相对论修正下的宽电子束聚焦的普遍理论

周立伟; 金伟其; 倪国强; 史万宏

摘要: 本文由曲线坐标系下的相对论修正普遍轨迹方程出发,考虑包含阴极物面的宽电子束聚焦的情况,推导了曲线坐标系下的主轨迹方程与曲近轴轨迹方程,研究了满足正交条件的近轴系统的特性。曲线坐标系下的细电子束聚焦问题以及非相对论修正的宽电子束聚焦问题均可视为本文的特例。

关键词:

电子光学; 电子透镜; 电子束聚焦

Abstract: Based on the relativistic general trajectory equations solved by the tensor method in a Frenet lecal coordinate system, considering the characteristics of wide electron beam focusing possessing a cathode surface, equations of the principal trajectory and the curvilinear paraxial trajectory are deduced. The characteristics of the curvilinear paraxial system satisfying the orthogonal condition are studied. Problems concerning narrow electron beam focusing or non-relativistic wide electron beam focusing in a curvilinear coordinate system can be regarded as special cases thereof.

1. 引言

伴随着物联网技术的蓬勃发展，传感器作为连接自然界与人类信息世界的桥梁，与人们的日常生活息息相关。包括霍尔传感器^[1-3]、各向异性磁阻传感器^[4,5]、隧道磁阻传感器^[6-8]和巨磁阻传感器^[9,10]在内的磁传感器，因其体积小、成本低、应用范围广等特点^[11]，成为传感器领域中的重要组成部分。由于霍尔传感器不仅可以检测较大范围的磁场而且与标准CMOS工艺兼容，可以与后续信号处理电路集成在同一块芯片上，在磁传感器市场中占比最高。

霍尔效应^[12]是霍尔传感器的基本工作原理。相比于其他磁传感器，其工作时的温度漂移特性十分凸显，具体表现为灵敏度的温度漂移特性和失调电压的温度漂移特性。如图1所示，霍尔传感器通常在恒定电流的偏置下工作。在理想情况下，对于一个霍尔传感器，流过霍尔传感器的电流一定时，霍尔电压 (V_H) 与磁场的大小成正比。然而，由于霍尔传感器自身的电阻率、载流子浓度、载流子迁移率等特性都与温度相关，V_H和失调电压 (V_off) 都会具有温度漂移特性，从而产生测量误差。因此，对霍尔传感器的灵敏度进行温度补偿和消除V_off的影响十分必要。

图 1 恒定电流偏置下的霍尔传感器

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对于霍尔传感器灵敏度的温度漂移特性，文献[13]利用线性插值的方法对霍尔传感器进行温度补偿，在–40°C～150°C温度范围内将霍尔传感器的温度系数 (Temperature Coefficient, TC) 降低到了316 ppm/°C。该方法只需要记录少量温度点下的数据就可以实现全温度域的校准，有效降低了工作量，但是该方法的补偿效果有限，适用于对TC要求不高的场景。本文提出一种查表法对霍尔传感器进行温度补偿，通过在各个温度点下调节可编程增益放大器的增益来减小V_H的温度漂移特性。仿真结果表明，补偿过后V_H的TC为58.1 ppm/°C，有效提高了温度补偿的精确度。本方法并不仅限于对霍尔传感器的温度补偿，对于其他电路的温度补偿同样适用。

对于霍尔传感器V_off的温度漂移特性，本文将旋转电流技术和相关双采样^[14](Correlated Double Sampling, CDS)技术相结合，有效地消除了V_off。流片测试结果表明，在常温下，霍尔传感器的V_off从25 mV左右降低到了4 mV左右。

CMOS温度传感器^[15-17]具有精度高、性能稳定、成本低等优势，在各种芯片的温漂校准中都有应用。考虑到在对霍尔传感器进行温度补偿时，温度传感器不需要有过高的精度，只需要有严格的线性度和单调性，本文设计了一种结构较为简单的感温电路，节省了电路面积和功耗。

2. 接口电路原理与架构

根据霍尔效应，对于一定的偏置电流I和磁场B，霍尔传感器的输出可以写为

${V_{\text{H}}} = \frac{{\rho \mu }}{W}IB$

(1)

