Research on Construction Methods of Low Correlation zone Complementary Sequence Sets
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摘要: 完备互补序列是一类具有理想相关函数性质的信号，在多址接入通信系统、雷达波形设计等领域具有广泛的应用。然而完备互补序列集合大小不超过其子序列数目。为扩展互补序列数目，该文研究了非周期低相关区互补序列集的构造方法，首先提出了两类有限域上的映射函数，进而得到两类参数渐近达到最优的低相关区互补序列集。该类低相关区互补序列集相比完备互补序列集具有更多的序列数目，在通信系统中可支持更多的用户。Abstract: Perfect complementary sequence is a kind of signal with ideal correlation function, which is widely used in multiple access communication system, radar waveform design and so on. However, the set size of perfect complementary sequences is at most equal to the number of its subsequences. In order to expand the number of complementary sequences, the construction methods of aperiodic low correlation zone complementary sequence set are studied in this paper. First, two kinds of mapping functions on finite fields are proposed, and then two kinds of low correlation zone complementary sequence set with asymptotically optimal parameters are obtained. The number of these kinds of low correlation zone complementary sequence set are more than that of the perfect complementary sequence set, thereby supporting more users in the communication system.
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1. 引言
密集异构蜂窝网通过在宏蜂窝小区中部署小型基站来提高系统的通信容量和覆盖范围[1]，但由于无线通信的开放性使其面临信号在传输过程中被非法窃听的问题。近年来，物理层安全技术利用合法信道和窃听信道天然的信道差异来实现安全传输[2]，成为解决密集异构蜂窝网安全通信问题的重要手段之一[3]。其中，研究广泛的人工噪声技术通过在合法信道的零空间发射噪声干扰，在不影响合法信道的前提下降低窃听信道质量。文献[4]首次将人工噪声方案用于保障安全通信。考虑节点随机分布的通信场景，文献[5]在Ad hoc网络中应用人工噪声来实现安全传输。在此基础上，文献[6]设计了基于安全保护域的人工噪声方案，通过设置安全通信范围并设计人工噪声来实现安全通信。在多小区协作场景中，文献[7,8]通过多节点协作干扰制造人工噪声来实现安全传输。
上述文献均基于理想的信道假设，即发射端可得到准确的信道状态信息(Chanel State Information, CSI)。实际中，由于信道估计误差等因素的影响，CSI难以准确地获取，因此考虑非理想CSI下的安全传输更符合实际。针对信道估计误差的问题，文献[9,10]分别针对窃听者随机分布以及干扰节点随机分布的系统，分析人工噪声方案的安全性能，为基于人工噪声的安全传输方案设计提供理论指导，但该分析仅针对干扰节点和窃听节点随机分布的系统，缺乏对所有通信节点均随机分布的考虑。点对点通信场景中，文献[11,12]针对中继协作系统，设计了人工噪声辅助波束成形的安全传输方案。文献[13]提出将人工噪声用于大规模MIMO (Multiple-Input Multiple-Output)系统，从而保证非理想CSI条件下的安全传输。但由于文献[11–13]仅考虑节点固定的通信场景，其算法扩展性受到密集异构蜂窝网拓扑结构的限制，因此需要针对节点随机动态部署的网络结构设计非理想CSI条件下的安全传输方案。
针对上述问题，本文针对存在信道估计误差的系统，分析了非理想CSI条件下人工噪声对安全可靠通信的影响，在此基础上给出功率分配优化模型，使系统在不同信道估计精度条件下得到最优的功率分配因子。首先，考虑信道估计误差对合法信号传输造成的波束偏移以及人工噪声泄露，推导了典型通信链路的连通中断概率和安全中断概率，在此基础上分析了功率分配因子对系统可靠性及安全性的影响。为优化系统性能，在安全性和可靠性约束条件下提出了功率分配优化模型以最大化系统安全吞吐量。通过K维联合搜索算法优化出每层网络的最优功率分配因子。仿真分析得出结论：应用人工噪声方案并设置最优功率分配因子时系统能提升约15%的安全吞吐量。
2. 系统模型
在K层密集异构蜂窝网中，随机分布的基站、用户和窃听者均可建模为均匀泊松点过程(Homogeneous Point Process Positions, HPPPs)
Φi ,Φu 和Φe ，其分布密度可分别表示为λi ,λu 和λe 。不同层基站设置不同的发射功率、天线数量以及空间分布。以第i层第m个基站Bim 为例，其发射功率设置为Pi ，天线数量为Ni 。用户和窃听者均配置单天线。同时考虑大尺度和小尺度衰落，其中大尺度衰落系数为α ,α>2 。小尺度衰落为准静态瑞利衰落模型，信道增益服从独立同分布的零均值指数分布。开放网络中用户可接入任意一层基站，但由于密集异构蜂窝网节点密集部署，用户接入效率受到影响。因此利用平均接收功率作为用户接入基站的衡量标准，假设接入门限分别为
τi ，仅当用户接收功率高于预设门限值τi 时才可接入相应的发射基站，可表示为Pi|xi|−α>τi (1) 由于接入门限的设置是依据大尺度衰落确定的，因此可认为当用户距离基站的距离
xi 小于备选半径Di 时可接入基站，其中Di=(Pi/τi)1/α 。也就是说，用户可接入的基站必须位于一个圆形区域(0,Di] 内。在此范围内，合法用户接入接收功率最大的基站，则用户接入基站的连接概率Ai 以及用户到服务基站距离Xi 的概率密度函数fXi(x) 可分别表示为[14]Ai=P{Pri>Prj|xi,∀j∈K∖i}=λi(Pi)2/α(1−exp(−πτi−2α∑j∈Kλj(Pj)2/α))/K∑j=1λj(Pj)2/α (2) fXi(x)=2πλi/Ai⋅xexp{−π∑j∈Kλj(Pj/Pi)2/αx2} (3)
在信道估计阶段，基站发射导频信号，用户通过接收到的导频信号对当前信道进行估计，不考虑反馈时延和量化误差，用户将信道估计值通过理想的回程链路反馈给基站。在信号传输阶段，基站通过反馈得到的当前CSI进行预编码，然后进行信号传输。由于密集异构蜂窝网节点随机密集部署，用户在估计信道时可能收到来自多个小区的导频信号引起信道估计误差。以
hui 来表示合法信道的信道向量，˜hui 表示hui 的估计值，则估计信道与实际信道之间的关系可表示为[10]hui=˜hui+oi (4) 其中，
oi 表示信道估计误差，oi∼CN(0TNi,(1−ρi)INi) 。由于1−ρi 是估计误差的方差，ρi(0≤ρi≤1) 越大信道估计误差越小，由此可将ρi 看作信道估计精度，ρi 越大信道估计越准确。3. 性能分析
为防止窃听，基站通过在合法用户零空间发射人工噪声的方式，降低窃听信道容量同时不影响合法用户的通信。假设典型用户接入基站
Bim ，基站以功率κiPi 发射信号，而以功率(1−κi)Pi 发射人工噪声。由于基站依据估计CSI设计预编码矩阵，应用最大比合并的编码方式，编码矩阵可表示为˜wi=˜hHui/‖˜hui‖ 。此时用户的接收信号可表示为yui=√κiPihui˜wisuixi−α/2+√(1−κi)Pi/(Ni−1)hui˜Uisnixi−α/2+Iui+nui (5) 其中，
sxi 和sni 分别表示私密信号和人工噪声。˜Ui 表示人工噪声的方向向量，由于其方向位于估计信道零空间，因此˜hHui˜Ui=0 。Iui 表示合法用户接收到来自相邻小区的干扰，nui 是用户收到的零均值加性高斯白噪声。由式(5)可知用户接收来自第i层基站的SINR
γiU 可表示为γiU=(κiPi‖˜hui˜wi‖2|Xi|−α)/(κiPi‖oi˜wi‖2|Xi|−α+(1−κi)Pi/(1−κi)Pi(Ni−1)(Ni−1)⋅‖oi˜Ui‖2|Xi|−α+Iui+σ2ui) (6) 其中，
i∈[1,K] ,‖˜hui˜wi‖2∼Γ(Ni,ρi) 。κiPi ⋅‖oi˜wi‖2|Xi|−α 和(1−κi)Pi/(Ni−1)⋅‖oi˜Ui‖2|Xi|−α 分别表示信道估计误差导致的信号偏移以及人工噪声泄露，其中‖oi˜wi‖2∼exp(1−ρi) ,‖oi˜Ui‖2∼ Γ(Ni−1,1−ρi) 。Iui=∑Kj=1∑j∈Φj∖Bim(κjPj‖huj˜wj‖2 ⋅|Zi|−α+(1−κj)Pj/(Nj−1)⋅‖huj˜Uj‖2|Zi|−α) 表示用户接收到来自小区间和小区内的干扰，其中κjPj‖huj˜wj‖2|Zi|−α 表示来自干扰基站的信号，(1−κi)Pi/(Ni−1)⋅‖huj˜Uj‖2|Zi|−α 表示来自干扰基站的人工噪声，huj 是干扰基站到典型用户的信道向量，Zi 为典型用户到干扰基站的距离。σ2ui 表示用户接收到的高斯白噪声。假设窃听者可准确估计信道。由于窃听者随机分布，考虑最危险(即窃听SINR最大)的情况，其接收SINR
γiE 可表示为γiE=max (7) 其中，
