A Construction Method of Ternary Linear Complementary Dual Codes and Self-orthogonal Codes
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摘要: 有限域上线性互补对偶(LCD)码有良好的相关特性和正交特性,并能够防御信道攻击。自正交码是编码理论中一类非常重要的码,可以用于构造量子纠错码。该文研究了有限域F3上的LCD码。通过选取4种合适的定义集,利用有限域F3上线性码是LCD码或自正交码的判定条件,构造了4类3元LCD码和一些自正交码,并研究了这4类线性码的对偶码,得到了一些3元最优线性码。Abstract: Due to good correlation and orthogonal properties, Linear Complementary Dual (LCD) codes over the finite fields can be used to defend against channel attacks. As a very important class of codes in coding theory, self-orthogonal codes can be used to construct quantum error-correcting codes. In this paper, LCD codes over the finite field F3 are studied. By selecting appropriate defining sets and using the conditions for linear codes over the finite field F3 to be LCD codes or self-orthogonal codes, four kinds of ternary LCD codes and some self-orthogonal codes are constructed. And the dual codes of these four kinds of liner codes are also studied and some ternary optimal linear codes are obtained.
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1. 引言
自正交码包含自对偶码,它是一类非常重要的码。文献[1]利用经典的2元自正交线性码构造了量子码,自此自正交码的构造成为编码理论研究的一个热点[2-6]。文献[4]研究了3元域上对偶距离为3的自正交码的构造,并得到了参数好的量子码。文献[5]研究了4元域上自正交码的构造方法,得到了一些最优的3维自正交码。
线性互补对偶(Linear Complementary Dual, LCD)码作为一类特殊的线性码,在编码理论中有着丰富的应用前景。文献[7]证明有限域上LCD码能够防御信道攻击。文献[8]最先提出线性互补对偶(LCD)码,同时证明存在渐进好的LCD码。文献[9]证明LCD码能达到渐进(gilbert-varshamov)界,从而激发学者研究LCD码的兴趣[9-16]。文献[10]总结有限域上LCD码的一些主要研究成果及其进展,并提出了一些未解决的重要问题。
文献[11]证明
q>3 元LCD码和q 元线性码等价。因此,LCD码的研究重点聚焦于研究2元LCD码和3元LCD码。文献[12]解决了5元域上3维和4维最优LCD码的构造问题。文献[13]利用合适的定义集构造了2元LCD码和2元自正交码。文献[14]推广到q 元域,其中q 是素数。文献[15]通过合适的定义集构造了4元厄米特LCD码和厄米特自正交码。受这3篇文献启发,本文研究了合适的定义集下的3元LCD码和3元自正交码的构造。利用有限域上线性码是LCD码或自正交码的判定条件,构造了4类3元LCD码和一些自正交码。2. 基础知识
设
q 是素数的幂,Fq 是q 元域,Fnq 是Fq 上n 维向量空间。对Fnq 中的任意向量x=(x0,x1,⋯,xn−1) 和y=(y0,y1,⋯,yn−1) ,定义x 和y 的欧几里得内积为x⋅y=x0⋅y0+x1⋅y1+⋯+xn−1⋅yn−1 (1) 设
C 是一个q 元[n,k] 线性码,则C⊥ 是一个q 元[n,n−k] 线性码。若C⊆C⊥ ,则称C 为自正交码。若C∩C⊥={0} ,则称C 为LCD码。设集合
