General Low-complexity Beamforming Designs for Reconfigurable Intelligent Surface-aided Multi-user Systems
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摘要: 针对可重构智能超表面(RIS)辅助多用户系统中基站和RIS联合波束成形设计问题，该文提出通用低复杂度联合波束成形设计方案。首先，分析RIS辅助多用户系统以最大化和数据速率为目标的联合波束成形非凸优化问题。其次，利用波束导向矢量近似正交性设计RIS反射矩阵，进一步利用迫零方法设计基站发射波束成形，并对多用户进行功率分配优化。最后，讨论该方案适用性并对比该方案的计算复杂度相比现有方案降低了一个数量级。仿真结果表明，所提通用低复杂度波束成形设计可以获得较高和数据速率，并且采用最优功率分配可以进一步提高和数据速率。此外，仿真结果和理论分析都表明系统和数据速率随RIS位置的变化而变化，该结论为RIS位置的选择提供参考依据。Abstract:
Objective Reconfigurable Intelligent Surface (RIS), an innovative technology for 6G communication, can effectively reduce hardware costs and energy consumption. Most researchers examine the joint BeamForming (BF) design problem in RIS-assisted Multiple-Input Single-Output (MISO) systems or single-user Multiple-Input Multiple-Output (MIMO) systems. However, few investigate the non-convex joint BF optimization problem for RIS-assisted multi-user MISO systems. The existing joint BF design approaches for these systems primarily rely on iterative algorithms that are complex, and some methods have a limited application range. Methods To address the issue, general low-complexity joint BF designs for RIS-assisted multi-user systems are considered. The communication system consists of a Base Station (BS) with an M -antenna configuration utilizing a Uniform Rectangular Array (URA), a RIS with N reflecting elements also arranged in a URA, and K single-antenna User Equipment (UEs). It is assumed that the transmission channel between the BS and UEs experiences blocking due to fading and potential obstacles in a dynamic wireless environment. The non-convex optimization challenge of joint BF design is analyzed, with the goal of maximizing the sum data rate for RIS-aided multi-user systems. The design process involves three main steps: First, the RIS reflection matrix Θ is designed based on the perfect channel state information obtained from both the BS-RIS and RIS-UE