一种基于空时分组编码的MIMO-SC/FDE系统的接收空间分集方案

徐信; 蔡跃明; 盛雁鸣; 徐友云

摘要: 该文提出了一种基于空时分组编码的多输入多输出频域均衡单载波分组传输(MIMO-SC/FDE)系统的空间分集接收方案，通过在Huang(2004)提出的分集结构中引入使用空时分组编码的发射分集，弥补了因减少DFT块数目而造成的性能损失，同时在接收端进一步减少了IDFT块的数目；通过适当设计空时分组编码，还可以进一步提高数据传输速率。该文详细推导了使用空时分组编码后的处理过程，并对使用空时编码后的MIMO-SC/FDE系统和相应的MIMO-OFDM系统性能进行了仿真比较。仿真结果表明，MIMO-SC/FDE系统的性能从总体上优于MIMO-OFDM系统。

关键词:

空时编码; 发射分集; 多输入多输出; 单载波分组传输; 频域均衡

Abstract: This paper proposes a receive space diversity scheme based on space-time block coding for Single-Carrier block transmission system employing Frequency Domain Equalization (SC/FDE), which can remedy the Huangs (2004) system performance degradation, and can also reduce the number of IDFT blocks. It can further increase data transmission rate through properly designing the space-time codes. A detailed procession for SC/FDE systems using space-time block coding is given, and the performances between the proposed SC/FDE-MIMO system and the MIMO-OFDM system are compared; effective benefits can be shown in the simulations.

1. 引言

在通信领域中，为了改善信号的连0或连1特性，提高信息传输的随机性，会对发送信号进行加扰处理，加扰后的信息序列0和1趋于平衡，通过加扰不仅便于提取定时信息和功率谱的平坦化，而且可以增强信息传输的安全性^[1,2]。然而，对于非合作领域，侦察方需要从截获的扰码数据中得到相关信息，此时便需要对扰码数据进行解扰得到原始信源序列，因此扰码数据的参数盲识别技术对后续的信号分析处理有着重要的意义和实用价值^[3]。

扰码可分为自同步扰码和同步扰码两种。两者的构造基础都为线性反馈移位寄存器(Linear Feedback Shift Register, LFSR)。同步扰码的盲识别包括生成多项式和扰码初态的识别，近年来得到了广泛的研究^[4-7]。自同步扰码的盲识别是根据截获的扰码数据进行生成多项式的确定。自同步扰码由于其保密性强，且需要将扰码序列作为LFSR的输入，因此其生成多项式的识别更加复杂。目前针对自同步扰码盲识别的研究主要集中为两大类：基于求解方程或基于统计量。文献[8]通过构造解扰序列的随机变量，当正确解扰和错误解扰时，随机变量服从不同的分布，从而设立判别门限，识别出生成多项式。但是判别门限的设立需要知道信源不平衡度，算法实用性不强。文献[9]通过对扰码数据的重码进行统计，根据重码统计的极性分布与阶数关系判定多项式阶数，然后根据组合不平衡性判定多项式抽头位置，从而完成生成多项式的识别。该方法阶数估计时所需数据量会随着阶数呈指数增加，计算复杂量较大。文献[10]在已知信源不平衡度的情况下，提出了一种基于游程统计的自同步扰码多项式阶数估计方法，通过信源不平衡度和游程统计极值的关系完成多项式阶数的估计。文献[11]根据解扰后的比特状态不平衡性，以统计概率分布和均匀分布间的修正平方欧几里得距离为准则，完成了自同步扰码的识别。文献[12,13]分别提出了基于卷积码和RS码的自同步扰码盲识别。以上方法都是采用硬判决加扰序列进行盲识别的，但是通常截获的扰码序列都为调制信息和信道噪声的软信息序列，因此以上算法普遍存在低信噪比下识别率低的问题。软判决信息由于含有可靠度信息，近几年在编码识别领域的应用取得了较好效果^[14-16]。文献[17]采用了硬判决和软判决相结合的方法，采用软判决度量过程中，算法采用了简单的近似处理，其算法性能在低信噪比条件下仍然具有较大的损失。同时未设置相应的判别门限。从现有算法来看，低信噪比下自同步扰码的识别性能还有待进一步提高。

针对现有算法在低信噪比下识别率较低的缺点，本文提出一种低信噪比下自同步扰码的盲识别算法。该算法首先根据扰码的信源不平衡性和解扰原理，构造满足扰码约束关系的校验方程。然后将接收到的软判决序列转化为信息码元的后验概率序列，遍历可能的生成多项式。在校验过程中，引入余弦符合度，该符合度能较好地反映校验方程成立的概率。利用错误解扰时的随机序列和正确解扰时的不平衡序列在平均余弦符合度下的统计特性差异，设立相应的判决门限，完成对生成多项式的识别。与以往方法相比，提出的算法在低信噪比下的识别性能得到了较大的提升。

