双向负阻晶体管张弛振荡器的研究

余道衡; 朱照宣

摘要: 本文研究了双向负阻晶体管(BNRT)张弛振荡器的分段线性(具有四段折线和三段折线)动力学模型。给出了电路和动态方程。讨论了张弛振荡器的一些性质。实验结果与计算结果一致,表明这种动力学模型是适当而有效的。

关键词:

Abstract: In this paper a piecewisely linear (with three or four segments) dynamic version for the relaxation oscillations in a circuit with Bidirectional Negative Resistance Transistor (BNRT) is studied. The circuit and the dynamic equations are given and some properties of the relaxation oscillations are discussed. Experimental results agree with the computations, showing that the dynamic model is adequate and useful.

1. 引言

波达角(Direction Of Arrival, DOA)估计是阵列信号处理中的一个重要研究课题，在无线通信、雷达和医学成像等许多领域中有广泛的应用。在阵列结构方面，平面阵的应用最为广泛。在过去的几十年中，国内外学者已经提出了许多基于平面阵列结构的DOA估计算法，包括面阵^[1,2]、L型阵列^[3]和平行线阵^[4]等。平面阵列通常由几个均匀间隔的线性子阵列构成，具有有限的自由度，例如含 $M$ 个阵元的L型均匀线阵阵列，最多可以估计 $M - 1$ 个入射信号角度。

近年来，稀疏阵列由于能够有效提高阵列的自由度而受到广泛关注，例如最小冗余阵列^[5]、嵌套阵列^[6]和互质阵列^[7]等。与传统阵列相比，稀疏阵列可以在保证性能的前提下充分地减少阵元数，或在阵元数相同的情况下，拥有更大的阵列孔径、更低的旁瓣级，通过对阵元位置和加权的解算改善测向算法的精度、分辨率和自由度。在稀疏嵌套阵列方面，文献[8]和文献[9]将嵌套阵列从1维DOA估计推广到2维DOA估计，提出了一种包含两个均匀间隔线性子阵的2维嵌套阵列。在L型互质阵列方面，有基于迭代最小化和离网格稀疏学习^[10,11]。在平行互质阵列方面，文献[12]首次提出了利用平行互质阵列的互协方差矩阵构造1维向量，通过稀疏重构和最小二乘法得到相互匹配的DOA估计，提升了阵列的自由度，但是在小快拍情况下精度较差，且算法复杂度较高。文献[13]和文献[14]针对复杂度较高问题，将2维DOA估计问题转化为1维表示，利用互协方差矩阵和压缩感知方法进行角度估计，一定程度上提高了估计精度。上述算法主要利用了平行互质阵列的互协方差矩阵，文献[15]和文献[16]使用平行互质阵列的协方差矩阵，采用1维DOA估计结合功率进行匹配实现俯仰角和方位角估计，但是容易出现失配现象。

可以看出，现有平行互质阵列DOA估计算法只利用了阵列的协方差矩阵或互协方差矩阵，需要网格搜索和匹配，存在着计算复杂度较高、算法精度不足、容易出现失配等问题。针对现有算法的不足，本文提出了一种新的基于平行互质线阵2维DOA估计算法，利用两个线阵的协方差矩阵和互协方差矩阵构造新的DOA估计矩阵。在此基础上，利用SVD和ESPRIT算法，根据特征值和特征向量得到相匹配的方位角和俯仰角。与现有算法相比，本文算法充分地利用了自相关和互相关矩阵信息，可以估计更多的信源数，精度更高。同时由于阵元孔径的扩展，算法的分辨能力较高，计算复杂度较低，且在低信噪比和小快拍的情况下性能较好。

文中符号说明： ${( \cdot )^{\rm{T}}}$ , ${( \cdot )^*}$ , ${( \cdot )^{\rm{H}}}$ , ${( \cdot )^{ - 1}}$ 和 ${( \cdot )^ + }$ 分别表示矩阵转置、共轭、共轭转置、求逆和求伪逆； ${\rm{diag}}(v)$ 表示以 $v$ 为主对角线元素的对角矩阵； ${\rm{vec}}( \cdot )$ 表示矩阵拉伸； $\otimes$ 表示Khatri-Rao积； ${I}$ 表示单位矩阵； $\arg ( \cdot )$ 表示取相位角。

