不含小环的低密度校验码的代数构造方法

刘斌; 童胜; 白宝明

不含小环的低密度校验码的代数构造方法

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出版历程
- 收稿日期: 2003-06-22
- 修回日期: 2004-01-22
- 刊出日期: 2004-11-19

Algebraic Construction of Low-Density Parity-Check Codes without Short Cycles

摘要

摘要: 该文提出了一种构造不含小环的规则低密度校验(LDPC)码的代数方法，使用这种方法可以构造出最小环长为8的规则LDPC码．仿真结果显示，在AWGN信道中其性能优于随机构造的规则LDPC码．
- 低密度校验码;因子图;环;迭代译码
Abstract: In this paper, an algebraic method for the construction of regular Low Density Parity Check (LDPC) codes without short cycles is proposed. By this method, the regular LDPC codes with 8-girth can be constructed. Simulation results show that these codes can achieve better performance than randomly constructed regular LDPC codes over AWGN channels.

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1. 引言

极化敏感阵列不仅可以获取入射电磁波信号的空域和时域信息，还可以完整地获取信号极化域信息，其性能要优于标量传感器阵列，是阵列信号处理的一个前沿领域，在雷达、通信、声呐和生物医学等众多领域有着广阔的应用前景^[1]。极化敏感阵列参数估计是极化敏感阵列信号处理的关键技术，目前已在这方面取得了一些研究成果。文献[2,3]成功将常规标量阵列的波达方向(Direction Of Arrival, DOA)估计方法推广至极化敏感阵列，有子空间旋转不变算法(ESPRIT)^[2]，多重信号分类算法(MUSIC)^[3]。除此常规算法之外，另有一些极化敏感阵列特有的DOA估计技术：如针对全电磁矢量传感器(EMVS)阵列的矢量叉乘DOA估计算法^[4]，相较于超分辨算法该算法实现简单，计算量小；在取得EMVS阵列流形前提下, 文献[5,6]给出了EMVS中任意2个分量和任意3个分量的DOA和极化估计算法；文献[7]提出了基于平行因子分析的DOA和极化联合估计算法，文献[8]对多项式相位信号提出了DOA和极化参数联合估计算法；文献[9]提出了双基MIMO矢量传感器阵列，同时利用了波形分集、空间分集和极化分集，提高了常规MIMO阵列的参数估计性能；文献[10]针对相干信号源，对双基MIMO矢量传感器阵列提出了一种空域-极化域平滑解相干算法。

但是上述研究^[2-10]均是建立在极化敏感天线共点配置，共心式矢量传感器各极化天线互耦效应明显，导致算法性能严重下降，且制作成本高。空间分离式极化敏感天线可由共心式矢量传感器的多极化分量在空间上分离开来构成，阵元间互耦较低，也易于由标量天线升级而成，如改变天线指向。鉴于此，文献[11]采用分离式电磁矢量传感器，结合矢量叉积算法得到1维孔径扩展，但整体测量精度并不高，且存在电磁响应不一致的问题：文献[12]利用单偶极子避免了电磁响应不一致的问题；文献[13]进一步扩展了文献[12]的阵型，阵列排布形式更灵活。但文献[11-13]都利用时域ESPRIT算法，要求信号单频且信号之间必须不同频，阵列可扩展性差，且可估计信源个数仅分别为6和4；文献[14]运用空间ESPRIT算法，对信号要求降低，但需要利用稀疏恢复的方法进行粗估计，布阵复杂，且运算复杂度高，且双正交偶极子只能是以半波长间距在空间上分离开，互耦效应明显。文献[15]提出了一种由交叉偶极子构成的新型的稀疏分布极化敏感阵列，阵元之间间距大于半波长，利用空间ESPRIT算法降低了对信号的要求，不需要计算阵列导向矩阵，运算量较少，但采用的共心式交叉偶极子结构(包括双正交偶极子、三偶极子组)内部各极化天线的互耦效应会严重影响参数估计精度，针对这个问题，本文提出了一种稀疏拉伸式L型极化敏感阵列(Sparsely Stretched L-shaped Polarization Sensitive Array, SSL-PSA)，并针对该阵列提出一种基于空域ESPRIT的改进参数估计算法，首先划分子阵，利用空域旋转不变关系得到6个旋转不变因子，通过数学运算得到一组方向余弦有模糊精估计值和多组无模糊粗估计值，然后重构出多组对应的导向矢量，根据导向矢量和噪声子空间的正交性，提取出正确的一组无模糊粗估计值，进而通过解模糊方法得到高精度无模糊参数估计值。相对于文献[15]，本文所提阵列的稀疏拉伸配置可大大降低偶极子天线间的互耦影响，且在不增加天线数目和硬件复杂度的前提下，可进一步扩展阵列孔径，提高参数估计精度。

