1.   引言

非正交多址接入(Non-Orthogonal Multiple Access, NOMA)是未来多址接入技术的一个典范，它通过向用户分配非正交资源来实现多用户的接入，即具有不同信道条件的多个用户可以在同一时间和频率下被同时服务，因此能够实现更高的频谱效率和更多的用户接入^[1,2]。先进的多用户检测技术也能以合理的计算复杂度抑制频谱共享引起的多址干扰^[3]。

传统的同步NOMA在过去几年得到了广泛研究。文献[4]证明了NOMA相对于正交多址接入(Orthogonal Multiple Access, OMA)的优势。文献[5]对非理想连续干扰消除(Successive Interference Cancellation, SIC)下上行NOMA系统的性能进行了分析。文献[6]探究了下行NOMA系统的功率分配问题。文献[7]给出了部分信道状态信息(Channel State Information, CSI)下NOMA系统的性能。文献[8]分析了认知无线电NOMA网络中用户间通信的安全性能。近年研究表明，在叠加信号上引入相对时延的异步NOMA(Asynchronous NOMA, ANOMA)具有比传统同步NOMA更大的系统吞吐量。文献[9]研究了多用户传输场景下的异步传输和过采样技术，得到过采样技术能够提供更大采样分集的结论。文献[10]对下行ANOMA系统进行了性能分析，得到了最优的异步时延和可达速率域。文献[11]对两用户的上行ANOMA系统进行了分析，不仅得到最优的异步时延，还研究了两种定时同步误差对ANOMA系统的影响。

然而，目前关于NOMA的研究均局限在适用于低功效线性功率放大器的线性调制，比如相移键控(Phase Shift Keying, PSK)和正交振幅调制(Quadrature Amplitude Modulation, QAM)，这对功效有较高要求的无线通信系统并不是最优选择，比如航空遥测系统和卫星通信系统。连续相位调制(Continuous Phase Modulation, CPM)是一种极具吸引力的非线性调制方案，其信号具有恒定的包络和更加紧凑的频谱，且前者允许其使用高功效的非线性功率放大器^[12]。最小频移键控类(Minimum Shift Keying type, MSK-type)调制是CPM的子类，它们的调制指数为0.5且具有不同的成型脉冲，已广泛应用于军事和卫星通信，比如航空遥测波形和全球导航定位波形^[13,14]。此外，对于实际系统而言，虽然接收端可以通过链路训练来获得CSI，但考虑到不准确的信道估计、量化误差等因素的影响，接收端并不能得到完全的CSI^[15]。

鉴于以上分析，本文基于MSK-type调制，提出一种不完全CSI下的非线性波形NOMA系统，分别采用过采样和匹配滤波技术对两用户的上行异步和同步系统进行了建模。不同于文献[11]中对线性波形NOMA系统的分析，分别推导出完全或不完全CSI下系统吞吐量达到最大时的归一化时延和发射功率。数值仿真结果表明了完全与不完全CSI下系统吞吐量与帧长、响应长度、波形以及频率脉冲等系统参数的关系。

2.   MSK-type调制

初始相位为零的二进制CPM信号在$nT \le t \le \left( {n + 1} \right)T$时间间隔内的等价基带表达式可以表示为^[16]

其中，$q\left( t \right)$为相位脉冲函数，定义为频率脉冲函数$g\left( t \right)$在响应长度$LT$内的积分，即$q\left( t \right) = \displaystyle\int_0^t {g\left( t \right)} {\rm{d}}t, 0 \le t \le LT$。$h$为调制指数，${P_s}$为信号功率，$T$为符号周期。${\rm{j}}$为复系数，即${\rm{j}}= \sqrt { - 1}$。${\boldsymbol{d}} = \left\{ {{d_i},i \in \mathbb{Z}} \right\}$表示二进制符号的集合，即${d_i} \in \left\{ {1, - 1} \right\}$。此外，响应长度为$LT$的矩形和升余弦频率脉冲函数可以分别记为LREC和LRC。

基于劳伦特分解，二进制CPM信号可以表示为^[16]

