Recent Development of Theory and Application on Homomorphic Encryption
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摘要:
随着云计算、云存储等各类云服务的普及应用，云环境下的隐私保护问题逐渐成为业界关注的焦点，同态密码成为解决该问题的关键手段，其中，如何构造高效的全同态加密方案是近年来同态加密研究的热点之一。首先，该文介绍了同态密码的发展情况，从不同角度对同态加密方案进行了分类分析，着重描述了可验证全同态加密方案的研究进展。通过分析近年来公开的同态加密领域知识产权文献，对同态加密在理论研究和实际应用中所取得的进展进行了归纳总结。其次，对比分析了目前主流全同态加密库Helib, SEAL以及TFHE的性能。最后，梳理了同态加密技术的典型应用场景，指出了未来可能的研究与发展方向。
Abstract:With the popularization of various cloud services such as cloud computing and cloud storage, privacy preservation issues in the cloud environment have gradually become the focus of industrial applications. Homomorphic encryption has become an important method to solve this issue. Among them, how to construct an efficient fully homomorphic encryption scheme is one of the hotspots at present. Firstly, the development of homomorphic encryption is introduced. The homomorphic encryption schemes are analyzed and classified from different perspectives. The research progress of verifiable fully homomorphic encryption schemes is discussed in detail. By analyzing the property rights literature on homomorphic encryption that has been published in recent years, the progress in the theoretical research and application about homomorphic encryption are summarized. Secondly, the working performances of three typical homomorphic encryption libraries, Helib, SEAL and TFHE, are compared and analyzed. Finally, various application scenarios of homomorphic encryption technology are sorted out, and possible research and development directions in the future are proposed.
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1. 引言
