Characteristic Analysis of Chaotic System Based on Binary-valued and Tri-valued Memristor Models
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摘要: 近年来，基于忆阻器的非线性动力学问题备受关注。该文以二值和三值忆阻器为例分析了二值和多值忆阻器对于混沌系统动力特性的影响。首先，将二值忆阻器引入Chen系统，构建了一个4维的基于二值忆阻器的混沌系统(BMCS)。其次，使用三值忆阻器替换上述系统中的二值忆阻器，构建一个4维的基于三值忆阻器的混沌系统(TMCS)。通过理论分析与数值仿真，从多个角度对比了两个混沌系统之间的动力学特性差异，如Lyapunov指数、分岔图、系统的平衡点、系统稳定性、对初值的敏感性以及系统的复杂度分析等。结果表明，两个基于忆阻器的混沌系统都具有无穷多个平衡点，二者产生的吸引子均为隐藏吸引子，且都存在的暂态混沌现象，但三值忆阻混沌系统具有超混沌特性，且相比二值忆阻混沌系统具有更强的初值敏感性以及更大的参数取值区间。分析得出基于三值忆阻器构建的混沌系统比基于二值忆阻器的混沌系统能够产生更为复杂的动力学特性，混沌信号也更为复杂。Abstract: In recent years, nonlinear dynamics problems based on memristors have received much attention. In this paper, binary-valued and tri-valued memristors are used as examples to analyze the influence of binary-valued and multi-value memristors on the dynamic characteristics of chaotic systems. Firstly, the binary-valued memristor is introduced into the Chen system, and a four-dimensional Binary-valued Memristor-based Chaotic System(BMCS) is constructed. Secondly, a tri-valued memristor is used to replace the binary-valued memristor in the above system, and a four-dimensional Tri-valued Memristor-based Chaotic System(TMCS) is constructed. Through theoretical analysis and numerical simulation, the differences of dynamic characteristics between the two chaotic systems are compared from multiple perspectives, such as Lyapunov exponent, bifurcation diagram, equilibrium point of the system, system stability, sensitivity to initial value and system complexity analysis, etc. The results show that the two memristor-based chaotic systems have infinite equilibrium points, the attractors generated by both are hidden attractors, and both have transient chaotic phenomena, but the Tri-valued memristor chaotic system has Hyper-chaos, and has stronger initial value sensitivity than Binary-valued memristor chaotic system. Further, the