基于迭代最小二乘的水下三维高鲁棒性定位算法

李风从; 仝方遒; 孙思博; 冯翔; 赵宜楠

doi:10.11999/JEIT220792

基于迭代最小二乘的水下三维高鲁棒性定位算法

doi: 10.11999/JEIT220792

1.
哈尔滨工业大学(威海)信息科学与工程学院威海 264209
2.
哈尔滨工程大学水声工程学院哈尔滨 150001

详细信息

作者简介:
李风从：男，助理研究员，博士，研究方向为自适应雷达信号处理

仝方遒：男，硕士生，研究方向为雷达通信一体化波形设计、水声定位

孙思博：男，副教授，研究方向为水下定位与导航

冯翔：男，助理研究员，博士，研究方向为认知雷达信号处理

赵宜楠：男，教授，博士，研究方向为无线定位与感知、智能感知技术

通讯作者:
仝方遒　tongfangqiu2021@163.com

中图分类号: TN929.3
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出版历程
- 收稿日期: 2022-06-15
- 修回日期: 2022-09-05
- 网络出版日期: 2022-09-07
- 刊出日期: 2023-07-10

A Highly Robust Underwater 3D Localization Algorithm Based on Iterative Least Square

1.
School of Information Science and Engineering, Harbin Institute of Technology (Weihai), Weihai 264209, China
2.
School of Underwater Acoustic Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China

摘要

摘要: 为解决基于空间角信息水下3维定位中，闭式解算法中定位性能无法达到克拉默-拉奥界(CRLB)和牛顿迭代算法初始值选取问题，该文利用一种基于迭代最小二乘的高鲁棒性算法修正闭式解的残差项与选取迭代算法的初始值。利用伪线性加权最小二乘算法得到闭式解作为正则化修正迭代法的初始值，将迭代结果修正闭式解算法的残差项，通过迭代最小二乘法的交替运算，得到稳定精确的解。通过仿真验证了基于迭代最小二乘算法的高鲁棒性，消除伪线性加权最小二乘算法中残差项选取的不利影响，解决了迭代法初始值选取问题，得到与收敛情况下迭代法相近的定位性能。
- 水声定位 /
- 几何精度因子 /
- 加权最小二乘 /
- 牛顿迭代
Abstract: In order to solve the problem that the positioning performance of the closed solution algorithm can not reach the Cramer Rao Lower Bound (CRLB) and the initial value selection of Newton iterative algorithm in the underwater three-dimensional positioning based on spatial angle information, a highly robust algorithm based on iterative least squares is used to correct the residual term of the closed form solution and select the initial value of the iterative algorithm. The pseudo linear Weighted Least Squares (WLS) algorithm is used to obtain the closed form solution as the initial value of the regularization modified iterative method. The iterative result is used to modify the residual term of the closed form solution algorithm. Through the alternating operation of the iterative least squares method, a stable and accurate solution is obtained. Through simulation, the high robustness of the iterative least squares algorithm is verified, the adverse effect of the selection of the residual term in the pseudo linear weighted least squares algorithm is eliminated, the problem of selecting the initial value of the iterative method is solved, and the positioning performance similar to that of the iterative method in the case of convergence is obtained.
- Underwater acoustic positioning /
- Geometric Dilution Of Precision (GDOP) /
- Weighted Least Squares (WLS) /
- Newton iteration

HTML全文

1. 引言

随着水下资源勘探和科学研究等领域的需求不断增加，高效的水下信息获取与传输技术已成为热点的研究方向。然而，水声信道的时变空变特性、大多普勒频移和多径效应等因素会导致水声通信接收端存在严重的码间干扰(Inter-Symbols Interference, ISI)，通常需要信道均衡来提高通信系统的可靠性^[1]。

