基于广义互模糊函数的MIMO雷达发射序列集与接收滤波器组联合设计

文才; 文淑; 张翔; 肖浩; 李章平

doi:10.11999/JEIT240905

基于广义互模糊函数的MIMO雷达发射序列集与接收滤波器组联合设计

doi: 10.11999/JEIT240905

文才^1, ,,
文淑¹,
张翔¹,
肖浩²,
李章平²

1.
西北大学信息科学与技术学院西安 710127
2.
东海实验室舟山 316021

详细信息

作者简介:
文才：男，教授，研究方向为雷达、侦察、干扰系统设计和信号处理，雷达通信一体化

文淑：女，硕士，研究方向为MIMO雷达发射波形和滤波器设计

张翔：男，硕士，研究方向为MIMO雷达波形设计

肖浩：男，博士，研究员，研究方向雷达系统设计与雷达信号处理

李章平：男，博士，研究员，研究方向为通信系统设计，雷达通信一体化

通讯作者:
文才　wencai33@163.com

中图分类号: TN958.2
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出版历程
- 收稿日期: 2024-10-22
- 修回日期: 2025-03-08
- 网络出版日期: 2025-03-15

Joint Design of Transmission Sequences and Receiver Filters Based on the Generalized Cross Ambiguity Function

1.
School of Information Science and Technology, Northwest University, Xi’an 710127, China
2.
Donghai Laboratory, Zhoushan 316021, China

摘要

摘要: 具有良好相关特性的正交波形集可以提高多输入多输出(MIMO)雷达系统的目标检测性能和抗干扰能力。为此，该文提出主瓣增益和动态范围约束下最小化广义互模糊函数积分旁瓣(ISL)的发射序列集和接收滤波器组联合设计方法。该方法采用最大块改进算法(MBI)将非凸优化问题分解为多个子问题，再利用连续凸近似方法(SCA)迭代求解子问题。为了进一步降低运算量，该文还提出了具有并行实现潜力的交替方向惩罚法(ADPM)求解SCA的子问题。最后，通过仿真实验从收敛速度、积分旁瓣电平等方面验证了该方法的有效性。
- 广义互模糊函数 /
- 积分旁瓣电平 /
- 最大块改进 /
- 连续凸近似 /
- 交替方向惩罚法
Abstract: Objective A set of orthogonal waveforms with favorable correlation properties enhances target detection and anti-jamming performance in Multiple-Input Multiple-Output (MIMO) radar systems. Jointly designing the transmit sequence set and receive filter bank introduces additional degrees of freedom, reducing auto- and cross-correlation. However, research on their joint design based on the Generalized Cross Ambiguity Function (GCAF) is limited and primarily focuses on reducing the peak sidelobe level. Since a low Integrated Sidelobe Level (ISL) is also critical for radar imaging and target detection, this study formulates the joint design problem with the objective of minimizing the ISL of the GCAF, subject to mainlobe gain and dynamic range constraints. Methods This paper proposes a Maximum Block Improvement–Successive Convex Approximation (MBI-SCA) method for the nonconvex optimization problem involving High-Order Polynomials (HOP). The MBI algorithm decomposes the nonconvex problem into multiple subproblems, which are then solved iteratively using the SCA method. To further reduce computational cost, an Alternating Direction Penalty Method (ADPM) is introduced. This algorithm, which supports parallel implementation, dynamically updates the penalty factor in each iteration, ensuring the penalty term gradually converges to zero. This guarantees algorithm convergence and accelerates the search for a better feasible solution. Results and Discussions The proposed MBI-SCA algorithm converges in approximately 12 iterations, while the MBI-ADPM algorithm achieves faster convergence in about 10 iterations (Fig. 1). The running time of the MBI-ADPM algorithm increases as the sequence length varies from 16 to 512, whereas the MBI-SCA algorithm exhibits an overall increase, with a decrease at ${2^8}$ , likely due to an decrease in the number of iterations when the SCA method solves the subproblem (Fig. 2). Both algorithms demonstrate strong performance, with GCAF values in the locally optimized region significantly lower than those in the unoptimized region, all below –200 dB (Fig. 3). However, MBI-ADPM achieves better local optimization, reducing GCAF values to –320 dB, whereas MBI-SCA reaches only –260 dB (Fig. 4). The parameter $K$ determines the optimization interval’s range, and as $K$ increases from 5 to 35, the ISL values of both methods also increase. For MBI-SCA, the optimal range of the parameter $K$ is $5 \le K \le 15$ , where the integral sidelobe levels remain below –50 dB, meeting the low sidelobe requirement. In contrast, MBI-ADPM performs best values of $K$ are 5 and 10, achieving an objective function value close to –300 dB (Fig. 7). Conclusions This paper proposes a joint design method for transmit waveforms and receive filters that minimizes the GCAF ISL under mainlobe gain and dynamic range constraints, addressing the reduction of auto- and cross-correlation integral levels in MIMO radar waveform sets. To solve the quartic nonconvex optimization problem, the original problem is first decomposed into manageable subproblems using the MBI algorithm, which are then solved iteratively with the SCA algorithm. To further reduce computational complexity, the ADPM algorithm is introduced to solve the SCA subproblems. Simulation results demonstrate that the MBI-ADPM algorithm converges faster and achieves a lower ISL than MBI-SCA for shorter distance intervals of interest.