i \in {\rm{[1,}}K{\rm{]}} ,{{{h}}_{{\rm ei}}} 表示窃听信道向量，{\left\| {{{{h}}_{{\rm ei}}}{{{\tilde{{w}}}}_i}} \right\|^2} \sim \exp \left( 1 \right) ,{Y_i} 表示服务基站到窃听者的距离。\left( {1 - {\kappa _i}} \right){P_i}/\left( {{N_i} - 1} \right) \cdot {\left\| {{{{h}}_{{\rm ei}}}{{{\tilde{{U}}}}_i}} \right\|^2}{\left| {{Y_i}} \right|^{ - \alpha }} 是窃听者接收到的人工噪声，{\left\| {{{{h}}_{{\rm ei}}}{{{\tilde{{U}}}}_i}} \right\|^2} \sim \Gamma \left( {{N_i} - 1,\;1} \right) 。{I_{{\rm{ei}}}} = \displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^K \;\;\displaystyle\sum\nolimits_{j \in {\Phi _j}\backslash {B_{{\rm im}}}}\;\; \left({\kappa _j}{P_j}\;\; {{\Bigr\| {{{{h}}_{{\rm ej}}}{{{\tilde{{w}}}}_j}} \Bigr\|}^{\rm{2}}}{{\Bigr| {{M_i}} \Bigr|}^{ - \alpha }} \;+ \;\left( {1 - {\kappa _j}} \right){P_j}\right. \biggr/\left.\left( {{N_j} - 1} \right) \cdot {{\left\| {{{{h}}_{{\rm ej}}}{{{\tilde{{U}}}}_j}} \right\|}^2}{{\left| {{M_i}} \right|}^{ - \alpha }} \right) 表示窃听者接收到来自小区内和小区间的复杂干扰，其中{\kappa _j}{P_j}{\left\| {{{{h}}_{{\rm ej}}}{{{\tilde{{w}}}}_j}} \right\|^{\rm{2}}} {. \left| {{M_i}} \right|^{ - \alpha }} 和\left( {1 - {\kappa _j}} \right){P_j}/\left( {{N_j} - 1} \right) \cdot {\left\| {{{{h}}_{{\rm ej}}}{{{\tilde{{U}}}}_j}} \right\|^2}{\left| {{M_i}} \right|^{ - \alpha }} 表示来自干扰基站的信号和人工噪声干扰，其中{{{h}}_{{\rm ej}}} 表示干扰基站到窃听者的信道向量，{M_i} 表示干扰基站到窃听者的距离。{\sigma^2 \!\!\! _{{\rm ei}}} 表示窃听者接收的高斯白噪声。由式(6)及式(7)可知信道估计误差引起波束偏移以及人工噪声泄露对用户及窃听者的接收SINR产生影响，同时由于密集异构蜂窝网通信节点随机密集部署的特点，导致难以直接分析功率分配因子以及信道估计精度对系统安全可靠性能的影响。因此本节通过推导连通中断概率和安全中断概率对系统的可靠性和安全性进行研究，并在此基础上给出可提升系统性能的优化模型。
3.1 可靠性能分析
连通中断概率(Connection Outage Probability, COP)是衡量通信可靠性的重要指标。对于给定的连通中断阈值
R_b^{} ，第i层基站的COP可表示为\begin{align}P_{{\rm co}}^i = & {\mathbb{P}}\left( {{{\log }_2}\left( {1 + \gamma _U^i} \right) \le R_b^{}} \right)\\ =& {\mathbb{P}}\biggr( {{{\left\| {{{{{\tilde {h}}}}_{{\rm ui}}}{{{{\tilde {w}}}}_i}} \right\|}^2} \le \biggr( {{\mathbb{E}}\left( {{\kappa _i}{P_i}{{\left\| {{{{o}}_i}{{{{\tilde {w}}}}_i}} \right\|}^2} \!+\! \frac{{\left( {1 - {\kappa _i}} \right){P_i}}}{{{N_i} - 1}}} \right.} }\\& \cdot {{ {{{\left\| {{{{o}}_i}{{{{\tilde {U}}}}_i}} \right\|}^2}}\biggr) + \left( {{I_{{\rm ui}}} + {\sigma^2\!\!\! _{{\rm ui}}}} \right){x^\alpha }} \biggr)\frac{{{2^{R_b^{}}} - 1}}{{{\kappa _i}{P_i}}}} \biggr)\end{align} (8) 记
{\varTheta _i} \!=\!\! \left(\! \mathbb{E}\left(\! {{\kappa _i}{P_i}{{\left\| {{{o}_i}{{{\tilde{{w}}}}_i}} \right\|}^2} \!+\! \displaystyle\frac{{\left( {1 - {\kappa _i}} \right){P_i}}}{{{N_i} - 1}}{{\left\| {{{o}_i}{{{\tilde{{U}}}}_i}} \right\|}^2}}\! \right) \right. \left. +\left( {{I_{{\rm ui}}} + {\sigma^2 \!\!\!_{{\rm ui}}}} \right){x^\alpha_i} \right)\displaystyle\frac{{{2^{R_b^{}}} - 1}}{{{\kappa _i}{P_i}{\rho _i}}} ,\phi = {2^{R_b^{}}} - 1 。首先对{\varTheta _i} 进行求解，由于{\left\| {{{{o}}_i}{{{\tilde{{w}}}}_i}} \right\|^2} \sim \exp \left( {1 - {\rho _i}} \right) ,{\left\| {{{{o}}_i}{{{\tilde{{U}}}}_i}} \right\|^2} \sim {\rm{Gamma}}\left( {{N_i} - 1,\;1 - {\rho _i}} \right) ，可将{\varTheta _i} 表示为{\varTheta _i} = \Bigr( {{P_i}\left( {1 - {\rho _i}} \right) + \left( {{I_{{\rm{ui}}}} + {\sigma^2 \!\!\!_{{\rm{ui}}}}} \right){x^\alpha }} \Bigr)\displaystyle\frac{\phi }{{{\kappa _i}{P_i}{\rho _i}}} ，其均值可表示为\mathbb{E}\left( {{\varTheta _i}} \right) = \displaystyle\frac{{\left( {1 - {\rho _i}} \right)\phi }}{{{\kappa _i}{\rho _i}}} + \left[ {\mathbb{E}\left( {{I_{{\rm{ui}}}}} \right) + {\sigma^2 _{{\rm{ui}}}}} \right]\displaystyle\frac{{\phi {x^\alpha_i} }}{{{\kappa _i}{P_i}{\rho _i}}} ，其中，\begin{align}{\mathbb{E}}\left( {{I_{{\rm{ui}}}}} \right) =& \sum\limits_{j = 1}^K {\exp } \biggr\{ { \!\!- 2{{π}} {\lambda _j}} \int_{{D_j}}^\infty \!\!{\biggr[ {1 - {\mathbb{E}}\left( {{\kappa _j}{P_j}{{\left\| {{{{h}}_{{\rm uj}}}{{{\tilde{{w}}}}_j}} \right\|}^{\rm{2}}}} \right.}{z^{ - \alpha }}} \\ &\!\!\!\!. z^{ - \alpha }+ \frac{{\left( {1 - {\kappa _j}} \right){P_j}}}{{{N_j} - 1}}\left. {\left. {{{\left\| {{{{h}}_{{\rm uj}}}{{{\tilde{{U}}}}_j}} \right\|}^2}{z^{ - \alpha }}} \right)} \right] {z{\rm{d}}z} \biggr\}\\ = &\sum\limits_{j = 1}^K {\left( {2{{π}} {\lambda _j}{P_j}{\rho _j}{{\left( {{D_j}} \right)}^{2 - \alpha }}\Big/\left( {\alpha - 2} \right)} \right)} \end{align} (9) 将式(9)代入
\mathbb{E}\left( {{\varTheta _i}} \right) 可得\begin{align}{\mathbb{E}}\left( {{\varTheta _i}} \right) =& \frac{{\left( {1 - {\rho _i}} \right)\phi }}{{{\kappa _i}{\rho _i}}} + \left(\sum\limits_{j = 1}^K {\left( {\frac{{2{{π}} {\lambda _j}{P_j}{\rho _j}{{\left( {{D_j}} \right)}^{2 - \alpha }}}}{{\alpha - 2}}} \right)}\right. \\& + {\sigma^2 \!\!\!_{{\rm{ui}}}}\Biggr)\frac{{\phi {x^\alpha }}}{{{\kappa _i}{P_i}{\rho _i}}}\end{align} (10) 定理 1 用户接入第i层基站后的COP可表示为
\begin{align}P_{{\rm co}}^i & \mathop= \limits^{\left( a \right)} 1 - \int_0^{{D_i}} {\sum\limits_{k = 0}^{{N_i} - 1} {\mathbb{E}{{\Bigr( {\left[ {\mathbb{E}\left( {{\varTheta _i}} \right)} \right]} }^k}} } \exp \Bigr( { - {\varTheta _i}/{\rho _i}}\Bigr )\\& \quad{\Bigr/ \left. {\Bigr( {k!{\rho^k\!\!\! _i}} \Bigr)} \right){f_{{X_i}}}(x){\rm{d}}x}\\ &= 1 - \int_0^{{D_i}} {\sum\limits_{k = 0}^{{N_i} - 1} {{{\Bigr[ {\mathbb{E}\left( {{\varTheta _i}} \right)} \Bigr]}^k}} } \exp \Bigr[ - \Bigr( {{P_i}\left( {1 - {\rho _i}} \right)} \\&\quad \left. +{{\sigma^2\!\!\! _{{\rm ui}}}{x^\alpha }} \Bigr)\phi \Bigr/\left( {{\kappa _i}{P_i}{\rho^2 \!\!\!_i}} \;\right) \right] {{{\cal L}}_{{I_{{\rm ui}}}}}\left( {{\varepsilon _i}} \right)\Bigr/ \left( {k!{\rho ^k\!\!\! _i}}\ \right)\\& \quad{\cdot {f_{{X_i}}}(x){\rm{d}}x}\end{align} (11) 式(11)中(a)由Gamma分布的积累分布函数可得。