随着移动通信业务需求的迅速增长，对信息传输的频谱效率和能量聚集度提出了更高的要求，如何实现更加灵活、高效的通信已成为现阶段通信研究的热点问题[1-3]。近年来，围绕如何提高频谱效率和能量聚集度，一系列解决方案相继被提出。一方面，从提升信号能量聚集度的角度出发，一系列高灵活性、高能量聚集性的调制方法被提出，统一滤波多载波(Universal Filtered Multi-Carrier, UFMC)[4]、广义频分复用(Generalized Frequency Division Multiplexing, GFDM)[5]、基于椭圆球面波函数的多载波调制(Multi-Carrier Modulation based on Prolate Spheroidal Wave Functions, MCM-PSWFs)[6,7]等。其中，相比于UFMC,GFDM,MCM-PSWFs将具有完备正交性、时域奇偶对称性和最佳时频能量聚集性等优良基础特性的椭圆球面波函数(Prolate Spheroidal Wave Functions, PSWFs)[7-9]作为基础信号，具有信号波形设计灵活、高能量聚集性以及高系统频带利用率(Spectral Efficiency, SE)[7]的优势，非常符合下一代通信系统对能量聚集度的需求，具有巨大的应用潜力，极具有应用前景[6,7]。另一方面，从拓展信息映射维度、提高系统频带利用率角度出发，Nyquist传输(Faster Than Nyquist, FTN)[10]、时域波形复用技术(OVerlapped Time Domain Multiplexing, OVTDM)[11]、多载波索引调制(Multi-Carrier Modulation with Index Modulation, MCM-IM)[12-14]等高系统频带利用率的信号波形相继被提出。其中，相比于FTN,OVTDM,MCM-IM作为空间索引调制的拓展[12]，具有同时利用信号索引和多进制调制符号来进行信息映射，大幅提升系统频带利用率的优势[14]。
为进一步提升MCM-PSWFs的系统频带利用率，鉴于MCM-PSWFs,MCM-IM的上述优势，文献[15]将IM引入MCM-PSWFs，提出了基于信号分组优化的PSWFs多载波调制方法(Multi-Carrier Modulation based on PSWFs with Signal Grouping Optimization, MCM-PSWFs-SGO)。本方法首先对PSWFs信号进行分组优化，再利用信号索引、脉冲幅度调制2个维度进行信息映射，具有高能量聚集度、高频谱效率的优势。尽管如此，由于部分未被激活的子载波没有用来传递信息，MCM-PSWFs-SGO仍有部分频谱资源可进一步被利用，这在一定程度上限制了其系统频带利用率的提升。在解决基于正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)的索引调制[15]存在的频谱资源未被充分利用的问题中，清华大学的Mao等人[16]提出了双模辅助的OFDM索引调制技术(Dual-Mode index modulation aided OFDM, DM-OFDM)，其主要思想是采用两个互不重叠的星座图进行比特信息映射的方式，使得全部子载波均被利用，有效解决了频谱资源未被充分利用的问题，实现了系统频带利用率的进一步提升。这为解决MCM-PSWFs-SGO的频谱资源得到进一步利用问题提供了很好的思路。
围绕如何提高MCM-PSWFs-SGO的系统频带利用率，本文将DM-IM[16]引入MCM-PSWFs-SGO，提出双模PSWFs多载波索引调制方法(Multi-Carrier index Modulation based on PSWFs with Dual-Mode, DM-MCM-PSWFs)，利用双星座图进行比特信息映射，有效增加了调制符号组合数，进一步提高了系统频带利用率。采用第2星座图对剩余子载波进行额外的信息加载，实现了频谱资源的进一步利用，同时提高了调制符号间的最小欧氏距离(Minimum Euclidean Distance, MED)。理论与仿真分析表明，相比于MCM-PSWFs-SGO，所提方法在具有相同功率谱与峰均功率比的前提下，以增加计算复杂度为代价，具有更优的系统频带利用率与误码性能。
2. DM-MCM-PSWFs调制解调与检测方法
MCM-PSWFs-SGO系统频带利用率提升受限的原因在于，采取单星座图对激活子载波进行信息加载，其余未被激活子载波则未被利用，频谱效率尚有提升空间。因此，如何利用未被激活的PSWFs信号传输额外的调制符号，是进一步提升MCM-PSWFs-SGO系统频带利用率的关键。
2.1 DM-MCM-PSWFs调制方法
图1(a)给出了DM-MCM-PSWFs发射端原理框图，图1(b)为接收端框图。该方法引入双星座图映射，通过2个星座图分别产生调制符号，对全部子载波进行信息加载，利用I/Q两个支路进行分别传输，且采用相同的信号索引结构[15]。