2. 自同步扰码原理和模型描述

自同步扰码的加扰和解扰过程的基础单元为LFSR，通过将信源序列 ${x_k}$ 和反馈逻辑的输出 ${s_k}$ 进行模二求和，得到扰码序列 ${y_k}$ 。加扰过程和LFSR反馈结构如图1所示。

图 1 自同步扰码加扰器结构

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加扰过程可以表示为

${y_k} = {x_k} \oplus \sum\limits_{i = 1}^L { \oplus {c_i}{y_{k - i}}}$

(1)

其中， $\displaystyle\sum \oplus$ 表示模2累加。 ${c_i} \in {\rm{GF}}(2),i = 1,2, \cdots ,L$ 为LFSR的反馈系数， ${\rm{GF}}(2)$ 表示2元域， ${c_i}$ 的取值为0或1， ${c_1}{\rm{ = }}{c_L} = 1$ 。扰码的生成多项式可以表示为

$f(x) = 1 + {c_1}x + {c_2}{x^2} + \cdots + {c_L}{x^L}$

(2)

扰码的解扰过程如图2所示。

图 2 自同步扰码解扰

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解扰过程表达式为

${x_k} = {y_k} \oplus \sum\limits_{i = 1}^L { \oplus {c_i}{y_{k - i}}} {\rm{ = }}\sum\limits_{i = 0}^L { \oplus {c_i}{y_{k - i}}}$

(3)

实际的通信系统信息传输中，截获的扰码序列是加扰序列经过调制和信道传输后的信息序列，在调制过程中会进行相应的映射，信道传输过程中会不可避免地混入噪声。因此本文研究的自同步扰码的模型如图3所示。

图 3 自同步扰码模型

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模型表达式可以表示为

${r_k} = {z_k} + {n_k}$

(4)

其中， ${z_k}$ 为 ${y_k}$ 调制后的调制信息序列， ${n_k}$ 为信道噪声。有偏信源中 $P({x_k} = 0) = {1 / 2} + \varepsilon$ ， $\varepsilon$ 通常取值为0.05或0.1。本文假设接收到的扰码序列采用BPSK调制，信号幅度为 $A$ ，噪声为均值为0，方差为 ${\sigma ^2}$ 的高斯白噪声。信噪比定义为

${\rm{SNR}} = 10 {\lg}\left(\frac{{{A^2}}}{{2{\sigma ^2}}}\right)$

(5)

对于接收方来说，截获的信息序列为 ${r_k}$ ，需要获取的信息序列为 ${x_k}$ ，此时，需要已知生成多项式系数 ${c_i}$ 以完成发送信源序列的恢复。自同步扰码的识别问题即为根据接收到的信息序列 ${r_k}$ 识别出生成多项式 ${c_i}$ 的过程。在实际通信中，自同步扰码使用的LFSR阶数绝大多数为3～100阶，并且其生成多项式多为稀疏多项式，自同步扰码由于误码扩散率和生成多项式的项数成正比，因此一般都是用2项式或3项式^[11]。本文的算法也建立在此基础上。

3. 自同步扰码生成多项式的盲识别

3.1 余弦符合度的建立

由式(3)可知，正确解扰的情况下，当输入信息为0时，有表达式(6)成立

${y_k} \oplus \sum\limits_{i = 1}^L { \oplus {c_i}{y_{k - i}}} {\rm{ = }}\sum\limits_{i = 0}^L { \oplus {c_i}{y_{k - i}}} {\rm{ = }}0$

(6)

输入信息为1时，有表达式(7)成立

${y_k} \oplus \sum\limits_{i = 1}^L { \oplus {c_i}{y_{k - i}}} {\rm{ = }}\sum\limits_{i = 0}^L { \oplus {c_i}{y_{k - i}}} {\rm{ = 1}}$

(7)

综合式(6)和式(7)，解扰过程可以转化为如式(8)所示的方程组

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ {y_1} \\ \end{gathered} &\begin{gathered} \cdots \\ \cdots \\ \ddots \\ {y_1} \\ {y_2} \\ \end{gathered} &\begin{gathered} 0 \\ {y_1} \\ \vdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \end{gathered} &\begin{gathered} {y_1} \\ {y_2} \\ \vdots \\ {y_L} \\ {y_{L + 1}} \\ \end{gathered} \\ {{y_2}}&{{y_3}}& \cdots &{{y_{L + 2}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{y_{{N_s} - L}}}&{{y_{{N_s} - L + 1}}}& \cdots &{{y_{{N_s}}}} \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {c_L} \\ {c_{L - 1}} \\ \end{gathered} \\ \vdots \\ {{c_1}} \\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {x_2^{}} \\ \vdots \\ {{x_{{N_s}}}} \end{array}} \right]$

