1.   引言

毫米波大规模多输入多输出(Multi-Input Multi-Output, MIMO)通信系统是5G和未来6G高速率数据传输的关键技术^[1,2]。为了保证传输性能，系统中需要配备大量天线和射频链，这将导致昂贵的硬件成本和较高的能量损耗^[3,4]。为了有效减少系统中耗电射频(Radio Frequency, RF)链的数量，基于透镜天线阵列的毫米波大规模MIMO解决方案备受关注^[5-7]。该类方案利用电磁透镜的能量聚集能力，将不同方向的毫米波信号聚焦在天线阵的不同位置，从而将传统空间信道转换为波束空间信道。

基于波束空间的毫米波MIMO系统易出现功率泄漏的现象，从而导致系统速率下降和能量损耗^[8]，利用波束选择策略的混合预编码技术可提升系统的频谱利用效率并降低能量损耗^[9-15]。文献[9,10]提出了单波束选择方案以提高频谱效率，该类方法只能收集小部分的泄漏功率。文献[11,12]提出多RF链多波束预编码结构，每个波束对应一个RF链，该方案可以缓解功率泄漏问题，但是需要更多的RF链，增加了系统的功耗和硬件成本。文献[13]提出了基于线性最小均方误差的波束选择方案，以获得最优波束子集。文献[14]提出了一种混合集群与波束选择方案，可提高每个用户的数据速率。文献[15]提出了一种基于相移器的波束选择网络，每个RF链可选择多个波束，通过相移器对发射波束进行相位调整。以上方案在一定程度上缓解了功率泄漏问题，但在波束选择或波束组合过程中会造成速率损失。

本文采用基于相移器的波束选择网络结构，提出基于最小相位误差的波束旋转(Minimum Phase Error based Beam Rotating, MPE-BR)预编码方案，建立波束选择集合，采用每个RF链选择多个波束的方式进行泄漏功率的收集；以最大增益波束为基准，利用最小相位误差准则确定波束选择集合的相位，将所选波束的信道增益对准同一方向，最大限度地提高每个用户的接收信噪比。本方案具有较低的计算复杂度，在提高能量效率的同时保持了良好的频谱效率。

2.   系统模型

在毫米波MIMO波束空间系统的下行链路中，基站端配置$N$个透镜天线，${N}_{\mathrm{RF}}$个RF链，$N\times {N}_{\mathrm{RF}}$个开关，用户数目为$M$，用户端均为单天线，假设用户数与RF链数目相同，即${N_{{{\rm{RF}}} }}{\text{ = }}M$。所有用户的接收信号${\boldsymbol{y}}\in {{\mathbb{C}}}^{M\times 1}$可表示为

其中，${\boldsymbol{s}} \in {{\mathbb{C}}^{M \times 1}}$为发送信号，且满足$\;{\mathbb{E}}{\text{\{ }}{\boldsymbol{s}}{{\boldsymbol{s}}^{{\rm{H}}} }{\text{\} }} =$${{\boldsymbol{I}}_M}$，$\rho \text{=}{P}_{\text{T}}/M$表示平均接收功率，${P_{\text{T}}}$为基站发射功率。${{\boldsymbol{F}}_{{\text{RF}}}} = \left[ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^1,{\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^2, \cdots ,{\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^{{N_{{\text{RF}}}}}} \right] \in {{\mathbb{C}}^{N \times {N_{{\text{RF}}}}}}$表示模拟预编码矩阵，${{\boldsymbol{F}}_{{\text{BB}}}} = \left[ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{BB}}}^1,{\boldsymbol{f}}_{{\text{BB}}}^2, \cdots ,{\boldsymbol{f}}_{{\text{BB}}}^M} \right] \in {{\mathbb{C}}^{{N_{{\text{RF}}}} \times M}}$是基带数字预编码矩阵，${\boldsymbol{n}} \sim {\mathcal{C}\mathcal{N}}\left( {0,{\sigma ^2}{{\boldsymbol{I}}_M}} \right)$为加性高斯白噪声信号。${\boldsymbol{\tilde H}} = {\boldsymbol{UH}} \in {{\mathbb{C}}^{N \times M}}$为毫米波大规模MIMO系统波束空间信道矩阵，${\boldsymbol{U}} \in {{\mathbb{C}}^{N \times N}}$表示透镜天线阵列形成的离散空间傅里叶变换矩阵，${\boldsymbol{H}} = \left[ {{{\boldsymbol{h}}_1}, \cdots ,{{\boldsymbol{h}}_k}, \cdots ,{{\boldsymbol{h}}_M}} \right]$是毫米波大规模MIMO系统全维度的空间信道矩阵，${{\boldsymbol{h}}_k} \in {{\mathbb{C}}^{N \times 1}}$表示第$k$个用户的空间信道向量，$k \in {\text{\{ }}1,2, \cdots ,M{\text{\} }}$。酉矩阵${\boldsymbol{U}} = \left[ {{\boldsymbol{a}}\left( {{\varphi _1}} \right),{\boldsymbol{a}}\left( {{\varphi _2}} \right), \cdots ,{\boldsymbol{a}}\left( {{\varphi _N}} \right)} \right]$, ${\boldsymbol{a}}\left(\phi \right)\in {{\mathbb{C}}}^{N\times 1}$是在空间方向$\varphi$上的转向向量，${\varphi _i} = {{\left( i - (N + 1)/2 \right)}/ N}, i = 1,$$2, \cdots ,N$。

