1.   引言

随着移动通信业务需求的迅速增长，如何提高信息传输的频谱效率和能量聚集度已成为现阶段通信研究的热点问题^[1-3]。近年来，针对如何提高频谱效率和能量聚集度，一系列解决方案相继被提出：统一滤波多载波(Universal Filtered Multi-Carrier, UFMC)^[4]、广义频分复用(Generalized Frequency Division Multiplexing, GFDM)^[5]、基于椭圆球面波函数的多载波调制(Multi-Carrier Modulation based on Prolate Spheroidal Wave Functions, MCM-PSWFs)^[6,7]等。其中，相比于UFMC, GFDM, MCM-PSWFs将具有完备正交性、时域奇偶对称性和最佳时频能量聚集性等优良基础特性的PSWFs函数^[8,9]作为基础信号，具有信号波形设计灵活、高能量聚集性以及高系统频带利用率(Spectral Efficiency, SE)^[8]的优势，非常符合下一代通信系统对能量聚集度的需求，具有巨大的应用潜力，极具有应用前景^[6,7]。

为进一步提升MCM-PSWFs的系统频带利用率，研究团队将索引调制技术(index modulation)^[10]引入MCM-PSWFs，提出了基于信号分组优化的PSWFs多载波调制方法(Multi-Carrier Modulation based on PSWFs with Signal Grouping Optimization, MCM-PSWFs-SGO)^[11]。该方法首先对PSWFs信号进行分组优化，再利用信号索引、脉冲幅度调制两个维度进行信息映射，充分发挥了索引调制技术能够大幅提高信息传输频谱效率的特点，又兼具PSWFs函数信号波形设计灵活、高能量聚集性的优势，具有高能量聚集度、高频谱效率的优点。尽管如此，由于部分未被激活的子载波没有用来传递信息，MCM-PSWFs-SGO仍有部分频谱资源可进一步被利用，这在一定程度上限制了其系统频带利用率的提升。其后，研究团队又引入了双模索引调制的思想，提出了双模PSWFs多载波索引调制解调方法(Multi-Carrier index Modulation based on PSWFs with Dual-Mode, DM-MCM-PSWFs)^[12]，该方法将MCM-PSWFs-SGO中保持静默的子载波加以利用，传输由第2星座图映射的调制符号，在不改变峰均功率比和能量聚集度的前提下，以牺牲部分复杂度为代价，有效提升了系统频带利用率和大信噪比下的误码性能。但是，无论是MCM-PSWFs-SGO还是DM-MCM-PSWFs，由于其信号索引方案维度的限制，只对子载波数n进行了1次排列组合的运算，系统频带利用率仍有提升空间。2017年，华南理工大学Wen等人^[13]提出了多模索引调制技术(Multiple-Mode Orthogonal Frequency Division Multiplexing with Index Modulation, MM-OFDM-IM)，其使用n个星座图的阶乘作为信号索引方案，能够使调制符号的排列组合数最大化，大幅提升系统频带利用率。但该方法仍然存在提升空间：若不使用I/Q支路分别传输信息，能够保证误码性能不损失太多，但系统频带利用率提升有限；若使用I/Q支路分别传输信息，利用脉冲幅度调制(Pulse Amplitude Modulation, PAM)方式进行调制符号映射，虽然能够大幅提升系统的频带利用率，但随着n的增大，MM- OFDM -IM的误码性能在高斯白噪声信道下会受到较大的影响。

因此，如何改变原有的双模信号索引方案，拓展信号索引维度，能够在达到频带利用率进一步提升的同时，尽可能减小随着子载波数n的增大所导致的由于最小欧氏距离((Minimum Euclidean Distance, MED)大幅减小而带来的误码性能的急剧恶化，使多模索引调制的思想在加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise, AWGN)信道下能够被更好地运用，实现AWGN信道下更优系统频带利用率提升和更少误码性能损失，这对基于PSWFs的多载波索引调制的发展有着重要的意义。

