1.   引言

在通信、密码、雷达和声呐等实际应用系统中，为了实现同步、抗多径干扰、防止载波泄漏和实现设备简易性等需求，具有理想自相关特性的二进制序列在这些领域中发挥着重要作用^[1,2]。如在码分多址(Code Division Multiple Access, CDMA)通信系统中，需要这些序列来获取接收信号的准确定时信息，在密码学中，序列用于以流密码加密生成密钥流。通常要求所采用的序列应具有尽可能低的自相关函数旁瓣值和好的平衡性^[3,4]。而目前已有的研究结果表明，最佳序列存在数目比较有限，最佳二进制序列仅存在长度为4的(1, 1, 1, –1)的情况^[5,6]。为了获得更多满足实际需求的序列，学者在不断寻求其他形式理想序列。按序列周期不同，理想二进制序列分为4类^[4,7]，本文将对其中周期为$T \equiv {\rm{0 }}\left( {{\rm mod} 4} \right)$的理想二进制序列的直接构造方法进行研究。

近20年来，周期为$T \equiv 0\;\left( {{\rm{mod 4}}} \right)$且具有理想自相关特性的二进制序列一直都是学者研究的热点^[7-16]，目前关于这类周期长度的序列的构造方法主要有3类：一是基于特征多项式法，代表性成果有基于多项式$z\left( {1 - z} \right)$法^[8]，基于广义多项式${\left( {z + 1} \right)^d} + a{z^d} + b$法^[9]，通过这类方法得到了周期为$T = {p^m} - 1 \equiv 0\;\left( {{\rm{mod 4}}} \right)$ 且自相关函数值为$\left\{ {0, - 4} \right\}$的平衡或几乎平衡二进制序列；二是基于交织法，代表性成果有文献[10]利用交织法，对两个周期均为$v \equiv 3 \left( {{\rm mod} 4} \right)$的理想二进制序列做交织和移位操作，得到了周期为$T \equiv 4v$，旁瓣值为$\left\{ {0, - 4} \right\}$的几乎平衡理想二进制序列。文献[11]对周期为$v = {2^{2k}} - 1$的二进制GMW序列和完备二进制序列做交织和移位操作，得到了周期为$T = 4v$旁瓣值为$\left\{ {0, \pm 4} \right\}$的理想二进制序列，目前此类序列大多数都是基于交织法^[7,10-14]，但基于交织法得到的理想二进制序列普遍存在特性受所采用的移位序列和基序列限制的问题；三是基于中国剩余定理法，基于2阶分圆类和中国剩余定理得到参数为$\left( 4v,2v + 1, v,v - 1\right)$的几乎差集，根据几乎差集与二进制序列之间的等价关系可得到周期为$T = 4v$，其中$v \equiv 3\;\left( {{\rm{mod 4}}} \right)$，旁瓣值为$\left\{ {0, - 4} \right\}$的几乎平衡理想二进制序列^[15]；以及基于中国剩余定理将一个完备二进制序列和任意的理想二进制序列结合起来，构造得到了一类几乎平衡理想二进制序列^[16]。

本文在现有成果基础上，将素数$v$分为$v \equiv 3\; \left( {{\rm{mod 4}}} \right)$和$v \equiv 1\;\left( {{\rm{mod 4}}} \right)$两种情况，基于2阶分圆类和中国剩余定理将提出3种周期均为$T = 4v$的理想二进制序列$w$的普遍构造方法，得到的二进制序列不仅具有理想自相关特性，而且具有很好的平衡性。拓展了现有周期为$T \equiv 0\;\left( {{\rm{mod 4}}} \right)$的理想二进制序列存在范围。

2.   基本概念

定义1　设周期为$T$的序列$w = (w(0),w(1), \cdots w(T - 1))$，其中$w(t) \in \left\{ {1, - 1} \right\}$，则称序列$w$为二进制序列，设${N_i}(w) = \left| {\left\{ {0 \le t < T:w(t) = i} \right\}} \right|$，当满足式(1)所示条件时，称序列$w$为平衡二进制序列

