1.   引言

无线通信技术的蓬勃发展，给人们带来便利的同时也带来信息泄露的风险。不法分子能够利用无线通信本身的广播特性接入网络，窃取用户身份信息、密码信息等。物理层安全技术从信道多样性入手，通过提取用户信道特征，利用信号处理、用户协作等手段，拉大合法窃听信道差异，实现安全通信，为未来6G无线安全的解决提供了方案^[1]。然而，为应对复杂网络下安全威胁，现有的物理层安全技术如波束赋形^[2]、人工噪声^[3]等，需要规模射频链路和额外能量消耗，带来设备复杂度增高，安全能效低，使其应用大为受限。

智能反射面(Intelligent Reflecting Surfaces, IRS)作为未来6G网络中一种潜在空口技术^[4]，能够对电磁波实时调控，日益受到关注。它通过在平面上集成大量低成本的无源反射单元，每个功能单元都能独立地对入射电磁波信号进行调节，比如引入一定的幅度衰减、相移或极化模式改变^[5]。因而，利用智能反射面对无线信道进行重构，对目标用户构造增强波束而对窃听用户构建抑制波束，辅助增强物理层安全，有望为高能效无线通信安全提供重要的手段支撑。文献[6,7]研究了MISO(Multiple-Input Single-Output)系统中存在单个窃听节点下的安全通信问题，通过联合设计接入点的发射波束成形和反射面的无源反射波束成形，最大限度提高合法通信链路的保密速率。文献[8]考虑MISO广播系统，基站传输独立数据流到多个授权接收机，并确保数据流对多个窃听节点安全，在此目标下分别考虑反射单元连续或离散相位下最优资源分配问题。文献[9]考虑窃听者的信道信息存在确定性误差时，在满足发射功率、合法用户服务质量等约束条件下，通过联合求解发送信息波束、人工噪声及反射系数，最大化系统的安全速率。针对该问题的非凸性，利用递归估计、交替优化等算法将问题转化，从而获取鲁棒资源分配方案。进一步，文献[10]考虑仅已知窃听者信道统计特征下，推导了反射面辅助下3节点SISO(Single-Input Single-Output)系统下安全中断概率闭式解和渐近解，仿真表明部署反射面可以改善安全性能。然而，现有研究采用的是确知节点的通信网络模型，安全性能指标建立在窃听者位置和数目确定条件下获得的，这对于分析系统内部用户的窃听行为是可行的^[11]。但更多情况下由于无线通信环境的复杂性，外部窃听节点可随时随地接入，且在整个窃听过程中不传输任何信息，使得合法方很难获知窃听节点的数目和位置信息。在这种场景下，部署反射面是否还能带来性能增量仍待研究。同时，由于反射面的反射单元数量庞大，相较于传统无反射面模型^[12]，更多的系统参数也为传输方案设计及建模带来了难度。因此，分析窃听者未知场景下的安全性能具有挑战和必要性。

基于以上考虑，本文在MISO系统3节点模型基础上，考虑窃听者随机分布的通信场景，并用均匀泊松点过程(Homogeneous Poisson Point Process, HPPP)建模其分布。发送方采用天线选择(Transmit Antenna Selection, TAS)策略发送信号，利用智能反射面对合法接收方构造增强波束，并用传输安全中断概率度量系统的安全性，推导了其闭式表达式，并分析不同参数对性能的影响，为系统参数设计提供了一定指导。

2.   系统模型

2.1   系统模型描述

如图1所示，考虑瑞利衰落信道下的无线通信场景，系统中分布3类用户，基站Alice，用户Bob，窃听者Eve，同时靠近基站依托周边建筑部署含$N$个单元的反射面IRS。Alice配置$M$根天线，其余节点配置单天线。为降低基站设计的复杂度，Alice采用TAS工作模式，根据上行链路探测情况选择信道质量最好的通道发送信息^[12]。IRS通过私密无线信道远程受Alice控制，根据链路状态实时调节反射相移。窃听者分布在合法用户附近，并用HPPP过程进行建模位置分布，记为${\varPhi _{\rm{E}}}$，节点密度为${\rho _{\rm{E}}}$。

