1.   引言

压缩感知(Compressed Sensing, CS)^[1–4]技术可以少量观测次数采集原信号的全部信息，极大地节省了硬件资源，目前已具有广泛的应用^[5–9]。在雷达信号处理领域中的波达方向(Direction Of Arrival, DOA)估计^[10]应用中，压缩感知观测过程一般建模为多测量向量(Multiple Measurement Vector, MMV)模型^[11]，感兴趣的来波方向只占据全波达方向的少量单元，不感兴趣部分被视为0，这就可将来波方向建模为空域稀疏信号，并利用CS重构技术进行DOA估计。文献[12]将传统多重信号分类(Multiple Signal Classification, MUSIC)算法^[13]拓展到CS重构领域，但在快拍数低于稀疏度时，MUSIC算法性能将急剧下降。文献[14]将MUSIC算法和CS理论结合，提出压缩感知MUSIC(CS-MUSIC)算法，有效提高了MUSIC算法在快拍数过少的估计精度。文献[15]在CS-MUSIC算法基础上，用差值映射代替CS恢复算法获取部分支撑集，提出基于差值映射的MUSIC算法，但该算法每次迭代都需要在原信号维度上排序、求逆，并进行多次迭代，导致计算复杂度巨大。此外，还有一些方法，如凸优化方法^[16]，贝叶斯方法^[17]、块稀疏方法^[18]等，也被用于解决MMV问题，但计算复杂度均较大。

CS-MUSIC算法将支撑集分为两部分，一部分大小固定为 $K - L$ ，用CS重构算法恢复，剩余部分用修正的MUSIC谱方法恢复，这里 $K$ 为疏度， $L$ 快拍数。本文将文献[14]的结论扩展至一般情形，即先用MUSIC算法恢复 $q$ ( $q \in \left[ {K - L,L - 1} \right]$ )个支撑坐标，剩余部分用修正的MUSIC谱方法恢复，将这种方法称为修正的MUSIC(Modified MUSIC, MMUSIC)算法。仿真结果表明MMUSIC算法可有效克服快拍数不足的问题，并且具有高于CS-MUSIC算法和贪婪算法同时正交匹配(Simultaneously Orthogonal Matching Pursuit, SOMP)的重构概率。

2.   压缩域特征分解原理

假设 $M$ 元接收阵列接收到的远场信号仅对 $K$ 个波达方向是感兴趣的，在时刻 $n$ 阵列接收数据过程可描述为

式中， ${{y}} \in {{\bf{R}}^{M \times 1}}$ 是接收信号， ${{n}} \in {{\bf{R}}^{M \times 1}}$ 是观测噪声，一般考虑为高斯白噪声， ${{A}} \in {{\bf{R}}^{M \times N}}$ 是阵列流形矩阵，可表示为

这里 $L$ 为快拍数， $N$ 为空间网格划分数， $d$ 为阵元间距， $c$ 为电磁波传播速度。计算观测信号 ${{y}}$ 的自相关矩阵

(3)

其中， $E\left[ \cdot \right]$ 表示数学期望， $\sigma _n^2$ 表示观测噪声功率，S表示信号x的支撑集， ${{I}} \in {{\bf{R}}^{M \times M}}$ 表是单位阵，A_S表示在集合S中的坐标对应A中的列组成的子矩阵，x_S表示集合S中的坐标对应x的元素组成的子信号。将式(1)写为矩阵形式

其中， ${{N}} \in {{\bf{R}}^{M \times L}}$ 为观测噪声矩阵， ${{X}} =$ $\left[ {{{x}}\left( 1 \right),{{x}}\left( 2 \right), ·\!·\!· ,{{x}}\left( L \right)} \right] \in {{\bf{R}}^{N \times L}}$ 为信号矩阵，各信号 ${{x}}\left( n \right),n = 1,2,·\!·\!· ,L$ 具有相同的支撑集， ${{Y}} \in {{{R}}^{M \times L}}$ 是观测信号矩阵。根据式(4)可计算 ${{{R}}_{yy}}$ 的估计值 $\widehat {{{R}}_{yy}} = \displaystyle\frac{1}{L}{{YY}}^{\rm{T}}$ 。根据信号特征分解理论可得

其中， ${{{U}}_s} \in {{\bf{R}}^{M \times K}}$ 与 ${{{U}}_n} \in {{\bf{R}}^{M \times \left( {M - K} \right)}}$ 分别为信号子空间和噪声子空间， ${{Σ}_s}$ 和 ${{Σ} _n}$ 是对角阵。对式(5)式两端同时乘以 ${{{U}}_n}$ ，可得