links. This design exploits the approximate orthogonality of the beam steering vectors for all transmitters and receivers using the URA (as detailed in Lemma 1). Second, the transmit BF matrix W at the BS is derived using the zero-forcing method. Third, the power allocation at the BS for multiple users is optimized using the Water-Filling (WF) algorithm. The proposed scheme is applicable to both single-user and multi-user scenarios, accommodating Line-of-Sight (LoS) paths, Rician channels with LoS paths, as well as Non-LoS (NLoS) paths. The computational complexity of the proposed joint BF design is quantified at a total complexity of O(N+K2M+K3). Compared with existing schemes, the computational complexity of the proposed design is reduced by at least an order of magnitude. Results and Discussions To verify the performance of the proposed joint BF scheme, simulation tests were conducted using the MATLAB platform. Five different schemes were considered for comparison: Scheme 1: BF design and Water-Filling Power Allocation (WFPA) proposed in this paper, utilizing Continuous Phase Shift (CPS) design without accounting for the limitations of the RIS phase shifter’s accuracy. Scheme 2: Proposed Beamforming (PBF) and WFPA with 2-bit Phase Shift (2PS) design, taking phase shift accuracy limitations into consideration. Scheme 3: 1-bit Phase Shift (1PS) design under PBF and WFPA. Scheme 4: 2PS design under Random BeamForming (RBF) and WFPA. Scheme 5: Equal Power Allocation (EPA) design under PBF and CPS. Initial numerical results demonstrate that the proposed BF design can achieve a high sum data rate, which can be further enhanced by employing optimal power allocation. Furthermore, under identical simulation conditions, the LoS scenario exhibited superior sum data rate performance compared to the Rician channel scenario, with a performance advantage of approximately 6 bit/(s∙Hz). This difference can be attributed to the presence of multiple