(8)

其中， ${N_s}$ 为截获的扰码序列长度， $L$ 为生成多项式阶数。

此时根据式(8)构造校验方程为

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ {y_1} \\ \end{gathered} &\begin{gathered} \cdots \\ \cdots \\ \ddots \\ {y_1} \\ {y_2} \\ \end{gathered} &\begin{gathered} 0 \\ {y_1} \\ \vdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \end{gathered} &\begin{gathered} {y_1} \\ {y_2} \\ \vdots \\ {y_L} \\ {y_{L + 1}} \\ \end{gathered} \\ {{y_2}}&{{y_3}}& \cdots &{{y_{L + 2}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{y_{{N_s} - L}}}&{{y_{{N_s} - L + 1}}}& \cdots &{{y_{{N_s}}}} \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {c_L} \\ {c_{L - 1}} \\ \end{gathered} \\ \vdots \\ {{c_1}} \\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}} \right]$

(9)

当遍历的多项式 ${f_k}(x)$ 为正确的生成多项式时，解扰序列就是加扰前的序列，因此解扰序列 ${x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{Ns}}$ 为 $0,\,1$ 不平衡序列，此时校验方程组中方程成立的个数和方程不成立的个数不均衡；当遍历的多项式 ${f_k}(x)$ 不是正确的生成多项式时，假设自同步扰码多项式为 ${f_m}(x) = {x^r} + {x^m} + 1,m = 1,2, \cdots ,$ $r - 1, \cdots, - \infty ,m \ne k$ ，则有式(10)成立

$\begin{split} {x_j} =\,& {y_j} \oplus {y_{j - k}} \oplus {y_{j - r}} \\ =\,& ({\hat x_j} \oplus {y_{j - m}} \oplus {y_{j - r}}) \oplus {y_{j - k}} \oplus {y_{j - r}} \\ =\,& {\hat x_j} \oplus {y_{j - m}} \oplus {y_{j - k}} \\ \end{split}$

(10)

其中， ${\hat x_j}$ 为加扰前的序列。

由加扰序列的白化性可知^[9]： $P(({y_{j - m}} \oplus {y_{j - k}})$ $= 1) = {1 / 2}$ ，进而推导得到

$\begin{split} P({x_j} = 1) =\,& P(({\hat x_j} \oplus {y_{j - m}} \oplus {y_{j - k}}) = 1) \\ \approx \,&{1 / 2} \cdot (1 - p) + (1 - {1 / 2})p \\ = \,&{1 / 2} \end{split}$

(11)

因此，解扰序列 ${x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{Ns}}$ 为 $0,1$ 趋于平衡的随机序列，此时校验方程组中方程成立的个数和不成立的个数近似相等。

传统的自同步扰码的识别方法主要采用硬判决扰码序列或者软硬判决相结合的方式。这些方法忽略了软判决中的可靠度信息，在复杂的信道环境中性能较差。为了尽可能利用来自信道的调制和噪声等信息，本文采用直接截获的软判决序列，完成生成多项式的识别。为了方便说明，将校验方程的第 $k$ 行单独列出讨论，即

$\sum\limits_{l = 1}^{L + 1} {{y_{k,l}}} \cdot {c_{L - l}} = 0$

(12)

其中， $1 \le k \le {N_s}$ 。

为了衡量方程成立的可能性大小，建立余弦符合度为

$F(k) = \mathop \prod \limits_{l = 0}^L \cos (\pi \cdot P({y_{k,l}}|{r_{k,l}}) \cdot {c_{L - l}})$

(13)

其中， ${y_{k,0}},{y_{k,1}}, \cdots ,{y_{k,l}}$ 为硬判决序列，对应的获取到的软判决序列为 ${r_{k,0}},{r_{k,1}}, \cdots ,{r_{k,l}}$ ，记 $P({y_{k,l}}|{r_{k,l}})$ 为截获扰码软判决序列为 ${r_{k,l}}$ 的条件下，硬判决序列 ${y_{k,l}}$ 取1的概率。

