格上本地验证者撤销属性基群签名的零知识证明

张彦华; 胡予濮; 刘西蒙; 张启坤; 贾惠文

doi:10.11999/JEIT190587

格上本地验证者撤销属性基群签名的零知识证明

doi: 10.11999/JEIT190587

1.
郑州轻工业大学计算机与通信工程学院郑州 450002
2.
西安电子科技大学通信工程学院西安 710071
3.
福州大学数学与计算机科学学院福州 350108
4.
广州大学数学与信息科学学院广州 510006

基金项目: 国家自然科学基金(61672412, 61772477)

详细信息

作者简介:
张彦华：男，1989年生，讲师，研究方向为格公钥密码学、属性基密码学和后量子密码学等

胡予濮：男，1955年生，教授，研究方向为多线性映射、后量子密码学等

刘西蒙：男，1988年生，研究员，研究方向为私计算、密文数据挖掘等

张启坤：男，1980年生，副教授，研究方向为群组密钥协商等

贾惠文：男，1990年生，讲师，研究方向为多线性映射、格公钥密码学等

通讯作者:
张彦华　yhzhang@zzuli.edu.cn

中图分类号: TN918, TP309
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出版历程
- 收稿日期: 2019-08-05
- 修回日期: 2019-10-31
- 网络出版日期: 2019-11-25
- 刊出日期: 2020-02-19

Zero-knowledge Proofs for Attribute-Based Group Signatures with Verifier-local Revocation Over Lattices

1.
School of Computer and Communication Engineering, Zhengzhou University of Light Industry, Zhengzhou 450002, China
2.
School of Telecommunications Engineering, Xidian University, Xi’an 710071, China
3.
College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou 350108, China
4.
School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China

Funds: The National Natural Science Foundation of China (61672412, 61772477)

摘要

摘要: 属性基群签名(ABGS)是一类特殊形式的群签名，其允许拥有某些特定属性的群成员匿名地代表整个群对消息进行签名；当有争议发生时，签名打开实体可以有效地追踪出真实签名者。针对格上第1个支持本地验证者撤销的属性基群签名群公钥尺寸过长，空间效率不高的问题，该文采用仅需固定矩阵个数的紧凑的身份编码技术对群成员身份信息进行编码，使得群公钥尺寸与群成员个数无关；进一步地，给出新的Stern类统计零知识证明协议，该协议可以有效地证明群成员的签名特权，而其撤销标签则通过单向和单射的带误差学习函数来进行承诺。
- 属性基群签名 /
- 格 /
- 本地验证者撤销 /
- 零知识证明 /
- 带误差学习
Abstract: Attribute-Based Group Signature(ABGS) is a new variant of group signature, and it allows group members with certain specific attributes to sign messages on behalf of the whole group anonymously; Once any dispute arises, an opening authority can effectively reveal and track the real identity information of the singer. For the problem that the first lattice-based attribute-based group signature scheme with verifier-local revocation has a long bit-size of group public-key, and thus a low space efficiency, a compact identity-encoding technique which only needs a fixed number of matrices is adopted to encode the identity information of group members, so that the bit-size of group public-key is independent of the number of group members. Moreover, a new Stern-like statistical zero-knowledge proofs protocol is proposed, which can effectively prove the member’s signature privilege, and its revocation-token is bound to a one-way and injective learning with errors function.
- Attribute-Based Group Signature (ABGS) /
- Lattice /
- Verifier-local revocation /
- Zero-knowledge proofs /
- Learning With Errors (LWE)

HTML全文

1. 引言

现如今，雷达正面临着日趋严峻的电磁环境，快速发展的电子干扰技术极大地降低了雷达探测能力^[1,2]。随着数字射频存储(Digital Radio Frequency Memory, DRFM)技术的发展，各式各样的干扰得到了广泛的应用^[3]。间歇采样转发干扰(Interrupted-Sampling Repeater Jamming, ISRJ)作为其中一种典型的相干干扰，其原理是通过对雷达发射波形进行截取采样、重复转发，最终实现在时域和频域的有效干扰^[4,5]。由于ISRJ具有实时快速响应、波形适应性强以及威胁性大的特点，给雷达系统带来严峻挑战。因此，研究有效的抗ISRJ技术对保证雷达的生存和正常运转具有重要意义。

