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一种高分辨率的最大嫡谱估计算法

黄勇 彭应宁 王秀坛

黄山, 朱士信, 李锦. 一种三元线性补对偶码的构造方法[J]. 电子与信息学报, 2023, 45(1): 353-360. doi: 10.11999/JEIT211235
引用本文: 黄勇, 彭应宁, 王秀坛. 一种高分辨率的最大嫡谱估计算法[J]. 电子与信息学报, 2001, 23(5): 439-446.
HUANG Shan, ZHU Shixin, LI Jin. A Method for Constructing Ternary Linear Complementary Dual Codes[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2023, 45(1): 353-360. doi: 10.11999/JEIT211235
Citation: Huang Yong, Peng Yingning, Wang Xiutan. A KIND OF MAXIMUM ENTROPY SPECTRAL ESTIMATION ALGORITHM WITH HIGH RESOLUTION[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2001, 23(5): 439-446.

一种高分辨率的最大嫡谱估计算法

A KIND OF MAXIMUM ENTROPY SPECTRAL ESTIMATION ALGORITHM WITH HIGH RESOLUTION

  • 摘要: 经典的基于Yule-Walker等式的最大熵方法Levinson-Durbin递推算法,忽略了数据的自相关序列估计值代替理论值时的误差,因而降低了算法性能。为了减小该误差的影响,提出一种新的最大熵算法。该算法在计算过程中利用了一些现有算法的思路,来提高谱估计的性能并减小计算量。计算机模拟结果证明,这种新算法的估计性能远高于Levinson-Durbin算法。与同样具有高性能的LUD(Lower and Upper triangular matrix Decomposition)算法相比,在低信噪比时新算法的分辨率更高,高信噪比时,二者性能则相似。
  • 线性补对偶(Linear Complementary Dual, LCD)码是一类具有特殊结构的线性码,它由Massey[1]引入并用于解决数据的有效存储。1992年,Massey[2]证明LCD码为双用户加法器信道提供了一种最佳的线性编码方案。2014年,Bringer等人[3]将2元LCD码用于抵抗侧信道攻击和错误注入攻击。2016年,Carlet和Guilley[4]q元LCD码用于抵抗侧信道攻击和错误注入攻击,并给出了几种LCD码的构造方法。鉴于LCD码在抵御侧信道攻击和错误注入攻击方面的重要应用,LCD码的研究是一项重要的工作。2017年,Li等人[5,6]构造了循环LCD码,并确定了它们的参数。2018年,Sok等人[7]利用正交群、码的扩展和矩阵积码构造了大域上LCD码。2019年,Liu等人[8]利用有限域上典型群构造了LCD码。2021年,Shi等人[9]利用有限域上托普利兹矩阵构造了LCD码。最近,唐春明等人[10]总结了有限域上LCD码的一些主要成果和进展,并提出了此研究领域的一些未解决的重要问题。与此同时,有限域上LCD极大距离可分(Linear Complementary Dual Maximum Distance Separable, LCD MDS)码的构造也得到了深入的研究。最近,金玲飞等人[11]总结了有限域上LCD MDS码的一些主要成果和进展。除此之外,有限环上LCD码的构造也得到了深入的研究[12-15]