考虑到PSWFs信号分组数、每组信号路数、调制星座图进制数以及激活信号路数等参数直接决定系统整体性能，需要依据可用时频资源大小、系统整体性能需求，进行整体的设计和选择[15]。为便于分析，假设可用时宽为
T(s) 、带宽为B(Hz) ，信号分组数g 、每组信号路数为n 、每组激活的信号路数为k ，两种星座图的调制阶数相同，且均为M 。在发射端，首先进行PSWFs信号的分组、选择过程，该过程与文献[15]中处理过程相同。将输入2m(bit)待传信息比特平均分为g组，每组包含
p′=2m/g=pI+pQ(bit) 信息，其中pI=pQ=p,pI= pα,I,1+pα,I,2 ,pQ=pα,Q,1+pα,Q,2 ,α∈[1,g] ，pα,I/Q,1 为I/Q支路信号索引部分携带信息量，pα,I/Q,2 为两个星座图产生的调制符号携带的信息量，如图1(a)所示；而后，进行双星座图设计与比特信息映射，生成调制符号，并产生DM-MCM-PSWFs调制信号。(1)星座图设计与比特信息映射：与MCM-PSWFs-SGO不同，DM-MCM-PSWFs将原有的单一星座图调制方法变更为双星座图调制，由额外的星座图对原本未被利用的子载波进行信息加载，如图2所示。为保证接收端能够顺利解调和检测出信号索引比特所携带的信息，需对选取的两个星座图有所区分，因此，选择的两个星座图必须满足互不重叠的关系。
下面对所提方法具体调制流程进行说明。首先，依据每组PSWFs信号路数
n 、激活PSWFs信号路数k ，设计DM-MCM-PSWFs信号索引方案[15]。则I/Q支路信号索引与由两个星座图分别产生的调制符号携带的信息量为pα,I,1=pα,Q,1=⌊log2Ckn⌋(bit),pα,I,2=pα,Q,2=pα,I,A,2+pα,I,B,2=pα,Q,A,2+pα,Q,B,2=(n−k)log2M+klog2M(bit) (1) 其中，
pα,I/Q,A,2,pα,I/Q,B,2 分别表示由第1/2星座图所生成调制符号携带的信息量。从而，信号索引部分依据
pα,I,1,pα,Q,1(bit) ，从第α 子块对应的n 个PSWFs信号中选择k 个加载第2星座图产生的调制符号，同时由剩余的n–k个PSWFs信号加载第1星座图产生的调制符号。其中，PSWFs信号索引可以表示为II,α={iI,α,1,iI,α,2,⋯,iI,α,n}IQ,α={iQ,α,1,iQ,α,2,⋯,iQ,α,n}} (2) 其中，
II/Q,α,γ 表示第α 个子块，编号为γ∈[1,n] 的PSWFs信号由第1/2星座图进行调制符号映射。若II/Q,α,γ=0 ，则代表该位置的子载波传输由第1星座图产生的调制符号；若II/Q,α,γ=1 ，则代表该位置的子载波传输由第2星座图产生的调制符号。鉴于I/Q支路采用相同的信号索引结构，故以I支路为例，表1给出了n=4,k=2时DM-MCM-PSWFs的映射方案。表 1 n=4,k=2时DM-MCM-PSWFs的一种映射方案比特信号 信号索引 子载波映射 [0,0] {0,0,1,1} {sAI(1),sAI(2),sBI(1),sBI(2)} [0,1] {0,1,0,1} {sAI(1),sBI(1),sAI(2),sBI(2)} [1,0] {1,0,0,1} {sBI(1),sAI(1),sAI(2),sBI(2)} [1,1] {0,1,1,0} {sAI(1),sBI(1),sBI(2),sAI(2)} (2)调制信号产生：在调制信号产生部分，I/Q支路信息序列
pα,I,2 ,pα,Q,2 (bit)经双星座图调制产生的调制符号可表示为Sα,I={sAI(λ),sBI(β)},Sα,Q={sAQ(λ),sBQ(β)} (3) 其中，
λ=1,2,⋯,n−k 且β=1,2,⋯,k ，sAI(λ),sBI(β), sAQ(λ),sBQ(β) 分别由所选择的两个星座图定义。图3给出了双星座图的调制符号加载流程，其中，sα,I,A,sα,I,B,sα,Q,A,sα,Q,B 分别表示I/Q支路内两个星座图生成调制符号的集合。进而，子块调制符号产生第
α 个子块的调制符号Xα∈Cn×1 ，如图3所示，即Xα=[xI,α(1)+ixQ,α(1),⋯,xI,α(n)+ixQ,α(n)]T (4) 其中，
