非对称忆阻诱导的吸引子非对称演化与机理研究

武花干; 周杰; 陈胜垚; 陈墨; 徐权

doi:10.11999/JEIT210307

非对称忆阻诱导的吸引子非对称演化与机理研究

doi: 10.11999/JEIT210307

武花干¹,
周杰¹,
陈胜垚²,
陈墨¹,
徐权^1, ,

1.
常州大学微电子与控制工程学院常州 213164
2.
南京理工大学电子工程与光电技术学院南京 210094

基金项目: 国家自然科学基金(61801054, 51607013)，江苏省研究生创新项目(KYCX20_2550)

详细信息

作者简介:
武花干：女，1987年生，副教授，研究方向为非线性电路与系统、神经元功能性电路

周杰：男，1996年生，硕士生，研究方向为非线性电路与系统

陈胜垚：男，1985年生，副教授，研究方向为雷达信号处理、混沌动力学系统

陈墨：女，1982年生，副教授，研究方向为非线性电路与系统、神经元功能性电路

徐权：男，1983年生，副教授，研究方向为忆阻神经网络、非线性电路与系统

通讯作者:
徐权　xuquan@cczu.edu.cn

中图分类号: TN713; TN601
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出版历程
- 收稿日期: 2021-04-13
- 修回日期: 2021-06-30
- 网络出版日期: 2021-07-08
- 刊出日期: 2022-06-21

Asymmetric Memristor-induced Attractor Asymmetric Evolution and Its Mechanism

1.
School of Microelectronics and Control Engineering, Changzhou University, Changzhou 213164, China
2.
School of Electronic and Optical Engineering, Nanjing University of Science & Technology, Nanjing 210094, China

Funds: The National Natural Science Foundations of China (61801054, 51607013), The Postgraduate Education Reform Projects of Jiangsu Province (KYCX20_2550)

摘要

摘要: 紧磁滞回线是评测物理器件或数学模型是否为忆阻的关键依据，其对称特性也是忆阻的重要特征之一。该文提出一种有源非对称忆阻二极管桥模拟器，它通过改变二极管桥中并联二极管的数量可实现紧磁滞回线非对称度的控制。首先，验证了该非对称忆阻模拟器的指纹特征，并着重探讨了激励频率和对称度控制参数对紧磁滞回线非对称度的影响。进一步地，将该非对称忆阻模拟器耦合到Sallen-Key高通滤波器，构建了一种无感忆阻蔡氏电路；建立了相应的无量纲系统，并揭示了系统吸引子的非对称演化现象。结合平衡点稳定性分析、分岔分析和多吸引子状态初值空间分布，阐明了吸引子非对称演化的产生机理。结果表明，受非对称忆阻的影响，无感忆阻蔡氏电路的两个不稳定鞍焦点失去平衡，导致了非对称共存分岔、多稳定模态等行为的产生。最后，由硬件电路实验验证了理论分析与数值仿真的正确性。
- 忆阻器 /
- 非对称共存分岔 /
- 多稳定模态 /
- 硬件实验
Abstract: The pinched hysteresis loop is the key basis to judge whether a physical device or a mathematical model is a memristor, and its symmetry property is also one of the important characteristics of a memristor. In this paper, an active asymmetric memristive diode-bridge emulator is proposed, whose asymmetry can be controlled by changing the number of parallel diodes in the diode-bridge. Firstly, the fingerprint of this asymmetric memristor emulator is tested, and the effects of excitation frequency and symmetry control parameter on the asymmetry of the pinched hysteresis loop are discussed. Thereafter, by coupling the asymmetric memristor into a Sallen-Key high-pass filter, an inductor-free memristive Chua’s circuit is constructed. The corresponding dimensionless system is built, upon which the asymmetric evolution feature of system attractor is uncovered. Based on the equilibrium stability analysis, bifurcation analysis and multiple attractors distribution in state initial space, the mechanism of attractor asymmetric evolution is clarified. The results demonstrated that, affected by the asymmetric memristor, two unstable saddle-foci of the inductor-free memristive Chua’s circuit are out of balance, resulting in the generations of asymmetric coexistence bifurcation and multi-stable mode. Finally, the correctness of theoretical analysis and numerical simulation are verified by hardware circuit experiment.
- Memristor /
- Asymmetric coexisting bifurcation /
- Multi-stable mode /
- Hardware experiment

