1.   引言

随着移动通信网络的发展，各种通信技术得到了具体应用^[1-4]，多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)以及多输入单输出(Multiple-Input Single-Output, MISO)等能有效降低多径衰落，提高系统容量和频谱效率^[1]，同时在物理层安全(Physical Layer Security, PLS)等方面应用也十分广泛^[2]，但是易受信道传输环境的影响，从而使用户接收信号变弱。近年来提出了全息多输入多输出表面(Holographic Multiple Input Multiple Output Surface, HMIMOS)^[5]，基于低成本、小尺寸和低功耗硬件架构，能够极大提高用户的接收速率。无源HMIMOS又称为可重构智能超表面(Reconfigurable Intelligent Surfaces, RIS)，由无源反射单元组成，能够反射入射信号，并可通过控制器调整每个RIS单元的相移来适应不同的信道，因此能够重塑信号的传播方式，使得RIS网络有很好的应用前景^[6,7]。

RIS与PLS^[8]结合能够明显提高通信系统的保密率，有效解决无线信道和信道估计误差带来的性能恶化，但是在系统优化过程中通常将会产生两个变量的耦合，采用交替优化方法分别优化基站(Base Station, BS)处的发射预编码矢量和RIS处的相移矩阵则可以得到次优解^[9]。另外RIS辅助无线通信存在高度非凸的单位模约束。通常的处理方法是将RIS相移矩阵转变为半正定矩阵的形式，采用半定松弛(Semidefinite Relaxation, SDR)的方法松弛秩一约束，通过引入高斯随机化的方法得到优化问题的次优解^[8]。文献[6]通过联合设计BS处的主动预编码和RIS的被动波束成形来最小化BS的发射功率，从而实现每个用户的最优服务质量(Quality of Service, QoS)，然后通过基于近似变换和凸凹过程的迭代算法来处理非凸速率表达式和信道状态信息(Channel State Information, CSI)的不确定性。文献[10]使用DC (Difference-of-Convex) 算法，利用迹范数和谱范数之间的差异性给出秩一约束的半正定矩阵形式，优化非凸的单位模约束问题来最小化发射功率。文献[11]考虑RIS辅助多用户通信系统在最大功率和QoS的约束下，采用梯度下降搜索和顺序分数规划处理非凸约束问题，优化RIS相移和下行链路发射功率使资源分配达到最大化。

在安全通信方面，文献[8,12]在完美CSI的情况下最大化系统保密率，通过块坐标下降算法(Block Coordinate Descent, BCD)或者边界最大最小算法(Minorization Maximization, MM)将非凸约束转变为凸约束求解最优解。文献[13]考虑多个合法用户和单个窃听用户，采用逐次凸逼近(Successive Convex Approximation, SCA)和流形优化求解最优解，但是并没有考虑窃听用户的信道不确定性。窃听用户不能实时与BS或RIS进行数据交互，所以其信道状态信息不完美，具有数据滞后和不确定性。文献[14]在完美和不完美CSI的场景下，提出RIS辅助MISO网络中能量效率最大化的问题，应用S-procedure方法处理非完美CSI情况下的有界信道误差模型，采用交替优化方法优化波束成形矩阵以及RIS相移矩阵，但其为减少窃听用户窃取信息而引入干扰信号，会消耗部分额外的能量，并且在不利的无线传输环境下，即使如此也很难保证保密性能。文献[15]在单窃听用户和单合法用户的场景下，采用丁克尔巴赫算法和黎曼流形优化算法将非凸安全速率问题转化为凸问题，采用交替迭代方式来实现发送波束成形矢量和RIS相移矩阵的次优解设计，但是同样存在基站获取全部CSI较难的问题^[6]。文献[16]研究边界信道不确定性对窃听用户的影响，利用矩阵变换、SCA和惩罚函数的方法来最大化系统和速率，但并没有考虑直射链路的影响。