目前，抗ISRJ的方法通常可以分为两类，即接收端信号处理和波形设计。第1类对于接收端信号处理对抗ISRJ的方法，其主要是在时频域进行特征辨识并重构干扰或者抑制干扰^[6-9]。然而，由于时频域分辨的精度问题，会影响干扰信号的重构与抑制；此外，由于仅仅考虑了接收端的信号处理技术而忽略了发射波形的设计，使得其可利用的自由度有限。第2类对于波形设计对抗ISRJ的方法，其主要包括发射端波形设计方法以及发射波形与滤波器联合设计的方法。其中，文献[10]设计了一种脉内正交的线性调频相位编码波形，将间歇采样转发干扰拆分成不同的子信号，利用其相应匹配滤波器对干扰进行有效侦察识别、干扰对抗，但其仅考虑了直接转发干扰。文献[11]通过设计稀疏多普勒波形破坏干扰信号的多普勒连续性，并根据波形时域等间隔副瓣特性提出滑窗抽取检测方法，进而实现对干扰信号的识别和抑制。文献[12]则根据间歇采样转发干扰特点，设计相互正交的工作波形和保护波形对抗干扰。文献[13]提出一种基于线性调频信号(Linear Frequency Modulation, LFM)分段脉冲压缩的抗间歇采样干扰方法，采用分段的LFM信号作为匹配滤波器脉冲响应信号，构造窄带滤波器组，将没被采样的信号段分选出来进行干扰对抗。但是，需要自适应选取干扰抑制门限进行干扰剔除，同时存在干扰残余带和栅瓣，会影响目标检测。针对该问题，文献[14]和文献[15]分别提出了一种基于脉内步进LFM波形和脉内Costas频率步进的LFM波形抗ISRJ的方法。但是均需要剔除干扰，导致存在子段脉压后选择合适门限抑制干扰的问题。同时，直接将被干扰的子脉冲剔除会带来脉压增益损失。因此，文献[16-18]研究了发射波形和接收滤波器联合设计的方法，在获取干扰机干扰参数的前提下，通过抑制ISRJ信号和接收滤波器脉压输出能量进行收发联合优化从而实现了干扰抑制，同时通过优化目标的旁瓣能量以保证脉冲压缩低旁瓣性能。但是此类方法需要求解复杂的波形优化问题，同时编码长度越长优化过程耗时越长。

文献[19]基于脉内分段脉压信号处理方式和互补序列自相关求和零旁瓣特征，实现了具有低距离旁瓣的雷达波形设计。而针对目前抗ISRJ的波形设计方法，一方面需要保证雷达波形具有低距离旁瓣，以提高目标的检测性能；另一方面需要保证雷达波形能够有效地对抗干扰。因此，得益于频域正交、分段脉压的思想^[19]，为了有效地抑制干扰，本文提出一种基于完全互补码来设计抗ISRJ的方法。完全互补码因其理想的相关函数特性^[20]，广泛应用于通信和雷达系统中^[21]。其中，文献[18]基于互补序列集通过脉冲串的形式进行了ISRJ信号的对抗。但是，利用完全互补码通过脉内单脉冲的形式进行干扰对抗的相关研究暂时没有。于是，本文基于完全互补码提出了一种设计雷达系统发射子脉冲顺序和接收滤波器系数的方法，使设计的发射波形和接收滤波器具有较好的脉压特性和抗干扰能力。同时，完全互补码具有快速生成长编码的闭式构造方法、理想的相关函数特性以及无需复杂的接收端信号处理的特点，故研究利用完全互补码进行干扰对抗具有重要优势。

本文具体思路是，在认知获取干扰机的干扰参数的先验信息前提下，针对ISRJ间断不连续采样的特点，通过波形组合的方式将完全互补码中的互补序列调制至不同频点以子脉冲的形式分段合并为恒模单脉冲雷达波形。在信号处理时再将各个互补序列进行分离，然后分别利用完全互补码中互补序列自相关求和以及互相关求和的信号处理流程实现低距离旁瓣以及抗干扰。最后，通过仿真实验，给出了设计波形的性能指标，同时也验证了方法的有效性。

2. 完全互补码及间歇采样干扰样式分析

2.1 完全互补码

设 $\left\{ {{{\boldsymbol{x}}_0},{{\boldsymbol{x}}_1}, \cdots ,{{\boldsymbol{x}}_{D - 1}}} \right\}$ 是一个大小为 $D$ ，长度为 $L$ 的恒模序列集，其中 ${{\boldsymbol{x}}_d} = \left[ {x_d}\left( 1 \right),{x_d}\left( 2 \right), \cdots , {x_d}\left( {L - 1} \right) \right]$ 。如果它们的自相关函数对于所有的时延 $k$ 满足

$\sum\limits_{d = 0}^{D - 1} {{C_{{x_d}}}\left( k \right)} = DL\delta \left( k \right)$

(1)