D={g1,g2,⋯,gn}⊆Fmq 。由集合D 构造CD={(a⋅g1,a⋅g2,⋯,a⋅gn):a∈Fmq} (2) 易证,
CD 是一个码长为n 的q 元线性码,并称D 是码CD 的定义集。设G 是由向量gT1,gT2,⋅⋅⋅,gTn 形成的m×n 矩阵G=[gT1gT2⋯gTn] (3) 且
Rank(G) = k 。则CD 是一个[n,k] 线性码。特别地,如果k=m ,则G 恰好是CD 的生成矩阵。由文献[13],可得以下结论。引理1[13]
CD 和CD∩C⊥D 的维数分别等于Rank(G) ,Rank(G)−Rank(GGT) 。推论1[13]
CD 是LCD码当且仅当Rank(GT)=Rank(GGT) 。CD 是自正交码当且仅当GGT=0 。3. 主要结果
设
m 和t 是两个任意正整数且1≤t≤m−1 ,设Dt 表示F3m 上重量为t 且第1个非0位上的数为1 的向量集合。设D≤t 是F3m 上重量小于等于t 且第1个非0位上的数为1的向量集合。定义¯Dt=Dt∪{1m}¯D≤t=D≤t∪{1m}} (4) 其中,
1m 是F3m 上分量全为1的向量。下文通过以上4个集合,构造LCD码和自正交码。3.1 定义集为
Dt 的3元线性码令
Dt={g1,g2,⋯,gnt} ,其中nt=|Dt| ,则nt=2t−1(mt) 。设Gt=[gT1gT2⋯gTnt] 且CDt 是以Dt 为定义集的3元码长为nt 的线性码。下面研究CDt 的参数。首先证明几个重要的引理。引理2 设
1≤t≤m−1 ,则Rank(Gt)=m 。证明 当
t=1 时,Gt=Em ,其中Em 表示m 阶单位矩阵,显然Rank(Gt)=m 。当
t≥2 时,则Gt 中一定包含m 列线性无关的向量(1,⋯,1⏟t,0,⋯,0)T,(1,2,1,⋯,1⏟t−2,0,⋯,0)T,⋯,(1,⋯,1⏟t−1,2,0,⋯,0)T (0,1,⋯,1⏟t,0,⋯,0)T,(0,0,1,⋯,1⏟t,0,⋯,0)T,⋯,(0,⋯,0,1,⋯,1⏟t)T } (5) 因此
Rank(Gt)=m 。证毕引理3 设
1≤t≤m−1 ,M=(mij)m×m=GtGtT ,则(1) 当
t=1 时,M=Em ,其中Em 表示m 阶单位矩阵。(2) 当
t≥2 时,mij={2t−1(m−1t−1)(mod3),i=j0(mod3), i≠j 。证明 (1) 当
t=1 时,结论显然正确。(2) 设
ci 表示Gt 的第i 行,则mij=∑ntl=1cilcjl 。当i≠j 时,(cil,cjl) 使cilcjl≠0 的可能取值为(11), (12),(21),(22) 。对i,j∈{1,2} ,令λij 表示(ij) 出现的次数。将Gt 的每一列以i,j 为界分成第1行至第i−1 行,第i+1 行至第j−1 行,第j 行至第m 行3个部分。根据这3个部分出现非0元的个数,分以下几种情况讨论。情形1 第1个部分不出现非0元,第2个部分不出现非0元,则第3个部分必须出现
t−2 个非0元,因此情形1在Gt 中出现的次数共计l1=2t−2(m−jt−2) (6) 情形2 第1个部分出现
s≥1 个非0元且这部分第1个非0元为1,则第2个部分不出现非0元,则第3个部分必须出现t−s−2 个非0元。因此情形2在Gt 中出现的次数共计l2=t−2∑s=12s−1(i−1s)2t−s−2(m−jt−s−2) (7) 情形3 第1个部分不出现非0元,第2个部分出现
k≥1 个非0元,则第3个部分必须出现t−k−2 个非0元。因此情形3在Gt 中出现的次数共计l3=t−2∑k=12k(j−i−1k)2t−k−2(m−jt−k−2) (8) 情形4 第1个部分出现
s≥1 个非0元且这部分第1个非0元为1,第2个部分出现k≥1 个非0元,则第3个部分必须出现t−s−k−2 个非0元。因此情形5在Gt 中出现的次数共计l4=t−2∑s=1t−2∑k=12s−1(i−1s)2k(j−i−1k)⋅2t−s−k−2(m−jt−s−k−2) (9) 在