{\varepsilon _i} = \phi {x^\alpha }/\left( {{\kappa _i}{P_i}{\rho^2 \!\!\!_i}}\, \right) ,{\mathcal{L}_{{I_{{\rm uj}}}}}\left( {{\varepsilon _i}} \right) 表示干扰{I_{{\rm uj}}} 的拉普拉斯变换。定义{\nu _i} = {P_j}^{\rm I}\left( {{{\left\| {{{{h}}_{{\rm uj}}}{{{\tilde{{w}}}}_j}} \right\|}^{\rm{2}}} + {\varsigma _j}{{\left\| {{{{h}}_{{\rm uj}}}{{{\tilde{{U}}}}_j}} \right\|}^2}} \right) ，表示接入第i层BS的用户接收到的来自干扰基站的包括干扰信号和人工噪声的总干扰功率，其中{P_j}^{\rm I} = {\kappa _j}{P_j} ,{\varsigma _j} = \left( {1 - {\kappa _j}} \right)/\left[ {\left( {{N_j} - 1} \right){\kappa _j}} \right] 。{\nu _i} 的概率分布函数可表示为[5]{f_{{\nu _i}}}\left( \iota \right) = \left\{\!\!\! \begin{array}{l}\frac{{{\iota ^{{N_j} - 1}}}}{{\left( {{N_j} - 1} \right)!{{\left( {{P_j}^{\rm I}{\rho _j}} \right)}^{{N_j}}}}}{{{\rm e}}^{ - \scriptsize\displaystyle\frac{\iota }{{{\rho _j}{P_j}^{\rm I}}}}},\;\;\;\;{\varsigma _j} = 1\\\frac{{{{\left( {1 - {\kern 1t} {\varsigma _j}} \right)}^{1 - {N_j}}}}}{{\left( {{N_j} - 2} \right)!{\rho _j}{P_j}^{\rm I}}}{{{\rm e}}^{ - \scriptsize\displaystyle\frac{\iota }{{{\rho _j}{P_j}^{\rm I}}}}}\\ \quad\; .\gamma \left( {{N_j} - 1,\frac{{\left( {1 - {\varsigma _j}} \right)\iota }}{{{\varsigma _j}{\rho _j}{P_j}^{\rm I}}}} \right),\;\;\;\;\;{{其他}}\end{array} \right. (12) 定义
{\chi _j} = \displaystyle\int_0^\infty {{{{\rm e}}^{ - {\varepsilon _j}\iota {x^{ - \alpha }}}}{f_{{\nu _i}}}\left( \iota \right)} {\rm{d}}\iota ，则{\mathcal{L}_{{I_{{{\rm ui}}}}}}\left( {{\varepsilon _i}} \right) 可表示为\begin{align}{{\mathcal{L}}_{{I_{{ui}}}}}\left( {{\varepsilon _i}} \right) =& {{\mathbb{E}}_{{I_{{\rm{ui}}}}}}\left\{ {\exp \left( { - {\varepsilon _i}\sum\limits_{j = 1}^K {\sum\limits_{j \in {\Phi _j}\backslash {B_{{\rm im}}}} {{\nu _i}{{\left\| x \right\|}^{ - \alpha }}} } } \right)} \right\}\\ =& \prod\limits_{j = 1}^K {{{\mathbb{E}}_{{\Phi _j}}}} \left\{ {\prod\limits_{j \in {\Phi _j}\backslash {B_{{\rm im}}}} {{{\mathbb{E}}_{{\nu _i}}}\left\{ {\exp \left( { - {\varepsilon _i}{\nu _i}{{\left\| x \right\|}^{ - \alpha }}} \right)} \right\}} }\! \right\}\\ \mathop = \limits^{\left( {\rm{a}} \right)} &\prod\limits_{j = 1}^K {\exp \left( { - 2{{π}} {\lambda _j}\int_0^\infty {\left( {1 - {\chi _j}} \right)x{{\rm d}}x} } \right)} \end{align} (13) 式中，(a)是由PPP的形成函数(Probability Generating Functional Lemma，PGFL)得到,
{\chi _j} 可表示为[15]{\chi _j} = \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l}{\left( {1 + {\varphi _j}{x^{ - \alpha }}} \right)^{ - {N_j}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\, {\varsigma _j} = 1\\\frac{{{{\left( {1 - {\varsigma _i}} \right)}^{1 - {N_j}}}}}{{1 + {\varphi _j}{x^{ - \alpha }}}} - \sum\limits_{m = 0}^{{N_j} - 2} {\frac{{{\varsigma _i}{{\left( {1 - {\varsigma _i}} \right)}^{m + 1 - {N_j}}}}}{{{{\left( {1 + {\varsigma _i}{\varphi _j}{x^{ - \alpha }}} \right)}^{m + 1}}}},\; {{其他}}} \end{array} \right. (14)
其中，
{\varphi _j} = {\kappa _j}{P_j}{\rho _j}{\varepsilon _i} = \phi {x^\alpha }/{\rho _i} 。注意到功率分配因子和信道估计精度对COP均产生影响。由式(11)可知，COP与信道估计精度是负相关的，这是由于信道估计精度越大，估计误差越小，此时系统更能实现可靠传输。换言之，准确的信道估计能够降低COP，是实现可靠通信的重要前提。
此外，COP随功率分配因子的增加而减小。由于功率分配因子反映了信号发射功率和人工噪声功率的关系，功率分配因子越大意味着信号传输功率越大而人工噪声功率越小。一方面由于更大的信号功率本身对通信链路的可靠性提供有效增益；另一方面，由于信道估计误差的存在，预设发射在合法信道零空间的人工噪声可能泄露到合法信道上，此时增大功率分配因子，人工噪声发射功率减小，则泄露到合法信道的噪声功率减小，通信链路的可靠性得到保证。
3.2 安全性能分析
安全中断概率(Security Outage Probability, SOP)是衡量通信安全性的重要指标。对于给定的安全中断阈值
R_s^{} ，第i层基站的SOP可表示为P_{{\rm so}}^i = \mathbb{P}\left( {{{\log }_2}\left( {1 + \gamma _E^i} \right) > R_u^i - R_s^{}} \right) (15) 为求解
P_{{\rm so}^i 的表达式，将式(15)变形为P_{{\rm so}}^i = 1 - {\mathbb{F}_{\gamma _E^{}}}\bigr({2^{(R_u^i - {R_s})}} - 1\bigr) ，其中{\mathbb{F}_{\gamma _E^{}}}( \cdot ) 表示窃听SINR 的分布函数。R_U^i{\rm{ = }}\mathbb{E}\left\{ {{{\log }_2}\left( {1 + \gamma _U^i} \right)} \right\} 表示合法用户的平均可达速率。由于难以得出R_U^i 的精确表达式，因此考虑计算用户平均可达速率的下界，记为R_U^{{L_i}} 。依据Jensen不等式，有R_U^{{L_i}} = {\log _2}\left(\! {1 \!+\! {{\left[ {\mathbb{E}\left( {\gamma {{_{_U}^i}^{ - 1}}}\! \right)} \right]}^{ - 1}}} \right) \!\le\! \mathbb{E}\left\{ {{{\log }_2}\left( {1 + \gamma _U^i} \right)} \right\} (16)
定理 2 信道估计误差条件下用户平均可达速率的下界为
\begin{align}R_U^{{L_i}}=& {\log _2}\!\left( \!{1 \!+\!\! \left[ {{\mathbb{E}}\left(\!\! {\left( \!{{\kappa _i}{P_i}{{\left\| {{{{o}}_i}{{{{\tilde {w}}}}_i}} \right\|}^2} \!+\! \frac{{\left( {1 \!-\! {\kappa _i}} \right){P_i}}}{{{N_i} - 1}}\!{{\left\| {{{{o}}_i}{{{{\tilde {U}}}}_i}} \right\|}^2}} \right.} \right.} \right.} \right.\\& \left. {{{\left. {\left. {\left. { + \left( {{I_{{\rm ui}}} + {\sigma^2\!\!\! _{{\rm ui}}}} \right){{\left| {{X_i}} \right|}^\alpha }\biggr/\left( {{\kappa _i}{P_i}{{\left\| {{{{{\tilde {h}}}}_{{\rm ui}}}{{{{\tilde {w}}}}_i}} \right\|}^2}} \right)}\! \right)} \!\right)}\! \right]}^{ - 1}}} \!\right)\\ =& {\log _2}\left( {1 + {\kappa _i}{P_i}{\rho _i}{N_i}\left( {{P_i}\left( {1 - {\rho _i}} \right) + \sum\limits_{j = 1}^K {\Biggr( {2\pi {\lambda _j}}} } \right.} \right.\\& \left.{{{ { \cdot{P_j}{{\rho _j}{{\left( {{D_j}} \right)}^{2 - \alpha }}\biggr/\left( {\alpha - 2} \right)} \Biggr) + {\sigma^2 \!\!\!_{{\rm ui}}}}\Biggr)}^{^\displaystyle{ - 1}}}} \right)\end{align} (17) 将式(17)代入式(15)可得第i层的SOP。记