其中， $\delta \left( k \right)$ 表示Kronecker delta函数， ${C_{{x_d}}}\left( k \right)$ 为 ${{\boldsymbol{x}}_d}$ 的自相关函数，则称 $\left\{ {{{\boldsymbol{x}}_0},{{\boldsymbol{x}}_1}, \cdots, {{\boldsymbol{x}}_{D - 1}}} \right\}$ 为互补序列集^[22]。当 $D = 2$ 时，互补序列集退化成格雷互补对，其中每条序列称为互补序列。设 ${S_0} = \left\{ {{\boldsymbol{x}}_{0,0}},{{\boldsymbol{x}}_{0,1}}, \cdots, {{\boldsymbol{x}}_{0,D - 1}} \right\}$ 和 ${S_1} = \left\{ {{{\boldsymbol{x}}_{1,0}},{{\boldsymbol{x}}_{1,1}}, \cdots ,{{\boldsymbol{x}}_{1,D - 1}}} \right\}$ 是两个大小为 $D$ ，长度为 $L$ 的恒模序列集。若对于所有的时延 $k$ 都有

$\sum\limits_{d = 0}^{D - 1} {{C_{{x_{0,d}},{x_{1,d}}}}\left( k \right)} = 0$

(2)

则称 ${S_0}$ 和 ${S_1}$ 是相互正交。定义一个序列族 ${\boldsymbol{S}} = \left\{ {{S_0},{S_1}, \cdots ,{S_{M - 1}}} \right\}$ ，其中 ${S_i} = \left\{ {{{\boldsymbol{x}}_{i,0}},{{\boldsymbol{x}}_{i,1}}, \cdots, {{\boldsymbol{x}}_{i,D - 1}}} \right\}$ 是大小为 $D$ ，长度为 $L$ 的恒模序列集， $0 \le i \le M - 1$ 。为方便理解，将序列族 ${\boldsymbol{S}}$ 表示为

${\boldsymbol{S}}= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{x}}_{0,0}}}&{{{\boldsymbol{x}}_{0,1}}}& \cdots &{{{\boldsymbol{x}}_{0,D - 1}}} \\ {{{\boldsymbol{x}}_{1,0}}}&{{{\boldsymbol{x}}_{1,1}}}& \cdots &{{{\boldsymbol{x}}_{1,D - 1}}} \\ \vdots & \vdots & {{}} & \vdots \\ {{{\boldsymbol{x}}_{M - 1,0}}}&{{{\boldsymbol{x}}_{M - 1,1}}}& \cdots &{{{\boldsymbol{x}}_{M - 1,D - 1}}} \end{array}} \right)$

(3)

其中， ${S_i}$ 为 ${\boldsymbol{S}}$ 的第 $i + 1$ 行元素。如果 ${\boldsymbol{S}}$ 的每一行都是大小为 $D$ ，长度为 $L$ 的互补序列集，且任意两行之间相互正交，则序列族 ${\boldsymbol{S}}$ 构成了一组完全互补码，其维度为 $\left( {M,D,L} \right)$ 。

2.2 完全互补码的性质

以维度为 $\left( {2,2,10} \right)$ 的完全互补码为例，介绍完全互补码的性质，具体数值为: ${\boldsymbol{a}} = \left[ 1,1, - 1, 1, - 1,1, - 1, - 1,1,1 \right]$ , ${\boldsymbol{b}} = \left[ {{{1,1, - 1,1,1,1,1,1, - 1, - 1}}} \right]$ , ${\boldsymbol{c}} = \left[ {{{ - 1, - 1,1,1,1,1,1, - 1,1,1}}} \right]$ , ${\boldsymbol{d}} = \left[ - 1, - 1,1, 1, - 1, 1, - 1,1, - 1, - 1 \right]$ .

给出了完全互补码 $\left\{ {\left\{ {{\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}}} \right\},\left\{ {{\boldsymbol{c}},{\boldsymbol{d}}} \right\}} \right\}$ 的相关函数。由图1以及完全互补码的定义可知，完全互补码具有理想的自相关求和以及互相关求和特性。同时，文献[,]通过计算机搜索了一些维度为 $\left( {4,4,3} \right)$ , $\left( {4,4,5} \right)$ , $\left( {4,4,7} \right)$ , $\left( {4,4,9} \right)$ , $\left( {4,4,11} \right)$ 和 $\left( {4,4,13} \right)$ 的二相完全互补码，可认为是完全互补码核。而维度更灵活的完全互补码可由这6种完全互补码核通过克罗内克积方法以及通过文献[25]中多变元函数方法得到，以易于满足实际雷达波形参数的需求。此外，与传统优化算法设计发射波形的方法相比，基于完全互补码的雷达波形可以快速生成长编码低旁瓣的信号。因此，理想的自相关和互相关特性以及可快速生成长编码信号是完全互补码用于雷达干扰对抗波形的重要优势。