信道均衡主要可以分为自适应均衡器(Direct Adaptive Equalizer, DAE)和基于信道估计的信道均衡器(Channel Estimation based Equalizer, CEE)两大类。文献[2]首次将递归最小二乘(Recursive Least Squares, RLS)自适应算法用于水声信道均衡，且得益于自适应算法较低的计算复杂度和较强的均衡性能，使得自适应算法和判决反馈均衡(Decision Feedback Equalization, DFE)在水声信道均衡中得到了广泛的应用，但自适应算法过度依赖训练数据，降低了系统的传输效率，且当信道参数变化较快时，自适应算法可能无法准确跟踪信道变化，均衡性能急剧下降。相关研究表明，水声信道大多具有明显的稀疏特性，因此合理利用这一特性能够提高算法实时性和抗噪声性能^[3]。近些年来，以成比例算法和零吸类算法为主的改进稀疏类自适应均衡得到了广泛的研究，进一步提高了水声信道均衡的性能。由于提前获知了信道的先验信息，基于信道估计的信道均衡器理论上具有更优的均衡性能。文献[4,5]将信道估计用于预处理初步消除信道影响，之后利用自适应均衡器完成接收处理。文献[6,7]利用估计出的信道计算均衡滤波器系数实现均衡。以上的信道估计没有充分考虑水声信道的稀疏特性，因此系统计算复杂度高，文献[8]利用改进成比例归一化LMS(Improved Proportionate Normalized LMS, IPNLMS)实现了稀疏化信道估计和均衡，但性能依旧受限于自适应算法的收敛速度，且系统传输效率降低。

针对这一问题，在不牺牲系统传输效率的条件下，能够联合信道估计与信道均衡过程的Kalman均衡器得到了学者的关注。文献[9]将Kalman滤波成功用于信道均衡，构建了Kalman均衡器；文献[10-12]将Kalman均衡器用于多输入多输出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)系统；为了合理利用水声信道的稀疏性，文献[12]利用IPNLMS算法估计信道，实现了低复杂度的Kalman均衡，且均衡性能优于传统自适应均衡和MMSE均衡。为了进一步提升均衡器性能，在Turbo码的启发下，文献[13]提出了Turbo均衡，显著提高了信道均衡的性能。因此，文献[14]将Kalman均衡器用于Turbo均衡，达到了更优的均衡性能。单一均衡算法存在一定的性能缺陷，为了更好地集合不同算法的优点，文献[15]将Kalman均衡与IPNLMS自适应均衡相结合，提出了基于Kalman滤波的混合Turbo均衡，改善了自适应算法收敛慢的问题。需要说明的是，以上研究很少利用Turbo均衡器输出的软符号作为先验信息重新进行信道估计和Kalman均衡，且单向Turbo均衡可能存在误差传递现象，因此均衡性能有待进一步提升^[16,17]。

本文针对以上问题，提出了基于Kalman滤波的混合双向Turbo均衡器。首先将Kalman均衡算法引入到Turbo均衡中，设计了基于软信息的迭代Kalman均衡器，并利用Turbo均衡的输出与正则化正交匹配追踪(Regularized Orthogonal Matching Pursuit, ROMP)信道估计算法实现了低复杂度的迭代稀疏信道估计，为Kalman均衡器提供了精确的信道估计结果。此外，将IPNLMS自适应均衡器与Kalman均衡器相结合，实现了混合双向Turbo均衡器，改善了误差传递和自适应算法收敛速度慢的问题，提高了复杂信道环境下的均衡性能。最后通过仿真验证了基于Kalman滤波的混合双向Turbo均衡器的有效性。

2. 系统模型

本文采用单发多收(Single Input Multiple Output, SIMO)单载波调制通信系统。原始比特信息经过编码、交织、符号映射和数字调制后通过水声信道被接收端 $M$ 个阵元接收。定义原始信息序列为 ${\boldsymbol{b}}(t)$ ，交织后为 ${\boldsymbol{c}}(k)$ 。将 ${\boldsymbol{c}}(k)$ 中的比特信息经过符号映射为 $q$ 阶的信号 $x(k)$ ， $x(k)$ 取值于星座图集合 $S = \{ {\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots ,{\alpha _{{2^q}}}\}$ ，其中 ${\alpha _i}$ 对应一段比特序列 ${{\boldsymbol{c}}_i} = \{ {c_{i,1}},{c_{i,2}}, \cdots ,{c_{i,q}}\}$ ， ${c_{i,j}} \in \left\{ {0,1} \right\}$ 。基带发射信号经过通带调制后通过水声信道，研究表明水声信道具有明显的稀疏特性，一般可以将其建模为时延-多普勒双扩展信道

$h(t,\tau ) = \sum\limits_{l = 0}^{L - 1} {{A_l}\delta (\tau - ({\tau _l} - {a_l}t))}$

(1)

