1.   引言

智能反射面(Intelligent Reflecting Surface, IRS)是由大量低成本的被动无源反射元件组成的平面，可通过调节来波的反射强度、方向等参数重塑无线传播环境^[1]。将IRS部署在收发机之间形成虚拟视线传播路径是考虑信道时变造成系统参数不确定性的鲁棒性设计，能够有效提高毫米波大规模MIMO通信系统性能^[2]。特别地，当收发机直连信道的视线路径被遮挡时，虚拟视线传播路径可补偿收发机的信号覆盖，保障系统的稳健性；当收发机直连信道的视线路径未被遮挡时，通过额外增加经由IRS的反射信道可进一步增强接收信号强度。除此之外，IRS的部署还具有一项重要的作用，即增加收发机之间信道矩阵的秩，以便容纳更多用户。然而，由于IRS单元的被动特性，不具备信号处理能力、信道矩阵的超高维度、收发机之间的直连信道与从发射机经由IRS到达接收机的反射信道混叠，给IRS辅助毫米波移动通信系统全信道信息的估计带来巨大挑战。

为简化信道估计难度，现有研究大多假设直连信道的视线路径被遮挡，则直连信道相较反射信道可以忽略，仅估计反射信道，因此限制了IRS的应用场景。关注到此问题，已陆续有学者着手研究直连与反射信道需要同时考虑的场景的信道估计问题^[3–9]。其中，一类方法是估计单个基站(Base Station, BS)-用户(User Equipment, UE)、BS-IRS和IRS-UE信道^[3,4]。由于被动IRS系统中BS-IRS和IRS-UE两分段信道的相较BS-IRS-UE级联信道更难估计，因此通常需要采用统计信道知识进行复杂的信号处理。为缓解该问题，文献[5,6]中考虑配置了主动传感器的半被动IRS，在IRS上进行导频信号处理。文献[7]提出一种多阶段的全信道估计方法。具体而言，第1阶段关闭IRS估计直接信道，随后第2阶段打开IRS估计反射信道。该方法需要在直连和反射信道估计之间切换，当估计直连信道时，需要额外的导频符号。此外，第2阶段易遭受第1阶段非完美直连信道估计引起的误差传播效应。为克服上述问题，直连与反射信道联合估计显得尤为重要。文献[8]将常用于IRS相位优化的多点DFT反射图应用于估计全信道信息，该策略能够一定程度减轻误差传播带来的负面影响。除此之外，文献[9]提出了一种基于阵列信号处理技术的两级信道估计方法，利用IRS辅助毫米波信道的稀疏性和均匀阵列的特性，通过空时处理对直连信道和反射信道进行联合估计。

本文充分利用直连与反射信道之间在稀疏角度域的子空间关联，提出了一种适用于IRS辅助毫米波移动通信场景的直连与反射信道联合信道估计方法。首先，引入辅助变量和线性赋范空间中的原子范数建立直连与反射信道在稀疏角度域的子空间关联模型。为解析该模型的关联过程，利用原子范数最小化将全信道估计建模为连续角度域稀疏矩阵重建问题，并基于交替乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)进行阐释；然后考虑移动通信场景中信道质量动态变化以及ADMM算法中加权系数先验值获取的实际难题，结合ADMM和不动点深度学习网络结构设计高效的直连和反射信道并行估计算法。该算法能够克服ADMM非线性估计算子对先验知识的依赖又可根据移动场景变化动态调节网络隐藏层数，避免不必要的网络复杂度；最后，通过大量仿真验证了提出算法的有效性，所提方法能避免时分估计策略引起差错传播效应，得益于子空间关联的相互补偿特性，相较现有方法，估计精度高、复杂度低。