图 1 完全互补码的相关函数

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2.3 间歇采样转发干扰样式

间歇采样转发干扰通过对雷达信号进行采样和快速转发，巧妙利用脉压雷达的匹配滤波特性，可以产生相干假目标串的干扰效果^[4]。本文考虑基本的间歇采样转发干扰模型^[13]：间歇采样直接转发干扰和间歇采样重复转发干扰。其采样和转发过程如所示。从中可看出，间歇采样转发干扰具有时域不连续采样的特点，且对雷达发射信号只能部分采样。即：在干扰机采样和信号分段同步的情况下，采样子段 ${S_0}$ 时，子段 ${S_1}$ 没有被采样，可认为子段 ${S_0}$ 为子段 ${S_1}$ 作了掩护。因此，利用没被采样信号进行雷达参数提取是一种可行的方案。于是，本文基于完全互补码通过频域正交的方式将所有互补波形编入单脉冲信号。然后在接收端处理时，利用完全互补码的理想自相关和互相关特性，对没被干扰机采样的子段进行分段脉压求和以提取目标参数，对干扰机采样的子段进行失配分段脉压处理以达到抗干扰的目的。

图 2 间歇采样转发干扰示意图

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3. 脉内完全互补码波形抗干扰设计

3.1 脉内步进完全互补码波形

本文基于单脉冲脉内互补雷达模型^[19]：设 ${\boldsymbol{S}} = \left\{ {{S_0},{S_1}, \cdots ,{S_{M - 1}}} \right\}$ 为一组维度为 $\left( {M,D,L} \right)$ 的完全互补码，其中 ${S_i} = \left\{ {{x_{i,0}},{x_{i,1}}, \cdots, {x_{i,D - 1}}} \right\}$ 是大小为 $D$ ，长度为 $L$ 的互补序列集， $0 \le i \le M - 1$ 。设码元宽度为 ${t_p}$ ，单脉冲编码长度为 $MDL$ ，则整个单脉冲宽度为 $T = MDL{t_p}$ 。利用频域正交设计，即单脉冲脉内有 $MD$ 个频点，每个频点上分别调制码长为 $L$ 的互补序列相位编码信号 ${x_{i,d}}$ 。则雷达基带发射波形可表示为

$\begin{split} s\left( t \right) = & \sum\limits_{d = 0}^{D - 1} \sum\limits_{i = 0}^{M - 1} \sum\limits_{l = 0}^{L - 1} {{\text{rect}}\left( {t - \left( {\left( {dM + i} \right)L + l} \right){t_p}} \right)} \\ & \cdot{x_{i,d}}\left( l \right){{\text{e}}^{{\text{j}}2\pi \left( {dM + i} \right)\Delta ft}} \end{split}$

(4)

其中， ${\text{rect}}\left( t \right)$ 是宽度为 ${t_p}$ 的矩形窗函数， ${x_{i,d}}\left( l \right)$ 为互补序列的第 $l$ 个码元， $\Delta f$ 为互补序列之间调制的频率间隔。进一步，式(4)可简化为

$s\left( t \right) = \sum\limits_{d = 0}^{D - 1} {\sum\limits_{i = 0}^{M - 1} {{S_{i,d}}\left( t \right){{\text{e}}^{{\text{j}}2\pi \left( {dM + i} \right)\Delta ft}}} }$

(5)

其中， ${S_{i,d}}\left( t \right) = \displaystyle\sum\nolimits_{l = 0}^{L - 1} {\text{rect}}\left( {t - \left( {\left( {dM + i} \right)L + l} \right){t_p}} \right) \cdot{x_{i,d}}\left( l \right)$ 。由式(5)可知，雷达基带发射波形由 $MD$ 个不同频点的互补序列调制的相位编码信号组成。同时，基带发射波形脉冲内 $MD$ 个互补序列子脉冲在时域和频域不相重叠，子脉冲之间可以更好的掩护。其时频示意图如图3所示。

图 3 单脉冲互补波形时频域示意图

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此外，本文还考虑干扰场景下对运动目标的检测能力。设目标速度为 $v$ ，目标距离时延为 ${\tau _1}$ ，则目标回波信号为

${s_t}\left( t \right) = s\left( {t - {\tau _1}} \right){{\text{e}}^{ - {\text{j2}}\pi {f_{\text{d}}}t}}$

(6)

其中， ${{\text{e}}^{ - {\text{j2}}\pi {f_{\text{d}}}t}}$ 为多普勒项， ${f_{{\rm{d}}} } = 2v/\lambda$ 。由于单脉冲互补波形在脉内有 $MD$ 个频点，于是脉内多普勒项与各个频点的波长 ${\lambda _0},{\lambda _1}, \cdots, {\lambda _{MD - 1}}$ 有关。但是，根据文献[]可知脉内多频点导致的多普勒偏移不一致可忽略不计。也就是单脉冲的回波多普勒项近似可看成只与 ${f_0}$ 有关，即