    2018年,Carlet等人[16]证明:给定参数为[n,k,d]q元线性码,当q>3时,存在一个与其等价的具有相同参数的q元LCD码。此后,2元和3元LCD码的构造受到重点关注。2017年,Rao等人[17]利用循环码构造了一些参数好的2元LCD码。2018年,Seneviratne和Melcher[18]利用几何的方法分别构造了一类2元和3元LCD码。2019年,Zhou等人[19]利用定义集方法构造了参数优的2元LCD码。Carlet等人[20]利用正交或辛基刻画了2元LCD码并研究了2元LCD码的最小距离。Galindo等人[21]利用J-仿射变种码的子域子码,构造了参数好的2元和3元LCD码。Li等人[22]利用定义集方法构造了参数优的3元LCD码。Liu等人[23]确定了几类长度为2m+1的2元线性补BCH(Linear Complementary Dual Bose Chaudhuri Hocquenghem, LCD BCH)码的参数。2020年,Wu等人[24]利用单纯复形构造了参数优的2元LCD码。Huang等人[25]构造了一类长度为2m1的LCD BCH码并研究了这类码的参数。Lu等人[26]利用拓展、截断和组合等方法,构造了参数好的3元LCD码。2021年,Bouyuklieva[27]研究了2元LCD码的性质及其最大极小重量的界。Araya等人[28]给出了2元和3元LCD码的最大极小重量的一个刻画,并分类了小维数的最优2元和3元LCD码。Harada[29]给出了2元和3元LCD码的两种构造方法,并改进了这两类LCD码的最大极小重量的界。Araya等人[30]分别确定了维数为5的2元LCD码和维数为4的3元LCD码的最大极小重量。2022年,Liu等人[31]利用矩阵积码,构造了渐近好的2元和3元LCD码。Huang等人[32]确定了一些3元长度为3m1的LCD BCH码的重量分布。最近,李平等人[33]利用定义集方法构造了一些参数优的3元LCD码。从研究现状分析,构造参数好的3元LCD码是一个有趣的问题。

    本文利用环F3+uF3(u2=0)上循环码的Gray象构造3元LCD码。环F3+uF3是一类有限链环。Dinh等人[34]确定了有限链环上循环码的代数结构。Norton等人[35]证明有限链环上线性码的Hamming距离等于其最高阶挠码的Hamming距离。张付丽等人[36]确定了环Fq+uFq上循环码的剩余码和挠码的结构,并将其应用于构造量子码,其中u2=0q是一个素数幂。本文通过引入(F3+uF3)nF2n3的等距Gray映射,利用环F3+uF3上长度为n的循环码的Gray象,构造了几类长度为2n的参数好的3元LCD码。

    R是一个有限链环,Rn表示环Rn-元组构成的R-模,其中n为正整数。Rn的每个非空子集C称为环R上长度为n的码,C中每个n-元组称为码字。如果CRnR-子模,则称C是环R上长度为n的线性码。特别地,当R=F3时,域F3上线性码又称作3元线性码。设x=(x0,x1,,xn1)Rn

    y=(y0,y1,,yn1)Rn (1)

    x的Hamming重量定义为wtH(x)=|{i|xi0,0in1}|xy的Hamming距离定义为

    distH(x,b)=wtH(xy) (2)

    C的Hamming距离定义为d(C)=min{distH(x,y)|x,yC,xy}。容易验证,当C是环R上长度为n的线性码时,d(C)=min{wtH(x)|xC,x0},其中0表示分量全为0的n-元组。环R上长度为n、Hamming距离为d的线性码称作环R(n,M,d)线性码,其中M表示C的势。特别地,当R=F3时,域F3(n,M,d)线性码又称作3元[n,k,d]线性码,其中k=dim(C)=log3M。在Rn上,n-元组xy的内积定义为xy=x0y0+x1y1++xn1yn1。码C的对偶码定义为C={xFn3|xy=0,yC}。如果CC={0},则称C是环R上长度为n的LCD码。

    C是环R上长度为n的线性码,如果对任意(c0,c1,,cn1)C,恒有(cn1,c0,,cn2)C,则称C是环R上长度为n的循环码。定义

    ψ:RnM=R[x]/R[x](xn1)(xn1),(c0,c1,,cn1)c0+c1x++cn1xn1 (3)

    ψ(C)={ψ(c)|cC}。本文将C等同于ψ(C),则C是环R上长度为n的循环码当且仅当C是商环M的理想。当R=F3时,商环M是一个主理想环。因此,存在xn1的首一因子g(x)使得C=(g(x)),并且码C的维数k=ndeg(g(x)),其中deg(g(x))表示多项式g(x)的次数。设f(x)=f0+f1x++ftxtF3[x],其中f0ft0f(x)的互反多项式定义为f(x)=f10xdeg(f(x))f(x1)。文献[1]给出了有限域上循环码是LCD码的充要条件。

    引理1[1] 设C=(g(x))是长度为n的3元循环码,其中g(x)|(xn1),则C是LCD码当且仅当g(x)=g(x)