HTML全文

1. 引言

由于纳米级制备工艺的限制，忆阻器尚不能像电阻器、电容器和电感器一样以独立元件形式走向市场。为便于科学研究，学者们采用物理器件近似建模^[1,2]、数学理论建模^[3,4]、仿真电路建模^[5]和等效电路建模^[6,7]等方法构建了多种忆阻模型，用以模拟忆阻物理器件的主要特性，从而探索忆阻器在人工智能^[8]、计算神经科学^[9,10]、电子信息科学^[11,12]等领域的潜在应用。

忆阻器是含有内部状态变量的特殊非线性元件，具有不同非线性特征的忆阻模型，在振荡电路中诱发的动力学效应是有所差异的^[13,14]。例如，文献[15]提出了一种非理想多分段3次忆阻模型，并将其引入Hopfield神经网络，新构建的忆阻Hopfield神经网络可以产生不同奇、偶数量的双涡卷吸引子。在一个Sallen-Key低通滤波电路引入忆阻二极管桥模拟器，可观察到周期与混沌簇发振荡现象^[16]，在特殊参数条件下还可能存在超级慢通道效应^[17]。文献[18]构建了一个基于流控型多项式忆阻的混沌振荡电路，生成了2×3-翼、2×2-翼与2×1-翼混沌吸引子。利用具有周期忆导函数的忆阻模型，文献[19,20]发现了周期切换的忆阻初值位移调控现象，为混沌信号无损切换控制提供了一种有效的实现思路。

端口紧磁滞回线是评测物理器件或数学模型是否为忆阻的关键依据^[21]，其对称特性也是忆阻的重要特征之一。受到极板材料选择、介质反应机制等因素的影响，忆阻物理器件的端口紧磁滞回线存在着明显的非对称性，而多数忆阻数学理论模型、仿真电路模型与等效电路模型的端口紧磁滞回线则是对称的。通过破坏忆阻二极管桥中正向与反向电流流通路径的对称性，文献[22]提出了一种并联型非对称忆阻二极管桥(Parallel-type Asymmetric Memristive Diode-bridge, PAMD)模拟器，其端口紧磁滞回线具有非对称性特征。非对称非线性项的引入会造成动力学系统的对称性缺失，从而诱导出更加丰富而复杂的动力学现象^[23,24]，如非对称同宿分岔、多稳定模态共存、气泡现象与临界转移等。鉴于此，本文提出一种有源PAMD模拟器，将其耦合到Sallen-Key高通滤波电路中，构建基于高通滤波器的无感忆阻蔡氏电路。研究无感忆阻蔡氏电路的复杂动力学现象，从而揭示有源PAMD模拟器的动力学效应及其产生机理。

2. 有源PAMD模拟器及其指纹特征

受到双极性正弦电压激励时，忆阻二极管桥模拟器的端口伏安关系曲线呈现对称紧磁滞回线特征^[6,16]。通过改造忆阻二极管桥模拟器中二极管整流桥的电路结构，比如在其中的一对桥臂上串联或者并联多个二极管，破坏整流桥电流正向和反向通路的对称性，获得了一个具有非对称的端口紧磁滞回线特征的忆阻模拟器^[22]。本文将PAMD模拟器与负阻R_N并联，得到了一个有源PAMD模拟器，如图1所示。其中，PAMD模拟器的二极管整流桥B₁和B₃桥臂上各并联m个二极管，m可作为PAMD模拟器的对称度控制参数。负阻R_N由1个集成运算放大器和3个电阻R_a, R_b, R_N连接而成，且R_a = R_b。有源PAMD模拟器的端电压为v，流经有源PAMD模拟器、负阻R_N和PAMD模拟器的电流分别记为I, i_N, i_M，电容C₀的端电压为v₀。

图 1 有源PAMD模拟器原理图

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根据基尔霍夫电流定律，有

$i = {i_{\rm{N}}} + {i_{\rm{M}}}$

(1)

将负阻R_N和文献[22]中PAMD模拟器的伏安关系式代入式(1)，可得

$i = - \frac{v}{{{R_{\rm{N}}}}} + m{I_{\rm{S}}}{{\rm{e}}^{\rho (v - {v_0})}} - {I_{\rm{S}}}{{\rm{e}}^{ - \rho (v + {v_0})}} - (m - 1){I_{\rm{S}}}$