其中，${c_k}\left( t \right)$表示第$k$个等效调幅脉冲，${\beta _{k,n}}$表示与${d_i}$有关的复系数。因为$k = 0$时的主要调幅脉冲几乎包含了信号的所有能量，因此通常可以用${c_0}\left( t \right)$来近似代替整个信号，那么近似的CPM信号可以表示为

其中，${c_0}\left( t \right)$的响应长度为$\left( {L + 1} \right)T$，表示为${s_0}\left( t \right)$及其延迟的乘积，即${c_0}\left( t \right) = \displaystyle\prod\nolimits_{n = 0}^{L - 1} {{s_0}\left( {t + nT} \right)} , 0 \le t \le \left( {L + 1} \right)T$。${s_0}\left( t \right)$是组成${c_0}\left( t \right)$的基本信号脉冲，表示成相位脉冲函数的形式，即^[16]

对于调制指数为0.5的MSK-type信号，复系数${\beta _{0,n}} = {\rm{j}}{\beta _{0,n - 1}}{d_n}$，因此近似的MSK-type信号可以表示为偏移正交相移键控(Offset Quadrature Phase Shift Keying, OQPSK)的形式，即^[13,17]

其中，${u_n}$表示信号的实或复系数，在$n$为奇数和偶数时分别取${\rm{j}}$和1。${b_n}$为差分编码符号，可以通过二进制符号${d_n}$的差分编码获得，即${d_n} = {\left( { - 1} \right)^n}{b_n}{b_{n - 1}}$。特别地，利用高斯滤波器对MSK-type信号进行预调制滤波可以得到高斯滤波最小频移键控(Gaussian Filtered Minimum Shift Keying, GMSK)信号，它具有更加光滑的频谱和更窄的频带，其中高斯滤波器的带宽由时间带宽常数$BT$决定^[13,16]。

3.   系统描述

3.1   信道模型

对于存在不完全CSI的信道，可以建模基站和用户$i$之间的信道参数为^[18,19]

其中，${h_i}$和${\stackrel{⌢}{h}}_{i}$分别表示基站和用户$i$之间的实际信道参数和估计信道参数。${\varepsilon _i}$表示基站和用户$i$之间信道的估计误差，且${\varepsilon _i}$服从均值为零和方差为$\sigma _i^2$的复高斯分布，即${\varepsilon _i} \sim CN\left( {0,\sigma _i^2} \right)$。这里假定信道估计参数和信道估计误差互不相关，这是信道估计参数和信道估计误差的一般性假设，即两者可以分别任意设置^[18,19]。

3.2   系统模型

本文考虑如图1所示的2个用户和1个基站的上行NOMA系统，两个用户的信号以相同或不同的时间到达基站，基站能够通过下行链路来协调两个用户到达基站的时间偏移^[11,20]。对于以MSK-type信号作为基带信号的NOMA系统而言，基站在$t$时刻接收到的信号可以表示为

图 1  2个用户和1个基站的上行NOMA系统

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其中，${P_i}$表示来自用户i的发射功率。${h_i}$表示基站与用户$i$之间的实际信道参数，假定在每帧符号内保持不变，即信道建模为平坦衰落信道。$u_n^i$表示用户$i$的实或复系数，即$u_n^i \in \left\{ {1,{\rm{j}}} \right\}$。$b_n^i$表示用户$i$的第$n$个差分符号，且发送符号间相互独立。${\tau _i}$表示用户i的信号到达基站的归一化时延，即$0 \le {\tau _i} < 1$，令$\tau = {\tau _2} - {\tau _1}$表示用户1和2的信号到达基站的相对归一化时延。$w\left( t \right)$表示服从均值为零和方差为${\sigma ^2}$的复高斯分布。

为充分利用异步系统的采样分集，基站采用过采样技术对接收信号进行采样^[9]，图2表示异步系统在$b_n^i = {b_n}$, $L = 1$以及$\tau \ge 0$下的过采样接收过程，即基站分别以两个用户的信号时间为基准对接收信号进行匹配滤波，${y_1}\left( n \right)$和${y_2}\left( n \right)$分别表示以用户1和用户2的信号时间为基准进行匹配滤波得到的第$n$个采样值。对于响应长度为$LT$的异步系统，以用户$i$的信号时间为基准进行匹配滤波得到的第$n$个采样值可以表示为