2. 信号模型

本文的阵列模型采用平行互质阵列结构，由两个相互平行的扩展互质阵列^[17]组成，如图1所示，包含子阵1和子阵2。子阵1有 $L$ 个真实物理阵元，由两个不重合均匀线阵交叉构成：阵元间距为 $Nd$ 的线阵，阵元个数为 $2M - 1$ ；阵元间距为 $Md$ 的线阵，阵元个数为 $N$ 。可见， $L{\rm{ = 2}}M - 1 + N$ 。其中， $M$ 和 $N$ 是互质的整数， $d$ 为基本阵元间距， $d = \lambda /2$ , $\lambda$ 为信号的入射波长。这里，用 $p = \{ {p_0}, {p_1}, ··· ,{p_{L - 1}}\}$ 代表其中每个阵元的排列位置。

图 1 平行互质阵列几何模型

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在图1中， $\alpha$ 和 $\beta$ 分别为辐射源与 $X$ 轴和 $Y$ 轴的夹角，满足 $\cos \alpha = \sin \varphi \sin \theta$ , $\cos \beta = \cos \varphi \sin \theta$ 。其中， $\varphi$ 和 $\theta$ 为辐射源的方位角和俯仰角。当有 $K$ 个远场窄带信号入射时，则子阵1第 $l$ 个阵元接收信号模型可表示为

$z_{1,l}^{}(t) = \sum\limits_{k = 1}^K {{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2d\pi /\lambda {p_l}\cos {\alpha _k}}}{s_k}(t) + {n_l}(t)} , \;l = 0,1, ··· ,L$

(1)

其中， ${s_k}(t)$ 代表第 $k$ 个入射信号的幅度， ${n_l}(t)$ 为噪声。

则整个阵列的接收信号模型为

$\qquad\qquad {{z}_1}(t) = {As}(t) + {{n}_1}(t)$

(2)

$\qquad\qquad {{z}_2}(t) = {{A \varPhi}} {{s}}(t) + {{{n}}_2}(t)$

(3)

其中， ${{{z}}_1}(t)$ 为子阵1的接收数据， ${{{z}}_2}(t)$ 为子阵2的接收数据。方向矩阵 ${{A}}{\rm{ = [}}{{{a}}_1},{{{a}}_2}, ···,{{{a}}_K}{\rm{]}}$ 的维度为 $L \times K$ ，包含入射信号的方位角和俯仰角信息，响应矢量 ${{{a}}_k} = [1,{{\rm{e}}^{ - {\rm{j2}}\pi /\lambda {p_1}\cos {\alpha _k}}},{{\rm{e}}^{ - {\rm{j2}}\pi /\lambda {p_2}\cos {\alpha _k}}}, ··· ,$ ${{\rm{e}}^{ - {\rm{j2}}\pi /\lambda {p_{L - 1}}\cos {\alpha _k}}}]^{\rm{T}}$ 对应第 $k$ 个入射信号。 ${{s}}(t)$ 为 $K$ 个非合作的窄带信号的幅度， ${{{n}}_1}(t)$ 和 ${{{n}}_2}(t)$ 表示零均值加性高斯白噪声，且噪声和信号不相关。 ${{{z}}_2}(t)$ 中 ${{\varPhi}} = {\rm{diag}}({{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\pi \cos {\beta _1}}},{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\pi \cos {\beta _2}}}, ··· , {{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\pi \cos {\beta _K}}})$ 为 $K \times K$ 的对角矩阵。这里假设所有的入射信号不重合，即 ${\alpha _1} \ne {\alpha _2} \ne ··· \ne {\alpha _K}$ 和 ${\beta _1} \ne {\beta _2} \ne ··· \ne {\beta _K}$ 。

由于本文采用扩展互质子阵列组成平行阵列，通过虚拟域信号构造，单个子阵物理阵元为 $L$ ( $L{\rm{ = 2}}M - 1 + N$ )个时，连续虚拟阵元个数为 $2MN + 2M - 1$ ，其自由度可以达到 $MN + M{\rm{ - }}1$ ，突破了传统阵列物理阵元对天线孔径的限制，有效的扩展了天线的孔径和增加了DOA估计的自由度。