Tri-valued memristor chaotic system has a larger parameter value interval than the Binary-valued memristor chaotic system to obtain chaotic sequences with sufficiently high complexity. Through analysis, it is concluded that the chaotic system based on Tri-valued memristor can generate more complex dynamic characteristics and more complex chaotic signal than the chaotic system based on binary-valued memristor.
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Key words:
- Binary-valued memristor /
- Tri-valued memristor /
- Hyper-chaos /
- Hidden attractors /
- System complexity
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1. 引言
混沌现象是非线性系统所特有的一种复杂现象，具有初始条件敏感性、内部随机性、局部不稳定性以及非周期性等非线性特性，目前已被广泛应用于动力学研究[1,2]、神经网络[3]、安全通信[4]、图像加密等方面[5,6]。由于混沌系统的复杂性与其非线性项有直接关系，因此，忆阻器作为一种具有非线性特性的电路元件适合用于构建混沌电路。
自Itoh和Chua[7]将忆阻器引入混沌系统，首次实现忆阻器与混沌系统的融合以来，许多研究人员投身于忆阻混沌系统的研究，并取得了大量的成果。文献[8]提出一个具有3线平衡点的忆阻混沌系统，并详细研究了该混沌系统的基本动力学特性。文献[9]基于磁控忆阻器构造了一个4维忆阻混沌系统，该系统结构简单且具有无穷多个吸引子。文献[10]提出一种基于忆阻器的混沌电路，该系统具有共存吸引子和复杂的动力学特性。文献[11]通过在忆阻混沌系统中引入优化因子f，得到了一个没有平衡点的新系统，并实现了对隐藏吸引子的控制。文献[12]在类lorenz系统中引入忆阻器反馈，得到了具有多重稳定性的超混沌系统，该系统具有丰富而独特的动力学特性。文献[13]通过在一个基于忆阻器构造的混沌电路中引入非线性反馈控制项，构造了一个新的忆阻混沌系统，该系统具有无穷多个平衡点。文献[14]通过引入忆阻器提出一种新的超混沌系统，并通过多种方式分析了该系统的动力学行为，最后使用硬件电路对其进行了实现。文献[15]将忆阻器引入4维 Sprott-B系统，构建了一个5维忆阻混沌系统，并对该系统的动力学特性进行了分析，最后基于FPGA对其进行了硬件实现。
2020年，Wang等人[16]首次提出了多值忆阻器的概念和数学模型，并对三值忆阻器数学模型进行深入分析，并于同年将三值忆阻器引入Lü系统，构建起一个新的4维三值忆阻混沌系统，该混沌系统具有复杂的动力学行为[17]。三值忆阻混沌系统的提出不仅丰富了非线性系统的类型，还拓宽了混沌系统的设计思路。到目前为止，关于忆阻混沌的研究大多围绕连续型忆阻器和二值忆阻器，对三值或多值忆阻混沌的研究相对较少。基于团队在忆阻混沌方面的研究基础，本文通过在Chen系统中分别引入二值和三值忆阻器，得到了基于二值忆阻器和三值忆阻器建的混沌系统，并对两系统的特性加以比对和深入分析，为三值忆阻混沌电路的进一步研究提供理论基础。
本文结构如下：第2节首先介绍了二值和三值忆阻器数学模型，并基于两种忆阻器模型构造了二值忆阻混沌系统(Binary-valued Memristor-based Chaotic System, BMCS)和三值忆阻混沌系统(Tri-valued Memristor-based Chaotic System, TMCS)；第3节对系统进行了定量分析，包括耗散性分析、平衡点和稳定性， Lyapunov指数和Lyapunov维数，以及初值敏感性分析；第4节对系统进行了定性分析，给出了混沌吸引子相图，对比了参数变化对系统动力学特性的影响，讨论系统中的暂态混沌现象，以及基于C0和SE算法对系统的复杂度进行了对比分析；最后在第5节给出总结。