其中，ρ和 $\mu$ 分别为制作霍尔传感器材料的电阻率和载流子迁移率，W为材料的厚度。

对于霍尔传感器的结构，一般分为垂直型和水平型两种。垂直型和水平型的霍尔传感器分别可检测水平和垂直方向的磁场。与垂直型霍尔传感器相比，后者的结构较简单，便于制作。如图2所示，水平型霍尔传感器一般为对称的十字形或正方形，本文将针对十字形霍尔传感器进行研究。由于其对称的结构，无论从A端和C端通入电流还是从B端和D端通入电流，霍尔传感器输出的V_H大小相同，极性取决于电流的方向。

图 2 常见的水平型霍尔传感器结构

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文献[18]对霍尔传感器灵敏度的温度漂移特性进行了详细说明。施加恒定电流偏置后，其灵敏度S对于室温T₀的变化率γ为

$\gamma {\text{ = }}\frac{{S(T) - S({T_0})}}{{S({T_0})}}$

(2)

其中，T为热力学温度。根据文献[18]中的实测数据进行2次拟合，得到γ的表达式为

$\gamma {{ = 4}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{{{ - 5}}}}{T^2} - {{2}}{{.026}}T{{ + 4}}{{.274}}$

(3)

将得到的电流灵敏度TC的参数模型用于Verilog-A建模仿真作为参考。仿真结果如图3所示，结果表明随温度升高，V_H先减小后增大，通常，计算TC的公式为

图 3 霍尔电压的温度特性

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${\text{TC = }}\frac{{{V_{{\text{max}}}} - {V_{{\text{min}}}}}}{{{V_{{\text{target}} }}({T_{{\text{max}}}} - {T_{{\text{min}}}})}} \times {10^6}$

(4)

其中，V_max和V_min分别为在整个温度范围内输出的最大电压和最小电压。V_target 为设计中的目标电压(本文取27°C时的电压)。T_max与T_min分别为最大温度和最小温度。计算得到图3中V_H的TC为966.4 ppm/°C。

图4为本文设计的接口电路的结构框图。霍尔传感器被偏置在恒定电流下，通过旋转电流电路，V_H被调制到高频，而V_off仍处于低频。温度传感器根据环境温度产生与温度成正比的电压信号V_temp，在该电压被8-bit 模数转换器(Analog-to-Digital Converter, ADC) (Verilog-A建模) 转换成数字信号temp<7:0>后，寄存器(Verilog建模) 根据信号temp<7:0>控制可编程增益放大器(Programmable Gain Amplifier, PGA) 的增益。放大的信号通过CDS电路消除V_off，最终，信号经过减法器和采样电路后被输出。带隙基准(BandGap Reference, BGR) 电路向减法器提供基准电压V_offset。这样，V_H将会具有更小的温度系数。

图 4 整体电路结构框图

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3. 核心电路设计

3.1 BGR

本文中设计的BGR电路如图5所示。图5中，M₁, M₂, M₃, M₄构成共源共栅电流镜，使得左右两条支路的电流相同。因此，Q₁和Q₂的集电极电流I_C1和I_C2相同，即

图 5 带隙基准

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${I_{{\text{C1}}}} = {I_{{\text{C2}}}}$

(5)

将Q₁, Q₂的发射截面积设置为1:n，得到

${I_{{\text{S2}}}} = n{I_{{\text{S1}}}}$

(6)

其中，I_S1和I_S2分别为Q₁和Q₂的反向饱和电流。因此，Q₂的基极-发射极电压V_BE2可以表示为

${V_{{\text{BE2}}}} = {V_{\text{T}}}\ln \left( {\frac{{{I_{{\text{C2}}}}}}{{{I_{{\text{S2}}}}}}} \right) = {V_{\text{T}}}\ln \left( {\frac{{{I_{{\text{C2}}}}}}{{n{I_{{\text{S1}}}}}}} \right)$

(7)