当 $P({y_{k,l}}|{r_{k,l}}) \cdot {c_{L - l}} < 0.5$ 时， ${y_{k,l}} \cdot {c_{L - l}}$ 取 $0$ 的概率大，此时余弦符合度为正值；当 $P({y_{k,l}}|{r_{k,l}}) \cdot {c_{L - l}} > 0.5$ 时， ${y_{k,l}} \cdot {c_{L - l}}$ 取1的概率大，此时余弦符合度为负值。因此当校验方程成立时，式(12)等于0，式(12)中模2加等于1的个数为偶数个，此时对应的 $F(k)$ 为正值；当校验方程不成立时，式(12)等于1，式(12)中模2加等于1的个数为奇数个，此时对应的 $F(k)$ 为负值。式(13)中后验概率 $P({y_{k,l}}|{r_{k,l}})$ 的推导如下。

假设截获的加扰软判决为 ${r_{k,l}}$ ，对应的硬判决扰码为 ${y_{k,l}}$ ， ${y_{k,l}}$ 的条件概率密度可以表示为

$P({r_{k,l}}|{y_{k,l}} = 0) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}{{\rm{e}}^{{{ - {{({r_{k,l}} + A)}^2}} / {(2{\sigma ^2})}}}}$

(14)

$P({r_{k,l}}|{y_{k,l}} = 1) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}{{\rm{e}}^{{{ - {{({r_{k,l}} - A)}^2}} / {(2{\sigma ^2})}}}}$

(15)

根据贝叶斯公式可知

$P({y_{k,l}}|{r_{k,l}}) = \frac{{P({r_{k,l}}|{y_{k,l}} = 1) \cdot P({y_{k,l}} = 1)}}{{P({r_{k,l}})}}$

(16)

其中， $P({r_{k,l}})$ 可以表示为

$\begin{split} P({r_{k,l}}) =\,& P({r_{k,l}}|{y_{k,l}} = 1) \cdot P({y_{k,l}} = 1) \\ & + P({r_{k,l}}|{y_{k,l}} = 0) \cdot P({y_{k,l}} = 0) \end{split}$

(17)

由于没有先验信息，此时令 $P({y_{k,l}} = 0) =$ $P({y_{k,l}} = 1) = 0.5$ ，由式(14)—式(17)可以得到

$\begin{gathered} P({y_{k,l}}|{r_{k,l}}) = \frac{{{{\rm{e}}^{{{2A \cdot {r_{k,l}}} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2A \cdot {r_{k,l}}} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}} \end{gathered}$

(18)

将式(18)代入式(13)可以得到余弦符合度的表达式为

$F(k) = \mathop \prod \limits_{l = 0}^L \cos \left(\pi \cdot \frac{{{{\rm{e}}^{\frac{{2A \cdot {r_{k,l}}}}{{{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{\frac{{2A \cdot {r_{k,l}}}}{{{\sigma ^2}}}}} + 1}} \cdot {c_{L - l}}\right)$

(19)

由式(19)可知，当校验方程式(12)成立时，对应的解扰信息为0，0与SNR成正比，SNR越大， $F(k)$ 越趋近于1；当校验方程不成立时，对应的解扰信息为0， $F(k)$ 与SNR成反比，SNR越大， $F(k)$ 越趋近于–1。此时考虑式(9)中所有的校验方程，对余弦符合度取统计平均，得到平均余弦符合度为

$\overline F = \frac{1}{{{N_s}}}\sum\limits_{k = 1}^{{N_s}} {F(k)}$

(20)

当遍历的多项式为生成多项式时，解扰序列的 $0,1$ 比例不均衡，此时 $F(k),k = 0,1, \cdots ,{N_s}$ 中取正值和取负值的比例不均衡，解扰序列中0多于1时， $\overline F$ 为正值；解扰序列中1多于0时， $\overline F$ 为负值，且信噪比越大， $\overline F$ 越趋近于1或–1。当遍历的多项式不是扰码的生成多项式时，解扰序列的 $0,1$ 比例均衡，为随机序列。此时 $F(k),k = 0,1, \cdots ,{N_s}$ 中取正值和取负值的比例均衡， $\overline F$ 值在0附近徘徊。以此为依据可以判定遍历的多项式是否为扰码的生成多项式。

3.2 判别门限的求解

对于平均余弦符合度的统计特性，需要引入相应的判别门限以完成生成多项式的识别。

记 $G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_L}}&{{c_{L - 1}}}& \cdots &{{c_1}}&1 \end{array}} \right]$ ，设其中等于1的抽头个数为 $m$ ，对应的抽头位置集合为 ${G_1} =$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_L}}&{{c_n}}& \cdots&{{c_1}}&1 \end{array}} \right]$ ，此时参与校验方程的加扰硬判决序列为： $\left[ {{y_{k,1}}}\ \ {{y_{k,L - n + 1}}}\ \ \cdots \ \ {{y_{k,L}}}\ \ {{y_{k,L + 1}}} \right]$ 。