3. 基于平行互质虚拟阵列的低复杂度2维DOA估计算法

前文已指出，现有的2维DOA估计算法存在着计算复杂度较高、算法精度不足、容易出现失配等问题。针对这一问题，本文重点研究了2维虚拟阵列，提出了一种适用于平行互质虚拟阵列的2维DOA估计算法。

3.1 扩展矩阵构造

根据接收的入射信号数据，先构造应用于2维虚拟阵列估计的DOA扩展矩阵。子阵1的接收信号 ${{{z}}_1} = {{{z}}_1}(t)$ (对特定时刻 $t$ )的协方差矩阵为

${{{R}}_{\rm{b}}} = {\rm{E}}[{{{z}}_1}{{z}}_1^{\rm{H}}] = {{AR}}{{{A}}^{\rm{H}}} + \sigma _n^2{{I}}$

(4)

其中， ${{R}} = {\rm{diag}}({\rho _1}{\rm{, }}{\rho _2}, ··· ,{\rho _K})$ , ${\rho _k}$ $(k = 1, 2, ··· ,K)$ 为第 $k$ 个入射信号的功率， $\sigma _n^2$ 代表着噪声的功率， ${{I}}$ 为 $K \times K$ 的单位矩阵。

将 ${{{R}}_{\rm{b}}}$ 向量化后可得

${{{v}}_1} = {\rm{vec}}({{{R}}_{\rm{b}}}) = {{Br}} + \sigma _n^2{{{I}}_{\rm{e}}}$

(5)

其中， ${{B}} = [{{{a}}_1} \otimes {{a}}_1^*,{{{a}}_2} \otimes {{a}}_2^*, ··· ,{{{a}}_K} \otimes {{a}}_K^*]$ ，可以将其看做为虚拟线阵的方向矢量。 ${{r}} = {[{\rho _1},{\rho _2}, ··· ,{\rho _K}]^{\rm{T}}}$ 为信号功率，相当于虚拟线阵中的信号， ${{{I}}_{{e}}} = {\rm{vec}}({{I}})$ ，则 ${{{v}}_1}$ 可以作为1维非均匀线阵中单次快拍接收的信号。

通过对式(3)中的矩阵进行特征值分解，可以从中估计出噪声功率。去除 ${{v}}_1^{}$ 中的噪声影响，可得

${{\bar{ v}}_1} = {{v}}_1^{} - \sigma _n^2{{{I}}_n}$

(6)

接着，考虑到 ${{{v}}_1}$ 中存在重复的元素，需要剔除重复元素，并截取连续的虚拟阵元，可以得到 $2MN +$ $2M - 1$ 个位于 $\{ - (MN + M - 1), - (MN + M - 2),$ $··· , - 1,{\rm{ 0, 1}}, ··· ,(MN + M - 2),(MN + M - 1)\}$ 的阵元位置上的元素，即

$\begin{split} {{\bar{ v}}_1} =\,& [{\bar v_{ - (MN + M - 1)}},{\bar v_{ - (MN + M - 2)}}, ··· ,{\bar v_{ - 1}},{\bar v_0},{\bar v_1}, \\ & ··· ,{\bar v_{(MN + M - 2)}},{\bar v_{(MN + M - 1)}}] = {\bar{ Br}} \end{split}$

(7)

其中， ${\bar{ B}} \!=\! [{{\bar{ B}}_1}{\rm{, }}{{\bar{ B}}_2}, ··· ,{{\bar{ B}}_K}]$ , ${{\bar{ B}}_k} = [{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\pi (MN + M - 1)\cos {\alpha _k}}},$ ${{\rm{e}}^{{\rm{j}}\pi \left( {MN \!+\! M \!-\! 2} \right)\!\cos\! {\alpha _k}}}\!, ··· ,\!0,{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\pi \!\cos \!{\alpha _k}}}\!, ···s ,\!{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\pi (MN \!+\! M \!-\! 1)\!\cos\! {\alpha _k}}}]$ 。 ${\bar{ B}}$ 为 $(2MN + 2M - 1) \times K$ 的矩阵， ${{r}}$ 为 $K \times 1$ 的矩阵。

