1.   引言

与传统的脉冲体制的雷达相比，调频连续波(Frequency Modulated Continues Waveform, FMCW)雷达具有低成本、更高的距离分辨率、更强的穿透能力、能够消除距离盲区等优势，因此，调频连续波雷达在高精度测距和成像领域得到广泛应用^[1-3]，例如小型无人机遥感侦察以及浅层地质结构的精细探测^[4,5]。

影响调频连续波雷达测距成像精度最关键的因素是线性调频信号的线性度^[6]，调频连续波信号具有大带宽，且信号持续整个发射周期，因此保持信号调频斜率的线性具有很大的难度。由于雷达系统各个器件的非理想特性，或多或少地会引入信号调频的畸变—调频非线性^[7]。线性调频信号中的这种非线性分量，经过去调频处理(dechirp)之后，会引入空变的相位误差，降低信号质量，这会对信号频谱产生一定的影响，例如主瓣展宽、主瓣偏移、非对称畸变、成对回波以及旁瓣能量过高等问题^[8]，严重影响测距精度以及成像质量。

非线性模型可以分为非周期性非线性模型和周期性非线性模型，目前大多研究成果主要是针对非周期性模型即多项式模型进行估计和校正。文献[9]提出利用高阶模糊函数(High-order Ambiguity Function, HAF)估计多项式系数，通过时域插值重采样对空变非线性进行校正，但是参数递进估计过程会导致误差逐渐变大的问题。文献[10]利用递推最小二乘法估计非线性多项式模型，利用多项式回归实现系数的联合估计，但是算法过程中需要对矩阵求逆，计算量以及复杂度比较大。文献[11]使用小波变换方法提高了信号的时频分辨率，再利用脊线检测(ridge detection)获得信号频率，从而估计多项式系数。不基于多项式模型的估计方法也已经有不少学者研究。文献[12]利用拉格朗日中值定理，从而将差频非线性近似为1阶导数与时延的乘积形式，通过相干积分即可获得射频非线性的估计，但是对参考时延要求比较高，且该估计是有偏的。文献[13]利用同态滤波方法获得射频非线性的估计，再通过基于RVP项校正的方法，对差频信号中的非线性进行校正，但是噪声鲁棒性较低且存在相位模糊，而文献[8]在此基础上提出了根同态方法对射频非线性进行估计，改进了同态滤波方法，然而同态域实现条件在实际中较为苛刻。

本文针对上述问题展开深入研究，提出了一种新的FMCW雷达非线性估计以及校正方法。首先，建立了调频连续波差频信号在非线性干扰情况下的模型，分析了非线性对雷达距离成像造成的影响；然后，利用差频信号非线性模型的特点建立差分方程，估计目标时延对应的离散时延，再利用z变换域法解差分方程，从而获得射频非线性的估计；最后，通过匹配傅里叶变换校正差频非线性，从而消除非线性影响，提高测距精度以及成像质量。仿真结果充分证明了算法的有效性，并通过实际探测数据进行了验证。

2.   非线性信号模型

由于器件的非理想特性，会不可避免地在信号中引入非线性调频项，此时的调频信号不再是一个理想的线性调频信号，该信号的相位可以表示为一个理想调频信号的相位加上一个非线性相位误差函数$\epsilon (t)$^[10]，因此受到非线性干扰的FMCW线性调频连续波射频信号模型可以表示为

其中，${f_0}$为调频信号的起始频率；$t$是调频时宽PRI内的时间变量；$K$为调频信号的调频率，其与发射带宽$B$和调频时宽PRI的比值相等，即$K = B/{\text{PRI}}$。 忽略掉随机相位误差，式(1)的非线性相位误差函数可以表示为非周期性相位与周期性相位的和的形式，其中非周期性相位仅考虑3次及以上相位^[14]，即

其中，第1项为非周期性相位，为多项式模型，${a_i}$是多项式系数，该非周期性非线性相位主要影响主瓣宽度、近端旁瓣以及主瓣位置；第2项为周期性相位，为正弦曲线模型，${b_i}$是正弦相位误差的幅度，${f_{ei}}$是正弦相位误差的频率，${\theta }_{i}$是正弦相位误差的初相，该周期性非线性相位会造成主瓣两端复杂的成对回波以及旁瓣能量的上升^[15]。

