1.   引言

物联网是未来无线通信网络发展的重要驱动力^[1,2]。据预测，2030年全球移动终端接入数量将超过1250亿台^[3]，若要支持如此大规模的设备连接，则急需一种允许物联网节点(即次用户)与环境中大量现存的主用户(如蜂窝用户等)共享频谱与能量资源的无线通信新技术^[4,5]。在此背景下，基于能量收集的共生无线电^[6,7]应运而生。在共生无线电中，次用户通过调节反向散射通信系数将自身信息调制到主用户信号上并将其反射给接收机，与此同时，次用户还可从主用户信号收集能量并用于驱动自身电路，从而实现零功耗通信。

依据主、次用户信号符号周期的关系，文献[8]将SR分为寄生(Parasitic Symbiotic Radio, PSR)和互惠(Commensal Symbiotic Radio, CSR)两种模式。在PSR模式中，主、次用户信号符号周期长度相等且次用户的接入给主系统带来共道干扰。为探讨共道干扰对主、次系统的影响机理，文献[9]考虑了由多个主用户与单个次用户组成的PSR网络，并假设接收机应用完美串行干扰消除(Successive Interference Cancellation, SIC)技术，推导得到了主、次系统的中断概率与分集增益；文献[10]在不完美SIC及能量因果约束下，考虑了由主用户和多个次用户组成的PSR系统，推导了主、次系统的中断概率。文献[9,10]的研究结果表明，PSR中存在的共道干扰会导致主、次系统出现中断概率饱和现象，即分集增益为0。在CSR模式中，由于次用户符号周期远大于主用户符号周期，因此，次用户链路可以看作主用户信号通过快衰落信道的一条多径分量，通过联合检测算法可充分利用这一多径分量从而有望提升主系统性能，与此同时，次用户也获得了频谱接入与能量收集的机会，这种主、次系统均能从中获益的传输称为互惠传输。文献[11]在考虑到主、次系统共用同一接收机的情况下，研究了共生无线电实现互惠传输的条件，揭示了主、次用户发送信号的周期关系是主、次系统实现互惠传输的关键。文献[12]推导了硬件损伤条件下CSR网络中主、次系统的通信容量，并证明了硬件损伤会降低主、次系统的传输性能但不会破坏主、次系统间的互惠传输。文献[13]在联合接收机已知信道状态信息的条件下，研究了CSR的遍历容量。

回顾上述文献可知，在CSR模式中，次用户的接入给主系统带来有益分集增益，从而鼓励更多主用户参与协作，然而现有工作并未从理论上刻画CSR网络中主、次系统的中断性能，因此在CSR中，次用户的接入究竟会增加多少主用户链路分级增益也尚不清楚。其次，已有关于CSR的工作多数未考虑能量收集，其研究成果并不适用于零功耗的物联网场景^[14]。因此，对CSR的研究有必要考虑能量收集。

受此启发，本文考虑了一个基于能量收集的CSR网络，并研究了该网络中主、次系统的中断性能，其主要贡献总结如下：首先，在考虑次用户能量因果约束的基础上，给出了主系统瞬时容量表达式并定义了主、次系统的中断概率；其次，推导得到了瑞利信道衰落模型下主、次系统中断概率的闭合表达式，在此基础上，从理论上分析了主、次系统的分集增益；最后，通过蒙特卡罗仿真证明了理论分析的正确性。

2.   系统模型

考虑了如图1所示的基于射频能量收集的CSR网络。主系统由主系统发射机(Primary Transmitter, PT)和联合接收机(Cooperative Receiver, CR)组成；次系统由次系统发射机(Secondary Transmitter, ST)和CR组成。PT, ST有信息需要传输时，PT通过主动传输的方式将信息$s\left( n \right)$发送给CR。ST则借助主系统的射频信号进行能量收集和被动式的反向散射传输，将信号$c\left( n \right)$发送给CR。该模型中主、次系统不仅共享频谱，而且共用同一个接收机。 此网络可应用于智能家居和智慧医疗等场景中。例如，在智能家居的应用场景中，当WiFi网关与智能手机通信时，家中的物联网传感器可以利用WiFi信号向智能手机传输自己的信号，智能手机可以解码WiFi和传感器信号。