为解决上述窃听用户信道状态信息比较理想化的问题，本文针对RIS辅助的用户窃听MISO系统，提出一种联合RIS相移优化的鲁棒波束赋形算法，有效提高了系统的保密率，主要贡献如下：

(1) 建立用户窃听的RIS辅助MISO系统的无线传输模型，在窃听用户的信道模型中引入了不确定性，研究CSI不完美情况下的系统保密速率优化问题。该问题是多变量耦合的分式规划问题，难以直接求解。

(2) 为求解该问题，采用S-procedure方法将含信道不确定参数的非凸约束条件转化为确定性约束条件，对于非凸的分式规划问题采用Charnes-Cooper方法转变为凸优化问题，并将保密率的优化问题转化为窃听用户可达速率最小化问题，引入半正定矩阵${\boldsymbol{U}}$和${\boldsymbol{Z}}$并进行间接交替优化后，对矩阵${\boldsymbol{U}}$进行征值分解以及高斯随机化方法恢复近似解，最后采用公式${\boldsymbol{U}}{\text{ = }}{\boldsymbol{V}}\varsigma$和${\boldsymbol{Z}}{\text{ = }}{\boldsymbol{W}}\vartheta$对变量进行转换得到波束成形矩阵和相移矩阵。

2.   系统模型

本文考虑一个下行传输系统模型，如图1所示。基站配置$N$个发射天线，1个单天线窃听用户和1个单天线合法用户，1个含有$M$个反射单元的RIS。由于路径损耗，假定被RIS多次反射的信号可以忽略。并且假设RIS与基站足够高，因此两者之间存在直射链路。此外，假设所有信道均为准静态平坦衰落模型^[17]，合法用户的完美CSI在每个信道的相干时间内是完全已知的。

图 1  系统模型

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BS与RIS、RIS与合法用户、RIS与窃听用户、BS与合法用户、BS与窃听用户之间的信道增益分别为${\boldsymbol{G}} \in {\mathbb{C}^{M \times N}}$, ${{\boldsymbol{h}}_{\text{l}}} \in {\mathbb{C}^{M \times 1}}$, ${{\boldsymbol{h}}_{\text{e}}} \in {\mathbb{C}^{M \times 1}}$，${{\boldsymbol{h}}_{{\text{dl}}}} \in {\mathbb{C}^{N \times 1}}$, ${{\boldsymbol{h}}_{{\text{de}}}} \in {\mathbb{C}^{N \times 1}}$, RIS的反射单元表示为${{\text{e}}^{{\text{j}}{\theta _M}}}$，其中${\theta _M}$分别为RIS中第$m$个单元的相位。相位${\theta _M}$在$[0,2{\pi})$是周期性的。那么合法用户和窃听用户接收到的信号分别表示为

其中，${\boldsymbol{w}} \in {\mathbb{C}^{{\text{N}} \times 1}}$为基站的发射预编码矢量，$x$为基站的发射信号，${n_l}$, ${n_e}$是均值为0，方差分别为$\sigma _{\text{l}}^{\text{2}}$和$\sigma _{\text{e}}^{\text{2}}$的加性高斯白噪声。定义${{\boldsymbol{v}}_{\text{0}}} = {[{v_1},{v_2}, \cdots ,{v_M}]^{\text{H}}}$，其中${v_m} = {{\text{e}}^{{\text{j}}{\theta _m}}},\forall m$，那么${\boldsymbol{\psi }} = {\text{diag}}({{\boldsymbol{v}}_{\text{0}}})$，则合法用户${R_{\text{l}}}$和窃听用户${R_{\text{e}}}$的可达速率分别为

RIS辅助MISO无线通信系统中合法用户的保密率为：$R = {R_{\text{l}}} - {R_{\text{e}}}$，其中$R > 0$。由于直射链路和反射链路对窃听用户的影响更大，为阐述这种情况，本文对上述链路采用有界信道不确定性模型^[16]。那么RIS和窃听用户、BS和窃听用户之间的不确定信道分别表示为