图 1  系统模型

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引入IRS后，各信道描述为，Alice到Bob的通信链路由直射链路和反射链路组成，直射链路定义为${\boldsymbol{h}}_{{\rm{ab}}}^{\rm{H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times M}}$，反射链路为Alice至IRS信道${{\boldsymbol{H}}_{{\rm{ar}}}} \in {\mathbb{C}^{N \times M}}$，IRS至Bob信道${\boldsymbol{h}}_{{{\rm{rb}}}}^{\rm{H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times N}}$；Alice到Eve的窃听链路由直达链路和反射链路组成，直射链路定义为${\boldsymbol{h}}_{{\rm{ae}}}^{\rm{H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times M}}$，反射链路Alice至IRS信道${{\boldsymbol{H}}_{{\rm{ar}}}} \in {\mathbb{C}^{N \times M}}$，IRS至Eve信道为${\boldsymbol{h}}_{{\rm{re}}}^{\rm{H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times N}}$。对于反射面，反射系数由对角矩阵${\boldsymbol{\varPhi}} = {\rm{diag}}({\beta _1}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\theta _1}}},$${\beta _2}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\theta _2}}}, \cdots, {\beta _N}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\theta _N}}})$表示，其中假定反射幅度恒为1，即${\beta _n} = 1$，相位偏移${\theta _n} \in [0,2\pi ]$^[13]。考虑无线信道之间相互独立，节点$i$到节点$j$的信道${h_{ij}}$表示为${h_{ij}} = \sqrt {{L_0}d_{ij}^{ - \chi }} {g_{ij}}$，其中${L_0}$表示参考距离1 m的路径损耗，${d_{ij}}$描述从节点$i$到节点$j$的距离，$\chi$表示路径损耗系数，${g_{ij}}$表示小尺度衰落分量。

2.2   合法用户和窃听节点处的接收信干比

2.2.1   合法用户

Alice工作在TAS模式。在上行信道探测阶段，IRS处于关闭状态，Alice获得直达链路信息${{\boldsymbol{g}}_{{\rm{ab}}}} = [{g_{{\rm{ab}},1}},{g_{{\rm{ab}},2}}, \cdots ,{g_{{\rm{ab}},M}}]$。在下行阶段，选择信道质量最优的直达链路发射信号，并打开IRS，则Bob的接收信号表示为

其中，$\left| {{g_{{\rm{ab}},m*}}} \right| = \mathop {\max }\limits_{\forall m \in M} \left| {{g_{{\rm{ab}},m}}} \right|$, $m *$表示最优的发射链路，信号源$x \sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$，${P_{\rm{t}}}$为发射功率，${n_{\rm{b}}} \sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,\sigma _{\rm{b}}^2)$表示接收端噪声。

则Bob的信干比为

由于窃听者被动接收信息，窃听者的信道信息未知，无法类似文献[7,9]中在全局或部分信道信息已知下设计反射相移。因此，在下行阶段，反射面的相移设计策略为设置${\boldsymbol{\varPhi}}$来最大化Bob的信干比。而由式(2)知，借助向量三角不等式，当反射路径的每一条链路与直达链路${g_{{\rm{ab}},m*}}$相位对齐时，相应的信干比最大，即满足

则可得

其中，${\bar \gamma _{{\rm{ab}}}} = \dfrac{{{P_{\rm{t}}}{L_0}}}{{\sigma _{\rm{b}}^2d_{{\rm{ab}}}^\chi }}$, ${\bar \gamma _{{\rm{arb}}}} = \dfrac{{{P_{\rm{t}}}{L_0}}}{{\sigma _{\rm{b}}^2d_{{\rm{ar}}}^\chi d_{{\rm{rb}}}^\chi }}$, ${X_1} = \left| {{g_{{\rm{ab}},m * }}} \right|$, ${Y_1} = \displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^N {\left| {{g_{{\rm{ar}},i}}} \right|\left| {{g_{{\rm{rb}},i}}} \right|}$。

2.2.2   窃听用户

窃听用户在系统内随机分布，对于任意一个窃听者接收信号表示为

其中，${n_{\rm{e}}} \sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,\sigma _{\rm{e}}^2)$表示接收端噪声。

需要说明的是，由于Alice-Eve的链路和Alice-Bob的链路独立，则TAS策略选择的最优通道$m *$与Alice至Eve方向的链路质量无关，因而${g_{{\rm{ae}},m * }}$的分布与Alice为单天线工作模式无区别。