HTML全文

1. 引言

随着移动互联网海量用户的接入，移动数据流量呈爆炸式增长，传统的正交多址接入(Orthogonal Multiple Access, OMA)无法满足5G通信高频谱效率、低传输延时和海量连接的需求。非正交多址接入(Non Orthogonal Multiple Access, NOMA)技术通过功率复用或特征码设计，允许不同用户占用相同的频谱、时间和空间等资源，并通过高级接收机来实现多用户信号的区分，相比于OMA技术可以取得明显的性能增益，受到学术界和工业界的广泛关注。文献[1]讨论了NOMA的实际应用，系统级NOMA相比OMA性能高出30%，并且能够达到更好的中断性能。文献[2]探讨5G的两大关键技术MIMO和NOMA结合，进一步提高系统的频谱效率。

在NOMA的研究中，功率分配系数对系统性能而言非常重要。文献[3]从定性分析和数值仿真的角度探讨了功率分配对系统容量和可靠性的影响。除了全空间搜索功率分配算法(Full Search Power Allocation, FSPA)、固定功率分配算法(Fixed Power Allocation, FPA)、分数阶功率分配算法(Fractional Transmit Power Allocation, FTPA)、平均功率分配算法(Equal Power Allocation, EPA)、注水功率分配算法这些传统的功率分配算法外，文献[4]设计了最大化容量的NOMA系统功率分配方案，建立用户配对和功率分配联合优化问题，由KKT (Karush-Kuhn-Tucker)方程求得最优解；文献[5]则提出了基于强用户的功率分配算法，在确保NOMA小组内弱用户的通信需求前提下实现容量最大化。然而，传统的NOMA系统为了最大化容量，选择将尽可能多的功率分配给小组的强用户，破坏了系统的公平性。

为保证系统公平性，进一步增加系统频谱利用率，文献[6]提出了用户协作式非正交多址接入(Cooperated Non Orthogonal Multiple Access, CNOMA)，其中将NOMA小组的中心用户作为中继，增加了一条从中心用户到边缘用户的协作链路用于消息转发，以此来提高边缘用户的吞吐量。在CNOMA中，中心用户需要为中继通信提供额外的能量消耗，因此，无线携能通信(Simultaneous Wireless Information and Power Transfer, SWIPT)作为一种有前景的绿色技术，可以节省能耗，提高整个通信系统的能量效率^[7]。文献[8]进一步探讨解码转发(Decode and Forward, DF)、放大转发(Amplify and Forward, AF)以及混合方式(hybrid DF/AF)对系统性能的影响。文献[9-13]研究了基于SWIPT的NOMA协作传输系统(Cooperated Non Orthogonal Multiple Access- Simultaneous Wireless Information and Power Transfer, CNOMA-SWIPT)，推导了系统的容量及用户的中断概率。文献[14]研究了使用 SWIPT 中时隙切换模式(Time Switching, TS)的 NOMA系统的能效优化问题，使用一个双层Dinkelbach方法：在内层固定 TS 比例的条件下进行资源分配，并在外层控制时间切换比例，与传统的正交多址接入方法相比，获得了显著的能效增益，证实将 SWIPT 集成到 NOMA 系统的优势。文献[15]将文献[14]的系统应用到多天线场景中，为了高效地解决非凸问题，通过联合优化波束形成器和 SWIPT功率分割(Power Splitting, PS)系数，提出了一种基于内部近似的算法，其中在每次迭代中解决的凸问题可以转换为一个2阶锥规划问题，并且证明该算法的收敛性。文献[16]研究了配置非理想信道状态信息用户的 SWIPT-NOMA 系统，并给出基于能效最优的资源分配方案，使用 Dinkelbach 方法用于将非线性分数问题转化为减法问题，并结合拉格朗日对偶法计算功率。文献[17]分析了应用了携能技术的全双工中继场景下的NOMA 系统，使用了一个联合设计方案来完成 PS系数和功率分配系数的设计，旨在最大限度地提高系统的能效率，使用分数规划方法和半定松弛来处理目标问题，最后提出基于连续凸逼近的能效优化算法，通过仿真证明该算法的收敛速度并且能够显著降低能耗。基于以上研究现状，Dinkelbach、连续凸逼近、拉格朗日对偶等方法都是处理能效优化问题的有效手段，但是这些文献没有考虑基于PS携能模式的半双工协作NOMA系统的能效优化方案。

基于以上研究现状，本文针对PS携能模式和解码转发模式的CNOMA-SWIPT系统提出了一种基于SCA和分数规划能效优化方案，用分数规划将目标问题写成分数形式的对偶问题并利用连续凸逼近的方法处理其非凸性，在保证NOMA系统公平性的前提下能够达到最优能效。本文后续内容如下：第２节给出系统模型；第3节提出CNOMA-SWIPT系统最优化能效的目标函数，理论推导了基于分数规划的求解算法并用对数逼近的方法求解优化问题；第4节对比了NOMA, CNOMA和CNOMA-SWIPT系统的中断性能和最优能效，给出了CNOMA-SWIPT系统以能效和以容量最优这两种资源分配方式的仿真结果；最后总结全文。

2. 系统模型

本文考虑一个基于功率分割的SWIPT两用户NOMA下行协作通信场景，用户的信号在发送端使用叠加编码(Superposition Coding, SC)进行多路复用，接收端使用串行干扰消除(Successive Interference Cancellation, SIC)技术来检测信号，其中小区中心用户充当一个射频(Radio Frequency, RF)能量收集(Energy Harvesting, EH)中继，以帮助提高边缘用户的性能。如图1所示，基站(Base Station, BS)通过采用NOMA方案，同时有一个名为用户1的中心用户和一个名为用户2的边缘用户通信，所有节点均配置单天线，以半双工模式工作。用户1作为中继以PS模式执行能量吸收和消息转发(Information Forward, IF)，如图2所示，β(0<β<1)表示功率分割比，时间T被分为两个子块，在持续时间为T/2的第1个子块中，用户1将接收信号的一部分β用于能量收集，同时将接收信号的其余部分(1–β)用于信息解码；在持续时间为T/2的第2个子块中，用户1使用所收集的能量完成协作通信的过程。

图 1 CNOMA-SWIPT传输示意图

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图 2 基于PS的SWIPT策略的原理

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基于SWIPT协作传输的时间框架，将CNOMA-SWIPT系统下行场景分为两个阶段：(1)在第1个子块进行能量收集和信息直接传输阶段，图1以实线表示；(2)在第2个子块中执行的协作传输阶段，图1以虚线表示。

(1)直接传输阶段。图1的实线表示直接传输阶段，根据NOMA原理基站向小区用户发送信息， ${x}_{n}$ (n=1,2)分别是基站发送给两个用户的信号，满足 ${E\left|{x}_{n}\right|}^{2}=1$ ， ${y}_{n}^{\left(1\right)}$ (n=1,2)分别是两个用户在第1阶段的接收信号，表示为