其中，${\widehat {\boldsymbol{h}}_{\text{e}}}$和${\widehat {\boldsymbol{h}}_{{\text{de}}}}$表示对应的信道估计值，$\Delta {{\boldsymbol{h}}_{\text{e}}}$和$\Delta {{\boldsymbol{h}}_{{\text{de}}}}$表示信道估计误差，${{{\varepsilon }}_{{\text{ie}}}}$和${{{\varepsilon }}_{{\text{be}}}}$表示不确定性参数的上界。

本文的目标是通过优化基站发射波束矢量${\boldsymbol{w}}$和RIS相移矩阵${\boldsymbol{\psi }}$来最大化保密率。所以优化问题表述为

约束${\text{C}}1$中${P^{\max }}$是基站的最大发射功率，${\text{C2}}$是RIS的相位约束，约束${\text{C3}}$是窃听用户边界信道状态信息的误差模型，由于在上述问题中${\boldsymbol{w}}$和${\boldsymbol{\psi }}$是高度耦合的，并且存在分式规划的问题，所以优化问题和约束条件相对于${\boldsymbol{w}}$和${\boldsymbol{\psi }}$是非凸的。此外，将非完美的CSI考虑在内，导致问题式(4)有无穷多个非凸约束包含在${\text{C3}}$里面。

3.   Charnes-Cooper鲁棒波束赋形算法设计

3.1   整体算法设计

定义矩阵${\boldsymbol{W}}{\text{ = }}{\boldsymbol{w}}{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}$，因此得到新的优化问题

由于优化问题式(5)中${\boldsymbol{W}}$和${\boldsymbol{\psi }}$是高度耦合的形式，根据优化问题的结构，定义矩阵${\boldsymbol{U}}$和${\boldsymbol{Z}}$分别为：${\boldsymbol{U}}{\text{ = }}{\boldsymbol{V}}\varsigma$、${\boldsymbol{Z}}{\text{ = }}{\boldsymbol{W}}\vartheta$，其中${\boldsymbol{v}}{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{v}}_{\text{0}}}}&1 \end{array}} \right]$, ${\boldsymbol{V}} = {\boldsymbol{v}}{{\boldsymbol{v}}^{\text{H}}}$, ${\boldsymbol{U}} \succcurlyeq 0$, $\varsigma > 0$, ${\boldsymbol{Z}} \succcurlyeq 0$, $\vartheta > 0$。因为优化问题有两个耦合变量，所以采用间接交替优化求解新优化问题中的变量${\boldsymbol{U}}$和${\boldsymbol{Z}}$；先优化RIS相移矩阵${\boldsymbol{V}}$再优化基站波束矩阵${\boldsymbol{W}}$。采用Charnes-Cooper的方法将目标函数转变为凸性的表达式。另外由单位模约束会引起秩一(${\text{rank}}({\boldsymbol{V}}) = 1$)约束问题，所以采用高斯随机化${\boldsymbol{U}}$的方法间接解决矩阵${\boldsymbol{V}}$的秩一约束。采用间接交替优化方法求解优化问题后有两个优化变量${\boldsymbol{U}}$和${\boldsymbol{Z}}$，通过公式${\boldsymbol{U}}{\text{ = }}{\boldsymbol{V}}\varsigma$, ${\boldsymbol{Z}}{\text{ = }}{\boldsymbol{W}}\vartheta$得到原优化问题关于${\boldsymbol{W}}$和${\boldsymbol{V}}$的次优解。

图2是进行1次间接交替优化的简图分析。

图 2  间接交替优化的算法设计

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3.2   求解RIS的相移矩阵

根据式(5)重写优化问题得

对优化问题中${\boldsymbol{GZ}}{{\boldsymbol{G}}^{\text{H}}}$进行奇异值分解，即${\boldsymbol{GZ}}{{\boldsymbol{G}}^{\text{H}}} = \displaystyle\sum\nolimits_j {{{\boldsymbol{p}}_j}{{\boldsymbol{q}}_j}^{\text{H}}}$，则可以得到$\displaystyle\sum\nolimits_j {\text{diag}}({{\boldsymbol{p}}_j}) {{\boldsymbol{v}}_{\text{0}}}{\boldsymbol{v}}_{\text{0}}^{\text{H}}{\text{diag}}({\boldsymbol{q}}_j^{\text{H}})$，定义矩阵

