1.   引言

高光谱图像是对空间某一区域在几十个甚至数百个波段范围内的同时成像，其每个波段可近似看成一幅自然图像^[1]。由于高光谱图像同时含有目标的空间信息和光谱信息，所以光谱图像已经应用到医学工程^[2]、军事探测^[3]、农业检测^[4,5]、食品安全^[6]以及异常检测^[7]等领域。但高光谱数据是一个庞大的数据集合，图像包含了目标复杂的信息，这对高光谱图像的测量传输和重建造成了一定的难度。因此，在光谱成像技术的研究中，对光谱图像进行有效的压缩测量和重构是十分重要的^[8]。压缩感知(Compressive Sensing, CS)理论可以通过少量的采样值精确地重构出原始目标值，该理论的出现为高光谱图像的压缩重构带来了新思路。

压缩感知理论对稀疏或者可压缩的信号提供了一种新的感知框架进行采样，这种采样方式比利用传统的香农-奈奎斯特采样方案更加有效^[9]。CS核心是以远低于奈奎斯特速率的采样率对目标图像进行采样，则原始信号可以通过重构算法由这些少量的测量值重构得到。该理论是利用采样和压缩并行的方式对信号进行压缩测量，打破了采样率对信号采集的限制，减小了后期数据传输和存储的压力^[10,11]。将压缩感知理论应用到光谱数据的采集实验中，可以在数据的采集端去除大量的冗余信息，从而为后期对数据的计算减小压力^[12]。

在压缩感知理论基础上发展的光谱成像系统有：单像素相机成像系统^[13]，基于编码孔径的光谱成像系统(Coded, Aperture Snapshot Spectral Imagers, CASSI)^[14]，之后的一些成像系统主要是在编码孔径成像系统中对编码孔径进行的优化^[15,16]。但这些光谱成像系统中，主要是在测量端对光谱图像进行统一单帧测量，然而在以压缩感知理论为基础的图像压缩处理中，将目标图像作为一个整体进行压缩重构时，需要很大的存储空间来存储测量矩阵，也加大了重建过程的难度^[17]。分块压缩感知(Block Compressed Sensing, BCS)算法^[18]的引入可以有效改善该问题。分块压缩感知算法是对图像进行均匀分块，并使用相同的测量矩阵对各个子块进行单独采样测量，提高了采样效率和重构性能^[19]。但使用分块压缩感知处理图像时，图像主要是被均匀分块的，并使用固定的采样率进行随机采样，但每帧图像各个空间位置的纹理分布都有差异，使用相同的测量矩阵进行采样测量时，尤其在较低的采样率下，会造成纹理细节较少的平滑区域采样点过多，而纹理细节丰富的区域采样点过少的问题，影响后期图像的重构质量。为了解决此问题，许多研究工作将目标聚焦于优化采样测量过程，在采样过程中为不同的图像块动态设置采样率，依据不同的参数对图像块进行分类，然后为不同类别分配不同的采样率^[20]。文献[21]以图像的纹理显著性作为分配依据，根据显著性信息图的分布给对应的图像块分配采样值；文献[22]根据图像的空间频率提取图像的纹理特征，以此为不同的图像块分配测量值。但在上述方法中，主要是采用固定尺寸对图像进行均匀分块，在分块时并没有考虑到图像的纹理特征，无法有效地分离出复杂区域和平滑区域，造成图像重构效果不佳。

针对上述背景和问题，考虑到高光谱图像数据规模很大，图像内容丰富，对其进行整体测量重构会占用较大的内存，重构的效果也不佳，本文将分块采样测量的方法应用到高光谱图像的采样重建中，提出基于2维图像熵自适应分块压缩感知重构方法(Adaptive Block Compressed Sensing- Image Entropy, ABCS-IE)。该方法目的是充分利用图像的纹理特征使得分块更加准确，提高各图像块的压缩采样效果，从而改善整体图像的重构效果。本文方法利用高光谱图像复杂的纹理内容，将图像的灰度分布特征和表示灰度空间的特征向量组成图像的2维熵，根据2维熵对图像进行自适应分块，然后将分块后的图像块进行分组，不同组类别根据熵值大小和所占权重自适应分配不同的采样率，分块阈值由各组图像子块2维熵的均值决定。本方法能够充分利用高光谱图像的纹理细节并提高各图像块的压缩采样效果，改善整体图像的重构效果。