图 1  系统模型

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假设所有信道为准静态瑞利衰落信道，且PT到CR、PT到ST、ST到CR的信道系数分别记为${h_{{\text{TR}}}}$, ${h_{{\text{TS}}}}$, ${h_{{\text{SR}}}}$, ${h_j} \sim \mathcal{C}\mathcal{N}\left( {0,d_j^{ - {v_j}}} \right)$。令${\lambda _j} = d_j^{{v_j}}, j \in \left\{ {{\text{TR,TS,SR}}} \right\}$，其中${v_j}$表示路径损耗因子，${d_j}$表示各节点间距离，则信道增益${\left| {{h_j}} \right|^2}$服从指数分布，即${\left| {{h_j}} \right|^2} \sim \mathcal{E}\left( {{\lambda _j}} \right)$。

图2给出了CSR网络的传输帧结构。与文献[8]类似，次用户传输信号$c\left( n \right)$的一个符号时长是主用户传输信号$s\left( n \right)$的N倍，即${T_{\text{c}}} = N{T_{\text{s}}}$，其中${T_{\text{s}}}$, ${T_{\text{c}}}$分别为主、次用户传输信号符号的周期，$N \gg 1$。$s\left( n \right)$和$c\left( n \right)$均服从均值为0，方差为1的高斯分布。

图 2  块衰落信道下CSR传输帧结构

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主系统传输信息时次用户接收到的信号为${y_{{\text{ST}}}}\left( n \right) = \sqrt {{P_{\text{t}}}} {h_{{\text{TS}}}}s\left( n \right)$。其中${P_{\text{t}}}$为PT的发射功率，由于ST的内部电路仅由无源器件组成，几乎不进行任何信号处理操作，因此次用户接收来自主用户的信号时忽略了热噪声^[15,16]。ST接收到的信号分为两部分，$\sqrt \beta {y_{{\text{ST}}}}\left( n \right)$用作载波调制自身信号$c\left( n \right)$，并将调制后的信号反射给CR；另一部分$\sqrt {1 - \beta } {y_{{\text{ST}}}}\left( n \right)$用于驱动ST的内部电路，其中$\beta \in \left[ {0,1} \right]$为ST的反射系数。

采用文献[10]所提的非线性能量收集模型，则ST收集到的能量${P_l}$可表示为

其中，${P_{\text{r}}} = \left( {1 - \beta } \right){P_{\text{t}}}{\left| {{h_{{\text{TS}}}}} \right|^2}$为能量采集时的输入功率，${P_{\max }}$为能量采集时最大瞬时输入功率，${s_0}$为灵敏度阈值，${s_1}$和${s_2}$为由电阻、电容、二极管导通电压所确定的固定参数。

${P_{\text{c}}}$记为ST进行反向散射通信时的电路消耗功率。由于ST能量受限，仅当${P_l} \ge {P_c}$时，ST被激活。将式(1)代入${P_l} \ge {P_{\text{c}}}$，化简得到能量受限的约束如式(2)所示

其中，$\phi = {{\ln \left( {{{{P_{\max }}{{\text{e}}^{{s_0}{s_1}}} + {P_{\text{c}}}{{\text{e}}^{{s_1}{s_2}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{P_{\max }}{{\text{e}}^{{s_0}{s_1}}} + {P_{\text{c}}}{{\text{e}}^{{s_1}{s_2}}}} {\left( {{P_{\max }} - {P_c}} \right)}}} \right. } {\left( {{P_{\max }} - {P_c}} \right)}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\ln \left( {{{{P_{\max }}{{\text{e}}^{{s_0}{s_1}}} + {P_{\text{c}}}{{\text{e}}^{{s_1}{s_2}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{P_{\max }}{{\text{e}}^{{s_0}{s_1}}} + {P_{\text{c}}}{{\text{e}}^{{s_1}{s_2}}}} {\left( {{P_{\max }} - {P_c}} \right)}}} \right. } {\left( {{P_{\max }} - {P_c}} \right)}}} \right)} {{s_1}}}} \right. } {{s_1}}}$。