2.   系统模型

如图1所示，考虑一个由IRS辅助的上行多用户毫米波大规模MIMO通信场景。不失一般性，BS和IRS皆为均匀面阵列(Uniform Panner Arrays, UPA)^[10]，IRS由$N = {N_1} \times {N_2}$个反射单元组成，BS配置$M = {M_1} \times {M_2}$根天线，$K$个移动用户配置单天线。令${{\boldsymbol{h}}_k} \in {\mathbb{C}^{M \times 1}}$表示从第$k$个用户到BS的直连信道，${{\boldsymbol{G}}_1} \in {\mathbb{C}^{M \times N}}$表示从IRS到BS的信道，${{\boldsymbol{g}}_{2,k}} \in {\mathbb{C}^{N \times 1}}$表示从第$k$个用户到IRS的信道，根据Saleh-Valenzuela模型，${{\boldsymbol{h}}_k}$, ${{\boldsymbol{G}}_1}$和${{\boldsymbol{g}}_{2,k}}$分别建模为：${{\boldsymbol{h}}_k} = \displaystyle\sum\nolimits_{{l_1} = 1}^{{L_1}} {{\alpha _{k,{l_1}}}{\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{k,{l_1}}})}$, ${{\boldsymbol{G}}_1} = \gamma {\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{gr}}) {{\boldsymbol{a}}^{\text{H}}}(N,{\theta _{gt}})$和${{\boldsymbol{g}}_{2,k}} = \displaystyle\sum\nolimits_{{l_2} = 1}^{{L_2}} {{\beta _{k,{l_2}}}{\boldsymbol{a}}(N,{\theta _{k,{l_2}}})}$，其中，${\boldsymbol{a}}(N,\theta )$为$N$维天线阵列响应${\boldsymbol{a}}(N,\theta ) = {{\boldsymbol{e}}_{{N_1}}}({g_1}) \otimes {{\boldsymbol{e}}_{{N_2}}}({g_2})$, ${{\boldsymbol{e}}_n}(g) = [1,{{\text{e}}^{{\text{i}}\pi g}}, \cdots ,{{\text{e}}^{{\text{i}}\pi (n - 1)g}}] \in {\mathbb{C}^{n \times {\text{1}}}}$, ${g_1} = \sin\vartheta \cos\phi ,{g_2} = \cos\phi$, $\otimes$表示克罗内克积，$\vartheta$和$\phi$分别表示三维空间的垂直仰角和水平方位角，${\alpha _{k,{l_1}}}$, ${\beta _{k,{l_2}}}$和$\gamma$分别表示多径路径的复数增益，服从均值为0方差为1的复高斯分布${\alpha _{k,{l_1}}},{\beta _{k,{l_2}}},\gamma {\text{～}}{\text{CN}}(0,1)$。假设块衰落信道，第$k$个用户在信道估计阶段发射$T$个时隙的导频信号${{\boldsymbol{x}}_k} \in {\mathbb{C}^{T \times 1}}$，且IRS的相移矩阵表示为

图 1  IRS辅助的多用户毫米波移动通信系统

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则第$k$个用户的接收信号${{\boldsymbol{Y}}_k} \in {\mathbb{C}^{M \times T}}$应表示为

其中，${{\boldsymbol{N}}_k}{\text{～}}{\text{CN}}({\text{0}},\sigma _n^2)$为加性白高斯噪声，$\sigma _n^2$为${{\boldsymbol{N}}_k}$的功率。

3.   稀疏子空间关联特性分析

3.1   稀疏子空间关联模型

基于式(2)，$K$个用户的接收信号${\boldsymbol{Y}} \in {\mathbb{C}^{M \times T}}$可以表示为

其中，${{\boldsymbol{b}}_k} = \displaystyle\sum\nolimits_{{l_2} = 1}^{{L_2}} {\gamma {\beta _{k,{l_2}}}{{\boldsymbol{a}}^{\text{H}}}(N,{\theta _{gt}} - {\theta _{k,{l_2}}})}$，${{\boldsymbol{z}}_k} = {\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{gr}}){{\boldsymbol{b}}_k}{\boldsymbol{p}} + {{\boldsymbol{h}}_k}$，${\boldsymbol{N}} = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^K {{{\boldsymbol{N}}_k}} {\text{～}}{\text{CN}}(0,\sigma _n^2)$是加性高斯白噪声，${{\boldsymbol{a}}^{\text{H}}}(N,{\theta _{{\text{gt}}}} - {\theta _{k,{l_2}}})$表示级联信道的等效阵列响应^[11]。