    R=F3+uF3时,其中u2=0。易知R是一个以(u)为极大理想,剩余域为F3的有限链环。对于环R上长度为n的线性码C,存在两个与其相关的3元码:剩余码Res(C)={xFn3|yFn3,x+uyC}和挠码Tor(C)={xFn3|uxC}。由文献[35],剩余码Res(C)和挠码Tor(C)都是长度为n的3元线性码且|C|=|Res(C)||Tor(C)|。通常,商环M不是一个主理想环,因此环R上长度为n的循环码的代数结构较为复杂。当n与剩余域的特征互素时,文献[34]确定了有限链环上循环码的代数结构。将相关结果应用到环R上循环码,有如下结论。

    引理2[34] 设n是一个正整数且gcd(n,3)=1。设C是环F3+uF3上长度为n的循环码,则存在唯一的首一多项式f(x)h(x)使得C=(f(x)h(x),uf(x)),其中f(x)h(x)|(xn1)

    文献[36]研究了环Fq+uFq上循环码的挠码,其中u2=0q是一个素数幂。将相关结果应用到F3+uF3上循环码,有如下结论。

    引理3[36] 设n是一个正整数且gcd(n,3)=1。设C=(f(x)h(x),uf(x))是环F3+uF3上长度为n的循环码,其中f(x)h(x)F3上首一多项式且f(x)h(x)|(xn1)。则 Res(C)=(f(x)h(x))Tor(C)=(f(x))

    下文约定n是与3互素的正整数且R=F3+uF3,其中u2=0。首先引入环RF23的Gray映射。

    rR,则r=x+uy,其中x,yF3。定义RF23的Gray映射ϕϕ(r)=(y+x,yx)。元素r的Gray重量定义为

    wtG(r)={0,x=y=01,xy02, (4)

    映射ϕ可以按照自然的方式拓展到RnF2n3上,即

    ϕ:RnF2n3,(x0,x1,,xn1)(ϕ(x0),ϕ(x1),,ϕ(xn1)) (5)

    n元组x=(x0,x1,,xn1)Rn的Gray重量定义为

    wtG(x)=wtG(x0)+wtG(x1)++wtG(xn1) (6)

    两个n元组xy的Gray距离定义为distG(x,y)=wtG(xy)

    C是环R上长度为n的码,C的Gray距离定义为

    dG(C)=min{distG(x,y)|x,yC,xy} (7)

    容易验证,当C是线性码时,dG(C)=min{wtG(x)|xC,x0}。环R上长度为n、Gray距离为dG的线性码称作环R(n,M,dG)线性码,其中M表示C的势。

    R上长度为n的码C的Gray象定义为ϕ(C)={ϕ(c)|cC}。下面给出环R上线性码的Gray象的结构性质。

    定理1 设C是环R(n,M,dG)线性码,则

    (1) ϕ(C)是3元[2n,k,dG]线性码,其中k=log3M

    (2) 如果Res(C)CRes(C)Res(C)=Tor(C)Tor(C)={0},其中0表示长度为n的0向量。则ϕ(C)是长度为2n的3元LCD码。

    证明 (1) 容易验证,对任意的a,bF3,x,yRn,ϕ(ax+by)=aϕ(x)+bϕ(y)。因此,ϕ(C)是一个长度为2n的3元线性码。由Gray映射的定义,对任意x,yRn

    distG(x,y)=wtG(xy)=wtH(ϕ(xy))=wtH(ϕ(x)ϕ(y))=distH(ϕ(x),ϕ(y)) (8)

    因此,ϕ(C)的Hamming距离为dG。又因为ϕ是一个双射,故ϕ(C)是一个3元[2n,k,dG]线性码。

    (2) 设x+uyC,其中x,yFn3。由剩余码Res(C)的定义,xRes(C)。因为Res(C)C,所以xC。由此推出,uyC,故yTor(C)。因此,码C的任意一个码字都可以表示为x+uy,其中xRes(C), yTor(C)

    ϕ(x+uy)ϕ(C)ϕ(C),其中x=(x0,x1,,xn1)Fn3y=(y0,y1,,yn1)Fn3。一方面,设

    a=(a0,a1,,an1)Fn3 (9)