讨论1。针对不同的非线性能量收集模型，其能量收集表达式均与能量采集时的输入功率$\left( {1 - \beta } \right) {P_{\text{t}}}{\left| {{h_{{\text{TS}}}}} \right|^2}$有关，考虑能量因果约束条件，得到能量受限的约束为${\left| {{h_{{\text{TS}}}}} \right|^2} \ge {\rm{C}}$，其中C为常数。该约束与公式(2)一致，因此本文的中断性能推导，适用于任意非线性能量收集模型。

ST考虑能量因果约束，CR接收到的信号可分为如下两种情况：

情况1　当${P_l} \ge {P_{\text{c}}}$时，ST激活，反向散射链路为主系统引入多径分量，此时，CR接收到的信号${y_{{\text{c,1}}}}\left( n \right)$可表示为

其中，$z\left( n \right)$为服从均值为0、方差为${\sigma ^2}$的高斯白噪声。由于信号$s\left( n \right)$的符号周期远小于信号$c\left( n \right)$，因此式(3)中第2项可以看作$s\left( n \right)$在相干时间内通过快衰落信道$\sqrt \beta c\left( n \right){h_{{\text{TS}}}}{h_{{\text{SR}}}}$后的信号。

由于反向散射链路遭受双重衰落，加之因ST的反向散射操作引起的反射信号功率损失，因此CR首先解码$s\left( n \right)$，并将反向散射链路看作信号$s\left( n \right)$的多径分量。解码$s\left( n \right)$的信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)可表示为${\gamma _{\text{p}}} = \rho \left| {h_{{\text{TR}}}} + \sqrt \beta c\left( n \right) {h_{{\text{TS}}}}{h_{{\text{SR}}}} \right|^2$，其中$\rho = {{{P_{\text{t}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{P_{\text{t}}}} {{\sigma ^2}}}} \right. } {{\sigma ^2}}}$。

由此可得，信号$s\left( n \right)$的可达速率为

其中，$\mathbb{E}\left[ \cdot \right]$表示期望。

由于${\log _2}\left( {1 + {\gamma _{\text{p}}}} \right)$上凸，利用Jensen不等式将${R_{{\text{p,1}}}}$变形为

此时，解码信号$s\left( n \right)$的等效SNR可表示为${\gamma _{{\text{p,1}}}} = \rho \left[ {{{\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|}^2} + \beta {{\left| {{h_{{\text{TS}}}}} \right|}^2}{{\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|}^2}} \right]$。

当主用户信号$s\left( n \right)$解码后，CR应用SIC技术去除直接链路信号，处理后的信号可表示为

因为$\mathbb{E}\left[ {{{\left| {s\left( n \right)} \right|}^2}} \right] = 1$，所以解码信号$c\left( n \right)$时的SNR利用最大比合并可近似^[8]为${\gamma _{\text{s}}} = \rho \beta N {\left| {{h_{{\text{TS}}}}} \right|^2}{\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|^2}$。

情况2　当${P_l} < {P_{\text{c}}}$时，ST未激活，反向散射链路中断，此时，CR接收到的信号${y_{{\text{c,2}}}}\left( n \right)$可表示为