在毫米波大规模MIMO系统中，${{\boldsymbol{h}}_k}$被认为在连续角度域仅存在少量多径路径^[12]。因此，可用原子范数来建模稀疏特性^[13]，定义原子${\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{k,{l_1}}}) \in {\mathbb{C}^{M \times 1}}$的原子集为$\mathcal{A} = \{ {\boldsymbol{a}}(M,\theta )| \theta \in ( - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2},{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2})\}$。则基于式(3)，引入辅助变量${{\boldsymbol{z}}_k}$和线性赋范空间中的原子范数$\mathop {\min }\limits_{_{{{\boldsymbol{z}}_k},{{\boldsymbol{b}}_k},{\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{gr}})}} \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^K \left\| {{\boldsymbol{z}}_k} - {\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{gr}}){{\boldsymbol{b}}_k}{\boldsymbol{p}} \right\|_\mathcal{A}$，则全信道估计问题可建模为

其中，${\boldsymbol{Z}} = [{{\boldsymbol{z}}_1},{{\boldsymbol{z}}_2}, \cdots ,{{\boldsymbol{z}}_K}]$,${\boldsymbol{X}} = [{\boldsymbol{x}}_1^{\text{T}},{\boldsymbol{x}}_2^{\text{T}}, \cdots ,{\boldsymbol{x}}_K^{\text{T}}]$。

将式(4)转化为半正定规划(Semi-Definite Program, SDP)形式，则重新建模为(P)

其中，${\boldsymbol{u}} = [{\boldsymbol{u}}_1^{\text{T}},{\boldsymbol{u}}_{\text{2}}^{\text{T}}, \cdots ,{\boldsymbol{u}}_K^{\text{T}}]$, ${\boldsymbol{v}} = [{v_1},{v_2}, \cdots ,{v_K}]$, ${\boldsymbol{T}}({{\boldsymbol{u}}_k}) \in {\mathbb{C}^{M \times M}}$表示以${{\boldsymbol{u}}_k}$为其第1列的厄尔米特特普利茨矩阵，且${\boldsymbol{T}}({\boldsymbol{u}}) = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^K \displaystyle\sum\nolimits_{{l_{1 = 1}}}^{{L_1}} {{\left| {{\alpha _{k,{l_1}}}} \right|}^2} {\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{k,{l_1}}}){\boldsymbol{a}}{{(M,{\theta _{k,{l_1}}})}^{\text{H}}}$, ${\text{Tr}}( \cdot )$为迹，${v_k} = \displaystyle\sum\nolimits_{{l_1} = 1}^{{L_1}} {\left| {{\alpha _{k,{l_1}}}} \right|}$。

根据空间谱估计理论^[14]，${\boldsymbol{T}}({{\boldsymbol{u}}_k})$和${{\boldsymbol{z}}_k} - {\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{{\text{gr}}}}){{\boldsymbol{b}}_k}{\boldsymbol{p}}$具有相同角度域子空间。对${{\boldsymbol{z}}_k} - {\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{{\text{gr}}}}) {{\boldsymbol{b}}_k}{\boldsymbol{p}}$和${\boldsymbol{T}}({{\boldsymbol{u}}_k})$执行3.2节的操作步骤即可同时得到直连信道${{\boldsymbol{h}}_k}$和反射信道$\widetilde {\boldsymbol{G}} = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^K {\boldsymbol{a}} (M,{\theta _{{\text{gr}}}}){{\boldsymbol{b}}_k}$的估计值。

3.2   稀疏角度域子空间关联过程

本节基于交替优化框架，采用两步法估计反射信道，即交替迭代执行步骤1和步骤2，直到满足停止条件。具体过程如下。

(1) 步骤1：估计${{\boldsymbol{b}}_k}$, ${\boldsymbol{u}}$, ${\boldsymbol{v}}$与${\boldsymbol{Z}}$。