2.   压缩感知理论基础

压缩感知指出，一个N维的离散信号${\boldsymbol{x}} \in {{\boldsymbol{R}}^{N \times 1}}$，如果在某变换域中具有稀疏性，则原始信号可以表示为：${\boldsymbol{x}} = {\boldsymbol{\varPsi \alpha}}$，其中${\boldsymbol{\varPsi}} \in {{\boldsymbol{R}}^{N \times N}}$为稀疏正交基，${\boldsymbol{\alpha}} \in {{\boldsymbol{R}}^{N \times 1}}$为稀疏系数，只有少量元素值不为0。则信号${\boldsymbol{x}}$可以由少量的随机观测值${{y}}$进行重构所得。${\boldsymbol{\varPhi}}_{MN}$(M≤N)为观测矩阵

式(1)为一个欠定方程，利用压缩感知重构算法求解该方程，将N维的原始信号${\boldsymbol{x}}$从M维的测量信号${\boldsymbol{y}}$中重构出来。通常将求解上述方程的过程转换为求解${l_0}$优化过程

其中，常用的压缩感知重构算法主要有贪婪迭代算法、凸优化算法、统计优化方法以及组合算法。

将压缩感知应用到高光谱图像时，需要使用庞大的观测矩阵对高光谱图像进行测量。为此，结合分块压缩感知算法(BCS)，在分块压缩感知的采样过程中，对大小为N_L×N_W的原图像I进行分块，将其分成互不重叠的大小为$B \times B$的图像块，各子块的测量矩阵为${{\boldsymbol{\varPhi}} _B} \in {{\boldsymbol{R}}^{{M_{B}} \times {B^2}}}$，整个图像的测量矩阵组成为

分块测量的过程为

即得到的观测向量集合为

其中，${{\boldsymbol{x}}_i}$为第i个子块的灰度值向量，${M_B}$为各图像块的采样数，$b = ({N_{\text{L}}} \times {N_{\text{W}}})/(B \times B)$是图像块的总块数。

3.   基于2维图像熵自适应分块压缩感知重构方法

本方法结合高光谱图像纹理内容丰富的特点，将图像2维熵作为其纹理复杂度的度量，根据图像2维熵自适应选择分块大小，为不同的图像块分配不同的采样值并设计特有的测量矩阵，该分块方式只针对图像的空间维。

3.1   图像2维信息熵计算

图像的2维熵能够反映图像灰度分布的空间特征，当图像块的2维熵较小时，表明该图像块的像素分布较均匀，即图像块表面相对平滑，细节内容较少，通过少量的采样值可以较容易地重构出原始图像；当图像块的2维熵较大时，表明图像块的像素值分布不均匀，图像块中包含的信息复杂，通过较少的采样值重构出的图像质量较差，需要分配较多的采样值。

假设图像的灰度等级为L(0～L–1)，图像大小为$B \times B$，用$f\left( {i,j} \right)$表示图像中灰度值为i、邻域灰度均值为j的像素点出现的频数，$\left( {i,j = 1,2, \cdots ,L - 1} \right)$，${p_{ij}}$为区域灰度均值对$\left( {i,j} \right)$发生的概率，则

图像2维熵的定义为

3.2   自适应分块压缩采样算法

以图像2维熵作为依据对图像进行自适应分块，并根据不同块所占权重分配不同的测量次数，图1为基于2维图像熵自适应分块压缩感知采样方法的流程图。

图 1  基于2维图像熵自适应分块压缩感知采样算法

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自适应分块压缩采样算法主要聚焦在自适应采样测量过程，将该算法与压缩感知重构算法相结合后对图像进行重构，具体重构过程如下：

步骤1　将输入图像$X = {N_{\text{L}}} \times {N_{\text{W}}}$预分块，分成互不重叠的$\left[ {\left( {{B \mathord{\left/ {\vphantom {B {{2^{k - 1}}}}} \right. } {{2^{k - 1}}}}} \right) \times \left( {{B \mathord{\left/ {\vphantom {B {{2^{k - 1}}}}} \right. } {{2^{k - 1}}}}} \right)} \right]$的图像块${X_i}$，并记录图像块数b，$\left( {k = 1,2 ,\cdots, k} \right)$为分块次数。