${y}_{n}^{\left(1\right)}=\sqrt{{P}_{{\rm{s}}}}\cdot {h}_{n}\sum _{k=1}^{2}\sqrt{{a}_{k}}{x}_{k}+{n}_{n,1}$

(1)

其中, ${P}_{\mathrm{s}}$ 为BS发射功率， ${h}_{n}$ 为从基站到用户n的瑞利衰落信道增益， ${n}_{n,1}$ 为该阶段的加性高斯白噪声，噪声方差为 ${\sigma }_{n}^{2}$ ， ${a}_{n}$ (n=1,2)是NOMA系统分配给两个用户的功率分配系数，有 ${a}_{1}+{a}_{2}=1$ 。

根据图2的PS框架，直接传输阶段用户1的接收信号 ${{y}_{1}}^{\left(1\right)}$ 要分为β和1–β两部分，其中β部分用于能量收集，1–β部分用于消息解码，系统以半双工形式工作，T为整个传输时段，直传阶段和协作阶段占用的时隙相等，分别为整个传输时段的1/2。

接收端利用SIC进行解码，用户1用于消息解码的部分信号为

${y}_{1}^{\mathrm{I}\mathrm{D}}=\sqrt{1-\beta }\cdot \sqrt{{P}_{\mathrm{s}}}\cdot {h}_{1}(\sqrt{{a}_{1}}{x}_{1}+\sqrt{{a}_{2}}{x}_{2})+{n}_{\mathrm{1,1}}$

(2)

用户1处检测用户2消息的信干噪比为

${\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{1\to 2}=\frac{(1-\beta )\rho {a}_{2}|{{h}_{1}|}^{2}}{(1-\beta )\rho {a}_{1}|{{h}_{1}|}^{2}+1}$

(3)

为了保证DF的执行，需要满足： ${\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{1\to 2}\ge {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},2}$ ，其中 ${\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},2}$ 是满足用户2通信需求的信干噪比门限值，ρ= ${{P}_{\mathrm{s}}}/{{\sigma }^{2}}$ 表示信噪比(假设噪声方差均为 ${\sigma }^{2}$ )。用户1处检测自身消息的信干噪比为

${\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{1}=(1-\beta )\rho {a}_{1}|{{h}_{1}|}^{2}$

(4)

用户1用于能量收集的部分信号为

${y}_{1}^{\mathrm{E}\mathrm{H}}=\sqrt{\beta }\cdot \sqrt{{P}_{\mathrm{s}}}\cdot {h}_{1}(\sqrt{{a}_{1}}{x}_{1}+\sqrt{{a}_{2}}{x}_{2})+{n}_{\mathrm{1,1}}$

(5)

基于此，用户1从BS处收集的能量 $E$ 可以表示为

$E=\frac{T\beta \eta {P}_{\mathrm{s}}|{{h}_{1}|}^{2}}{2}$

(6)

两个时段都为T/2，所以用户1可获得的用于消息转发的功率 ${P}_{\mathrm{t}}$ 可以表示为

${P}_{\mathrm{t}}=\beta \eta {P}_{{\rm{s}}}|{{h}_{1}|}^{2}$

(7)

其中，T为整个传输时段，η(0<η<1)为能量转换系数。

此外，在直接传输阶段用户2从BS接收的信号和用户2处检测自身消息的信干噪比为

${\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{2\to 2}=\frac{\rho {a}_{2}|{{h}_{2}|}^{2}}{\rho {a}_{1}|{{h}_{2}|}^{2}+1}$

(8)

(2)协作传输阶段。图2的虚线表示协作传输。在用户1处采用DF模式，即要求在用户1处将用户2的消息成功解码，再利用从BS处收集的能量，将解码出的消息转发给用户2，完成协作传输。在此阶段，用户2接收的信号可以表示为

${y}_{2}^{\left(2\right)}=\sqrt{{P}_{\mathrm{t}}}\cdot {h}_{12}{x}_{2}+{n}_{\mathrm{2,2}}$

(9)

其中， ${{P}}_{\mathrm{t}}$ 表示用户1的发射功率， ${h}_{12}$ 表示从用户1到用户2的瑞利衰落信道增益， ${n}_{2,2}$ 表示用户2在该阶段的加性高斯白噪声，假设噪声方差均为 ${\sigma }^{2}$ 。

所以在协作传输阶段，用户2检测自身消息的信干噪比可以表示为

${\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{2,\mathrm{D}\mathrm{F}}=\beta \eta \rho \left|{{h}_{1}|}^{2}\right|{{h}_{12}|}^{2}$

(10)

在这一阶段最后，用户2处采用最大比合并(Maximal Ratio Combining, MRC)技术，处理直接传输和协作传输两个阶段获得的信干噪比，所以用户2接收到的信干噪比 ${\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{2}={\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{2\to 2}+ {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{2,\mathrm{D}\mathrm{F}}$ ，即

${\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{2}=\frac{\rho {a}_{2}|{{h}_{2}|}^{2}}{\rho {a}_{1}|{{h}_{2}|}^{2}+1}+\beta \eta \rho \left|{{h}_{1}|}^{2}\right|{{h}_{12}|}^{2}$

(11)

将用户的瞬时速率低于预设目标速率的概率定义为该用户的中断概率(Outage Probability, OP)。对于用户1，中断事件发生在无法通过SIC解码用户2的消息或者在成功解码用户2的消息后错误解码了自身消息的时候，因此用户1的中断概率可以表示为

$\begin{split} {P}_{1}^{\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{T}}=& \mathrm{P}\mathrm{r}\left({\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{1\to 2} < {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},2}\right)\\ & +\mathrm{P}\mathrm{r}\left({\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{1\to 2}\ge {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},2},\right.\\ & \left.{\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{1} < {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},1}\right) \end{split}$

(12)

其中， ${\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},1}$ 是用户 1 能够保持正常通信的信干噪比门限值。对于用户2，中断事件发生在其接收端处无法解码自身消息的时候

${P}_{2}^{\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{T}}=\mathrm{P}\mathrm{r}\left({\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{2} < {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},2}\right)$

(13)