其中，V_T为热电压，在常温下约为0.026 V。运算放大器A₁的钳位作用使X点和Y点的电压相同，因此

${V_X} = {V_Y} = {V_{{\text{BE1}}}} = {V_{\text{T}}}\ln \left( {\frac{{{I_{{\text{C1}}}}}}{{{I_{{\text{S1}}}}}}} \right)$

(8)

显然，流过R₄的电流可以表示为

$\begin{split} {I_{{R_4}}} = &\frac{{{V_Y} - {V_{{\text{BE2}}}}}}{{{R_4}}} \\ =&\frac{{{V_{{\text{BE1}}}} - {V_{{\text{BE2}}}}}}{{{R_4}}} = \frac{{{V_{\text{T}}}\ln n}}{{{R_4}}} \end{split}$

(9)

式(9)表明，由于V_T与温度成正比，所以 $I_{R_4}$ 与温度也成正比。将R₃和R₄两端的电压与V_BE2相加，得到BGR输出V_BG的表达式为

$\begin{split} {V_{{\text{BG}}}} = & {I_{{R_4}}}({R_3} + {R_4}) + {V_{{\text{BE2}}}} \\ = & \left( {1 + \frac{{{R_3}}}{{{R_4}}}} \right){V_{\text{T}}}\ln n + {V_{\text{T}}}\ln \left( {\frac{{{I_{{\text{C2}}}}}}{{{I_{{\text{S2}}}}}}} \right) \end{split}$

(10)

其中，第1项的TC为正，第2项的TC为负，理想情况下，调节R₃和R₄的大小可以使两个TC互补，从而使V_BG的TC为0。

考虑到运算放大器A₁能够正常工作，在A₁的输出端增加电容C₁和电阻R₁，以调节零极点，保证足够的环路增益和相位裕度，提高电路的稳定性。

图6为不同工艺角下BGR输出随温度变化的仿真结果。根据式(4)，在–40～125°C的温度范围内，tt, ff, ss, fs和sf角的TC分别为24.3, 22.0, 33.7, 22.9和24.3 ppm/°C。

图 6 带隙基准电路仿真结果

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3.2 感温电路

式(9)表明， $I_{R_4}$ 与温度成比。考虑到本设计中感温电路的输出不需要太高的精度，只需要严格的线性度和单调性，将 $I_{R_4}$ 通过一个固定电阻后就可以得到与温度成正比的电压。本文设计的感温电路如图7所示。

图 7 感温电路

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M₅与M₂构成电流镜，M₅复制M₂所在支路的电流。利用运算放大器A₂进行钳位，使得M₅和M₂的漏源电压保持一致，提高复制电流的精确性。电容C₂，电阻R₅与电容C₁，电阻R₁的作用一致，对运算放大器输出端的零极点进行调节，提高电路的稳定性。M₅复制过来的电流会流入电阻R₆，所以感温电路的输出V_temp可以表示为

${V_{{\text{temp}}}} = \frac{{{R_6}}}{{{R_4}}}{V_{\text{T}}}\ln n$

(11)

选取R₄与R₆为同类型的电阻，V_temp就与温度成正比。

图8为感温电路的仿真结果。在–40～125°C的温度范围内，V_temp与温度成正比。V_temp的变化范围为1.80 ～3.24 V，灵敏度(图8中直线的斜率)为8.73 mV/°C。通过对仿真数据进行线性函数拟合，理想条件下温度传感电路的输出表达式为

图 8 感温电路仿真结果

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${V_{{\text{ideal}}}} = 0.00873T + 2.5103$

(12)

通常，计算非线性误差的公式为

$\delta = \frac{{\Delta {Y_{{\text{max}}}}}}{Y} \times 100\%$

(13)

其中， $\Delta {Y_{{\text{max}}}}$ 为实际输出与理想输出之间的最大差值，Y为满量程输出。计算得到感温电路的非线性误差为0.22%，在整个温度范围内的温度误差为0.36°C (0.22%×165°C)。本文使用的8位ADC分辨率为0.64°C，因此，感温电路引起的误差小于0.64°C即可。