其接收信号可以表示为发射信号经过一个时延$\tau$之后的调频信号，即

为了减少ADC的采样频率，将接收信号与发射信号做混频即Dechirp处理之后^[16]，可以得到差频信号。因此存在非线性误差的差频信号可以表示为

其中，$K\tau t$表示了目标的差频频率，目标对应的位置信息是与差频频率${f_b} = K\tau$相关的；$- 1/2K{\tau ^2}$是一个与距离有关的项，称为残留视频相位(Residual Video Phase, RVP)^[17]；$\varepsilon (t) - \varepsilon (t - \tau )$表示发射信号的非线性与接收信号的非线性叠加结果，即差频信号的非线性相位，该相位项即所需要消除校正的项。

3.   算法原理

在进行非线性相位的估计时，需要进行闭环测试，获取单一参考时延的差频信号，在此基础上进行非线性相位的估计。首先需要获取差频信号的非线性项。通过式(4)表示的差频信号的频谱获得延迟线差频频率${f_{{\rm{beat}}}}$，并以此构建理想差频信号${s_{b,{\rm{ideal}}}}(t) = \exp \left( {{\text{j}}2\pi {f_{{\rm{beat}}}}t} \right)$。将该理想差频信号与延迟线差频信号进行混频，并提取混频后信号的相位解缠，即可得到差频信号中的非线性相位，即

其中，${\text{unwrap}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} [{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{angle}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} ( \cdot )]$表示提取复信号的相位并解缠。

3.1   差分滤波射频非线性估计

式(5)的离散形式可以表示为

其中，$n$为离散时间变量，${N_\tau }$为离散参考时延。需要注意的是，${N_\tau }$可能与实际的$\tau$差距较大，从而造成较大的估计误差。因此，本文提出首先对数据进行升采样，给定一个阈值，使得${N_\tau }$与$\tau$的偏差控制在小范围内，当${N_\tau }$与$\tau$的偏差较小时，便可以通过解差分方程的方法对式(6)进行处理。由于${N_\tau }$的数值一般较大，该方程为高阶差分方程。

本文选用z变换域法解该差分方程，首先将式(6)中的${\phi _{\Delta \varepsilon }}[n]$看作输入，$\varepsilon [n]$看作输出，对等式两边求单边z变换，从时域转换到z域，即

通过式(7)便可以得到系统响应$H(z) = 1/$$(1 - {z^{{N_\tau }}})$。通过该系统响应便可以获得输出$\varepsilon (z)$，即

然后通过逆z变换即可获得$\varepsilon [n]$的估计。此时的$\varepsilon [n]$是升采样之后的序列，序列长度与原信号长度不一致，因此还需要进行降采样操作，使其与原信号长度保持一致。

另外，由于${N_\tau }$与$\tau$的不匹配问题，估计出的$\varepsilon [n]$可能会存在“毛刺”，需要滤除掉这些“毛刺”，否则会引入新的正弦非线性量。

3.2   匹配傅里叶变换校正非线性

匹配傅里叶变换(Match Fourier Transform, MFT)算法是一种针对非线性调制信号提出的广义傅里叶变换，该方法根据信号形式调整变换基，可以同时实现多目标在匹配傅里叶域的分辨^[18]。

当目标距离不是特别远，即目标时延不是特别大时，可以获得近似表示：$\varepsilon (t) - \varepsilon (t - \tau ) \approx \tau {\varepsilon'}(t)$，则多目标情况下的差频信号可以表示为

其中，$\eta (t) = t + \dfrac{1}{{2\pi K}}{\varepsilon '}(t)$。

匹配傅里叶变换的一般形式可以表示为

其中，$T$是信号周期，${f}_{M}$为匹配傅里叶频率，$\theta (t)$为积分路径。

匹配傅里叶变换中的关键是积分路径的选择，因为同一个信号在不同的正交系中的投影是不同的。令$\eta (t){\text{ = }}\theta (t)$，这时原信号变为$\eta (t)$的线性函数，其正交的匹配傅里叶域的信号可以表示为