可知 ${{{A}}_S}{{{R}}_{xx}}{{A}}_S^{\rm{T}}{{{U}}_n} = 0$ ，因为A_SR_xx是满秩的，从而

文献[12]利用此关系给出MUSIC谱的形式(逆谱)，即

这里 ${{{a}}_i}$ 表示观测矩阵 ${{A}}$ 的第 $i$ 列， $i \in \left[ {1,N} \right]$ ，并选取 $K$ 个最小的谱函数值对应的坐标作为估计支撑集。实际上，用MMV模型得到的估计值 $\widehat {{{R}}_{yy}}$ 代替 ${{{R}}_{yy}}$ ，会使式(7)的关系不能精确达到，支撑坐标处的谱函数值将大于0。

3.   修正的MUSIC算法

MUSIC算法表明谱函数值越小其相应坐标越可能属于支撑集，但在快拍数不足( $L < K$ )的条件下，矩阵A_SR_xx是欠秩的，这无法保证式(7)的关系一定成立，使MUSIC算法无法获得准确的谱估计。从式(4)易知观测信号 ${{Y}}$ 由纯观测信号和观测噪声组成，即

式中， ${{B}} = {{AX}}$ 表示纯观测信号，易知

$R\left( \cdot \right)$ 表示矩阵泛函空间， ${\left( \cdot \right)^ \bot }$ 表示正交补空间运算， $N\left( \cdot \right)$ 表示矩阵零空间。定义信号矩阵X的支撑集为

式中， ${{{X}}^i}$ 表示矩阵 ${{X}}$ 的第 $i$ 行， ${\left\| \cdot \right\|_0}$ 表示向量l₀范数，且 $\left| S \right| = K$ 。下面推导修正的MUSIC谱函数，因为信号矩阵 ${{X}}$ 的列相互独立，则定理1成立：

定理1 如果观测矩阵 ${{A}}$ 满足RIP条件 $0 \le$ ${\delta _{2K - p}}\left( {{A}} \right) < 1$ ，那么

其中， $p \in \left[ {L - 1,K - 1} \right]$ ， ${\rm{spark}}\left( \cdot \right)$ 表示矩阵最小线性相关的列数。

证明 (1)假设存在一个 ${{x}} \in {{\bf{R}}^{N \times 1}}\backslash \left\{ {\bf{0}} \right\}$ 使得 ${{U}}_n^{\rm{T}}{{Ax}} = {\bf{0}}$ , ${\left\| {{x}} \right\|_0} \le K - p$ ，其中 $p \in \left[ {L - 1,K - 1} \right]$ 。因为 ${{U}}_n^{\rm{T}}{{Ax}} = {\bf{0}}$ ，可知 ${{Ax}} \in N\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}} \right) = R\left( {{B}} \right)$ ，因此存在 $\widehat {{x}} \in R\left( {{B}} \right)$ ，使得 ${{Ax}} = {{A}}\widehat {{x}}$ 且 ${\rm{supp}}\left( {{x}} \right) =$ ${\rm{supp}}\left( {\widehat {{x}}} \right)$ ，于是 ${{A}}\left( {{{x}} - \widehat {{x}}} \right) = {\bf{0}}$ , ${\left\| {{{x}} - \widehat {{x}}} \right\|_0} \le K + K$ $- p=2K - p$ 。如果观测矩阵 ${{A}}$ 满足RIP条件 $0 \le {\delta _{2K - p}}\left( {{A}} \right) < 1$ ，则有 ${{x}} = \widehat {{x}}$ ，从而 ${\rm{supp}}\left( {{x}} \right) \subset$ ${\rm{supp}}\left( {{X}} \right)$ 。又 ${{Ax}} \in R\left( {{B}} \right) = R\left( {{{AX}}} \right)$ ，那么存在一个 ${{y}} \in R\left( {{X}} \right)$ 使得 ${{Ax}} = {{Ay}}$ ，因此对于 ${{U}}_n^{\rm{T}}{{Ax}} = {\bf{0}}$ 且 ${\left\| {x} \right\|_0} \le K - p$ 在满足 $0 \le {\delta _{2K - p}}\left( {{A}} \right)$ $< 1$ 时有 $\ \widehat {{x}} \in R\left( {{X}} \right)$ 。