系统能效定义为总吞吐量和总功耗的比值，则CNOMA-SWIPT系统能效为

${\eta }_{\mathrm{E}\mathrm{E}}=\frac{{R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}{{P}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}}=\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{\zeta \cdot {P}_{\mathrm{s}}+{P}_{\mathrm{c}}}$

(14)

其中， ${R}_{n}=B\cdot {\mathrm{log}}_{2}(1+{\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{n})$ , B为信道带宽， $\zeta$ 定义为系统的功率放大系数， ${P}_{\mathrm{c}}$ 表示为基站的功率损耗。

3. 最优化目标函数

能效优化问题可以表示为

$\left. \begin{aligned} & {\rm{P}}1: \underset{\beta ,{P}_{{\rm{s}}},{a}_{1},{a}_{2}}{\mathrm{max}}{\eta }_{\mathrm{E}\mathrm{E}} \\ & {\rm{C}}1: {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{1\to 2}\ge {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},2}\\ & {\rm{C}}2:{\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{2}\ge {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},2} \\ & {\rm{C}}3: {0 < P}_{{\rm{s}}}\le {P}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} \\ & {\rm{C}}4: {a}_{1} > 0,{a}_{2} > 0,{a}_{1}+{a}_{2}=1 \\ & {\rm{C}}5: 0<\beta<1 \end{aligned}\right\}$

(15)

约束C1表示在用户1处能成功解码用户2消息的条件，也是保证能执行解码转发的必要条件；条件C2可保证用户2的通信需求用于保证系统的公平性；C3, C4和C5分别是BS发射功率、功率分配系数和PS分割系数的取值范围。将公式代入并用 $a\mathrm{和}1-a$ 替代 ${a}_{1}\mathrm{和}{a}_{2}$ ，整理后，P1可以写成如式(16)的形式。

根据式(16)给出的能效优化表达式，需要从发射功率选择、NOMA功率分配和功率分割系数3个方面优化目标函数。通过Dinkelbach分数规划求解P1，将求解分数形式的最大值问题写成求解减式形式的最大值问题如算法1所示。

算法1 Dinkelbach分数规划
初始化：迭代次数n=0，准许误差 $\epsilon={10}^{-4}$ , ${\lambda }^{n}=0$
若F( $\lambda$ )= ${R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}$ – ${\lambda }^{n}{P}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m} }\ge \epsilon$ ，则执行：
用 ${\lambda }^{n}$ 求解max ( ${R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}$ – ${\lambda }^{n}{P}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}$ ) ；
更新 ${R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}$ – ${\lambda }^{n}{P}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}$ , ${\lambda }^{n}$ , n=n+1;
否则： ${{\eta }_{\mathrm{E}\mathrm{E}}}^{*}={\lambda }^{n}$

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$\left. \begin{aligned} & {\rm{P}}1： \underset{\beta ,{P}_{{\rm{s}}},a}{\mathrm{max}}\frac{B{\mathrm{log}}_{2}(1+(1-\beta \left)\rho a\right|{{h}_{1}|}^{2})+B{\mathrm{log}}_{2}(1+\frac{\rho (1-a)|{{h}_{2}|}^{2}}{\rho a|{{h}_{2}|}^{2}+1}+\beta \eta \rho |{{h}_{1}|}^{2}\left|{{h}_{12}|}^{2}\right)}{\zeta \cdot {{{P}}}_{{\rm{s}}}+{{{P}}}_{{\rm{c}}}} \\ & {\rm{C}}1: \frac{(1-\beta )\rho (1-a)|{{h}_{1}|}^{2}}{(1-\beta )\rho a|{{h}_{1}|}^{2}+1}\ge {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},2} \\ & {\rm{C}}2: \frac{\rho (1-a)|{{h}_{2}|}^{2}}{\rho a|{{h}_{2}|}^{2}+1}+\beta \eta \rho \left|{{h}_{1}|}^{2}\right|{{h}_{12}|}^{2}\ge {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},2} \\ & {\rm{C}}3: {0 < {{P}}}_{{\rm{s}}}\le {P}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} \\ & {\rm{C}}4: 0 < a < 1 \\ & {\rm{C}}5: 0<\beta <1 \end{aligned}\right\}$

(16)

设P2:max ( ${R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}$ – ${\lambda }^{n}{P}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}$ )是分数规划算法中的一个内部问题，是一个非凸的函数。为了求解出最优的 ${\eta }_{\mathrm{E}\mathrm{E}}$ ，本文提出一种基于SCA的凸优化方案将原问题转化为凸优化问题。SCA的基本思想是通过一系列凸问题迭代逼近非凸问题，在每次迭代中，将所有非凸约束替换为它们的凸近似。

定理1^[18] 对于任意非负的 ${z}_{0}$ 和z，有 ${\mathrm{log}}_{2}(1+z) \ge a{\mathrm{log}}_{2}\left(z\right)+b$ ，当z= ${z}_{0}$ 时，不等式取到等号，其中a= $\dfrac{{z}_{0}}{1+{z}_{0}}$ , b= ${\mathrm{log}}_{2}(1+{z}_{0})-\dfrac{{z}_{0}}{1+{z}_{0}}{\mathrm{log}}_{2}\left({z}_{0}\right)$ 。

对于函数 ${\mathrm{log}}_{2}(1+z)$ 以及任意非负的初值 ${z}_{0}$ ，可以用下界 $\dfrac{{z}_{0}}{1+{z}_{0}}{\mathrm{log}}_{2}\left(z\right)+{\mathrm{log}}_{2}(1+{z}_{0})-\dfrac{{z}_{0}}{1+{z}_{0}}{\mathrm{log}}_{2}\left({z}_{0}\right)$ 替换完成凸近似，并且不断更新 ${z}_{0}$ 来逼近 ${\mathrm{log}}_{2}(1+z)$ , ${\mathrm{log}}_{2}(1+z)$ 可以此下界近似表征。所以， ${R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}$ 可用式(17)逼近