{\beta _i} = {2^{R_u^i - {R_s}}} - 1 ,{\psi _i} = {\beta _i}{y^\alpha }/{P_i} , SOP的表达式可由定理3给出。定理 3 用户接入第i层基站后的SOP可表示为
\begin{align}P_{{so}}^i =& {\rm{1}} - \exp \left( { - 2{{π}} {\lambda _e}\exp \left( { - \frac{{\left( {1 - {\kappa _i}} \right){\beta _i}}}{{{\kappa^2\!\!\! _i}{P_i}}}} \right)} \right.\\&.\int_{{D_i}}^\infty {{\mathbb{E}}\left. {\left[ {\exp \left( { - \frac{{{I_{{\rm ei}}} + {\sigma^2\!\!\! _{{\rm ei}}}}}{{{\kappa _i}{P_i}{y^{ - \alpha }}}}{\beta _i}} \right)} \right]y{\rm{d}}y} \right)} \\ =& 1 - \exp \left( { - 2{{π}} {\lambda _e}\exp \left( { - \frac{{\left( {1 - {\kappa _i}} \right){\beta _i}}}{{{\kappa^2\!\!\! _i}{P_i}}}} \right)} \right.\\&.\int_{{D_i}}^\infty {\prod\limits_{l = 1}^K {{{\mathcal{L}}_{{I_{{\rm ei}}}}}\left( {{\psi _i}} \right)} \exp\! \left. {\left( \!{ - \frac{{{\sigma^2 \!\!\!_{{\rm ei}}}{\beta _i}}}{{{\kappa _i}{P_i}{y^{ - \alpha }}}}} \right)y{\rm{d}}y} \right)} \end{align} (18) 与
{I_{{{\rm u}}{\rm i}}} 类似，{I_{{\rm ei}}} 的拉普拉斯变换可表示为{L_{{I_{{\rm ei}}}}}\left( {\psi _i} \right) = \prod\limits_{j = 1}^K {\exp \left( { - 2{{π}} {\lambda _j}\int_0^\infty {\left( {1 - {\delta _j}} \right)x{\rm{d}}x} } \right)} (19) 其中，
{\delta _j} 可表示为{\delta _j} = \left\{\!\!\! \begin{array}{l}{\left( {1 + {\vartheta _j}{x^{ - \alpha }}} \right)^{ - {N_j}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \quad {\varsigma _j} = 1\\\frac{{{{\left( {1 - {\varsigma _i}} \right)}^{1 - {N_j}}}}}{{1 + {\vartheta _j}{x^{ - \alpha }}}} - \sum\limits_{m = 0}^{{N_j} - 2} {\frac{{{\varsigma _i}{{\left( {1 - {\varsigma _i}} \right)}^{m + 1 - {N_j}}}}}{{{{\left( {1 + {\varsigma _i}{\vartheta _j}{x^{ - \alpha }}} \right)}^{m + 1}}}},\; {{其他}} } \end{array} \right. (20)
其中，
{\vartheta _j} = {\kappa _j}{P_j}{\psi _i} 。由式(18)可知，功率分配因子和信道估计精度对SOP均产生影响。可以发现SOP与信道估计精度是负相关的，这是由于信道估计精度越大，人工噪声由于信道估计误差引起的泄露将减小，合法信道容量得到提高，而窃听信道容量维持不变，因此SOP减小。
功率分配因子反映了信号功率和人工噪声功率的分配情况。由式(18)可知SOP与功率分配因子成正相关的关系。当功率分配因子增大时，会有更多的发射功率分配给信号，而更少的发射功率分配给人工噪声，由此窃听信道的干扰变少，窃听容量变大。因此增加功率分配因子将导致系统的安全性能下降，SOP增大。
3.3 优化分析
由上述分析可知在增大功率分配因子时存在一个SOP和COP的折中，为综合考虑系统的可靠性和安全性，需合理设置功率分配因子。以安全吞吐量(Secrecy throughput)来衡量系统的可靠性和安全性，定义为保密信息安全可靠地从发射端传输到接收端的速率[6]。第i层的安全吞吐量可表示为
{\xi _i} = \lambda _i^{}\left( {1 - P_{{\rm co}}^i} \right)\left( {1 - P_{{\rm so}}^i} \right)R_s^{} (21) 各层功率分配因子通过影响SOP和COP对系统的安全吞吐量产生影响。图1给出了安全吞吐量和功率分配因子的关系。
可以发现，安全吞吐量随着功率分配因子的增大而先增加后减小，且存在一个最佳的功率分配因子使得系统的安全吞吐量达到最大值。因此，为减小信道估计误差的影响，在非理想情况下实现安全可靠传输，设置合适的功率分配因子十分重要。为提升系统的安全可靠性能，提出了功率分配因子优化模型，在安全性和可靠性约束条件下最大化系统的安全吞吐量。由于用户对通信的安全可靠性需求大致相同，因此假设各层的安全性和可靠性约束条件分别为
{\partial _1} 和{\partial _2} ，则上述优化问题可表示为\left.\begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{{\kappa _1}, ··· ,{\kappa _K}} \xi = \sum\limits_{i = 1}^K {{{\cal A}_i} \cdot {\xi _i}} \\{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;\;\;{\rm{C}}1:\;P_{\rm so}^i \le {\partial _1},P_{\rm co}^i \le {\partial _2},i = 1,2, ·\!·\!· ,K\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{C}}2:\;{\partial _1} \in \left[ {0,1} \right],\;{\partial _2} \in \left[ {0,1} \right]\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{C}}3:\;{\kappa _i} \in \left[ {0,1} \right],i = 1,2, ·\!·\!· ,K\end{array}\!\!\!\right\} (22) 由于式(22)的优化问题难以直接求解，因此考虑通过搜索算法来求解最优功率分配因子
\kappa _1^*,\kappa _2^*, ·\!·\!· , \kappa _K^* 的数值解。依据安全可靠约束条件{\rm{C}}1 确定出算法的可行域\left( {{\kappa _1},{\kappa _2}, ·\!·\!· ,{\kappa _K}} \right) ，则最优值\kappa _1^*,\kappa _2^*, ·\!·\!· ,\kappa _K^* 是在可行域集合\left( {{\kappa _1},\kappa _2^{}, ·\!·\!· ,{\kappa _K}} \right) 内的，可表示为\left( {\kappa _1^*,\kappa _2^*, \!·\!·\!· ,\kappa _K^*} \right) = \mathop {\max } \limits_{{\kappa _1},\kappa _2^{}, \cdots ,{\kappa _K}} \;\;\xi \left( {{\kappa _1},\kappa _2^{}, \!·\!·\!· ,{\kappa _K}} \right) (23) 基于以上分析，本文提出一种K维搜索算法来搜索K层网络的功率分配因子的最优数值解。算法如表1所示，其中
{\kappa _1},{\kappa _2}, ·\!·\!· ,{\kappa _K} 的步长分别设置为\Delta {\kappa _1},\Delta {\kappa _2}, ·\!·\!· ,\Delta {\kappa _K} 。表 1 功率分配因子最优值搜素算法(1) 输入：K, {\rho _i}, {\alpha _i}, {P_i}, {\lambda _i}, {\lambda _e}, {R_b}, {R_s}, {\partial _1}, {\partial _2}, \Delta {\kappa _1},\Delta {\kappa _2}, ·\!·\!· ,\Delta {\kappa _K}； (2) 初始化： {C_1} = {\rm{1}}/\Delta {\kappa _1}, ·\!·\!· ,{C_K} = {\rm{1}}/\Delta {\kappa _K}, {\xi ^ \circ } = 0； (3) for {c_i} = 1:{C_i}\;do (4) 计算 {\mathcal{A}_i}, P_{\rm co}^i和 P_{\rm so}^i，在约束条件 P_{\rm co}^i \le {\partial _1},\;\;P_{\rm so}^i \le {\partial _2}下更新集 合 \left( {{{\hat \kappa }_1},{{\hat \kappa }_2}, ·\!·\!· ,{{\hat \kappa }_K}} \right)； (5) end for (6) 设置 \varOmega 为集合 \left( {{{\hat \kappa }_1},{{\hat \kappa }_2}, ·\!·\!· ,{{\hat \kappa }_K}} \right)中的元素数量，
\varOmega = {\rm{Card}}\left( {{{\hat \kappa }_1}} \right), {\rm{Card}}\left( {{{\hat \kappa }_2}} \right), ·\!·\!· , = {\rm{Card}}\left( {{{\hat \kappa }_K}} \right)(7) for \omega = 1:\varOmega do (8) 将集合 \left( {{{\hat \kappa }_1},{{\hat \kappa }_2}, ·\!·\!· ,{{\hat \kappa }_K}} \right)中的元素 \kappa _1^\omega ,\kappa _2^\omega , ·\!·\!· ,\kappa _K^\omega 代入式(21)计算 \xi ； (9) 当 \xi > {\xi ^ \circ }时，令 {\xi ^ \circ } = \xi , \kappa _1^* = \kappa _1^\omega ,\kappa _2^\omega , ·\!·\!· ,\kappa _K^* = \kappa _K^\omega ； (10) end for (11) 输出：最优值 \kappa _1^*,\kappa _2^*, ·\!·\!· ,\kappa _K^*。 4. 仿真分析