2. 忆阻器模型及其构建的混沌系统
忆阻器用于直接描述电荷q与磁通φ之间的关系。本文采用文献[16]给出的构建多值忆阻器的通用方法，建立二值和三值忆阻器数学模型，并进一步建立BMCS和TMCS。
2.1 二值忆阻器模型
二值忆阻器模型的φ-q关系可用对称分段线性函数描述，如式(1)所示
q=e0+a0φ+b0|φ+c0|−b0|φ−c0| (1) 其中，参数a0, b0和c0均为非零常数。通过对磁通φ求导可以得到二值忆阻器模型的φ-G关系如式(2)所示
G(φ)=a0+b0[sgn(φ+c0)−sgn(φ−c0)]={a0+2b0,|φ| < c0a0,|φ|>c0 (2) 其中，sgn(x)为符号函数。当x<0时，sgn(x)=–1；当x>0时，sgn(x)=1。设置a0=2.5, b0=2.5以及c0=1，该二值忆阻器具有两个稳定的忆导值2.5 S和7.5 S，其φ-q曲线、φ-G曲线如图1(a)和图1(b)所示。图1(a)中两个不同的斜率表示该忆阻器的两个忆阻值。通过对该模型施加正弦信号v=v0sin(2πƒt)，取v0=4 V，频率ƒ=0.637 Hz以及初始值ϕ(0)=–1.5，可得其v-i特性曲线如图1(c)所示。
2.2 三值忆阻器模型
本文采用的三值忆阻器模型的φ-q关系用一个非对称分段线性函数来描述，其表达式如式(3)所示
q=e′0+a′0φ+b′0|φ+c′0|−d′0|φ−c′0| (3) 其中，参数a′0,b′0,c′0,d′0和e′0为非零常数，c′0为正数。式(3)等式两边同时对磁通φ求导可得到该三值忆阻器模型的φ-G关系为如式(4)所示的分段函数关系
G′(φ)=a′0+b′0sgn(φ+c′0)−d′0sgn(φ−c′0)={a′0−b′0+d′0,φ < −c′0a′0 + b′0+d′0,−c′0<φ < −c′0a′0 + b′0−d′0,φ>c′0 (4) 令a′0=2.5, b′0=4, c′0=1, d′0=2.5, e′0=–1.5，该忆阻器模型表现出3个稳定的忆导值1 S, 9 S和4 S，对应的φ-q曲线、φ-G′曲线如图2(a)和图2(b)所示。对该三值忆阻器模型施加正弦信号v=v0sin(2πf′t)，取v0=4 V, f′=0.159 Hz，初值φ(0)=–1.5，可得到其v-i特性曲线如图2(c)所示。
2.3 基于忆阻器数学模型的混沌系统的构建
现将式(2)所描述的二值忆阻器模型G(w)引入Chen系统，可得到4维二值忆阻混沌系统BMCS，如式(5)所示[18]
˙x=a(y−x)˙y=(c−a)x+cy−xz+dG(w)x˙z=xy−bz˙w=x+y} (5) 用式(4)所描述的三值忆阻器模型G′(w)替换式(5)中的二值忆阻器模型G(w)，即可构造一个与式(5)所示BMCS结构相同的三值混沌系统TMCS，如式(6)所示
˙x=a(y−x)˙y=(c−a)x+cy−xz+dG′(w)x˙z=xy−bz˙w=x+y} (6) 以上两系统中，x, y, z和w为系统状态变量，a, b, c和d表示系统参数。
3. BMCS和TMCS的定量分析
为便于讨论引入二值忆阻器和三值忆阻器后得到的BMCS和TMCS在性能上有何种不同，本文设置两个系统具有相同的系统参数与初始值，即参数a=42, b=5, c=31, d=3.7，系统初始值[x0, y0, z0, w0]=[0.01, 0.01, 0.01, 0.01]。在本文中，将该条件统一称为“默认初始条件”。
3.1 系统的耗散性分析
在默认初始条件下，BMCS和TMCS的散度均可计算为
∇V=∂˙x∂x+∂˙y∂y+∂˙z∂z+∂˙w∂w=−a+c−b=−16<0 (7) 式(7)结果表明两个系统都具有耗散性，可以产生混沌吸引子。
3.2 Lyapunov指数
在默认初始条件下，BMCS的Lyapunov指数为LE1=2.3090, LE2=0.0017, LE3=–0.0795, LE4=–18.2281。由式(8)可以计算得到BMCS的Lyapunov维数DL=3.1222。在同样的条件下，TMCS的Lyapunov指数为LE1=2.4818, LE2=0.1578, LE3=0.0017≈0, LE4=–18.6413，Lyapunov维数DL=3.1417。可见，BMCS有一个正的Lyapunov指数，为混沌系统，TMCS有两个正的Lyapunov指数，为超混沌系统，且TMCS的Lyapunov维数相比BMCS的Lyapunov维数更大。表1为两个系统仿真结果的比较，通过对比可知，TMCS动力学行为相较BMCS更加复杂