$\begin{split} {R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}\ge& B\left({a}_{1}{\mathrm{log}}_{2}\left(\left(1-\beta \right)\rho a|{{h}_{1}|}^{2}\right) +\left({a}_{2}-{a}_{2}{a}_{3}\right){\mathrm{log}}_{2}\left(\beta \eta \rho \left|{{h}_{1}|}^{2}\right|{{h}_{12}|}^{2}\right) +{a}_{2}{a}_{3}{\mathrm{log}}_{2}\left(\rho (1-a)|{{h}_{2}|}^{2}\right)\right. \\ & \left.-{a}_{2}{a}_{3}{\mathrm{log}}_{2}\left(\rho a|{{h}_{2}|}^{2}+1\right)+{a}_{2}{b}_{3}+{b}_{1}+{b}_{2}\right) \end{split}$

(17)

其中， ${z}_{1}=(1-\beta )\rho a|{{h}_{1}|}^{2}$ , ${a}_{1}=\dfrac{{z}_{1}}{1+{z}_{1}}$ , ${b}_{1}={\mathrm{log}}_{2}(1+{z}_{1})-\dfrac{{z}_{1}}{1+{z}_{1}}{\mathrm{log}}_{2}\left({z}_{1}\right)$ , ${z}_{2}=\dfrac{\rho (1-a)|{{h}_{2}|}^{2}}{\rho a|{{h}_{2}|}^{2}+1}+ \beta \eta \rho \left|{{h}_{1}}\right|^{2} \cdot \left| {{h}_{12}}\right|^{2}$ , ${a}_{2}=\dfrac{{z}_{2}}{1+{z}_{2}}$ , ${b}_{2}={\mathrm{log}}_{2}(1+{z}_{2})-\dfrac{{z}_{2}}{1+{z}_{2}}{\mathrm{log}}_{2}\left({z}_{2}\right)$ , ${z}_{3}=\dfrac{\rho (1-a)|{{h}_{2}|}^{2}}{\rho a|{{h}_{2}|}^{2}+1}\dfrac{1}{\beta \eta \rho \left|{{h}_{1}|}^{2}\right|{{h}_{12}|}^{2}}$ , ${a}_{3}=\dfrac{{z}_{3}}{1+{z}_{3}}$ , ${b}_{3}={\mathrm{log}}_{2}(1+{z}_{3})-\dfrac{{z}_{3}}{1+{z}_{3}}{\mathrm{log}}_{2}\left({z}_{3}\right)$ 。

进一步，定义 ${2}^{{q}_{1}}=\rho$ , ${2}^{{q}_{2}}=\beta$ , ${2}^{{q}_{3}}=1-\beta$ , ${2}^{{q}_{4}}=a$ , ${2}^{{q}_{5}}=1-a$ ，P2改写为式(18)

$\left. \begin{aligned} & {\rm{P}}2:\underset{{q}_{1},{q}_{2},{q}_{3},{q}_{4},{q}_{5}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}B({a}_{1}{(q}_{1}+{q}_{3}+{q}_{4}+{\mathrm{log}}_{2}\left(\right|{{h}_{1}|}^{2}\left)\right)+\left({a}_{2}-{a}_{2}{a}_{3}\right)\left({q}_{1}+{q}_{2}+{\mathrm{log}}_{2}\left(\eta \left|{{h}_{1}|}^{2}\right|{{h}_{12}|}^{2}\right)\right)\\ & \qquad\qquad +{a}_{2}{a}_{3}\left({q}_{1}+{q}_{5}+{\mathrm{log}}_{2}\left(|{{h}_{2}|}^{2}\right)\right){-a}_{2}{a}_{3}{\mathrm{log}}_{2}\left(\rho a|{{h}_{2}|}^{2}+1\right)+{a}_{2}{b}_{3}+{b}_{1}+{b}_{2})-\lambda (\zeta \cdot {2}^{{q}_{1}}{\mathrm{\sigma }}^{2}+{{P}}_{\mathrm{c}}) \\ & {\rm{C}}1: \frac{{2}^{{q}_{3}}{2}^{{q}_{1}}{2}^{{q}_{5}}|{{h}_{1}|}^{2}}{{2}^{{q}_{3}}{2}^{{q}_{1}}{2}^{{q}_{4}}|{{h}_{1}|}^{2}+1}\ge {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},2} \\ & {\rm{C}}2: \frac{{2}^{{q}_{1}}{2}^{{q}_{5}}|{{h}_{2}|}^{2}}{{2}^{{q}_{1}}{2}^{{q}_{4}}|{{h}_{2}|}^{2}+1}+{2}^{{q}_{1}}{2}^{{q}_{2}}\eta \left|{{h}_{1}|}^{2}\right|{{h}_{12}|}^{2}\ge {\mathrm{S}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{R}}_{\mathrm{t}\mathrm{h},2} \\ & {\rm{C}}3: 0 < {2}^{{q}_{1}}{\sigma }^{2}\le {P}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} \\ & {\rm{C}}4: {2}^{{q}_{4}}+{2}^{{q}_{5}}=1 \\ & {\rm{C}}5: {2}^{{q}_{2}}+{2}^{{q}_{3}} <1 \end{aligned}\right\}$

(18)

算法2总结了Dinkelbach分数规划算法中用 ${\lambda }^{n}$ 求解中间问题max ( ${R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}$ - ${\lambda }^{n}{P}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}$ )的步骤。通过连续凸逼近将P2改写成一个凸优化问题，在第j次迭代给定 ${z}_{i}^{j},{b}_{i}^{j}$ , ${a}_{i}^{j},{b}_{i}^{j}$ ，使用标准的凸优化求解器CVX来解决。从这些步骤中，可以通过所得到的解在算法1中更新用于求解P2的初值。将Dinkelbach与SCA算法整理为算法3。