给定估计的${\hat \theta _{gr}}$，根据式(5)和ADMM算法^[15]，引入辅助变量${{\boldsymbol{S}}_k} \in {\mathbb{C}^{(M + 1) \times (M + 1)}}$，则估计${{\boldsymbol{b}}_k}$, ${\boldsymbol{u}}$, ${\boldsymbol{v}}$与${\boldsymbol{Z}}$的联合估计子问题(P1)建模为

式(6)相应的增广拉格朗日函数为

其中，${{\boldsymbol{\varLambda}} _k} \in {\mathbb{C}^{(M + 1) \times (M + 1)}}$为对偶变量，$\langle \cdot\rangle$定义为$\left\langle {{\boldsymbol{A}},B} \right\rangle = {\text{Re}}({\text{Tr}}({{\boldsymbol{B}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{A}}))$，$\rho$为增强的拉格朗日参数。引入辅助矩阵

则闭式表达形式的迭代更新解为

其中，${\boldsymbol{\varUpsilon}}$是一个对角线矩阵，其对角线项为${{\boldsymbol{\varUpsilon}} _{t,t}} = \dfrac{1}{{M - t + 1}},t = 1,2, \cdots ,M$，$\mathfrak{g}( \cdot )$是矩阵到向量的线性映射，向量的第$t$个元素对应于行数$p$和列数$q$并满足$p - q + 1 = t$的所有矩阵元素之和，${{\boldsymbol{e}}_1}$是一个向量，其第1个元素为1，其余数为0。值得注意的是$\overline {\boldsymbol{Z}} = {[{{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}}|{\boldsymbol{b}}_k^{\text{T}}]^{\text{T}}}$为拼接矩阵形式，即${\boldsymbol{Z}}$为$\overline {\boldsymbol{Z}} = {[{{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}}|{\boldsymbol{b}}_k^{\text{T}}]^{\text{T}}}$的前$M$行元素，${{\boldsymbol{b}}_k}$为$\overline {\boldsymbol{Z}} = {[{{\boldsymbol{Z}}^{\text{T}}}|{\boldsymbol{b}}_k^{\text{T}}]^{\text{T}}}$的第$(M + 1)$行元素。其中${{\boldsymbol{F}}_1} = [I| - {\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{{\text{gr}}}})]$，${{\boldsymbol{F}}_2} = [{I|}{{{{\textit{0}}}}_{M \times 1}}]$。定义 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{T}}{{({{\boldsymbol{u}}_k})}^{(i)}}}&{{{({{\boldsymbol{z}}_k} - {\boldsymbol{a}}(M,{{\hat \theta }_{{\text{gr}}}}){{\boldsymbol{b}}_k}{\boldsymbol{p}})}^{(i)}}} \\ {{{({{({{\boldsymbol{z}}_k} - {\boldsymbol{a}}(M,{{\hat \theta }_{{\text{gr}}}}){{\boldsymbol{b}}_k}{\boldsymbol{p}})}^{(i)}})}^{\text{H}}}}&{v_k^{(i)}} \end{array}} \right]$ $- \dfrac{1}{\rho }{\boldsymbol{\varLambda}} _k^i = \displaystyle\sum {\sigma _t^i} \mathbb{U}_t^i{(\mathbb{U}_t^i)^{\text{H}}}$为${{\boldsymbol{S}}_k}$特征值的分解，则${{\boldsymbol{S}}_k}$的迭代可以重新表示为