${s_t}\left( t \right) = s\left( {t - {\tau _1}} \right){{\text{e}}^{ - {\text{j}}4\pi {f_0}vt/{\text{c}}}}$

(7)

其中， ${\rm{c}}$ 为光速。同时，从式(7)可知单脉冲脉内不同互补波形的多普勒项可近似看成常数，因此将不会影响脉内的完全互补码的相关函数特性。所以，单脉冲脉内互补波形对于运动目标也具有较好的检测效果。

3.2 分段脉压抗干扰处理流程

根据间歇采样原理，干扰机对单脉冲信号采样只能分段部分采样，因此脉内完全互补码波形的子脉冲之间可以互相掩护。基于脉内完全互补码波形的抗间歇采样干扰方法：首先根据干扰机的采样脉冲宽度 $\tau$ 和采样重复周期 ${T_s}$ ，获得采样占空比 $\tau /{T_s} = 1/M$ ；然后选择维度为 $\left( {M,D,L} \right)$ 的完全互补码通过频域正交的方式编入单脉冲信号；最后利用带通滤波器组在频率上对回波信号进行分段，然后将分段后信号进行子脉冲分段脉压求和。但由于间歇采样转发干扰信号与雷达发射信号的强相干性，且干扰能量远大于目标能量。于是分段脉压时需恰当设计分段脉压系数，以获取较好的脉压性能以及更好的干扰抑制效果。下面将详细分析抗直接转发干扰的处理原理，而抗重复转发干扰的处理原理与之类似，不再赘述。

抗直接转发干扰：根据干扰机的采样脉冲宽度 $\tau$ 和采样重复周期 ${T_s}$ ，获得采样占空比 $\tau /{T_s} = 1/M$ ，其中 $M$ 为整数。然后选择一个维度为 $\left( {M,D,L} \right)$ 的完全互补码 ${\boldsymbol{S}}$ ，按照通过频域步进的方式将完全互补码 ${\boldsymbol{S}}$ 编入单脉冲信号，具体编入顺序为

$\begin{split} &\Bigr[ {S_{0,0}}\left( t \right){\text{ }}{S_{1,0}}\left( t \right){{\text{e}}^{{\text{j}}2\pi \Delta ft}}{\text{ }} \cdots {\text{ }}{S_{M - 1,0}}\left( t \right) \\ & \quad\cdot {{\text{e}}^{{\text{j}}2\pi \left( {M - 1} \right)\Delta ft}}{\text{ }}{S_{0,1}}\left( t \right){{\text{e}}^{{\text{j}}2\pi M\Delta ft}}{\text{ }}{S_{1,1}}\left( t \right)\\ & \quad\cdot\left.{{\text{e}}^{{\text{j}}2\pi \left( {M + 1} \right)\Delta ft}}{\text{ }} \cdots {\text{ }}{S_{M - 1,D - 1}}\left( t \right){{\text{e}}^{{\text{j}}2\pi \left( {DM - 1} \right)\Delta ft}} \right] \end{split}$

(8)

其中每个互补序列子脉冲时宽为 $\tau$ 。根据直接转发干扰原理可知，在每个采样周期 ${T_s} = M\tau$ 中部分发射信号被截获，即 ${S_{0,0}}\left( t \right),{S_{0,1}}\left( t \right){{\text{e}}^{{\text{j}}2\pi M\Delta ft}}, \cdots , {S_{0,D - 1}}\left( t \right){{\text{e}}^{{\text{j}}2\pi \left( {DM - M} \right)\Delta ft}}$ ，然后对截获的部分信号进行延时转发。最后，将回波信号通过带通滤波器组进行分段脉压求和处理，如所示，其中回波信号经过信道分离后第 $k + 1$ 路为

图 4 分段脉压处理示意图

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${r_k}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{llllll}} {\left( {{S_{0,d}}\left( {t - {\tau _1}} \right) + {S_{0,d}}\left( {t - {\tau _2}} \right)} \right){{\text{e}}^{{\text{j2}}\pi k\Delta ft}}},&{k = dM,{\text{ }}d = 0,1, \cdots ,D - 1} \\ {{S_{m,d}}\left( {t - {\tau _1}} \right){{\text{e}}^{{\text{j2}}\pi k\Delta ft}}},&{k = dM + m,{\text{ }}d = 0,1, \cdots ,D - 1;{\text{ }}m = 1, 2,\cdots ,M - 1} \end{array}} \right.$

(9)

一般而言，干扰信号的能量远大于目标能量。因此，为抑制强干扰信号，分段脉压系数选择为

${h_k}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{lllllllll}} {S_{M - 1,d}^*\left( { - t} \right){{\text{e}}^{{\text{j2}}\pi k\Delta ft}}},&{k = dM,{\text{ }}d = 0,1, \cdots ,D - 1} \\ {S_{m,d}^*\left( { - t} \right){{\text{e}}^{{\text{j2}}\pi k\Delta ft}}},&{k = dM + m,{\text{ }}d = 0,1, \cdots ,D - 1;{\text{ }}m = 1,2, \cdots ,M - 1} \end{array}} \right.$