毫米波空间信道${\boldsymbol{H}}$采用Saleh-Valenzuela模型^[16]，其向量表示形式为

其中，${\mu }_{k}$和${L_k}$分别表示第$k$个用户的大规模衰落因子和路径数，${\beta _{k\ell }}$,${\phi _{k\ell }}$ ($1 \le \ell \le {L_k}$)分别为第$k$个用户在第$\ell$个路径中的复增益和离开角(Angle of Departure, AoD)。假设${\phi _{k\ell }},\forall \ell$，均匀分布于$[{\phi _k} - {{{\tau _k}}/2},$${\text{ }}{\phi _k} + {{{\tau _k}}/ 2}]$，${\varphi }_{k}$和${\tau _k}$分别表示第$k$个用户的平均离开角和角扩展范围。对于典型的均匀线性阵列(Uniform Linear Array, ULA)，转向向量为

其中，${\mathcal{I}}\left( N \right) = \{ t - {{\left( {N - 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {N - 1} \right)} {\text{2}}}} \right. } {\text{2}}},t = 0,1, \cdots ,N - 1\}$为天线阵列的索引集，$\phi = {{\lambda \times \sin\theta }/d}$表示空间角度，$d = {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda 2}} \right. } 2}$是天线间距，$\lambda$是毫米波的波长，$\theta$是物理方向。

对于具有${N_1}$个水平天线和${N_2}$个垂直天线的典型均匀平面阵列(Uniform Planar Array, UPA)，其转向向量为

其中，${\phi _{{\text{az}}}}$为空间方位角，${\phi _{{\text{el}}}}$为空间仰角。

对于波束空间信道，做如下假设：(1)不同用户的平均离开角是充分分离的^[17]；(2)每个用户仅有一个信道集群；(3)每个路径的复增益${\beta _{k\ell }},\forall k,\ell$是独立同分布变量，并服从${\mathcal{C}\mathcal{N}}\left( {0,{\text{ }}1} \right)$ ^[16]；(4)离开角${\phi _{k\ell }},\forall k,\ell$是相互独立的，并且均匀分布于$\left[ {{{\left( {S_k^{\text{L}} - {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle {(N + 1)}$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {S_k^{\text{L}} - {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle {(N + 1)}$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} \right)} N}} \right. } N},{\text{ }}{{\left( {S_k^{\text{U}} - {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle {(N + 1)}$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {S_k^{\text{U}} - {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle {(N + 1)}$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} \right)} N}} \right. } N}} \right]$，$S_k^{\text{L}}$和$S_k^{\text{U}}$为整数，分别表示功率泄漏区域的上下界值，并满足$S_k^{\text{U}} - S_k^{\text{L}} \ge 2$ ^[15]。