本文提出一种基于优化多重索引的椭圆球面波函数多载波索引调制解调方法(Multi-Carrier index Modulation based on Prolate Spheroidal Wave Functions with Better multIple-Mode, BIM-MCM-PSWFs)。在原有利用双星座图映射的DM-MCM-PSWFs的基础上引入由更外围星座点组成的第3星座图，进一步增加调制符号的组合数，在子载波数n较大的情况下，以少量牺牲误码性能和系统复杂度为代价，对频带利用率进行进一步的提高。

2.   BIM-MCM-PSWFs调制解调与检测方法

DM-MCM-PSWFs系统频带利用率提升受限的原因在于，在进行信号索引方案的设计过程中，仅对每组子载波进行了1次排列组合的运算，频谱效率尚有提升空间。MM-OFDM-IM存在的问题在于，由于每组子载波的信号索引方案由与子载波数量相等个数的星座图的全排列组成，在每组子载波数较大的情况下，引入过多的星座点，导致最小欧氏距离大幅减小，虽然提高了系统频带利用率，但在AWGN信道下，误码性能急剧恶化，并不能得到频带利用率和误码性能的更优权衡。因此，如何在不引入过多星座点的基础上，增加调制符号的组合数，是以更小的误码性能的牺牲，进一步提升DM-MCM-PSWFs系统频带利用率的关键。

2.1   BIM-MCM-PSWFs调制方法

图1(a)给出了BIM-MCM-PSWFs发射端原理框图。该方法引入第3星座图，首先利用第3星座图对一个子载波进行调制符号的映射，再利用剩余两个星座图对剩余子载波进行调制符号的映射，同时，采用I/Q两个支路进行分别传输，且采取相同的信号索引结构。

图 1  BIM-MCM-PSWFs原理框图

下载: 全尺寸图片 幻灯片

考虑到PSWFs信号分组数、每组信号路数、调制星座图进制数以及激活信号路数等参数直接决定系统整体性能，需要依据可用时频资源大小、系统整体性能需求，进行整体的设计和选择^[11]。为便于分析，假设可用时宽为$T\left( {\text{s}} \right)$、带宽为$B\left( {{\text{Hz}}} \right)$，信号分组数$g$、每组PSWFs信号路数为n、每组1次选择的信号路数为$k$，每组2次选择的信号路数为m，3种星座图的调制阶数相同，且均为$M$。

在发射端，首先进行PSWFs信号的分组、选择过程，该过程与文献[11]中处理过程相同。首先，针对相同参数、不同阶 PSWFs 信号在时域和频域完全重叠，信号能量聚集性随着信号阶数的增加而不断降低的特点^[1]，为保证调制信号具有高能量聚集性，优选前 c−l 阶PSWFs 信号用于信息传输，并将其分为组数 g = $\left\lfloor {({{BT}} - l)/{{n}}} \right\rfloor$ 组，c = BT(Hz·s)为 PSWFs 信号时间带宽积，l 为正整数；其次，基于PSWFs函数的PSWFs 波形设计简单灵活的优良特性，通过改变PSWFs的相关参数可以产生不同带宽、不同频率范围、不同时宽、不同时间宽度的 PSWFs 信号。因此，在实际应用中，可以根据可用的时频资源，利用PSWFs的积分方程直接产生与时频资源相对应的 PSWFs 信号^[11]。下面对信号索引及调制符号映射过程进行详细阐述。

如图1(a)所示，将输入2j(bit)待传信息比特平均分为g组，每组包含${p{'}}{\text{ = }}2j/g{\text{ = }}{p_{{\rm{I}}} } + {p_{{\rm{Q}}} }({\rm{bit}})$信息，其中${p_{\rm{I}}} = {p_{{\rm{Q}}} } = p$, ${p_{\rm{I}}} = {p_{\alpha ,{{\rm{I}}} ,1}} + {p_{\alpha ,{{\rm{I}}} ,2}}$, ${p_{{\rm{Q}}} } = {p_{\alpha ,{\rm{Q}},1}} + {p_{\alpha ,{\rm{Q}},2}}$, $\alpha \in [1,g]$，${p_{\alpha ,{{\rm{I}}} /{{\rm{Q}}} ,1}}$为I/Q支路信号索引部分携带信息量，${p_{\alpha ,{{\rm{I}}} /{{\rm{Q}}} ,2}}$为3个星座图产生的调制符号携带的信息量；而后，分别进行3个星座图的调制与比特信息映射，生成调制符号，并产生BIM-MCM-PSWFs调制信号。