则Eve的信干比为

其中，${\bar \gamma _{{\rm{ae}}}} = \dfrac{{{P_{\rm{t}}}{L_0}}}{{\sigma _{\rm{e}}^2d_{{\rm{ae}}}^\chi }}$, ${\bar \gamma _{{\rm{are}}}} = \dfrac{{{P_{\rm{t}}}L_0^2}}{{\sigma _{\rm{e}}^2d_{{\rm{ar}}}^\chi d_{{\rm{re}}}^\chi }}$, ${X_2} = {g_{{\rm{ae}},m * }}$, ${Y_2} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{g_{{\rm{ar}},i}}{g_{{\rm{re}},i}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\theta _i}}}}$。

对于系统中多个窃听者来说，窃听者可能工作于合作窃听模式或非合作窃听模式^[14]。这里只考虑非合作窃听模式，即系统中最大窃听容量为信干比最高的用户所决定，表示为

其中，${\gamma _{\rm{E}}} = \mathop {\max }\limits_{{\rm{e}} \in {\varPhi _{\rm{E}}}} \left\{ {{\gamma _{\rm{e}}}} \right\}$。

3.   传输安全中断概率分析

为了把握整体的系统安全性和可靠性，用传输安全中断概率(Transmission Secrecy Outage Probability, TSOP)指标表征网络信息传输安全且成功接收的性能^[15]，具体定义为

其中，${C_{\rm{B}}} = {\log _2}(1 + {\gamma _{\rm{b}}})$，${R_{\rm{B}}}$表示传输速率，表征传输可靠性，${R_S}$表示安全速率，表征安全性。

由式(4)和式(6)知，${\gamma _{\rm{b}}}$和${\gamma _{\rm{e}}}$相互独立，则可获得

为获得TSOP闭式解，下面分别推导${\gamma _{\rm{b}}}$和${\gamma _{\rm{E}}}$的分布。

3.1   ${\gamma _{\rm{b}}}$的概率分布推导

考虑式(4)，由${g_{{\rm{ab}},m}}$服从复高斯分布知，$\left| {{g_{{\rm{ab}},m}}} \right|$服从瑞利分布，其分布${G_{{\rm{ab}},m}}(x)$表示为

其中，${\lambda _{\rm{D}}} = \dfrac{1}{2}$。

则可得${X_1}$分布

等式(a)为用二项分布展开后的结果。则${X_1}$的概率密度函数为

考虑${Y_1}$分布，由于瑞利分布和的闭式解难以获得，但对于每个分量$\left| {{g_{{\rm{ar}},i}}} \right|\left| {{g_{{\rm{rb}},i}}} \right|$为独立同分布，且$N$通常很大，则利用中心极限定理，可得${Y_1}$近似服从均值$s = \dfrac{{N\pi }}{4}$，方差$\sigma _y^2 = N\left(1 - \dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}}\right)$的高斯分布，其概率密度函数为

进一步，对于式(4)，$Z = \sqrt {{{\bar \gamma }_{{\rm{arb}}}}} {X_1} + \sqrt {{{\bar \gamma }_{{\rm{ab}}}}} {Y_1}$的概率分布表示为

利用指数积分查表可得如式(15)的积分形式^[16]

对应类似的形式，${J_1}$和${J_{2,m}}$可分别表示为

其中 ${c_{1,m}} = \sqrt {\dfrac{{{\lambda _{\rm D}}}}{{m\sigma _y^2{\rho ^2} + {\lambda _{\rm D}}}}}$, ${c_{2,m}} = \dfrac{1}{{2{\lambda _{\rm D}}\sigma _y^2(m\sigma _y^2{\rho ^2} + {\lambda _{\rm D}})}}$, ${c_{3,m}} = \sqrt {\dfrac{{m\sigma _y^2{\rho ^2} + {\lambda _{\rm D}}}}{{2\sigma _y^2{\lambda _{\rm D}}}}}$, ${c_{4,m}} = \sqrt {\dfrac{1}{{(m\sigma _y^2{\rho ^2} + {\lambda _{\rm D}})2\sigma _y^2{\lambda _{\rm D}}}}}$。