3.3 PGA

本文设计的PGA如图9所示。假设流过电阻R₁的电流为I₁，A₁和A₂均为理想运算放大器，可以得到表达式为

图 9 PGA

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${I_1} = \frac{{{V_{{\text{in2}}}} - {V_{{\text{in1}}}}}}{{{R_1}}}\quad$

(14)

${V_{{\text{out2}}}} = {V_{{\text{in2}}}} + {I_1}{R_2}$

(15)

${V_{{\text{out1}}}} = {V_{{\text{in1}}}} - {I_1}{R_2}$

(16)

因此，PGA的增益为

${A_{\text{V}}} = \frac{{{V_{{\text{out2}}}} - {V_{{\text{out1}}}}}}{{{V_{{\text{in2}}}} - {V_{{\text{in1}}}}}} = 1 + \frac{{2{R_2}}}{{{R_1}}}$

(17)

式(17)表明，PGA的增益可以通过改变电阻R₂的大小进行调节。因此，基于环境温度的不同对V_H进行不同倍数的放大就可以减小V_H的TC。

表1列出了在温度补偿时各个信号在部分温度范围下的响应。通常情况下由霍尔传感器直接生成的V_H在毫伏量级，将V_H在不同温度下都放大到150 mV为目标。以–40°C～–39.21°C这个温度段为例，感温电路输出的信号V_temp的范围在1.792～1.806 V之间，对应于ADC的一个最低有效位。此时ADC的输出temp<7:0>为1001 0110。将该温度下的V_H与150 mV比较，得到PGA的增益为36。最后，将1001 0110作为寄存器的地址，增益作为该地址下的储存的信息，将二者同时写入寄存器后就完成了温度–40°C～–39.21°C的温度补偿。如此反复，就可以完成整个温度范围内的校准。

表 1 各信号对温度的相应

温度范围 (°C)	V_temp范围(V)	temp<7:0>	V_H (mV)	增益
–40～–39.21	1.792～1.806	1001 0110	4.76	31
–20.35～–18.79	1.968～1.982	1010 0011	4.35	35
–1.49～0.07	2.144～2.158	1010 1111	4.06	37
39.36～40.92	2.494～2.508	1100 1001	3.71	40
59.79～61.35	2.668～2.682	1101 0110	3.70	40
78.65～80.21	2.842～2.856	1110 0010	3.79	40
119.52～121.08	3.189～3.203	1111 1100	4.27	35
124.22～125	3.232～3.246	1111 1111	4.35	34

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图10为温度补偿电路的仿真结果。图10(b)为经过温度补偿后霍尔传感器分别在50 mT和100 mT磁场下的输出结果。

图 10 温度补偿电路仿真结果

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根据式(4)，通过温漂校准后，霍尔传感器的TC从966.4 ppm/°C降低到了58.1 ppm/°C。该文对温度补偿电路只进行了仿真，没有流片测试。

3.4 旋转电流电路

本文设计的旋转电流电路如图11所示。为方便后续CDS电路对V_off的消除，该电路通过将电流周期性地通入霍尔传感器的不同端口实现对V_H和V_off的调制。

图 11 旋转电流电路

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当clk1为高电平，clk2为低电平时，电流从霍尔传感器的A端流入，C端流出。输出正极V_P和输出负极V_P分别与霍尔传感器的D端和B端相连。此时，输出结果为

${V_{{\text{H1}}}} = {V_{\text{P}}} - {V_{\text{N}}} = {V_{\text{D}}} - {V_{\text{B}}} = {V_{\text{H}}} + {V_{{\text{off}}}}$

(18)

同理，当clk1为高电平，clk2为低电平时，输出结果为

${V_{{\text{H2}}}} = {V_{\text{P}}} - {V_{\text{N}}} = {V_{\text{C}}} - {V_{\text{A}}} = - {V_{\text{H}}} + {V_{{\text{off}}}}$

(19)