    Res(C)的任意一个码字,则ϕ(a)ϕ(C)。因为ϕ(x+uy)ϕ(C),所以

    ϕ(x+uy)ϕ(a)=n1i=0[(yi+xi)ai+(yixi)(ai)]=2n1i=0xiai=0 (10)

    n1i=0xiai=0。由此推出,xRes(C)Res(C),故x=0。另一方面,设

    b=(b0,b1,,bn1)Fn3 (11)

    Tor(C)的任意一个码字,则ϕ(ub)ϕ(C)。由ϕ(x+uy)ϕ(C)推出

    ϕ(x+uy)ϕ(ub)=n1i=0[(yi+xi)bi+(yixi)bi]=2n1i=0yibi=0 (12)

    n1i=0yibi=0。由此推出,yTor(C)Tor(C),即y=0。综上所述,ϕ(C)ϕ(C)={ˉ0},其中ˉ0表示长度为2n的0向量。 证毕

    下面利用环R上循环码的Gray象构造3元LCD码。为此给出两个重要的引理。

    引理4 设C=(f(x)h(x),uf(x))是环R上长度为n的循环码,其中f(x)h(x)F3上首一多项式且f(x)h(x)|(xn1)。则Res(C)CRes(C)Res(C)=Tor(C)Tor(C)={0}当且仅当f(x)=f(x)h(x)=h(x)

    证明 由引理3,Res(C)=(f(x)h(x))。因为f(x)h(x)C,所以Res(C)C。一方面,由引理1,Res(C)Res(C)={0}当且仅当(f(x)h(x))=f(x)h(x)。容易验证,(f(x)h(x))=f(x)h(x)。因此,(f(x)h(x))=f(x)h(x)等价于f(x)h(x)=f(x)h(x)。另一方面,由引理3,Tor(C)=(f(x))。由引理1,Tor(C)Tor(C)={0}当且仅当f(x)=f(x)。综合两方面,结论成立。 证毕

    引理5 设C=(f(x)h(x),uf(x))是环R上长度为n的循环码,其中f(x)h(x)F3上首一多项式且f(x)h(x)|(xn1)。则C的Gray距离dG满足:min{d1,2d2}dG2d2,其中d1d2分别是Res(C)Tor(C)的Hamming距离。

    证明 设c(x)=a(x)+ub(x)Cc(x)0。由引理4,Res(C)C,所以a(x)Res(C)b(x)Tor(C)。由Gray重量的定义

    wtG(c(x))=wtH((b(x)+a(x)|b(x)a(x)))=wtH(b(x)+a(x))+wtH(b(x)a(x)) (13)

    其中,(|)表示向量的级联。当a(x)=0时,b(x)0wtG(c(x))=2wtH(b(x))。由于b(x)Tor(C),所以wtG(c(x))2d2。当a(x)0时,注意到

    wtG(c(x))max{ wtH(a(x)),wtH(b(x))}d1 (14)

    因此,wtG(c(x))min{d1,2d2},即dGmin{d1,2d2}。特别地,因为Tor(C)的Hamming距离为d2,所以存在λ(x)Tor(C)使得wtH(λ(x))=d2。注意到uλ(x)CwtG(uλ(x))=2d2,因此,dG2d2。 证毕

    由引理4和引理5,利用环R上循环码可以构造如下参数的3元LCD码。

    定理2 设f(x)h(x)F3上首一多项式且使得f(x)h(x)|(xn1), f(x)=f(x)h(x)=h(x)。设d1d2分别是长度为n的3元循环码(f(x)h(x))(f(x))的Hamming距离。设C=(f(x)h(x),uf(x))是环R上长度为n的循环码,则ϕ(C)是3元[2n,2n2deg(f(x))deg(h(x)),d]LCD码,其中min{d1,2d2}d2d2

    证明 由引理3,Res(C)=(f(x)h(x))Tor(C)=(f(x))。当f(x)=f(x)h(x)=h(x)时,由引理4,Res(C)CRes(C)Res(C)=Tor(C)Tor(C)={0}。由定理1,ϕ(C)是长度为2n的LCD码。码ϕ(C)的维数

    k=log3|C|=log3(|Res(C)||Tor(C)|)=dim(Res(C))+dim(Tor(C))=ndeg(f(x)h(x))+ndeg(f(x))=2n2deg(f(x))deg(h(x)) (15)