当满足式(2)所示条件时，称序列$w$为几乎平衡二进制序列

定义2　设$w$是周期为$T$的二进制序列，其周期自相关函数为

其中，$0 \le \tau < T$, $t + \delta = \left( {t + \delta } \right){\rm mod} N$，当$1 \le \tau \le T - 1$时，${R_w}\left( \tau \right)$称作序列$w$的自相关函数旁瓣值。

定义3　设$w$是周期为$T$的二进制序列，$W = \left\{ {w\left( t \right) = 1:0 \le t \le T - 1} \right\}$，则$W$称为序列$w$的特征集，反之，$w$称为$W$的特征序列。序列$w$的差函数${d_W}(\tau )$定义为

则${R_w}\left( \tau \right)$可以表示为${R_w}\left( \tau \right) = T - 4\left( {\left| W \right| - {d_W}(\tau )} \right)$，其中$\left( {W + \tau } \right) \in \left\{ {w + \tau :w \in W} \right\}$，$\left| W \right|$表示集合$W$的长度。根据式(4)，当$0 < \tau < T$时，可以得到${R_w}\left( \tau \right) = T\left( {{\rm mod} 4} \right)$。因此，具有理想自相关值的二进制序列有以下4种情况^[4,7]：(1)当$T \equiv 0 \left( {{\rm mod} 4} \right)$时，${R_w}\left( \tau \right) = 0$；(2)当$T \equiv 1\;\left( {{\rm mod} 4} \right)$时，${R_w}\left( \tau \right) \in \left\{ { - 3,1} \right\}$；(3)当$T \equiv 2\;\left( {{\rm mod} 4} \right)$时，${R_w}\left( \tau \right) \in \left\{ { - 2,2} \right\}$；(4)当$T \equiv 3\;\left( {{\rm mod} 4} \right)$时，${R_w}\left( \tau \right) = - 1$。其中情况(1)中的序列称为最佳二进制序列。当$T \equiv 0\;\left( {{\rm mod} 4} \right)$, ${R_w}\left( {\tau \ne 0} \right) \in \left\{ {0,4} \right\}$或$\left\{ {0, - 4} \right\}$时，称序列$w$为具有理想自相关函数值的二进制序列，当${R_w}\left( {\tau \ne 0} \right) \in \left\{ {0, \pm 4} \right\}$时，称序列$w$为具有理想自相关函数幅值的二进制序列^[5,6]。

定义4^[9]　设$T > 1$，$W$为序列$w$的特征集，其中$\left| W \right| = l$，${d_W}(\tau )$如式(4)所示，当且仅当$\tau$取遍$Z_T^*$中所有元素后，${d_W}(\tau ) = \lambda$出现$e$次，${d_W}(\tau ) = \lambda + 1$出现$T - 1 - e$次时，集合$W$称为参数为$\left( {T,l,\lambda ,e} \right)$的几乎差集。几乎差集的参数之间的关系为

根据式(4)和式(5)可以得到，当特征集合$W$是${Z_T}$上的参数为$\left( {4v,2v - 1,v - 2,v - 1} \right)$或$\left( 4v,2v + 1,v, v - 1 \right)$的几乎差集时，序列$w$是周期为$4v$且自相关值为$\left\{ {0, - 4} \right\}$的几乎平衡理想序列。

分圆类是构造理想二进制或四进制序列的一种重要数学工具。关于2阶分圆类的介绍如下所示：

定义5^[15]　设$v = 2d + 1$为一奇素数，其中$d$为正整数。$\alpha$是${Z_v}$上的本原元，令

则集合$D_0^{\left( {2,v} \right)}$和$D_1^{\left( {2,v} \right)}$都称为2阶分圆类，$D_j^{\left( {2,v} \right)}$可以简写为${D_j}$。令