(2)

其中，ρ = 1/2nV_T, I_S, n和V_T分别是二极管的反向饱和电流、发射系数以及温度电压当量。因此，有源PAMD模拟器的数学模型可描述为

$\left. \begin{split} & i = - \frac{v}{{{R_{\rm{N}}}}} + m{I_{\rm{S}}}{{\rm{e}}^{\rho (v - {v_0})}} - {I_{\rm{S}}}{{\rm{e}}^{ - \rho (v + {v_0})}} \\ & \quad\ \; - (m - 1){I_{\rm{S}}} \\ & \frac{{{\rm{d}}{v_0}}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{m{I_{\rm{S}}}{{\rm{e}}^{\rho (v - {v_0})}} + {I_{\rm{S}}}{{\rm{e}}^{ - \rho (v + {v_0})}} - (m + 1){I_{\rm{S}}}}}{{{C_0}}}\\ & \qquad\ \;\ - \frac{{{v_0}}}{{{R_0}{C_0}}} \end{split} \right\}$

(3)

选择电路元件参数为R_N = 700 Ω, R_a = R_b = 1 kΩ, R₀ = 100 Ω, C₀ = 330 nF, I_S = 5.84 nA, n = 1.94和V_T = 25 mV，此时ρ = 10.3093 V^–1。

在有源PAMD模拟器的输入端施加一个双极性正弦电压激励v = V_msin(2πft)，其中V_m为激励幅值、f为激励频率。固定激励幅值V_m = 4 V，激励频率f分别设置为10 kHz, 20 kHz, 40 kHz和60 kHz时，以m = 4为例，绘制出了有源PAMD模拟器的端口伏安关系曲线，如图2(a)所示。观察图2(a)可知，有源PAMD模拟器的端口伏安关系曲线呈现类“8”字的紧磁滞回线，且随着激励频率的增大，紧磁滞回线的旁瓣面积逐渐减小。当激励频率继续增大时，紧磁滞回线收缩为一条单值函数。因此，该模拟器的端口伏安关系满足忆阻的3个指纹特征^[21]。

图 2 紧磁滞回线数值仿真结果

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固定V_m = 4 V, f = 40 kHz。当二极管桥B₁和B₃桥臂上并联的二极管数量m分别设置为1, 4, 8和16时，有源PAMD模拟器的端口伏安关系曲线，如图2(b)所示。随着并联二极管数量的增多，该模拟器的端口伏安关系曲线始终保持非对称的类“8”字形的紧磁滞回线特征。此外，从图2中的细节图可以看出，该模拟器的紧磁滞回线有部分线段进入了第2, 4象限，表明其具有局部有源性。

采用有源PAMD模拟器端电流i的峰值与谷值之比来度量紧磁滞回线的非对称度A_S，即

${A_{\rm{S}}} = \frac{{\left| {\max (i)} \right|}}{{\left| {\min (i)} \right|}}$

(4)

不同激励参数与对称度控制参数下，有源PAMD模拟器的非对称度演化情况如图3所示，其中图3(a)的参数设置为V_m = 4 V, m = 4以及激励频率f = [1, 60] kHz，而图3(b)的参数条件是V_m = 4 V, f = 40 kHz以及m = [1, 16]。观察图3(a)可以发现，当激励频率在[1, 5] kHz区间内逐渐增大时，紧磁滞回线的非对称度A_S慢慢减小；而当激励频率增大至5 kHz后，紧磁滞回线的非对称度A_S将随着激励频率的增加逐渐增大。从图3(b)可知，随着m的递增，紧磁滞回线的非对称度A_S逐渐增大，但其变化率逐渐减小。

图 3 随f和m变化的紧磁滞回线非对称度演化情况

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3. 无感忆阻蔡氏电路的非对称演化

3.1 电路结构与数学模型

通过电阻R耦合Sallen-Key高通滤波器与MC振荡网络，构建了一个新型的无感忆阻蔡氏电路，如图4所示。图4左侧暗红色虚线框内电路为Sallen-Key高通滤波器，右侧绿色虚线框内为MC振荡单元络。与经典蔡氏电路相比，图4所示电路中不含有电感元件，更利于硬件电路实现与测试。