xI/Q,α(γ)∈S ,γ∈[1,n] 。最后，产生全部g 个子块、ng 支路PSWFs信号对应的调制符号X= [(X1)T,(X2)T,⋯,(Xg)T]T ；并采用基于奇偶对称性的调制信号产生方法[9]，生成DM-MCM-PSWFs调制信息，即s(t)=gn−1∑i=0x(i+1)φi(t) (5) 其中，
φi(t) 为第i 阶PSWFs信号。2.2 DM-MCM-PSWFs调制信号的解调与检测方法
图1(b)给出了调制信号的解调与检测的原理框图。与MCM-PSWFs-SGO不同，DM-MCM-PSWFs采取基于极大似然 (Maximum Likelihood, ML)[15]的信号索引检测方法，对所有可能的信号索引方案进行遍历，以最小化接收信号与样本信号之间的欧氏距离，恢复出信号索引方式，即
{ˆII/Q,α,ki,ˆsI/Q,α,ki,DI/Q,α,ki}=argminII/Q,α,ki,sI/Q,α,kin∑γ=1|Re{[y]υ,υ}−sI/Q,α(υ)|2 (6) 其中，
DI/Q,α,ki 为{ˆII/Q,α,ki,ˆsI/Q,α,ki} 的欧氏距离，y∈Cng×1 为接收端不同PSWFs信号对应的调制符号。进而，根据恢复出的信号索引方案，在对应的子载波映射位置上分别进行两个星座图的解调，最后恢复出接收端调制信号所携带的全部比特信息。值得注意的是，由于所提方法需要进行额外星座图的解调与检测处理，其调制信号解调与检测的计算复杂度将高于MCM-PSWFs-SGO，该部分问题将于第3节详细讨论。
3. 系统性能分析
本节从系统频带利用率、系统误码性能、信号索引检测复杂度、调制信号功率谱与峰均功率比(Peak-to-Average Power Ratio, PAPR)4个方面，对比分析了双模PSWFs多载波索引调制方法与基于信号分组优化的PSWFs多载波调制的性能差异。此外，鉴于索引调制方法具有最优参数选择的特点，为更加全面地分析所提方法系统性能，本节还对比分析了所提方法与基于PSWFs的正交多载波调制(Multi-Carrier Orthogonal Modulation based on PSWFs, MCOM-PSWFs)[6,7]间的性能差异。
3.1 系统频带利用率分析
假设采用的PSWFs信号时间带宽积为
c=B/F(Hz⋅s) ，根据PSWFs分组优化方法[15]，当传输码元周期个数为Q 时，不同调制方法的系统频带利用率可统一表示为η=QmeQT(B+F) (7) 其中，
T 为单个码元周期调制信号时宽，me 为单个码元周期调制符号携带信息量，对于不同的调制方法，me 分别为me,1=2g(⌊log2Ckn⌋+(n−k)log2M+klog2M)me,2=2g(⌊log2Ckn⌋+klog2M)me,3=(c−l)log2M} (8) 式中，
me,1 ,me,2 ,me,3 分别代表所提方法、MCM-PSWFs-SGO和MCOM-PSWFs单个码元周期调制符号携带信息量。(1)与基于PSWFs的正交多载波调制(MCOM-PSWFs)相比：结合式(7)和式(8)可知，所提方法的系统频带利用率由
c−l,M,n,k 共同决定，通过合理的参数选择，能够保证me,1>me,3 ，当MCOM-PSWFs采用8QAM,n=6,k=3 时，SE提升了8.4%，BER则提升了0.47 dB，如表2所示。表 2 不同多载波调制方法系统频带利用率调制方法 g n k SE(bit/s/Hz) Eb/N0(dB) ρ(%) DM-MCM-PSWFs 15 6 3 3.09 11.98 / MCM-PSWFs-SGO-2PAM 9 10 7 2.41 11.05 28.2 MCM-PSWFs-SGO-4PAM 23 4 1 1.90 13.46 62.6 23 4 2 2.85 14.95 8.4 MCOM-PSWFs-8QAM 1 92 92 2.85 12.45 8.4 (2)与基于信号分组优化的椭圆球面波多载波调制解调与检测方法(MCM-PSWFs-SGO)相比：MCM-PSWFs-SGO与所提方法的系统频带利用率均由
c−l,M,n,k 共同决定，当M 相同时，根据式(7)，所提方法的系统频带利用率将大于MCM-PSWFs-SGO。当MCM-PSWFs-SGO的调制阶数M 为所提方法的两倍时，二者的系统频带利用率关系将分为以下3种情况：第1种，当k<n/2 时，所提方法的系统频带利用率仍高于MCM-PSWFs-SGO；第2种，当k=n/2 时，二者拥有相同的系统频带利用率；第3种，当k>n/2 时，所提方法的系统频带利用率将低于MCM-PSWFs-SGO。值得一提的是，在后两种情况中，尽管所提方法的系统频带利用率并不高于MCM-PSWFs-SGO，但其在误码性能方面始终保持显著优势，这一性能将在下一小节详细阐述。表2给出了带宽为