再构造${c_{5,m}} = - {c_{2,m}}{\lambda _{\rm D}}m\sigma _y^2{a^2}$, ${c_{6,m}} = 2{\lambda _{\rm D}}$$sm\sigma _y^2a\rho {c_{2,m}}$, ${c_{7,m}} = - m\sigma _y^2{\rho ^2}{\lambda _{\rm D}}{s^2}{c_{2,m}}$，进一步简化${J_{2,m}}$可得

由于${\gamma _{\rm{b}}} = {Z^2}$，则可得

即可得${\gamma _{\rm{b}}}$概率分布闭合表达式。

3.2   ${\gamma _{\rm{E}}}$的概率分布推导

首先推导获得单个窃听者的概率分布。由式(6)知，${X_2} = {g_{{\rm{ae}},m * }}$服从复高斯分布；${Y_2} = \displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^N {{g_{{\rm{ar}},i}}{g_{{\rm{re}},i}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\theta _i}}}}$由多个变量和组成，难以获得闭式解分布，类似上一小节，利用中心极限定理，当$N$较大时，${Y_2}$近似服从均值为0，实部和虚部的方差均为$N/2$的复高斯分布。则根据高斯分布的性质，${Z_2} = \sqrt {{{\bar \gamma }_{{\rm{are}}}}} {X_2} +$$\sqrt {{{\bar \gamma }_{{\rm{ae}}}}} {Y_2}$服从高斯分布，其均值为0，实部和虚部的方差均为$N{\bar \gamma _{{\rm{are}}}}/2 + {\bar \gamma _{{\rm{ae}}}}/2$。进一步可知${\left| {{Z_2}} \right|^2}$分布服从参数${\lambda _{\rm{e}}} = N{\bar \gamma _{{\rm{are}}}} + {\bar \gamma _{{\rm{ae}}}}$的指数分布，即其概率分布为

考虑窃听者服从HPPP模型分布，且采用非合作窃听模式，则系统中最大窃听信干比分布表示为

由于反射面通常部署距离基站较近的位置，而窃听者一般部署离基站相对较远的位置(否则易被发现)，因此可近似认为${d_{{\rm{re}}}} \approx {d_{{\rm{ae}}}}$。利用随机几何理论，式(20)可变换为

其中，式(21a)成立因窃听节点间信道相互独立，式(21b)和式(21c)成立为将式(6)、式(19)代入可得。

进一步由PPP的概率母泛函定理^[17]，可将式(21)转化为

利用文献[16]中式(3.326.2)，可得

3.3   TSOP推导及分析

代入式(18)和式(23)，可得TSOP的表达式为

为对系统方案设计提供参考，分别分析发射功率、反射单元数量等参数对于TSOP的影响。

3.3.1   发射功率${P_{\rm{t}}}$和TSOP关系

当增加${P_{\rm{t}}}$时，易知Bob和Eve的信干比均增加，即${F_{{\gamma _{\rm{E}}}}}({P_{\rm{t}}})$为单调递减函数，$\left( {1 - {F_{{\gamma _{\rm{b}}}}}({P_{\rm{t}}})} \right)$为单调递增函数。由于${P_{{\rm{tso}}}}$与两个函数的乘积成比例，其单调性难以保证，直接对式(18)求导，相对复杂。首先从渐近情况来分析，${P_{\rm{t}}}$与TSOP的关系。

(1) 当${P_{\rm{t}}} \to 0$时，可得

对于${F_{{\gamma _{\rm{b}}}}}({P_{\rm{t}}})$，易知只有$a$与${P_{\rm{t}}}$相关，且$\mathop {\lim }\limits_{{P_{\rm{t}}} \to 0} a \to$$\infty$，则可得

由于误差函数${\text{erf}}( \cdot )$为有界函数，进而可得

进一步有

这与实际情况一致，当发送功率非常小时，无法保证传输可靠性，系统通信处于中断状态。

(2) 当${P_{\rm{t}}} \to \infty$时，可以得到

由于${F_{{\gamma _{\rm{b}}}}}({P_{\rm{t}}})$有界，则可得

可见TSOP关于${P_{\rm{t}}}$不存在单调性，且${P_{\rm{t}}}$不能设置过高，需要合理配置功率保证最优性能。

定理1　当满足$M = 1$且${\rho ^2} \ll 1$时，TSOP关于${P_{\rm{t}}}$有且最多一个极值点。

证明　当天线数$M = 1$时，式(18)可以简化为

根据误差函数${\text{erf}}( \cdot )$的性质，自变量趋近于2和–2时，函数值分别逼近1和–1。

对于${\text{erf}}\left( {\dfrac{{\sigma _y^2a\rho \sqrt z + {\lambda _{\rm{D}}}s}}{{\sqrt {2\sigma _y^2{\rho ^2} + 1} \sqrt {\sigma _y^2} }}} \right)$，当${\rho ^2} \ll 1$时，可得