当校验方程成立时，参与校验方程的加扰硬判决序列 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{k,1}}}&{{y_{k,L - n + 1}}}& \cdots &{{y_{k,L}}}&{{y_{k,L + 1}}} \end{array}} \right]$ 中码元1模2加等于0，此时对应的码元1的个数为偶数个，此时所有可能的组成情况可表示为

${V_{k,0}} = \sum\limits_{j = 0}^{\left\lfloor {m/2} \right\rfloor } {C_m^{2j}}$

(21)

其中， $\left\lfloor {} \right\rfloor$ 表示向下取整， $C_m^n = \dfrac{{n \cdot (n - 1) \cdots (n - m + 1)}}{{m \cdot (m - 1) \cdots1}}$ 。

根据均值和方差的定义，对每种可能情况的均值和方差取统计平均，结果为

$\begin{split} \,{\mu _{k,0}} =\,& \sum\limits_{j = 0}^{\left\lfloor {{m / 2}} \right\rfloor } {\frac{{C_m^{2j}}}{{{V_{k,0}}}}} \\ & \cdot{\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\cos \left( {\frac{{\pi \cdot {{\rm{e}}^{{{2Ax} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2Ax} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}}} \right)} \cdot p\left( {r|y = 1} \right){\rm{d}}x} \right)^{2j}} \\ & \cdot {\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\cos \left( {\frac{{\pi \cdot {{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}}} \right) \cdot p\left( {r|y = 0} \right){\rm{d}}x} } \right)^{m - 2j}}\\[-23pt] \end{split}$

(22)

$\begin{split} \,\sigma _{k,0}^2 =\,& \sum\limits_{j = 0}^{\left\lfloor {{m / 2}} \right\rfloor } {\frac{{C_m^{2j}}}{{{V_{k,0}}}}} \\ & \cdot {\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( {\cos \left( {\frac{{\pi \cdot {{\rm{e}}^{{{2Ax} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2Ax} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}}} \right)} \right)}^2} \cdot p\left( {r|y = 1} \right){\rm{d}}x} } \right)^{2j}} \\ & \cdot {\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( {\cos \left( {\frac{{\pi \cdot {{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}}} \right)} \right)}^2} \cdot p\left( {r|y = 0} \right){\rm{d}}x} } \right)^{m - 2j}}\\ &- \mu _{k,0}^2\\[-10pt] \end{split}$

(23)

当校验方程不成立时，参与校验方程的加扰硬判决序列 $\left[ {{y_{k,1}}}\ \ {{y_{k,L - n + 1}}}\ \ \cdots \ \ {{y_{k,L}}}\ \ {{y_{k,L + 1}}} \right]$ 中码元1模2加等于1，此时对应的码元1的个数为奇数个，所有可能的组成情况可表示为

${V_{k,1}} = \sum\limits_{j = 0}^{\left\lfloor {m/2} \right\rfloor } {C_m^{2j - 1}}$

(24)

根据均值和方差的定义，对每种可能情况的均值和方差取统计平均，结果为

$\begin{split} \,{\mu _{k,1}} =\,& \sum\limits_{j = 0}^{\left\lfloor {{m / 2}} \right\rfloor } {\frac{{C_m^{2j - 1}}}{{{V_{k,1}}}}} \\ & \cdot {\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\cos \left( {\frac{{\pi \cdot {{\rm{e}}^{{{2Ax} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2Ax} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}}} \right)} \cdot p\left( {r|y = 1} \right){\rm{d}}x} \right)^{2j - 1}} \\ &\cdot {\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\cos \left( {\frac{{\pi \cdot {{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}}} \right) \cdot p\left( {r|y = 0} \right){\rm{d}}x} } \right)^{m - 2j + 1}} \end{split}$

(25)

$\begin{split} \,\sigma _{k,1}^2 =\,& \sum\limits_{j = 0}^{\left\lfloor {{m / 2}} \right\rfloor } {\frac{{C_m^{2j - 1}}}{{{V_{k,1}}}}} \\ & \cdot {\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( {\cos \left( {\frac{{\pi \cdot {{\rm{e}}^{{{2Ax} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2Ax} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}}} \right)} \right)}^2} \cdot p\left( {r|y = 1} \right){\rm{d}}x} } \right)^{2j - 1}} \\ & \cdot {\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( {\cos \left( {\frac{{\pi \cdot {{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}}} \right)} \right)}^2} \cdot p\left( {r|y = 0} \right){\rm{d}}x} } \right)^{m - 2j + 1}} \\ & - \mu _{k,1}^2\\[-10pt] \end{split}$

(26)

当遍历的多项式是扰码生成多项式时，校验方程成立的个数 ${l_0}$ 和不成立的个数 ${l_1}$ 符合信源不平衡度，即

$\frac{{{l_0}}}{{{l_1}}} = \frac{{0.5 + \varepsilon }}{{0.5 - \varepsilon }}$

(27)