CR接收到的信号只包含信号$s\left( n \right)$，解码$s\left( n \right)$时的SNR为${\gamma _{{\text{p,2}}}} = \rho {\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|^2}$。综上所述，解码$s\left( n \right)$和$c\left( n \right)$的SNR可分别表示为$\left\{ \begin{gathered} {\gamma _{{\text{p,1}}}} = \rho \left[ {{{\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|}^2} + \beta {{\left| {{h_{{\text{TS}}}}} \right|}^2}{{\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|}^2}} \right]{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{P_l} \ge {P_{\text{c}}} \\ {\gamma _{{\text{p,2}}}} = \rho {\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|^2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{P_l} < {P_{\text{c}}} \\ \end{gathered} \right.$和${\gamma _{\text{s}}} = \left\{ \begin{gathered} \rho \beta N{\left| {{h_{{\text{TS}}}}} \right|^2}{\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|^2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{P_l} \ge {P_{\text{c}}} \\ 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{P_l} < {P_{\text{c}}} \\ \end{gathered} \right.$。

3.   中断性能分析

3.1   主系统中断概率

主系统中断的定义为：在考虑ST能量受限的情况下，当解码信号$s\left( n \right)$的信噪比小于信噪比阈值$\left( {{\gamma _{{\text{th1}}}}} \right)$时即判定主系统中断。因此，主系统中断概率可表示为

其中，${\gamma _{{\text{th1}}}} = {2^{{R_{{\text{th1}}}}}} - 1$, ${R_{{\text{th1}}}}$为主系统目标数据传输速率。下面通过讨论${P_1}$和${P_2}$得到式(8)的闭式解。

其中，$X = {\gamma _{{\text{th1}}}}{\rho ^{ - 1}} - {\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|^2}$, $Y = \beta {\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|^2}$。$X$和$Y$的概率密度函数可表示为${f_X}\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} {\lambda _{{\text{TR}}}}{{\text{e}}^{ - {\lambda _{{\text{TR}}}}\left( {{\gamma _{{\text{th1}}}}{\rho ^{ - 1}} - x} \right)}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,x \le {\gamma _{{\text{th1}}}}{\rho ^{ - 1}} \\ 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,x > {\gamma _{{\text{th1}}}}{\rho ^{ - 1}} \\ \end{gathered} \right.$、${f_Y}\left( y \right) = \left\{ \begin{gathered} {\lambda _{{\text{SR}}}}{\beta ^{ - 1}}{{\text{e}}^{ - {\lambda _{{\text{SR}}}}{\beta ^{ - 1}}y}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,y \ge 0 \\ 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,y < 0 \\ \end{gathered} \right.$。

将$X$和$Y$的概率密度函数代入${P_{11}}$得

由于${P_{12}}$无法用常规的积分方法求解，因此首先求解其内层积分${\varDelta _1} \triangleq \displaystyle\int_0^{\frac{{\left( {1 - \beta } \right){P_{\text{t}}}}}{\phi }x} {{{\text{e}}^{ - {\lambda _{{\text{TS}}}}\frac{x}{y}}}{f_Y}\left( y \right){\text{d}}y}$，而后求解外层积分。具体地，内层积分${\varDelta _1}$用高斯-切比雪夫求积公式^[17]得到的近似解如式(11)所示

其中，$w = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi M}} \right. } M},{c_{\text{m}}} = \cos \left( {{{\left( {2m - 1} \right)\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {2m - 1} \right)\pi } {2M}}} \right. } {2M}}} \right)$, ${d_{\text{m}}} = {{\left( {1 - \beta } \right)\left( {{c_{\text{m}}} + 1} \right){P_{\text{t}}}x} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 - \beta } \right)\left( {{c_{\text{m}}} + 1} \right){P_{\text{t}}}x} {2\phi }}} \right. } {2\phi }}$。

将式(11)代入${P_{12}}$的表达式得

其中，$a = {\lambda _{{\text{TR}}}} - \left( {1 - \beta } \right){P_{\text{t}}}{\lambda _{{\text{SR}}}}\left( \cos {{\left( {2m - 1} \right)\pi }/ {2M}} + 1 \right)/ {2\phi \beta }$。