(10)

从式(10)可知，为了抑制被截获的部分信号，本文利用完全互补码的理想互相关特性进行抑制，即完全互补码的最后1行(分段脉压系数)与第1行(采样干扰信号)相互正交。而目标信号利用完全互补码的理想自相关特性以获得零旁瓣的脉压输出。根据文献[19]，最后分段脉压求和的输出为

$\begin{split} Z\left( t \right) =& \left[ \begin{gathered} \left( {M - 1} \right)DL\delta \left( {t - {\tau _1}} \right) + \sum\limits_{d = 0}^{D - 1} {\sum\limits_{i = 1}^{M - 1} {\left( {\sum\limits_{\mathop {i' \ne i{\text{ or}}}\limits_{{\text{ }}d' \ne d} } {{S_{i',d'}}\left( {t - {\tau _1}} \right){\text{ }}} {{\text{e}}^{{\text{j2}}\pi \left[ {\left( {d'M + i'} \right) - \left( {dM + i} \right)} \right]\Delta ft}}} \right)} }\\ \otimes S_{i,d}^*\left( { - t} \right) + \sum\limits_{d = 0}^{D - 1} {\left( {\sum\limits_{\mathop {i' = 1{\text{ or}}}\limits_{{\text{ }}d' \ne d} }^{M - 1} {{S_{i',d'}}\left( {t - {\tau _1}} \right){\text{ }}{{\text{e}}^{{\text{j2}}\pi \left[ {\left( {d'M + i'} \right) - dM} \right]\Delta ft}}} } \right)} \otimes S_{M - 1,d}^*\left( { - t} \right) \\ \end{gathered} \right] \otimes {\text{sinc}}\left( {\frac{{2t}}{{{t_p}}}} \right) \\ &+ \left[ \begin{gathered} \sum\limits_{d = 0}^{D - 1} {\sum\limits_{i = 1}^{M - 1} {\left( {\sum\limits_{d' = 0}^{D - 1} {{S_{0,d'}}\left( {t - {\tau _2}} \right)} {\text{ }}{{\text{e}}^{{\text{j2}}\pi \left[ {d'M - \left( {dM + i} \right)} \right]\Delta ft}}} \right)} } \otimes S_{i,d}^*\left( { - t} \right) + \\ \sum\limits_{d = 0}^{D - 1} {\left( {\sum\limits_{{\text{ }}d' \ne d} {{S_{0,d'}}\left( {t - {\tau _2}} \right)} {\text{ }}{{\text{e}}^{{\text{j2}}\pi \left( {d'M - dM} \right)\Delta ft}}} \right)} \otimes S_{M - 1,d}^*\left( { - t} \right) \\ \end{gathered} \right] \otimes {\text{sinc}}\left( {\frac{{2t}}{{{t_p}}}} \right) \end{split}$

(11)

其中， ${\tau _1}$ 表示目标回波距离时延， ${\tau _2}$ 表示干扰信号距离时延。式(11)中第1部分目标脉压输出由主瓣能量和旁瓣能量组成，主瓣能量由完全互补码的理想自相关特性而得到较好的积累，旁瓣能量则由不同频点之间的互补序列互相关之和而得到一定的抑制；式(11)中第2部分干扰信号脉压输出仅由旁瓣能量构成，由于干扰信号的主瓣能量由完全互补码的理想互相关特性而得到一定的抑制。因此理论结果表明，在间歇式采样直接转发干扰场景下，本文提出的波形将会具备较低的距离旁瓣性能以及较好的抗干扰效果。此外，本文的信号处理方式是一种失配处理，相比于匹配处理会损失一定的主瓣能量，能量损失由信号处理过程中信道化分离以及非匹配滤波所导致。

4. 仿真实验与分析

为了验证基于完全互补码所设计的发射波形和接收滤波器的抗间歇采样干扰的性能，设计3组实验： (1)在同步采样情况下，分析本文所提方法抗间歇采样直接转发式干扰和抗间歇采样重复转发式干扰的效果；(2)分析本文所设计的发射波形和接收滤波器的低旁瓣和正交性能；(3)在目标运动场景下，分析本文所提方法的抗干扰能力。

4.1 抗转发式干扰效果

本节将对设计的发射波形和接收滤波器在间歇采样转发式干扰场景下的性能进行分析。首先，针对直接转发式干扰，仿真参数如表1所示。考虑干扰机同步采样转发，干扰采样占空比为50%，则本文所提方法抗直接转发式干扰如图5所示。