B=1.44MHz ，频率间隔为F=15kHz ，BER=10−5 时不同参数条件下，3种调制方法的系统频带利用率对比。其中，l=4 ，ρ 表示相比于另外两种调制方法，所提方法对系统频带利用率的提升。3.2 系统误码性能分析
鉴于MED能够反映调制方法的误码性能，本节选用MED对不同调制方法的系统误码性能进行分析。图4给出了未进行信道编码情况下的不同调制方法系统误码性能。其中，DM-MCM-PSWFs采用如图3所示的星座图；并且，为保证MCOM-PSWFs与所提方法的系统频带利用率相同，MCOM-PSWFs采用QAM来产生调制符号，QAM的进制数为
(ξ+log2M)(ξ−1+log2M) 。其中，ξ 为ξ≥1 的正整数。当每比特信息对应的能量为Eb 时，不同调制方法的MED可表示为d21=244(log22M1)2−1⋅2⌊log2CknMn1⌋Ebnd22=124(log2M2)2−1⋅2⌊log2CknMk2⌋Ebkd23=12log2M3⋅Eb2(ξ+log2M)2+2(ξ−1+log2M)2−1} (9) 其中，
d21 ,d22 ,d23 分别为所提方法、MCM-PSWFs-SGO和MCOM-PSWFs的MED，M1 ,M2 ,M3 分别为所提方法、MCM-PSWFs-SGO和MCOM-PSWFs的调制阶数。(1)与基于PSWFs的正交多载波调制(MCOM-PSWFs)相比：由式(9)可知，所提方法与MCOM-PSWFs的MED比值为
d21d23=4⌊log2CknMn1⌋4(log22M1)2−1⋅[2(ξ+log2M)2+2(ξ−1+log2M)2−1]log2Mn3 (10) 为保证MCOM-PSWFs与所提方法的系统频带利用率相同，MCOM-PSWFs采取8QAM星座图，此时取
M3=8,M1=2 。由于4⌊log2Ckn⌋+4n>3n ，故式(10)结果大于1。这表明所提方法在信号的MED高于MCOM-PSWFs。值得注意的是，由于DM-MCM-PSWFs中信号索引部分的存在，其在小信噪比下易产生信号索引方案检测错误的现象，所以此时影响系统误码性能的主导因素是信号索引方案检测性能，在此情况下，即使后续调制符号解调未发生错误，但由于映射位置已经发生改变，所恢复的比特信息也可能产生错误；在大信噪比情况下，能够保证信号索引检测结果的准确性，此时影响系统误码性能的主导因素是调制符号的MED，因此，在系统频带利用率相同的情况下，所提方法误码性能在大信噪比下要优于MCOM-PSWFs。当所提方法与MCOM-PSWFs的系统频带利用率均为2.85 bit/s/Hz时，BER提升约为0.23 dB，如图4(a)所示。(2)与基于信号分组优化的椭圆球面波多载波调制(MCM-PSWFs-SGO)相比：由式(9)可知，所提方法与MCM-PSWFs-SGO的MED比值为
d21d22=4(log2M2)2−14(log22M1)2−1⋅2⌊log2CknMn1⌋⌊log2CknMk2⌋⋅kn (11) 同样，为保证MCM-PSWFs-SGO与所提方法的系统频带利用率相同，MCM-PSWFs-SGO选取4PAM为星座图，则式(11)可以化简为
d21d22=2k⌊log2Ckn⌋+2knn⌊log2Ckn⌋+2kn (12) 由式(12)可知，当
k=n/2 时，二者拥有相同的MED；当k>n/2 时，所提方法的系统MED将大于MCM-PSWFs-SGO。然而，由于MCM-PSWFs-SGO中置0点的存在，其信号索引检测性能要差于所提方法，这意味着，当所提方法与MCM-PSWFs-SGO系统频带利用率相同时，所提方法具有更优的误码性能。更进一步，当二者选取相同的PAM调制符号时，所提方法在频带利用率相同时的误码性能要始终优于MCM-PSWFs-SGO。在n=4,k=2 与n=8,k=4 时，二者具有相同系统频带利用率，所提方法的误码性能相比于MCM-PSWFs-SGO分别提升约2.71 dB, 2.55 dB，如图4(a)、图4(c)所示。此外，鉴于索引调制方法的系统性能与参数条件的选择密切相关，因此，在参数优选的情况下，所提方法能够实现系统频带利用率与误码性能的双重提升。如当