综上，主系统中断概率的封闭表达式为${P_{{\text{p,out}}}} = {P_{11}} - {P_{12}} + {P_2}$。

3.2   次系统中断概率

仅当ST被激活，CR成功解码信号$s\left( n \right)$和$c\left( n \right)$时，次系统方进行正常通信，其余情况，次系统均中断，中断概率可表示为

其中，${\gamma _{{\text{th2}}}} = {2^{N{R_{{\text{th2}}}}}} - 1$, ${R_{{\rm{th}}2}}$为次系统目标数据传输速率。进一步将式(14)化为式(15)。

由${\gamma _{{\text{th1}}}}{\rho ^{ - 1}} - {\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|^2} = 0$和${\left( {{\gamma _{{\text{th1}}}}{\rho ^{ - 1}} - {{\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|}^2}} \right)}/ {\beta {{\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|}^2}} = {{{\gamma _{{\text{th2}}}}}/ {\rho \beta N{{\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|}^2}}}$分别得到${\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|^2} = {\gamma _{{\rm{th1}}}}{\rho ^{ - 1}} - {{{\gamma _{{\rm{th2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\gamma _{th2}}} {\rho N}}} \right. } {\rho N}} \triangleq b$, ${\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|^2} = {\gamma _{{\text{th1}}}}{\rho ^{ - 1}} - {{{\gamma _{{\text{th2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\gamma _{{\text{th2}}}}} {\rho N}}} \right. } {\rho N}} \triangleq b$。$Q \triangleq \Pr \left\{ {{{\left| {{h_{{\text{TS}}}}} \right|}^2} \ge \max \left\{ {\dfrac{\phi }{{\left( {1 - \beta } \right) {P_{\text{t}}}}}, \dfrac{{{\gamma _{{\text{th1}}}}{\rho ^{ - 1}} - {{\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|}^2}}}{{\beta {{\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|}^2}}}, \dfrac{{{\gamma _{{\text{th2}}}}}}{{\rho \beta N {{\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|}^2}}}} \right\}} \right\}$。可根据${\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|^2}$ 的取值分为如下3种情况分段求解。

(1)当${\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|^2} > {\gamma _{{\text{th1}}}}{\rho ^{ - 1}}$时

其中

通过初步的数学推导并利用高斯-切比雪夫积分得到${Q_{12}}$的近似解为

其中，$w = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi M}} \right. } M},\;{c_{\text{m}}} = \cos \left( {{{\left( {2m - 1} \right)\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {2m - 1} \right)\pi } {2M}}} \right. } {2M}}} \right),\;{d_{\text{m}}} = {{\left( {1 - \beta } \right)\left( {{c_{\text{m}}} + 1} \right){\gamma _{{\text{th2}}}}{P_{\text{t}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 - \beta } \right)\left( {{c_{\text{m}}} + 1} \right){\gamma _{{\text{th2}}}}{P_{\text{t}}}} {2\rho \phi \beta N}}} \right. } {2\rho \phi \beta N}}$。

(2)当$b < {\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|^2} \le {\gamma _{{\text{th1}}}}{\rho ^{ - 1}}$时

其中

与式(18)求解类似求得${Q_{22}}$的近似解为

(3)当${\left| {{h_{{\text{TR}}}}} \right|^2} \lt b$时

由${\gamma _{{\text{th1}}}}{\rho ^{ - 1}} - {{\phi \beta {{\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|}^2}} /{\left( {1 - \beta } \right){P_{\text{t}}}}} = 0$得${\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|^2} = {{\left( {1 - \beta } \right){P_{\text{t}}}{\gamma _{{\text{th1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 - \beta } \right){P_{\text{t}}}{\gamma _{{\text{th1}}}}} {\rho \phi \beta }}} \right. } {\rho \phi \beta }}$，根据${\left| {{h_{{\text{SR}}}}} \right|^2}$的取值可将${Q_{31}}$分为两部分。