由于${\boldsymbol{V}}$是秩一矩阵，那么根据矩阵性质得出对角矩阵${\boldsymbol{\psi }} = {\text{diag}}({{\boldsymbol{V}}_{{{M}} + 1,1:{{M}}}})$^[18]。并定义矩阵表达式

那么得到新的优化问题为

其中，${[{\boldsymbol{V}}]_{m,m}}$为矩阵${\boldsymbol{V}}$的第$\left( {m,m} \right)$个元素，根据优化目标式(10)的结构形式，引入辅助变量$\eta$以及半正定矩阵${\boldsymbol{U}}$，其中矩阵${\boldsymbol{U}}$满足${\boldsymbol{V}} = {\boldsymbol{U}}/\varsigma$, $\varsigma > 0$。利用Charnes-Cooper变换，得到优化问题

其中，${\boldsymbol{F}}_{\text{e}}^{\text{*}}$和${\boldsymbol{F}}_{\text{l}}^{\text{*}}$分别为

其中，关于$\overline {\text{C}} {\text{7}}$和${\text{C8}}$以及${\text{C9}}$的证明见文献[19]中的Appendix D和Proposition 2，${\text{C3}}$约束是非完美信道状态信息的表达式。定义矩阵表达式

那么根据约束${\text{C9}}$得到不等式$\Delta {{\boldsymbol{X}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{R}}_{\text{V}}}\Delta {\boldsymbol{X}} + \Delta {{\boldsymbol{X}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{R}}_{\text{V}}}\widehat {\boldsymbol{X}} + {\widehat {\boldsymbol{X}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{R}}_{\text{V}}}\Delta {\boldsymbol{X}} + {{\boldsymbol{T}}_{\text{V}}} \le 0$，其中${{\boldsymbol{T}}_{\text{V}}} = {\widehat {\boldsymbol{X}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{R}}_{\text{V}}}\widehat {\boldsymbol{X}} + \varsigma {\sigma _{\text{e}}}^2 - \eta {\sigma _{\text{e}}}^2$，由于上述线性矩阵不等式的取值在信道状态信息误差范围内仍然是无限的。所以为解决此问题，采用S-procedure方法将以上不等式转化为一个等价形式。

S-procedure的表达形式为

其中，$k = 1$,$2$, ${{\boldsymbol{A}}_k} \in {\mathbb{H}^n}$, ${{\boldsymbol{b}}_k} \in {\mathbb{C}^n}$, ${c_k} \in \mathbb{R}$，要使不等式满足${f_1}({\boldsymbol{x}}) \le 0 \Rightarrow {f_2}({\boldsymbol{x}}) \le 0$，当且存在$p \ge {\text{0}}$，使得

从而能够得到$\widehat x$的解，使得满足${f_1}(\widehat {\boldsymbol{x}}) < 0$。

令${{{\varepsilon }}_{\text{e}}} = {{{\varepsilon }}_{{\text{be}}}} + {{{\varepsilon }}_{{\text{ie}}}}$，通过S-procedure方法将${\text{C}}3$约束与不等式$\Delta {{\boldsymbol{X}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{R}}_{\text{V}}}\Delta {\boldsymbol{X}} + \Delta {{\boldsymbol{X}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{R}}_{\text{V}}}\widehat {\boldsymbol{X}} + {\widehat {\boldsymbol{X}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{R}}_{\text{V}}}\Delta {\boldsymbol{X}} + {{\boldsymbol{T}}_{\text{V}}} \le 0$结合得到半正定矩阵的形式