Gt 中(11) 出现的情况有情形1、情形2、情形3、情形4。在Gt 中(12) 出现的情况有情形1、情形2、情形3、情形4。在Gt 中(21) 出现的情况有情形2、情形4。在Gt 中(22) 出现的情况有情形2、情形4。则λ11=l1+l2+l3+l4 ,λ12=l1+l2+l3+l4 ,λ21=l2+l4 ,λ22=l2+l4 。所以在Gt 中(11),(12) 出现次数相同,且1⋅1+1⋅2=3 。在Gt 中(21),(22) 出现次数相同,且2⋅1+2⋅2=3 。所以mij=0(mod3) ,i≠j 。当i=j 时,因为cij∈F3 ,而0⋅0=0 ,1⋅1=1 ,2⋅2=1(mod3) ,则mii 等于第i 行非0元的数目模3。下面证明Gt 的每一行非0元数目是相等的。当i=1 时,非0元素只有1,个数为2t−1(m−1t−1) 。当j≠1 时,(c1,cj) 有以下几种情况,(00),(01),(02),(10),(11),(12) ,则只需要证明(01)(02) 和(10) 的个数相等即可。对i,j∈{0,1,2} ,令δij 表示(ij) 出现的次数。将Gt 的每一列以1,j 为界分成第2行至第j−1 行,第j+1 行至第m 行2个部分。根据这2个部分出现非0元的个数,分以下几种情形讨论。情形1 第1个部分不出现非0元,则第2个部分必须出现
t−1 个非0元。因此情形1在Gt 中出现的次数共计h1=2t(m−jt−1) (10) 情形2 第1个部分出现
s≥1 个非0元,则第2部分必须出现t−s−1 个非0元。因此情形2在Gt 中出现的次数共计h2=t−1∑s=12s(j−2s)2t−s−1(m−jt−s−1) (11) 情形3 第1个部分出现
s≥1 个非0元且这部分第1个非0元为1,则第2个部分必须出现t−s−1 个非0元。因此情形3在Gt 中出现的次数共计h3=t−1∑s=12s−1(j−2s)2t−s−1(m−jt−s−1) (12) 在
Gt 中(10) 出现的情况有情形1、情形2。在Gt 中(01) 出现的情况有情形1、情形3。在Gt 中(02) 出现的情况有情形3。则δ10=h1+h2 ,δ01=h1+h3 ,δ02=h3 ,又因为h2=2h3 ,所以δ10=δ01+δ02 。所以c1 和cj 中的非0数目都是相等mii=2t−1(m−1t−1)(mod3) (13) 综上所述,引理得证。
根据引理3,有如下结论。
引理4 设
m≥3 且2≤t≤m−1 ,则Rank(GtGTt)={0, (m−1t−1)≡0(mod3)m, (m−1t−1)≢0(mod3) (14) 命题1 设
m≥3 且2≤t≤m−1 ,则dimF3(CDt∩C⊥Dt)={dimF3(CDt),(m−1t−1)≡0(mod3)0, (m−1t−1)≢0(mod3) (15) 证明 由引理1,
dimF3(CDt∩C⊥Dt)=Rank(G)−Rank(GGT) ,由引理2和引理4,结论成立。根据推论1、引理4、命题1,可得下面定理。
定理1 设
m≥3 且2≤t≤m−1 ,则CDt 是一个3元[2t−1(mt),m] 线性码。(1)
CDt 是自正交码当且仅当(m−1t−1)≡0(mod3) 。(2)
CDt 是LCD码当且仅当(m−1t−1)≢0(mod3) 。定理2 设
m≥3 且2≤t≤m−1 ,则C⊥Dt 是一个3元[2t−1(mt),2t−1(mt)−m,3] 线性码。当1+2t(mt)>3m−1 时,C⊥Dt 是最优码。证明 由定理1,易证
C⊥Dt 是[2t−1(mt),2t−1(mt)−m] 线性码。下证C⊥Dt 的最小距离是3。显然Gt 是C⊥Dt 的校验矩阵。首先证明Gt 的任何两列都是线性无关的。假设Gt 中存在两列li 和lj 线性相关,则存在α∈F3 使得lj=αli 。又由于lj 的第1个非0位为1,故α=1 且i=j 。因此,Gt 中任何两列是线性无关的。由此推出,C⊥Dt 中不存在重量为1和2的码字。另外,容易验证Gt 中存在3个列向量g1=(t⏞1,⋯,1,0,⋯,0)T,g2=(0,t−2⏞1,⋯,1,2,1,0,⋯,0)T,g3=(t−2⏞1,2,⋯,2,0,1,0,⋯,0)T (16) 且
g3=g1+g2 ,故C⊥Dt 的最小距离为3。下面讨论码
C⊥Dt 的最优性。由球包界,码长为nt=2t−1(mt) 最小距离为3的3元线性码的维数k′≤2t−1(mt)−log1+2t(mt)3 (17) 当
1+2t(mt)>3m−1 时,k′≤2t−1(mt)−m 。 因此,C⊥Dt 的维数达到最大值。由文献[17]中的定义5.1.1,对于给定的码长和最小距离的线性码,如果其维数达到最大值,则称该码为最优码。因此,C⊥Dt 是最优码。例1 当
m=3 和t=2 时,nt=6 且Gt=(111100120011001212) 。由定理1,码CDt 是一个3元[6,3] 线性码。经MAGMA计算,CDt 的最小距离为3,则码CDt 是一个3元[6,3,3] 线性码。由定理2,码C⊥Dt 是一个3元[6,3,3] LCD最优码。例2 当