表 1 直接转发干扰仿真参数

参数	数值
完全互补码维度	(2,2,8)
完全互补码	${x_{0,0}} = \left[ {{{1,1,1, - 1,1,1, - 1,1}}} \right]$ , ${x_{0,1}} = \left[ {{{1, - 1,1,1,1, - 1, - 1, - 1}}} \right]$ , ${x_{1,0}} = \left[ {{{ - 1, - 1, - 1,1,1,1, - 1,1}}} \right]$ , ${x_{1,1} }=\left[ { { { - 1,1, - 1, - 1,1, - 1, - 1, - 1} } } \right]$
中心频率(MHz)	1, 3, 5, 7
滤波器带宽(MHz)	2
码元宽度(µs)	1
采样率(MHz)	100
脉宽(µs)	32
目标所处采样点位置	3 200
ISRJ干扰机所处采样点位置	4 000
直接转发干扰采样脉宽(µs)	8
直接转发干扰采样重复周期(µs)	16
信干比(dB)	–15
信噪比(dB)	0

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图 5 同步采样直接转发干扰回波处理结果

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从图5(a)可以看出，在匹配滤波情况下，基于完全互补码波形可获得目标的低距离旁瓣，但会出现单假目标，进而从幅度上压制目标信号。与此相比，从图5(b)可看出，本文基于完全互补码设计的信号的输出，干扰信号被有效地抑制，无法对目标形成幅度上的干扰。同时，与文献[10,13-15]类似，根据干扰采样占空比的大小，抗直接转发式干扰会损失相应的能量，但对干扰均具有较好的抑制效果。此外，相比于文献[10,13-15]，本文的信号处理更为简单，无需进行强干扰信号的识别和剔除，可减少雷达信号处理的负担。同时，基于完全互补码设计的抗干扰波形具有较低的距离旁瓣以及可快速生成长编码信号的优势。

接着，针对重复转发式干扰。考虑维度为 $\left( {4,4,5} \right)$ 的完全互补码，脉宽为80 µs，子脉冲带宽为1 MHz，子脉冲数为16，目标所处采样点位置为8 000。考虑干扰机同步采样转发，重复转发次数为3次，干扰信号所处采样点位置为8 500, 9 000和9 500，重复转发干扰采样宽度 $\tau = 5$ µs，采样重复周期 ${T_s} = 20$ µs，信干比为–15 dB，信噪比为0 dB。则本文所提方法抗重复转发式干扰如图6所示。

图 6 同步采样重复转发干扰回波处理结果

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从图6(a)可以看出，在匹配滤波情况下，间歇采样重复转发式干扰会形成密集假目标干扰，输出的干扰目标数量较多且干扰峰值较高，对真实目标起到一定的压制和欺骗的效果。与此相比，从图6(b)可看出，本文基于完全互补码设计的信号的输出，干扰信号被有效地抑制，无法对目标形成幅度和数量上的干扰。

从前面的分析可以看到，在获取干扰机参数的先验信息基础之上，利用本文方法可以对ISRJ实现有效的抑制。为了进一步评估本文方法性能，将分析所提方法的性能对ISRJ的采样脉宽和采样重复周期的敏感性。选取表1同步采样直接转发干扰的参数，本文所提方法在不同干扰参数下ISRJ信号脉压输出峰值如图7所示。

图 7 不同干扰参数下ISRJ信号脉压输出峰值

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图7(a)为信干比固定为0 dB、采样重复周期固定为16 µs下，不同采样占空比条件下干扰信号和接收滤波器的脉压输出峰值。从中可以看出，采样占空比大于0.1且小于0.4时，干扰信号脉压峰值高于–20 dB，这表明本文方法的性能对于ISRJ的采样脉宽误差较为敏感，实际应用时对采样脉宽存在一定精度要求。图7(b)为信干比固定为0 dB、采样占空比固定为50%下，不同采样重复周期条件下干扰信号和接收滤波器的脉压输出峰值。观察可得，随着采样重复周期偏离预设值16 µs时，干扰峰值逐渐增加，当大于18 µs时，干扰信号脉压峰值高于–20 dB，这表明本文方法的性能对于ISRJ的重复周期较为敏感，实际应用时对ISRJ的重复周期估计具有精度要求。图7(c)为不同信干比条件下本文方法的干扰信号脉压输出峰值性能。可以看出，随着信干比的增加，本文方法具有较低的干扰峰值，可以满足抗干扰检测需求。

4.2 低旁瓣和正交性能分析

4.1节分析了所提方法抗不同样式的间歇采样转发干扰的效果。仿真结果与理论分析结果相同，在获得目标信号较低的距离旁瓣的同时能有效抑制干扰信号。但是，存在干扰采样子脉冲间的过渡带和旁瓣对目标检测影响，即式(11)中的目标信号和干扰信号的旁瓣能量，这是由不同信道之间的互补序列互相关之和所造成的。由于干扰信号能量一般大于目标能量，故干扰采样子脉冲间的旁瓣对目标检测影响特别大。因此，本节将分析所提方法的低旁瓣和正交性能，采用表1的参数，仿真结果如图8所示。