3.   基于最小相位误差的波束旋转预编码

本节将混合预编码设计问题表述为最大频谱效率的求解问题，提出MPE-BR预编码算法，并对算法的计算复杂度进行分析。

3.1   优化问题表述

式(1)所表示的用户端接收信号，可改写为

其中，${\boldsymbol{\bar H}} = {\boldsymbol{F}}_{{{\rm{RF}}} }^{{\rm{H}}} {\boldsymbol{\tilde H}}{\text{ = }}\left[ {{{{\boldsymbol{\bar h}}}_1},{{{\boldsymbol{\bar h}}}_2}, \cdots ,{{{\boldsymbol{\bar h}}}_M}} \right]$表示模拟-用户域等效信道矩阵，${{\boldsymbol{\bar h}}_k} = {\boldsymbol{F}}_{{\text{RF}}}^{{\rm{H}}} {{\boldsymbol{\tilde h}}_k}$。

假设基站处已获取准确的信道状态信息矩阵${\boldsymbol{H}}$，系统的频谱效率可以表示为

约束条件为

其中，${{f}}_{{\text{RF}}}^{ki}$表示模拟预编码向量${\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^k$中第$i$个元素，${{\mathcal{B}}_k}$表示第$k$个用户的波束选择集合，${\mathcal{B}}{\text{ = }}\displaystyle\bigcup\nolimits_{k = 1}^M {{{\mathcal{B}}_k}}$为总波束选择集合，${B_k}$表示${{\mathcal{B}}_k}$中波束数目，波束选择的总数目为$B = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^M {{B_k}}$。混合预编码设计问题可表示为

由于式(7)是非凸约束，且目标函数中存在用户间干扰(Inter-User Interference, IUI)，很难获取全局最优解。为简化问题，基带预编码采用匹配滤波预编码方式，令${f}_{\text{BB}}^{k}={\alpha }_{k}{\overline{h}}_{k}$，${\alpha _k}$是归一化因子，使得${\left\| {{{\boldsymbol{F}}_{{\text{RF}}}}{\boldsymbol{f}}_{{\text{BB}}}^k} \right\|_2} = 1$。

当不同用户的平均离开角充分分离，每个用户的波束选择集合由泄漏功率的波束组成，有${{\mathcal{B}}_k} \cap {{\mathcal{B}}_j} = \varnothing ,k \ne j$，且$k,j = 1,2, \cdots ,M$。对于任意用户$k$，由于未被选择的波束功率远小于被选择波束功率，因此，可以忽略未选择波束的功率^[17]，即$\left| {{{{{\tilde {\boldsymbol{h}}}}}_{k{i'}}}} \right| \approx 0,{i{'}} \in {\mathcal{B}}'_k$, ${\mathcal{B}}_k' = \displaystyle\bigcup\nolimits_{j \ne k} {{{\mathcal{B}}_j}}$。任意用户$j$对于用户$k$造成的干扰表示为

用户$k$的总干扰$\displaystyle\sum\nolimits_{j \ne k} {{{\left| {{\boldsymbol{\bar h}}_k^{{\rm{H}}} {\boldsymbol{f}}_{{\text{BB}}}^j} \right|}^2} \approx 0}$，即IUI可以近似忽略。将系统预编码矩阵的设计分解为每个用户预编码向量的设计问题，第$k$个用户的预编码向量优化问题可以描述为

结合匹配滤波预编码及${{\boldsymbol{\bar h}}_k} = {\boldsymbol{F}}_{{\text{RF}}}^{{\rm{H}}} {{\boldsymbol{\tilde h}}_k}$，进一步分析式(11)中的目标函数，并忽略IUI，可得

将式(12b)代入式(11)，可得

式(13)中模拟预编码器的设计主要包括两部分：(1)波束选择，确定${{\boldsymbol{f}}}_{\text{RF}}^{k}$中非零元素位置；(2)波束组合，将${\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^k$对${\widetilde {\boldsymbol{h}}_k}$中选定的波束进行组合，有效叠加泄漏功率。

3.2   考虑功率泄漏的波束选择策略

如图1所示，采用基于相移器的波束选择网络，网络中包含$N \times {N_{{{\rm{RF}}} }}$个开关，$N$个C-bit有限精度相移器与天线一一连接，相移器经由开关动态连接到RF链。

图 1  基于相移器的波束选择网络结构

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系统的总功耗${P_{{\text{total}}}}$可表示为

其中，${P_{{\text{BB}}}}$表示基带数字信号处理的功耗，${P_{{\text{RF}}}}$, ${P_{{\text{SW}}}}$和${P_{{\text{PS}}}}$分别表示单个RF链、单个开关及单个C-bit相移器的功耗。