即可知${\text{erf}}\left( {\dfrac{{\sigma _y^2a\rho \sqrt z + {\lambda _{\rm{D}}}s}}{{\sqrt {2\sigma _y^2{\rho ^2} + 1} \sqrt {\sigma _y^2} }}} \right) \approx 1$，同理可得${\text{erf}}\left(\dfrac{s}{{\sqrt 2 {\sigma _y}}}\right) \approx 1$。

当功率${P_{\rm{t}}}$取值较小满足$\dfrac{{a/\rho \sqrt z - s}}{{\sqrt 2 {\sigma _y}}} \gg 2$时，可得${\text{erf}}\left(\dfrac{{a/\rho \sqrt z - s}}{{\sqrt 2 {\sigma _y}}}\right) \approx 1$，且由于${\rho ^2} \ll 1$，有${\text{erf}}\left( {\dfrac{{\dfrac{a}{\rho }\sqrt z - s}}{{\sqrt {2\sigma _y^2{\rho ^2} + 1} \sqrt 2 {\sigma _y}}}} \right) \approx {\text{erf}}\left( {\dfrac{{\dfrac{a}{\rho }\sqrt z - s}}{{\sqrt 2 {\sigma _y}}}} \right) \approx 1$，因此，当${P_{\rm{t}}}$较小时，有近似

当进一步增大${P_{\rm{t}}}$时，${\text{erf}}\left(\dfrac{{a/\rho \sqrt z - s}}{{\sqrt 2 {\sigma _y}}}\right)$的自变量落在[0,2]的区间。在此区间利用误差函数的近似形式^[18]进行逼近，则有

其中，${w_i} = [1/6\;\;1/3\;\;1/3]$, ${p_i} = [1\;\;4\;\;4/3]$。

由于${\rho ^2} \ll 1$，则$\dfrac{{{\rho ^2}{{\left(\dfrac{a}{\rho }\sqrt z - s\right)}^2}}}{{2\sigma _y^2{\rho ^2} + 1}} \ll \dfrac{{{p_i}}}{{2\sigma _y^2}}{\left(\dfrac{a}{\rho }\sqrt z - s\right)^2}$, $\dfrac{1}{{2\sqrt {2\sigma _y^2{\rho ^2} + 1} }} \approx \dfrac{1}{2}$，通过近似可得

则在上述区间，相应的TSOP的表达式为

对式(36)求导可得

其中，${\xi _1} = \dfrac{{2\pi {\rho _{\rm{E}}}{{(NL_0^2/(d_{{\rm{ar}}}^\chi \sigma _{\rm{e}}^2) + {L_0}/\sigma _{\rm{e}}^2)}^{\frac{2}{\chi }}}}}{{\chi {{({2^{{R_{\rm{B}}} - {R_{\rm{S}}}}} - 1)}^{\frac{2}{\chi }}}}}\varGamma \left(\dfrac{2}{\chi }\right) > 0$, ${\xi _2} = \sqrt {\dfrac{{d_{{\rm{ab}}}^\chi \sigma _{\rm{b}}^2}}{{{L_0}(2\sigma _y^2{\rho ^2} + 1)}}} > 0$, ${\xi _3} = \dfrac{{\rho s}}{{\sqrt {(2\sigma _y^2{\rho ^2} + 1)} }} > 0$。

进一步令${P_{\rm{t}}} = {t^2}$，则有

由指数函数和线性函数的性质，易知${f_{{\rm{tso}}}}({P_{\rm{t}}})$有且最多一个极值点。

继续增大${P_{\rm{t}}}$，当$\dfrac{{a/\rho \sqrt z - s}}{{\sqrt 2 {\sigma _y}}}$处于区间[–2,0]时，可得