${Q_{32}}$经过初步数学运算得

令$z = \tan \theta ,\theta \in \left( {\arctan \left( {{\phi \mathord{\left/ {\vphantom {\phi {\left( {1 - \beta } \right){P_{\text{t}}}}}} \right. } {\left( {1 - \beta } \right){P_{\text{t}}}}}} \right),{\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. } 2}} \right)$，$Q_{32}^1$使用高斯-切比雪夫积分求得近似解为

其中，${\theta _{\text{m}}} = \left( {{{\left( {\pi - 2\arctan \left( {{\phi / {\left( {1 - \beta } \right){P_t}}}} \right)} \right)}/ 4}} \right) \cos \left( {{{\left( {2m - 1} \right)\pi } / {2M}}} \right) + \left( {{{\left( {\pi + 2\arctan \left( {{\phi / {\left( {1 - \beta } \right){P_{\text{t}}}}}} \right)} \right)}/ 4}} \right)$。

综上，次系统中断概率的封闭表达式为${P_{{\text{s,out}}}} = 1 - \left( {{Q_{11}} + {Q_{12}} + {Q_{21}} + {Q_{22}} + {Q_{31}} + {Q_{32}}} \right)$。

3.3   主次系统分集增益

分集增益的定义为$d = - \mathop {\lim }\limits_{\rho \to \infty } {{\lg \left( {{P_{{\text{out}}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\lg \left( {{P_{{\text{out}}}}} \right)} {\lg \left( \rho \right)}}} \right. } {\lg \left( \rho \right)}}$，其中${P_{{\text{out}}}}$为系统中断概率。

主系统分集增益：由主系统中断概率的封闭表达式${P_{{\text{p,out}}}}$推导得到，当$\rho \to \infty$时，${P_{{\text{p,out}}}} \propto {\left( {1 - {{{\rm{e}}} ^{ - {\rho ^{ - 1}}}}} \right)^2}$，将其代入分集增益定义表达式，得到主系统分集增益为${d_{\text{p}}} = - \mathop {\lim }\limits_{\rho \to \infty } {\lg {{\left( {1 - {{\text{e}}^{ - {\rho ^{ - 1}}}}} \right)}^2}}/ {\lg \left( \rho \right)} = 2$。

次系统分集增益：由次系统中断概率的封闭表达式${P_{{\text{s,out}}}}$推导得到，当$\rho \to \infty$时，${P_{{\text{s,out}}}} \propto 1 - {{{\rm{e}}} ^{ - {\rho ^{ - 1}}}}$，将其代入分集增益定义表达式，得到次系统分集增益为${d_{\text{s}}} = - \mathop {\lim }\limits_{\rho \to \infty } \lg {{\left( 1-{{{{\rm{e}}} ^{ - {\rho ^{ - 1}}}} } \right)} / {\lg \left( \rho \right)}} = 1$。

讨论2。没有次系统接入的传统端到端通信的分集增益为1，而CSR中次系统为主系统引入的有益多径分量可以为主系统带来额外的分集增益，在瑞利衰落信道模型下使得主系统的分级增益增至2。

讨论3。当主、次系统接收机分开放置时，主、次系统的中断概率定义式以及解码主、次信号的信噪比形式皆与主、次系统共用同一接收机相同。若二者信道衰落模型一致，则主、次系统接收机分开放置情况下的中断概率可通过共用同一接收机的情况推广得到。

4.   仿真结果与分析

本节提供仿真来验证上述的理论分析，并探究反射系数对主系统中断性能的影响；此外，通过与传统端到端主动通信系统的中断性能比较，证明了次系统的接入能为主系统带来性能增益。非线性能量收集模型参数参考文献[18]设置。如无特殊说明，本节采用如表1所示的参数。

表 1  仿真参数设置

参数名称	参数符号	数值
路径损耗	$v$	2.7
扩频因子	$N$	128
PT到CR的距离(m)	${d_{{\text{TR}}}}$	150
PT到ST的距离(m)	${d_{{\text{TS}}}}$	10
ST到CR的距离(m)	${d_{{\text{SR}}}}$	150
高斯白噪声功率(dBm/Hz)	${\sigma ^2}$	–160
反射系数	$\beta$	0.4