算法2　基于SCA的P2求解算法
初始化：迭代次数j=1, ${a}_{i} ^{j} {,b}_{i} ^{j}$ =0(i=1,2,3)， $\varDelta$ =1，准许误差　　　　　 $\epsilon={10}^{-4}$
若 $\varDelta\ge \epsilon$ ，则执行：
通过CVX工具箱求解P2，得到 ${q}_{1} ^{j}, {q}_{2} ^{j}, {q}_{3} ^{j}, {q}_{4} ^{j}, {q}_{5} ^{j}$
更新 ${z}_{i} ^{j} {,b}_{i} ^{j}$ ， ${a}_{i} ^{j} {,b}_{i} ^{j}$
更新： $\varDelta=\|{F\left(\lambda \right)}^{j}-{F\left(\lambda \right)}^{j-1}\|$ ；
j=j+1；　否则：输出 $\lambda =\dfrac{ {R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m} }({ {q}_{1} }^{j}, {q}_{2} ^{j}, {q}_{3} ^{j}, {q}_{4} ^{j}, {q}_{5} ^{j})}{ {P}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m} }( {q}_{1} ^{j}, {q}_{2} ^{j}, {q}_{3} ^{j}, {q}_{4} ^{j}, {q}_{5} ^{j})}$

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算法3　基于SCA的CNOMA-SWIPT系统能效优化算法
初始化：迭代次数n=0，准许误差 $\epsilon={10}^{-4}$ , ${\lambda }^{n}=0$
若F( ${\lambda }^{n}$ ) $\ge \epsilon$ ，则执行：
设j=0, ${a}_{i}^{j} {,b}_{i} ^{j}$ =0(i=1,2,3)， $\varDelta=1$ ；
若 $\varDelta\ge \epsilon$ ，则执行：
通过CVX工具箱求解P2，得到 ${q}_{1} ^{j}, {q}_{2} ^{j}, {q}_{3} ^{j}, {q}_{4} ^{j}, {q}_{5} ^{j}$ ；
更新 ${z}_{i} ^{j} {,b}_{i} ^{j}$ , ${a}_{i} ^{j} {,b}_{i} ^{j}$ , $\varDelta=\|{F\left(\lambda \right)}^{j}-{F\left(\lambda \right)}^{j-1}\|$ ；
j=j +1；
直到 $\varDelta < \epsilon$ ，执行：　　　　　F( ${\lambda }^{n}$ )= ${R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m} }\left( {q}_{1} ^{j}, {q}_{2} ^{j} {q}_{3} ^{j},{ {q}_{4} }^{j}, {q}_{5} ^{j}\right)-{\lambda }^{n}{P}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m} }\left( {q}_{1} ^{j}, {q}_{2} ^{j}, {q}_{3} ^{j}, {q}_{4} ^{j}, {q}_{5} ^{j}\right); {\lambda }^{n}=\dfrac{ {R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m} }( {q}_{1} ^{j}, {q}_{2} ^{j}, {q}_{3} ^{j}, {q}_{4} ^{j}, {q}_{5} ^{j})}{ {P}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m} }( {q}_{1} ^{j}, {q}_{2} ^{j}, {q}_{3} ^{j}, {q}_{4} ^{j}, {q}_{5} ^{j})}$
n=n+1;
若F( ${\lambda }^{n}$ )< $\epsilon$ ：输出 $\lambda =\dfrac{ {R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m} }( {q}_{1} ^{j}, {q}_{2} ^{j}, {q}_{3} ^{j}, {q}_{4} ^{j}, {q}_{5} ^{j})}{ {P}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m} }( {q}_{1} ^{j}, {q}_{2} ^{j}, {q}_{3} ^{j}, {q}_{4} ^{j}, {q}_{5} ^{j})}$

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4. 仿真与性能分析

假设两个用户随机部署在一个10 m×10 m的正方形区域内，基站位于正方形的顶点，坐标为(0,0)。信道建模时同时考虑了小尺度衰落和路径损耗， ${h}_{1}={{d}_{1}}^{-{\alpha }_{1}}\tilde{{h}_{1}}$ , ${h}_{2}={{d}_{2}}^{-{\alpha }_{2}}{\tilde{h}_{2}}$ , ${h}_{12}={{d}_{12}}^{-{\alpha }_{12}}{\tilde{h}_{12}}$ ，其中 ${d}_{1}$ , ${d}_{2}$ , ${d}_{12}$ 分别表示用户1与BS之间、用户2与BS之间、用户1与用户2之间的距离，分别设置为 ${d}_{1}$ =3 m, ${d}_{2}$ =10 m, ${d}_{12}$ =8 m; ${\alpha }_{1}=2$ , ${\alpha }_{2}$ = ${\alpha }_{12}=4$ 表示路径损耗系数， ${\tilde{h}_{1}}$ , ${\tilde{h}_{2}}$ , ${\tilde{h}_{12}}$ 分别表示瑞利衰落系数，将瑞利因子设为3，系统可用带宽为1 MHz，噪声功率谱密度设为 $-90\;\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}/\mathrm{H}\mathrm{z}$ ，用户要求的最小速率为1 Mbit/s，能效转换系数η=0.7，功率放大系数 $\zeta$ =10，基站的功耗 ${P}_{\mathrm{c}}$ =1 W。首先对传统的NOMA系统、中心用户处提供转发功率的CNOMA系统和CNOMA-SWIPT系统用户的中断性能进行蒙特卡洛法仿真，假设用户1和用户2的功率分配系数为0.1和0.9，CNOMA中用户1用于转发的功率 ${P}_{\mathrm{t}}=0.1{P}_{{\rm{s}}}$ ，结果如图3所示，相比传统的NOMA系统，CNOMA和CNOMA-SWIPT系统都利用协作为用户2增加一条中继链路，提升了用户2的中断性能，CNOMA中用户2中断性能提升的程度由转发功率的大小决定， CNOMA和NOMA系统中用户1的中断概率相等，由于采用SWIPT技术，用户1的接收信号一部分用户能量收集，一部分用于消息解码，相比其他系统用于信号检测的部分减少，降低了用户1处的信干燥比，相应增加了用户1处发生中断事件的概率。

图 3 中断性能对比

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仿真了CNOMA-SWPT系统容量最优和能效最优两种资源方式下基站发射功率对能效的影响，其中在以容量最优作为优化目标时采用了基于黄金分割搜索(Golden Section Search, GSS)的优化算法，仿真结果如图4所示。