其中， $L$ 是多径数目， ${A_l}$ 是第 $l$ 条路径的幅度， ${\tau _l}$ 是第 $l$ 条路径的时延， ${a_l}$ 是第 $l$ 条路径上的多普勒因子。此时，第 $m$ 个接收阵元上第 $k$ 时刻的接收信号可以表示为

${y_m}(k) = {{\text{e}}^{{\text{j}}{\theta _{m,k}}}}\sum\limits_{l = 0}^{L - 1} {x(k - l)} {A_m}(k;l) + {v_m}(k)$

(2)

其中， ${\theta_{m,k}}$ 是信道多普勒频移效应产生的相位旋转， ${v_{m}(k)}$ 是接收阵元上的加性高斯白噪声。

在完成信号同步、多普勒估计与补偿后，残余的相位偏差通过内嵌2阶数字锁相环进一步消除。此时，接收端信号可表示为

${\boldsymbol{y}}(k) = {\boldsymbol{H}}(k){\boldsymbol{x}}(k) + {\boldsymbol{v}}(k)$

(3)

其中， ${\boldsymbol{y}}(k) = {[{y_1}(k),{y_2}(k), \cdots ,{y_M}(k)]^{\text{T}}}$ ， ${\boldsymbol{H}}(k) = [{{\boldsymbol{h}}_1}(k), {{\boldsymbol{h}}_2}(k), \cdots ,{{\boldsymbol{h}}_M}(k)]$ ， ${{\boldsymbol{h}}_m}(k) = [{A_m}(k;0),{A_m}(k;1), \cdots , {A_m}(k;L - 1),0,0, \cdots ,0]$ ， ${\boldsymbol{x}}(k) =[x(k),x(k{{ - }}1), \cdots , x(k - N + 1)]^{\text{T}}$ ，其中 ${(\cdot)}^{\text{T}}$ 表示转置。为了充分考虑水声信道的作用，这里假设后Kalman均衡器的长度 $N \ge L$ 。

3. Kalman双向混合迭代均衡接收机

3.1 迭代Kalman均衡器

一般水声通信接收机可以看成非平稳环境下发射符号的估计过程。此时，借鉴Kalman滤波过程，结合式(3)可以构建Kalman均衡器。在该均衡器中，以待估计的符号向量为状态变量，以接收信号 ${\boldsymbol{y}}(k)$ 为观测变量，以估计出的信道冲激响应矩阵 ${\boldsymbol{\hat h}}(k)$ 为观测矩阵，此时Kalman均衡模型为

${\boldsymbol{x}}(k) = {\boldsymbol{Ax}}(k - 1) + {\boldsymbol{n}}(k)$

(4)

$y(k) = {\boldsymbol{\hat h}}(k){\boldsymbol{x}}(k) + v(k)\quad$

(5)

其中， ${\boldsymbol{n}}(k) = {[x(k),0, \cdots ,0]^{\text{T}}}$ ，并假设观测噪声 $v(k)$ 服从 $\mathcal{N}(0,\sigma _v^2)$ 的高斯分布。状态转移矩阵为 ${\boldsymbol{A}}$

${\boldsymbol{A}}{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{ {\textit{0}}}} \\ {{I_{(N - 1) \times (N - 1)}}}&{\text{0}} \end{array}} \right]$

(6)

由于信息比特被交织器随机打乱，交织后符号间相关性极低，因此可将 $x(k)$ 看作服从 $\mathcal{N}(0,\sigma _x^2)$ 分布的高斯信号，且 ${\text{E}}[v(k){{\boldsymbol{n}}^{\text{H}}}(k)] = { {\textit{0}}}$ 。假设 ${{\stackrel \frown{{\boldsymbol{x}}} }}(k - 1| k - 1)$ 为第 $k - 1$ 时刻对 $k - 1$ 时刻发射信号的估计，在没有先验信息 $x(k)$ 的条件下，根据式(4)，第 $k$ 时刻发射信号的估计值 ${{\stackrel \frown{{\boldsymbol{x}}} }}(k|k - 1)$ 为

${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}(k|k - 1) = {{A\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}(k - 1|k - 1)$

(7)

参考Kalman滤波过程，此时接收符号估计误差协方差矩阵 ${\boldsymbol{P}}(k|k - 1)$ 为

${\boldsymbol{P}}(k|k - 1) = {\boldsymbol{AP}}(k - 1|k - 1){{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}}{\text{ + }}{\boldsymbol{Q}}(k)$