以2维UPA场景为例，将${{\boldsymbol{\tilde h}}_k}$重塑为${N_1} \times {N_2}$矩阵，波束选择的具体过程为：(1)搜索并选择最大增益波束至波束选择集${{\mathcal{B}}_k}$，根据最大增益波束位置${p_{\max }} = (p_{{\text{max}}}^{{\text{az}}},p_{{\text{max}}}^{{\text{el}}})$及功率泄漏程度$\iota {\text{ = }}S_{ki}^{\text{U}} - S_{ki}^{\text{L}}$确定功率泄漏波束集${{\mathcal{A}}_k}{\text{ = }}\{ (p_{{\text{max}}}^{{\text{az}}} - \iota ,p_{{\text{max}}}^{{\text{el}}} - \iota ), \cdots ,(p_{{\text{max}}}^{{\text{az}}}$$+ \iota , p_{{\text{max}}}^{{\text{el}}} + \iota )\}$，$p_{{\text{max}}}^{{\text{az}}}$和$p_{{\text{max}}}^{{\text{el}}}$分别表示最大增益波束的水平及垂直索引；(2)从${{\mathcal{A}}_k}$中移除${{\mathcal{B}}_k}$与${{\mathcal{A}}_k}$相交的元素，可得候选波束集合${{\mathcal{C}}_k} = {{\mathcal{A}}_k}{\backslash }{{\mathcal{B}}_k}$；(3)更新候选波束集${{\mathcal{C}}_k}$后，选择${{\mathcal{C}}_k}$中功率最高的波束至${{\mathcal{B}}_k}$；(4)循环执行(2)与(3)，直至满足停止条件：$\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{kp}}} \right| \le \kappa \left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{k{p_{\max }}}}} \right|$及${B_k} \le {B_{\max }}$，$\kappa$表示波束增益选择门限，${B_{\max }}$表示波束数目选择门限。图2为波束选择策略的简单示例，其中图2(a)表示波束选择步骤(1)与(2)；图2(b)表示步骤(3)；图2(c)表示步骤(4)，满足停止条件时，停止波束选择，图2(d)表示最终波束选择结果，形成最优波束选择集合${{\mathcal{B}}_k}$。该波束选择策略可以推广至任意天线阵列。

图 2  UPA场景下波束选择过程

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3.3   基于最小相位误差的波束组合策略

由式(13)，已知${{\boldsymbol{\tilde h}}_k}$，通过调整${\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^k$中非零元素的相位获取$\left| {{\boldsymbol{\tilde h}}_k^{{\rm{H}}} {\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^k} \right|$的最大值，最优旋转波束组合的相位需满足条件${{{\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^{kp}}/ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^{k{p_{\max }}}}}{\text{ = angle}}$$\left( {{{{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{k{p_{\max }}}}}/{{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{kp}}}}} \right)$ ^[18]，$\text{angle(}·\text{)}$表示提取相位。为了降低功耗，本文利用有限精度相移器，遵循最小相位误差准则，逐个将被选择波束近似对准至最大增益的方向，即

其中，$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{n}$表示满足最小相位误差准则相位的索引，式(15)和式(16)共同确定模拟预编码矩阵中非零元素的相位，式(16)表示最小相位误差。${\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^{k{p_{\max }}}{\text{ = }}1,$${p_{\max }} \in {{\mathcal{B}}_k}$表示与最大增益波束相对应的${\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^k$中的非零元素，${\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^{kp}{\text{ (}}p \in {{\mathcal{B}}_k})$表示${{\mathcal{B}}_k}$中波束所对应的${\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^k$中的非零元素。

图3为不同波束组合的对比，图3(a)未考虑波束间的相位差异，波束组合信道增益较小，远低于图3(b)的信道增益。由式(16)可知，${{\boldsymbol{\tilde h}}_{kp}}$旋转后与最大增益波束${{\boldsymbol{\tilde h}}_{k{p_{\max }}}}$之间的最大相位误差为${\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi {{2^C}}}} \right. } {{2^C}}}$。当相移器的有限精度为4 bit时，$C = 4$，任意两波束组合时最大幅度损失为$\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{kp}}} \right|\left( {1 - \cos \left( {{\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi {{2^C}}}} \right. } {{2^C}}}} \right)} \right) \approx$$0.019\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{kp}}} \right|$，功率损失可近似忽略。