当进一步增大${P_{\rm{t}}}$，满足$\dfrac{{a/\rho \sqrt z - s}}{{\sqrt 2 {\sigma _y}}} \le - 2$时，由${\text{erf}}\left(\dfrac{{a/\rho \sqrt z - s}}{{\sqrt 2 {\sigma _y}}}\right) \approx - 1$易得

式(40)也可由${F_{{\gamma _{\rm{b}}}}}({P_{\rm{t}}})$单调递减可得。又由于${F_{{\gamma _{\rm{E}}}}}({P_{\rm{t}}})$为单调递减，则可知在${f_{{\rm{tso}}}}({P_{\rm{t}}})$此区间单调递增，不存在极值点。综上，定理1得证。

事实上有${\rho ^2} = \dfrac{{{L_0}d_{{\rm{ab}}}^\chi }}{{d_{{\rm{ar}}}^\chi d_{{\rm{rb}}}^\chi }} \approx \dfrac{{{L_0}}}{{d_{{\rm{ar}}}^\chi }}$，由于无线环境中参考路损典型值${L_0} = {10^{{{ - }}3}} \ll 1$^[19,20]，且反射面离基站不可能部署太近，即$d_{{\rm{ar}}}^\chi \gg 1$，则${\rho ^2} \le {10^{{{ - }}3}} \ll 1$很容易满足，该结论具有实用意义。

当${f_{{\rm{tso}}}}({P_{\rm{t}}})$只有一个最优点时，可通过常用的二分法、牛顿法等优化算法获得最优功率^[21]，篇幅有限，不再列出。当$M > 1$时，虽然难以获得类似结论，但增大$M$，相应的函数$\left( {1 - {F_{{\gamma _{\rm{b}}}}}({P_{\rm{t}}})} \right)$上升更快，易知对应的最优功率必然比$M = 1$时最优功率小，这将在后续仿真中进一步验证。

3.3.2   反射单元数量$N$和TSOP关系

由式(17)易知，${F_{{\gamma _{\rm{E}}}}}$为关于$N$的单调不增函数。对于${F_{{\gamma _{\rm{b}}}}}$，直接对式(18)求导获得单调性较为困难。由${X_1}$和${Y_1}$的概率密度函数，可将${\gamma _{\rm{b}}}$分布表示为

由于${f_{{X_1}}}(x)$, $\sqrt z a/\rho$与$N$无关，则${F_{{Y_1}}}(a\sqrt z - \rho x,N)$与${F_{{\gamma _{\rm{b}}}}}(z,N)$单调性一致。因此首先证明${F_{{Y_1}}}(a\sqrt z - \rho x,N)$的单调性。

则关于$N$求导可得

即函数${F_{{Y_1}}}(a\sqrt z - \rho x,N)$为单调不增函数，进而${F_{{\gamma _b}}}(\sqrt z ,N)$为单调不增函数。

由于$(1 - {P_{{\rm{tso}}}})$为单调性不同的函数相乘，判断其单调性及最优点是困难的。由于反射面配置在基站附近， ${L_0} \ll d_{{\rm{ar}}}^\chi$，即${P_{\rm{t}}}L_0^2/(d_{{\rm{ar}}}^\chi \sigma _{\rm{e}}^2) \ll {P_{\rm{t}}}L_0^{}/\sigma _{\rm{e}}^2$。根据式(24)，当$N$较小时，对${F_{{\gamma _{\rm{E}}}}}(N)$影响较小，且当反射面离基站越远，$N$对${F_{{\gamma _{\rm{E}}}}}(N)$影响越小。则可知在一定区间内TSOP随$N$增加而减小。后续通过仿真进一步说明。

3.3.3   发射天线数量$M$和TSOP关系

由式(24)知，发射天线数量$M$只影响${F_{{\gamma _{\rm{b}}}}}(M)$，即仅需证明${F_{{\gamma _{\rm{b}}}}}(M)$的单调性。类似上一小节，可将${\gamma _{\rm{b}}}$概率分布表示为

同样地，若证明${F_{{X_1}}}\left(\dfrac{{\sqrt z - \sqrt {{{\bar \gamma }_{{\rm{ab}}}}} y}}{{\sqrt {{{\bar \gamma }_{{\rm{arb}}}}} }},M\right)$关于$M$的单调性，则可得${F_{{\gamma _{\rm{b}}}}}(M)$的单调性。由式(11)，有