(8)

其中

$\begin{split} {\boldsymbol{Q}}(k) =& {\text{E}}[{\boldsymbol{n}}(k){{\boldsymbol{n}}^{\text{H}}}(k)] \hfill \\ = &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sigma _x^2}&{{{ {\textit{0}}}_{1 \times (N - 1)}}} \\ {{{ {\textit{0}}}_{(N - 1) \times 1}}}&{{{ {\textit{0}}}_{(N - 1) \times (N - 1)}}} \end{array}} \right] \end{split}$

(9)

此时，将接收信号 $y(k)$ 与 ${{\stackrel \frown{{\boldsymbol{x}}} }}(k|k - 1)$ 代入式(5)，最终得到第 $k$ 时刻发射信号 ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}(k|k)$ 的值

${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}(k|k) = [{\boldsymbol{I}} - {\boldsymbol{K}}(k){{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{h}}} }}(k)]{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}(k|k - 1) + {\boldsymbol{K}}(k)y(k)$

(10)

其中， ${\boldsymbol{K}}(k)$ 为Kalman均衡增益

${\boldsymbol{K}}(k) = {\boldsymbol{P}}(k|k - 1){{{\stackrel \frown{{\boldsymbol{h}}} }}^{\text{H}}}(k){[{{\stackrel \frown{{\boldsymbol{h}}} }}(k){\boldsymbol{P}}(k|k - 1){{{\stackrel \frown{{\boldsymbol{h}}} }}^{\text{H}}}(k) + \sigma _v^2]^{ - 1}}$

(11)

至此，Kalman均衡器的基本过程都已给出。观察式(4)可知，在完成初次Kalman均衡后，便可获得先验信息的估计值 $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{x} (k)$ 。为了获得更为准确的发射符号估计值，在文献[12,13]的基础上，本文将Kalman均衡器引入到Turbo均衡中，并利用Turbo均衡器输出软符号设计了迭代Kalman均衡器。此时Kalman均衡结果通过软信息映射为 ${L_{\text{e}}}(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{x} (k))$ 。为了保证Turbo均衡的迭代增益，需要从后验似然比中消除先验似然比的影响

$L_{\text{e}}^{\text{E}}({b_{i,j}}){\text{ = }}\ln \frac{{P({b_{i,j}} = 0|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{x} (k))}}{{P({b_{i,j}} = 1|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{x} (k))}} - \ln \frac{{P({b_{i,j}} = 0)}}{{P({b_{i,j}} = 1)}}$

(12)

式(12)的计算依于对应的概率密度函数 $P({b_{i,j}} = {c_{i,j}})$ 和 $P({\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{x} _k}{\text{|}}{x_k} = {\alpha _i})$ 。其中 $P({b_{i,j}} = {c_{i,j}})$ 可由先验似然比求出

$P({b_{i,j}} = {c_{i,j}}) = \frac{1}{2}\left[1 + (1 - 2{c_{i,j}})\tanh \left[\frac{1}{2}\ln \frac{{P({b_{i,j}} = 0)}}{{P({b_{i,j}} = 1)}}\right]\right]$

(13)

其中， ${c_{i,j}} \in \left\{ {0,1} \right\}$ 。 $P({\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{x} _k}{\text{|}}{x_k} = {\alpha _i})$ 的求解通常假设待估计符号为高斯分布，并通过接收符号的统计平均求解。同时，在已知 $P({b_{i,j}} = {c_{i,j}})$ 的条件下获得译码器软信息映射的先验符号

$\left.\begin{split} & \bar x(k){\text{ = E[}}x(k)|y{\text{] = }}\sum\limits_{{\alpha _i} \in S} {{\alpha _i}} \prod\limits_{j = 1}^q {P({b_{i,j}} = {c_{i,j}})} \hfill \\ &{v_x}(k) = 1 - |\bar x(k){|^2} \end{split} \right\}$

(14)

在获得译码器输出软符号估计值和方差后，便可建立基于软信息迭代的Kalman均衡器，系统框图如图1所示。

图 1 基于软信息迭代的Kalman-Turbo均衡系统

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在进行迭代均衡时，上次均衡的结果 ${\boldsymbol{\bar x}}(k)$ 与 ${{\boldsymbol{v}}_x}(k)$ 便可作为Kalman均衡器的先验信息，此时式(7)与式(8)可修改为

