1.   引言

在多传感器信息融合系统中，航迹关联是信息融合的一项关键技术^{[1, 2]}，旨在判断不同传感器上报的航迹是否源于同一目标。近年来，由于军事平台搭载多种传感器进行战场态势监视，异类传感器间的航迹关联显得尤为重要。作为机载平台中应用最广泛的传感器，雷达与电子支援设施(ESM)航迹关联成为多源异类传感器信息融合的典型问题。雷达能够通过获取目标的距离测量和角度测量实现目标跟踪，而ESM只能接收电磁波实现辐射源角度测量^[3]，测量维度的不同给雷达与ESM间的航迹关联带来很多困难。当传感器存在随机虚警、漏警、探测区域不完全相同时，造成传感器上报目标不完全一致，导致各传感器上报的航迹无法一一对应，使得原本复杂的航迹关联问题难度增大^{[4, 5]}。此外，由于传感器普遍存在系统误差，目标量测位置发生偏移，导致航迹关联问题更加困难。

大量文献研究了雷达与ESM航迹关联问题。文献[6]将其看作由角度量测组成的ESM量测集合与多个可能的雷达航迹关联问题，利用方位角信息构建航迹关联似然函数，采用最大似然分类准则进行航迹关联判决。随后，文献[7, 8]基于模糊综合分析理论和统计原理，将不等样本容量下的关联问题转化为目标状态相似性度量问题，提出了一种基于模糊综合分析理论的航迹关联算法。文献[9, 10]分别对雷达和ESM量测进行滤波处理后，利用直角坐标系下位置和速度构造关联统计量，但忽视了滤波过程中的发散问题^[11]，传感器与目标之间需要有一定的机动。针对雷达与ESM位于同一平台的情况，文献[12]将目标状态估计在笛卡尔坐标系转化到修正极坐标系(MPC)，利用统计学原理构建航迹关联统计量进行航迹关联，分析了各参数对关联性能的影响。文献[13]在此基础上增加了两个目标运动信息，采用最大似然估计的方法进行航迹关联。但实际情况下，系统误差普遍存在于雷达和ESM中，上述传统的雷达与ESM航迹关联方法并未给出系统误差条件下雷达与ESM航迹关联的有效方法。

为此，文献[14, 15]分别研究了系统误差对基于角度和基于位置统计量关联算法的影响，但尚未提出相应解决方法。文献[16]提出一种基于区间重合度的灰色关联算法，将时变系统误差下的不确定性转化为区间问题，通过区间的重合度来衡量雷达与ESM航迹关联程度。在文献[17]中，雷达状态估计被转换为MPC中的方位/方位变化率参数空间。通过计算目标曲线积分的重合比例，将检验统计量修正为卡方分布，实现抗差航迹关联。但统计上积分重度的估计精度有限，需要大量航迹样本。

针对以上分析的问题，本文提出了一种基于航迹矢量检测的雷达与ESM航迹抗差关联算法。首先在修正极坐标系下推导目标状态估计分解方程，基于真实状态对消得到目标间的航迹矢量，其次为剔除大部分非同源目标航迹，基于系统误差下方位角变化率与ITG的无偏性构建统计量进行粗关联，然后基于航迹矢量${\chi ^2}$检验的方法实现雷达与ESM的航迹关联，最后通过实验仿真，验证本文算法在不同场景下雷达与ESM航迹关联性能。

2.   问题描述

考虑位于同一平台的雷达与ESM，以平台中心为原点建立坐标系对若干目标进行探测，目标$T\,$分别为雷达和ESM探测到的第$i$个和第$j$个目标。受到系统误差与随机误差的影响，雷达量测与目标的真实距离、方位角存在偏差。雷达对目标$T\;$的量测为