通过对向量 ${{\bar{ v}}_1}$ 中的元素进行重新排列可得

$\begin{split} \!\!&\!\! {{{V}}_1} \\ \!\!&\!\! = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar v}_0}}\!\!&\!\!{{{\bar v}_{ - 1}}}\!\!&\!\! ··· \!\!&\!\!{{{\bar v}_{ - (MN + M - 1)}}} \\ {\bar v}\!\!&\!\!{{{\bar v}_0}}\!\!&\!\! ··· \!\!&\!\!{{{\bar v}_{ - (MN + M - 2)}}} \\ \vdots \!\!&\!\! \vdots \!\!&\!\!{\ddots}\!\!&\!\! \vdots \\ {{{\bar v}_{(MN + M - 1)}}}\!\!&\!\!{{{\bar v}_{(MN + M - 2)}}}\!\!&\!\! ··· \!\!&\!\!{{{\bar v}_0}} \end{array}} \right] \end{split}$

(8)

可见，矩阵 ${{{V}}_1}$ 的尺寸为 $(MN + M) \times (MN + M)$ 。可以将 ${{{V}}_1}$ 表示为

${{{V}}_1} = {{DW}}(\rho ){{{D}}^{\rm{H}}}$

(9)

其中， ${{W}}$ 为对角矩阵，和信号的功率相关。 ${{D}}$ 中包含了入射信号与X轴的夹角信息。

同样，可以通过接收的信号，定义子阵1和子阵2的互协方差矩阵为

${{{R}}_{\rm{c}}} = {\rm{E}}\{ {{{z}}_1}(t){{z}}_2^{\rm{H}}(t)\} = {{A \varPhi}} {{R}}{{{A}}^{\rm{H}}}$

(10)

其中， ${{\varPhi}} = {\rm{diag}}({{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\pi \cos {\beta _1}}},{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\pi \cos {\beta _2}}},··· ,{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\pi \cos {\beta _K}}})$ ，含有入射信号与Y 轴的夹角信息。由于两个子阵的噪声不相关，因此互协方差矩阵没有噪声的干扰项。对 ${{{R}}_{\rm{c}}}$ 进行向量化可得

${{v}}_2^{} = {\rm{vec}}({{{R}}_{\rm{c}}}) = {{B \varPhi}} {{r}}$

(11)

同理，剔除 ${{v}}_2^{}$ 中的重复元素，并取其中连续的虚拟阵元，可以得到

${{\bar{ v}}_2} = {\bar{ B }} {{\varPhi r}}$

(12)

与式(7)类似，构造互协方差矩阵，即对 ${{\bar{ v}}_2}$ 中的元素重新排列，可得

${{{V}}_2} = {{D \varPhi}} {{W}}(\rho ){{{D}}^{\rm{H}}}$

(13)

由式(8)和式(12)，构造DOA估计的扩展矩阵

$\begin{split} {{{R}}_{\rm{m}}} =\,& \left[ \begin{array}{l} {{{V}}_1} \\ {{{V}}_2} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} {{DW}}(\rho ){{{D}}^{\rm{H}}} \\ {{D \varPhi}} {{W}}(\rho ){{{D}}^{\rm{H}}} \\ \end{array} \right] \\ {\rm{ = }}\,&\left[ \begin{array}{l} {{D}} \\ {{D \varPhi}} \\ \end{array} \right]{{W}}(\rho ){{{D}}^{\rm{H}}} = {\bar{ DW}}(\rho ){{{D}}^{\rm{H}}} \end{split}$

(14)

对 ${{{R}}_{\rm{m}}}$ 分析可知， ${\bar{ D}}$ 中包含了入射信号与X轴和Y轴的夹角信息所有信息，即 ${\bar{ D}}$ 为所求矩阵。通过对 ${{{R}}_{\rm{m}}}$ 进行奇异值分解，得到的信号子空间，即为 ${\bar{ D}}$ 张成的空间。