图 4 两种资源分配方式下的能效对比图

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对于能效最优的分配方案，目标问题是最大化能效，不需要将所有的发射功率分配给用户，能效随着最大发射功率的增加而增加。而对于容量最优的分配方案，会将整个发射功率分配给用户，以获得最大的数据速率。当发射功率较低时，两种分配方案获得的能效相等，但当发射功率提高到一定程度时，由于对数函数的特性，对提高容量的效果并不显著，因此，所获得的能效会下降。

同时对比了CNOMA-SWIPT和传统的NOMA系统以及没有应用携能技术的CNOMA系统的能量效率，都使用log逼近的能效优化方案，仿真结果如图5所示。结果表明，在基站发射功率小于10 dBm时，CNOMA-SWIPT能达到的最优能效增益有限，但当发射功率大于10 dBm后系统达到的最优能效差异逐渐明显，随着发射功率增高，最终稳定在0.42 bit/(s·J·Hz)。发射功率为30 dBm后该系统能效相比传统NOMA高出60.8%，比CNOMA系统高出约11.5%，验证了本文提出的CNOMA-SWIPT能效优化方案的有效性。CNOMA系统中，由于设置转发功率为发射功率的1/10，对系统功耗的影响较小，增加了协作链路进而提高了系统的容量，使得CNOMA系统能够实现的最优能效值高传统NOMA系统；应用了SWIPT技术的CNOMA系统，从用户1的接收信号中收集能量转化为协作链路转发功率，不耗费额外的功率，因此CNOMA-SWIPT能达到的能效最高。

图 5 CNOMA-SWIPT和传统NOMA能效对比

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5. 结论

本文研究了应用无线携能通信技术的协作NOMA系统，在满足边缘用户通信质量情况下，使用能量收集设备完成能量收集，并在满足公平性的情况下以系统能效最优建立目标函数，其待优化问题是一个复杂的分数形式的非凸问题，难以求解。本文提出了基于Dinkelbach分数规划的SCA优化方案将非凸问题转化为可以用CVX求解的凸优化问题。仿真结果表明，与传统NOMA和CNOMA系统相比，本文提出的CNOMA-SWIPT系统能效有明显优势，在基站最大发射功率为30 dBm时相比NOMA系统能达到60.8%的增益，相比CNOMA系统能达到比CNOMA系统高出约11.5%的增益，验证了将携能技术应用到NOMA系统中的优势。

目标函数值与迭代次数 $t$

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运行时间与序列长度 $N$

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图 3 归一化的GCAF

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图 4 归一化的GCAF零多普勒剖面图

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ISL, ISLR与主瓣损失 $\delta$ 关系图

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ISL与动态范围 $\varepsilon$ 关系图

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ISL与时延范围 $K$ 关系图

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1 MBI算法求解问题式(8)

输入： ${\boldsymbol x}_m^{(0)}$ , ${\boldsymbol h}_{m'}^{(0)}$ ，计算 ${\omega ^{(0)}} = F({\boldsymbol x}_1^{(0)},{\boldsymbol x}_2^{(0)}, \cdots ,{\boldsymbol x}_M^{(0)},{\boldsymbol h}_1^{(0)},{\boldsymbol h}_2^{(0)}, \cdots ,{\boldsymbol h}_M^{(0)})$ , $t = 0$
输出：式(8)的解 ${\boldsymbol x}_m^{(t + 1)}$ , ${\boldsymbol h}_{m'}^{(t + 1)}$
步骤1　(块更新).对 $m = 1,2, \cdots ,M$ ，求解式(9)，对 $m' = 1,2, \cdots ,M$ ，求解式(10)。令
${\boldsymbol{u}}_m^{(t + 1)} = \arg \mathop {\min }\limits_{{{\boldsymbol x}_m}} F({\boldsymbol x}_1^{(t)},{\boldsymbol x}_2^{(t)}, \cdots ,{{\boldsymbol x}_m},{\boldsymbol x}_{m + 1}^{(t)},{\boldsymbol x}_{m + 2}^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol x}_M^{(t)},{\boldsymbol h}_1^{(t)},{\boldsymbol h}_2^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol h}_M^{(t)})$
${\boldsymbol{u}}_{m'}^{(t + 1)} = \arg \mathop {\min }\limits_{{{\boldsymbol h}_{m'}}} F({\boldsymbol x}_1^{(t)},{\boldsymbol x}_2^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol x}_M^{(t)},{\boldsymbol h}_1^{(t)},{\boldsymbol h}_2^{(t)}, \cdots ,{{\boldsymbol h}_{m'}},{\boldsymbol h}_{m' + 1}^{(t)},{\boldsymbol h}_{m' + 2}^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol h}_M^{(t)})$
$y_m^{(t + 1)} = F({\boldsymbol x}_1^{(t)},{\boldsymbol x}_2^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol{u}}_m^{(t + 1)},{\boldsymbol x}_{m + 1}^{(t)},{\boldsymbol x}_{m + 2}^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol x}_M^{(t)},{\boldsymbol h}_1^{(t)},{\boldsymbol h}_2^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol h}_M^{(t)})$
$y_{m'}^{(t + 1)} = F({\boldsymbol x}_1^{(t)},{\boldsymbol x}_2^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol x}_M^{(t)},{\boldsymbol h}_1^{(t)},{\boldsymbol h}_2^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol{u}}_{m'}^{(t + 1)},{\boldsymbol h}_{m' + 1}^{(t)},{\boldsymbol h}_{m' + 2}^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol h}_M^{(t)})$
步骤2　(最大块更新).令
${y^{(t + 1)}} = {\min _{1 \le m,m' \le M}}(y_m^{(t + 1)},y_{m'}^{(t + 1)})$
${\boldsymbol x}_{\hat m}^{(t + 1)} = \arg \min {y^{(t + 1)}}$
或 ${\boldsymbol h}_{\hat m}^{(t + 1)} = \arg \min {y^{(t + 1)}}$
更新
${\boldsymbol x}_m^{(t + 1)} = {\boldsymbol x}_m^{(t)},\forall m \ne \hat m$
${\boldsymbol h}_{m'}^{(t + 1)} = {\boldsymbol h}_{m'}^{(t)},\forall m' \ne \hat m'$
${\boldsymbol x}_m^{(t + 1)} = {\boldsymbol x}_{\hat m}^{(t + 1)}$
或 ${\boldsymbol h}_{m'}^{(t + 1)} = {\boldsymbol h}_{\hat m'}^{(t + 1)}$
${\omega ^{(t + 1)}} = {y^{(t + 1)}}$
步骤3　(停止准则) $\|{\omega ^{(t + 1)}} - {\omega ^{(t)}}\| \le {10^{ - 3}}{\omega ^{(t + 1)}}$ ，停止。否则令 $t = t + 1$ ，返回1。