图 8 完全互补码的性能分析

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为了利用完全互补码的性质，需要将完全互补码通过频域正交的方式将完整的完全互补码编入单脉冲信号，则子脉冲间须进行跳频。从图8可以看出，步进跳频越大，目标信号的低旁瓣性能越好。同时，干扰的谐波抑制效果越好，但这会增大系统带宽和采样率，给雷达带来其他负担，需要折中考虑。

4.3 运动目标效果分析

设雷达载频为3 GHz，目标运动速度为500 m/s, ISRJ干扰机速度为0 m/s。选取4.1节中表1的仿真参数进行本文波形和传统互补波形仿真对比，如图9所示。

图 9 运动目标脉压处理结果

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从图9(a)可以看出，匹配滤波情况下，对于运动目标，基于完全互补码波形仍可获得较低的距离旁瓣，但在间歇采样直接转发式干扰下仍会出现单假目标。与此相比，从图9(b)可以看出，本文基于完全互补码设计的信号的输出，干扰信号被有效地抑制，无法对目标形成幅度上的干扰。同时，对于运动目标，本文设计波形仍可获得较低的距离旁瓣。所以，仿真结果与理论分析结果相同，本文设计波形对于动态目标具有较好的检测效果。此外，图10给出了本文设计波形模糊函数的3维图。

图 10 本文完全互补码波形的模糊函数

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从图10可以看出，速度从–500～500 m/s变化，模糊函数中目标距离旁瓣始终低于–19 dB，干扰信号也被有效地抑制。换言之，本文所提波形在不同速度下，旁瓣较平坦起伏不大，说明本文所设计波形具有较稳健的多普勒容忍度且能抑制ISRJ干扰。

5. 结束语

对于抗间歇采样转发干扰问题，在获取干扰机的干扰参数先验信息的前提下，本文提出了一种基于完全互补码和接收滤波器联合设计的抗干扰方法。通过频域正交的方式将完全互补码按照子脉冲掩护的方法编入单个脉冲，然后利用完全互补码的性质以对抗间歇采样转发干扰并保证较低的距离旁瓣。同时，所设计的波形具有较稳健的多普勒容忍度。最后需要指出的是，本文方法利用了完全互补码理想的互相关性质，则无需识别和剔除干扰就能有效地抑制强干扰。另外，本文方法的关键在于通过波形组合的方式进行抗干扰，所以不用进行复杂的优化求解，能够快速生成长编码信号，在线设计能力强。

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施引文献

期刊类型引用(2)

1.	张飘平，谢荣，朱鸿宇，刘峥，冉磊. 间歇采样转发干扰参数估计算法研究. 信号处理. 2025(01): 43-54 . 百度学术
2.	张亮，冯光辉. 物联网中基于上校博弈的抗无线电干扰算法. 火力与指挥控制. 2025(01): 146-151 . 百度学术

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1. 引言
2. 完全互补码及间歇采样干扰样式分析
2.1 完全互补码
2.2 完全互补码的性质
2.3 间歇采样转发干扰样式
3. 脉内完全互补码波形抗干扰设计
3.1 脉内步进完全互补码波形
3.2 分段脉压抗干扰处理流程
4. 仿真实验与分析
4.1 抗转发式干扰效果
4.2 低旁瓣和正交性能分析
4.3 运动目标效果分析
5. 结束语

1. 引言
2. 完全互补码及间歇采样干扰样式分析
2.1 完全互补码
2.2 完全互补码的性质
2.3 间歇采样转发干扰样式
3. 脉内完全互补码波形抗干扰设计
3.1 脉内步进完全互补码波形
3.2 分段脉压抗干扰处理流程
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格上本地验证者撤销属性基群签名的零知识证明

doi: 10.11999/JEIT190587

通讯作者:
张彦华　yhzhang@zzuli.edu.cn

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Zero-knowledge Proofs for Attribute-Based Group Signatures with Verifier-local Revocation Over Lattices

1. 引言

2. 完全互补码及间歇采样干扰样式分析

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2.2 完全互补码的性质

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4.2 低旁瓣和正交性能分析

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2.3 间歇采样转发干扰样式

3. 脉内完全互补码波形抗干扰设计

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2.2 完全互补码的性质

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1. 引言

2. 完全互补码及间歇采样干扰样式分析

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2.2 完全互补码的性质

2.3 间歇采样转发干扰样式

3. 脉内完全互补码波形抗干扰设计

3.1 脉内步进完全互补码波形

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