    由引理5,码C的Gray距离dG满足min{d1,2d2}dG2d2。由定理1,码ϕ(C)的Hamming距离d=dG。综上所述,结论成立。 证毕

    下面利用定理2,构造4类参数好的3元LCD码。为此引入以下术语:设β是一个n次本原单位根,βF3上的极小多项式M(x)是以β为零点次数最低的首一多项式。3n的阶ordn(3)定义为使得3m1(modn)的最小正整数m。设ordn(3)=e,则M(x)=e1j=0(xβ3j)deg(M(x))=e。由互反多项式的定义,M(x)=e1j=0(xβ3j)。因此,M(x)=M(x)当且仅当存在0je1使得3j1(modn)

    定理3 设n是一个正整数且存在j使得3j1(modn)。设m是使得3m1(modn)的最小正整数。设β是一个n次本原单位根且M(x)βF3上的极小多项式。设C=((x1)M(x),u(x1))是环R上长度为n的循环码,则ϕ(C)是3元[2n,2n2m2,4]LCD码,且Res(C)是3元[n,n2m1,d4]LCD码。

    证明 显然,(x1)=x1。因为存在j使得3j1(modn),所以M(x)=M(x)。又因为m是使得3m1(modn)的最小正整数,所以ordn(3)=2m,即deg(M(x))=2m。由定理2,ϕ(C)是一个3元[2n,2n2m2]LCD码。由引理3,Res(C)=((x1)M(x)),则Res(C)是3元[n,n2m1]LCD码。下面讨论ϕ(C)Res(C)的Hamming距离。

    显然,Tor(C)=(x1)的Hamming距离d2=2。设d1Res(C)的Hamming距离。注意到3m1(modn),即β1M(x)的零点。进而,β1,β0,β(x1)M(x)的零点。由BCH界[37]d14。综合两方面,由定理2,ϕ(C)的Hamming距离d=4。 证毕

    由定理3,可以得到如下两类具体的LCD码。

    推论1 设n=3m+1,其中m为整数。设β是一个n次本原单位根且M(x)βF3上的极小多项式。设C=((x1)M(x),u(x1))是环R上长度为n的循环码,则ϕ(C)是3元[23m+2,23m2m,4]LCD码,且剩余码Res(C)=((x1)M(x))是3元[3m+1,3m2m,d4]LCD码。

    下面分析定理3构造的LCD码的性能。当[n,k,d]LCD码用于抵御侧信道攻击时,零偏移遮蔽对策是d1阶安全的。当[n,k,d]LCD码用于抵御错误注入攻击时,任何一个Hamming重量严格小于d的错误都可以被检测出来。因此,对固定的长度n和维数k,构造Hamming距离尽可能大的LCD码是一个重要的问题。对于[n,k,d]线性码,存在如下两个重要的界:

    (1) Hamming界[37](d1)/2i=0(ni)2i3nk,其中x表示不超过x的最大整数。

    (2) 当n2d是偶数时[38](d2)/2i=0(n1i)2i3n1k

    n=3m+1时,由Hamming界,长度为n、维数为n2m1的3元线性码的Hamming距离d6。由界(2),不存在3元[n,n2m1,6]线性码。因此,根据线性码的理论界,长度为n、维数为n2m1的3元线性码的Hamming距离d5。同理,由线性码的理论界,当n=2(3m+1)时,长度为n、维数为n2m2的3元线性码的Hamming距离d5。因此,推论1构造的两类LCD码的Hamming距离与理论界相差1,具有较好的参数。一方面,与线性码的理论界比较,定理3可以构造参数较好的LCD码。另一方面,与码表[39]比较,定理3可以构造已知参数最好的LCD码。下面给出几个具体的例子加以说明。

    例1 设βF32x2+1的一个零点,则β是一个4次本原单位根。设C=((x1)(x2+1),u(x1))是环R上长度为4的循环码。由推论1,ϕ(C)是3元[8,4,4]LCD码。一方面,不存在3元[8,4,d5]线性码,因此,ϕ(C)的Hamming距离达到了最大值。另一方面,不存在3元[8,k5,4]线性码,因此,ϕ(C)的维数达到了最大值。同时,不存在3元[n7,4,4]线性码,因此,ϕ(C)的长度达到了最小值。综合3方面,ϕ(C)是最优的3元LCD码。