图 4 无感忆阻蔡氏电路原理图

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无感忆阻蔡氏电路中包含4个动态元件，即电容C₁, C₂, C₃以及有源PAMD模拟器G_M。选取电路中各电容的两端电压作为状态变量，并应用电路基本理论对无感忆阻蔡氏电路进行数学建模。无感忆阻蔡氏电路的数学模型可以描述为

$\left. \begin{aligned} & {C_1}\frac{{{\rm{d}}{v_{\rm{1}}}}}{{{\rm{d}}t}} = \left( {\frac{{k - 1}}{{{R_2}}} - \frac{1}{{{R_1}}} - \frac{1}{R}} \right){v_{\rm{1}}} \\ & \qquad\qquad + \left( {\frac{1}{{{R_1}}} - \frac{k}{{{R_2}}}} \right){v_2} + \frac{{{v_3}}}{R} \\ & {C_2}\frac{{{\rm{d}}{v_2}}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{v_{\rm{1}}} - {v_2}}}{{{R_1}}} \\ & {C_3}\frac{{{\rm{d}}{v_3}}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{v_{\rm{1}}} - {v_3}}}{R} - i \\ & {C_0}\frac{{{\rm{d}}{v_0}}}{{{\rm{d}}t}} = m{I_{\rm{S}}}{{\rm{e}}^{\rho ({v_3} - {v_0})}} + {I_{\rm{S}}}{{\rm{e}}^{ - \rho ({v_3} + {v_0})}} \\ & \qquad\qquad- (m + 1){I_{\rm{S}}} - \frac{{{v_0}}}{{{R_0}}} \end{aligned} \right\}$

(5)

其中，v₃ = v, k = 1+R_f/R_i。各电路元件的典型参数值为C₁ = C₂ = 100 nF, C₃ = 6.8 nF, C₀ = 330 nF, R₀ = 100 Ω, R₁ = R₂ = 150 Ω, R_i = 3 kΩ, R_f = 6.6 kΩ, R = 1.2 kΩ, R_N = 700 Ω和R_a = R_b = 1 kΩ。

引入新变量并作无量纲处理，即

$\left. \begin{split} & x = \rho {v_1},y = \rho {v_2},z = \rho {v_3},w = \rho {v_0},t = R{C_0}\tau ,\\ & {a_1} = \frac{R}{{{R_1}}} = \frac{R}{{{R_2}}}, \\ & {a_2} = \frac{R}{{{R_0}}},{a_3} = \frac{R}{{{R_{\rm{N}}}}},{b_1} = \frac{{{C_0}}}{{{C_1}}} = \frac{{{C_0}}}{{{C_2}}},\\ & {b_2} = \frac{{{C_0}}}{{{C_3}}},c = \rho R{I_{\rm{S}}} \end{split} \right\}$

(6)

将式(6)代入式(5)，整理后得到式(5)的无量纲系统方程为

$\left. \begin{aligned} & \dot x = {b_1}\left( {{a_1}k - 2{a_1} - 1} \right)x + {b_1}\left( {{a_1} - {a_1}k} \right)y + {b_1}z \\ & \dot y = {b_1}{a_1}\left( {x - y} \right) \\ & \dot z = {b_2}x - {b_2}z + {b_2}{a_3}z - m{b_2}c{{\rm{e}}^{z - w}} + {b_2}c{{\rm{e}}^{ - z - w}} \\ & \quad\ \ + {b_2}c\left( {m - 1} \right) \\ & \dot w = mc{{\rm{e}}^{z - w}} + c{{\rm{e}}^{ - z - w}} - c\left( {m + 1} \right) - {a_2}w \end{aligned} \right\}$

(7)

根据式(6)计算得到系统(7)的参数典型值

$\begin{split} & {a_1} = 8,{\rm{ }}{a_2} = 12,{\rm{ }}{a_3} = 1.7143,{\rm{ }}{b_1} = 3.3,{\rm{ }}{b_2} = 48.5294,\\ & c = 7.2247 \times {10^{ - 5}},k = 3.2\\[-10pt] \end{split}$

(8)