使用SDR^[9]方法松弛秩一约束${\text{C5}}$，则优化问题转变为

使用CVX工具箱优化半正定矩阵和辅助变量。由于忽略秩一约束${\text{C5}}$，所以对${\boldsymbol{U}}$进行特征值分解和高斯随机化方法恢复近似解^[9]，从而得到${\boldsymbol{\varphi }}$和$\overline {\boldsymbol{U}}$，同时使用公式$\overline {\boldsymbol{V}} = \overline {\boldsymbol{U}} /\varsigma$得到矩阵$\overline {\boldsymbol{V}}$，根据RIS相移矩阵${\text{rank}}({\boldsymbol{V}}) = 1$的条件得到矩阵${\boldsymbol{\psi }}$的表达式为${\boldsymbol{\psi }}{\text{ = diag}}({\overline {\boldsymbol{V}} _{{{M}} + 1}}_{,1:{{M}}})$。

3.3   求解基站的波束矩阵

将优化问题(5)写为形式

将矩阵${\boldsymbol{W}}$表示为${\boldsymbol{W}} = {\boldsymbol{Z}}/\vartheta$，其中${\boldsymbol{Z}} \succcurlyeq 0$, $\vartheta > 0$。将约束${\text{C1}}$, ${\text{C11}}$和${\text{C12}}$分别转化为

同理通过Charnes-Cooper变形，引入辅助变量$\varepsilon$，将优化问题(19)转变为SDP形式

将式(14)中的${{\boldsymbol{R}}_{\text{V}}}$变形为矩阵形式

联合式(22)和约束${\text{C14}}$可得到不等式

其中，${{\boldsymbol{T}}_W} = {\widehat {\boldsymbol{X}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{R}}\widehat {\boldsymbol{X}} + \vartheta {\sigma _e}^2 - \varepsilon {\sigma _e}^2$，利用S-procedure方法将上述形式变换后得到新的半正定矩阵的约束

那么优化问题式(21)转化为

对秩一约束$\overline {\text{C}} 12$的证明见文献[20]中的Appendix C，所以忽略秩一约束，因此得到优化问题

问题式(26)可利用CVX工具箱求解得到关于${\boldsymbol{Z}}$和$\vartheta$的最优解，依据公式${\boldsymbol{W}} = {\boldsymbol{Z}}/\vartheta$计算出基站的波束矩阵${\boldsymbol{W}}$。

4.   性能分析

4.1   合法用户保密率

结合3.2节和3.3节优化后的参数，得到窃听用户可达速率的上界为

那么合法用户的保密率为

4.2   复杂度分析

通过内点法求解式(18)和式(26)的时间复杂度分别为$\mathcal{O}\left( {({M^{4.5}}){{\log }_2}(1/{{{\varepsilon }}_{\text{p}}})} \right)$和$\mathcal{O}\left( {({N^{4.5}}){{\log }_2}(1/{{{\varepsilon }}_{\text{p}}})} \right)$^[20]，因此算法的整体时间复杂度为$\mathcal{O}\left( ({M^{4.5}} + {N^{4.5}}) {{\log }_2}(1/{{{\varepsilon }}_{\text{p}}}) \right)$。

4.3   收敛性分析

由于优化的目标函数是最大化保密率，所以在每次迭代中保密率是非递减的，定义保密率的表达式为$\{ R(U,Z)\}$，采用间接交替优化后得到式(29)：

在给定初始值${Z^n}$的前提下，b过程可以通过式(18)得到，同时能得到全局最优解${U^{n + 1}}$，a过程可以由式(26)优化得来。同理可以得到全局最优解${Z^{n + 1}}$。并且因为有界发射功率约束的存在，所以$R(U,Z)$是一个有上界的值^[21]。故采用间接交替优化可以保证本文算法的收敛性。具体算法步骤如算法1所示。