图 3  波束组合图示

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MPE-BR预编码算法过程如表1所示，步骤1～3为初始化阶段， 步骤4～8为波束选择及相位计算阶段，步骤7是根据式(15)和式(16)确定被选择波束的相位。确定${{\boldsymbol{F}}_{{\text{RF}}}}$后，最终计算并归一化得到基带预编码器${{\boldsymbol{F}}_{{\text{BB}}}}$。在该算法中，模拟预编码器存在1次对所有信道系数的遍历，执行$B$次波束功率比较、相位比较及模拟预编码矩阵中非零元素的计算，复杂度为${\mathcal{O}}(NM + B)$。基带数字预编码器包括等效信道和归一化因子${\alpha _k}$的计算，复杂度为${\mathcal{O}}({M^2} + B)$。

表 1  MPE-BR预编码算法

输入：${\boldsymbol{\tilde H}}$，用户数$M$，每个用户的最大波束选择数量${B_{\max }}$，选择门限$\kappa$；
输出：${{\boldsymbol{F}}}_{\text{RF} }$, ${{\boldsymbol{F}}}_{\text{BB} }$
(1) 初始化天线集合$\text{}=\{1,2,\cdots ,N\}$，波束选择集合${\mathcal{B} } = \varnothing$
(2) for $k \le M$ do
(3) 初始化第$k$个用户的所选波束集合${ {\mathcal{B} }_k} = \varnothing$，功率泄漏波束集合${ {\mathcal{A} }_k} = \varnothing$，候选波束集合${ {\mathcal{C} }_k} = \varnothing$, ${\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^k = 0$；
(4) ${p_{\max }} = \arg {\max _{n \in {\mathcal{J}}\backslash {\mathcal{B}}}}\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{kn}}} \right|$，设置${\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^{k{p_{\max }}} = 1$及${{\mathcal{B}}_k} = {{\mathcal{B}}_k} \cup \left\{ {{p_{\max }}} \right\}$，确定${{\mathcal{A}}_k}$；
(5) 更新候选波束集合${{\mathcal{C}}_k} = {{\mathcal{A}}_k}\backslash {{\mathcal{B}}_k}$；
(6) $p = \arg {\max _{n \in {{\mathcal{C}}_k}}}\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{kn}}} \right|$, ${{\mathcal{B}}_k} = {{\mathcal{B}}_k} \cup \left\{ p \right\}$；
(7) 根据式(15)和式(16)计算${\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^{kp}$；
(8) 重复执行步骤5～7，直至${ {\boldsymbol{\tilde h} }_{kp} } \le \kappa { {\boldsymbol{\tilde h} }_{k{p_{\max } } } }$或${B_k} > {B_{\max }}$；
(9) ${\mathcal{B}} = {\mathcal{B}} \cup {{\mathcal{B}}_k}$；
(10) end for 　(11) ${{\boldsymbol{F}}_{{\text{RF}}}} = \left[ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^{\text{1}},{\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^{\text{2}}, \cdots ,{\boldsymbol{f}}_{{\text{RF}}}^{{N_{{\text{RF}}}}}} \right]$; ${{\boldsymbol{\bar h}}_k} = {\boldsymbol{F}}_{{\text{RF}}}^{\text{H}}{{\boldsymbol{\tilde h}}_k}$, ${\alpha _k}{\text{ = }}{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\left\| {{{{\boldsymbol{\bar h}}}_{\text{k}}}} \right\|}}} \right. } {\left\| {{{{\boldsymbol{\bar h}}}_{\text{k}}}} \right\|}}$, ${\boldsymbol{f}}_{{\text{BB}}}^k{\text{ = }}{\alpha _k}{{\boldsymbol{\bar h}}_k}$; ${{\boldsymbol{F}}_{{\text{BB}}}} = \left[ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{BB}}}^{\text{1}},{\boldsymbol{f}}_{{\text{BB}}}^{\text{2}}, \cdots ,{\boldsymbol{f}}_{{\text{BB}}}^M} \right]$.