当遍历的多项式不为生成多项式时，参与校验方程的加扰硬判决序列 $\left[ {{y_{k,1}}}\ \ {{y_{k,L - n + 1}}}\ \ \cdots \ \ {{y_{k,L}}}\ \ {{y_{k,L + 1}}} \right]$ 中码元1的个数奇偶随机，此时所有组成情况可表示为

${V_1} = \sum\limits_{j = 0}^m {C_m^j}$

(28)

根据均值和方差的定义，对每种可能情况的均值和方差取统计平均，结果为

$\begin{split} \,{\mu _1} =\,& \sum\limits_{j = 0}^m {\frac{{C_m^j}}{V}} \\ & \cdot {\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\cos \left( {\frac{{\pi \cdot {{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}}} \right)} \cdot p\left( {r|y = 1} \right){\rm{d}}x} \right)^j} \\ &\cdot {\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty { \cdot p\left( {r|y = 0} \right){\rm{d}}x} } \right)^{m - j}} \end{split}$

(29)

$\begin{split} \,\sigma _1^2 =\,& \sum\limits_{j = 0}^m {\frac{{C_m^j}}{{{V_1}}}} \\ & \cdot {\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( {\cos \left( {\frac{{\pi \cdot {{\rm{e}}^{{{2Ax} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2Ax} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}}} \right)} \right)}^2} \cdot p\left( {r|y = 1} \right){\rm{d}}x} } \right)^j} \\ & \cdot {\left( {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( {\cos \left( {\frac{{\pi \cdot {{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}}}}{{{{\rm{e}}^{{{2A \cdot x} / {{\sigma ^2}}}}} + 1}}} \right)} \right)}^2} \cdot p\left( {r|y = 0} \right){\rm{d}}x} } \right)^{m - j}} \\ & - \mu _1^2 \end{split}$

(30)

式(21)—式(30)中的积分表达式不存在解析解，为了完成快速运算和达到较高的计算精度，本文采用数值积分方式进行求解。

首先给出以下两种假设检验：

${H_0}:$ 遍历的多项式不是自同步扰码生成多项式；

${H_1}:$ 遍历的多项式是自同步扰码生成多项式。

根据大数定律可知，当截获的扰码序列长度 ${N_s}$ 较大，遍历的多项式不是自同步扰码生成多项式时， $\overline F$ 服从均值为 ${\mu _2}$ ，方差为 $\sigma _2^2 = {{\sigma _1^2} / {{N_s}}}$ 的高斯分布，在非生成多项式的情况下，均值 $\mu$ 的上下浮动会降低生成多项式的检测性能，因此，适当提升 ${H_0}$ 假设中的均值，仍能保证检测性能^[18]，但是过度提升均值会导致算法所需数据量的增加，本算法令 ${\mu _2} = 1.5\sqrt {{{{\sigma ^2}} / {{N_s}}}}$ ，此时大部分(92%)的测试值在此范围内。

即

${H_0}:\overline F \sim {\rm N}({\mu _2},\sigma _2^2)$

(31)

同理，当遍历的多项式是自同步扰码生成多项式时， $\overline F$ 服从均值为 ${\mu _3}$ ，方差为 ${{\sigma _3^2 = {\sigma ^2}} / {{N_s}}}$ 的高斯分布，即

${H_1}:\overline F \sim {\rm N}({\mu _3},\sigma _3^2)$

(32)

其中， ${\mu _3} = (0.5 + \varepsilon ){\mu _{k,0}} + (0.5 - \varepsilon ){\mu _{k,1}}$ , $\sigma _3^2=$ ${(0.5 + \varepsilon )^2} \cdot \sigma _{k,0}^2 + {(0.5 - \varepsilon )^2} \cdot \sigma _{k,1}^2$

设判别门限为 $\varLambda$ ，虚警概率 ${P_{\rm{f}} }$ 和漏警概率 ${P_{\rm{n}}}$ 分别为

${P_{\rm{f}} } = \int\limits_\varLambda ^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } {\sigma _2}}}} {{\rm{e}}^{{{ - {{(y - {\mu _2})}^2}} / {\sigma _2^2}}}}{\rm{d}}x = 2\left[ {1 - \varPhi \left( {\frac{{\varLambda - \left| {{\mu _2}} \right|}}{{{\sigma _2}}}} \right)} \right]$

(33)

${P_{\rm{n}}} = \int\limits_{ - \infty }^\varLambda {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } {\sigma _3}}}} {{\rm{e}}^{{{ - {{(y - {\mu _3})}^2}} / {\sigma _3^2}}}}{\rm{d}}x = \varPhi \left( {\frac{{\varLambda - \left| {{\mu _3}} \right|}}{{{\sigma _3}}}} \right)$