paths in the Rician channel, which increases interference and decreases the signal-to-noise ratio, thereby reducing the sum data rate. Additionally, when the distance between BS and UEs is fixed, and the RIS is positioned on the straight line between the BS and the UEs, the system sum data rate initially decreases and then increases as the distance between the RIS and UEs increases due to path loss. The simulation results confirm that when the RIS is situated near the UEs (i.e., further from the BS), improved data rate performance can be achieved. This improvement arises because the path loss of the RIS-UE link is greater than that of the BS-RIS link. Therefore, optimal data rate performance is attained when the RIS is closer to the UEs. Moreover, both the simulation results and theoretical analysis indicate that the sum data rate is influenced by the RIS location, offering valuable insights for the selection of RIS positioning. Conclusions This paper proposes a general low-complexity BF design for RIS-assisted multi-user communication systems. Closed-form solutions for transmit BF, power distribution of the BS, and the reflection matrix of the RIS are provided to maximize the system’s sum data rate. Simulation results indicate that the proposed BF design achieves higher data rates than alternative schemes. Additionally, both the simulation findings and theoretical analysis demonstrate that the sum data rate varies with the RIS’s location, providing a reference criterion for optimizing RIS placement. -
Key words:
- Reconfigurable Intelligent Surface (RIS) /
- Beamforming /
- Sum data rate /
- Low complexity
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1. 引言
全球变暖问题的不断加剧导致世界范围内暴雨、暴雪、冰雹等强对流天气频发，使得飞机遭遇危险天气的概率大大增加，对民航飞机安全稳定的运行造成严重影响。现代航空利用机载气象雷达设备实时监测飞行航路上的危险气象并告警，辅助机组做出正确的飞行决策，在灾害性天气探测、降水量估计等领域扮演着不可或缺的作用[1]。现有机载气象雷达采用单极化天线进行气象探测，在遭遇对流云团等复杂气象天气情况下，无法提供更精细化的危险区域降水粒子检测与分类信息。作为即时监测飞机航线上的气象环境的重要航空电子设备，机载气象雷达亟需更进一步提升其探测的准确性，为安全飞行提供更可靠的气象监测信息，因此持续开展极化气象雷达相关技术研究对保障民航安全非常必要。2012年，作为民用飞机机载气象雷达行业非常重要的设备制造商，美国柯林斯公司(Rockwell Collins)申请了机载气象雷达双极化天线专利[2]，表明了机载气象雷达将借助双极化技术来实现进一步发展。但机载双极化气象雷达相关技术获取实测数据成本代价大、困难程度高，仿真带有极化信息的雷达回波数据有助于相关双极化气象雷达检测与分类算法技术的深入研究。