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4.   算法性能分析及关键参数选择

本节对MPE-BR预编码的频谱效率及能量效率进行分析，并讨论关键参数的选择规则。为简化分析，假设基站采用ULA，理论推导可推广到任意均匀阵列。

4.1   MPE-BR预编码算法性能分析

基于系统模型中波束空间信道的假设，当任一集群中信道路径数目${L_k}$充分大时，可得

其中，$s = S_k^{\text{L}},S_k^{\text{L}} + 1, \cdots ,S_k^{\text{U}}$表示功率泄漏区域的索引，AoD与复增益的联合2阶原点矩$\delta _{ks}^2$为

式(17)和式(18)的证明过程见附录1。为简化$\delta _{ks}^2$中积分项的计算，采用数值积分法近似。偶函数$g\left( {\mathcal{X}} \right) = {{{{\sin }^2}\left( {N\pi {\mathcal{X}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sin }^2}\left( {N\pi {\mathcal{X}}} \right)} {{{\sin }^2}\left( {\pi {\mathcal{X}}} \right)}}} \right. } {{{\sin }^2}\left( {\pi {\mathcal{X}}} \right)}}$的零点位置为${\varDelta}/{N},$${\text{ }}\varDelta = 1,2, \cdots$，且${\lim _{N \to \infty }}\displaystyle\int_{\frac{\varDelta}{N}}^{\frac{{\varDelta + 1}}{N}} {g\left( {\mathcal{X}} \right){\text{d}}} {\mathcal{X}} = 0,\forall \varDelta$，可得

式(20)的推导运用了数值积分中的Simpson公式：$\displaystyle\int_a^b {g\left( x \right)} {\text{d}}x \approx \dfrac{{b - a}}{6}\left( {g(a) + 4g\left(\dfrac{{a + b}}{2}\right) + g(b)} \right)$，且 $\eta = {\pi ^2} + 16 + \varepsilon$，$\varepsilon$为调整常数，确保上界有效。结合式(19)与式(20)，并作近似处理，可得

若波束空间信道系数具有较大的方差，说明有更高的功率。根据信道的功率泄漏性质，提出定理1。

定理1　对于所提出的MPE-BR预编码，做出假设：(1)满足前文对波束空间信道的所有假设；(2)任一集群中信道路径数目${L_k}$充分大；(3)每个用户中，各路径具有相同的$\delta _k^2$，且相互独立^[15]；(4)所有波束选自功率泄漏区域中的高功率波束。令$\gamma = N\rho {\mu _k}$，系统频谱效率的遍历上界$\tilde R$可表示为

证明　在定理1给定条件下，忽略IUI，即${\boldsymbol{\bar H}}$中的非对角元素近似为0。结合匹配滤波预编码、式(15)和式(16)以及${{\boldsymbol{\bar h}}_k} = {\boldsymbol{F}}_{{\text{RF}}}^{{\rm{H}}} {{\boldsymbol{\tilde h}}_k}$，可将式(6)改写为

其中，式(23a)忽略了IUI，式(23b)忽略了模拟预编码中的相位误差问题。

根据Jensen不等式，可得

参考式(17)和式(18)，利用${\mathbb{E}}\left\{ {\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{ki}}} \right|} \right\} = {\mathbb{E}}\left\{ {\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{ks}}} \right|} \right\}$, ${\mathbb{E}}\left\{ {{{\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{ki}}} \right|}^2}} \right\} = {\mathbb{E}}\left\{ {{{\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{ks}}} \right|}^2}} \right\}$，可得

将式(25b)代入式(24)，则有

将式(21)代入式(26)后，可得式(22)，结论成立。

与多RF链多波束性能对比，根据文献[15]，多RF链多波束预编码的频谱效率上界为

在高SNR区域，${{\gamma \delta _k^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{\gamma \delta _k^2} {{\sigma ^2}}}} \right. } {{\sigma ^2}}} \gg 1$，结合式(26)及式(27)，多RF链多波束预编码与MPE-BR预编码谱效性能上界的差距近似为$\vartriangle R \le M{\log _2}\left( {{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 \pi }} \right. } \pi }} \right)$。因${4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 \pi }} \right. } \pi }$稍大于1，所以谱效性能差距始终保持在一个较小的值。

MPE-BR预编码能量效率性能上界为

根据文献[15,19]中的系统参数设置，多RF链多波束预编码的能耗${P_{\text{M}}}$约是本文方案中能耗${P_{{\text{total}}}}$的3.1倍，因此，多RF链多波束预编码的能效性能${\text{E}}{{\text{E}}_{{M}}}$低于所提算法，即${\text{E}}{{\text{E}}_{{M}}} \le {{{{\tilde R}_{{M}}}}/ {{P_{{M}}}}} < {\text{EE}}$。