3.2 2维DOA估计

在3.1节中，通过子阵1的协方差矩阵及其与子阵2的互协方差矩阵，构造出DOA估计矩阵 ${{{R}}_{\rm{m}}}$ 。接下来，本文利用SVD和ESPRIT算法，由特征值和特征向量得到相匹配的方位角和俯仰角。

首先，对DOA估计矩阵 ${{{R}}_{\rm{m}}}$ 进行奇异值分解可得

${{{R}}_{\rm{m}}} = [{{{U}}_1}{\rm{ }}{{{U}}_2}]\left[ \begin{array}{l} \varSigma \\ 0 \\ \end{array} \right.{\rm{ }}\left. \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right]{{{V}}^{\rm{H}} }$

(15)

其中， ${{{U}}_1}$ 为信号子空间， ${{{U}}_2}$ 为噪声子空间，则

$\quad {{{U}}_1} = [{{{u}}_1},{{{u}}_2}, ··· ,{{{u}}_K}]$

(16)

$\quad {{{U}}_2} = [{{{u}}_{K + 1}},{{{u}}_{K + 2}},··· ,{{{u}}_{MN + M}}]$

(17)

${{{U}}_1}$ 为 $2\left( {MN + M} \right) \times K$ 的矩阵， $K$ 为入射信号的个数。由于 ${{{U}}_1}$ 为信号子空间，这里存在一个 $K \times K$ 的矩阵 ${{T}}$ 使得式(17)成立

${{{U}}_1} = \left[ \begin{array}{l} {{{U}}_{11}} \\ {{{U}}_{12}} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} {{D}} \\ {{D \varPhi}} \\ \end{array} \right]{{T}} = {{\overline{{{D}}}}{ T}}$

(18)

由上述分析可知，信号子空间中包含着入射信号的方位角和俯仰角。其中， ${{D}}$ 为方向矩阵，包含入射信号与 $X$ 轴夹角信息 $\alpha$ ; ${{\varPhi}}$ 为对角矩阵，包含入射信号与 $Y$ 轴夹角信息 $\beta$ 。则有

$\qquad\qquad {{{U}}_{11}} = {{DT}}$

(19)

$\qquad\qquad {{{U}}_{12}} = {{D \varPhi}} {{T}}$

(20)

其中， ${{{U}}_{11}}$ 和 ${{{U}}_{12}}$ 的维度均为 $\left( {MN + M} \right) \times K$ 。

通过 ${{{U}}_{11}}$ 和 ${{{U}}_{12}}$ 的关系，构造矩阵 ${{F}}$ ，使得

${{F}} = {{U}}_{11}^ + {{{U}}_{12}} = {{{T}}^{ - 1}}{{\varPhi}} {{T}}$

(21)

可以得到 ${{\varPhi}}$ 中对应的特征值 ${\rm{\{ }}{\psi _k},k = 1,2, ··· ,K{\rm{\} }}$ ，对应入射的 $K$ 个信号与Y 轴夹角信息

${\hat \beta _k} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{\arg ({\psi _k})}}{{2\pi /\lambda }}} \right)$

(22)

通过对式(20)进行特征值分解，其对应的特征向量构成的矩阵为 ${{T}}$ ，通过(18)式有

${\hat{ D}} = {{{U}}_{11}}{{{T}}^{ - 1}}$

(23)

其中， $\hat {{D}}$ 为 $(MN + M) \times K$ 的矩阵。

在文献[2]中，通过构造一个谱峰搜索函数进行角度搜索，进而得到入射信号与X轴的夹角，算法复杂度高，效率较低。本文借鉴旋转不变思想，将矩阵 $\hat {{D}}$ 进行分块， ${{{C}}_1}$ 取矩阵 $\hat {{D}}$ 第1行到 $MN + M - 1$ 行， ${{{C}}_2}$ 取矩阵 $\hat { {D}}$ 的第2行到 $MN + M$ 行，则有

${{{C}}_2} = {{{C}}_1}{{\varPsi}}$

(24)

其中， ${{\varPsi}} {\rm{ = diag(}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\pi \cos {\alpha _1}}},{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\pi \cos {\alpha _2}}}, ···,{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\pi \cos {\alpha _K}}}{\rm{)}}$ ，为旋转不变因子，则有