易知式(45)关于$M$单调递减，则TSOP随$M$单调递减。

当$M \to \infty$时，有

则可得$\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } {F_{{\gamma _{\rm{b}}}}}(z,M) = 0$。

进一步有

则可获得$M$趋近于无穷时TSOP的极限特性。

4.   仿真及性能分析

在本节中，对系统性能进行数值仿真。仿真参数如下，Alice, IRS和Bob分别位于坐标(0, 0), (0, 1), (0, 70)处，单位为m。Eve按照HPPP过程建模，最大区间$R = 150\;{\rm{m}}$。 路径衰落系数$\chi = 3$，参考路损${L_0} = - 30\;{\text{dB}}$，信噪比$\sigma _{\rm{b}}^2 = \sigma _{\rm{e}}^2 = - 80\;{\text{dBm}}$。本节中蒙特卡罗仿真由${10^5}$次仿真取平均值得到。

作为比较，本文给出了无反射面辅助下采用TAS方案和波束赋形方案的安全性能，并命名为方案1(TAS+No IRS)和方案2(BF+No IRS)。

图2给出了在给定常用路损${L_0}$下，不同${d_{ar}}$下拟合曲线和理论曲线的关系图。仿真中，设置$N = 20$，${\rho _{\rm{E}}} = 5 \times {10^{ - 5}}\;{{\text{m}}^{ - 2}}$，${R_{\rm{B}}}{\text{ = }}7\;{\text{bit}}/({\text{s}} \cdot {\text{Hz)}}$，${R_{\rm{S}}}{\text{ = }}1\;{\text{bit}}/$$({\text{s}} \cdot {\text{Hz)}}$。可以看到，随着IRS至Alice距离${d_{{\rm{ar}}}}$越远，$\rho$值越小，相应的拟合性能越好，验证了定理1。实际中，IRS与用户存在一定距离，因此通常情况下拟合曲线足以逼近TSOP曲线。图3绘制了TSOP随不同发射功率性能曲线。仿真参数同图2。可以看到，理论曲线和仿真曲线基本一致。随着发送功率增大，TSOP先降后增，这是因为当功率处于一定水平时，主要用来保证传输可靠性，当继续增大发射功率后，窃听方的信干比相应增大，则必然存在一个平衡，即存在最优的发射功率来保证系统性能最优。观察$M{\text{ = }}1$时仿真曲线，有且仅有一个最优点，可通过搜索算法获得最优值；当天线数为1时的最优点的所需的功率高于天线数为4时的最优点所需功率，均验证了3.3.1节的理论分析。进一步，为对比多天线场景下性能，存在IRS时主被动波束成形联合优化的方案(BF+IRS)^[5]性能也一并给出。可以看到，引入IRS后，无论是TAS方案还是BF方案，同等约束下，TSOP均明显下降，说明配置IRS可对系统性能带来提升。但是BF方案需要较多的射频链路和精确的链路信息，特别是联合优化方案计算复杂度高，闭式解获取困难；而采用本文方案，实现简单，开销小，且其性能可与方案2性能接近，可在保证性能的同时降低基站复杂度。