图 2  全响应MSK-type信号下的过采样接收示意图

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因此过采样接收等价于接收脉冲与本地脉冲的互相关，又对于响应长度为$LT$的异步系统，主要调幅脉冲的响应长度为$\left( {L + 1} \right)T$，因此匹配接收的观察窗口长度也为$\left( {L + 1} \right)T$。

根据式(7)和式(8)，接收脉冲与本地脉冲的互相关可分为两种情况，即接收脉冲与本地脉冲是否匹配，且两种情况下得到的互相关系数可以分别表示为

和

其中，${c_1}$表示接收脉冲与本地脉冲匹配的互相关系数的集合，${c_2}$表示接收脉冲与本地脉冲不匹配的互相关系数的集合，式(10)中的$i \ne k$，且如果${\tau _i} > {\tau _k}$，则${\phi _0} = 1$和${\phi _1} = 0$，反之，则${\phi _0} = 0$和${\phi _1} = 1$。

假定每个用户的传输块长度都为$NT$，那么采用过采样技术得到的接收向量总共$2N$个，且接收向量的矩阵形式可以表示为

其中，接收向量表示为${\boldsymbol{Y}} = \left[ {y_1}\left( 1 \right),{y_2}\left( 1 \right), \cdots ,{y_1}\left( N \right), {y_2}\left( N \right) \right]^{\rm{T}}$，由实际信道参数和发射功率组成的矩阵表示为$2N \times 2N$的对角阵，即${\boldsymbol{H}} = {\rm{diag}}\left\{ \sqrt {2{P_1}} {h_1}, \sqrt {2{P_2}} {h_2}, \cdots , \sqrt {2{P_1}} {h_1}, \sqrt {2{P_2}} {h_2} \right\}$，决定信号实部或虚部的系数矩阵也表示为$2N \times 2N$的对角阵，即${\boldsymbol{U}} = {\rm{diag}}\left\{ {{\rm{j}},{\rm{j}},1,1,{\rm{j}},{\rm{j}}, \cdots } \right\}$，噪声向量表示为${\boldsymbol{W}} = {\left[ {{w_1}\left( 1 \right),{w_2}\left( 1 \right), \cdots ,{w_1}\left( N \right),{w_2}\left( N \right)} \right]^{\rm{T}}}$，差分符号向量表示为${\boldsymbol{B}} = {\left[ {b_0^1,b_0^2, \cdots ,b_{N - 1}^1,b_{N - 1}^2} \right]^{\rm{T}}}$，${\boldsymbol{R}}$表示互相关系数组成的互相关系数矩阵。

为便于分析且不失一般性，令${\tau _1} = 0$，那么$\tau = {\tau _2}$，则${\boldsymbol{R}}$中的第$\left( {i,j} \right)$项${R_{i,j}}$可以归纳为3种情况，即

其中，${\rho _i} \triangleq \rho \left( {iT} \right)$表示参数为$i$和具有偶函数特性的互相关系数，即${\rho _i} = \displaystyle\int_0^\infty {{c_0}\left( t \right){c_0}\left( {t - iT} \right)} {\rm{d}}t$。又${c_0}\left( t \right)$的响应长度为$\left( {L + 1} \right)T$，那么互相关系数的参数$i \in \left[ {0,L + 1} \right]$，即${\rho _i} = 0,i > L + 1$。根据式(12)，互相关系数矩阵中每行不为零的互相关系数最多为$4L + 3$个，即每个采样值中互相关系数的个数最多为$4L + 3$，随响应长度的增加而增多，即符号间干扰随响应长度的增加而增大。根据式(8)，可以有

因此噪声向量的协方差矩阵为${\sigma ^2}{\boldsymbol{R}}$，即噪声向量表现为零均值和${\sigma ^2}{\boldsymbol{R}}$的协方差矩阵。