设系统式(7)的状态初值(x₀, y₀, z₀, w₀) = (0.01, 0, 0, 0)，有源PAMD模拟器的对称度控制参数m = 1。选用MATLAB-ode45算法，并将“MaxStep”与“RelTol”分别设置为“10^–3”和“10^–7”，时间长度为[50 s, 100 s]，时间步长为1 ms。仿真得到系统式(7)的典型混沌吸引子如图5所示，表明无感忆阻蔡氏电路可产生与经典蔡氏电路类似的对称双涡卷混沌吸引子。

图 5 系统式(7)的典型混沌吸引子

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3.2 非对称演化现象

选择系统参数a₃与忆阻对称度控制参数m作为控制参数，固定系统的其他参数。通过改变忆阻对称度控制参数m控制忆阻对称度发生变化，从而揭示系统式(7)的动力学行为随着忆阻对称度变化而诱发的吸引子的演化特征。利用数值仿真方法绘制的系统式(7)在3种不同稳定模态下的吸引子演化情况如图6所示，其中红色轨迹的状态初值为(0.01, 0, 0, 0)，蓝色轨迹的状态初值为(–0.01, 0, 0, 0)。

图 6 3组不同稳定模态吸引子随m的演化情况

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由图6可知，当m = 1(对称忆阻)时，系统式(7)可产生关于原点对称的双涡卷混沌吸引子、共存单涡卷吸引子以及共存周期4极限环。当m = 4, 8和16(非对称忆阻)时，系统式(7)产生的(共存)吸引子关于原点的对称性也被破坏了。此外，当m = 4时，双涡卷吸引子的右侧涡卷退化至消失，右侧轨迹遍历区域逐渐缩小；同样地，右侧的共存单涡卷吸引子与周期4极限环也发生了萎缩；3类吸引子的稳定模态与m = 1时一致。当m = 8时，吸引子右侧、右侧共存吸引子遍历区域进一步缩小，且a₃ = 1.7142对应的吸引子的稳定模态变为周期态，表明了周期窗的出现。当m = 16时，吸引子右侧、右侧共存吸引子遍历区域继续缩小；特别地是，a₃ = 1.2766对应的左、右共存吸引子稳定模态不一致，左边是周期6极限环，而右边是混沌态；类似地，a₃ = 1.2245对应的左、右共存吸引子稳定模态也不一致，左边是周期4极限环而右边是周期2极限环。左、右吸引子共存状态的不一致，说明此时系统式(7)发生了非对称共存分岔。

综上所述，忆阻模拟器对称特性的变化会导致系统吸引子拓扑结构及对称特性发生变化，形成非对称双涡卷吸引子或者非对称共存吸引子；此外，忆阻的对称度逐渐增大后，系统的分岔行为也会变得更加复杂，可能出现更多的周期窗，且存在明显的非对称共存分岔行为。

4. 非对称演化的机理分析

4.1 平衡点与稳定性

令系统式(7)方程式左边等于0，得到系统式(7)具有1个零平衡点E₀和2个非零平衡点E₁和E₂

$\left. \begin{aligned} & {E_0} = \left( {0,{\rm{ }}0,{\rm{ }}0,{\rm{ }}0} \right) \\ & {E_{1,2}} = \left( {{{ \pm \bar z}/{9,{\rm{ }}{{ \pm \bar z}/{9,{\rm{ }} \pm \bar z,{\rm{ }}\bar w}}}}} \right) \end{aligned} \right\}$

(9)

其中， $\bar z$ 与 $\bar w$ 可通过图解法^[25]求解式(10)的超越方程组得到

$\left. \begin{aligned} & {f_1}(z,w) = \frac{z}{{{a_1} + 1}} - z + {a_3}z - mc{{\rm{e}}^{z - w}} \\ & \qquad\qquad\ + c{{\rm{e}}^{ - z - w}} + c\left( {m - 1} \right) = 0 \\ & {f_2}(z,w) = mc{{\rm{e}}^{z - w}} + c{{\rm{e}}^{ - z - w}} - c\left( {m + 1} \right)\\ & \qquad\qquad\ - {a_2}w = 0 \end{aligned} \right\}$

(10)