图 2  不同${d_{ar}}$下理论曲线与拟合曲线关系图

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图 3  TSOP随发送功率的变化

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图4给出了IRS处于不同位置时，不同单元数量下系统性能曲线，其中包括理论分析和仿真结果。仿真中，设置$M{\text{ = 4}}$, ${P_{\rm{t}}} = 22\;{\text{dBm}}$, ${\rho _{\rm{E}}} = 5 \times$${10^{ - 5}}\;{{\text{m}}^{ - 2}}$, ${R_{\rm{B}}}{\text{ = }}7\;{\text{bit}}/({\text{s}} \cdot {\text{Hz)}}$, ${R_{\rm{S}}}{\text{ = }}1.5\;{\text{bit}}/({\text{s}} \cdot {\text{Hz)}}$。可以看到，理论曲线和仿真曲线基本保持一致。随着单元数量$N$增多，TSOP先降后缓慢上升，当${d_{{\rm{ar}}}} = 1\;{\text{m}}$时，当$N \ge 50$时，TSOP缓慢上升；当${d_{{\rm{ar}}}} =$$2\;{\text{m}}$, $N \ge 140$时，TSOP缓慢上升；当${d_{{\rm{ar}}}} = 5\;{\text{m}}$, $N \le 200$时，TSOP持续下降，这与第3节理论分析一致。当$N$大于一定程度时，虽然所提的方案增强合法用户信号，但由于反射路径增加，对于窃听用户信干比也带来一定的提升，因而系统的TSOP并不能保证持续下降。如果能够获得更多的窃听者信息，如利用全局信息设计反射系数，则在该情况下安全性能会随着$N$增加而增加^[13,19]。另外，比较不同位置时性能，当IRS越靠近基站部署，更少的$N$即可达到较优性能，这是因为反射路径越短，反射路损越小，反射径与直达径对齐后带来增量越强。进一步，考虑到IRS硬件能力的限制，实际中只能取离散相位。图4中给出了3 bit量化下系统性能，可以看到，取有限量化比特，并不会对系统性能增量带来明显损失。

图 4  TSOP随反射单元数量的变化

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图5绘制了不同发射天线数量下性能曲线。仿真中，设置$N{\text{ = 20}}$, ${P_{\rm{t}}} = 18\;{\text{dBm}}$, ${\rho _{\rm{E}}} = 5 \times {10^{ - 5}}\;{{\text{m}}^{ - 2}}$, ${R_{\rm{B}}}{\text{ = }}6\;{\text{bit}}/({\text{s}} \cdot {\text{Hz)}}$, ${R_{\rm{S}}}{\text{ = }}1\;{\text{bit}}/({\text{s}} \cdot {\text{Hz)}}$。可以看到，理论曲线和仿真曲线基本保持一致，随着发射天线数量$M$增大，TSOP逐渐下降，而当$M$增加到一定程度时，对于本文所提的方案和BF方案，中断概率性能逐渐趋于平缓，逐渐逼近理论分析极限值。而对于无IRS的TAS方案，要达到同等的安全性能，需要$M$更多，而与之对比的是通过部署低成本IRS可以达到同等性能，降低了对系统链路信息精度需求。

图 5  TSOP随发射天线数量的变化

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图6给出了不同窃听分布密度下性能曲线。仿真中，设置${P_{\rm{t}}} = 20\;{\text{dBm}}$, $M{\text{ = 4}}$, ${R_{\rm{B}}} = 6\,{\text{bit}}/({\rm{s}} \cdot {\text{Hz)}}$, ${R_{\rm{S}}}{\text{ = }}1\;{\text{bit}}/({\text{s}} \cdot {\text{Hz)}}$。可以看到，理论曲线和仿真曲线基本保持一致。当${\rho _{\rm{E}}} = 2 \times {10^{ - 5}}\;{{\text{m}}^{ - 2}}$时，在给定区域内窃听者平均数量为1.4个，当${\rho _{\rm{E}}} = 5 \times {10^{ - 5}}\;{{\text{m}}^{ - 2}}$时，在给定区域内窃听者平均数量为3.5个，随着窃听分布密度的增加，TSOP逐渐增大。当$N{\text{ = }}20$时，相较于无IRS的方案，本文所提方案可以提供更高安全性能。进一步增加无源反射单元数量，通过提供更多的设计维度，增强合法方信道质量，安全性能得到进一步提升，即通过部署IRS可容忍更多的窃听者，适合未来绿色通信。

图 6  TSOP随窃听分布密度的变化

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5.   结束语

本文分析了窃听者随机分布下智能反射面辅助的MISO系统的安全性能。首先给出了基站和反射面的工作策略，并用随机几何理论来刻画窃听者位置的不确定性，然后以TSOP作为性能指标，推导该指标下的闭式解，分析了系统参数对性能指标的影响，最后通过仿真验证了理论分析的正确性。理论分析和仿真结果表明，部署反射面后，安全性能得到提升，并通过合理配置发送功率、发送天线数量等参数，可以得到最优的安全性能。本文只考虑基站服务单用户的情况，实际中同时服务多用户的情况更为普遍，相应的信道间互干扰更严重，预编码矩阵和反射系数设计更为复杂，值得后续进一步研究。