其中，$\rho _i^r$,$\theta _i^r$分别为目标$T\;$相对于雷达的量测距离和方位角，$\bar \rho _i^r$,$\bar \theta _i^r$分别为目标$T\,$的真实距离和方位角，$\Delta {\rho ^r}$,$\Delta {\theta ^r}$为雷达的测距系统误差和方位角系统误差，$\upsilon _\rho\!\!^r$,$\upsilon _\theta\!\!^r$分别为雷达的距离和方位角随机量测误差，且$\upsilon _\rho\!\!^r \sim N(0,\sigma _{r,\rho }^2)$, $\upsilon _\theta\!\!^r \sim N(0,\sigma _{r,\theta }^2)$。同理，由于系统误差与随机误差的存在，ESM量测与目标的真实方位角存在偏差。ESM对目标$T\;$的量测为

其中，$\theta _j^e$, $\bar \theta _j^e$分别为目标$T\;$相对于ESM的量测方位角和真实方位角，$\Delta {\theta ^e}$为ESM的方位角系统误差，$\upsilon _\theta\!\!^{{e}}$为随机量测误差，且$\upsilon _\theta\!\!^{{e}} \sim N(0,\sigma _{e,\theta }^2)$。

由于ESM只能通过接收电磁波获得目标的角度信息，为避免ESM在直角坐标系中的滤波发散问题，一般采用修正极坐标系对目标进行跟踪^[18]。在修正极坐标系中通常将目标方位角变化率，ITG，方位角作为ESM目标的状态估计。${\hat{{X}}}_j^e(k) = \Big[ {\hat \dot \theta _j^e(k)\;\;$${{\hat \dot \rho _j^e(k)} / {\hat \rho _j^e(k)}}\;\;\hat \theta _j^e(k) \Big]^{\rm T}$表示$k$时刻ESM探测到的目标$T\;$的状态估计。作为主动式传感器，雷达在直角坐标系下进行滤波，实现目标跟踪。根据文献[11]，雷达目标$T\;$在直角坐标系下的状态估计转化到MPC中为${\hat{{X}}}_i^r(k) = {\left[ {\hat \dot \theta _i^r(k)\quad {{\hat \dot \rho _i^r(k)} / {\hat \rho _i^r(k)}}\quad \hat \theta _i^r(k)} \right]^{\rm T}}$。

由于一个目标产生一条雷达航迹，而一个目标可以搭载多个辐射源，产生多条ESM航迹，导致一条雷达航迹可以与多条ESM航迹关联，而一条ESM航迹至多和一条雷达航迹关联。那么，雷达航迹与ESM航迹的关联问题可以转化为如下假设：

${{\rm{H}}_0}$：雷达航迹$i$与ESM航迹$j$源于同一目标；

${{\rm{H}}_1}$：雷达航迹$i$与ESM航迹$j$源于不同目标。

传统的航迹关联中，构造雷达航迹$i$与ESM航迹$j$关联统计量：

其中，${{P}}_i^r(k)$,${{P}}_j^e(k)$分别为MPC下雷达与ESM状态估计的协方差矩阵。假设${{\rm H}_0}$成立时，传统算法中的统计量$\tau$服从自由度为3的${\chi ^2}$分布。

然而，在实际应用中，由于系统误差的存在，导致传感器对目标的量测偏离目标真实状态，传统算法中的统计量不再服从标准的中心卡方分布，算法性能严重降低。

3.   算法描述

3.1   航迹矢量的推导

由于系统误差的存在，目标状态估计由目标真实状态、系统误差和随机噪声3部分组成。本文定义MPC下$k$时刻雷达目标的等价测量${\overset{\smile} { {X}} }_i^r\!\!(k)$，表示只受系统误差影响的目标状态，则目标状态估计可表示为

其中，量测误差${{υ}}_i^r(k)$服从零均值高斯分布，误差协方差为${{P}}_i^r(k)$，

一般情况下，目标与雷达距离较远，雷达测距系统误差$\Delta {\rho ^r}$远小于目标的距离$\bar \rho _i^r$($\Delta {\rho ^r} \ll \bar \rho _i^r$)，则

同理，MPC下ESM目标状态估计可表示为

其中，量测误差${{υ}}_j^e(k)$服从零均值高斯分布，误差协方差为${{P}}_j^e(k)$，

若雷达航迹$i$与ESM航迹$j$源于同一目标，$\bar \rho _i^r(k) \!=$$\bar \rho _j^e(k)$, $\bar \theta _i^r(k) = \bar \theta _j^e(k)$，由式(4)—式(10)得，