步骤2　根据式(7)计算每个图像块的2维熵${H_i}$$\left( {i = 1,2, \cdots, b} \right)$，并计算各个图像块熵值的平均值${\bar H_i} = {{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^b {{H_i}} }/ b}$。

步骤3　将均值${\bar H_i}$作为每次的分块阈值${T_k}$，比较各子块的熵${H_i}$与阈值${T_k}$的大小，若大于分块阈值，说明纹理细节丰富，继续重复步骤1和步骤2对图像块进行分块处理；若小于分块阈值，停止分块，并保存各个图像子块。经过多次实验表明，当复杂图像块小于$32 \times 32$时，各区域的图像熵差值已经小于0.1，纹理细节分布无明显差异，无需再继续计算分块。同时为了防止图像块边缘出现严重的块效应，且图像块越小，采样次数越高，失去压缩意义。所以当图像块大小为$32 \times 32$时，停止分块。

步骤4　将步骤3中得到的图像块进行分组处理，相同大小的图像块分为同一组别，每个组别用${C_n}$$\left( {n = 1,2, \cdots, n} \right)$表示，每一组别内图像块个数记为${b_n}$，计算每组图像块所占的比例${P_n} = {b_n}\Bigr/\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^n {{b_j}}$。

步骤5　假设整幅图像的采样率为SR，测量次数为$M = {\text{SR}} \times {N_{\text{L}}} \times {N_{\text{W}}}$，各组别内图像块的采样率由${R_n}$表示，根据权重计算每个组别内子块的采样率为${R_n} = {\text{SR}} \times {P_n}$，测量次数为${M_n} = {R_n} \times {\left( {{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle B$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle {{2^{k - 1}}}$}}} \right)^2}$，为了防止采样次数过大导致失去压缩意义，设置一个采样上界${\text{upper}} = 0.9 \times {\left( {{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle B$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle {{2^{k - 1}}}$}}} \right)^2}$，若分配的块测量次数超过该上界，则将超出采样上界的次数平均分配给其他组内的图像块，直至所有的块测量次数都小于或等于upper。

步骤6　根据步骤5获得各组内图像块的测量次数M_n，构造相应的测量矩阵${\boldsymbol{\varPhi}}_B$进行压缩测量，同一组内所有图像块使用相同的测量矩阵，生成各块的测量值向量${{\boldsymbol{y}}_i}$。

步骤7　将上述过程得到的观测向量集合${\boldsymbol{y}} = \left[ {{{\boldsymbol{y}}_1},{{\boldsymbol{y}}_2}, \cdots, {{\boldsymbol{y}}_i}} \right]$利用压缩感知重构算法进行重构，最后整合出原始图像X。

4.   实验结果与分析

4.1   实验设计

从跨学科计算视觉实验室(Interdisciplinary Computational Vision Lab, ICVL)提供的自然图像高光谱数据库中选择ulm,BGU,object 3组高光谱测试图像进行实验测试。这3组高光谱图像涵盖了建筑、植物、土壤、布偶、电子器件等内容，在纹理内容分布上也有所差异。所有数据的波长范围为400～700 nm，波长间隔为10 nm。实验中，为了验证本文算法，获得更明显的对比展示效果，将3组高光谱图像大小分别截取为$512 \times 512$, $480 \times 480$, $384 \times 256$。在实验中，采用不同的测量矩阵进行验证，并将自适应分块采样方法和均匀分块采样方法分别应用在不同的压缩感知重构算法中，对高光谱图像进行重构。选择的重构算法为：基追踪算法(Basis Pursuit, BP)、压缩采样匹配追踪算法(Compressed Sampling Matching Pursuit, CoSaMP)、梯度投影稀疏重建算法(Gradient Projection for Sparse Reconstruction, GPSR)。利用峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio, PSNR)、均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE)、结构相似性(Structural SIMilarity, SSIM)、重构图像与原始图像熵的差值(ΔH)作为图像重构的评价指标，并对算法的运行时间(t)进行对比，综合图像的重构效果和算法运行时间来衡量算法的性能。