其中，$"+"$代表和模$v$。则$\left( {j,w} \right)$称作${Z_v}$上的2阶分圆数。

引理1^[15]　设素数$v \equiv 3\;\left( {{\rm mod} 4} \right)$，则

$\left( {0,1} \right) = \dfrac{{v - 1}}{4}$, $\left( {0,0} \right) = \left( {1,0} \right) = \left( {1,1} \right) = \dfrac{{v - 3}}{4}$，

设素数$v \equiv 1\;\left( {{\rm mod} 4} \right)$，则

$\left( {0,0} \right) = \dfrac{{v - 5}}{4}$, $\left( {0,1} \right) = \left( {1,0} \right) = \left( {1,1} \right) = \dfrac{{v - 1}}{4}$。

根据中国剩余定理^[17]，${Z_{4v}} \cong {Z_4} \times {Z_v}$存在以下映射关系

其中，${\tau _0} = \tau \;\left( {{\rm{mod 4}}} \right)$, ${\tau _1} = \tau \;\left( {{\rm{mod }}v} \right)$。因此，构造周期为$T = 4v$具有理想自相关特性的二进制序列就相当于在${Z_4} \times {Z_v}$上进行构造。

引理2　设$D = \left\{ i \right\} \times {D_j} \cup \left\{ {i + 1,i + 2,i + 3} \right\} \times {D_{1 - j}}$，其中${D_j},{D_{1 - j}} \subseteq {Z_v}$, $0 \le j \le 1$, $0 \le i \le 3$。设$\tau = ({\tau _1},{\tau _2}) \in {Z_4} \times {Z_v}$，那么$D$的差函数${d_D}\left( {{\tau _1},{\tau _2}} \right)$为

证明

证毕

3.   几乎平衡具有理想自相关函数值二进制序列构造

这部分将提出一种周期为$T = 4v$具有理想自相关函数值的几乎平衡二进制序列的普遍构造方法。

定理1　设$v = 2d + 1$为一奇素数，其中$v \equiv 3 \left( {{\rm mod} 4} \right)$，当序列$w$的特征集$W$满足

其中

$V \in \left\{ \left\{ {\left( {i,0} \right)} \right\},\left\{ {\left( {2 + i,0} \right)} \right\},\left\{ \left( {i + 1,0} \right),\left( {i + 2,0} \right) \right.\right.$, $\left.\left.\left( {i + 3,0} \right) \right\},\,\left\{ {\left( {i,0} \right),\,\left( {i + 1,0} \right),\,\left( {i + 3,0} \right)} \right\} \right\}$($0 \le i \le 3$, $0 \le j \le 1$)。

那么得到的序列$w$是周期为$T = 4v$且${R_w}\left( {\tau \ne 0} \right) \in \left\{ {0, - 4} \right\}$的几乎平衡理想二进制序列。

证明　以$V = \left\{ {\left( {2 + i,0} \right)} \right\}$为例进行证明，其他情况的证明方法类似。根据式(4)，计算得到$W$的差函数${d_W}\left( {{\tau _1},{\tau _2}} \right)$为

显然，当$\left( {{\tau _1},{\tau _2}} \right) \ne \left( {0,0} \right)$时，可以得到

其中，${d_D}({\tau _1},{\tau _2})$如式(9)所示，对于任意的整数$i\left( {0 \le i \le 3} \right)$，$\varDelta ({\tau _1},{\tau _2})$可以表示为

在下面的证明中，以$j = 0$为例来计算${d_W}({\tau _1},{\tau _2})$，可以得到

由于$- 1 = {\alpha ^{\frac{{v - 1}}{2}}} = {\alpha ^d} \in {D_1}$，式(15)可以简化为

根据式(4)和引理1，由集合$W$得到的二进制序列$w$的自相关函数值为

当$V$不变，$i$和$j$取其他值时，证明方法相同。由于序列$w$中1的个数为$\left| W \right| = 2v - 1$，所以，所得的二进制序列是几乎平衡的。证毕