    例2 设βF34x4+2x3+x2+2x+1的一个零点,则β是一个10次本原单位根。设

    C=((x1)(x4+2x3+x2+2x+1),u(x1)) (16)

    是环R上长度为10的循环码。由推论1,ϕ(C)是3元[20,14,4]LCD码,且Res(C)是3元[10,5,4] LCD码。因为不存在3元[20,14,d5]线性码,ϕ(C)的Hamming距离达到了最大值,所以ϕ(C)是最优的3元LCD码。由码表[39],长度为10维数为5的3元线性码的Hamming距离的最大值为5。因此,Res(C)是几乎最优的3元LCD码。

    例3 设βF36x6+2x5+2x3+2x+1的一个零点,则β是一个28次本原单位根。设

    C=((x1)(x6+2x5+2x3+2x+1),u(x1)) (17)

    是环R上长度为28的循环码。由推论1,ϕ(C)是3元[56,48,4]LCD码,且Res(C)是3元[28,21,4] LCD码。根据理论界,长度为56维数为48的3元线性码的Hamming距离d5。由码表[39],长度为56维数为48的3元线性码的Hamming距离的已知最大值为4。因此,ϕ(C)是已知参数最好的3元LCD码。同理,由码表[39],长度为28维数为21的3元线性码的Hamming距离的已知最大值为4。因此,Res(C)也是已知参数最好的3元LCD码。

    定理4 设n3m1的正因子且n>3m/2+1,其中m2为正整数。设β是一个n次本原单位根且M(x)βF3上的极小多项式。设C=((x1)M(x)M(x),u(x1))是环R上长度为n的循环码,则ϕ(C)是3元[2n,2n2m2,4]LCD码,且Res(C)是3元[n,n2m1,d4]LCD码。

    证明 设ordn(3)=e。因为n整除3m1,所以e整除m。当e<m

    0<3e13m/21<n (18)

    这与n整除3e1矛盾。因此,deg(M(x))=deg(M(x))=m。下面证明M(x)M(x)。假设M(x)=M(x),则β1M(x)的零点,其等价于存在0jm1使得13j(modn)。当0jm/2时,0<3j+13m/2+1<n,矛盾。当m/2+1jm1时,13j(modn)3mj3m1(modn)等价。同理,0<3mj+13m/21+1<n,矛盾。因此,Res(C)=((x1)M(x)M(x))Tor(C)=(x1)。与定理3类似可证,Tor(C)的Hamming距离d2=2Res(C)的Hamming距离d14。由定理2,ϕ(C)是3元[2n,2n2m2,4]LCD码。由引理1,Res(C)是3元[n,n2m1,d4]LCD码。 证毕

    由定理4,可以得到如下两类具体的LCD码。

    推论2 设n=3m1,其中m2为正整数。设β是一个n次本原单位根且M(x)βF3上的极小多项式。设C=((x1)M(x),u(x1))是环R上长度为n的循环码,则ϕ(C)是3元[23m2,23m2m4,4] LCD码,且Res(C)是3元[3m1,3m2m2,d4]LCD码。

    下面分析定理4构造的LCD码的性能。基于以上分析,对于抵御侧信道攻击和错误注入攻击,对固定的长度n和维数k,构造Hamming距离尽可能大的LCD码是一个重要的问题。当n=3m1时,由Hamming界,长度为n、维数为n2m1的3元线性码的Hamming距离d6。由界(2),不存在3元[n,n2m1,6]线性码。因此,根据线性码的理论界,长度为n、维数为n2m1的3元线性码的Hamming距离d5。同理,根据线性码的理论界,当n=2(3m1)时,长度为n、维数为n2m2的3元线性码的Hamming距离d5。因此,推论2构造的两类3元LCD码的Hamming距离与理论界相差1,具有较好的参数。一方面,与线性码的理论界比较,定理4可以构造参数好的LCD码。另一方面,与码表[39]比较,定理4可以构造已知参数最好的LCD码。下面给出两个具体的例子加以说明。