目前机载极化气象雷达回波仿真首先采用电磁散射方法气象粒子极化特性，再结合雷达工作过程获取雷达回波数据。在电磁散射方法研究方面，1965年，Waterman[3]提出了T-Matrix方法，因其适用范围广和计算速度快等优点，为非球形粒子电磁散射问题求解提供了强有力的计算工具。1966年Yee[4]为求解传导面的边界条件首次提出有限差分时域法(Finite Difference Time Domain method, FDTD)[5]，该方法可用于计算复杂形状降水粒子，如冰晶、雪晶粒子的散射问题，但仅适用于小尺寸粒子且计算耗时长。除上述方法以外，近些年还提出了分离变量法、点匹配法、离散偶极子近似法和矩量法等[6]，其中分离变量法(Separation of Variables Method, SVM)适用于椭球粒子散射问题，优点在于散射分析结果准确，缺点是当粒子尺寸超出正常值时会出现病态条件[7]，计算结果不准；点匹配法(Point-Matching Method, PMM)作为应用场函数展开的散射算法，优点是考虑简单形状粒子获取准确结果，缺点是算法稳定性差，结果可靠性低[8]。随着对气象粒子的大量观测，粒子多种多样的物理形态限制了诸多电磁散射算法的发展与应用。目前T-Matrix方法在计算精度、适用范围等方面仍有很大优势。在仿真雷达回波数据方面，有些学者未进行雷达回波数据仿真仅考虑了气象粒子极化参数计算，如Li等人[10]在2011年采用ARPS模式仿真一次超级单体风暴气象场景，再根据其微物理特性分析了极化特征，求解了极化参数；Lupidi等人[11]于2013年采用Weather Research and Forecasting (WRF)仿真得到雨、冰雹气象场景，并结合雨滴谱函数等特性计算了一次降水事件的极化参数；Clotilde Augros[12]在2013年利用Meso-NH模式对一次强对流天气进行极化数据仿真，利用实测数据对比分析其强对流天气的“弓状回波”气象特征，验证并调校了仿真算法；王洪等人[13]在2016年利用数值预报数据构造了一个基于Rayleigh-Gans散射原理的S波段双极化雷达模拟器，实现了云冰、雪晶、雨滴和冰雹等4种降水粒子极化参数仿真；文献[14,15]利用WRF仿真气象场景，再结合微物理特性仿真多种降水粒子极化参数。但也有学者针对雷达回波数据仿真进行了研究，Lischi等人[16]于2014年利用WRF输出气象场景仿真结果，提出了一种基于传播校正总体平均协方差矩阵方法来分析雨滴、雪晶、霰和冰雹4类降水粒子的极化散射特性并实现了极化雷达回波仿真，与地基雷达数据对比，仿真结果符合降水场景气象分布，但该方法并未对云滴和冰晶降水粒子进行相应回波仿真研究。
为了给机载气象雷达检测与分类算法研究提供数据支持，开展机载极化气象雷达仿真数据研究对增强机载气象雷达对危险气象的探测、识别能力尤为重要。本文结合数值天气模式和电磁散射方法，提出一种机载双极化气象雷达多种降水粒子回波仿真方法。该方法首先运用WRF对雨滴、冰雹、霰、雪晶、冰晶和云滴6种降水粒子进行气象场景仿真；其次结合降水粒子微物理特性和T-Matrix方法求解降水粒子反射率因子；最后应用雷达气象方程实现机载极化气象雷达降水粒子回波信号仿真。仿真结果表明：该方法可实现降水目标的双极化雷达回波仿真，与实测数据对比分析，仿真结果有效、可靠。
2. 机载双极化气象雷达回波仿真原理
机载双极化气象雷达回波数据仿真首先利用WRF对气象场景进行准确建模仿真；其次利用降水粒子微物理特性和T-Matrix方法求解不同降水粒子反射率因子；最后结合气象场景以及反射率因子，应用雷达气象方程实现机载极化气象雷达降水粒子回波仿真。
机载双极化气象雷达回波仿真原理框图如图1所示。框图按气象场景仿真以及雷达回波仿真可以分为3部分：基于WRF的气象场景仿真、基于T-Matrix方法的降水粒子反射率因子计算以及机载极化气象雷达回波仿真。首先将全球地形数据、初始驱动场和模拟区域的方案参数输入至WRF模式，利用地图插值和数值积分方法获取降水粒子的混合比、粒子数浓度、风速、空间坐标等参数；其次利用T-Matrix方法结合不同降水粒子形状、尺寸、复折射率等参数计算单一粒子散射矩阵，再通过空间分辨网格内降水粒子微物理特性求解反射率因子；最后运用雷达气象方程，设定雷达参数，结合降水粒子空间坐标、反射率因子等参数，实现机载双极化雷达回波I/Q回波数据仿真。