${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}(k|k - 1) = {{A\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}(k - 1|k - 1) + {\boldsymbol{\bar x}}(k)$

(15)

${\boldsymbol{P}}(k|k - 1) = {\boldsymbol{AP}}(k - 1|k - 1){{\boldsymbol{A}}^{\text{H}}}{\text{ + }}{{\boldsymbol{v}}_x}(k)$

(16)

其中， ${\boldsymbol{\bar x}}(k){\text{ = }}{[\bar x(k),0, \cdots ,0]^{\text{T}}}$ ， ${{\boldsymbol{v}}_x}(k){\text{ = diag }} [1{\text{,}} {v_x}(k - 1), \cdots ,{v_x}(k - N)]$ ，其他更新过程不变。译码器输出的软符号同时再次用于信道估计过程，以此实现精确的迭代信道均衡。

以上就是基于软信息迭代Kalman均衡器的全过程。可以看出，基于信道估计的信道均衡器不同于自适应均衡器，无需计算均衡器系数，能够在较低的阶数下准确估计出发射符号。且估计信道 ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{h}}} }}(k)$ 为一行向量，因此该Kalman均衡器参数更新过程不涉及大规模矩阵求逆，整体计算复杂度仅为 $\mathcal{O}({n^2})$ ，较传统方法降低了约1个数量级。

3.2 ROMP稀疏信道估计算法

水声信道一般表现出明显的稀疏特性，现有正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)稀疏信道估计算法复杂度较高^[18]，因此不适合本文所提出的迭代信道均衡结构。为了降低迭代过程的计算复杂度，本文将复杂度较低的正则化正交匹配追踪(Regularized Orthogonal Matching Pursuit, ROMP)算法用于稀疏化信道估计^[19]。与OMP算法相比，ROMP算法中字典矩阵向量选择的标准有所不同，它是首先选出字典矩阵与残差内积绝对值最大的 $K$ 列，并按照正则化标准重新选择。ROMP正则化标准是仅选择绝对值最为接近的一组，以保证大部分能量均匀分布在集合内每个向量上。因此，在实际应用中，ROMP算法所需的迭代次数远小于OMP算法，能够在不损失精度条件下降低估计过程的复杂度^[20]，所以本文选择ROMP算法进行稀疏信道估计。

3.3 双向混合迭代Turbo均衡器

虽然前文提出的基于软信息迭代的Kalman均衡器能够有效地对抗水声多信道产生的码间干扰，但当信道估计精度达到极限时，Kalman均衡器中的参数将不会随着迭代次数的增加而改变，均衡性能也将逐渐收敛。文献[15]将IPNLMS自适应均衡算法与非迭代Kalman均衡算法相结合，以此改善系统整体均衡性能，并利用Kalman均衡器的输出提高自适应均衡器收敛速度。然而，在实际系统中，接收数据也可能存在非因果干扰，因此单一方向信道均衡不能完全消除符号判决错误所导致的误差传递现象。

为了进一步降低误差传递带来的码间干扰，在文献[21]的启发下，本文将提出的基于软信息迭代Kalman均衡器与IPNLMS自适应均衡器相结合，并将其引入到双向Turbo均衡，进一步提出了基于Kalman滤波的水声混合双向迭代信道均衡算法(HBi-KEQ)，其结构如图2所示。HBi-KEQ由前向迭代Kalman均衡器和后向IPNLMS自适应均衡器两个部分组成，其中前向Kalman均衡器模块结构与图1相同。由于水声信道大多是一种非对称信道，在反向均衡器输入与输出端增加时间反转过程，可以等效地实现信道反转，此时前向均衡器与后向均衡器符号误差传播方向相反，因此两者输出误差相关性较低。最后将两者均衡结果加权输出。

图 2 基于Kalman滤波的水声混合双向迭代信道均衡算法

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${{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}_i}(k) = {\delta _i}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}_{f,i}}(k) + (1 - {\delta _i}){{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}_{b,i}}(k)$

(17)

其中， ${{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}_i}(k)$ 为每次迭代均衡待估计符合的加权合并结果； ${{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}_{f,i}}(k)$ 与 ${{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}_{b,i}}(k)$ 分别为前向和后向估计结果； ${\delta _i}$ 为采用最小均方误差准则求解的加权因子