(1)星座图设计与比特信息映射：与DM-MCM-PSWFs不同，BIM-MCM-PSWFs将原有的双星座图调制方法变更为3星座图调制，首先由星座点位于最外围的第3星座图对每组PSWFs信号路数n中的1个进行调制符号映射，再由其他两个星座图对剩余子载波进行调制符号映射，如图2所示。为保证接收端能够顺利解调和检测出信号索引比特所携带的信息，需对选取的3个星座图有所区分，因此，选择的3个星座图还必须满足互不重叠的关系。值得注意的是，只要满足所提方法对星座图的要求，任意的3个星座图均可作为选取的对象，但根据不同星座图的星座点分布与最小欧氏距离的差异，星座图的选取不同也会导致系统性能发生变化。因此，在对星座图进行选取时，应以星座点间最小欧氏距离最大化为出发点，对星座图进行择优选取。为便于仿真分析，本文仅给出一种星座图选取方式，即为了方便分析比较，本文采取了与对比方法“基于信号分组优化的PSWFs多载波调制方法”及“双模椭圆球面波多载波调制解调方法”类似的特殊的PAM星座图，如图3所示。

图 2  BIM-MCM-PSWFs与DM-MCM-PSWFs映射原理对比

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图 3  BIM-MCM-PSWFs调制符号加载过程

下载: 全尺寸图片 幻灯片

下面对所提方法具体调制流程进行说明。首先，依据每组PSWFs信号路数$n$、激活PSWFs信号路数$k$，设计BIM-MCM-PSWFs信号索引方案^[10]。则I/Q支路信号索引与由两个星座图分别产生的调制符号携带的信息量为

其中， ${p_{\alpha ,{{\rm{I}}} /{{\rm{Q}}} ,2}}$为3个星座图产生的调制符号携带的信息量，${p_{\alpha ,{{\rm{I}}} /{{\rm{Q}}} ,{{\rm{A}}} ,2}},{p_{\alpha ,{{\rm{I}}} /{{\rm{Q}}} ,{{\rm{B}}} ,2}},{p_{\alpha ,{{\rm{I}}} /{{\rm{Q}}} ,{{\rm{C}}} ,2}}$分别表示由第1星座图和第2星座图以及第3星座图所生成调制符号携带的信息量，n为每组信号路数，$k$为每组1次选择的信号路数，m为每组2次选择的信号路数，$\lfloor \cdot\rfloor$为向下取整。

从而，信号索引部分依据${p_{\alpha ,{{\rm{I}}} ,1}},{p_{\alpha ,{{\rm{Q}}} ,1}}$ ，从输入信息比特分为的g个子块中的第$\alpha$子块所对应的n个PSWFs信号中，选择$n - k$个加载第3星座图产生的调制符号，同时由剩余的k个PSWFs信号加载剩余两个星座图产生的调制符号，其中$k = n{{ - }}1$。其中，PSWFs信号索引可以表示为

其中，${I_{{{\rm{I}}} /{\rm{Q}},\alpha ,\gamma }}$表示第$\alpha$个子块，编号为$\gamma \in [1,n]$的PSWFs信号的信号索引。鉴于I/Q支路采用相同的信号索引结构，故以I支路为例，表1给出了n=4, k=3, m=2时BIM-MCM-PSWFs的映射方案。