其中，$\mathcal{D} = \left\{ {i|\sigma _t^i \ge 0} \right\}$。

对拓普利茨矩阵${\boldsymbol{T}}({\boldsymbol{\hat u}}) = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^K \displaystyle\sum\nolimits_{{l_1} = 1}^{{L_1}} {{\left| {{\alpha _{k,{l_1}}}} \right|}^2} {\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{k,{l_1}}}){\boldsymbol{a}}{{(M,{\theta _{k,{l_1}}})}^{\text{H}}}$进行范德蒙德分解，其中基于阵列响应表达式可得${\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{k,{l_1}}}) = {{\boldsymbol{e}}_{{M_1}}}({g_{k,{l_1}1}}) \otimes {{\boldsymbol{e}}_{{M_2}}}({g_{k,{l_1}2}})$，采用典型的谱估计技术如matrix pencil和自动配对法可从${\boldsymbol{T}}(\widehat {\boldsymbol{u}})$中提取${\hat \theta _{k,{l_1}}}$^[14]。继而可得${\boldsymbol{a}}(M,{\hat \theta _{k,{L_1}}})$。由上文可知${v_k} = \displaystyle\sum\nolimits_{{l_1} = 1}^{{L_1}} {\left| {{\alpha _{k,{l_1}}}} \right|}$，且通过步骤1的求解便可得到${\boldsymbol{\hat v}}$，直连信道的信道增益便可被估计出来^[14]。则估计的直连信道为

(2) 步骤2：估计${\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{{\text{gr}}}})$。

为降低估计复杂度，此步骤中估计差值$\Delta \theta = {\theta _{{\text{gr}}}} - {\hat \theta _{{\text{gr}}}}$替代估计角度变量${\theta _{{\text{gr}}}}$。给定${{\boldsymbol{\hat b}}_k}$，则估计${\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{{\text{gr}}}})$的子问题(P2)建模为

其中，${\boldsymbol{a}}'(M,{\hat \theta _{{\text{gr}}}})$是${\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{{\text{gr}}}})$在${\hat \theta _{{\text{gr}}}}$的导数。与式(6)同理可估计出偏差角$\Delta \hat \theta$，迭代过程中的线性估计算子与式(11)相同，待估角度参数依据${\hat \theta _{{\text{gr}}}} = {\hat \theta _{{\text{gr}}}} + \Delta \hat \theta$执行更新。则估计的反射信道为

值得注意的是，为避免差错传播，本节未采用时分策略先估计反射信道再根据${{\boldsymbol{\hat z}}_k} - {\boldsymbol{a}}(M,{\hat \theta _{{\text{gr}}}}){{\boldsymbol{\hat b}}_k}{\boldsymbol{p}}$计算直连信道${{\boldsymbol{h}}_k}$。

上述基于交替迭代和ADMM的信道估计算法暨稀疏子空间关联过程总结于算法1。

表 1  基于AO的信道估计算法暨稀疏子空间关联过程

输入：问题(P)
输出：反射信道$\widetilde {\boldsymbol{G}}$，直连信道${\boldsymbol{H}}$
· 估计反射信道
(1)根据步骤1估计${{\boldsymbol{b}}_k}$
(2)根据步骤2估计${\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{gr}})$
(3)根据式(16)得到反射信道$\widetilde {\boldsymbol{G}}$
· 估计直连信道
(4)根据步骤1得到${\boldsymbol{T}}({\boldsymbol{\hat u}})$,${\boldsymbol{\hat v}}$
(5)对${\boldsymbol{T}}({\boldsymbol{\hat u}})$进行范德蒙德分解得到${\boldsymbol{a}}(M,{\hat \theta _{k,{L_1}}})$
(6)根据式(14)得到直连信道${\boldsymbol{H}}$

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4.   基于不动点深度学习的直连与反射信道并行估计

为克服ADMM非线性估计算子对先验知识的依赖，在本节中，提出一种基于不动点深度学习的方法求解式(5)中的问题P。不同于传统深度学习架构，该网络可根据移动场景变化动态调节隐藏层数，提高计算资源利用效率。