3. 基于WRF的气象场景仿真
3.1 WRF模式简介
目前针对气象场景仿真广泛采用的方式是利用数值预报模式对降水事件模拟预报，WRF作为中尺度数值预报模式中应用广泛、预报精度高的预报模式，在处理对流和中尺度降水方面有模式优势，能实现气象场景仿真。WRF模式是美国国家大气研究中心、国家环境预报中心和美国环境模拟中心以及众多高等科研院校、气象勘测单位、气象业务应用部门等于1997年联合研究开发的数值预报模式业务应用产品，是全球中尺度预报模式中应用最广泛的天气预报模式[17,18]，WRF主要考虑10 km以下的网格分辨率，利用数值方法和资料同化技术实现气象场景模拟，是从云尺度到降水尺度等不同尺度的重要天气预报工具。本文选用ARW4.1版本，模式的物理过程包含了大气的水平涡动扩散、垂直涡动扩散，积云对流参数化方案、云物理方案，太阳短波辐射和大气长波辐射方案、边界层参数化方案[19]等。WRF模式的基本配置方案如表1所示。
表 1 WRF模式的基本计算配置方案运算方式 方案 动力框架 完全可压缩非静力平衡动力框架 控制方程组 通量形式 水平方向 Arakawa C网格 垂直方向 地形追随质量坐标系 时间积分 4阶的Runge-Kutta算法 3.2 基于WRF的气象场景仿真流程
基于WRF的气象场景仿真流程图如图2所示。将DEM地形数据与温度、风速、压强等初始场数据作为模式运行输入数据，设置投影方式与嵌套层数将输入数据插值到模拟区域网格中，结合积分步长、模式物理参数方案、积云对流参数等方案设置，迭代模拟输出仿真区域空间坐标、不同降水粒子的粒子数浓度、混合比等数据，实现气象场景仿真。
3.3 典型仿真实验及结果分析
本文以2015年6月17日热带风暴“比尔”为气象场景仿真典型实例。该降水场景于17日12:00登陆美国得州马特高尔达岛，该热带风暴最高风速约20 m/s，携带大量水汽，在得州造成局部强降雨，降雨量最高达250 mm，满足对气象场景仿真的气象要求为高保真实现降水粒子场景建模仿真，仿真时长范围至少在24 h，因此模式仿真时间段从2015年6月17日12:00至18日12:00。
仿真场景中心经纬度为北纬32.34°，西经97.18°，地图投影选用兰伯特投影方式。每一层选用合适的微物理方案，保证能输出6种降水粒子的气象参数，准确仿真气象场景。由于不同嵌套网格气象场景精度的不同，本文对于仿真结果验证均采用子网格的气象模拟数据作为研究对象。模式运行嵌套示意图如图3所示。图中外边框表示母网格模拟区域，带标记符号的白色方框表示第2层网格模拟区域，红色矩形框则为最内层模拟区域。
图4表示基于WRF模式的降水粒子仿真可视化结果。图4(a)表示雨滴、云滴、冰雹、霰、冰晶和雪晶等6种降水粒子水汽混合比，图4(b)表示雨滴、云滴、冰雹、霰、冰晶和雪晶等6种降水粒子数浓度。如图4(a)所示，WRF输出的水汽混合比，用于描述仿真场景中空气的含水量，单位为g/kg。从图中可以看出，在该时刻热带风暴在中心处产生涡旋，在涡旋中心及边缘区域降水含量较大。如图4(b)所示，该图表示降雨粒子浓度分布，在涡旋附近，降雨粒子浓度较大。对比图4(a)和图4(b)相同区域，区域红线部分处于热带风暴漩涡边缘，水汽混合比相对中心区域略有增加，并粒子数浓度也有所增大，表明风暴运动带来了大量降水，导致降水粒子数据增大，符合风暴气象特征。通过对比图4(a)和图4(b)可以初步判断WRF仿真热带风暴基本符合热带风暴特性，可用于后续极化雷达回波仿真计算与分析。
4. 基于T-Matrix方法的降水粒子反射率因子计算
为了给降水粒子回波仿真提供不同极化通道的反射率因子数据，分析雨滴、云滴、冰雹、霰、冰晶和雪晶等6种不同降水粒子类型极化散射特性，计算对应散射矩阵求解反射率因子是回波仿真的关键步骤。本节首先对6种不同类型球形降水粒子的物理特性做统计归纳，其次应用T-Matrix方法计算不同降水粒子类型单个粒子散射矩阵，最后结合WRF仿真的气象场景数据，求解相对应的球形降水粒子反射率因子。
4.1 6种降水粒子的物理特征
本节利用T-Matrix方法求解降水粒子反射率因子时需要考虑6种降水粒子的尺寸、半径、离子积常数、密度等物理性质。由于降水粒子的尺寸、形状、复折射系数等都会影响降水粒子的散射能力，进而导致其回波信号的强弱。下面对6种降水粒子的物理特征进行统计描述，如表2所示。