n=7,k=3 时，所提方法相对于MCM-PSWFs-SGO，SE提高了0.27 bit/s/Hz，BER提高了2.40 dB；相对于MCOM-PSWFs，SE提高了0.37 bit/s/Hz，BER提高了0.35 dB，如图4(b)所示。当n=9,k=4 时，所提方法相对于MCM-PSWFs-SGO，SE提高了0.20 bit/s/Hz，BER提高了2.26 dB；相对于MCOM-PSWFs，SE提高了0.24 bit/s/Hz，BER提高了0.22 dB，如图4(d)所示。3.3 系统信号索引检测复杂度分析
由于MCOM-PSWFs不存在索引部分，因此DM-MCM-PSWFs与MCM-PSWFs-SGO的算法复杂度均高于MCOM-PSWFs。现对比所提方法与MCM-PSWFs-SGO的信号索引检测复杂度。表3给出了带宽为
B=1.44MHz ，频率间隔为F=15kHz 时不同参数条件下，所提方法与MCM-PSWFs-SGO两种调制方法的信号索引检测乘法复杂度[15]，其中，l=4 。表 3 信号索引检测乘法运算量调制方式 运算量 n k 乘法次数(B=1.44 MHz) DM-MCM-PSWFs-ML O(ng2⌊Ckn⌋) 4 1/2/3 368 MCM-PSWFs-SGO-ML O(2kg2⌊Ckn⌋) 4 1 184 4 2 368 4 3 552 MCM-PSWFs-SGO-OS O(gnlog2n) 4 2 16 当激活子载波数
k<n/2 时，MCM-PSWFs-SGO的基于ML的信号索引检测的乘法复杂度要低于所提方法；当k=n/2 时，二者的乘法复杂度相等；k>n/2 时，MCM-PSWFs-SGO的基于ML的信号索引检测的乘法复杂度要高于所提方法，如表3所示。但在针对MCM-PSWFs-SGO的信号索引检测方法中，基于顺序统计量(Order Statistic, OS)[17]的检测方法作为一种ML的替代检测方法，在大幅度降低系统运算复杂度的情况下能够达到和ML相同的检测性能。因此，结合前两节关于3种调制方法频带利用率与误码性能的分析可知，所提方法是以较高的计算复杂度换取了系统频带利用率与误码性能的双重提升。3.4 调制信号功率谱与峰均功率比分析
图5给出了DM-MCM-PSWFs与MCM-PSWFs-SGO的调制信号功率谱和峰均功率比。其中，F=15 kHz, c=12Hz·s, l=3, n=8, k=4。仿真分析表明，DM-MCM-PSWFs具有与MCM-PSWFs-SGO相同的调制信号功率谱和峰均功率比，并且拥有同样高能量聚集度的优势。
4. 结束语
本文提出双模PSWFs多载波索引调制方法，采用两个互不重叠的星座图进行比特信息映射，使得全部子载波均得到利用，完成了对MCM-PSWFs-SGO中频谱资源的进一步利用，实现了系统频带利用率和大信噪比下的误码性能的双重提升。虽然仍存在较高的计算复杂度，但这是当前硬件条件和计算能力可以承受的。相比于基于信号分组优化的PSWFs多载波调制、基于PSWFs的正交多载波调制，本文具有更优的系统整体性能，有望为下一代通信系统提供更加灵活、高效的调制方法，实现更高频谱效率与能量聚集度的信息传输。
值得注意的是，本方法仍有进一步提升的空间，由于所提方法并未对MCM-PSWFs-SGO中的分组优化方法与信号索引方案进行改变，每个子块的PSWFs信号仍然被分成了功能不同的两个部分，这也限制了能够采用的信号索引方案的数量。因此，如何引入多星座图进行比特信息映射，进一步提升所提方法的频谱效率，将是下一步研究所关注的重点。此外，由于本方法在低信噪比下的误码性能仍有提升的空间，因此，如何对信号索引检测进行优化，进一步提升系统整体误码性能，也是下一步工作重点。
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表 1 提高全同态加密效率的解决方案