    例4 设βF32x2+2x+2的一个零点,则β8次本原单位根。显然,(x2+2x+2)=x2+x+2。设C=((x1)(x2+2x+2)(x2+x+2),u(x1))是环R上长度为8的循环码。由推论2,ϕ(C)是3元[16,10,4] LCD码,且Res(C)是3元 [8,3,4] LCD码。由码表[39],不存在3元[16,10,d5]线性码,因此ϕ(C)是最优的3元LCD码。同理,由码表[39],长度为8维数为3的3元线性码的Hamming距离的最大值为5。因此,Res(C)是几乎最优的3元LCD码。

    例5 设βF33x3+2x+1的一个零点,则β26次本原单位根。显然

    (x3+2x+1)=x3+2x2+1 (19)

    C=((x1)(x3+2x+1)(x3+2x2+1),u(x1))是环R上长度为26的循环码。由推论2,ϕ(C)是3元[52,44,4]LCD码,且Res(C)是3元[26,19,4] LCD码。由码表[39],长度为52维数为44的3元线性码的Hamming距离的已知最大值为4。因此,ϕ(C)是已知参数最好的3元LCD码。同理,由码表[39],存在3元[26,19,5]线性码。因此,Res(C)是几乎最优的3元LCD码。

    最后,将本文构造的3元LCD码与现有文献进行比较。文献[18]利用组合的方法构造了3元

    [(3m1)/2,m,3m1m] (20)

    LCD码。文献[21]利用J-仿射变种码的子域子码,构造了长度满足一定约束条件的3元LCD码。文献[22]利用定义集方法构造了几类LCD码。文献[26]构造了长度n20的3元LCD码。文献[33]利用定义集方法构造了Hamming距离为3的最优LCD码。通过比较发现,本文构造了新参数的3元LCD码。与线性码的理论界和码表比较,本文构造的4类3元LCD码具有较好的参数。

    本文通过引入RnF2n3的Gray映射,给出了环R上长度为n的循环码的Gray象是长度为2n的3元LCD码的充分条件。利用环R上循环码的Gray象,构造了4类参数好的3元LCD码。研究结果表明,本文提出的方法可以构造参数好的3元LCD码。分析本文构造的3元LCD码的编码与译码复杂度以及构造Hamming距离大于4的最优3元LCD码是进一步的研究问题。

  • A.Van Dem Bos,Alternative interpretation of maximum entropy spectral analysis,IEEE Transon Information Theory,1971,IT-17(4),493-494.[2]S.M.Kay,S.L.Marple,Spectrum analysis-A modern perspective,Proc.IEEE,1981,68(11),1380-1419.[3]S.L.Marple,A new autorgressive spectrum analysis algorithm,IEEE Trans.on Acousties,Speech,and Signal Processing,1980,ASSP-28(4),441-454.[4]Lin Daimao,Mao Yuhai A fast algorithm of maximum entropy method for spectral estimation suitable for short data sequence,Scientia Sinica,Series A,1984,XXVII(2),196-212.[5]李武奉,茅于海,一种新的MEM快速算法,电子学报,1989,17(4),19-24.[6]S.M.Kay,Noise compensation for autoregressive spectral estimation,IEEE Trans.on Acousties,Speech,and Signal Processing,1980,ASSP-28(3),292-303.[7]W.Campbell,D.N.Swingler,Frequency estimation performance of several weighted Burg algorithms,IEEE Trans.on Signal Processing,1993,41(3):1237-1247.[8]S.M.Kay,Modery Spectral Estimation:Theory and Application,Englewood Cliffs,NJ.,Prentice-Hall,1988:Chapter 7.[9]陆明泉,肖先赐,李乐民,从GAR模型参数提取特征的数字调制识别新方法,电子科学学刊, 1999,21(2),145-151[10]J.A.Cadzow,High performance spectral estimation-a new ARMA method,IEEE Trans.onAcoustics ,Speech,and Signal Processing,1980,ASSP-28(5),524-529.[11]C.M Rader:An improved algorithm for high speed autocorrelation with application to spectral estimation,IEEE Trans.on Audio and Electroacoustics,1970,AU-18(4),439-441.
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出版历程
  • 收稿日期:  1999-04-14
  • 修回日期:  2000-02-24
  • 刊出日期:  2001-05-19

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