以a₃ = 1.7142为例，讨论忆阻对称度控制参数m对系统平衡点位置的影响。利用数值方法分别绘制出m = 1, 4, 8, 16对应的f₁(·)和f₂(·)函数曲线，两条曲线的交点即为非零平衡点坐标 $\bar z$ 与 $\bar w$ 的解，如图7所示。m变化时，平衡点E₀和E₁的位置始终不变，而平衡点E₂的位置发生了迁移。为了图示清晰，将图7中不同m值对应的左侧平衡点与零平衡点分别记为E₁和E₀，而将右侧平衡点记为E_2,_m。从图7中的局部放大图可以清晰地观察到，随着参数m的增加，右侧平衡点的位置向左下方迁移，逐渐向零平衡点E₀靠拢。

图 7 由曲线交点获得的平衡点及不同m时平衡点E₂位置的演化

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进一步地，通过数值计算得到各平衡点的特征根，并在表1中列出。分析表1中的数据可知，m分别为1, 4, 8和16时，平衡点E₀和E₁的特征根保持不变，且E₀为不稳定鞍点，E₁为不稳定鞍焦，而平衡点E_2,_m为不稳定鞍焦，其稳定性维持不变，但是其特征根的数值发生了变化，即负实数特征根的数值变小，共轭特征根的实部数值变大。这表明随着m的增大，系统式(7)的平衡点E_2,_m对其邻域内轨迹的吸引力逐渐减弱而排斥力逐渐增强，导致系统右侧涡卷萎缩且轨迹遍历范围减小。因此，平衡点及其稳定性分析的结果与系统相轨图的演化趋势是相吻合的。

表 1 m取不同值时的系统平衡点稳定性

m	平衡点	特征根	稳定性
1, 4, 8, 16	E₀ = (0, 0, 0, 0)	9.329, –1.346±28.225i, –12.000	不稳定指数1鞍焦
1, 4, 8, 16	E₁ = (–1.419, –1.419, –12.769, 0.878)	–488.920, –10.900, 1.11±27.73i	不稳定指数2鞍焦
1	E_{2, 1} = (1.419, 1.419, 12.769, 0.878)	–488.920, –10.900, 1.11±27.73i,	不稳定指数2鞍焦
4	E_{2, 4} = (1.237, 1.237, 11.133, 0.766)	–421.800, –10.890, 1.13±27.70i	不稳定指数2鞍焦
8	E_{2, 8} = (1.145, 1.145, 10.306, 0.709)	–388.170, –10.870, 1.14±27.68i	不稳定指数2鞍焦
16	E_{2, 16} = (1.052, 1.052, 9.470, 0.651)	–353.930, –10.860, 1.16±27.66i	不稳定指数2鞍焦

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4.2 共存分岔与多稳定模态

选取系统参数a₃作为分岔参数，并设置其观测区间为[1.1, 1.5]。当忆阻对称度控制参数m = 1和m = 16时，绘制出系统式(7)的分岔图与有限时间的李雅普诺夫指数谱(Lyapunov Exponents, LEs)，如图8所示。数值仿真中，分岔图与相轨图的仿真参数设置一致，且红色轨迹与蓝色轨迹的状态初值分别为(0.01, 0, 0, 0)和(–0.01, 0, 0, 0)。有限时间的李雅普诺夫指数谱的仿真参数中，时间长度与时间步长分别为200 s与1 ms，MATLAB-ode45算法的“options”为默认值。

图 8 与参数a₃相关的分岔图和李雅普诺夫指数谱

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观察图8(a)的分岔图可知，系统式(7)随着a₃的增大从周期1经倍周期分岔路径进入混沌状态，然后受混沌危机的影响，从混沌状态进入周期状态，中间存在多个周期窗。参数a₃在[0, 1.29)范围内，系统式(7)可产生共存单涡卷吸引子或者极限环，且每组左、右共存吸引子的状态与拓扑结构是一致的，说明在该区间内系统式(7)存在对称共存分岔行为；a₃在(1.29, 1.50]范围内，系统式(7)可以产生对称的双涡卷吸引子。对比两组不同状态初值的李雅普诺夫指数谱可知，分岔参数a₃变化时，共存吸引子的稳定状态是保持一致的。

由图8(b)可以看出，系统式(7)在参数a₃连续变化下，存在3种分岔路径，即倍周期分岔、切分岔和逆倍周期分岔；此外，分岔图中存在着明显的气泡现象^[26]。参数a₃在[0, 1.29]范围内，系统式(7)可以产生共存单涡卷吸引子，但是共存吸引子的结构大小不同；另外，在多个区域内，左、右共存吸引子的稳定状态也是不同的，表明在这些区间内系统式(7)存在非对称共存分岔行为，以图8(b)中虚线划分的区域为例，在对称的状态初值下，红色分岔图呈现出周期状态，而蓝色分岔图则是混沌状态，两者稳定模态不一致，表现出明显的非对称共存分岔行为。