${{\varPsi}} = {{C}}_1^{ - 1}{{{C}}_2}$

(25)

通过对 ${{\varPsi}}$ 进行特征值分解，得到特征值 ${\gamma _k}$ ，则有

${\hat \alpha _k} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{\arg ({\gamma _k})}}{{2\pi /\lambda }}} \right),k = 1,{\rm{2,}} ··· ,K$

(26)

通过联立式(21)和式(25)，可得到相互匹配的方位角和俯仰角，即

${\theta _k} = {\sin ^{ - 1}}\left( {\sqrt {{{\cos }^2}({{\hat \alpha }_k}) + {{\cos }^2}({{\hat \beta }_k})} } \right)$

(27)

${\varphi _k} = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\cos ({{\hat \alpha }_k})}}{{\cos ({{\hat \beta }_k})}}} \right)$

(28)

3.3 算法步骤

基于以上理论分析，这里给出本文算法的具体步骤。

步骤 1　根据实际应用，通过有限的快拍数对协方差矩阵和互协方差矩阵进行估计，即

${\hat {{R}}_{\rm{b}}} = \frac{1}{P}\sum\limits_{p = 1}^P {{{{z}}_1}(t){{z}}_1^{\rm{H}}(t)} ,\ \ n = 1,{\rm{2,}} ··· ,P$

(29)

${\hat {{R}}_{\rm{c}}} = \frac{1}{P}\sum\limits_{p = 1}^P {{{{z}}_1}(t){{z}}_2^{\rm{H}}(t)} ,\ \ n = 1,{\rm{2,}} ··· ,P$

(30)

其中， $P$ 为接收信号的快拍数。

步骤 2　由 ${{\hat{ R}}_{\rm{b}}}$ 和 ${{\hat{ R}}_{\rm{c}}}$ 构造新的DOA估计矩阵 ${{{R}}_{\rm{m}}}$ 。

步骤 3　对矩阵 ${{{R}}_{\rm{m}}}$ 进行SVD，得到式(14)所示的信号子空间 ${{{U}}_1}$ 。

步骤 4　构造角度估计矩阵 ${{F}}$ ，求出辐射源角度信息 ${\beta _k}$ 。

步骤 5　借用ESPRIT思想，构造包含方位角信息的旋转因子 ${{\varPsi}}$ ，估计出辐射源角度信息 ${\alpha _k}$ 。

步骤 6　由式(26)和式(27)，得到入射信号的方位角和俯仰角。

上述算法步骤主要包括协方差和互协方差矩阵构建、EVD和SVD操作。经推导，算法复杂度约为 $O\{ 2{L^2}P + 2{K^3} + {(2MN + 2M)^3}\}$ ，其中 $L{\rm{ = 2}}M -$ $1 + N$ , P为采样快拍数，M和N为互质数，K为入射信号个数。

本文所提出的算法，利用互质虚拟阵列的思想，对于2维平行阵列进行扩展，能利用有限的阵元估计更多的入射角度，同时由于阵元孔径的扩展，对入射角度的分辨能力更好，并且在低信噪比和小快拍的情况下精确度相对较高，且算法复杂度更低。

4. 实验仿真

在本节实验中，令 $M$ =3, $N$ =5，则子阵1的真实阵元数为 $2M - 1 + N$ ，即L=10，阵元位置为 ${\rm{\{ }}0{\rm{\;3\;5\;6\;9\;10\;12\;15\;20\;25\} }}$ 。考虑多个入射信号的情况，假设信号源个数 $K{\rm{ = 11}}$ ，即入射信号大于实际阵元数。此时，传统平行线阵算法均已失效，而本文算法仍然可以有效地估计出入射角度，如图2所示。本文提出算法能很好地扩展阵列孔径，提高阵元利用率，最多可估计 $MN + M - 1$ 个入射角度，远高于传统算法。

图 2 K=11时算法估计结果(SNR=10 dB, P=500)