4.1   网络架构

如图2所示的全信道估计网络中分别包括直连和反射信道估计模块。其中，反射信道模块中利用耦合变量${{\boldsymbol{b}}_k}$和${\boldsymbol{a}}(M,{\theta _{{\text{gr}}}})$之间关系设计如图2所示的两级网络，即FPN-Net和Angle-Net。其中直连和反射信道估计模块共用FPN-Net，其基于接收信号${\boldsymbol{Y}}$, ${{\boldsymbol{F}}_1}$, ${{\boldsymbol{F}}_2}$, ${{\boldsymbol{Z}}^0}$, ${{\boldsymbol{\varLambda}} _k}$和${{\boldsymbol{S}}_k}$学习输出估计的${{\boldsymbol{\hat b}}_k}$, ${\boldsymbol{\hat v}}$和${\boldsymbol{T}}({\boldsymbol{\hat u}})$，然后直连信道估计模块利用${{T}}({\boldsymbol{\hat u}})$执行范德蒙德分解估计直连信道${\boldsymbol{H}}$的同时反射信道模块采用Angle-Net基于${\boldsymbol{Y}}$，${{\boldsymbol{\hat b}}_k}$估计反射信道${\boldsymbol{\tilde G}}$的角度信息${\theta _{gr}}$^[16]。

图 2  基于不动点深度学习的信道估计方法的两阶段网络结构

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4.2   FPN-Net和Angle-Net结构

依据不动点迭代的收缩映射，FPN-Net的构成包括式(11)中ADMM的闭式线性估计算子和基于深度学习网络的非线性估计算子，两算子模块迭代执行，可运行任意次迭代直到收敛^[17]且估计的结果是不动点迭代的稳定态，即不动点。Angle-Net与FPN-Net具有相似的结构，这里以FPN-Net为例详解非线性估计算子和线性估计算子模块的工作原理。

(1) 非线性估计算子模块。用神经网络取代了传统ADMM算法中的非线性估计算子(Non-Linear Estimator, NLE)，以学习利用数据中的信道状态信息。其中FPN-Net中的NLE由下式给出

其是一个以${\boldsymbol{\varTheta}}$为参数的神经网络。${f_{{\text{NLE}},\varTheta }}( \cdot )$是由3个残差块(Residual Blocks, RBs)组成的残差网络(Residual Network, ResNet)。在RBs之前，${{\boldsymbol{w}}^{(i + 1)}}$首先被重塑为大小为$M = {M_1} \times {M_2}$的特征图的张量形式，然后通过卷积(Conv)层，将其提升为64个特征图。每个RB是由一个映射加上$3 \times 3$的Conv与64个特征图和ReLU激活函数组成的。在RBs之后，应用两个具有$M$特征图的$1 \times 1$Conv层，并将输出重塑为具有与${{\boldsymbol{w}}^{(i + 1)}}$相同大小的向量。并在每个RB中采用层归一化，以获得更稳定的训练，这适用于递归神经网络，因此也适用于FPN-Net。

(2) 线性估计算子模块。因为FPN-Net中得到的不动点为$\overline {\boldsymbol{Z}}$，因此其中的LE与ADMM算法中的线性表达式相似，可以通过式(11)得到即为${\overline {\boldsymbol{Z}} ^{(i + 1)}} = {\left( {2\rho {\boldsymbol{F}}_1^{\text{H}}{{\boldsymbol{F}}_1} + {\boldsymbol{F}}_2^{\text{H}}{{\boldsymbol{F}}_2}} \right)^{ - 1}} \left( {\boldsymbol{F}}_2^{\text{H}}{\boldsymbol{Y}} + 2{\boldsymbol{F}}_1^{\text{H}}{\boldsymbol{\lambda}} _{M \times 1}^{(i + 1)} + 2\rho {\boldsymbol{F}}_1^{\text{H}}{\boldsymbol{s}}_{M \times 1}^{(i + 1)} \right)$。

综上所述，基于FPN-Net不动点迭代算法流程总结于算法2。

表 2  FPN-Net不动点迭代算法

输入：${{\boldsymbol{F}}_1},{{\boldsymbol{F}}_2},{\boldsymbol{Y}}$和NLE的权重$\varTheta$，误差容限$\varepsilon$
初始化：${{\boldsymbol{Z}}^{(0)}} \leftarrow 0$，$i \leftarrow 0$
(1)${f_\varTheta }( \cdot ;{\boldsymbol{Y}})$的固定点迭代
(2)while ${\Vert {{\boldsymbol{Z}}}^{(i)}-{f}_{\varTheta }({{\boldsymbol{Z}}}^{(i)};{\boldsymbol{Y}})\Vert }_{{\mathrm{F}}} \gt \varepsilon$do
(3)${{\boldsymbol{Z}}^{(i + 1)}} \leftarrow {f_\varTheta }({{\boldsymbol{Z}}^{(i)}};{\boldsymbol{Y}})$
(4)$i \leftarrow i + 1$
(5)${{\boldsymbol{Z}}^*} \leftarrow {{\boldsymbol{Z}}^i}$
(6)end while
(7)返回${{\boldsymbol{Z}}^*}$