进一步地，固定分岔参数a₃ = 1.2632，状态初值y₀ = 0, w₀ = 0，分别绘制出忆阻对称度控制参数m = 1和m = 16时，状态初值平面x₀-z₀的局部吸引盆，如图9(a)和图9(b)所示。由图9(a)可知，当m = 1时，系统式(7)的吸引盆是关于原点对称的，吸引盆对应的两种稳定模态记为L-CH1和R-CH1，表明此时系统式(7)具有双稳定模态，可产生关于原点对称的左、右单涡卷吸引子，如图10(a)所示。而观察图9(b)可知，当m = 16时，系统式(7)的吸引盆则是非对称的，吸引盆显示系统式(7)存在着4种不同的稳定模态，分别记为L-P3, R-P3, L-CH2和R-CH2，可产生的左、右周期3极限环和左、右单涡卷混沌吸引子，如图10(b)所示，两组共存吸引子关于原点都是非对称的。

图 9 不同参数m时系统式(7)的吸引盆与共存吸引子

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图 10 不同参数m时系统式(7)的共存吸引子

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上述分岔分析与多稳定性分析的结果表明，相比于对称的忆阻二极管桥模拟器，有源PAMD模拟器引入振荡电路后，促使振荡系统发生非对称演化，可诱发更加复杂的动力学行为。

5. 硬件实验

根据图1和图3所示的电路原理图，制作无感忆阻蔡氏电路的实验电路，主要元器件包括1个精密可调电阻(R_N)、8个金属膜电阻(R₀～R₂, R, R_a, R_b, R_i和R_f)、4个独石电容(C₀～C₃)、多个1N4148型二极管以及1片AD711JN型集成运算放大器(U)，并采用±15 V的双直流电源供电。利用Tektronix TDS 3034C数字示波器采集实验电路中各电容的两端电压，并在X-Y模式下获得捕捉对应的相轨图。注意，在采集电容C₂的两端电压时需要使用一个增益为1的减法电路。

通过调节精密可调电阻R_N的参数值、改变并联到二极管桥B₁和B₃桥臂上的二极管数量，以改变无感忆阻蔡氏电路的参数，电路实验捕捉到的相轨图如图11和图12所示。需要说明一下，系统式(7)是无感忆阻蔡氏电路的归一化无量纲方程组，两者对应的状态变量满足(x, y, z, w) = ρ(v₁, v₂, v₃, v₀)。对比图11与图5可知，实验测量结果与数值仿真结果是一致的。对比图12与图6，不同R_N值条件下，两者所反映的随m值变化的吸引子演化趋势是一致的。但是，图12中的非对称共存吸引子的稳定模态与图6中的相应吸引子稳定模态存在差异，这可能是实验电路参数误差以及非对称共存分岔区间狭窄的原因导致的。

图 11 硬件实验捕获的典型混沌吸引子

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图 12 实验捕获的3组不同稳定模态吸引子随m的演化情况(横轴变量均为v₃，纵轴变量均为v₁)

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6. 结论

鉴于忆阻物理器件通常具有非对称的端口紧磁滞回线特征，本文通过改造忆阻二极管桥模拟器，提出了一种有源PAMD模拟器，并进行了忆阻指纹特征验证和紧磁滞回线对称特性分析。结果表明，有源PAMD模拟器的端口紧磁滞回线的对称度随激励频率发生变化，改变并联二极管的数量可以实现对称度控制。此外，研究了有源PAMD模拟器在无感忆阻蔡氏电路中的动力学效应。当无感忆阻蔡氏电路中忆阻二极管桥模拟器的对称特性从对称变为非对称时，致使系统对称性缺失，系统动力学行为产生显著变化：(1)系统参数分岔路径复杂化；(2) (共存)吸引子非对称化；(3)系统稳定模态多样化。非对称忆阻建模及其应用电路特性的研究可以为忆阻物理器件的工程应用奠定合适的理论基础。

