{\text{|}} = {\text{|}}b{\text{|}}$时，扩展后得到的序列$u$能量效率不发生改变。

证明　根据复数的乘法公式$(m+{\rm{j}}n)\cdot (a+{\rm{j}}b)= (ma-nb)+{\rm{j}}(mb+na)$可知，$a = b$与$a = - b$的实部虚部平方和相等：${[a(m - n)]^2}{\text{ + }}{[a(m + n)]^2} = {[a(m + n)]^2} + {[ - a(m - n)]^2} = 2{a^2}({m^2} + {n^2})$。

扩展后的序列$u=\{u(t)={u}'(t)\cdot {k}_{t\mathrm{mod}2}\text{|} 0\le t\le 2v-1\}\text{=}I({s}_{p}\cdot {k}_{0},{s}_{q}\cdot {k}_{1})$，${s_p}$,${s_q}$为序列$s$的移位序列，根据定义4可知序列$s$的能量效率

根据定义4及上述复数乘法公式可知序列$u$的能量效率为

即当系数矩阵${\boldsymbol{K}}$中${\text{|}}a{\text{|}} = {\text{|}}b{\text{|}}$时扩展前后能量效率不发生变化。证毕

4.   能量效率分析

根据定义4，可知定理1构造出的PGIS能量效率为

本文基于定理1，同时结合计算机搜索的方法，得到大量高能量效率PGIS。利用本文定理1所构造的PGIS与其他基于2阶分圆类构造的PGIS进行能量效率比较，结果如表1所示，本文所构造的PGIS能量效率显著提高。

表 1  PGIS的能量效率比较

文献	定理	长度	电平数	能量效率(%)	构造实例
文献[6]	定理1	13	3	50.3	例2
	定理1	19	3	70.8	例1
文献[7]	定理4	19	3	70.8	例1
	定理5	19	2	68.4	例3
文献[11]	定理1	19	2	91.3	表1(行6)
		19	3	80.4	表1(行7)
		19	3	90.0	表1(行8)
本文	定理1	13	3	98.3	$\begin{gathered} (19,{\text{ } } - 8 - {\rm{j} }20,{\text{ } } - 8 + {\rm{j} }20,{\text{ } } - 8 - {\rm{j} }20,{\text{ } } - 8 - {\rm{j} }20,{\text{ } } - 8 + {\rm{j} }20,{\text{ } } - 8 + {\rm{j} }20,{\text{ } } \\ - 8 + {\rm{j} }20,{\text{ } } - 8 + {\rm{j} }20,{\text{ } } - 8 - {\rm{j} }20,{\text{ } } - 8 - {\rm{j} }20,{\text{ } } - 8 + {\rm{j} }20,{\text{ } } - 8 - {\rm{j} }20) \\ \end{gathered}$
		19	2	99.2	$\begin{gathered} (9 + {\rm{j} }11,{\text{ } }9 + {\rm{j} }11,{\text{ } } - 13 - {\rm{j} }6,{\text{ } } - 13 - {\rm{j} }6,{\text{ } }9 + {\rm{j} }11,{\text{ } }9 + {\rm{j} }11,{\text{ } }9 + {\rm{j} }11,{\text{ } } \\ 9 + {\rm{j} }11,{\text{ } } - 13 - {\rm{j} }6,{\text{ } }9 + {\rm{j} }11,{\text{ } } - 13 - {\rm{j} }6,{\text{ } }9 + {\rm{j} }11,{\text{ } } - 13 - {\rm{j} }6,{\text{ } } - 13 - {\rm{j} }6,{\text{ } } \\ - 13 - {\rm{j} }6,{\text{ } } - 13 - {\rm{j} }6,{\text{ } }9 + {\rm{j} }11,{\text{ } }9 + {\rm{j} }11,{\text{ } } - 13 - {\rm{j} }6) \\ \end{gathered}$
		19	2	99.2	$\begin{gathered} ( - 20 - {\rm{j} }2,{\text{ } }19 - {\rm{j} }7,{\text{ } } - 20 - {\rm{j} }2,{\text{ } } - 20 - {\rm{j} }2,{\text{ } }19 - {\rm{j} }7,{\text{ } }19 - {\rm{j} }7,{\text{ } }19 - {\rm{j} }7,{\text{ } } \\ 19 - {\rm{j} }7,{\text{ } } - 20 - {\rm{j} }2,{\text{ } }19 - {\rm{j} }7,{\text{ } } - 20 - {\rm{j} }2,{\text{ } }19 - {\rm{j} }7,{\text{ } } - 20 - {\rm{j} }2,{\text{ } } - 20 - {\rm{j} }2, \\ - 20 - {\rm{j} }2,{\text{ } } - 20 - {\rm{j} }2,{\text{ } }19 - {\rm{j} }7,{\text{ } }19 - {\rm{j} }7,{\text{ } } - 20 - {\rm{j} }2) \\ \end{gathered}$
		19	2	99.6	$\begin{gathered} ( - 18 - {\rm{j} }2,{\text{ } } - 18 - {\rm{j} }2,{\text{ } }17 - {\rm{j} }6,{\text{ } }17 - {\rm{j} }6,{\text{ } } - 18 - {\rm{j} }2,{\text{ } } - 18 - {\rm{j} }2,{\text{ } } - 18 - {\rm{j} }2,{\text{ } } \\ - 18 - {\rm{j} }2,{\text{ } }17 - {\rm{j} }6,{\text{ } } - 18 - {\rm{j} }2,{\text{ } }17 - {\rm{j} }6,{\text{ } } - 18 - {\rm{j} }2,{\text{ } }17 - {\rm{j} }6,{\text{ } }17 - {\rm{j} }6, \\ 17 - {\rm{j} }6,{\text{ } }17 - {\rm{j} }6,{\text{ } } - 18 - {\rm{j} }2,{\text{ } } - 18 - {\rm{j} }2,{\text{ } }17 - {\rm{j} }6) \\ \end{gathered}$

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基于定理2和推论2的扩展方法，可以将定理1构造的高能量效率PGIS扩展成多条相同能量效率的PGIS，结果如表2所示，扩展后的PGIS能量效率不变。

表 2  PGIS扩展前后的能量效率比较

	长度	能量效率(%)	实例
原序列	3	99.9	$(4 - {\rm{j} }15,11 + {\rm{j} }11,11 + {\rm{j} }11)$
$a = 1,b = - 1$	6	99.9	$( - 19 - {\rm{j} }11,22,{\rm{j} }22, - 11 + {\rm{j} }19,{\rm{j} }22,22)$
$a = 2,b = 2$	6	99.9	$(38 + {\rm{j} }22,44, - {\rm{j} }44{\rm{j} }, - 22 + {\rm{j} }38, - {\rm{j} }44,44)$

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5.   结束语

本文定理1参数设置简单方便可以很好结合计算机搜索PGIS，利用该特点，将序列长度设为区间[3,50]内的奇素数，元素取值为区间[–20,20]内的整数，通过计算机搜索的方法，获得9656条能量效率高于90%的PGIS，其中3400条能量效率高于95%。

此外，本文还提出了一种新的扩展方法，将奇数长PGIS扩展成偶数长PGIS，在PGIS的数量和长度上为工程应用提供了更多的优质信号选择空间。当限定系数矩阵$K$中${\text{|}}a{\text{|}} = {\text{|}}b{\text{|}}$时，扩展后序列的能量效率不变，将定理1中构造出的高能量效率PGIS通过该方法扩展，还可以另外得到大量偶数长的高能量效率PGIS，能很好地应用于工程实践。