$\left. \begin{split} \frac{{\partial {\text{E}}\{ |{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{x}}} }}}_i}(k) - {\boldsymbol{x}}(k){|^2}\} }}{{\partial {\delta _i}}} = 0 \hfill \\ {\delta _i} = \frac{{\sigma _{b,i}^2 - {\sigma _{f,i}}{\sigma _{b,i}}{\rho _k}}}{{\sigma _{f,i}^2 + \sigma _{b,i}^2 - 2{\sigma _{f,i}}{\sigma _{b,i}}{\rho _k}}} \end{split} \right\}$

(18)

其中， $\sigma _{f,i}^2$ 为前向均衡符号估计方差， $\sigma _{b,i}^2$ 为后向均衡符号估计方差， ${\rho _k}$ 为前向均衡符号的互相关系数。结合式(17)，此时混合双向均衡器的估计均方误差 ${{\rm{SE}}_i}$ 为^[17]

${{\rm{SE}}_i} = \frac{{\sigma _{f,i}^2\sigma _{b,i}^2(1 - \rho _k^2)}}{{\sigma _{f,i}^2 + \sigma _{b,i}^2 - 2{\sigma _{f,i}}{\sigma _{b,i}}{\rho _k}}}$

(19)

易知，混合双向均衡器符号估计的均方误差都小于前向或后向均衡器单独估计的误差，这理论上证明了该结构的有效性。

最后，本文提出的HBi-KEQ均衡器首先选取基于信道估计的Kalman均衡器完成第1次迭代，并将均衡的结果分别用于前向均衡中的基于软信息迭代Kalman均衡器和反向的自适应均衡器，然后将前后向输出结果加权合并进行下一次Turbo均衡。在混合了不同均衡算法和双向均衡后，均衡器不仅能集合不同类型算法的优势，同时能够抑制因果与非因果干扰，降低误差传播过程，从而进一步提高系统的均衡性能。

3.4 复杂度分析

本文提出的HBi-KEQ均衡器复杂度由迭代Kalman均衡器和IPNLMS自适应均衡器复杂度共同组成，由于IPNLMS的计算复杂度 $\mathcal{O}(5N + 3)$ 与滤波器长度呈线性关系，因此HBi-KEQ均衡器复杂度主要由Kalman均衡器决定。在Kalman均衡过程中，由于状态矩阵 ${\boldsymbol{A}}$ 的特殊性，计算预测变量和协方差矩阵时只需进行截取和补零操作，不涉及矩阵与向量相乘。而且，信道估计结果 ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{h}}} }}(k)$ 为一个行向量，因此计算Kalman增益时的矩阵求逆操作也可以被避免。Kalman均衡器的总复杂度为 $\mathcal{O}(4{N^2} + 9N + 3)$ ，相比于传统基于MMSE信道估计的时域均衡 $\mathcal{O}({N^3})$ 的复杂度降低了约1个数量级。

4. 仿真结果

为了验证HBi-KEQ均衡器的性能，本文以1发4收的单载波水声通信系统展开仿真实验，实验参数如表1所示。实验所使用的信号源为一黑白图片，将数据分为32帧数据，每帧数据包含同步双曲调频HFM信号、保护间隔、前后训练序列和信息序列，其中前后训练序列位于信息序列左右用于前向和反向均衡。

表 1 仿真系统实验参数设置

参数	参数值
采样频率	96 kHz
中心频率	12 kHz
信号带宽	6 kHz
符号速率	6×10³ symbols/s
调制方式	QPSK
编码方式	CONV
编码码率	0.5
训练数据长度	200 symbols

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仿真中所使用的信道由水声信道仿真软件Bellhop生成，水平通信距离1 km，发射换能器位于水下35 m，4个接收环能器分别为位于水下5, 6, 7, 8 m，仿真信道的时域冲激响应如图3所示。可以看出，各子信道具有明显的稀疏特性，稀疏度约为10。为了提高信道估计结果的稳定性，ROMP信道估计稀疏度设定为15，前向均衡器中信道长度设为120个符号，反向自适应均衡器长度设为100。

图 3 仿真信道时域冲激响应

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图3的信道具有明显的稀疏特性，利用稀疏信道估计方法可以显著降低系统整体复杂度。常用的稀疏估计算法包括匹配追踪MP算法及其改进版本OMP算法，本文采用复杂度更低的ROMP算法估计信道，并与频域MMSE, MP和OMP算法进行复杂度对比，结果如图4所示。从图中可以看出ROMP算法能够显著降低信道估计带来的计算复杂度。