表 2 各种降水粒子的物理特征降水种类 密度(kg/m3) 直径取值范围(m) 离子积常数 云滴 1000 (3×10–4, 1.5×10–3) 0.93 雨滴 1000 (5×10–4, 8.5×10–3) 0.93 冰晶 500 (5×10–4, 1.3×10–2) 0.2 雪晶 100 (3×10–4, 3×10–2) 0.2 霰 400 (3×10–4, 1.5×10–2) 0.2 冰雹 900 (5×10–3, 7×10–2) 0.2 4.2 6种降水类型单一粒子散射矩阵计算
本节利用T-Matrix方法求解单一粒子散射矩阵S，考虑粒子形状为球形条件下，结合雨滴、云滴、雪晶、霰、冰雹和霰粒子等体积球体直径、复折射系数和波长等参数，分析入射场与散射场之间的关系，计算出不同类型降水粒子对应的单一粒子散射矩阵。
计算单一粒子散射矩阵时，以雨滴粒子散射矩阵计算为例，云滴、雪晶、霰、冰雹和霰粒子散射矩阵计算类似，构建散射坐标系L，将坐标原点位于雨滴粒子内部，如图5所示，其方向在空间固定，其原点位于粒子内部。平面入射电磁波的传播方向由单位矢量ˆn或等效地由一对(ϑL,ϕL)指定，其中ϑL是从z轴正方向看向坐标原点，入射波与坐标轴的夹角，φL是方位角，即当沿z轴正方向看时，从x轴正方向沿顺时针方向旋转角度。电场的ϑ分量和φ分量分别表示为EϑL和EφL。EϑL=EϑLˆϑL分量位于穿过电磁波和z轴的平面中，而EφL=EφLˆφL分量垂直于该平面，其中EϑL和EφL是相应的幅度值，ˆϑL和ˆφL是相应的单位向量，且有式(1)关系：
ˆn=ˆϑL׈φL (1) 考虑具有电场矢量的极化平面入射电磁波表达为
Einc(R)=(EincϑLˆϑincL+EincφLˆφincL)exp(jkˆnincR) (2) 式(2)中入射波以ˆninc方向入射到粒子上，这里的k=2π/2πλλ是自由空间波数，λ是自由空间波长，R是连接标准坐标系原点和观测点的位置矢量，下标L表示均在标准坐标系中。由于麦克斯韦方程组和边界条件的线性关系，始终可以用入射电场线性表示散射电场。在远场区域(kR≫1,R=|R|)中，散射波可以用矢量球面波函数表示，由式(3)给出：
Esca(R)=EscaϑL(R,ˆnsca)ˆϑscaL+EscaφL(R,ˆnsca)ˆφscaL (3) 于是入射波与散射波之间的幅度关系可以表示为
[EscaϑLEscaϕL]=exp(jkR)RSL⋅[EincϑLEincϕL] (4) 其中，SL是2×2的散射矩阵S=[ShhShvSvhSvv]。T-Matrix方法优势在于可以不考虑入射场与散射场，而只从降水粒子比如雨滴粒子本身几何结构(形状、尺寸)和自然属性(复折射率)、粒子在所选坐标系中的位置出发，以此计算雨滴粒子的散射矩阵。散射矩阵计算时把散射场的矢量球谐函数的展开系数用入射场的矢量球谐函数的展开系数表示，中间转换矩阵即T矩阵。若雨滴、云滴、霰、冰晶、冰雹和雪晶降水粒子的尺寸、形状及复折射系数确定，则相应粒子的T矩阵也就确定。文献[20-24]指出，当粒子形状在如下尺度情况下时(尺度参数πD/πDλλ>180，D和λ是粒子的特征尺寸和入射波长)，计算精度高、速度快。
为利用T-matrix方法计算散射矩阵，将入射场和散射场用矢量球面波函数Mmn和Nmn描述，表示为
Einc(R)=∑mn[amnRgMmn(kR)+bmnRgNmn(kR)] (5) Esca(R)=∑mn[pmnRgMmn(kR)+qmnRgNmn(kR)],|R|>r0 (6) 式(6)中r0表示粒子外接球半径，Mmn(kR), Nmn(kR)是基于第1类Hankel函数的矢量波函数，RgMmn(kR)和RgMmn(kR)是基于球表示的源函数，在粒子坐标系下，坐标系原点位于粒子的内部。式(5)和式(6)中的展开系数可以表达为
amn=4π⋅indnC−mn(ϑinc,φinc)⋅Einc (7) bmn=4π⋅in−1dnB−mn(ϑinc,φinc)⋅Einc (8) pmn=∞∑n′=1n′∑m′=−n′(T11mnm′n′am′n′+T12mnm′n′bm′n′) (9) qmn=∞∑n′=1n′∑m′=−n′(T21mnm′n′am′n′+T22mnm′n′bm′n′) (10) 由于入射场和散射场满足麦克斯韦方程，则粒子的入射场、散射场展开系数是线性相关的，采用矩阵形式来描述，展开系数之间关系可表示为