由式(11)可知，雷达与ESM状态估计中的角度变化率与ITG几乎不受系统误差影响，两者仍是近似无偏的，而由于系统误差的存在，目标角度状态估计存在固定偏差。因此，在修正极坐标系中，ESM目标状态估计可近似表示为

其中，${\bar{{X}}}_j^e(k) = {\left[ {\dot \bar \theta _j^e(k)\quad {{\dot \bar \rho _j^e(k)} / {\bar \rho _j^e(k)}}\quad \bar \theta _j^e(k)} \right]^{\rm T}}$表示ESM目标的真实状态。修正极坐标系下雷达目标状态估计的近似表达式同理可得。假设雷达与ESM各状态变量时间同步，省略时间变量$k$。定义目标在修正极坐标系下的航迹矢量为

其中，${{{J}}_{re}} = {\left[ \begin{gathered} 0\quad 0\quad 1 \\ 0\quad 0 - 1 \\ \end{gathered} \right]^{\rm T}}$，系统误差矢量${{η}} = [\Delta {\theta ^r}$$\Delta {\theta ^e}]^{\rm T}$, $({{υ}}_i^r - {{υ}}_j^e)\~N({[0\;\;0\;\;0]^{\rm T}},{{P}}_i^r + {{P}}_j^e - {{P}}_{ij}^{re} - {{P}}_{ij}^{er})$, ${{{P}}_{ij}}$为估计误差互方差矩阵。

如果雷达上报的航迹$i$与ESM上报的航迹$j$源于同一目标，

由式(13)、式(15)可知，当上报航迹源于不同目标时，航迹矢量与目标真实状态之差、系统误差矢量${{η}}$和随机误差之差线性相关；当上报航迹源于同一目标时，航迹矢量由系统误差矢量${{η}}$和随机噪声构成。由于不同目标间真实状态差别较大，所以源于同一目标的航迹矢量受随机误差的影响，在常数矢量${{{J}}_{re}}{{η}}$附近浮动，而非同源航迹矢量偏差较大。

3.2   基于方位角变化率与ITG统计量的粗关联

由于系统误差对雷达与ESM目标状态估计中的方位角变化率与ITG是近似无偏的，所以可以利用目标角度变化率与ITG构建关联统计量进行粗关联。将3维式(13)拆分出角度变化率与ITG项，构成2维等式：

${{Y}}$为3维航迹矢量${Δ}_{ij}^{re}$前两个元素构成的2维矢量，$([1,2])$表示列向量取前两个元素构成的2维矢量。令${{P}}_{ij}^{\rho \theta } = ({{P}}_i^r + {{P}}_j^e - {{P}}_{ij}^r - {{P}}_{ji}^e)([1,2],[1,2])$，则构建粗关联统计量：

若雷达上报的航迹$i$与ESM上报的航迹$j$源于同一目标，则${\alpha _{ij}}$服从自由度为2的${\chi ^2}$分布，即${\alpha _{ij}} \sim$${\chi ^2}(2)$。给定漏关联概率$\lambda$，则粗关联的判决门限为$\chi _\lambda ^2(2)$，其中$\chi _\lambda ^2(2)$是自由度为2，水平为$\lambda$的卡方分布上侧分位数。通过粗关联，可以剔除大部分非同源航迹，为下一步细关联降低运算量。

3.3   基于航迹矢量检测的细关联

基于方位角变化率与ITG统计量的关联方法能够判决大部分源于同一目标的航迹，排除大部分非同源的航迹。当监视环境中存在平行直线运动且速度相似的不同目标时，特别是在目标密集环境中，方位角度差近似于常数，基于方位角变化率与ITG统计量的粗关联难以判断航迹是否源于同一目标。因此需要在满足粗关联的航迹集合中进一步通过细关联进行判别。

根据式(15)可得

其中，${i_1}$, ${i_2}$为雷达上报的满足粗关联的航迹，${j_1}$, ${j_2}$为ESM上报的满足粗关联的航迹。$(\varDelta _{{i_1}{j_1}}^{re} - \varDelta _{{i_2}{j_2}}^{re})$的协方差矩阵为