从式(11)可以看出，每个目标都由一个位置不同的$\text{sinc}$函数进行聚焦，说明匹配傅里叶变换对于多目标的校正是可行的。

综上，本文提出的基于差分方程滤波的非线性估计校正方法流程如图1所示。

图 1  基于差分滤波的非线性估计校正方法流程

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4.   仿真实验及比较分析

对本文提出的非线性相位估计校正算法进行仿真分析，从而验证所提出算法的有效性。使用单点目标回波根据算法原理估计射频非线性相位，非线性相位模型如式(2)所示，为简便计算，多项式模型仅使用3次和4次项，正弦误差使用低频以及高频两项。雷达系统参数如表1所示。

表 1  雷达系统仿真参数

参数名称	参数符号	数值	单位
频率范围	$f$	1～2.5	GHz
采样率	${f}_{{\rm{s}}}$	2.5	MHz
时宽	$T$	4	ms
带宽	$B$	1.5	GHz
调频斜率	$K$	375	GHz/s
目标时延	$\tau$	2	us

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为了定性分析非线性对信号的影响以及算法的估计校正效果，引入非线性度的概念。线性调频连续波信号的非线性可以表示为式(12)所示，非线性度即为$\max [\rho (t)]$。为了突出显示非线性的影响，在本仿真中的非线性度为1.20 %，其射频信号的非线性$\varepsilon (t)$如图2所示。

图 2  射频信号的非线性$\varepsilon (t)$

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在进行非线性的估计中由于仅涉及相位信息，为了确保该估计方法能够在实际当中的正常应用，在该仿真中对差频信号的相位加入信噪比为20 dB的白噪声。在此非线性的干扰下，该调频连续波的差频信号的时域波形与归一化频谱如图3所示。该仿真中，目标时延对应的差频频率为${f_b} = K\tau =$$750$ kHz，而该信号的频谱中获得的差频频率为$750.6$ kHz，频谱发生偏移，产生了严重的非对称性畸变，且在主瓣两边产生了成对回波，测距精度以及成像质量恶化情况非常严重。

图 3  差频信号时域波形与归一化频谱图

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提取该差频信号的相位并解缠绕，其相位与频率(相位对时间的导数)如图4所示，从图中可以看出，相位与时间呈1次线性关系，但是受到了非线性以及噪声的干扰。

图 4  差频信号相位与时频曲线

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构造理想差频信号并与该差频信号混频，即可得到差频非线性项${\phi }_{\Delta \epsilon }(t)$，其离散形式如式(6)所示。$\tau$与${N_\tau }$的偏差会影响估计的准确性，因此需要对差频信号升采样，以减小$\tau$与${N_\tau }$的偏差，设定偏差为0.1，进行升采样处理。由式(8)即可获得该信号的非线性估计，如图5所示，差分滤波方法可以估计出非线性相位$\varepsilon [n]$，但是会产生“毛刺”，需要对该估计结果平滑处理，消除“毛刺”，使用平滑窗对“毛刺”进行平滑处理，平滑窗长度不应太大，避免将频率较高的周期性非线性相位滤除掉，平滑窗的长度应设置在2～5个“毛刺”周期长度。对“毛刺”的平滑结果如图5所示。

图 5  非线性估计结果；“毛刺”现象与平滑处理结果

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由于进行了升采样的处理，该估计的非线性数据长度与原数据不一致，因此还要进行降采样处理，使其数据长度保持一致。

差分滤波方法、相干积分法与实际非线性的比较如图6(a)所示，从图中可以看出，差分滤波方法与相干积分法的估计结果基本一致。

图 6  两种方法的相位与相位差对比

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相干积分方法与本文提出方法的估计误差对比如图6(b)所示，从图中可以看出，本文提出的估计方法的估计误差远小于相干积分方法的估计误差，因此本文提出的估计方法更加准确。用本文提出的方法估计出的非线性项进行校正，校正结果如图7所示。从图中可以看出，使用MFT校正后，因为非线性造成的频谱偏移得到一定的校正，且非对称性的畸变也得到了校正。而在非线性度为1.20%的情况下，使用基于RVP项校正的方法效果变得很差。