[pq]=T[ab]=[T11T12T21T22][ab] (11) 式(11)是T-Matrix方法的基础。其中T=−Q(1)(Q(3))−1, Q的上角标(1)，(3)分别表示第1类和第3类Bessel函数。电磁波的入射场展开系数可通过近似值解析表达式获得，当散射粒子的T矩阵被确定时，相应的散射场就可以利用式(4)—式(6)求得，以Shh为例，表达式为
Shh(ˆnsca,ˆninc)=iknmax∑n=1nmax∑n′=1max(n,n′)∑m=−max(n,n′)amnm′n′⋅exp[jm(φsca−φinc)]⋅[T11mnmn′(P)πmn(ϑsca)τmn′(ϑinc) + T21mnmn′(P)τmn(ϑsca)τmn′(ϑinc)+T12mnmn′(P)πmn(ϑsca)πmn′(ϑinc) +T22mnmn′(P)τmn(ϑsca)πmn′(ϑinc)] (12) 式中ϑinc, ϑsca, φinc, φsca依次为散射电磁波和入射电磁波在坐标系中的ϑ和φ。m和n表示散射求和点数，不同粒子的等体积球体直径d(使用表2中粒子直径进行计算)、形状因子μ、波长λ和复折射率m用于确定单个粒子散射矩阵求解时的求和上限nmax，计算公式如式(16)。Tklmnmn′(P)为T矩阵中元素，且Tklmnmn′(P)与Tijmnm′n′(P)之间的关系式如式(14)。其他系数amnn′, Tijmnm′n′, πmn(ϑ)和τmn(ϑ)计算如下：
nmax=ψ(μ,λ,d,m) (13) Tijmnm′n′(P)=dmm′Tijmnmn′(P),i,j=1,2 (14) amnn′=in′−n−1[(2n+1)(2n′+1)n(n+1)n′(n′+1)]1/122 (15) πmn(ϑ)=mdn0m(ϑ)dsinϑ (16) τmn(ϑ)=ddn0m(ϑ)dϑ (17) 于是将Tklmnmn′(P),(k,l=1,2)代入式(12)得到Shh，同理计算出不同降水类型单个粒子的散射矩阵S的各个元素值。
本节以气象场景建模仿真结果为研究对象，考虑降水粒子形状为球形、入射波长3.2cm条件下，利用T-Matrix方法计算了雨滴(等体积球体半径=10 μm，复折射率=66+j33)、冰雹(等体积球体半径=5 μm，复折射率=3.17+j5.4×10–3)、霰(等体积球体半径=10 μm，复折射率=1.97+j0.271)、雪晶(等体积球体半径=5 μm，复折射率=6.05+j1.57)、冰晶(等体积球体半径=4 μm，复折射率=3.17+j5.4×10–3)、云滴(等体积球体半径=2 μm，复折射率=66+j33)等6种降水粒子物理特征参数下对应的散射矩阵。
4.3 6种降水粒子反射率因子计算
在进行雨滴、云滴、冰雹、霰、冰雹和雪晶降水粒子的雷达回波仿真计算时，需要引入变量表征空间不同类型群粒子目标对电磁波的反射能力，即反射率因子。雨滴、云滴、冰雹、霰、冰雹和雪晶的反射率因子反映了一个空间分辨单元内所有同类降水粒子散射能力的叠加结果，因此在分析时需要结合其微物理特性，如倾角分布、雨滴谱分布和轴比分布，当空间分辨单元尺度远远小于气象场景尺度时，可以认为空间分辨单元内粒子是均匀分布的，因此可以用粒子尺寸D、方位角ϑ、俯仰角φ的3维积分来计算该空间分辨单元的反射率因子。以雨滴为例，雨滴的反射率因子Zij的具体计算公式为
Zij(rain)=λ4π5|Kw|2∭σijN(Drain)p(ϑ)p(φ)⋅dDraindϑdφ,(i,j=h,v) (18) 式中，h和v分别表示雷达电磁波的极化方向，h表示水平方向，v表示垂直方向，λ表示入射电磁波波长，Drain表示雨滴的等体积球体直径，具体数值参考表2；|Kw|2为雨滴的离子积常数值取0.93；σij为雨滴粒子的后向散射截面积，可利用散射矩阵S求得；p(ϑ),p(φ)分别表示方位角θ和俯仰角φ的概率密度函数，通常取高斯型；N(Drain)为雨滴粒子雨滴谱函数，通常选用Gamma分布，用于表示粒子直径与粒子数之间的关系，利用WRF仿真的不同降水粒子的气象场景结果，如降水粒子混合比和粒子数浓度数据以及表2中的粒子密度参数。如上即分析了雨滴粒子的反射率因子计算过程，其他粒子(霰、冰雹、冰晶、雪晶和云滴)的反射率因子计算公式同上所示，离子积常数取值参考表2如：霰、冰雹、冰雹和雪晶取0.2；云滴取0.93。
5. 机载双极化气象雷达回波仿真
5.1 降水粒子雷达回波信号模型
当气象雷达进行雨滴、云滴、冰雹、霰、冰雹和雪晶降水粒子回波仿真时，仿真场景坐标系示意图如图6所示。雷达坐标系(x′,y′,z′)以雷达位置(xa,ya,za)为中心，其中雷达天线相对于地球表面的仰角为θ，假设考虑雨滴降水粒子的第p个降水粒子位置的坐标为rp≡(rp,θp,φp)。