通过设置$\tau = 0$，异步系统转化为同步系统，那么基站可以利用传统的匹配滤波来代替过采样技术，即令式(8)中的归一化时延为零就可以得到同步系统下的接收采样值，因此同步系统可以作为异步系统的一种特殊情况。在同步系统中，本地脉冲与接收脉冲的互相关与归一化时延无关，那么根据式(12)可以得到互相关系数的参数$i \in \left[ {0,L} \right]$，每个采样值中互相关系数的个数最多为$4L + 2$。

4.   性能分析

4.1   系统吞吐量

因为同步系统可作为异步系统$\tau = 0$的特殊情况，又根据式(11)可知两用户上行非线性波形NOMA系统的模型和多输入多输出系统的模型相同，因此可将其看作虚拟的多输入多输出系统，那么完全或不完全CSI下两用户上行非线性波形NOMA系统吞吐量就可以定义为^[10,16,18]

其中，${{\boldsymbol{I}}_{2N}}$表示大小为$2N$的单位阵，${\rm{det}}({\boldsymbol{v}})$表示取方阵${\boldsymbol{v}}$的行列式，bpcu表示每使用1次信道可以传输的比特数，即系统吞吐量的单位。式(14)中与信道参数有关的协方差矩阵${\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{H}}}$表现为对角阵，且对角元素表示为$2{P}_{k}{\left|{\stackrel \frown{h}}_{k}+{\varepsilon }_{k}\right|}^{2},k\in \left\{1,2\right\}$，因此式(14)定义的系统吞吐量即完全CSI下的系统吞吐量，特别地，令信道估计误差为零可以得到不完全CSI下的系统吞吐量。此外，考虑到一般情况或完全CSI下的信道估计误差服从复高斯分布，那么根据式(14)计算一次得到的结果具有随机性，通常也可以称为瞬时的系统吞吐量。

两用户上行非线性波形NOMA系统中的互相关系数矩阵${\boldsymbol{R}}$表现为实对称，那么${\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{R}}$也表现为实对称，因此可以通过特征值分解得到${\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{R}} = {\boldsymbol{Q}}{\boldsymbol{\varLambda}} {{\boldsymbol{Q}}^{\rm{T}}}$，${\boldsymbol{Q}}$和${\boldsymbol{\varLambda}}$分别表示为特征值分解后的特征矩阵和对角矩阵^[21]，且${\boldsymbol{Q}}$表现为正交矩阵，即${\boldsymbol{Q{}}{\boldsymbol{Q}}^{\rm{T}}} = {{\boldsymbol{Q}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Q}} = {\boldsymbol{I}}$，那么式(14)定义的系统吞吐量可进一步表示为

其中，${\lambda _i}$表示矩阵${\boldsymbol{H}}{{\boldsymbol{H}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{R}}$特征值分解后的特征值，即矩阵${\boldsymbol{\varLambda}}$的对角元素。

4.2   系统设计

根据式(14)，对于确定信道估计参数和信道估计误差的两用户上行非线性波形NOMA系统，即完全或不完全CSI下两用户上行非线性波形NOMA系统，系统吞吐量与帧长、发射功率、归一化时延以及响应长度有关，因此可以将完全或不完全CSI下以最大系统吞吐量为目标的系统设计问题描述为

其中，${P_{i,{\rm{max}}}}$表示用户$i$的最大发射功率。因为同步和异步系统均存在来自其他多个符号的干扰，所以很难再通过文献[11]中针对线性调制的归纳法得到系统吞吐量关于归一化时延和发射功率的近似表达，但不难推出系统吞吐量随响应长度的增加而减少的结论，这主要是因为符号间干扰随响应长度的增加而增加，因此造成了系统吞吐量的损失。对于完全或不完全CSI下能使系统吞吐量达到最大的归一化时延和发射功率，我们分别总结为定理1和定理2。

定理1　对于任意发射功率、帧长以及响应长度的完全或不完全CSI下两用户上行非线性波形NOMA系统，最大系统吞吐量时的归一化时延为符号持续时间的一半。

证明　根据SIC机制，可以考虑最小化完全或不完全CSI下与归一化时延有关的符号间干扰来最大化系统吞吐量^[22]。假设$\sqrt {2{P_1}} {h_1} > \sqrt {2{P_2}} {h_2}$，那么要先解调第1路信号，然后再重构和移除第1路信号，最后解调第2路信号，因此第1路信号的解调将直接影响第2路信号的性能。又影响第1路信号解调的因素来自符号间干扰，因此可以考虑最小化完全或不完全CIS下第1路接收信号中与时延有关的符号间干扰来最大化系统吞吐量。根据式(8)、式(9)以及式(10)可以有第1路接收信号中的第$n$个采样值，即