图 4 信道估计算法复杂度对比

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下面为了验证基于信道估计的均衡器在低信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)环境下的均衡性能，选取混合软干扰消除HSIC均衡^[22]和其双向混合IPNLMS自适应Bi-HSIC均衡器，与本文提出的HBi-KEQ均衡器对比。Bi-HSIC均衡器与HBi-KEQ类似，都具备时域信道估计、软干扰消除和反向IPNLMS自适应均衡环节，因此具有一定的对比性。这里仿真SNR ${\text{ = }}$ 3 dB时各算法的均衡性能，第2次迭代解码结果如图5所示。

图 5 第2次迭代解调结果

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图5(a)—图5(d)仿真误码率结果分别为0.1967, 0.1712, 0.1101, 0.0213。可见，在低信噪比环境下，得益于信道估计带来的先验知识，基于信道估计的均衡方法HBi-KEQ与Kalman均衡器解调结果更为理想，图片传输误码率(Bit Error Rate, BER)显著低于基于自适应算法的Bi-HSIC和HSIC均衡器。对比图5(c)与图5(d)可知，HBi-KEQ均衡器较单向迭代Kalman均衡器降低了1个数量级，相比于单一算法的Turbo均衡器，HBi-KEQ混合了不同均衡算法，具有更优的解码性能。在第2次迭代时，由于输入的待估计符号包括第1次Kalman均衡输出的软符号，对于自适应均衡器来说，这等效于消除了多径信道的干扰，能够显著降低滤波器阶数的要求并提高均衡器的收敛速度，达到更佳的均衡性能。

为了直观地对比各算法及其双向均衡性能的差异，接下来仿真不同SNR条件下Turbo迭代均衡的均衡误码率和译码误码率曲线。选取时域自适应IPNLMS软消除SIC均衡、混合软干扰消除HSIC均衡和迭代Kalman均衡算法作为对比，并将以上算法引入到双向Turbo均衡中，与本文提出的HBi-KEQ均衡器对比。Bi-HSIC与HBi-KEQ均衡器相比于Bi-SIC均衡器混合了信道估计过程，理论上集合了两种均衡算法的优点，具有更强的均衡性能，但计算复杂度也有所增加。如表2为各均衡器单次Turbo过程中复数乘法的次数。时域自适应IPNLMS软消除SIC均衡器具有最低的计算复杂度，但在信噪比较低的恶劣环境下均衡性能较差。本文提出的HBi-KEQ均衡器结合了迭代Kalman均衡器和反向自适应IPNLMS均衡器，相比于迭代Kalman均衡器复杂度略微增加，但仍然低于传统MMSE, HSIC和Bi-HSIC均衡器，且在低信噪比条件下具有更强的均衡性能。

表 2 均衡器算法复杂度比较

均衡器	计算复杂度
SIC	$\mathcal{O}(5N{\text{ + 3}})$
Bi-SIC	$\mathcal{O}(10N{\text{ + 6}})$
HSIC	$\mathcal{O}({N^3})$
Bi-HSIC	$\mathcal{O}({N^3} + 5N + 3)$
迭代Kalman	$\mathcal{O}(4{N^2} + 4N + 1)$
HBi-KEQ	$\mathcal{O}(4{N^2} + 9N + 4)$

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为了进一步比较不同Turbo均衡算法在不同信噪比环境下的均衡性能，这里选取第2次迭代均衡误码率和译码误码率作为对比，结果分别为图6与图7所示。

图 6 各算法均衡误码率与信噪比关系

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图 7 各算法译码误码率与信噪比关系

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观察图6可知，本文提出的HBi-KEQ均衡误码率整体较时域自适应均衡算法降低约1个数量级。这主要因为HBi-KEQ均衡器在第1次迭代时就已通过ROMP稀疏信道估计算法精确地估计了信道，且单一Kalman均衡器消除了大部分多径信道带来的干扰，加快了HBi-KEQ迭代过程中自适应均衡算法的收敛速度。同时，对比HSIC, Bi-HSIC与本文算法的误码率曲线可知，单一Kalman迭代均衡器在信噪比低于5 dB时就已经优于Bi-HSIC均衡器，这表明基于信道估计的Kalman均衡具有很强的均衡性能。而且，本文提出的HBi-KEQ较单一迭代Kalman和Bi-HSIC均衡器提升了1～2 dB的性能。最后，图7为图6中算法译码误码率曲线，可以进一步发现本文提出的HBi-KEQ均衡器和迭代Kalman均衡器在低信噪比条件下具有明显的性能提升，显著提高了通信系统的可靠性。