图 1 有源PAMD模拟器原理图

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图 2 紧磁滞回线数值仿真结果

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图 3 随f和m变化的紧磁滞回线非对称度演化情况

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图 4 无感忆阻蔡氏电路原理图

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图 5 系统式(7)的典型混沌吸引子

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图 6 3组不同稳定模态吸引子随m的演化情况

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图 7 由曲线交点获得的平衡点及不同m时平衡点E₂位置的演化

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图 8 与参数a₃相关的分岔图和李雅普诺夫指数谱

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图 9 不同参数m时系统式(7)的吸引盆与共存吸引子

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图 10 不同参数m时系统式(7)的共存吸引子

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图 11 硬件实验捕获的典型混沌吸引子

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图 12 实验捕获的3组不同稳定模态吸引子随m的演化情况(横轴变量均为v₃，纵轴变量均为v₁)

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表 1 m取不同值时的系统平衡点稳定性

m	平衡点	特征根	稳定性
1, 4, 8, 16	E₀ = (0, 0, 0, 0)	9.329, –1.346±28.225i, –12.000	不稳定指数1鞍焦
1, 4, 8, 16	E₁ = (–1.419, –1.419, –12.769, 0.878)	–488.920, –10.900, 1.11±27.73i	不稳定指数2鞍焦
1	E_{2, 1} = (1.419, 1.419, 12.769, 0.878)	–488.920, –10.900, 1.11±27.73i,	不稳定指数2鞍焦
4	E_{2, 4} = (1.237, 1.237, 11.133, 0.766)	–421.800, –10.890, 1.13±27.70i	不稳定指数2鞍焦
8	E_{2, 8} = (1.145, 1.145, 10.306, 0.709)	–388.170, –10.870, 1.14±27.68i	不稳定指数2鞍焦
16	E_{2, 16} = (1.052, 1.052, 9.470, 0.651)	–353.930, –10.860, 1.16±27.66i	不稳定指数2鞍焦

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施引文献

期刊类型引用(2)

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1. 引言
2. 有源PAMD模拟器及其指纹特征
3. 无感忆阻蔡氏电路的非对称演化
3.1 电路结构与数学模型
3.2 非对称演化现象
4. 非对称演化的机理分析
4.1 平衡点与稳定性
4.2 共存分岔与多稳定模态
5. 硬件实验
6. 结论

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留言板

非对称忆阻诱导的吸引子非对称演化与机理研究

doi: 10.11999/JEIT210307

通讯作者:
徐权　xuquan@cczu.edu.cn

计量

Asymmetric Memristor-induced Attractor Asymmetric Evolution and Its Mechanism

1. 引言

2. 有源PAMD模拟器及其指纹特征

3. 无感忆阻蔡氏电路的非对称演化

3.1 电路结构与数学模型

3.2 非对称演化现象

4. 非对称演化的机理分析

4.1 平衡点与稳定性

4.2 共存分岔与多稳定模态

5. 硬件实验

6. 结论

期刊类型引用(2)

其他类型引用(1)

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目录

1. 引言

2. 有源PAMD模拟器及其指纹特征

3. 无感忆阻蔡氏电路的非对称演化

3.1 电路结构与数学模型

3.2 非对称演化现象

4. 非对称演化的机理分析

4.1 平衡点与稳定性

4.2 共存分岔与多稳定模态

5. 硬件实验

6. 结论

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非对称忆阻诱导的吸引子非对称演化与机理研究

doi: 10.11999/JEIT210307

通讯作者: 徐权 xuquan@cczu.edu.cn

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出版历程

Asymmetric Memristor-induced Attractor Asymmetric Evolution and Its Mechanism

1. 引言

2. 有源PAMD模拟器及其指纹特征

3. 无感忆阻蔡氏电路的非对称演化

3.1 电路结构与数学模型

3.2 非对称演化现象

4. 非对称演化的机理分析

4.1 平衡点与稳定性

4.2 共存分岔与多稳定模态

5. 硬件实验

6. 结论

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1. 引言

2. 有源PAMD模拟器及其指纹特征

3. 无感忆阻蔡氏电路的非对称演化

3.1 电路结构与数学模型

3.2 非对称演化现象

4. 非对称演化的机理分析

4.1 平衡点与稳定性

4.2 共存分岔与多稳定模态

5. 硬件实验

6. 结论

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徐权　xuquan@cczu.edu.cn