(2)现证明对于任何 ${{x}} \in R\left( {{X}} \right)\backslash \left\{ {\bf{0}} \right\}$ 有 ${\left\| {{x}} \right\|_0} \ge$ $K - p$ 。先假设 ${\left\| {{x}} \right\|_0} \le K - p - 1$ ，因为 $p \in \left[ L - 1,\right.$ $\left. K - 1 \right]$ ，对于集合 $D \subset {\rm{supp}}\left( {{X}} \right)\backslash {\rm{supp}}\left( {{x}} \right)$ 且 $\left| D \right| = p + 1 \ge L$ ，应存在 ${{c}} \in {{\bf{R}}^{L \times 1}}\backslash \left\{ {\bf{0}} \right\}$ 使得 ${{{X}}^D}{{c}} = {\bf{0}}$ ， ${{{X}}^D}$ 表示 ${{X}}$ 中坐标在集合 $D$ 中的行构成的子矩阵。但 ${{{X}}^D} \in {{\bf{R}}^{\left| D \right| \times L}}$ ，可知 ${{{X}}^D}{{c}} \ne 0$ ，这与上面推断矛盾，因此 ${\left\| {{x}} \right\|_0} \ge K - p$ 。综合(1)和(2)，易知 ${\left\| {{x}} \right\|_0} = K - p$ ，又 ${{U}}_n^{\rm{T}}{{Ax}} = {\bf{0}}$ ，从而 ${\rm{spark}}\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}{{A}}} \right) = K - p$ ，定理1得证。

根据定理1可以推导出定理2。

定理 2　假设 $\left\lceil {\displaystyle\frac{{K + 1}}{2}} \right\rceil \le L < K < M$ , ${S_1} \subset$ ${\rm{supp}}\left( {{X}} \right)$ 且 $\left| {{S_1}} \right| = q$ ，对于任何 $j \in {\rm{supp}}\left( {{X}} \right)\backslash {S_1}$ 有

其中， $q \in \left[ {K - L,L - 1} \right]$ ， ${\rm{rank}}\left( \cdot \right)$ 表示矩阵的秩。

证明 (1)先证明可由 ${\rm{rank}}\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}\left[ {{{{A}}_{{S_1}}},{{{a}}_j}} \right]} \right) = q$ 推出 $j \in {\rm{supp}}\left( {{X}} \right)\backslash {S_1}$ 。假设观测矩阵满足RIP条件 $0 \le {\delta _{2K - p}}\left( {{A}} \right) < 1$ ，由定理1可知 ${\rm{spark}}\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}{{A}}} \right) =$ $K - p$ ，即矩阵 ${{U}}_n^{\rm{T}}{{A}}$ 中线性相关列数最少为 $K \!-\! p$ 。又 $\left| {{S_1}} \right| = q \le L - 1 < M$ ，可知 ${\rm{rank}}\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}{{{A}}_{{S_1}}}} \right)$ $\le q$ ，易知存在 ${{b}} \in {{{R}}^{q \times 1}}\backslash \left\{ {\bf{0}} \right\}$ 使 ${{{X}}^{{S_1}}}{{b}} = {\bf{0}}$ ，其中 ${{{X}}^{{S_1}}} \!\in\! {{{R}}^{q \times L}}$ 。因为 ${\rm{rank}}\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}{{{A}}_{{S_1}}}} \right) \!\le\! q$ ，即矩阵 ${{U}}_n^{\rm{T}}{{{A}}_{{S_1}}}$ 线性无关的列数最多为 $q$ ，那么矩阵 ${{U}}_n^{\rm{T}}{{{A}}_{{S_1}}}$ 中的任何 $q + 1$ 列都线性相关，即应当有 $q + 1 \ge$ ${\rm{spark}}({{U}}_n^{\rm{T}}{{{A}}_{{S_1}}})$ 恒成立。对于 $p \in \left[ {L - 1,K - 1} \right]$ ，易知 $q + 1 \ge K - p = {\rm{spark}}({{U}}_n^{\rm{T}}{{{A}}_{{S_1}}})$ 恒成立，亦即此时 ${{U}}_n^{\rm{T}}{{{A}}_{{S_1}}}$ 的列线性相关，故而 ${\rm{rank}}\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}{{{A}}_{{S_1}}}} \right) = q$ 。又 ${\rm{rank}}\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}\left[ {{{{A}}_{{S_1}}},{a_j}} \right]} \right) = q < M$ ，可知存在 ${{{x}}_{{S_1}}} \in {{{R}}^{q \times 1}}$ 使得 ${{U}}_n^{\rm{T}}\left[ {{{{A}}_{{S_1}}},{{{a}}_j}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{x}}_{{S_1}}}} \\ { - 1} \end{array}} \right] = 0$ ，即 ${{U}}_n^{\rm{T}}\left( {{{A}}_{{S_1}}}{{{x}}_{{S_1}}} - {{{a}}_j} \right)$ $= {\bf{0}}$ , $j \in \left\{ {1,2, ·\!·\!· ,N} \right\}\backslash {S_1}$ ，由式(10)易知 ${{{A}}_{{S_1}}}{{{x}}_{{S_1}}} - {{{a}}_j}$ $\in N\left(\! {{{U}}_n^{\rm{T}}} \!\right) \!=\! R\left( {{B}} \right)$ ，因此存在 $\widetilde {{x}} \in {{{R}}^{q \times 1}}$ 且 ${\rm{supp}}\left( {\widetilde {{x}}} \right) \subset$ ${\rm{supp}}\left( {{X}} \right)$ ，使得 ${{{A}}_{{S_1}}}{{{x}}_{{S_1}}} - {{{a}}_j} = {{A}}\widetilde {{x}} \in R\left( {{B}} \right)$ 。因为 $j \in {S_1}$ 且 ${\rm{supp}}\left( {\widetilde {{x}}} \right) = \left\{ j \right\} \cup {\rm{supp}}\left( {{{x}_{{S_1}}}} \right) \subset {\rm{supp}}\left( {{X}} \right)$ ，所以 $j \in {\rm{supp}}\left( {{X}} \right)\backslash {S_1}$ 。