4.2   自适应分块效果分析

根据每组图像纹理内容分布的特点，在对图像进行预分块处理时，第1组图像B取256，第2组图像B取240，第3组图像B取128，按照图1所示方法对图像进行分块处理，得到如图2所示的分块结果。观察图2可发现：对于纹理内容特征分布不同的各图像，使用本文提出的分块方法，可以实现纹理复杂区域的块较小，复杂度低的区域块较大的效果。例如图2(a)ulm图像的分块结果中，中间区域内容较复杂，块较小，上半部分细节少、分块结果较大。

图 2  3个测试图像的自适应分块结果

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4.3   不同测量矩阵下的重构结果对比

不同的测量矩阵会使重构结果存在差异，为了验证本文所提方法在不同测量矩阵下的适用性，同时选取合适的测量矩阵，选择3种常用的测量矩阵进行测试，分别为高斯矩阵、伯努利矩阵、循环矩阵。表1为使用不同测量矩阵的情况下，采用传统的重构方法和本文提出的方法对图像进行重构得到的结果。通过表1可知，不同的测量矩阵下，通过本文所提方法对图像进行自适应分块重构后，图像的重构质量都得到了明显提高，说明本文提出的方式在不同的测量矩阵下都能适用。同时，由表1可以发现，在高斯矩阵的采样测量下，图像重构的PSNR值最大，而循环矩阵由于在循环构造向量时，元素重复率过高，影响了构造的矩阵向量之间的独立性，导致重构的图像质量低于其他测量矩阵。在以下的对比实验中，选择高斯矩阵对测试图像进行压缩测量。

表 1  不同测量矩阵下重构图像的PSNR结果对比(dB)

目标图像	算法	测量矩阵
		高斯矩阵	伯努利矩阵	循环矩阵
ulm	CoSaMP	31.8891	31.4468	30.6240
	BCS-CoSaMP	33.4864	33.0751	32.5439
	ABCS-IE-CoSaMP	35.6857	34.9760	33.4807
BGU	CoSaMP	30.0709	29.6891	28.6254
	BCS-CoSaMP	31.1368	30.8649	29.7950
	ABCS-IE-CoSaMP	32.9268	32.1008	31.5431
object	CoSaMP	31.1605	30.5438	29.2670
	BCS-CoSaMP	32.4569	31.7902	30.9657
	ABCS-IE-CoSaMP	34.5967	33.9961	32.5935

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4.4   自适应分块算法应用于不同的重构算法的性能比较

将本文ABCS-IE算法和传统的BCS算法分别应用到3种压缩感知重构算法中对测试图像进行重构。图3展示了3种组合方式在不同的采样率下重构ulm图像的PSNR, SSIM。

图 3  自适应分块算法重构性能对比结果

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从图3可知，在不同的重构算法中，基于本文所提ABCS-IE算法的重构效果比传统CS算法和BCS算法的重构效果好，PSNR和SSIM的数值都有提高。由于采样率较低时，传统的BCS算法在纹理复杂的区域分配的采样值很小，造成重构效果差，而ABCS-IE算法在可以保证整体采样率不变的情况下给复杂区域分配高采样率，使得图像重构效果更好。因此数值在较低的采样率下提高得更加明显。

4.5   图像重构效果分析

图4展示了3组测试图像重构的视觉效果图，整体采样率为0.4，重构算法选用CoSaMP算法，截取图像的纹理复杂的局部区域于每幅子图的右下角展示。从图4可以看出，基于ABCS-IE算法的重构图像在直观上的效果明显好于传统CS和BCS算法重构图像，而且在纹理复杂的局部区域重构效果更佳。

图 4  图像重构对比图

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表2和表3为不同采样率下重构图像的RMSE和信息熵差值的结果对比，从中也可以看出，基于ABCS-IE算法的重构图像的均方根误差RMSE也是最小的，重构图像与原图像的信息熵差值(ΔH值)较传统算法也有所降低，说明重构的图像更加接近原始图像。