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图3验证了主系统中断概率的推导。根据式(8)，主系统选取3种不同的速率来验证推导的准确性，即4 bit/Hz, 6 bit/Hz, 8 bit/Hz。从图中可以看出，理论值曲线与仿真值曲线在不同数据传输速率下均较为贴合，从而验证了主系统中断概率推导的准确性。此外，通过与传统端到端主动通信系统中断概率的对比可以看出，当PT的发射功率大于5 dBm时，CSR中的主系统开始有中断性能上的增益；随着发射功率的增加，传统端到端通信和CSR中主系统在不同数据传输速率下分集增益分别趋近于1和2。造成这种现象的原因为：当${P_{\text{t}}}$<5 dBm时，ST收集的能量无法满足内部电路的消耗而无法激活，导致次系统无法为主系统提供有效的多径分量。而当${P_{\text{t}}}$>5 dBm时，ST被激活，次系统引入的多径分量使主系统获得性能增益。

图 3  不同数据传输速率下主系统中断概率

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图4验证了次系统中断概率的推导。设置${R_{{\text{th1}}}}{\text{=}} 8\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{bit/Hz}}$，根据式(14)，次系统选取0.05 bit/Hz, 0.1 bit/Hz, 0.15 bit/Hz 3种不同的数据传输速率来验证推导的准确性。从图中可以看到仿真值曲线与理论值曲线拟合较好，从而验证了次系统中断概率推导的准确性。当${P_{\text{t}}}$<5 dBm时，由于ST未被激活，次系统中断概率为1。当${P_{\text{t}}}$>5 dBm时，次系统借助主系统同CR实现被动式的信息传输，结合图3，次系统的接入为主系统提供了一条额外的多径分量，使二者实现互惠传输。此外，可以从图4看出次系统的分集增益为1。

图 4  不同数据传输速率下次系统中断概率

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图5给出了主系统中断概率在不同${P_{\text{t}}}$下与$\beta$的关系曲线。P_t分别选取10 dBm, 12 dBm, 14 dBm 3种不同的发射功率，设置${R_{{\text{th1}}}}{\text{ = 8}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\text{bit/Hz}}$, ${R_{{\text{th2}}}}= {\text{0.05}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\text{bit/Hz}}$。从图中可以看出主系统中断概率随$\beta$的增大，呈现出先减小后增大的趋势，并逐渐趋于$\beta = 0$时对应的中断概率。此外，随着${P_{\text{t}}}$的增大，最优的$\beta$值(记为${\beta ^*}$)也增大，同时ST的接入对主系统中断性能提升也越大。由于反射系数决定ST收集能量多少、反向散射链路强弱，其直接影响ST激活概率和CR解码反向散射链路的成功概率，二者相对立的关系约束着主系统的中断概率。基于此，在固定发射功率的前提下，存在一个使主系统中断概率最小的${\beta ^*}$。另外，当${P_{\text{t}}}$增大时，制约主系统中断概率的两个约束整体改善，使次用户的接入能为主系统带来更多性能提升。

图 5  主系统中断概率与$\beta$的关系曲线

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5.   结束语

本文面向基于能量收集的CSR网络，分析了主、次系统的中断性能和分集增益。在考虑次用户采用非线性能量收集模型的基础上，定义了主、次系统的中断概率，推导得到了主、次系统的中断概率闭式解和分集增益。通过仿真验证了理论分析的正确性，具体而言，通过与传统端到端主动通信中断性能的对比，表明在瑞利衰落信道模型下，CSR次用户的接入使主系统的分集增益由1提升至2，且次用户借助主系统的射频信号可以实现分集增益为1的可靠传输。另外，由于ST的激活概率和反向散射链路成功解码概率对主系统中断概率的共同约束，因而总是存在一个最优的$\beta$使得主系统的中断概率达到最小。