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4.3   损失函数

本文设计的损失函数${\text{Loss}}$由FPN-Net和Angle-Net两部分的归一化平均误差组成，表示为

其中，${\mathcal{L}_1}(\overline {\boldsymbol{Z}} _1^*;{\boldsymbol{Z}}) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{w = 1}^n {\left( {\frac{{{{\left\| {{{\boldsymbol{Z}}_w} - {f_\varTheta }(\overline {\boldsymbol{Z}} _{1,w}^*;{{\boldsymbol{Y}}_w}(t))} \right\|}_2}}}{{{{\left\| {{{\boldsymbol{Z}}_w}} \right\|}_2}}}} \right)}$，${\mathcal{L}_2}(\overline {\boldsymbol{Z}} _2^*;{\boldsymbol{Z}}) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{w = 1}^n {\left( {\frac{{{{\left\| {{{\boldsymbol{Z}}_w} - {f_\varTheta }(\overline {\boldsymbol{Z}} _{2,w}^*;{{\boldsymbol{Y}}_w}(t))} \right\|}_2}}}{{{{\left\| {\boldsymbol{Z}} \right\|}_2}}}} \right)}$，$\overline {\boldsymbol{Z}} _1^*$和${\boldsymbol{Z}}$分别表示估计信道和真实信道，且$\overline {\boldsymbol{Z}} _{1,w}^*$和${{\boldsymbol{Z}}_w}$表示该批中的一个特定样本。

4.4   网络训练过程

网络训练中采用PyTorch开源库进行了150次训练，采用Adam优化器来更新权重，并将初始学习率设置为0.001。为了充分训练和准确评估该模型，分别生成了80 000和5 000个数据样本用于训练和验证。并且还生成了5 000个数据样本作为测试集来测试所提出的算法的性能。

4.5   复杂度分析

FPN-Net中LE的复杂度由矩阵向量积决定，为$\mathcal{O}(M(M + 1))$。FPN-Net中NLE的复杂度取决于神经网络的浮点运算数(Floating-Point Operations, FLOPs)，为常数级，用c表示。因FPN-Net的收敛速度是线性的，则需要$\mathcal{O}({\text{lg}}{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \sigma }} \right. } \sigma })$次迭代即可满足最优精度$\sigma$。则FPN-Net的总体复杂度为$\mathcal{O}({\text{lg}}{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \sigma }} \right. } \sigma }(M(M + 1) + c))$。综上，本文所提出的基于深度学习的全信道估计算法的复杂度为$\mathcal{O}(KM{\text{lg}}{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \sigma }} \right. } \sigma }(M(M + 1) + c))$。

5.   仿真结果分析

本节通过仿真结果来评估所提方法的性能。假设方向角每10个信道相干块发生变化，而增益在每个相干块中发生变化。假设信道增益${\alpha _l}$，$\gamma$和${\beta _k}$遵循均值为0方差为1的复数高斯分布，${\theta _{k,{l_2}}}$,${\theta _{{\text{gt}}}}$,${\theta _{{\text{gr}}}}$和${\theta _l}$是根据分布$\mathcal{U}( - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2},{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. } 2})$生成的。多用户系统相应参数设置为${N_1} = {N_2} = 32$，${M_1} = {M_2} = 32$，用户数$K = 2,3, \cdots ,10$。基于深度学习的全信道估计算法的主要参数列于表1中，采用归一化均方误差(Normalized Mean Square Error, NMSE)作为评价估计性能指标：${\text{NMSE}} = {{\left\| {{\boldsymbol{\hat H}} - {\boldsymbol{H}}} \right\|_{\text{F}}^2} \Bigr/{\left\| {\boldsymbol{H}} \right\|_{\text{F}}^2}}$，且$\text{SNR}=10\cdot \text{lg}\left(({P}_{反}+{P}_{直})/{P}_{\text{n}}\right)$。对比算法包括文献[18]中的正交匹配追踪法(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)，文献[19]中的双线性交替最小二乘法(Bilinear Alternating Least Squares, BALS)，和本文第3节提出的基于AO算法的全信道估计算法。