表 2  重构图像的RMSE结果对比

目标图像	算法	采样率
		0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
ulm	CoSaMP	0.2429	0.2052	0.1850	0.1461	0.1258	0.0852	0.0545
	BCS-CoSaMP	0.2308	0.1851	0.1490	0.1107	0.1056	0.0653	0.0347
	ABCS-IE-CoSaMP	0.2113	0.1487	0.1077	0.0715	0.0670	0.0293	0.0096
BGU	CoSaMP	0.2149	0.1947	0.1844	0.1592	0.1214	0.0621	0.0187
	BCS-CoSaMP	0.2073	0.1746	0.1554	0.1342	0.0926	0.0417	0.0168
	ABCS-IE-CoSaMP	0.1967	0.1453	0.1194	0.0977	0.0594	0.0105	0.0073
object	CoSaMP	0.1574	0.1422	0.1221	0.0956	0.0631	0.0230	0.0031
	BCS-CoSaMP	0.1428	0.1297	0.1020	0.0725	0.0447	0.0121	0.0026
	ABCS-IE-CoSaMP	0.1271	0.1061	0.0763	0.0423	0.0207	0.0063	0.0017

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表 3  重构图像的ΔH结果对比

目标图像	算法	采样率
		0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
ulm	CoSaMP	3.2887	2.2157	1.5800	1.0037	0.6808	0.4247	0.2657
	BCS-CoSaMP	2.8893	1.6728	1.3594	0.6121	0.4301	0.2867	0.2200
	ABCS-IE-CoSaMP	1.9695	1.3302	0.5293	0.3393	0.3291	0.1338	0.0299
BGU	CoSaMP	0.9519	0.8377	0.8182	0.6289	0.3832	0.1881	0.0601
	BCS-CoSaMP	0.8786	0.7334	0.5948	0.4747	0.2828	0.1383	0.0077
	ABCS-IE-CoSaMP	0.8273	0.5269	0.4370	0.3526	0.1972	0.0774	0.0045
object	CoSaMP	1.6118	1.4790	1.2130	0.8118	0.3988	0.1276	0.0401
	BCS-CoSaMP	1.5231	1.2472	0.9248	0.4871	0.2917	0.0490	0.0249
	ABCS-IE-CoSaMP	1.2859	0.9757	0.5653	0.4551	0.1838	0.0456	0.0099

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4.6   不同算法的运行时间分析

表4为不同重构算法的运行时间对比。可以看到，应用ABCS-IE算法时，重构时间得到了减少，这是因为在传统CS和BCS中，对不同纹理复杂度区域采用相同大小的测量矩阵进行采样，这样不仅使复杂区域获得的采样率较低而导致重构效果差，而且使平滑区域获得的采样率较高而造成计算时间的浪费。但是在本文提出的自适应分块算法中，针对不同块的纹理复杂度进行了自适应采样率的分配，复杂区域采样率高，平滑区域采样率较低，提高图像重构质量的同时，也降低了算法的运行时间。

表 4  不同重构算法的运行时间t对比(s)

算法	目标图像
	ulm	BGU	object
BP	8.75	7.54	7.32
BCS-BP	8.52	7.03	7.25
ABCS-IE-BP	7.08	5.87	6.03
CoSaMP	6.35	5.83	5.80
BCS-CoSaMP	6.18	5.79	5.75
ABCS-IE-CoSaMP	4.67	4.34	4.36
GPSR	8.42	8.21	7.84
BCS-GPSR	8.36	8.17	7.76
ABCS-IE-GPSR	6.84	6.73	6.35

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5.   结束语

本文提出基于2维图像熵自适应分块压缩感知重构方法。本方法将2维图像熵作为高光谱图像纹理复杂度的度量，根据熵值大小和权重，自适应地变化图像块大小，并对不同的图像块分配不同的采样值进行压缩感知重构。通过实验验证，该方法可以根据高光谱图像的纹理特征对图像进行有效的分块，实现纹理复杂区域的图像块较小，平滑区域的图像块较大的效果。在图像重构效果方面，自适应分块压缩采样算法与不同的压缩感知重构算法相结合，可以显著提升传统压缩感知算法的重构性能，重构出的高光谱图像的PSNR和SSIM都有了较大的提高，图像在视觉效果方面也得到了明显的改善，尤其在纹理细节复杂的区域，增强了图像重构的纹理细节。而且本文提出的自适应分块算法在运行时间方面也有明显的改善。因此该方法可以有效地解决传统的算法由于忽略图像的纹理分布特征而造成的重构光谱图像效果不佳的问题。