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2 SCA算法求解问题式(9)和式(10)

输入： ${\boldsymbol x}_m^{(t)}$ , ${\boldsymbol h}_{m'}^{(t)}$ , ${\omega ^{(t)}}$
输出：式(9)和式(10)的解 ${\boldsymbol{u}}_m^{(t + 1)}$ , ${\boldsymbol{u}}_{m'}^{(t + 1)}$
步骤1　 ${\boldsymbol x}_m^{(i)} = {\boldsymbol x}_m^{(t)}$ 和 ${\boldsymbol h}_{m'}^{(i)} = {\boldsymbol h}_{m'}^{(t)},$ 及 ${\omega ^{(i)}} = {\omega ^{(t)}}$ , $i = 0$
步骤2　CVX工具箱分别求解式(14)和式(15)，得到 ${\boldsymbol x}_m^{(i + 1)}$ , 　　　　 ${\boldsymbol h}_{m'}^{(i + 1)}$ 计算 ${\omega ^{(i + 1)}} = F({\boldsymbol x}_1^{(i)},{\boldsymbol x}_2^{(i)}, \cdots ,{\boldsymbol x}_m^{(i + 1)}$ , 　　　　 ${\boldsymbol x}_{m + 1}^{(i)},{\boldsymbol x}_{m + 2}^{(i)}, \cdots ,{\boldsymbol x}_M^{(i)},{\boldsymbol h}_1^{(t)},{\boldsymbol h}_2^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol h}_M^{(t)})$ 　　　　或 ${\omega ^{(i + 1)}} = F({\boldsymbol x}_1^{(t)},{\boldsymbol x}_2^{(t)}, \cdots ,{\boldsymbol x}_M^{(t)},{\boldsymbol h}_1^{(i)},{\boldsymbol h}_2^{(i)}, \cdots ,{\boldsymbol h}_{m'}^{(i + 1)},$ 　　　　 ${\boldsymbol h}_{m' + 1}^{(i)},{\boldsymbol h}_{m' + 2}^{(i)}, \cdots ,{\boldsymbol h}_M^{(i)})$
步骤3　若 $\|{\omega ^{(i + 1)}} - {\omega ^{(i)}}\| \le {10^{ - 3}}{\omega ^{(i + 1)}}$ ，输出　　　　 ${\boldsymbol{u}}_m^{(t + 1)} = {\boldsymbol x}_m^{(i + 1)}$ , ${\boldsymbol{u}}_{m'}^{(t + 1)} = {\boldsymbol h}_{m'}^{(i + 1)}$ ，否则， ${\boldsymbol x}_m^{(i)} = {\boldsymbol x}_m^{(i + 1)}$ , 　　　　 ${\boldsymbol h}_{m'}^{(i)} = {\boldsymbol h}_{m'}^{(i + 1)}$ , ${\omega ^{(i)}} = {\omega ^{(i + 1)}}$ ，返回步骤2。

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3 ADPM算法求解问题式(14)

输入： ${\boldsymbol x}_m^{(i)} = {\boldsymbol x}_m^{(t)}$ , ${\boldsymbol h}_{m'}^{(t)}$ , ${\boldsymbol{s}}_1^{(0)}$ , ${\boldsymbol{s}}_2^{(0)}$ , ${\boldsymbol{s}}_3^{(0)}$ , $\mu _{{{\boldsymbol{s}}_1}}^{(0)}$ , $\mu _{{{\boldsymbol{s}}_2}}^{(0)}$ , $\mu _{{{\boldsymbol{s}}_3}}^{(0)}$ 计　算 $\rho _{{{\boldsymbol{s}}_d}}^{(0)}$ ，设置 $i = 0$
输出：问题(14)的解 ${\boldsymbol x}_m^ *$
步骤1　 $i = i + 1$
步骤2　分别通过求解问题式(18)–式(24)，更新 ${\boldsymbol{s}}_1^{\left( {i + 1} \right)}$ , ${\boldsymbol{s}}_2^{\left( {i + 1} \right)}$ , 　 ${\boldsymbol{s}}_3^{\left( {i + 1} \right)}$
步骤3　通过求解问题(27)，更新 ${\boldsymbol x}_m^{(i + 1)}$
步骤4　若 ${e}_{{\mathrm{pri}}}^{(i+1)}\le {\varepsilon }_{{\mathrm{pri}}}^{(i+1)}$ , ${e}_{{\mathrm{dual}}}^{(i+1)}\le {\varepsilon }_{{\mathrm{dual}}}^{(i+1)}$ ，输出　 ${\boldsymbol x}_m^ * = {\boldsymbol x}_m^{(i + 1)}$ ，否则，返回步骤1。

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基于广义互模糊函数的MIMO雷达发射序列集与接收滤波器组联合设计

doi: 10.11999/JEIT240905

通讯作者:
文才　wencai33@163.com

计量

Joint Design of Transmission Sequences and Receiver Filters Based on the Generalized Cross Ambiguity Function

1. 引言

2. 系统模型

3. 最优化目标函数

4. 仿真与性能分析

5. 结论

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目录

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2. 系统模型

3. 最优化目标函数

4. 仿真与性能分析

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doi: 10.11999/JEIT240905

通讯作者: 文才 wencai33@163.com

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出版历程

Joint Design of Transmission Sequences and Receiver Filters Based on the Generalized Cross Ambiguity Function

1. 引言

2. 系统模型

3. 最优化目标函数

4. 仿真与性能分析

5. 结论

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2. 系统模型

3. 最优化目标函数

4. 仿真与性能分析

5. 结论

通讯作者:
文才　wencai33@163.com