表 1  基于深度学习的全信道估计算法的主要参数

参数名称	数值
最大周期数	150
训练批量数	128
验证批量数	2000
学习率	1e–3
训练集	80000
验证集	5000
测试集	5000

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图3给出了对比算法和本文所提出算法的NMSE性能与信噪比的关系。首先从中可以看出，所提出的基于AO的算法性能优于文献[18]所提出的OMP算法和文献[19]中的BALS算法，这是因为本文在揭示了稀疏子空间的一致性的前提下，使用改进的原子范数最小化法对问题进行建模。不仅如此，图3还对本文所提出的两种算法即基于AO算法和基于深度学习的全信道估计算法的性能进行了比较。从图中可以观察到，提出的基于深度学习的全信道估计算法性能增益比所提出的基于AO的算法高10 dB，这表明基于深度学习的全信道估计算法卷积神经网络组件可以有效地提取和利用复杂信道的结构。

图 3  不同信噪比的NMSE性能比较

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图4将本文提出的直连信道和反射信道的联合估计方法与文献[20]的选择开关协议的方法进行了比较，并设置BS配备$M = 8 \times 4$的均匀平面阵列，IRS配备$N = 16 \times 8$的均匀平面阵列。从图中可以看出本文所提出的算法性能明显优于文献[20]的算法。同时，从实际应用角度出发，本文提出的方法不需要开关切换IRS的状态，便可以同时估计直连和反射信道，节省了大量开销。

图 4  不同估计方法的NMSE

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在图5中，给出了基于深度学习的全信道估计算法在不同信噪比设置下的收敛性。从图中可以观察到NMSE在3～7次迭代后收敛，且在较高的信噪比下，所需的迭代次数略大。这是因为对于信号较好的情况，基于深度学习的全信道估计算法可达的NMSE更小，需要更多次的迭代才能满足迭代停止条件。

图 5  提出的算法在NMSE上的收敛性

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图6表明了信噪比为0 dB时两种提出算法NMSE随着迭代次数的变化规律。从图中可以看到，在第3次迭代之前，随着迭代次数的增加，两种算法的信道估计误差皆降低。基于AO的迭代算法在第7次迭代时趋于收敛，而提出的基于深度学习的全信道估计算法在第3次迭代即趋于收敛，速度明显优于基于AO的算法。这是因为基于深度学习的全信道估计算法能对先验知识进行有效学习，而基于AO的算法依赖于经验参数，但是该经验参数只是一个近似值，限制了算法的收敛速度。

图 6  SNR=0 dB时迭代的NMSE

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在图7中，绘制了相同条件下文献[21]所提出的多任务学习(Multi-Task Learning, MTL)信道估计算法和本文所提出的基于深度学习的全信道估计算法的NMSE性能与信噪比的关系。从图中可以看出本文所提出的方法明显优于文献[21]所提出的方法，这是因为本文所提出的算法将传统算法与深度学习相结合，既保证了理论的可证明性又提升了算法性能。

图 7  不同算法的NMSE

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6.   结束语

本文提出了一种适用于IRS辅助的上行多用户毫米波移动通信系统的全信道估计算法。该算法基于建立的直连与反射信道之间的稀疏子空间关联模型，联合ADMM和不动点深度学习架构设计了一种对先验信息和网络隐藏层数自适应调节的估计算法。该算法同时估计直连与反射信道，是一种无差错传播的估计方法。仿真结果表明所提方法对动态通信场景具有较强的自适应能力，对先验知识的学习能力强，算法复杂度低，估计精度高。