其中，${c_i} = \sqrt {2{P_i}} {h_i}$表示第$i$路信号中实际信道参数和发射功率组成的系数，${\xi _1}$和${\xi _2}$分别表示与时延无关和有关的符号间干扰，因此这里对${\xi _2}$进行分析。不失一般性，${c_2} = 1$时的${\xi _2}$可以表示为

其中，$\left( {{u_1},{u_2}} \right) \in \left\{ {\left( {1,j} \right),\left( {j,1} \right)} \right\}$，因此可以有

其中，$({\rm{a}})$根据不等式${x^2} + {y^2} \ge 2xy$得到，且不等式取等号的条件为$x = y$，即$x = y$时等式$\lambda = {x^2} + {y^2}$具有最小值，故可有a取等号的条件为

又考虑到${c_2}$的一般性，那么完全或不完全CSI下第1路接收信号在$\tau = 0.5$时可以有最小的符号间干扰，即完全或不完全CSI下第1路和第2路接收信号在$\tau = 0.5$时都可以有最大的信干扰比或系统吞吐量。证毕

定理2　对于任意归一化时延、帧长以及响应长度的完全或不完全CSI下两用户上行非线性波形NOMA系统，两个用户要使用他们允许的最大发射功率来获得最大系统吞吐量。

证明　考虑到完全或不完全CSI下两用户上行非线性波形NOMA系统中互相关系数矩阵表现为实对称，那么可以通过特征值分解得到${\boldsymbol{R}} = {{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{\varLambda}} _1}{\boldsymbol{Q}}_1^{\rm{T}}$，其中${{\boldsymbol{Q}}_1}$和${{\boldsymbol{\varLambda}} _1}$分别为特征值分解后的特征矩阵和对角矩阵^[21]，且${{\boldsymbol{Q}}_1}$为正交矩阵，即${{\boldsymbol{Q}}_1}{\boldsymbol{Q}}_1^{\rm{T}} = {\boldsymbol{Q}}_1^{\rm{T}}{{\boldsymbol{Q}}_1} = I$，那么式(14)定义的系统吞吐量可进一步表示为

其中，$k \in \left\{ {1,2} \right\}$，${\gamma _i}$为特征值分解后对角矩阵${{\boldsymbol{\varLambda}} _1}$的特征值。因此完全或不完全CSI下的系统吞吐量表现为${P_k}$的递增函数，那么完全或不完全CSI下两个用户要使用最大发射功率来获得最大系统吞吐量。 证毕

5.   数值仿真

本节对完全与不完全CSI下两用户上行非线性波形NOMA系统吞吐量进行数值仿真，分析帧长、响应长度、波形以及频率脉冲等系统参数对系统吞吐量的影响。为了使实验结果更具一般性，本文进行了500次蒙特卡罗仿真实验来获得完全CSI下统计平均的系统吞吐量，即定义式(14)的统计平均值，并提供不完全CSI下的系统吞吐量作为对比，仿真中预设参数如下：$\tau = 0.5$，$T = 10$，${\sigma ^2} = 1$，${P_{1,{\rm{max}}}} = 1$以及${P_{2,{\rm{max}}}} = 1$。

图3表明了完全与不完全CSI下系统吞吐量与帧长的关系，频率脉冲函数选取升余弦脉冲，主要参数设置为：$L = 1$, ${P_1} = 1$, ${P_2} = 1$, ${\left|{\stackrel \frown{h}}_{1}\right|}^{2}=1.5$, ${\left|{\stackrel \frown{h}}_{2}\right|}^{2}=1.0$, $\sigma _1^2 = 0.5$以及$\sigma _2^2 = 0.3$。从图中可以看出，系统吞吐量随帧长的增加而增加，但当帧长＞100时，系统吞吐量基本不再发生变化，说明帧长大到一定程度后就不再影响系统吞吐量性能，因此在之后分析其他系统参数与系统吞吐量的关系时均设置$N = 150$。同时表明式(14)计算得到的系统吞吐量收敛于$N = 300$时的式(15)，说明式(14)和式(15)都可以用来表征系统吞吐量性能，为便于分析，之后的仿真中均使用式(15)来计算系统吞吐量。此外，不完全CSI下的系统吞吐量低于完全CSI，这说明信道估计误差的存在削弱了系统性能。