4.2   算法中关键参数的设置

(1)波束选择数目${B_k}$，为了有效提高系统频谱效率及能量效率性能，所选波束数目${B_k}$受功率泄漏程度$S_k^{\text{U}} - S_k^{\text{L}}$的限制。由式(22)，当$S_k^{\text{U}} - S_k^{\text{L}}$为定值时，系统性能会随${B_k}$的增加而增加。当${B_k}$超过功率泄漏区域波束的数目时，定理1不再成立，如果继续增加${B_k}$，将导致发射功率分散到小功率波束上，从而降低系统性能。因此，在满足定理1的前提下，本文为每个用户设置了最大波束选择数目${B_{\max }}$，并增加了波束选择门限$\kappa$。

(2)天线数目$N$，由式(22)，随着$N$的增加，系统的频谱效率将以线性的方式增加，直至无穷大。由于第$k$个用户的信道向量归一化为$\left\| {{{\boldsymbol{h}}_k}} \right\|{\text{ = }}N$，而功率泄漏区域的波束增益$\delta _k^2$随着$N$的增加而减小，同时，系统的功率泄漏区域将扩大。为此，需要增加每个用户的波束选择数量${B_k}$，以匹配更大的功率泄漏区域。

5.   仿真与分析

本节对所提MPE-BR预编码方案进行仿真分析，对比算法包括：最大幅度准则单波束预编码^[9]、多RF链多波束预编码^[12]，以及波束旋转预编码^[15]。系统带宽设为$500\;{\text{MHz}}$，噪声功率谱密度设为$- 174\;{\text{dBm/Hz}}$，所有用户与基站之间距离为$10\;{\text{m}}$；毫米波MIMO信道采用单集群信道模型；集群路径的复增益为${\beta _{k\ell }} \sim {\mathcal{C}\mathcal{N}}\left( {0,1} \right),\forall k,\ell$；设定${\phi _k},\forall k$在一个预定义集合中产生，保证角度充分分离；对第$k$个用户的大规模衰落因子${\mu _k} = 72 + 29.2\lg \left( g \right) + \upsilon$，$g$表示基站与用户之间的距离，$\upsilon \sim {\mathcal{N}}\left( {0,8.7} \right)$是扰动因子^[20]。

5.1   ULA场景仿真情况

基站配备ULA，天线数目为$N = 512$，用户数目为$M = 8$，波束选择门限$\kappa = 0.15$。

在集群密集散射情况下，即${L_k} = 100, k = 1,$$2, \cdots ,M$，发送功率为${P_T} = 10\;{\text{dB}}$。图4(a)验证了式(22)及式(27)所给出的频谱效率上界，表明MPE-BR预编码的频谱效率并不随${B_k}$的增加而一直增加。原因是随着${B_k}$的增加，部分功率较小的波束被选中，SNR不再明显增加。在选择相同波束数目的条件下，所提算法更接近多RF链多波束预编码的频谱效率。图4(b)为能量效率的仿真结果，验证了式(28)给出的能量效率上界，表明所提算法能量效率随${B_k}$的增加而降低，是因为较小增益的波束无法弥补预编码过程中带来的能耗。当${B_k}$不超过一定值时，MPE-BR预编码的能量效率随着${B_k}$增加而增加，并且能效优于其他方案。

图 4  不同波束数目下的系统效率性能对比(ULA)

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集群有限散射的情况，令${L_k} = 10,k = 1,2, \cdots ,M$，每个用户的最大波束选择数量${B_{\max }} = 6$。图5(a)为不同发射功率情况下系统频谱效率的对比。MPE-BR预编码与多RF链多波束预编码的性能优于波束对准预编码算法，并且与理想无功率泄漏性能相近。与单波束预编码相比，多波束选择的预编码方案可以更有效地解决功率泄漏。图5(b)为发射功率不同时能量效率性能的评估情况。波束对准预编码与单波束预编码的能量效率性能相似，高于多RF链多波束预编码，MPE-BR预编码表现最优。MPE-BR预编码方案中所提出的波束选择策略，可通过选择相对较少的波束而收集到较多的泄漏功率，在增加能量效率的同时，提高了频谱效率，克服了文献[15]中波束旋转预编码贪婪波束选择造成的速率损失。