表 1  n=4, k=3, m=2时BIM-MCM-PSWFs的一种映射方案

比特信号	信号索引	子载波映射
[0,0,0]	{3,1,2,2}	{$s_{\rm I} ^{\rm C} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm A} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (2)$}
[0,0,1]	{3,2,1,2}	{$s_{\rm I} ^{\rm C} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm A} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (2)$}
[0,1,0]	{1,3,2,2}	{$s_{\rm I} ^{\rm A} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm C} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (2)$}
[0,1,1]	{2,3,1,2}	{$s_{{\rm{\rm I}}} ^{{\rm{\rm B}}} (1)$,$s_{{\rm{\rm I}}} ^{{\rm{\rm C}}} (1)$,$s_{{\rm{\rm I}}} ^{{\rm{\rm A}}} (1)$,$s_{{\rm{\rm I}}} ^{{\rm{\rm B}}} (2)$}
[1,0,0]	{1,2,3,2}	{$s_{\rm I} ^{\rm A} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm C} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (2)$}
[1,0,1]	{2,1,3,2}	{$s_{\rm I} ^{\rm B} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm A} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm C} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (2)$}
[1,1,0]	{1,2,2,3}	{$s_{\rm I} ^{\rm A} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (2)$,$s_{\rm I} ^{\rm C} (1)$}
[1,1,1]	{2,1,2,3}	{$s_{\rm I} ^{\rm B} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm A} (1)$,$s_{\rm I} ^{\rm B} (2)$,$s_{\rm I} ^{\rm C} (1)$}

下载: 导出CSV 

| 显示表格

(2)调制信号产生：在调制信号产生部分，I/Q支路信息序列${p_{\alpha ,{{\rm{I}}} ,2}}$, ${p_{\alpha ,{{\rm{Q}}} ,2}}$经3星座图调制产生的调制符号可表示为

其中，$\lambda ,\beta ,\nu$分别为3个星座图对应调制符号的标号，其中$\lambda {\text{ = 1,2,}} \cdots ,k - m$, $\beta {\text{ = 1,2,}} \cdots {\text{,}}m$且$\nu = 1,2, \cdots , n - k$，$s_{{\rm{I/Q}}}^{\rm{C}}(1)$由第3星座图定义，$s_{\rm{I}}^{\rm{A}}(\lambda ),s_{\rm{I}}^{\rm{B}}(\beta ), s_{\rm{Q}}^{\rm{A}}(\lambda ), s_{\rm{Q}}^{\rm{B}}(\beta )$分别由剩余的两个星座图定义。图3给出了3星座图的调制符号加载流程，其中，${{{s}}_{\alpha ,{\rm{I}}/{{\rm{Q}}} ,{\rm{A}}}}, {{{s}}_{\alpha ,{\rm{I}}/{\rm{Q}},{\rm{B}}}},{{{s}}_{\alpha ,{\rm{I}}/{\rm{Q}},{{\rm{C}}} }}$分别表示I/Q支路内3个星座图生成调制符号的集合。

进而，子块调制符号产生第$\alpha$ 个子块的调制符号${{\mathbf{X}}_\alpha } \in {{\mathbf{C}}^{n \times {\text{1}}}}$，如图3所示，即

其中，${x_{{{\rm{I}}} /{\rm{Q}},\alpha }}(\gamma ) \in S$, $\gamma \in [1,n]$。最后，产生全部$g$个子块、$ng$支路PSWFs信号对应的调制符号${\mathbf{X}}{\text{ = [(}}{{\mathbf{X}}_1}{{\text{)}}^{{\rm{T}}} }{\text{,(}}{{\mathbf{X}}_2}{{\text{)}}^{{\rm{T}}} }{\text{,}} \cdots {\text{,(}}{{\mathbf{X}}_g}{{\text{)}}^{{\rm{T}}} }{{\text{]}}^{\rm{T}}}$，生成BIM-MCM-PSWFs调制信息，即

其中，${\varphi _i}(t)$为第$i$阶PSWFs信号。

2.2   BIM-MCM-PSWFs调制信号的解调与检测方法

图1(b)给出了调制信号的解调与检测的原理框图。与DM-MCM-PSWFs相同，采取基于极大似然(Maximum Likelihood, ML)^[12]的信号索引检测方法，对所有可能的信号索引方案进行遍历，以最小化接收信号与样本信号之间的欧氏距离，恢复出信号索引方式，即