表 1 混沌系统的Lyapunov指数及Lyapunov维数混沌系统 公式 LE1 LE2 LE3 LE4 DL 超混沌 BMCS 式(5) 2.3090 –0.0017 –0.0795 –18.2281 3.1222 否 TMCS 式(6) 2.4818 0.1578 0.0017 –18.6413 3.1417 是 DL=k+1|LEk+1|k∑i=1LEi=3+(LE1 + LE2 + LE3)|LE4| (8) 3.3 系统的平衡点及稳定性
令式(5)、式(6)左边分别为0，可计算得到系统的平衡点为{x=y=z=0, w=任意常数}。由二值和三值忆阻器模型可知，两个系统中的w均不为0，可判断BMCS和TMCS均有无限多个平衡点，且其产生的吸引子均为隐藏吸引子。可见，通过在混沌系统中引入二值和三值忆阻器，原混沌系统产生了一个附加的状态变量w，使系统演变为有无限多个平衡点的混沌系统。
3.4 系统的初值敏感性分析
混沌系统具有初值敏感性。通过对不同初始条件下产生的序列进行相关性计算，可得到系统以初值的敏感性强弱[19]。公式如式(9)所示
Co = E[(Xt−μX)(Yt−μY)]σXσY (9) 其中，Xt和Yt是系统在不同初始值情况下所产生的两个序列，μ和σ分别为序列的均值和标准差，E[·]为期望函数。计算结果Co越接近0，说明两个序列的相关性越低，即该混沌系统对初值的敏感性越高。
通过固定参数[a, b, c, d]=[42, 5, 31, 3.7]，现将两混沌系统4个初值中的1个进行微小的改变，以x0为例，取变化量为10–10，即令x′0=x0+10–10，并在系统在初始值为[x0, 0.01, 0.01, 0.01]和[x′0, 0.01, 0.01, 0.01]下产生了4组对比序列(X1, X2),(Y1, Y2), (W1, W2)和(Z1, Z2)，再利用式(9)分别计算4组序列对的相关性，结果如表2所示。从表2信息可以看出，TMCS所产生的4组对应序列的相关值都比BMCS所产生的序列的相关值更接近于0，并且二者存在数量级上的差异，说明TMCS对初始值的变化更加敏感。
表 2 序列相关性的对照比较混沌系统 X1,X2的相关性 Y1,Y2的相关性 Z1,Z2的相关性 W1,W2的相关性 BMCS –0.0122 –0.0137 –0.0207 0.1530 TMCS –0.0085 –0.0068 0.0017 –0.0055 4. BMCS和TMCS的定性分析
本节首先对默认条件下BMCS和TMCS的吸引子相图特征进行了比对，其次分析了两个系统中参数变化对动力学特性产生的影响差别，再次对系统中存在的暂态混沌现象进行了研究，最后利用C0和SE算法讨论了两个系统的复杂度特性。
4.1 混沌吸引子相图
上文通过计算得到BMCS与TMCS两个系统均为混沌系统，本节采用上述默认初始条件，可得到其混沌吸引子相图分别如图3与图4所示。通过相图可以直观地看到，两系统的混沌吸引子均呈现与Chen系统相似的双涡卷结构，但变量范围存在差异。例如，在x-w平面，BMSC中变量w的变化范围为[–60,40]，TMSC中变量w变化范围为[–10,50]，可见，在x-w平面上BMCS变量范围更大。
4.2 系统参数对系统动力学特性的影响
4.2.1 参数c对系统动力学特性的影响
令系统参数c在区间[20, 40]之间变化，给定初始值为[0.01, 0.01, 0.01, 0.01]，当设置其他参数为默认初始条件时，可以得到BMCS系统相应的Lyapunov指数谱和分岔图分别如图5和图6所示。从图5可以看出，当参数a,b,d的值保持不变，随着参数c的变化，BMCS从混沌状态逐渐变为周期状态。当参数c的区间在[21, 32]之间时，系统处于混沌状态，当c超过32时，系统逐渐从混沌状态向周期状态过渡，并最终进入到周期状态。图6所示的分岔图与Lyapunov指数谱的结果一致。表3为参数c取不同值时BMCS系统所对应的Lyapunov指数及系统所处的状态，图7为表中所对应的吸引子在x-z平面上的相图。