式(18)、式(19)表明，经过旋转电流电路的调制，V_H变为交流信号，V_off仍为直流信号。

图12为旋转电流电路的仿真结果。根据式(18)和式(19)，计V_off的值为36 mV。

图 12 旋转电流电路仿真结果

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4. 流片测试结果

本文对霍尔传感器主通路进行了流片测试，总芯片面积为0.69 mm²。图13为芯片的显微镜照片。

图 13 芯片显微镜照片

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本节将使用印刷电路板对V_off和霍尔传感器主通路的TC，以及霍尔传感器的线性度进行测试。主要测试仪器包括电源、信号发生器、电磁铁和数字万用表。图14为测试的示意图。

图 14 测试示意图

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表2列出了V_off的测试结果。数据表明，V_off随温度的升高而降低，温度漂移特性明显。因此，在对霍尔传感器进行温度补偿时对V_off尽可能地消除是必要的。

表 2 V_off的高低温测试结果(mV)

	–40°C	–20°C	0°C	20°C	40°C
V_off1	49.59	42.21	33.05	21.94	11.75
V_off2	72.45	53.87	30.74	20.39	11.32
V_off3	69.15	50.92	33.75	23.05	12.26

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表3列出了相应的测试结果，结果表明CDS电路将霍尔传感器的大部分V_off消除，只剩下约4 mV的残余失调。

表 3 CDS电路测试结果(mV)

	失调电压消除前	失调电压消除后
V_off1	24.9	4
V_off2	25.4	4
V_off3	24.2	2

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根据测试数据拟合出的线性度图线如图15所示。结果表明，霍尔传感器的线性度良好，参照式(13)中的计算方法，霍尔传感器的非线性误差仅为0.50%。

图 15 霍尔传感器线性度拟合图线

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表4列出了本设计与相关工作的性能参数对比，本文设计的接口电路在功耗、面积和温度系数上具有一定优势。

表 4 本设计与相关工作性能对比

	本设计	文献[13]	文献[19]	文献[20]
工艺 (nm)	180	180	800	130
电源电压 (V)	5	5～18	5	3～5.5
功耗 (mW)	20.8	–	28	–
面积 (mm²)	0.69	5	0.95	1.12
TC (ppm/°C)	58.1	316	–	–

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5. 结论

本文设计了一种低失调并具有温度补偿功能的磁性传感器接口电路。使用查表法，通过PGA根据温度调节增益对霍尔传感器进行了温漂校准，同时利用CDS电路消除了霍尔传感器大部分的失调电压。整体电路采用180 nm CMOS工艺实现。仿真结果表明，在–40°C～125°C温度范围内，霍尔传感器的TC从966.4 ppm/°C降低到了58.1 ppm/°C。信号主通路的流片测试结果表明CDS电路将霍尔传感器的失调电压从25 mV左右降低到4 mV左右，霍尔传感器的非线性误差为0.50%。

Г.А.Гринберг Избранные Вопросы Математической Теорой Электрических и Магнитных Явлений, Изд. АН.СССР,М-Л,1948.[2]Г.А.Гринберг, ДАН СССР, 37(1942), 197-204; 295-303; 38(1943), 89-96.[3]Г.А.Гринберг, ЖТФ, 13(1943), 361-358.[4]P. A. Sturrock, Static and Dynamic Electron Optics, Cambridge at The University Press, 1955.[5]P. A. Sturrock, The Imaging Properties of Electron Beams in Arbitrary Static Electromagnetic Fields, Phil. Trans, A245(1952), 155-187.[6]Zhou Liwei, Optics of Wide Electron Beam Focusing Electron Optical System, SEM, Inc., (1984), 45-62.[7]Zhou Liwei, A Generalized Theory of Wide Electron Beam Focusing, Advances in Electronics and Electron Physics, Vol. 64 B, (1985), 575-589.[8]Zhou Liwei, Ni Guoqiang, Qiu Baicang, Tensor Analysis of Electron Motion in Curvilinear Coordinate Systems, Proceeding of the International Symposium on Electron Optics, Beijing, Sept. 9-13, 1986.[9]西门纪业,物理学报,13(1957), 339-356.[10]周立伟,艾克聪,潘顺巨,物理学报,32(1983), 376-391.[11]方二伦,冯炽涛,周立伟,光电技术,1980年,第2-3期,第71-81页.

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