图 7  RVP和MFT校正结果对比

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5.   实测数据验证

使用本实验室提供的FMCW雷达进行实测数据的验证，该雷达主要的系统设计参数如表2所示。

表 2  雷达系统设计参数

参数名称	参数符号	数值	单位
频率范围	$f$	450～2150	MHz
采样率	${f_{\rm{s}}}$	200	kHz
时宽	$T$	4	ms
带宽	$B$	1.7	GHz
调频斜率	$K$	425	GHz/s

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首先，进行闭环测试以估计该雷达射频非线性相位。闭环测试数据的归一化频谱如图8所示，从图中可以看出，该信号受到了非线性的影响，主瓣附近产生了非对称畸变，而且在主瓣附近也有一些对称回波干扰导致旁瓣能量升高，且右侧旁瓣能量比左侧旁瓣能量高出许多。

图 8  闭环差频数据归一化频谱

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按照本文提出的非线性估计方法，估计出的射频非线性相位如图9(a)所示，其中的周期性非线性相位如图9(b)所示。由于该信号末端为非调频段，因此会造成相位的偏差以及非线性度的增加，在进行数据处理时需截掉末端非调频段。经计算，该系统非线性度约为0.631%。

图 9  射频非线性相位以及其中的周期性非线性相位估计结果

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使用上述估计非线性相位，利用匹配傅里叶变换校正方法对另一条延迟线闭环数据进行非线性校正，校正前后的差频频谱如图10所示，从图中可以看出，经过匹配傅里叶变换校正之后，因非线性造成的主瓣展宽、旁瓣能量过大、非对称畸变、对称回波等都有所抑制。

图 10  闭环数据非线性校正结果对比

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使用上述闭环测试估计出的射频非线性相位，对该雷达在野外探地试验数据进行非线性校正，其校正前的图像如图11所示，可以看到在移动方向20～30 m、深度0.8～2 m的范围内有一个分层目标。在经过非线性校正之后的图像如图12所示。从闭环数据的校正结果来看，非线性校正的效果主要体现在抑制旁瓣能量方面，为了定量地分析非线性校正算法的改善效果，计算图11与图12中黑色方框内的峰值旁瓣比的总和${\text{pls}}{{\text{r}}_{{\text{sum}}}}$，由于非线性校正只针对目标响应有效，在计算${\text{pls}}{{\text{r}}_{{\text{sum}}}}$时，仅计算红色方框标出的位置。图11中计算出的峰值旁瓣比总和为${\text{pls}}{{\text{r}}_{{\text{sum1}}}} = - 120.035{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{dB}}$，图12中计算出的峰值旁瓣比总和为${\text{pls}}{{\text{r}}_{{\text{sum2}}}} = - 196.682{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{dB}}$，则改善效果为

图 11  实测数据成像

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图 12  校正之后的实际图像

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选取其中一道数据进行分析，其校正前后对比图像如图13所示。图中低于0.2 dB的信号可认为是无效信号，即噪声强度比较高，该部分非线性校正效果不在考虑范围内。在该实际的野外探测数据中，由于探测到的目标是具有一定的厚度的地质分层，因此分层的厚度以及较高的噪声强度均会造成旁瓣的升高。从图中可以看出，主瓣右侧较高能量的旁瓣得到了有效抑制，主瓣两侧能量基本对称分布，非线性得到有效抑制，增强了雷达对回波动态范围较大的相邻目标的检测能力。

图 13  目标处其中一道数据校正前后效果对比

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6.   结束语

本文针对线性调频连续波信号以及非线性特征建立了受到非线性影响的线性调频连续波信号模型。首先针对差频信号中非线性项的特征即差分形式提出了差分滤波的方法对射频非线性进行估计，能够同时对周期性以及非周期性非线性进行估计，通过仿真实验表明，该估计方法相比于相干积分估计方法的估计精度更高，且在噪声影响下也具有较高的估计精度。然后使用匹配傅里叶变换校正方法对信号进行非线性校正，通过仿真实验表明，该校正方法在非线性度较大的情况下比基于RVP的校正方法更加有效。最后通过线性调频连续波雷达的实测数据验证了该非线性估计及校正方法的有效性。