算法1　具体步骤
初始化$N$, $M$, ${P^{\max }}$, ${\boldsymbol{Z}}$、信道参数、信道不确定度和位置，设 　置最大迭代次数和收敛精度；
1: for iter=1, 2,···, iter(max)：
2: 求解问题式(18)得到Charnes-Cooper转化后的半正定矩阵${\boldsymbol{U}}$和 　　　辅助变量$\eta$；
3: 根据特征值分解以及高斯随机化得到${\boldsymbol{\varphi }}$和$\overline {\boldsymbol{U}}$；
4: 根据公式$\overline {\boldsymbol{V}} = \overline {\boldsymbol{U}} /\varsigma$得到RIS的相移矩阵${\boldsymbol{\psi }}$；
5: 求解问题式(26)得到Charnes-Cooper转化后的半正定矩阵${\boldsymbol{Z}}$和 　　　辅助变量$\varepsilon$；
6: 依据公式${\boldsymbol{W}} = {\boldsymbol{Z}}/\vartheta$得到基站的波束矩阵${\boldsymbol{W}}$;
7: 根据式(28)计算用户保密率；
8: if $\left| { {R^{({\rm{iter}} + 1)} } - {R^{({\rm{iter}})} } } \right| \le { { {\varepsilon } }_{\text{p} } }$
break
else
iter=iter+1；
end
9: end

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5.   仿真分析

考虑到RIS通常在已知BS位置的情况下进行部署，所以直射链路是已知的，因此BS-RIS信道主要由直接链路传输信息。假设BS与RIS的信道为莱斯信道，其他信道为瑞利信道，其中莱斯信道^[22]的模型为

系统模型如图3所示。

图 3  系统模型

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窃听用户非完美CSI信道不确定性比率模型为：$k{\text{ = }}{{{\varepsilon }}_{{\text{ie}}}}/{\left\| {\overline {{{\boldsymbol{h}}_{\text{e}}}} } \right\|_{\text{F}}}{\text{ = }}{{{\varepsilon }}_{{\text{be}}}}/{\left\| {\overline {{{\boldsymbol{h}}_{{\text{de}}}}} } \right\|_{\text{F}}}$。其中信道估计方式和具体算法可以分别采用文献[9]和文献[23]的方案。为便于仿真分析，令${\sigma _l}^2 = \sigma _{\text{e}}^{\text{2}} = {\sigma ^2}$。基站、RIS、窃听者和用户的位置坐标分别为(0,5,0), (50,5,0), (60,0,0)和(45,0,0)，单位为米(m)。其他仿真参数如表1所示。

表 1  仿真参数

参数	值		参数	值
1m内的信号衰减[8]	30 dB		非完美CSI的信道不确定性比率$k$	0.01
噪声功率	–110 dBm		路径损耗[24]	RIS到合法用户：2.8
基站发射天线数目$N$	4			RIS到窃听用户：2.8
莱斯因子β	1			BS到合法用户：3.8
收敛精度εp	0.0001			BS到窃听用户：3.8
仿真的最大迭代次数iter(max)	600			BS到RIS：2.2

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图4是用户保密率与RIS单元数目的关系，其中${{P = 10\;{\rm{dBm}}}}$。随着RIS单元数目的增加，用户保密率逐渐增加，说明增加RIS的单元数目可以提高用户保密率。此外，随机相位也能使得用户保密率增长，但幅度不稳定；无RIS的情况效果较差且不变，表明本文算法在RIS单元数目增大时能够提高合法用户保密率。

图 4  用户保密率与RIS反射单元数目的关系

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图5给出基站发射功率与用户保密率的变化关系，其中$M{\text{ = 20}}$。可以看出，在不改变其他因素的情况下，随着基站发射功率的增加，本文算法中用户保密率逐渐变大。随机相位和无RIS的方案随着发射功率的增大反而保持不变，且用户保密率较低，说明在传统算法中增大基站发射功率时，窃听用户会窃听到更多的信息，导致用户保密率基本保持不变。结果显示本文算法在有窃听用户的系统中能提高合法用户的保密率。