例1　设$v = 7$，取本原元$\alpha = 3$，那么，${D_0} = \left\{ {1,2,4} \right\}$, ${D_1} = \left\{ {3,5,6} \right\}$。设$i = 0$, $j = 0$, $V = \left\{ {\left( {2 + i,0} \right)} \right\}$。可以得到$W = \left\{ 0 \right\} \times {D_1} \cup \left\{ {1,2,3} \right\} \times {D_0} \cup \left\{ {\left( {2,0} \right)} \right\}$。根据中国剩余定理，构造得到的二进制序列为

且其自相关函数值为

令$i = 0$，$j = 0$，当$V = \left\{ {\left( {2 + i,0} \right)} \right\}$时，定理1构造得到的特征集$W = \left\{ 0 \right\} \times {D_0} \cup \left\{ {1,2,3} \right\} \times {D_1} \cup \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right\}$为文献[15]中得到的几乎差集；当$V = \left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 1,0} \right),\left( {i + 3,0} \right)} \right\}$时，特征集$W = \left\{ 0 \right\} \times {D_0} \cup \left\{ {1,2,3} \right\} \times {D_1} \cup \left\{ {\left( {0,0} \right),\left( {1,0} \right),\left( {3,0} \right)} \right\}$，与文献[16]中相同。因此，通过定理1构造方法，不仅可以得到文献[15,16]中已知的理想二进制序列，还可以得到一些新的具有理想自相关特性的几乎平衡二进制序列，所以定理1方法较文献[15,16]方法更为普遍。此外，根据几乎差集和三值自相关二进制序列之间的关系，定理1还得到了一些新的几乎差集，其参数为${Z_{4v}}$上的$\left( {4v,2v - 1,v - 2,v - 1} \right)$或$\left( 4v,2v + 1,v, v - 1 \right)$。

4.   (几乎)平衡具有理想自相关函数幅值的二进制序列构造

当$v \equiv 3\;({\rm mod} {\rm{ 4}})$为素数时，基于定理1构造法得到了旁瓣值${R_w}\left( {\tau \ne 0} \right) \in \left\{ {0, - 4} \right\}$的几乎平衡理想二进制序列。在本部分首先通过对定理1构造法进行适当改进，得到了一类新的周期为$T = 4v$($v \equiv 3\; ({\rm mod} {\rm{ 4}})$为素数)且具有理想自相关函数幅值的平衡二进制序列。

定理2　设$v = 2d + 1$为一奇素数，其中$v \equiv 3 \left( {{\rm mod} 4} \right)$，当序列$w$的特征集$W$满足

其中，$V \in \{ \left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 1,0} \right)} \right\}, \left\{ {\left( {i + 1,0} \right),\left( {i + 2,0} \right)} \right\},$$\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 2,0} \right)} \right\},\left\{ {\left( {i + 2,0} \right),\left( {i + 3,0} \right)} \right\},\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 3,0} \right)} \right\}$ , $\left\{ {\left( {i + 1,0} \right),\left( {i + 3,0} \right)} \right\}\} ,$($0 \le i \le 3$, $0 \le j \le 1$)，那么得到的序列$w$是周期为$T = 4v$且${R_w}\left( {\tau \ne 0} \right) \in \left\{ {0, \pm 4} \right\}$的平衡理想二进制序列。

证明　以$V = \left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 1,0} \right)} \right\}$为例进行证明，证明方法与定理1类似。

由于$\left( {{\tau _1},{\tau _2}} \right) \ne \left( {0,0} \right)$，所以$W$的差函数${d_W}\left( {{\tau _1},{\tau _2}} \right)$为

其中，

对于任意的整数$i\left( {0 \le i \le 3} \right)$, $\varDelta ({\tau _1},{\tau _2})$可以表示为

设$j = 1$，类似地，可以得到

根据式(22)，可以看出构造所得二进制序列$w$的自相关函数值及其分布。对于不同的$j$和$V$，以及任意的$i\left( {0 \le i \le 3} \right)$，表1列出了定理2中构造得到的理想二进制序列$w$的自相关函数值的分布。