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为了进一步验证提出算法的高分辨性能，我们假设入射信号个数为2，入射角为 $({10^\circ },{11^\circ })$ 和 $({11^\circ },{12^\circ })$ 。此时，传统算法失效。本文算法的实验结果如图3所示，可以看出，虽然存在一定误差，但依然可以分辨出两个非常接近的入射角度。需要注意的是，由于角度较为接近，实验中需要较高的信噪比和快拍数。

图 3 高分辨率实验(K=2, SNR=20 dB, P=500)

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为了衡量算法的估计精度，本文采用均方根误差(RMSE)准则，定义为

${\rm{RMSE = }}\frac{1}{K}\sum\limits_{k = 1}^K {\sqrt {\frac{1}{Q}\sum\limits_{q = 1}^Q {{{\hat ({{\hat \varphi }_{k,q}} - {\varphi _k})}^2} + {{({{\hat \theta }_{k,q}} - {\theta _k})}^2}} } }$

(30)

其中， $K$ 代表着入射信号的个数， $Q$ 代表蒙克卡罗实验次数， ${\hat \varphi _{k,q}}$ 和 ${\hat \theta _{k,q}}$ 代表第 $q$ 次实验的DOA估计值。

图4为快拍数对本文算法性能的影响，并与已有算法进行比较。其中，文献[4]基于平行线阵2维PM算法，文献[12]基于基于平行互质阵列算法。考虑现有算法的适用范围，这里对4个信源进行估计，入射角分别为 $({10^\circ },{10^\circ })$ , $({20^\circ },{20^\circ })$ , $({30^\circ },{30^\circ })$ 和 $({40^\circ },{40^\circ })$ 。可以看出，本文算法在少量快拍下也有较好的估计性能。特别当快拍数P=10时候，本文算法依然可以实现有效DOA估计，可适用于小快拍场景下工作。

图 4 不同快拍数算法性能对比(K=4, SNR=10 dB)

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接下来，分析信噪比变化对图4中各种算法性能的影响。为了减小快拍数对不同算法的影响，实验中采用较大的快拍数，即P=1000。实验中入射信号情况与图4相同，实验结果如图5所示。可以看出，本文算法在低信噪比情况下依然具有较高的估计精度。

图 5 不同信噪比下的性能分析(K=4, P=1000)

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最后，为了对不同DOA估计算法的复杂度进行比较分析，在相同硬件和软件条件下，进行1000次蒙特卡罗实验，统计各种算法的运行时间。实验中计算机的CPU为I7-8550U，内存为8 G。实验中入射信号情况与图3和图4相同，采样快拍数P = 500，信噪比SNR=20 dB。实验统计结果如表1所示，可以看出，本文算法的计算复杂度优于文献[12]中的平行互质阵列算法，但略高于平行线阵PM算法。

表 1 不同2维DOA估计算法运行时间(s)

估计算法	本文算法	文献[12]	文献[4]
运行时间	2.283	26.413	1.268

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5. 结论

本文提出一种基于平行互质虚拟阵列的低复杂度2维DOA估计算法，将传统平行线阵与互质虚拟阵列相结合。本文采用扩展的DOA矩阵，在进行DOA估计时，通过奇异值分解并提取旋转不变因子，避免了传统算法的谱峰搜索，降低了算法复杂度，获得了自动匹配的DOA估计。同时，采用虚拟阵列扩展了阵元孔径，解决了传统DOA估计算法入射信源数小于真实物理阵元数问题。仿真实验结果表明，本文所提算法具有更高的分辨能力，可以分辨更多的辐射源信号，而且在低信噪比和小快拍情况下也优于传统DOA估计算法。

李风银等,电子学报,12(1984), 110.[2]李凤银等,半导体学报,5(1984),698.[3]山本外史,バルスとデイジタル回路,理工学社,(1978), 103-109.

期刊类型引用(4)

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2.	陈志彬，杨芳. 区块链环境下非对称加密算法的用户隐私保护方法. 成都工业学院学报. 2024(05): 22-28 . 百度学术
3.	李春生. 基于区块链技术的医疗信息安全与隐私保护研究. 电脑编程技巧与维护. 2024(10): 59-61+65 . 百度学术
4.	张志红. 基于改进Blowfish算法的网络安全隐私数据加密方法. 宁夏师范学院学报. 2024(10): 95-104 . 百度学术

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