表 3 不同参数c对应的Lyapunov指数值参数c LE1 LE2 LE3 LE4 系统状态 25 2.3090 0.0007 –0.0329 –23.8567 混沌 31 2.3090 –0.0017 –0.0795 –18.2281 混沌 36 0.0068 –0.0111 –5.4995 –5.4962 周期 类似地，保持TMCS中a, b, d 3个参数不变，初始值为[0.01, 0.01, 0.01, 0.01]，可得到参数c在区间[20, 40]变化的Lyapunov指数谱如图8所示。可见，当参数c在[20, 23]区间时，TMCS逐渐向混沌系统演化，在[23, 30.5]区间系统进入混沌状态，当参数c大于30.5时系统间歇性出现超混沌状态，由于第2个正的Lyapunov指数相较于其他Lyapunov指数变化范围较小，具体数值在表4给出。当参数超过32时，系统逐渐进入周期状态。图9所示的分岔图与Lyapunov指数谱所显示的结果相一致。图10为表4中系统状态所对应的吸引子在x-z平面上的相图。
表 4 不同参数下TMCS对应的Lyapunov指数值参数c LE1 LE2 LE3 LE4 系统状态 25 2.2273 –0.0066 –0.0628 –18.6413 混沌 31 2.4818 0.1578 0.0017 –18.6413 超混沌 36 0.0087 –0.0090 –5.5039 –5.4958 周期 4.2.2 系统参数a和c对系统动力学特性的影响
为了进一步研究参数变化对系统状态的影响，本节通过引入动力学地图来刻画BMCS和TMCS两系统在参数a和参数c同时变化的过程中所处于的具体状态。其中，b=5, d=3.7，得到图11和图12所示的关于参数a和参数c的动力学地图，其中深蓝色表示系统处于超混沌状态，浅蓝色表示系统处于混沌状态，绿色表示系统处于周期状态。
可见，当参数a在[40, 44]，c在[30, 34]之间变化时，BMCS随着参数c增大而由蓝色逐渐变为绿色，表示系统由混沌变为周期状态，而TMCS则先在混沌与超混沌状态之间变化，并最终变为周期状态。当参数为默认初始条件时，BMCS动力学地图对应点为蓝色，系统处于混沌状态，TMCS动力学地图对应点为深蓝色，系统处于超混沌状态。
4.3 混沌系统中的暂态混沌现象分析
通过对BMCS和TMCS进行时域分析，发现两个系统均存在暂态混沌这一特殊的动力学现象。例如，当BMCS中参数a=41.1, b=5, c=31.8和d=3.7时，通过图13(a)可以看到，关于状态变量w的时域波形在0～7 ms的间隔内非常紊乱，随后开始收敛，且不向正或负的某一极发散，而是规律地、在固定区间之内波动，在超过7 ms之后的时域内变为周期状态。BMCS到达稳态后其x-y平面相图和x-z平面相图分别如图13(b)和图13(c)所示，表现为周期状态的吸引子。
当TMCS与BMCS取上述相同参数时，TMCS关于状态变量w的时域波形以及到达稳态后x-y平面相图和x-z平面相图如图14所示。由图14(a)可知，状态变量w的时域波形在0～11 ms的间隔内处于不规则状态，随后开始收敛为在固定区间内波动，系统为周期状态。由图13和图14可以看到，BMCS和TMCS中的暂态混沌现象呈现相似的结果，即暂态混沌存在时间很短，系统由暂态混沌转为周期状态，相图均为周期状态的吸引子。
通过对BMCS和TMCS进行分析发现，其中仅TMCS存在稳定的超混沌状态。在默认初始条件下，通过图15(a)可以看到，TMCS关于状态变量w的时域波形极不规则，既不收敛也不向正负两极中某一端发散，持续处于紊乱状态。关于状态变量x,y和z的时域波形也是如此。TMCS的x-y平面相图和x-z平面相图分别如图15(b)和图15(c)所示，为超混沌吸引子。
4.4 基于C0和SE算法的系统复杂度对比分析
系统的复杂度是测量一个系统生成随机序列能力的量化指标，复杂度的大小取决于混沌序列的随机程度。混沌序列的复杂性关乎混沌系统在加密领域中应用的可靠性，以确保系统具有足够的抗干扰性和抗截获性。SE复杂度算法和C0复杂度算法是基于结构复杂度的算法，不仅计算速度更快，并且可以有效地衡量系统的复杂性。
4.4.1 复杂度算法描述
文献[20]所提到的C0复杂度算法主要思想是把序列分成规则和不规则部分，其定义是序列中不规则的部分所占的比例。对给定长度为N的时间序列{x(n), n=0, 1,···, N–1}，其计算方式为
C0=(r,N)=N−1∑n=0|x(n)−x′(n)|2N−1∑n=0|x(n)|2 (10) 其中，x′为X′的傅里叶逆变换，X′表达式为