图 5  不同发射功率下的系统性能对比(ULA)

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5.2   UPA场景仿真情况

基站配备UPA，${N_1} = 32$个水平天线，${N_2} = 16$个垂直天线，用户数为$M = 8$, $N = {N_1} \times {N_2} = 512$，每个用户的最大波束选择数量${B_{\max }} = 4$，波束选择门限$\kappa = 0.25$。

考虑有限散射场景，即${L_k} = 10,k = 1,2, \cdots ,M$。图6(a)为频谱效率的比较情况，与波束对准预编码相比，MPE-BR预编码可以更有效地解决功率泄漏的问题。图6(b)为能量效率性能比较，本文所提MPE-BR预编码方案表现出最高的能量效率性能。在图6中，所有算法的性能均劣于在图5中相应算法的性能。原因是在UPA信道中，路径功率同时沿着水平和垂直两个方向泄漏，功率泄漏比ULA更严重。

图 6  有限散射场景下对不同发射功率的系统性能对比(UPA)

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典型的视线 (Line-of-Sight, LoS)场景下，${L_k} = 1,k = 1,2, \cdots ,M$。频谱效率性能曲线如图7(a)所示，MPE-BR预编码方案同样可以达到近似最优的频谱效率性能。由于在LoS场景中功率泄漏得到了缓解，所以在图7中，单波束预编码与MPE-BR预编码的性能差距比图6中小。图7(b)给出了不同发送功率情况下能量效率性能的曲线，MPE-BR预编码具有最高的能量效率性能。

图 7  LoS场景下对不同发射功率的系统性能对比(UPA)

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6.   结束语

为解决波束空间大规模MIMO系统中功率泄漏所造成的能量损耗问题，本文在用户单集群信道场景下，提出了MPE-BR预编码算法，并且对该算法的性能进行了理论分析及仿真验证。采用基于相移器网络结构，提出收集泄漏功率的波束选择策略，通过最小相位误差的波束旋转，对所选波束集合进行近似最优组合以收集足够的信道功率。仿真证明，所提算法在提高系统能效的同时保证了系统的频谱效率。未来将关注多集群场景下波束空间MIMO系统中的功率泄漏、频谱效率及能量效率权衡的问题。

附录1式 (17)、式(18)的证明

在用户单集群信道场景下，联合酉矩阵${\boldsymbol{U}}$，式(2)、式(3)，可得

其中，${{\mathcal{X}}_{k\ell }} = \dfrac{{2s - N - 1}}{{2N}} - {\phi _{k\ell }}$。复增益${\beta _{k\ell }},\forall k,\ell$相互独立，${{\mathcal{X}}_{k\ell }},\forall k,\ell$相互独立，$k{\text{ = }}1,2, \cdots ,M,$$\ell = 1,2, \cdots ,{L_k}$。当路径数${L_k},\forall k$充分大时，通过中心极限定理得到：${\mathbb{R}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{ks}}} \right) \sim {\mathcal{N}}\left( {0,N{\mu _k}\delta _{ks}^2} \right)$, ${\mathbb{I}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{ks}}} \right) \sim {\mathcal{N}}\left( {0,N{\mu _k}\delta _{ks}^2} \right)$。其中，$\delta _{ks}^2$如式(19)所示，式(19)的推导利用了变量${\beta _{k\ell }}$与${{\mathcal{X}}_{k\ell }}$相互独立的特点，并对变量${\beta _{k\ell }}$和${{\mathcal{X}}_{k\ell }}$求期望。此外，由于${\mathbb{R}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{ks}}} \right)$和${\mathbb{I}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{ks}}} \right)$相互独立，因此$\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{ks}}} \right|$服从于Rayleigh分布，故${\mathbb{E}}\left\{ {\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{ks}}} \right|} \right\} = \sqrt {{{(\pi N{\mu _k})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(\pi N{\mu _k})} 2}} \right. } 2}} {\delta _{ks}},$ ${\mathbb{E}}\left\{ {{{\left| {{{{\boldsymbol{\tilde h}}}_{ks}}} \right|}^2}} \right\} = 2N{\mu _k}\delta _{ks}^2$。