表 1  定理2中理想二进制序列的自相关函数值分布

$j$	$V \in$	$R\left( {{\tau _1},{\tau _2}} \right)$	$\left( {{\tau _1},{\tau _2}} \right) \in$
0	$\left\{ {\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 1,0} \right)} \right\},} \right.$$\left. {\left\{ {\left( {i + 1,0} \right),\left( {i + 2,0} \right)} \right\}} \right\}$	–4	$\left\{ 1 \right\} \times {D_0} \cup \left\{ 3 \right\} \times {D_1} \cup \left\{ 0 \right\} \times Z_v^* \cup \left\{ {\left( {2,0} \right)} \right\}$,
1	$\left\{ {\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 3,0} \right)} \right\},} \right.$$\left. {\left\{ {\left( {i + 2,0} \right),\left( {i + 3,0} \right)} \right\}} \right\}$	0	$\left\{ 2 \right\} \times Z_v^* \cup \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {3,0} \right)} \right\}$,
		4	$\left\{ 1 \right\} \times {D_1} \cup \left\{ 3 \right\} \times {D_0}$
0	$\left\{ {\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 2,0} \right)} \right\},} \right.$$\left. {\left\{ {\left( {i + 1,0} \right),\left( {i + 3,0} \right)} \right\}} \right\}$	–4	$\left\{ 0 \right\} \times Z_v^* \cup \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {3,0} \right)} \right\}$,
		0	$\left\{ {1,2,3} \right\} \times Z_v^*$,
1		4	$\left\{ {\left( {2,0} \right)} \right\}$
0	$\left\{ {\left\{ {\left( {i + 3,0} \right),\left( {i + 2,0} \right)} \right\},} \right.$$\left. {\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 3,0} \right)} \right\}} \right\}$	–4	$\left\{ 0 \right\} \times Z_v^* \cup \left\{ 1 \right\} \times {D_1} \cup \left\{ 3 \right\} \times {D_0} \cup \left\{ {\left( {2,0} \right)} \right\}$,
1	$\left\{ {\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 1,0} \right)} \right\},} \right.$$\left. {\left\{ {\left( {i + 1,0} \right),\left( {i + 2,0} \right)} \right\}} \right\}$	0	$\left\{ 2 \right\} \times Z_v^* \cup \left\{ {\left( {3,0} \right),\left( {1,0} \right)} \right\}$,
		4	$\left\{ 1 \right\} \times {D_0} \cup \left\{ 3 \right\} \times {D_1}$
注：${0 \le i \le 3}$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

因为$\left| W \right| = 2v$，所以得到的二进制序列都是平衡的。证毕

例2　设$v = 7$，采用与例1相同长度为例来说明定理2的构造方法。设$i = 0$，$j = 1$，集合$V = \left\{ {\left( {0,0} \right),\left( {1,0} \right)} \right\}$。可以得到二进制序列为

其自相关函数值为

为了获得更多的理想二进制序列，接下来讨论奇素数$v \equiv 1\;({\rm mod} {\rm{ 4}})$的情况。

定理3　设$v = 2d + 1$为一奇素数，其中$v \equiv 1 \left( {{\rm mod} 4} \right)$，当序列$w$的特征集$W$满足

其中，$V \in \{ \left\{ {\left( {i + 1,0} \right)} \right\},\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 1,0} \right),\left( {i + 2,0} \right)} \right\}, \left\{ {\left( {i + 3,0} \right)} \right\},\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 2,0} \right),\left( {i + 3,0} \right)} \right\}\} ,$($0 \le i \le 3$,$0 \le j \le 1$)，那么得到的序列$w$是周期为$T = 4v$且${R_w}\left( {\tau \ne 0} \right) \in \left\{ {0, \pm 4} \right\}$的几乎平衡理想二进制序列。