图 5  基站发射功率与用户保密率的关系

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图6给出用户保密率与RIS所处位置的关系，其中$M{\text{ = 20}}$, $P{\text{ = 10 dBm}}$。可看出无RIS系统用户保密率较小且固定不变，表明RIS位置对用户保密率没有影响。随机相位虽然随着RIS所处位置不断变化，但是无法稳定提高用户保密率，且距离窃听用户越近，保密率越小，最后保密率与无RIS方案的值相同，表明RIS已无法提高用户保密率。相比前两种方案，本文算法中随着RIS在水平方向远离基站，用户保密率逐渐变大；当RIS与合法用户处于同一垂直线上时保密率最大，远离合法用户时保密率变小，当距离窃听用户最近，即(60,5,0)位置时，20个反射单元尽可能多地将反射波束的方向指向合法用户，通过RIS调整反射信号，可抵消来自基站的非反射信号，实现在窃听用户处破坏性相加，从而有效抑制窃听用户接收到的信息^[25]，使得保密率有所增大，表明本文算法在RIS距离窃听者较近时，能够提高合法用户的保密率；当RIS越往右移动，保密率逐渐变小，但总体存在优势，说明选择合理的RIS位置对增强用户保密率有较大影响。

图 6  用户保密率与RIS位置的关系

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图7是窃听用户信道归一化估计误差$k$${\text{(}}k{\text{ = }}{{{\varepsilon }}_{{\text{ie}}}}/ {\left\| {\overline {{{\boldsymbol{h}}_e}} } \right\|_{\text{F}}}{\text{ = }}{{{\varepsilon }}_{{\text{be}}}}/{\left\| {\overline {{{\boldsymbol{h}}_{de}}} } \right\|_{\text{F}}})$与用户保密率的关系，其中${{M = 20}}$，随着信道不确定性的增大，整个系统的用户保密率逐渐变小，并且基站发射功率越大，用户保密率也变大，从而可以验证图5发射功率与用户保密率的关系。说明非完美信道状态信息对用户保密率的影响程度较大。

图 7  信道不确定性与用户保密率的关系

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图8给出本文算法中基站发射功率、RIS单元数目与不同对象速率的关系曲线。可看出，合法用户的可达速率随着基站发射功率的增加而增加。当功率大于${\text{2 dBm}}$时，用户的保密率小于用户的可达速率，窃听用户将会窃听到数据。RIS单元数目越少，提升用户的保密率越有限，从而窃听用户的窃听信息越多，但用户保密率总大于$0(\text{bit/(s}\cdot \text{Hz)})$；RIS单元数目越多，保密率越大，相反窃听用户的可达速率越稳定在较小的值附近。因此本文算法能够有效减小窃听用户的可达速率，较好地提高MISO系统的安全性。

图 8  基站发射功率、RIS单元数目与不同对象速率的关系

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图9给出窃听用户信道不确定性的比率$k$与窃听用户的占比(定义为窃听用户可达速率与合法用户可达速率的比值)的关系曲线，其中${{M = 20}}$、$P = 10 \;{\rm{dBm}}$。可以看出，随着窃听用户信道不确定性的增大，本文算法的窃听用户的占比与随机相位的窃听用户的占比均增加，但前者明显低于后者。当信道不确定性增加时，信道估计误差越大导致对系统的影响增大。因此本文算法对系统鲁棒性的考量，能够抑制信道不确定性引起的中断问题。

图 9  窃听用户信道不确定性与窃听用户的占比的关系

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6.   总结

为解决面向用户窃听的RIS-MISO系统中信道不确定性的问题，本文提出一种有界信道不确定性模型下的鲁棒波束赋形算法，考虑最大发射功率以及RIS相移约束，构建了一个多变量耦合的保密速率优化问题。通过变量替换、Charnes-Cooper方法和S-procedure方法将其转换为凸优化问题，同时采用间接交替优化方法优化耦合变量并求解波束赋形矩阵和RIS相移矩阵。仿真结果表明本文算法在RIS辅助用户窃听的MISO系统中，能够提高用户的保密率，同时验证了本文算法的优越性。