本节利用仿真分析验证人工噪声方案在非理想CSI下的有效性。以2层密集异构蜂窝网为例，其网络半径为
{R_c} = 500\;{\rm m} ，其中部署有宏蜂窝基站(Macrocell Base Stations, MBSs)和微蜂窝基站(Picrocell Base Stations, PBSs)，其空间分布服从均匀PPP，且分布密度分别为{\lambda _{\rm{1}}}{\rm{ = }}1/{{π}} {\rm{50}}{{\rm{0}}^{^{{\large 2}}}}\;{{\rm{m}}^2} ,{\lambda _2}{\rm{ = 5}}{\lambda _{\rm{1}}} 。网络中的窃听者随机分布且分布密度为{\lambda _e}{\rm{ = 5}}{\lambda _{\rm{1}}} 。仿真发射功率和路径衰落系数分别为{P_1} = 20\;{\rm W},\;{P_2} = 2\;{\rm W} 和\alpha = 4 。保密信息传输速率为{R_s} = {\rm{0}}.{\rm{1}}\;{\rm{bit/}}\left( {{\rm{s}} \cdot {\rm{Hz}}} \right) 。4.1 功率分配因子的影响
COP和功率分配因子的关系如图2所示，图中COP的理论值和仿真值相一致，说明理论分析的有效性。可观察到，COP随着功率分配因子的增加而降低。当
{\kappa _i} = 0 时，发射端不发射信号仅发射人工噪声，因此COP的值约为1。由于{\kappa _i} 反映了信号功率分配情况，且{\kappa _i} 的增加说明信号功率增加而人工噪声功率减小，因此通信的可靠性得到保证，COP下降。此外，信道估计精度影响系统的COP，比较{\rho _i} = 1 和{\rho _i} \ne 1 的曲线，可见{\rho _i} = 1 对应的COP更低，系统的可靠性更好。SOP和功率分配因子的关系如图3所示，可观察到，SOP随着功率分配因子的增加而增加。当
{\kappa _i} = 0 时，发射端不发射信号仅发射人工噪声，因此SOP的值约为0，系统不会出现安全中断。随着{\kappa _i} 的增加，人工噪声功率减小，对窃听信道的人为干扰变小，通信的安全性下降，SOP增加。因此提高功率分配因子会弱化系统的安全性能。4.2 信道估计精度的影响
图4给出了COP, SOP和安全吞吐量和信道估计精度的关系。设置
\rho = {\rho _1} = {\rho _2} 来研究信道估计精度的影响。显然COP和SOP随着\rho 的提高而下降，而安全吞吐量随着\rho 的增加而增加。这是由于信道估计误差影响了正常通信，当信道估计精度高时，系统的可靠性和安全性均得到保证，因此安全吞吐量得到提高。比较
{\kappa _1}{\rm{ \!=\! }}1.0,{\kappa _2}{\rm{ \!=\! }}1.0 ;{\kappa _1}{\rm{ = 0}}{\rm{.6}},\;{\kappa _2}{\rm{ = 0}}{\rm{.6}} 和{\kappa _1}{\rm{ = 0}}{\rm{.4}}, {\kappa _2}{\rm{ = 0}}{\rm{.4}} 对应的曲线，其中{\kappa _1}{\rm{ = }}1.0,\;{\kappa _2}{\rm{ = }}1.0 意味着系统只发射信号而不发射人工噪声，其他两种情况是系统发射人工噪声的情况。观察曲线可以发现COP随着功率分配因子的减小而增加，SOP随着功率分配因子的减小而减小，因此人工噪声传输方案能够改善系统的安全性同时降低系统的可靠性，因此功率分配因子在安全性和可靠性之间存在折中。由图可见{\kappa _1}{\rm{ = 0}}{\rm{.6}},\;{\kappa _2}{\rm{ = 0}}{\rm{.6}} 有最高的安全吞吐量，这是由于{\kappa _1}{\rm{ = 0}}{\rm{.6}},\;{\kappa _2}{\rm{ = 0}}{\rm{.6}} 是\rho = 1.0 时的最佳功率分配因子，因此此时的安全吞吐量显然高于其他情况，可见当系统应用人工噪声方案且设置当前最优功率分配因子时可提升约15%的安全吞吐量。图2–图4说明人工噪声方案可改变非理想信道条件下系统的安全可靠性能，实际中，功率分配因子的设置需根据不同的通信需求进行选择。此外，上述结果说明提升信道估计精度能够提升密集异构蜂窝网的性能。
4.3 微基站密度的影响
由于密集异构蜂窝网中基站的部署密度对系统性能产生重要影响，且宏基站和微基站的影响相似。为说明问题，仅考虑在宏蜂窝中部署微基站的情况。如图5所示为COP和SOP随微基站密度
{\lambda _2} 变化的关系，由图可知COP和SOP都随{\lambda _2} 的增大而减小，这是由于微基站的部署使得系统中有更多的基站可为用户提供服务，因此合法信道容量得到提升。而{\lambda _2} 的持续增加导致小区间干扰变复杂，限制了系统可靠性及安全性的持续改善，因此当{\lambda _2} 增大到一定范围，COP和SOP的下降趋于平缓。安全吞吐量和微基站密度及其信道估计精度的关系如图6所示，由图6可知系统的安全吞吐量是
{\lambda _2} 的增函数。当{\lambda _2}/{\lambda _1} \le 4 时，{\kappa _2}{\rm{ = 0}}{\rm{.6}} 对应的安全吞吐量大于{\kappa _2}{\rm{ = 0}}{\rm{.4}} 的情况，这是由于{\kappa _2}{\rm{ = 0}}{\rm{.6}} 是{\rho _2} = 1.0 时的最佳功率分配因子，因此此时系统的安全吞吐量大于其他情况。当{\lambda _2}/{\lambda _1} > 4 时，{\rho _2} = 0.9, {\kappa _2}{\rm{ = 0}}{\rm{.6}} 对应的安全吞吐量小于{\rho _2} = 1.0,{\kappa _2}{\rm{ = 0}}{\rm{.4}} 对应的安全吞吐量，这是由于随着微基站密度的持续增加，信道估计误差引起的干扰不可忽视，因此此时部署信道估计能力强的微基站能得到更大的安全吞吐量。当微基站密度大于一定值以后，即{\lambda _2}/{\lambda _1} > 6 时，系统的安全吞吐量增长趋于平缓，这是由于微基站的持续密集部署增大了系统间的干扰，影响系统系能。实际中，在宏蜂窝小区中部署微基站时需考虑基站的信道估计能力，部署的信道估计能力强的微基站能有效提升系统安全吞吐量。5. 结束语
本文分析了非理想CSI条件下人工噪声对密集异构蜂窝网安全可靠通信的影响，在此基础上给出功率分配因子优化模型，在不同信道估计精度条件下设置最优的功率分配因子。首先，考虑信道估计误差对合法信号传输以及人工噪声泄露的影响，分析了典型通信链路的可靠性和安全性。然后，为进一步优化系统性能，在安全性和可靠性约束条件下提出了功率分配因子优化模型，从而最大化系统安全吞吐量。通过K维联合搜索算法优化出每层网络的最优功率分配因子。仿真分析了功率分配因子、信道估计精度、微基站密度以及天线数量对系统安全吞吐量的影响，得出结论人工噪声方案可改变非理想信道条件下系统的安全可靠性能，此外，提升信道估计精度能够提升密集异构蜂窝网的安全性能。
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表 1 例1中集合 {\boldsymbol{C}} 的部分互补序列
{{\boldsymbol{C}}^{(0,0,0)}} {{\boldsymbol{C}}^{(0,0,1)}} {{\boldsymbol{C}}^{(0,1,0)}} {{\boldsymbol{C}}^{(0,1,1)}} \begin{gathered} \omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0 \\ \omega _{56}^7\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{21}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{49}\omega _{56}^{35} \\ \omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{14} \\ \omega _{56}^{21}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^7\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{35}\omega _{56}^{49} \\ \omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{28} \\ \omega _{56}^{35}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{49}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{21}\omega _{56}^7 \\ \omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{42} \\ \omega _{56}^{49}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{35}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^7\omega _{56}^{21} \\ \end{gathered} \begin{gathered} \omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0 \\ \omega _{56}^{21}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{49}\omega _{56}^{35}\omega _{56}^7\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28} \\ \omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0 \\ \omega _{56}^7\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{35}\omega _{56}^{49}\omega _{56}^{21}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28} \\ \omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^0 \\ \omega _{56}^{49}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{21}\omega _{56}^7\omega _{56}^{35}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28} \\ \omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0 \\ \omega _{56}^{35}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^7\omega _{56}^{21}\omega _{56}^{49}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28} \\ \end{gathered} \begin{gathered} \omega _{56}^0\omega _{56}^8\omega _{56}^{16}\omega _{56}^{24}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^{40}\omega _{56}^{48} \\ \omega _{56}^7\omega _{56}^{22}\omega _{56}^{44}\omega _{56}^{45}\omega _{56}^{18}\omega _{56}^{33}\omega _{56}^{27} \\ \omega _{56}^{14}\omega _{56}^{36}\omega _{56}^{16}\omega _{56}^{10}\omega _{56}^4\omega _{56}^{26}\omega _{56}^6 \\ \omega _{56}^{21}\omega _{56}^{50}\omega _{56}^{44}\omega _{56}^{31}\omega _{56}^{46}\omega _{56}^{19}\omega _{56}^{41} \\ \omega _{56}^{28}\omega _{56}^8\omega _{56}^{16}\omega _{56}^{52}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^{12}\omega _{56}^{20} \\ \omega _{56}^{35}\omega _{56}^{22}\omega _{56}^{44}\omega _{56}^{17}\omega _{56}^{18}\omega _{56}^5\omega _{56}^{55} \\ \omega _{56}^{42}\omega _{56}^{36}\omega _{56}^{16}\omega _{56}^{38}\omega _{56}^4\omega _{56}^{54}\omega _{56}^{34} \\ \omega _{56}^{49}\omega _{56}^{50}\omega _{56}^{44}\omega _{56}^3\omega _{56}^{46}\omega _{56}^{47}\omega _{56}^{13} \\ \end{gathered} \begin{gathered} \omega _{56}^0\omega _{56}^8\omega _{56}^{16}\omega _{56}^{24}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^{40}\omega _{56}^{48} \\ \omega _{56}^{21}\omega _{56}^{50}\omega _{56}^9\omega _{56}^3\omega _{56}^{39}\omega _{56}^{54}\omega _{56}^{20} \\ \omega _{56}^{42}\omega _{56}^{36}\omega _{56}^2\omega _{56}^{38}\omega _{56}^{46}\omega _{56}^{12}\omega _{56}^{48} \\ \omega _{56}^7\omega _{56}^{22}\omega _{56}^{51}\omega _{56}^{17}\omega _{56}^{53}\omega _{56}^{26}\omega _{56}^{20} \\ \omega _{56}^{28}\omega _{56}^8\omega _{56}^{44}\omega _{56}^{52}\omega _{56}^4\omega _{56}^{40}\omega _{56}^{48} \\ \omega _{56}^{49}\omega _{56}^{50}\omega _{56}^{37}\omega _{56}^{31}\omega _{56}^{11}\omega _{56}^{54}\omega _{56}^{20} \\ \omega _{56}^{14}\omega _{56}^{36}\omega _{56}^{30}\omega _{56}^{10}\omega _{56}^{18}\omega _{56}^{12}\omega _{56}^{48} \\ \omega _{56}^{35}\omega _{56}^{22}\omega _{56}^{23}\omega _{56}^{45}\omega _{56}^{25}\omega _{56}^{26}\omega _{56}^{20} \\ \end{gathered} {{\boldsymbol{C}}^{(1,0,0)}} {{\boldsymbol{C}}^{(1,0,1)}} {{\boldsymbol{C}}^{(1,1,0)}} {{\boldsymbol{C}}^{(1,1,1)}} \begin{gathered} \omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0 \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{21}\omega _{56}^{35}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{49}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0 \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^7\omega _{56}^{49}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{35}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^0 \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{49}\omega _{56}^7\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{21}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0 \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{35}\omega _{56}^{21}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^7\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28} \\ \end{gathered} \begin{gathered} \omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0 \\ \omega _{56}^{14}\omega _{56}^{49}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^{21}\omega _{56}^{35} \\ \omega _{56}^{28}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{14} \\ \omega _{56}^{42}\omega _{56}^{35}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^7\omega _{56}^{49} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^{28}\omega _{56}^{28} \\ \omega _{56}^{14}\omega _{56}^{21}\omega _{56}^{42}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^{49}\omega _{56}^7 \\ \omega _{56}^{28}\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^0\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{42} \\ \omega _{56}^{42}\omega _{56}^7\omega _{56}^{14}\omega _{56}^{28}\omega _{56}^0\omega _{56}^{35}\omega _{56}^{21} \\ \end{gathered} \begin{gathered} \omega _{56}^0\omega _{56}^8\omega _{56}^{16}\omega _{56}^{24}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^{40}\omega _{56}^{48} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{29}\omega _{56}^{51}\omega _{56}^{38}\omega _{56}^{25}\omega _{56}^{26}\omega _{56}^{20} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{50}\omega _{56}^{30}\omega _{56}^{52}\omega _{56}^{18}\omega _{56}^{12}\omega _{56}^{48} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{15}\omega _{56}^9\omega _{56}^{10}\omega _{56}^{11}\omega _{56}^{54}\omega _{56}^{20} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{36}\omega _{56}^{44}\omega _{56}^{24}\omega _{56}^4\omega _{56}^{40}\omega _{56}^{48} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^1\omega _{56}^{23}\omega _{56}^{38}\omega _{56}^{53}\omega _{56}^{26}\omega _{56}^{20} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{22}\omega _{56}^2\omega _{56}^{52}\omega _{56}^{46}\omega _{56}^{12}\omega _{56}^{48} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{43}\omega _{56}^{37}\omega _{56}^{10}\omega _{56}^{39}\omega _{56}^{54}\omega _{56}^{20} \\ \end{gathered} \begin{gathered} \omega _{56}^0\omega _{56}^8\omega _{56}^{16}\omega _{56}^{24}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^{40}\omega _{56}^{48} \\ \omega _{56}^{14}\omega _{56}^1\omega _{56}^2\omega _{56}^{52}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^5\omega _{56}^{27} \\ \omega _{56}^{28}\omega _{56}^{50}\omega _{56}^{44}\omega _{56}^{24}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^{26}\omega _{56}^6 \\ \omega _{56}^{42}\omega _{56}^{43}\omega _{56}^{30}\omega _{56}^{52}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^{47}\omega _{56}^{41} \\ \omega _{56}^0\omega _{56}^{36}\omega _{56}^{16}\omega _{56}^{24}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^{12}\omega _{56}^{20} \\ \omega _{56}^{14}\omega _{56}^{29}\omega _{56}^2\omega _{56}^{52}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^{33}\omega _{56}^{55} \\ \omega _{56}^{28}\omega _{56}^{22}\omega _{56}^{44}\omega _{56}^{24}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^{54}\omega _{56}^{34} \\ \omega _{56}^{42}\omega _{56}^{15}\omega _{56}^{30}\omega _{56}^{52}\omega _{56}^{32}\omega _{56}^{19}\omega _{56}^{13} \\ \end{gathered} 
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表 2 渐近最优LCZ-CSS参数
p , n , q K M N Z {\rho _{{\text{LCZ}}}} p = 2,n = 3,q = 8 112 8 7 3 1.3655 p = 3,n = 2,q = 9 144 9 8 3 1.3312 p = 2,n = 4,q = 16 1200 16 15 3 1.1434 p = 5,n = 2,q = 25 4800 25 24 3 1.0871 p = 7,n = 2,q = 49 15872 32 31 3 1.0426
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表 3 例2中集合 {\boldsymbol{C}} 的部分互补序列
{{\boldsymbol{C}}^{(0,0,0)}} {{\boldsymbol{C}}^{(0,0,1)}} {{\boldsymbol{C}}^{(0,1,0)}} {{\boldsymbol{C}}^{(0,1,1)}} {{\boldsymbol{C}}^{(0,2,0)}} {{\boldsymbol{C}}^{(0,2,1)}} {{\boldsymbol{C}}^{(1,0,0)}} {{\boldsymbol{C}}^{(1,0,1)}} {{\boldsymbol{C}}^{(1,1,0)}} {{\boldsymbol{C}}^{(1,1,1)}} \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{l}} {132645} \\ {264513} \\ {326451} \\ {451326} \\ {513264} \\ {645132} \\ 000000 \end{array} \end{gathered} \begin{array}{*{20}{l}} {645132} \\ {513264} \\ {451326} \\ {326451} \\ {264513} \\ {132645} \\ {000000} \end{array} \begin{array}{*{20}{l}} {326451} \\ {451326} \\ {513264} \\ {645132} \\ {000000} \\ {132645} \\ {264513} \end{array} \begin{array}{*{20}{l}} {451326} \\ {326451} \\ {264513} \\ {132645} \\ {000000} \\ {645132} \\ {513264} \end{array} \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{l}} {264513} \\ {326451} \\ {451326} \\ {513264} \\ {645132} \\ {000000} \\ 132645 \end{array} \end{gathered} \begin{array}{*{20}{l}} {513264} \\ {451326} \\ {326451} \\ {264513} \\ {132645} \\ {000000} \\ {645132} \end{array} \begin{array}{*{20}{l}} {132645} \\ {305624} \\ {541603} \\ {014652} \\ {250631} \\ {423610} \\ {666666} \end{array} \begin{array}{*{20}{l}} {645132} \\ {624305} \\ {603541} \\ {652014} \\ {631250} \\ {610423} \\ {666666} \end{array} \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{l}} {326451} \\ {562430} \\ {035416} \\ {201465} \\ {444444} \\ {610423}\\153402 \end{array} \end{gathered} \begin{array}{*{20}{l}} {451326} \\ {430562} \\ {416035} \\ {465201} \\ {444444} \\ {423610} \\ {402153} \end{array}
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表 4 渐近最优非周期QCSS参数比较
文献 K M N Z {\delta _{\max }} 字符集大小 约束条件 文献[10]定理4 N{q_1}{q_2} ，其中
N = {\text{lcm}}({q_1} - 1,{q_2} - 1){q_1}{q_2} {\text{lcm}}({q_1} - 1,{q_2} - 1) {q_1} - 1 {q_1}{q_2} {\text{lcm}}(N,{q_1}{q_2}) {q_1} , {q_2} 为素数幂 3 \le {q_1} < {q_2} 文献[19] {2^n}({2^n} - 1)\left\lfloor {{{({2^n} - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{({2^n} - 1)} Z}} \right. } Z}} \right\rfloor {2^n} {2^n} - 1 0 < Z \le {2^n} - 1 {2^n} 2 n \ge 3 文献[20] N \times F(N) N N N N N N \ge 2为任意整数 文献[21] {p^{n + 1}}(p - 1) {p^{n + 1}} {p^m} {p^m} {p^m} q n \le m - 1是任意非负整数，p|q 本文定理1 q(q - 1)\left\lfloor {{{(q - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(q - 1)} Z}} \right. } Z}} \right\rfloor q q - 1 0 < Z \le q - 1 q q(q - 1) q \ge 3 是素数幂 本文定理2 {q^2}\left\lfloor {{{(q - 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(q - 1)} Z}} \right. } Z}} \right\rfloor q q - 1 0 < Z \le q - 1 q q 注：{\text{lcm}}表示最大公约数，F(N)是F(N) \times N佛罗伦萨矩阵存在的最大行数，p是素数。