若上报航迹${i_1}$与${j_1}$源于同一目标，且上报航迹${i_2}$与${j_2}$源于同一目标，则满足

综上所述，基于航迹矢量的雷达与ESM航迹抗差关联算法流程如图1所示。

图 1  算法流程图

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4.   实验结果与分析

4.1   仿真环境

为验证在系统误差、上报目标不完全一致等复杂场景下算法的有效性，对本文算法与文献[10]、文献[17]中的经典算法进行对比。仿真环境设置如下：在全局直角坐标系下，雷达与ESM传感器位于同一运动平台，平台在X轴方向做匀速直线运动，初始位置坐标为$(0,0)$，初始速度为$100\;{\rm{m/s}}$。有$N = 20$批目标在区域$[150\ {\rm{ km}},170\ {\rm{ km}}] \times [150\ {\rm{ km}},$$170\ {\rm{ km}}]$中均匀分布，目标初始速度服从均匀分布且匀速运动，${v_o} \sim U({\rm{100\;m/s}},200\;{\rm{m/s}})$，目标的初始航向均匀分布在$[0,2{{π}} ]$范围内。雷达在直角坐标系下进行卡尔曼滤波跟踪目标，ESM在修正极坐标下进行目标跟踪。雷达的测距量测误差标准差为$\sigma _\rho ^r = 100\;{\rm m}$。雷达与ESM传感器的方位角量测误差标准差分别为$\sigma _\theta\!\!^r = 0.3^\circ$, $\sigma _\theta\!\!^e = 0.5^\circ$。雷达测距系统误差为$\Delta {\rho ^r} = 1000\;{\rm{m}}$。雷达与ESM传感器的方位角系统误差分别为$\Delta {\theta ^r} = - 1.0^\circ$, $\Delta {\theta ^e} = 1.2^\circ$。两传感器的采样周期为$T = 2\;{\rm s}$，目标跟踪周期数为$K = 300$，传感器的探测概率分别为${P_1} = 0.9$, ${P_2} = 0.7$，允许的漏关联概率为0.05。目标与平台的运动轨迹如图2所示。

图 2  仿真环境设置

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为描述算法的关联性能，本文采用平均正确关联率作为评价指标^[19]：

其中，$N'$为雷达与ESM上报的同源航迹目标数，$N_c^i$为第$i$次蒙特卡洛仿真实验中正确关联的目标个数，$K$为传感器跟踪目标的步数，$M$为蒙特卡洛仿真次数，本文实验仿真中蒙特卡洛次数为100次。

4.2   仿真结果分析

图3为系统误差条件下雷达与ESM跟踪的某个共同探测目标的状态估计。可以看出，在修正极坐标系下雷达与ESM均能够稳定跟踪。存在系统误差时，雷达与ESM状态估计中的角度变化率与ITG快速收敛于目标真实状态值，角度变化率与ITG是近似无偏的。同时，可以看出雷达的测距系统误差对ITG几乎无影响，说明式(7)中忽略雷达的测距系统误差对目标状态估计影响不大；因为雷达与ESM方位角系统误差的存在，方位角状态估计与目标的真实状态存在相对固定的偏差。因此，在传感器系统误差条件下，传统基于统计量的方法不再适用。

图 3  系统误差下雷达与ESM滤波航迹

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图4为不同雷达测距系统误差下所提算法的性能对比图。在仿真过程中只改变雷达的测距系统误差，其他参数不变，测距系统误差在$\Delta {\rho ^r}$在0.1~1 km等间隔分布。由图5可知，随着雷达的测距系统误差的不断增大，3种关联算法性能相对稳定，本文所提算法的性能最优，平均正确关联率均在85%以上。由此可以看出在一定范围内，雷达的测距系统误差对航迹关联性能影响不大，目标的状态估计的近似处理是合理有效的。