证明　以$V = \left\{ {\left( {i + 3,0} \right)} \right\}$为例进行证明，证明方法与定理1类似。

当$\left( {{\tau _1},{\tau _2}} \right) \ne \left( {0,0} \right)$时，$W$的差函数为

其中，${d_D}({\tau _1},{\tau _2})$如式(9)所示，$\varDelta ({\tau _1},{\tau _2})$可以表示为

对于任意的整数$i\left( {0 \le i \le 3} \right)$，

设$j = 1$，显然，当$d$为偶数时，$- 1 \in {D_0}$，式(26)可以简化为

可以得到

根据式(28)，可以得到构造所得二进制序列$w$的自相关函数值及其分布。

类似地，对于任意的$i$，当$j$和集合$V$取不同的值时，构造得到的几乎平衡理想二进制序列的自相关函数值$\left\{ {0,4, - 4} \right\}$的分布是不同的。表2列出了定理3中不同$j$和$V$情况下构造得到的理想二进制序列的自相关函数值分布。

表 2  定理3中理想二进制序列的自相关函数值分布

$j$	$V \in$	$R\left( {{\tau _1},{\tau _2}} \right)$	$\left( {{\tau _1},{\tau _2}} \right) \in$
0	$\left\{ {\left\{ {\left( {i + 1,0} \right)} \right\},\left\{ {\left( {i + 3,0} \right)} \right\}} \right\}$	–4	$\left\{ 0 \right\} \times Z_v^* \cup \left\{ {1,3} \right\} \times {D_1}$,
1	$\left\{ {\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 1,0} \right),\left( {i + 2,0} \right)} \right\},} \right.$	0	$\left\{ 2 \right\} \times Z_v^* \cup \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {2,0} \right),\left( {3,0} \right)} \right\}$,
	$\left. {\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 2,0} \right),\left( {i + 3,0} \right)} \right\}} \right\}$	4	$\left\{ {1,3} \right\} \times {D_0}$
0	$\left\{ {\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 1,0} \right),\left( {i + 2,0} \right)} \right\},} \right.$	–4	$\left\{ 0 \right\} \times Z_v^* \cup \left\{ {1,3} \right\} \times {D_0}$,
	$\left. {\left\{ {\left( {i,0} \right),\left( {i + 2,0} \right),\left( {i + 3,0} \right)} \right\}} \right\}$	0	$\left\{ 2 \right\} \times Z_v^* \cup \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {2,0} \right),\left( {3,0} \right)} \right\}$,
1	$\left\{ {\left\{ {\left( {i + 1,0} \right)} \right\},\left\{ {\left( {i + 3,0} \right)} \right\}} \right\}$	4	$\left\{ {1,3} \right\} \times {D_1}$
注：${0 \le i \le 3}$

下载: 导出CSV 

| 显示表格

因为$\left| W \right| = 2v - 1$或$2v + 1$，所以得到的二进制序列都是几乎平衡的。证毕

例3　令$v = 13$，取本原元$\alpha = 2$，那么，${D_0} = \left\{ {1,3,4,9,10,12} \right\}$, ${D_1} = \left\{ {2,5,6,7,8,11} \right\}$。设$i = 0$, $j = 1$，集合$V = \left\{ {\left( {3,0} \right)} \right\}$，得到的二进制序列为

其自相关函数值为

5.   构造方法比较

表3列出了目前已有周期为$T \equiv 0\left( {{\rm mod} 4} \right)$ 理想二进制序列的主要构造方法，与已有成果相比，本文构造方法的优点主要体现在如下几个方面：一是直接构造法，本文提出的3种构造方法都是直接构造法，而文献[7,10-14]采用的均是交织法，所得序列的特性受所采用基序列或移位序列影响；二是平衡性更好，当$v \equiv 3\;\left( {{\rm mod} 4} \right)$时，文献[7,10-12,14]得到的理想二进制序列都为几乎平衡或不平衡序列，而本文定理2中获得的理想二进制序列都为平衡序列；三是得到的序列更多，同文献[15,16]相比，虽然采用的都是直接构造方法，但该文定理1中构造得到的理想二进制序列不仅包含文献[15,16]中序列，而且还可得到一些新的具有理想自相关特性的几乎平衡二进制序列，从而也可得到一些新的参数为$\left( {4v,2v + 1,v,v - 1} \right)$的几乎差集。