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[1] CHEN H H, YEH J F, and SUEHIRO N. A multicarrier CDMA architecture based on orthogonal complementary codes for new generations of wideband wireless communications[J]. IEEE Communications Magazine, 2001, 39(10): 126–135. doi: 10.1109/35.956124. [2] ABEBE A T and KANG C G. Multiple codebook-based non-orthogonal multiple access[J]. IEEE Wireless Communications Letters, 2020, 9(5): 683–687. doi: 10.1109/LWC.2020.2965939. [3] CHEN Y M and CHEN Jianwei. On the design of near-optimal sparse code multiple access codebooks[J]. IEEE Transactions on Communications, 2020, 68(5): 2950–2962. doi: 10.1109/TCOMM.2020.2974213. [4] LI Fengjie, JIANG Yi, DU Cheng, et al. Construction of Golay complementary matrices and its applications to MIMO omnidirectional transmission[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2021, 69: 2100–2113. doi: 10.1109/TSP.2021.3067467. [5] SU Dongliang, JIANG Yi, WANG Xin, et al. Omnidirectional precoding for massive MIMO with uniform rectangular array—Part I: Complementary codes-based schemes[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2019, 67(18): 4761–4771. doi: 10.1109/TSP.2019.2931205. [6] CHEN Xu, FENG Zhiyong, WEI Zhiqing, et al. Code-division OFDM joint communication and sensing system for 6G machine-type communication[J]. IEEE Internet of Things Journal, 2021, 8(15): 12093–12105. doi: 10.1109/JIOT.2021.3060858. [7] SHARMA S and KOIVUNEN V. Multicarrier DS-CDMA based integrated sensing and communication waveform designs[C]. MILCOM 2022–2022 IEEE Military Communications Conference (MILCOM), Rockville, USA, 2022: 95–101. doi: 10.1109/MILCOM55135.2022.10017835. [8] 陈晓玉, 彭秀英, 王成瑞, 等. 周期准互补序列集构造法[J]. 电子与信息学报, 2022, 44(11): 4034–4040. doi: 10.11999/JEIT210881.CHEN Xiaoyu, PENG Xiuying, WANG Chengrui, et al. Constructions of periodic quasi-complementary sequence sets[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2022, 44(11): 4034–4040. doi: 10.11999/JEIT210881. [9] 陈晓玉, 王成瑞, 刘凡. 新的周期准互补序列集构造方法[J]. 通信学报, 2023, 44(5): 206–212. doi: 10.11959/j.issn.1000-436x.2023100.CHEN Xiaoyu, WANG Chengrui, and LIU Fan. New construction method of periodic quasi-complementary sequence set[J]. Journal on Communications, 2023, 44(5): 206–212. doi: 10.11959/j.issn.1000-436x.2023100. [10] LI Yubo, TIAN Liying, and XU Chengqian. Constructions of asymptotically optimal aperiodic quasi-complementary sequence sets[J]. IEEE Transactions on Communications, 2019, 67(11): 7499–7511. doi: 10.1109/TCOMM.2019.2933517. [11] DAS S, PARAMPALLI U, MAJHI S, et al. New optimal Z-complementary code sets based on generalized paraunitary matrices[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2020, 68: 5546–5558. doi: 10.1109/TSP.2020.3021977. [12] SARKAR P, MAJHI S, and LIU Zilong. Pseudo-Boolean functions for optimal Z-complementary code sets with flexible lengths[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2021, 28: 1350–1354. doi: 10.1109/LSP.2021.3091886. [13] WU S W, ŞAHIN A, HUANG Zhenming, et al. Z-complementary code sets with flexible lengths from generalized boolean functions[J]. IEEE Access, 2021, 9: 4642–4652. doi: 10.1109/ACCESS.2020.3047955. [14] LI Yu, YAN Tongjiang, and LV Chuan. Construction of a near-optimal quasi-complementary sequence set from almost difference set[J]. Cryptography and Communications, 2019, 11(4): 815–824. doi: 10.1007/s12095-018-0330-5. [15] LUO Gaojun, CAO Xiwang, SHI Minjia, et al. Three new constructions of asymptotically optimal periodic quasi-complementary sequence sets with small alphabet sizes[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2021, 67(8): 5168–5177. doi: 10.1109/TIT.2021.3068474. [16] LIU Tao, XU Chengqian, and LI Yubo. Multiple complementary sequence sets with low inter-set cross-correlation property[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2019, 26(6): 913–917. doi: 10.1109/LSP.2019.2902752. [17] ZHOU Zhengchun, LIU Fangrui, ADHIKARY A R, et al. A generalized construction of multiple complete complementary codes and asymptotically optimal aperiodic quasi-complementary sequence sets[J]. IEEE Transactions on Communications, 2020, 68(6): 3564–3571. doi: 10.1109/TCOMM.2020.2978182. [18] LIU Zilong, GUAN Yongliang, NG B C, et al. Correlation and set size bounds of complementary sequences with low correlation zone[J]. IEEE Transactions on Communications, 2011, 59(12): 3285–3289. doi: 10.1109/TCOMM.2011.071111.100608. [19] LIU Tao, XU Chengqian, and LI Yubo. Binary complementary sequence set with low correlation zone[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2020, 27: 1550–1554. doi: 10.1109/LSP.2020.3018628. [20] ADHIKARY A R, FENG Yanghe, ZHOU Zhengchun, et al. Asymptotically optimal and near-optimal aperiodic quasi-complementary sequence sets based on Florentine rectangles[J]. IEEE Transactions on Communications, 2022, 70(3): 1475–1485. doi: 10.1109/TCOMM.2021.3132364. [21] SARKAR P, LI Chunlei, MAJHI S, et al. New correlation bound and construction of quasi-complementary sequence sets[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2024, 70(3): 2201–2223. doi: 10.1109/TIT.2024.3352895. 期刊类型引用(4)
1. 邱斌 ，谢晓兰 ，敬超 . 基于AN和协作干扰辅助的车载通信物理层安全性能分析. 计算机应用与软件. 2024(12): 109-115 . 
百度学术2. 赵梓琪，郑寒雨，周钠，衣龙腾，郑重. 基于多帧聚合的物理层安全技术优化设计. 通信技术. 2022(01): 21-29 . 百度学术3. 刘志新，高露，袁亚洲. 基于误码率与中断概率约束的femtocell网络分布式功率控制. 控制与决策. 2020(04): 916-922 . 百度学术4. 马骥，马忠彧，妙旭华，马宏锋. 毫米波微小区网络中基于公平准则的分布式用户关联算法. 微波学报. 2020(02): 79-84 . 百度学术其他类型引用(3)
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