X′={X(k),|X(k)|2>rGN0,|X(k)|2<rGN (11) 其中，GN为对序列x(n)进行离散傅里叶变换之后再求得的均方值。
文献[20]提出的SE复杂度算法，对给定长度为N的时间序列{x(n), n=0, 1,···, N–1}，其计算方法为如式(12)所示。其中，X(k)为对去掉直流分量的混沌序列进行离散傅里叶变换得出的结果
SE(N)=−N/2−1∑k=0|X(k)|2N/2−1∑k=0|X(k)|2ln|X(k)|2N/2−1∑k=0|X(k)|2ln(N2) (12) 4.4.2 系统复杂度特性分析
对于BMCS和TMCS，在默认初始条件下，通过C0和SE算法对y序列的复杂度特性进行分析。得到两系统的复杂度曲线如图16和图17所示。其中，保持BMCS系统中参数a,b,d的值不变，令参数c在[20, 40]之间变化，可见系统参数c的区间在[21, 32]之间时，系统C0复杂度和SE复杂度都处于较高的阶段，且随参数c增大而增大，在c为30.69时达到最大。当BMCS随着参数c继续增大时，系统复杂度迅速降低。BMCS系统复杂度曲线的整体趋势与其Lyapunov指数谱、分岔图结果相一致。TMCS的复杂度曲线整体走势与BMCS相似，由图17的复杂度曲线可知三值忆阻器对二值忆阻器的替换给混沌系统复杂度带来的变化。如图16和图17所示，TMCS在参数c递增的过程中，其复杂度曲线的变化范围较BMCS有整体性上升。这意味着TMCS相比BMCS复杂度足够高。
5. 结论
本文通过在Chen系统中分别引入二值和三值忆阻器，得到了两个4维混沌系统BMCS和TMCS，并对这两个系统进行了对比和深入分析。定量角度方面，系统的耗散性和平衡点特征表明两个系统产生的吸引子均为隐藏吸引子，初值敏感性分析得出TMCS具有比BMCS更高的初值敏感性，Lyapunov指数和Lyapunov维数的计算表明BMCS为混沌，TMCS为超混沌。定性角度方面，吸引子相图表明相同参数和初始条件下两个混沌系统相图存在一定程度的差异，由Lyapunov指数谱、分叉图和动力学地图表明，随着参数变化BMCS在混沌和周期状态之间变化，TMCS在超混沌、混沌和周期状态之间变化。此外，通过分析时域波形发现BMCS和TMCS中均存在暂态混沌现象。最后通过C0和SE复杂度算法分析得出TMCS相比BMCS有更高的复杂度。因此，得出将三值忆阻器引入混沌电路更有利于系统产生复杂的动力学特性，提升混沌系统多方面的性能。
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表 1 混沌系统的Lyapunov指数及Lyapunov维数
混沌系统 公式 LE1 LE2 LE3 LE4 DL 超混沌 BMCS 式(5) 2.3090 –0.0017 –0.0795 –18.2281 3.1222 否 TMCS 式(6) 2.4818 0.1578 0.0017 –18.6413 3.1417 是 
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表 2 序列相关性的对照比较
混沌系统 X1,X2的相关性 Y1,Y2的相关性 Z1,Z2的相关性 W1,W2的相关性 BMCS –0.0122 –0.0137 –0.0207 0.1530 TMCS –0.0085 –0.0068 0.0017 –0.0055
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表 3 不同参数c对应的Lyapunov指数值
参数c LE1 LE2 LE3 LE4 系统状态 25 2.3090 0.0007 –0.0329 –23.8567 混沌 31 2.3090 –0.0017 –0.0795 –18.2281 混沌 36 0.0068 –0.0111 –5.4995 –5.4962 周期
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表 4 不同参数下TMCS对应的Lyapunov指数值
参数c LE1 LE2 LE3 LE4 系统状态 25 2.2273 –0.0066 –0.0628 –18.6413 混沌 31 2.4818 0.1578 0.0017 –18.6413 超混沌 36 0.0087 –0.0090 –5.5039 –5.4958 周期
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