(34)

在实际运用中，首先需要确定虚警概率 ${P_{\rm{f}}}$ ，然后根据式(33)得到判别门限为

$\varLambda = {\sigma _2}\left( {{\varPhi ^{ - 1}}\left( {1 - {{{P_{\rm{f}} }} / 2}} \right) + 1.5} \right)$

(35)

当 $\overline F > \varLambda$ 时，假设 ${H_1}$ 成立，判定遍历的多项式为生成多项式；反之，假设 ${H_0}$ 成立，判定遍历的多项式不为生成多项式。

3.3 算法识别步骤

基于余弦符合度的自同步扰码盲识别算法步骤如下：

步骤1　将截获的扰码软判决序列根据式(16)转化为后验概率序列；

步骤2　构造并储存2抽头和3抽头的3～100阶多项式；

步骤3　确定虚警概率 ${P_{\rm{f}} }$ ；

步骤4　遍历步骤2中的多项式，同时根据式(9)构造校验矩阵；

步骤5　根据式(19)和式(20)计算平均余弦符合度 $\overline F$ ；

步骤6　根据式(35)，计算判别门限 $\varLambda$ 。若 $\overline F \ge \varLambda$ ，则识别出生成多项式；否则跳转到步骤4，直到 $\overline F \ge \varLambda$ 。

4. 仿真验证

本节主要进行了如下的仿真验证：仿真1：给定虚警概率时，在固定信源下，得出平均余弦符合度和判别门限分布图；仿真2：截获扰码序列长度对识别性能的影响；仿真3：生成多项式阶数对识别性能的影响；仿真4：信源不平衡度对识别性能的影响；仿真5：与其他算法的对比。在不做特殊说明的情况下，以下仿真验证默认给定虚警概率 ${P_{\rm{f}}} = {10^{ - 3}}$ ，生成多项式为ITUV.34中使用的生成多项式： $f(x) = 1 + {x^{18}} + {x^{23}}$ ，蒙特卡罗仿真次数为1000次。

4.1 验证算法的有效性

${\rm{SNR}} = 6\;{\rm{dB}}$ ，在信源不平衡度 $\varepsilon = 0.1$ ，截获扰码数据 ${N_s} = 1000$ 和 $\varepsilon = 0.05,\,{N_s} = 3000$ 两种情况下，遍历所有多项式后，统计量和遍历多项式以及判别门限分布图分别如图4(a)和图4(b)所示。

图 4 统计量和判别门限关系图

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从图4可以看出，遍历的多项式正确时，统计量有一个明显的突出谱线，且遍历正确时，平均余弦符合度谱线明显高于判别门限；遍历错误时，平均余弦符合度谱线低于判别门限。因此本文所提算法能有效识别生成多项式。

4.2 截获的扰码序列长度对算法的影响

仿真设定的截获的扰码序列信源不平衡度分别为0.1和0.05。在 $\varepsilon = 0.1$ 时设定截获的扰码序列长度分别为400, 600, 800, 1000；在 $\varepsilon = 0.05$ 时设定截获的扰码序列长度分别为1500, 2000, 2500, 3000；信噪比范围为–1～10 dB，间隔1取值。统计在不同的信噪比情况下，截获扰码序列长度与生成多项式正确识别率的关系，结果如图5(a)和图5(b)所示。

图 5 截获扰码序列长度对算法识别率的影响

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从图5可以看出，通过增加截获的扰码序列长度可以明显提高算法的识别率。当信源不平衡度较低时，可以通过增加扰码序列长度来克服由于 $\varepsilon$ 下降造成的算法识别性能下降。从仿真结果可以看出，算法在低信噪比下识别性能较好。在 $\varepsilon = 0.1$ ，截获扰码数据为800，以及 $\varepsilon = 0.05$ ，截获扰码数据为3000，信噪比为2dB的情况下，生成多项式的识别率能达到90%以上。

4.3 生成多项式阶数对算法性能的影响

在不同阶数生成多项式情况下验证算法的性能。分别采用8阶生成多项式： $f(x) = 1 + {x^2} + {x^8}$ ，23阶生成多项式： $f(x) = 1 + {x^{18}} + {x^{23}}$ 和31阶生成多项式： $f(x) = 1 + {x^{11}} + {x^{31}}$ 。信源不平衡度 $\varepsilon {\rm{ = }}0.1$ ，生成的扰码序列长度为600时，信噪比范围为–1～10 dB，间隔1取值。统计在不同信噪比情况下，生成多项式阶数与算法正确识别率之间的关系，结果如图6所示。