方式 解决方案 优化Bootstrapping Gentry09[2]：首次提出Bootstrapping Ducas15[12]：运行时间从6 min缩短至1 s以内 Chillotti16[13]：运行时间从1 s以内缩短至0.1 s以内，密钥大小从1 GB减小至24 MB Chen18[14]：自举深度从log2h+2log2t降至log2h+log2t Batching Smart14[15]：构造可支持SIMD操作的FHE方案 Castryck18[16]：提高了明文封装容量和参数优化灵活性 无噪声FHE Kipnis12[18]：基于矩阵和多项式的无噪声FHE方案MORE和PORE Gentry14[20]：基于完备群概念的无噪声FHE框架 FPGA设计 Shi18[24]：16×24 bit有限域FFT算法的FPGA设计 Xie19[25]：768 kbit大整数乘法器FPGA设计 
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表 2 全同态加密在整数域和实数域上的研究进展
类型 解决方案 明文空间为整数的FHE Gentry10[27]：第1个基于整数的FHE方案DGHV方案 Cheon13[28]：将批处理技术引入DGHV方案 Nuida15[29]：将DGHV方案的明文空间从Z2扩展至ZQ Cheon15[31]：将LWE问题归约为AGCD问题的一个变体 明文空间为实数的FHE Jaschke16[33]：通过与2的幂迭代相乘近似将有理数表示为整数 Dowlin17[34]：将定点小数编码为整系数多项式，但明文模随电路深度的增加呈指数增大 Cheon17[35]：可进行浮点数近似计算的CKKS方案，但仅为层次型FHE方案 Cheon18[36]：将文献[35]中的层次型同态加密方案扩展为全同态加密方案
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表 3 可验证同态加密研究进展
解决方案 研究进展 存在问题 Johnson02[41] 首次提出同态签名的概念 – Boneh11[42] 首个可执行确定阶数多项式运算的同态签名方案 – Gneearo13[43] 形式化定义了同态消息认证的概念 – Catalano13[44] 支持低次多项式运算的同态MAC方案 不能同时满足简洁性和复合性 Catalano14[46] 引入了一个新的密码学原语LAEPuV – Joo14[48] 首次给出在HAE中IND-CPA和IND-CCA的定义 – Bai18[45] 基于默克尔哈希树的同态认证方案 复合度上有所不足 Fiore16[50] 提出多密钥同态认证(M-HS)方案 可能存在不可信签名者 Lai18[51] 基于零知识证明提出了一种M-HS通用结构 没有分析其认证安全性和实用性 Alagic17[52] 可验证的量子全同态加密方案 –
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表 4 同态加密相关的知识产权聚焦的不同应用领域
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表 5 Test_Timing效率测试结果(μs)
m 密钥生成 加密 解密 同态加 同态乘 4051 317037 6786 4039 97 26701 4369 571082 8041 5173 98 31477 4859 664138 10497 7554 193 41354
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表 6 SEAL中BFV方案效率测试(μs)
Poly Coeff Plain 加密 解密 同态加 同态乘 重线性化 4096 109 786433 93464 32306 314 390192 63711 8192 218 786433 267727 112898 1074 1510281 319876 16384 438 786433 884862 439232 4341 6146131 1846517
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表 7 SEAL中CKKS方案效率测试(μs)
Poly Coeff 加密 解密 同态加 同态乘 重线性化 4096 109 87557 3359 309 12476 63459 8192 218 274215 12748 1071 47599 314501 16384 438 964821 51465 4317 200248 1850888
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