5. 结束语

为了提高基于信道估计的均衡算法在实际水声通信系统中的应用，本文提出了一种基于Kalman滤波的水声混合双向迭代信道均衡算法HBi-KEQ。算法首先利用Turbo均衡器的软输出，借鉴Kalman滤波算法提出了迭代Kalman均衡器。并在充分考虑水声信道稀疏性的背景下，利用ROMP算法实现了稀疏迭代信道估计，提高了观测信道的估计精度。其次，针对单一均衡算法和单一方向Turbo均衡可能存在的误差传递与均衡性能有限的问题，将迭代Kalman均衡与IPNLMS自适应均衡用于双向Turbo均衡器，集合了不同均衡算法的性能优点且改善了误差传递的现象。

图 1 基于空间角信息的水下3维定位模型

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图 2 6浮标下GDOP等高线图

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图 3 残差项与初值偏差鲁棒性分析

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图 4 不同算法随角度噪声变化关系曲线

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图 5 不同算法下站址误差鲁棒性分析

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图 6 不同算法随距离变化性能曲线

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表 1 仿真布阵

浮标序号	1	2	3	4	5	6
X (m)	0	–200	200	–200	0	200
Y (m)	400	200	200	–200	–400	–200
线阵角度( rad)	${{\pi} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi} 3}} \right. } 3}$	${{\pi} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi} {\text{3}}}} \right. } {\text{3}}}$	${{\pi} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi} {\text{3}}}} \right. } {\text{3}}}$	${{\pi} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi} {\text{3}}}} \right. } {\text{3}}}$	${{\pi} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi} {\text{3}}}} \right. } {\text{3}}}$	${{\pi} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi} {\text{3}}}} \right. } {\text{3}}}$

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参考文献(17)

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施引文献

期刊类型引用(1)
1. 郑明辉，乔译萱，朱小强，陈珩. 基于纠错码的SM3改进算法. 工程科学与技术. 2023(03): 235-242 . 百度学术
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1. 引言
2. 系统模型
3. Kalman双向混合迭代均衡接收机
3.1 迭代Kalman均衡器
3.2 ROMP稀疏信道估计算法
3.3 双向混合迭代Turbo均衡器
3.4 复杂度分析
4. 仿真结果
5. 结束语

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基于迭代最小二乘的水下三维高鲁棒性定位算法

doi: 10.11999/JEIT220792

通讯作者:
仝方遒　tongfangqiu2021@163.com

计量

A Highly Robust Underwater 3D Localization Algorithm Based on Iterative Least Square

1. 引言

2. 系统模型

3. Kalman双向混合迭代均衡接收机

3.1 迭代Kalman均衡器

3.2 ROMP稀疏信道估计算法

3.3 双向混合迭代Turbo均衡器

3.4 复杂度分析

4. 仿真结果

5. 结束语

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目录

1. 引言

2. 系统模型

3. Kalman双向混合迭代均衡接收机

3.1 迭代Kalman均衡器

3.2 ROMP稀疏信道估计算法

3.3 双向混合迭代Turbo均衡器

3.4 复杂度分析

4. 仿真结果

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基于迭代最小二乘的水下三维高鲁棒性定位算法

doi: 10.11999/JEIT220792

通讯作者: 仝方遒 tongfangqiu2021@163.com

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出版历程

A Highly Robust Underwater 3D Localization Algorithm Based on Iterative Least Square

1. 引言

2. 系统模型

3. Kalman双向混合迭代均衡接收机

3.1 迭代Kalman均衡器

3.2 ROMP稀疏信道估计算法

3.3 双向混合迭代Turbo均衡器

3.4 复杂度分析

4. 仿真结果

5. 结束语

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1. 引言

2. 系统模型

3. Kalman双向混合迭代均衡接收机

3.1 迭代Kalman均衡器

3.2 ROMP稀疏信道估计算法

3.3 双向混合迭代Turbo均衡器

3.4 复杂度分析

4. 仿真结果

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通讯作者:
仝方遒　tongfangqiu2021@163.com