其中，${D_{{{\rm{I}}} /{\rm{Q}},\alpha ,{k_i}}}$为$\left\{ {{{\hat I}_{{{\rm{I}}} /{\rm{Q}},\alpha ,{k_i}}},{{\hat s}_{{\rm{I}}/{\rm{Q}},\alpha ,{k_i}}}} \right\}$的欧氏距离，$y \in {{\mathbf{C}}^{ng \times 1}}$为接收端不同PSWFs信号对应的调制符号。进而，根据恢复出的信号索引方案，在对应的子载波映射位置上分别进行3个星座图的解调，最后恢复出接收端调制信号所携带的全部比特信息。

值得注意的是，由于所提方法需要进行额外星座图的解调与检测处理，其调制信号解调与检测的计算复杂度将高于DM-MCM-PSWFs和采用基于顺序统计量的索引调制信号检测方法^[14]的MCM-PSWFs-SGO，该部分问题将于第3节系统性能分析的内容中进行讨论。

3.   系统性能分析

前期研究团队已经对双模PSWFs多载波索引调制方法进行了分析，相对于基于PSWFs的正交多载波调制方法，双模PSWFs多载波索引调制方法具有更优的系统误码性能与频带利用率。因此，本节从系统频带利用率、系统误码性能、信号索引检测复杂度3个方面，重点分析所提方法与双模PSWFs多载波索引调制方法、基于信号分组优化的PSWFs多载波调制方法的性能差异。

3.1   系统频带利用率分析

假设采用的PSWFs信号时间带宽积为$c{\text{ = }}B/F$，根据PSWFs分组优化方法^[10]，当传输码元周期个数为$Q$时，不同调制方法的系统频带利用率可统一表示为

其中，$T$为单个码元周期调制信号时宽，${m_e}$为单个码元周期调制符号携带信息量，F为子载波间隔，且$T = 1/F$。对于不同的调制方法，${m_e}$分别为

其中，${m_{e,1}}$, ${m_{e,2}}$, ${m_{e,3}}$分别代表DM-MCM-PSWFs、所提方法、MCM-PSWFs-SGO单个码元周期调制符号携带信息量。

(1)与双模PSWFs多载波索引调制方法(DM-MCM-PSWFs)相比：DM-MCM-PSWFs的系统频带利用率由$c - l,M,n{\text{,}}k$共同决定，而所提方法的系统频带利用率则由$c - l,M,n{\text{,}}k,m$共同决定，比DM-MCM-PSWFs多进行了1次信号索引。因此，当$M$相同时，根据式(8)，所提方法的系统频带利用率将大于DM-MCM-PSWFs。$n = {\text{9}},k = {\text{8,}} m = 4$时，以BER牺牲了0.70 dB为代价，SE提升了20.1%，如表2所示。

表 2  不同多载波调制方法系统频带利用率

调制方法	g	n	k	m	SE(bit/(s·Hz))	Eb/N0(dB)	$\rho$(%)
BIM-MCM-PSWFs	10	9	8	4	3.71	12.93	/
DM-MCM-PSWFs	10	9	4	/	3.09	12.23	20.1
MCM-PSWFs-SGO-2PAM	9	10	7	/	2.41	11.05	53.9
MCM-PSWFs-SGO-4PAM	10	9	4	/	2.89	14.69	28.4

下载: 导出CSV 

| 显示表格

(2)与基于信号分组优化的椭圆球面波多载波调制解调与检测方法(MCM-PSWFs-SGO)相比：MCM-PSWFs-SGO的系统频带利用率由$c - l, M,n{\text{,}}k$共同决定，而所提方法的系统频带利用率则由$c - l, M, n{\text{,}}k,m$共同决定。因此，当$M$相同时，根据式(8)，所提方法的系统频带利用率将大于MCM-PSWFs-SGO。$n = {\text{9}},k = {\text{8,}}\,m = 4$时，以BER牺牲了1.88 dB为代价，SE提升了53.9%，如表2所示。当MCM-PSWFs-SGO采用更高阶的星座图进行调制符号映射时，在对参数进行优选的情况下，所提方法能够取得频带利用率与误码性能的双重提升。当M=4时，SE与BER分别提升了28.4%和1.76 dB。