图 4  不同雷达测距系统误差平均正确关联率

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图 5  不同ESM方位角系统误差平均正确关联率

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图5为不同ESM方位角系统误差下所提算法的性能对比图。在仿真过程中只改变ESM的方位角系统误差，其他参数不变，ESM的方位角系统误差$\Delta {\theta ^e}$在0.1°~1.5°等间隔分布。可以看出随着方位角系统误差的不断增大，文献[10]算法的正确关联率明显下降，所提算法与文献[17]中的经典算法性能相对稳定。所提算法的平均正确关联率保持在80%以上，明显优于经典的传统算法。

通过图4、图5可知，随着系统误差的增大，所提算法性能相对稳定，平均正确关联率明显优于传统算法。这是因为文献[10]算法采用伪线性滤波后的状态估计属于有偏估计，在系统误差下关联统计量不再适用。文献[17]虽然考虑了系统误差的影响，但目标数量不一致时角度-角度变化率曲线无法完全重合，测角系统误差偏差估计精度不高，关联性能不够理想。本文算法采用航迹矢量${\chi ^2}$检验判断航迹关联关系，根据高斯随机矢量特性计算关联门限，能够抵消系统误差对航迹关联的影响，因此能保持较好的关联性能。

图6为不同ESM探测概率下所提算法的性能对比图。在仿真过程中只改变ESM的探测概率，其他参数不变，ESM探测概率${P_2}$在0.55~1.00等间隔变化。由图6可知，随着ESM探测概率的不断增加，雷达与ESM上报的同源航迹不断增多，作为干扰的非同源航迹相对较少，降低了对航迹关联的影响，文献[10]算法平均正确关联率明显提高。文献[17]算法随着探测探测概率的不断增加，角度-角度变化率曲线重合度越高，测角系统误差偏差估计越精确，算法平均正确关联率提高。本文采用航迹矢量${\chi ^2}$检验判断航迹关联关系，根据高斯随机矢量特性计算关联门限，不受非同源航迹比例的影响，在低探测概率下仍能保持较高的正确关联率，具有较强的稳健性。当传感器探测概率较高时，本文算法的平均正确关联率能达到85%以上。

图 6  不同探测概率下平均正确关联率

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图7为不同目标分布密度下所提算法的性能对比图。在仿真过程中目标分布区域大小不变，目标数量在15~50之间等间隔分布，其他参数不变。可以看出，随着目标数量的增加，目标的密度逐渐增大，非同源航迹数量增加，对航迹关联过程造成干扰，文献[10]、文献[17]中的算法的平均正确关联率明显下降，而本文采用航迹矢量${\chi ^2}$检验判断航迹关联关系，根据高斯随机矢量特性计算关联门限，对非同源航迹具有较好的分辨能力，算法平均正确关联率保持在80%以上，明显优于对比算法，且算法性能几乎不受目标密集程度的影响，具有较强的稳健性。

图 7  不同目标分布密度平均正确关联率

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图8为不同ESM方位角随机误差下所提算法的性能对比图。在仿真过程中只改变ESM方位角随机误差，其他参数不变，ESM的方位角随机误差在0.2°~2.0°等间隔分布。可以看出随着方位角随机误差的增大，在一定程度上抵消系统误差造成的航迹偏差，文献[10]、文献[17]中的算法性能有明显的提升。本文算法航迹矢量${\chi ^2}$检验的方法，受方位角随机误差影响较小，平均正确关联率保持在80%以上，算法性能明显优于传统算法。

图 8  不同ESM方位角随机误差下平均正确关联率

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5.   结束语

为了提高雷达与ESM航迹关联在传感器系统误差、上报目标不一致情况下的关联率和稳定性，本文基于高斯随机矢量统计特性，提出一种基于航迹矢量检测的雷达与ESM航迹抗差关联算法。本文首先在修正极坐标系(MPC)下推导目标状态估计分解方程，采用真实状态对消的方法得到航迹矢量，利用系统误差对方位角变化率-ITG的无偏性构建统计量进行粗关联，然后采用航迹矢量${\chi ^2}$检验的方法实现雷达与ESM的航迹关联。最后通过实验仿真证明了在不同系统误差、目标密度、检测概率等环境下，本文算法具有较高的正确关联率和较强的稳健性。