(2)现证明可由 $j \in {\rm{supp}}\left( {{X}} \right)\backslash {S_1}$ 推出 ${\rm{rank}}\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}\left[ {{{{A}}_{{S_1}}},{{{a}}_j}} \right]} \right) = q$ 。采用反证法，先假设 ${\rm{rank}}\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}\left[ {{{{A}}_{{S_1}}},{{{a}}_j}} \right]} \right) = q + 1$ ，与(1)类似，易知对于任何使 ${{U}}_n^{\rm{T}}\left( {{{{A}}_{{S_1}}}{{{x}}_{{S_1}}} - {{{a}}_j}} \right) \ne 0$ 的 ${{{x}}_{{S_1}}} \in {{\bf{R}}^{q \times 1}}$ ，有 ${{{A}}_{{S_1}}}{{{x}}_{{S_1}}} - {{{a}}_j} \notin R\left( {{B}} \right)$ 。设 $Q = {\rm{supp}}\left( {{X}} \right)\backslash \left( {{S_1} \cup \left\{ j \right\}} \right)$ 且 $\left| Q \right| = K - q - 1 < L$ (亦即 $q \ge K - L$ )，存在 ${{c}} \in {{\bf{R}}^{L \times 1}}\backslash \left\{ {\bf{0}} \right\}$ 使 ${{{X}}^Q}{{c}} = {\bf{0}}$ ，其中 ${{{X}}^Q} \in {{\bf{R}}^{\left| Q \right| \times L}}$ 。因为 ${{X}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{X}}^Q}} \\ {{{{X}}^{{Q^{{c}}}}}} \end{array}} \right)$ ，这里 ${Q^c} = \left\{ {1,2, ·\!·\!·, N} \right\}\backslash Q$ ，易知 ${\left\| {{{Xc}}} \right\|_0} = K - \left| Q \right| = q + 1$ ,

${\rm{supp}}\left( {{{Xc}}} \right) = {\rm{supp}}$ $\left( {{X}} \right)\backslash Q = \left\{ j \right\} \cup {S_1} \subset {\rm{supp}}\left( {{X}} \right)$

又 ${{AXc}} \in R\left( {{B}} \right)$ 且 ${\rm{rank}}\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}{{{A}}_{{S_1}}}} \right) = q$ ，因此存在 ${{{x}}_{{S_1}}} \in {{\bf{R}}^{q \times 1}}$ 使得 $\left[ {{{{A}}_{{S_1}}},{{{a}}_j}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{x}}_{{S_1}}}} \\ { - 1} \end{array}} \right] = {{{A}}_{{S_1}}}{{{x}}_{{S_1}}} -$ ${{{a}}_j} \in R\left( {{B}} \right)$ ，这与上面的假设矛盾，所以 ${\rm{rank}}$ $\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}\left[ {{{{A}}_{{S_1}}},{{{a}}_j}} \right]} \right) = q$ 。综合(1)和(2)，定理2得证。