图 6 生成多项式阶数对算法识别率的影响

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从图6中可以看出，相同截获序列长度和 $\varepsilon$ 下，同一信噪比时，生成多项式的阶数越低，算法的识别率越高。且三者的识别率均随信噪比的提升而升高，阶数越低，算法识别率越早达到100%。在信噪比为4 dB时，算法的正确识别率均能达到90%以上，具有较好的多项式阶数容错性能。

4.4 信源不平衡度对算法性能的影响

为了验证信源不平衡度对算法性能的影响。采用23阶生成多项式： $f(x) = 1 + {x^{18}} + {x^{23}}$ ，序列长度2500，信源不平衡度取值0.04, 0.06, 0.08。信噪比范围为–1～10 dB，间隔1取值。统计在不同信噪比下信源不平衡度与算法正确识别率的关系，结果如图7所示。

图 7 信源不平衡度对算法识别率的影响

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从图7中可以看出，在相同信噪比下，随着 $\varepsilon$ 的增大，算法的正确识别率得到了提高，信源越不平衡，算法的识别率越高。随着信噪比的增大， $\varepsilon$ 越大，算法识别率越快达到100%。

4.5 与其他算法的对比

与本文算法进行对比的是基于比特不均衡算法^[11]，Walsh软判决算法^[17]和Cluzeau算法^[8]。其中Cluzeau算法需要知道信源不平衡度，仿真该算法时 $\varepsilon$ 已知。假设首先对这4种算法的容错性能进行对比，设定生成多项式： $f(x) = 1 + {x^{18}} + {x^{23}}$ ，截获序列长度分别为800， $\varepsilon {\rm{ = }}0.1$ 和3000, $\varepsilon {\rm{ = }}0.05$ 。信噪比范围为–1～10 dB，间隔1取值。通过蒙特卡罗仿真实验，统计在不同信噪比下4种算法的正确识别率，结果如图8(a)和图8(b)所示。

图 8 4种算法的容错性能对比

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从图8中可以看出，本文所提算法在低信噪比约有1～2 dB的信噪比增益。主要原因是本文较好利用软判决序列构造符合度，极大利用了软序列中的信息可靠度。在低信噪比条件下性能提升较为明显。

其次，对这4种算法的复杂度进行了比较。假设截获的扰码序列长度为 $N$ ，扰码多项式的项数为 $d$ ，扰码多项式阶数为 $L$ ，遍历的多项式个数为 $S$ 。本文算法的计算复杂度主要集中在余弦符合度的计算上，第1次遍历多项式的过程中，需要进行 $d$ 次余弦运算， $d$ 次乘法运算和 $N$ 次加法运算。为方便分析，将1次余弦运算等效为3次乘法运算，因此遍历1次多项式需要进行 $4d$ 次乘法运算和 $N$ 次加法运算。考虑到最差的情况，遍历到最后一个多项式才识别出生成多项式，则最大计算量为 $4Sd$ 次乘法运算和 $SN$ 次加法运算。比特不均衡算法比特状态间隔为 $L$ ，一次遍历需要进行 $N - L$ 次比特操作，故需要 $(N - L) \cdot S$ 次比特运算。Walsh软判决算法计算复杂度主要集中在Hadamard变换部分，共需要 ${2^{L + 1}}(L + 1) \cdot S$ 次乘法运算和 $SN$ 次加法运算；Cluzeau算法1次遍历时遍历部分的计算量为 $1/{\varepsilon ^2}$ 次乘法和 $N - L$ 次模二和运算(等效为加法运算)，总计算量为 $S/{\varepsilon ^2}$ 乘法运算和 $S(N - L)$ 次加法运算。 $\varepsilon$ 越小，文献[8]的算法复杂度越大。文献[18]的算法复杂度随着扰码阶数 $L$ 的增加呈指数增加，算法复杂度远大于本文算法。虽然本文算法复杂度较文献[12]略有提升，但是本文算法复杂度在可承受范围内，同时识别性能和算法容错性得到了较大的改善。

5. 结论

本文首先利用自同步扰码解扰原理和信源的不平衡性，构建出了符合自同步扰码约束关系的校验方程，然后引入平均余弦符合度，将校验方程成立的可能性以概率的形式表示，当遍历正确的多项式和遍历错误的多项式时，平均余弦符合度服从不同的分布；最后通过分析平均余弦符合度的统计特性设立最优的判别门限，完成生成多项式的识别。本文算法在低信噪比下的适应性能较好，具有较好的识别性能和算法容错性，同时计算复杂度低于传统的Walsh和Cluzeau等算法，在非合作通信领域具有较强的工程实用性。

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