m=4 和t=2 时,nt=12 且Gt=(111111000000120000111100001200120011000012001212) (18) 由定理1,码
CDt 是一个3元[12,4] 线性码。经MAGMA计算,CDt 的最小距离为6,则码CDt 是一个3元[12,4,6] 线性码。由定理2,码C⊥Dt 是一个3元[12,8,3] 自正交最优码。3.2 定义集为
¯Dt 的3元线性码令
¯Dt=Dt∪{1m} ,¯Gt=[g1g2⋯gnt1m] ,类似引理2的证明,可得引理5 设
m≥2 且1≤t≤m−1 ,则Rank(¯Gt)=m 。注意到
¯Gt¯GtT=GtGTt+1Tm1m 。由引理3,可得
Rank(¯Gt¯GtT)={1,当(m−1t−1)≡0(mod3);m−1,当2t−1(m−1t−1)≡1(mod3)且m≡2(mod3)或2t−1(m−1t−1)≡2(mod3)且m≡1(mod3);m,其他情形 (19) 由引理1和引理5,得到
dimF3(C¯Dt∩C⊥¯Dt)={dimF3(C¯Dt)−1,当(m−1t−1)≡0(mod3);1,当2t−1(m−1t−1)≡1(mod3)且m≡2(mod3)或 2t−1(m−1t−1)≡2(mod3)且m≡1(mod3);0,其他情形 (20) 因此,本文得到以下结论。
定理3 设
m≥3 且2≤t≤m−1 ,则码C¯Dt 是一个3元[2t−1(mt)+1,m] 线性码。(1)
C¯Dt 是LCD码当且仅当2t−1(m−1t−1)≡2(mod3) 且m≢1(mod3) 或2t−1(m−1t−1)≡1(mod3) 且m≢2(mod3) 。(2)
C¯Dt 不可能是自正交码。由定理2与定理3,类似可得如下结论。
定理4 设
m≥3 且2≤t≤m−1 ,则C⊥¯Dt 是一个3元[2t−1(mt)+1,2t−1(mt)+1−m,3] 线性码,当2t(mt)>3m−1−3 时,C⊥¯Dt 是最优码。例3 当
m=5 和t=3 。由定理3,码C¯Dt 是一个3元[41,5] 线性码。经MAGMA计算,C¯Dt 的最小距离为24,则码C¯Dt 是一个3元[41,5,24] 线性码。由定理4,C⊥¯Dt 码是一个3元[41,36,3] 最优码。例4 当
m=5 和t=4 。由定理3,码C¯Dt 是一个3元[41,5] 线性码。经MAGMA计算,C¯Dt 的最小距离为24,则码C¯Dt 是一个3元[41,5,24] 线性码。由定理4,C⊥¯Dt 码是一个3元[41,36,3] LCD最优码。3.3 定义集为
D≤t 的3元线性码令
D≤t=t∪i=1Dt⊆Fm3 ,则G≤t=[G1|G2|⋯Gt] ,其中Gi 是由Di 形成的m×[2i−1(m i)] 矩阵。由引理2,
Rank(G≤t)=m 。 设P(a,b)=20(a0)+21(a1)+⋯+2b(ab) (21) 由引理3
G≤tGT≤t=[G1|G2|⋯|Gt][G1|G2|⋯|Gt]T = t∑i=1GiGTi = (mij)m×m (22) 其中,
mii=P(m−1,t−1) ,mij = 0 ,i≠j 。 因此Rank(G≤tGT≤t)={0, P(m−1,t−1)≡0(mod3)m,P(m−1,t−1)≢0(mod3) (23) 由引理1
dimF3(CD≤tCTD≤t)={m,P(m−1,t−1)≡0(mod3)0, P(m−1,t−1)≢0(mod3) (24) 因此,如下结论成立。
定理5 设
m≥3 且2≤t≤m−1 ,则CD≤t 是一个3元[t∑i=12i−1(mi),m] 线性码。(1)
CD≤t 是自正交码当且仅当P(m−1,t−1)≡0(mod3) 。(2)
CD≤t 是LCD码当且仅当P(m−1,t−1)≢0(mod3) 。与定理2和定理4,类似可得如下结论。
定理6 设
m≥3 且2≤t≤m−1 ,则C⊥D≤t 是一个3元[t∑i=12i−1(mi),t∑i=12i−1(mi)−m,3] 线性码,当t∑i=12i(mi)>3m−1−1 时,C⊥D≤t 是最优码。例5 若
m=4 和t=2 ,则G≤t=(1000111111000000010012000011110000100012001200110001000012001212) (25) 由定理5,码
CD≤t 是一个3元[16,4] 线性码。经MAGMA计算,CD≤t 的最小距离为7,则码CD≤t 是一个3元[16,4,7] 线性码。由定理6,码C⊥D≤t 是一个3元[16,12,3] LCD最优码。3.4 定义集为