根据定理2可以推导出修正的MUSIC谱函数。令 ${S_2} = {\rm{supp}}\left( {{X}} \right)\backslash {S_1}$ , ${{{G}}_{{S_1}}} = {{U}}_n^{\rm{T}}{{{A}}_{{S_1}}}$ , ${{{g}}_j} = {{U}}_n^{\rm{T}}{{{a}}_j}$ , $j \in {S_2}$ ，由定理2可知 ${\rm{rank}}\left( {{{U}}_n^{\rm{T}}\left[ {{{{A}}_{{S_1}}},{{{a}}_j}} \right]} \right) =$ ${\rm{rank}}\left(\! {{{U}}_n^{\rm{T}}{{{A}}_{{S_1}}}} \!\right) \!=\! q$ ，从而 ${\rm{rank}}\left(\! {{{\left( {{{{G}}_{{S_1}}},{{{g}}_j}} \right)}^{\rm{T}}}\left( {{{{G}}_{{S_1}}},{{{g}}_j}} \right)} \!\right)$ $= q < q + 1$ ，可得

因为

这里， ${P_{R\left( {{{{U}}_n}} \right)}} = {{{U}}_n}{{U}}_n^{\rm T}\,$ 表示噪声子空间投影算子，可得式(14)等价于

因为 ${\rm{rank}}\left( {{{A}}_{{S_1}}^{\rm{T}}{P_{R\left( {{{{U}}_n}} \right)}}{{{A}}_{{S_1}}}} \right) = q$ 满秩，可得

记 ${P_{R\left( {{P_{R\left( {{{{U}}_n}} \right)}}{{{A}}_{{S_1}}}} \right)}} = {P_{R\left( {{{{U}}_n}} \right)}}{{{A}}_{{S_1}}} {\left( {{{A}}_{{S_1}}^{\rm{T}}{P_{R\left( {{{{U}}_n}} \right)}}{{{A}}_{{S_1}}}} \right)^{ - 1}}{{A}}_{{S_1}}^{\rm{T}}$ $\cdot{P_{R\left( {{{{U}}_n}} \right)}}$ ，于是式(16)等价于

这表明剩余支撑原子 ${a_j}$ 与修正的噪声子空间投影算子 ${P_{R\left( {{{{U}}_n}} \right)}} - {P_{R\left( {{P_{R\left( {{{{U}}_n}} \right)}}{{A}_{{S_1}}}} \right)}}$ 正交。与MUSIC算法一致，式(17)相当于给出了一种修正的MUSIC谱函数：

于是可将支撑集分为不相交的两部分 ${S_1}$ 和 ${S_2}$ ， $\left| {{S_1}} \right| = q \in \left[ {K - L,L - 1} \right]$ ，对于 ${S_1}$ 采用式(8)所示的谱函数并保留 $q$ 个最小谱值恢复，对 ${S_2}$ 则采用式(18)所示谱函数并保留 $K - q$ 个最小谱值恢复，最后估计支撑集则是 ${S_1} \cup {S_2}$ ，将这一方法记为修正的MUSIC算法(MMUSIC)，算法过程如下：

输入：观测信号矩阵 ${{Y}} \in {{\bf{R}}^{M \times L}}$ ，观测矩阵 ${{A}} \in {{\bf{R}}^{M \times N}}$ ，稀疏度 $K$ ，参数 $q \in \left[ {K - L,L - 1} \right]$ 。

步骤1　计算观测信号自相关矩阵 $\widehat {{{{R}}_{yy}}} =$ $\displaystyle\frac{1}{L}{{YY}}^{\rm{T}}$ ，并对其特征分解，求取噪声子空间 ${{{U}}_n}$ ；

步骤2　如果 $K \le L$ ，按MUSIC算法获取估计支撑集 $\widehat S$ ；否则按式(8)计算MUSIC谱值并保留 $q$ 个最小谱值对应的坐标集 ${S_1}$ ，按式(18)计算修正的MUSIC谱值并保留 $K - q$ 个最小谱值对应的坐标集 ${S_2}$ ；

步骤3　得到估计支撑集 $\widehat S = {S_1} \cup {S_2}$ 。

输出：估计支撑集 $\widehat S$ 。

从式(7)和式(17)容易发现 $q$ 的取值应使支撑原子对应谱值最小，可定义式(19)的累积谱函数 $F\left( q \right)$ 来说明 $q$ 值选取对于重构质量的影响：