表2给出了带宽为$B{\text{ = 1}}{\text{.44}}\;{{\rm{MHz}}}$，频率间隔为$F{\text{ = 15k}}\; {\text{Hz}}$, ${{\rm{BER}}} = {10^{ - 5}}$时不同参数条件下，3种调制方法的系统频带利用率对比。其中，$l{\text{ = 4}}$, $\rho$表示相比于另外两种调制方法，所提方法对系统频带利用率的提升。

此外，前文中提到，PSWFs载波信号的选择过程也是本文所提方法的关键环节，在对载波信号进行优选的情况下，能够获得最优的系统频带利用率，为更详细地体现PSWFs载波信号选取的不同对本文所提方法系统频带利用率的影响，表3给出了在相同带宽$B{\text{ = 1}}{\text{.44}}\;{{\rm{MHz}}}$，相同频率间隔$F{\text{ = 15}}\; {\text{kHz}}$情况下不同PSWFs载波信号选取对所提方法系统频带利用率的影响。图4给出了两种载波信号选取情况下对应的功率谱。

表 3  不同多载波调制方法系统频带利用率

调制方法	选取PSWFs信号阶数	能量聚集度(%)	g	n	k	m	SE(bit/(s·Hz))
BIM-MCM-PSWFs	前c-l 阶	99.99	10	9	8	4	3.70
BIM-MCM-PSWFs	后c-l 阶	99.90	10	9	8	4	3.38

下载: 导出CSV 

| 显示表格

图 4  BIM-MCM-PSWFs调制信号功率谱

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.2   系统误码性能分析

鉴于MED能够反映调制方法的误码性能，本节选用MED对不同调制方法的系统误码性能进行分析。值得注意的是，由于所提方法使用了3个星座图，且第3个星座图由外围星座点所组成，其MED略大于剩余两个星座图的MED，并且由于在每组子载波中，只有少量子载波传输由第3星座图映射的调制符号，其MED对系统误码性能影响很小，故其MED在此处不参与讨论。图5给出了未进行信道编码情况下的不同调制方法系统误码性能。其中，BIM-MCM-PSWFs采用如图3所示的星座图。当每比特信息对应的能量为${{{E_{\rm{b}}}}}$时，不同调制方法的MED可表示为

图 5  不同调制方法系统误码性能

下载: 全尺寸图片 幻灯片

其中，$d_1^{\text{2}}$, $d_2^{\text{2}}$, $d_3^{\text{2}}$分别为DM-MCM-PSWFs、所提方法、MCM-PSWFs-SGO的MED，${M_1}$, ${M_2}$, ${M_3}$分别为DM-MCM-PSWFs、所提方法、MCM-PSWFs-SGO的调制阶数。

(1)与双模PSWFs多载波索引调制方法(DM-MCM-PSWFs)相比：由式(9)可知，所提方法与DM-MCM-PSWFs的MED比值为

由式(11)可知，所提方法的最小欧氏距离要小于DM-MCM-PSWFs，但随着n的增加，二者的最小欧氏距离逐渐逼近，在n较大的情况下，二者的最小欧氏距离几乎相同，这表明所提方法能够以较小的BER牺牲为代价，获得系统频带利用率的提升。图5给出了不同调制方法系统误码性能，可以看出子载波数n=9的性能要好于n=8的性能，在BER=10^–5时，以更小的信噪比牺牲换取了更多的系统频带利用率的提升。如当BER=10^–5, n=9时，所提方法相比于DM-MCM-PSWFs，误码性能牺牲了0.70 dB，系统频带利用率提升了20.1%，如图5(b)所示。

(2)与基于信号分组优化的椭圆球面波多载波调制(MCM-PSWFs-SGO)相比：由式(9)可知，所提方法与MCM-PSWFs-SGO的MED比值为

同样，为保证MCM-PSWFs-SGO与所提方法的系统频带利用率相同，MCM-PSWFs-SGO选取4PAM为星座图，并且令BIM-MCM-PSWFs中的k=n–1，则式(11)可以化简为