表 3  已知周期为$T \equiv 0\;\left( {{\rm{mod 4}}} \right)$的具有理想自相关值/幅度的二进制序列总结

周期 $T$	$R\left( {\tau \ne 0} \right)$	平衡性	构造方法
$T = 4v$, $v \equiv 3(\bmod 4)$	$\left\{ {0, - 4} \right\}$	几乎平衡	交织法[10]
$T = 4v$, $v = {2^{2k}} - 1$	$\left\{ {0, \pm 4} \right\}$	几乎平衡	交织法[11]
$T = 4v$, $v = p\left( {p + 2} \right)$, $p$和$p + 2$为素数	$\left\{ {0, \pm 4} \right\}$	不平衡	交织法[11]
$T = 4v$, $v = {2^m} - 1$, $m$为整数	$\left\{ {0, \pm 4} \right\}$	几乎平衡	交织法[12]
$T = 4v$, $v \equiv 3(\bmod 4)$, $v$为整数	$\left\{ {0, - 4} \right\}$	几乎平衡	中国剩余定理[16]
$T = 4v$, $v \equiv 3(\bmod 4)$, $v$为素数	$\left\{ {0, - 4} \right\}$	几乎平衡	分圆类[15]
$T = {p^m} - 1$, $\dfrac{ { {p^m} - 1} }{2}$为偶数	$\left\{ {0, - 4} \right\}$	平衡	基于多项式$z\left( {1 - z} \right)$[8]
$T = {p^m} - 1$, $p$为奇素数	$\left\{ {0, - 4} \right\}$	平衡或几乎平衡	基于多项式${\left( {z + 1} \right)^d} + a{z^d} + b$[9]
$T = 4v$, $v \equiv 3(\bmod 4)$	$\left\{ {0, \pm 4} \right\}$	几乎平衡或不平衡	一般化交织法[7]
$T = 4v$, $v \equiv 2(\bmod 4)$	$\left\{ {0, \pm 4} \right\}$	几乎平衡	交织法[13]
$T = 4v$, $v \equiv 1(\bmod 4)$, $v$为素数	$\left\{ {0, \pm 4} \right\}$	平衡或不平衡	交织法[14]
$T = 4v$, $v \equiv 3(\bmod 4)$, $v$为素数	$\left\{ {0, - 4} \right\}$	几乎平衡	广义分圆, 定理1
$T = 4v$, $v \equiv 3(\bmod 4)$, $v$为素数	$\left\{ {0, \pm 4} \right\}$	平衡	广义分圆, 定理2
$T = 4v$, $v \equiv 1(\bmod 4)$, $v$为素数	$\left\{ {0, \pm 4} \right\}$	几乎平衡	广义分圆, 定理3

下载: 导出CSV 

| 显示表格

6.   结束语

基于中国剩余定理和2阶分圆类，本文提出3种周期为$T = 4v$($v$为奇素数)理想二进制序列直接构造方法。构造所得序列的周期自相关函数值均满足理论界：当$v \equiv 3\;\left( {{\rm mod} 4} \right)$时，序列的周期自相关函数旁瓣值取值集合为$\left\{ {0, - 4} \right\}$或$\left\{ {0,4, - 4} \right\}$；当$v \equiv 1 \left( {{\rm mod} 4} \right)$时，相应的取值集合为$\left\{ {0,4, - 4} \right\}$。本文构造方法拓展了现有平衡和几乎平衡理想二进制序列存在空间，可为工程应用提供更多性能优良的理想序列，同时也丰富了组合设计理论。