从理论上， $F\left( q \right)$ 值越小则 $q$ 越恰当。

4.   仿真实验

为说明所提算法有效性，利用Matlab工具进行仿真实验。实验中测试信号矩阵和观测矩阵元素均服从高斯随机分布，每次实验均独立重复进行200次，CS-MUSIC算法采用SOMP算法恢复 ${S_1}$ 。这里定义信噪比为

定义重构概率 $P\,$ 为多次重复实验中支撑集100%恢复情形的出现频率。为便于与CS-MUSIC算法对比，实验参数信号长度 $N$ 、观测数 $M$ 、信噪比 ${\rm{SNR}}$ 参照文献[14]。

图1是测试各算法在快拍数分别为 $L = 8$ 和 $L = 12$ 时的重构概率 $P\,$ 与稀疏度 $K$ 的关系，信号长度 $N =$ 200，观测数 $M = 30$ ，信噪比 ${\rm{SNR}} = 20$ dB。可以发现，当 $K \le L$ 时，因为CS-MUSIC算法和MMUSIC算法均采用MUSIC算法恢复信号，所以这3种算法重构概率一致，并且均优于SOMP算法，且当快拍数增多时，这种优势更加明显；但当 $K > L$ 时，MUSIC算法重构性能急剧下降，甚至低于SOMP算法，而所提MMUSIC算法和CS-MUSIC算法仍优于SOMP算法。当 $q = K - L$ 时，MMUSIC算法与CS-MUSIC算法性能相近；当 $q = K - L + 1$ 和 $q = K - L + 3$ 时其性能将明显优于CS-MUSIC算法。

图 1  各算法重构概率P与稀疏度K的关系

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图2表示在稀疏度分别为 $K = 10$ 和 $K = 14$ 时各算法重构概率 $P\,$ 与观测数 $M$ 的关系，信号长度 $N = 200$ ，快拍数 $L = 8$ ，信噪比 ${\rm{SNR}} = 20$ dB。可以发现，当快拍数过少( $L < K$ )时，MUSIC算法重构概率最低，在 $K = 14$ 时几乎无法重构原信号。从图2(a)可以看到，在观测数较少时( $M \le 35$ ), CS-MUSIC算法和MMUSIC算法重构概率高于SOMP算法，但当 $M > 35$ 时，CS-MUSIC算法重构概率将低于SOMP算法，而 $q > K - L$ 情况下的MMUSIC算法重构概率则在各种观测数条件下几乎均高于CS-MUSIC算法，这种性能优势在观测数较少时更加明显。从图2(b)，当 $K - L$ 增大( $K = 14$ )情况下， $q = K - L + 3$ 时的MMUSIC算法仍能保持对SOMP算法的性能优势。

图 2  重构概率P与观测数M的关系

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图3呈现了 $q$ 值选取对MMUSIC算法重构质量的影响，信号长度 $N = 200$ ，稀疏度 $K = 10$ ，快拍数 $L = 8$ ，观测数 $M = 30$ ，信噪比 ${\rm{SNR}} = 40$ dB。可以发现，当 $q = K - L = 2$ 时，累积谱函数值 $F\left( q \right)$ 仍较大，重构概率相对较低；当 $3 \le q \le 7$ ，累积函数 $F\left( q \right)$ 值相对较小，且重构概率大于 $q = 2$ 的情况，而在 $q = 2$ 时MMUSIC算法重构概率与CS-MUSIC算法相当，这进一步说明扩展版本的MMUSIC算法相对于CS-MUSIC算法的优越性。从图3(b)易知，当 $q \in \left[ {K - L,L - 1} \right]$ 时MMUSIC算法具有最小的累积谱函数和最大的重构概率。

图 3  q值选取对MMUSIC算法重构性能的影响

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5.   结束语

本文将CS-MUSIC算法的适用情形从 $q = K - L$ 扩展至 $KL \ge q \ge L - 1$ ，提出MMUSIC算法并给出了理论推导。仿真实验显示MMUSIC能够有效克服快拍数不足的情况，并且当 $q > K - L$ 时其重构性能在相同稀疏度和观测数条件下优于CS-MUSIC算法和SOMP算法。信号稀疏情况、观测数、快拍数、信噪比等均是影响MUSIC类算法重构性能的因素，从理论上量化这些因素对算法重构质量的影响将是未来的研究方向。