根据降水粒子雷达气象方程实现空间群粒子极化雷达回波信号的求解，即利用反射率因子来计算不同极化方向上接收降水粒子的平均电磁波功率ˉPij，第p个降水粒子的ˉPij表示如下
ˉPij=C|Kw|2r2⋅Zij，(i,j=h,v) (19) 式中，r表示雷达与目标的径向距离；Zij表示雨滴、云滴、冰雹、霰、冰雹和雪晶不同类型降水粒子不同极化方向下的反射率因子，在4.3节已计算出。根据以上公式即可计算出每个极化通道距离r处从雷达分辨单元接收的单个脉冲的平均功率[25]，最后结合雨滴、云滴、冰雹、霰、冰雹和雪晶粒子的相位信息，则距离r处雷达分辨单元所仿真的单个脉冲雷达回波信号可以表示为
sij(t)=ˉVij(t)e−jWt=C|Kw|2r2⋅Zij⋅e−jWrte−j2f0te−jWdt,(i,j=h,v) (20) C=cT02PtG20λ2(4π)3π5r20 (21) 式(20)中Wd表示时间角频率；f0是载波频率；Wr表示时延相位；C为常数，具体计算如式(21)，式中Pt表示雷达发射功率；G0表示天线增益；τ表示脉冲宽度；c表示光速。
5.2 仿真实验与结果分析
5.2.1 仿真参数设置
本文仿真参数设置如表3所示。
表 3 雷达仿真参数设置参数 参数值 参数 参数值 飞机高度(m) 6000 波束宽度(°) 3.5 工作频率(GHz) 9.375 PRF(Hz) 800 飞机速度(m/s) 200 采样脉冲数 64 距离分辨率(m) 150 脉冲宽度(µs) 1 扫描方式 PPI 扫描速度(°/s) 45 5.2.2 仿真结果及分析
图7是混合回波仿真结果和地基雷达反射率因子对比图。因为极化参数是目前气象工作者通过极化雷达回波对气象场景反演的主要参数。因此在仿真结果对比分析时利用反射率因子对其仿真结果进行展示。本文中为方便对比，雷达扫描方向即机头方向为正北方向。图7(a)是雨滴、云滴、雪晶、霰、冰雹和霰粒子混合回波仿真结果，图7(b)是KFWS地基雷达反射率因子图，从图7(a)，图7(b)两图可以看出根据雷达回波反演的水平反射率因子(左图)与地基雷达KFWS实测反射率因子(右图)分布特征基本一致，符合风暴气象变化特征。对比图7中红色圆圈标记区域，仿真结果的反射率因子数值可达到40 dBZ左右，KFWS地基雷达实测数据约为41 dBZ，说明降水粒子雷达回波仿真结果符合实际情况。
图8(a)—图8(l)是6种降水粒子各自的水平反射率因子和差分反射率因子图，图8(a)和图8(b)为云滴的回波仿真结果，云滴的仿真能为降水的形成提供水汽条件，其相态变化可以转变为雨滴或冰晶等；从图8(c)和图8(d)可以看出雨区集中在风暴旋涡中心处，且差分反射率因子数据表明雨滴粒子形状各异，存在球形与扁椭球形；图8(e)和图8(g)显示了冰雹和霰的仿真结果，结果指出冰雹和霰通常会并存在同一区域；图8(i)和图8(j)为雪晶的仿真结果，显示指出雪晶多存在于风暴外围区域，形状的不规则性导致差分反射率因子数值变化范围较大；图8(k)和图8(l)为冰晶的仿真结果，此次气象场景仿真，冰晶存在方位与冰雹和霰的区域较为一致，是冰雹形成的粒子基础。由于数值模式仅是通过求解动力方程，不能完全与降水场景情况一模一样，当前仿真结果只可以在宏观上符合实际降水粒子的分布，在局部仿真结果与实测数据仍有细微偏差存在。
6. 结束语
机载双极化雷达技术的发展能显著提升雷达探测性能，但机载双极化雷达实测数据获取困难，无法为促进机载极化气象雷达技术发展提供数据支持，仿真数据能有效解决此类问题，辅助雷达检测及分类算法研究的开展。针对机载气象雷达回波仿真，本文提出一种机载双极化气象雷达多种降水粒子回波仿真方法。该方法首先利用WRF模式实现降水粒子气象场景仿真；其次考虑降水粒子为球形条件下，利用T-Matrix方法计算雨滴、云滴、雪晶、霰、冰雹和霰等降水粒子单一粒子的散射矩阵，并结合微物理特性计算反射率因子；最后应用雷达气象方程实现云滴、雨滴、雪晶、冰晶、冰雹和霰降水粒子的雷达回波信号仿真。仿真结果与实测数据对比验证表明了所提方法的可靠性。
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1 低复杂度联合波束成形设计算法
输入：初始化(W,Θ,P) 步骤1 基于已知BS-RIS信道G和RIS-UEs信道Hr和引理1，根
据式(14)计算RIS反射矩阵Θ；步骤2 基于ZF理论，根据式(19)计算BS发射波束成形W； 步骤3 基于WF理论，根据式(23)计算功率分配矢量P； 步骤4 输出优化得到的(W,Θ,P)。 
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