由式(12)可以得出，在n,k较大，即高频谱效率的情况下，所提方法的MED大于MCM-PSWFs-SGO，即拥有更优的误码性能。如当BER=10^–5, n=9时，所提方法相比于MCM-PSWFs-SGO误码性能和系统频带利用率分别提升了1.76 dB, 28.4%，如图5(b)所示。

除重点分析和对比了所提方法与DM-MCM-PSWFs及MCM-PSWFs-SGO的频带利用率和误码性能以外，图5(b)还给出了选取后c-l阶PSWFs函数作为载波信号时的误码性能，结合3.1节中对该情况下频带利用率的分析可知，PSWFs载波信号的选取对系统误码性能的影响很小，对系统频带利用率的影响较大，因此，为取得更优的系统整体性能，对PSWFs信号进行优选是所提方法的核心基础。

图5(c)、图5(d)还分别给出了所提方法与基于广义信号索引的椭圆球面波函数多载波调制解调方法(MCM-PSWFs with GIM, MCM-PSWFs-GIM)^[15]及广义 OFDM-IM(Generalization OFDM-IM, OFDM-GIM)^[16]的频带利用率和误码性能的对比，从图中可以看出，相较于MCM-PSWFs-GIM，所提方法以牺牲部分误码性能为代价，换取了频带利用率的大幅提升，在BER=10^–5时，以牺牲了0.75 dB误码性能为代价，系统频带利用率提升了30.2%；相较于OFDM-GIM，所提方法在大信噪比情况下获得了误码性能和频带利用率的双重提升，在BER=10^–5时，误码性能和系统频带利用率分别提升了1.0 dB，30.2%。

3.3   系统信号索引检测复杂度分析

现对比所提方法与DM-MCM-PSWFs的信号索引检测复杂度。表4给出了带宽为$B{\text{ = 1}}{\text{.44}}\;{{\rm{MHz}}}$，频率间隔为$F{\text{ = 15}}\; {\text{kHz}}$的不同参数条件下，所提方法与DM-MCM-PSWFs两种调制方法的信号索引检测乘法复杂度，其中$l{\text{ = 4}}$。

表 4  信号索引检测乘法运算量

调制方式	运算量	n	k	m	乘法次数(B=1.44 MHz)
DM-MCM-PSWFs-ML	$O\left(ng{2^{\left\lfloor { { {\log }_{\text{2} } }C_n^k} \right\rfloor } }\right)$	4	2	/	368
		9	4	/	5760
BIM-MCM-PSWFs-ML	$O\left(ng\left({2}^{\lfloor {\mathrm{log} }_{\text{2} }{C}_{n}^{k}\rfloor }\text{+}{2}^{\lfloor {\mathrm{log} }_{\text{2} }{C}_{k}^{m}\rfloor }\right)\right)$	4	3	2	552
		9	8	4	6480

下载: 导出CSV 

| 显示表格

当两种调制方式均使用ML对信号索引进行检测时，所提方法的计算复杂度略高于DM-MCM-PSWFs。因此，结合前两节关于3种调制方法频带利用率与误码性能的分析可知，所提方法是以较高的计算复杂度和部分误码性能换取了系统频带利用率的提升。

4.   结束语

本文提出基于优化多重索引的椭圆球面波函数多载波索引调制解调方法，在原有的利用双星座图映射的DM-MCM-PSWFs的基础上引入由更外围星座点组成的第3星座图，进一步增加调制符号的组合数，在n较大的情况下，实现了系统频带利用率和大信噪比下的误码性能的双重提升。虽然仍存在较高的计算复杂度，但这是当前硬件条件和计算能力可以承受的。相比于DM-MCM-PSWFs, MCM-PSWFs-SGO，本文具有更优的系统整体性能，有望为下一代通信系统提供更加灵活、高效的调制方法，实现更高频谱效率与能量聚集度的信息传输。

值得注意的是，本方法仍有进一步提升的空间，如何选取最优的星座图，在对SE的提升不变的情况下，使损失的BER进一步降低，是本文下一步研究的重点。此外，由于本方法在低信噪比下的误码性能仍有提升的空间，因此，如何对信号索引检测进行优化，进一步提升系统整体误码性能，并且结合具体场景，分析系统性能，也是后续将要进行的内容之一。