D≤t∪{1m} 的3元线性码令
¯D≤t=D≤t∪{1m} ,¯G≤t=[G≤t|1m] ,与第2节类似,可得¯G≤t¯G≤tT=[G1|G2|⋯|Gt|1m][G1|G2|⋯|Gt|1m]T=t∑i=1GiGTi+1m1Tm (26) 即
mii=P(m−1,t−1) + 1 。mij=1 ,i≠j 。由引理3
Rank(¯G≤t¯GT≤t)={1,当P(m−1,t−1)≡0(mod3);m−1,当P(m−1,t−1)≡1(mod3)且m≡2(mod3)或P(m−1,t−1)≡2(mod3)且m≡1(mod3);m,其他情形 (27) dimF3(C¯D≤t∩C⊥¯D≤t)={dimF3(C¯D≤t)−1,当P(m−1,t−1)≡0(mod3);1, 当P(m−1,t−1)≡1(mod3) 且 m≡2(mod3) 或 P(m−1,t−1)≡2(mod3) 且m≡1(mod3); 0, 其他 (28) 因此,可以得到以下结论:
定理7 设
m≥3 且2≤t≤m−1 ,C¯D≤t 是一个3元[1 + t∑i=12i−1(mi),m] 线性码。(1)
C¯D≤t 是LCD码当且仅当P(m−1,t−1)≡1(mod3) 且m≢2(mod3) 或P(m−1,t−1)≡2(mod3) 且m≢1(mod3) 。(2)
C¯D≤t 不可能是自正交码。与定理2和定理5类似,可得如下结论。
定理8 设
m≥3 且2≤t≤m−1 ,则C⊥¯D≤t 是一个3元[1 + t∑i=12i−1(mi),1 + t∑i=12i−1(mi)−m,3] 线性码。当t∑i=12i(mi)>3m−1−3 时,C⊥¯D≤t 是最优码。例6 当
m=4 和t=3 。由定理7,码C¯D≤t 是一个3元[32,4] 线性码。经MAGMA计算,C¯D≤t 的最小距离为20,则码C¯D≤t 是一个3元[33,4,20] 线性码。由定理8,码C⊥¯D≤t 是一个3元[33,29,3] LCD最优码。4. 比较
文献[14]4类合适的定义集构造了4类3元LCD码和自正交码,它们的参数分别为
[2t(mt),2t(mt)−m,2] ,其中1≤t≤m ;[2t(mt)+2m,2t(mt)+2m−m,2] ,其中1≤t≤m−1 ;[t∑i=12i(mi),t∑i=12i(mi)−m,2] (29) 其中,
1≤t≤m 和[t∑i=12i(mi)+2m,t∑i=12i(mi)+2m−m,2] ,其中1≤t≤m 。当
m≡4(mod5) 时,在定理2中,令t=i 。在文献[14]的定理3.6中,令t=i+1 且i 和m 满足i=4m−15 ,有24m−15−1(m4m−15)=24(m+1)5(m4(m+1)5) ,此时本文构造的码距离更大。当
(mi)=2m−12i−1−2m−i 时,在定理4中,令t=i 。在文献[14]的定理3.8中,令t=m−i 。有2i−1(mi)+1=2m−i(mm−i) ,此时本文构造的码距离更大。当
b∑i=12i(mi)=a∑i=b+12i(mi) 时,在定理6中,令t=a 。在文献[14]的定理3.10中,令t=b ,其中a>b 。有a∑i=12i−1(mi)=b∑i=12i(mi) ,此时本文构造的码距离更大。当
a∑i=b+12i(mi)−b∑i=12i(mi)=2m+1−2 时,在定理8中,令t=a 。在文献[14]的定理3.12中,令t=b ,其中a>b 。有1+a∑i=12i−1(mi)=b∑i=12i(mi)+2m (30) 此时本文构造的码距离更大。
文献[4]构造了3元
[n,n−k,3] 自正交码,其中n=4+9i 或n=9j ,Nk−1≤n≤Nk ,Nk=3k−13−1,k≥3 。当
2t−1(mt)≢0,4(mod9) 或2t−1(mt)≢3,8(mod9) 时,定理2和定理4构造出和文献[3]不同参数的码。当
t∑i=12i−1(mi)≢0,4(mod9) 或t∑i=12i−1(mi)≢3,8(mod9) 时,定理6和定理8构造出和文献[3]不同参数的码。5. 结束语
本文研究了3元LCD码和自正交码的构造。根据有限域
Fq 上线性码是LCD码和自正交码的充要条件,通过选择了4类合适的定义集构造出3元LCD码和自正交码,接着研究了这4类线性码的对偶码,得到一些3元最优码。下一步研究的问题是通过选择合适的定义集构造一般域上的自正交码。 -
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