图 3  完全与不完全CSI下帧长与系统吞吐量的关系

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图4表明了完全与不完全CSI下系统吞吐量与响应长度的关系，频率脉冲函数选取升余弦脉冲，主要参数设置为：${P_1} = 1$，${P_2} = 1$，${\left|{\stackrel\frown{h}}_{1}\right|}^{2}=1.5$，${\left|{\stackrel\frown{h}}_{2}\right|}^{2}=1.0$，$\sigma _1^2 = 0.5$以及$\sigma _2^2 = 0.3$。从图中可以看出，系统吞吐量随响应长度的增加而减少，主要是因为符号间干扰随响应长度的增加而增加，进而造成了系统吞吐量的减少。此外，不完全CSI下的系统吞吐量低于完全CSI，同样说明信道估计误差的存在削弱了系统性能。

图 4  完全与不完全CSI下响应长度与系统吞吐量的关系

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图5表明了完全与不完全 CSI 下线性和非线性波形的系统吞吐量与信道估计增益$\left| {\stackrel\frown{h}}_{2}\right|^2$的关系，频率脉冲函数选取矩形脉冲，主要参数设置为：$L = 1$, P₁=1, P₂=1, $\left| {\stackrel\frown{h}}_{1}\right|^2=1.0$, $\sigma _1^2 = 0.3$以及$\sigma _2^2 = 0.1$。从图中可以看出，系统吞吐量随信道估计增益的增加而增加，主要是因为信道给系统性能带来了一定的增益。同时表明非线性波形的系统吞吐量优于线性波形，主要是因为非线性波形具有更加紧凑的频谱，频带利用率高。此外，不完全CSI下的系统吞吐量低于完全CSI，同样说明信道估计误差的存在削弱了系统性能。

图 5  完全与不完全CSI下线性和非线性波形的系统吞吐量与信道估计增益的关系

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图6表明了完全与不完全 CSI 下不同频率脉冲的系统吞吐量与信道估计增益$\left|{\stackrel\frown{h}}_{2} \right|^2$的关系，主要参数设置为：$BT = 0.25$, $L = 4$, ${P_1} = 1$, ${P_2} = 1$, $\left|{\stackrel\frown{h}}_{1} \right|^2 =1.0$, $\sigma _1^2 = 0.3$以及$\sigma _2^2 = 0.1$。从图中可以看出，不同频率脉冲下系统吞吐量均随信道估计增益的增加而增加，主要是因为信道给系统性能带来了一定的增益。同时表明不同频率脉冲的系统吞吐量有GMSK>4RC>4REC，主要是因为不同频率脉冲的分散程度有GMSK<RC<REC，因此用户间干扰有GMSK<RC<REC。此外，不完全CSI下的系统吞吐量低于完全CSI，同样说明信道估计误差的存在削弱了系统性能。

图 6  完全与不完全CSI下不同频率脉冲的系统吞吐量与信道估计增益的关系

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6.   结束语

针对NOMA的研究均局限于线性调制的问题，且考虑到实际系统中不完全的CSI，本文提出一种不完全CSI下的非线性波形NOMA系统，建立了两用户的上行异步和同步系统模型，进行了以系统吞吐量作为度量指标的性能分析，得到了完全或不完全CSI下两个用户要使用其允许的最大发射功率或归一化时延要设置为符号持续时间一半来获得最大系统吞吐量的推论。数值仿真结果表明，当完全与不完全CSI下的帧长大到一定程度时，响应长度的增加会导致系统吞吐量的减少，非线性波形NOMA系统吞吐量优于线性波形，不同频率脉冲下的系统吞吐量可以有GMSK>RC>REC，且信道估计误差会削弱系统性能。