本文首先在第2节建立了阵列信号模型，第3节针对该阵型给出了2D-DOA和极化参数联合估计算法，第4节对所提算法进行仿真分析并验证其有效性，第5节给出结论。

2. 信号模型和阵列结构

假设入射信号为均匀介质中传播的远场窄带均匀横电磁波，接收阵列模型如图1所示，其中平行于 $x$ 轴和 $y$ 轴的电偶极子各为 $M$ 个，平行于 $z$ 轴的电偶极子为 ${\rm{2}}M + 1$ 个，相邻天线距离为 $d(d \gg {\lambda / 2})$ , $\lambda$ 为信号的波长。位于 $y$ 轴、 $x$ 轴上电偶极子的流形矩阵可分别表示为

图 1 SSL-PSA的空间结构

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${{{A}}_y} = [{{{a}}_{y1}}\;{{{a}}_{y2}} ··· \;{{{a}}_{yK}}] \in {\mathbb{C}^{\left( {2M + 1} \right) \times K}}$

(1)

${{{A}}_x} = [{{{a}}_{x1}}\;{{{a}}_{x2}} ··· \;{{{a}}_{xK}}] \in {\mathbb{C}^{2M \times K}} \hspace{15pt}$

(2)

其中， ${{{a}}_{yk}}$ 为位于 $y$ 轴上电偶极子的导向矢量， ${{{a}}_{xk}}$ 为位于 $x$ 轴上电偶极子(不包含原点阵元)的导向矢量，可分别表示为

$\begin{split} {{{a}}_{yk}} =\,& [ - \sin{\theta _k}\sin{\gamma _k}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _k}}}{{{q}}_{yk}} \otimes [ \cos {\varphi _k}\cos {\gamma _k} \\ & + \sin {\varphi _k}\cos {\theta _k}\sin {\gamma _k}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _k}}} \\ & - \sin{\theta _k}\sin{\gamma _k}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _k}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{v_k}}} ] ]\\[-15pt] \end{split}\qquad\quad\;\;$

(3)

${{{q}}_{yk}} = \left[ {{{\rm{e}}^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{v_k}}},{{\rm{e}}^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }3{v_k}}} ,···, {{\rm{e}}^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }\left( {2M - 1} \right){v_k}}}} \right]\quad \ \$

(4)

$\begin{align}{{{a}}_{xk}} =& {{{q}}_{xk}} \otimes \bigr[ - \sin {\varphi _k}\cos {\gamma _k} + \cos {\varphi _k}\cos {\theta _k}\sin {\gamma _k}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _k}}} \\ & - \sin{\theta _k}\sin {\gamma _k}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _k}}}{{\rm{e}}^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{u_k}}} \bigr]\\[-15pt]\end{align}$

(5)

${{{q}}_{xk}} = \left[ {{{\rm{e}}^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{u_k}}},{{\rm{e}}^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }3{u_k}}} ,···, {{\rm{e}}^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }\left( {2M - 1} \right){u_k}}}} \right]\quad\;$

(6)

其中， ${\theta _k} \in {\rm{[0,}}{\rm{\pi}} {\rm{]}}$ , ${\varphi _k} \in {\rm{[0,2}}{\rm{\pi}} {\rm{)}}$ , ${\gamma _k} \in \left[ {{\rm{0,}}\dfrac{{\rm{\pi}} }{2}} \right]$ , ${\eta _k} \in \left[ {{\rm{ - }}{\rm{\pi}} {\rm{,}}{\rm{\pi}} } \right)$ 分别代表第k个入射信号的俯仰角、方位角、极化辅助角和极化相位差， $\otimes$ 表示kronecker积。 ${u_k}{\rm{ = }}$ $\sin {\theta _k}\cos {\varphi _k}$ , ${v_k}{\rm{ = }}\sin {\theta _k}\sin {\varphi _k}$ 。

综上，可以得到接收信号矩阵为

$\begin{split}{{X}}\left( t \right) =& \sum\limits_{k = 1}^K {\left[ \begin{array}{l} {{{a}}_{yk}} \\ {{{a}}_{xk}} \\ \end{array} \right]{s_k}\left( t \right)} \!+\! {{n}}\left( t \right) = \sum\limits_{k = 1}^K {{{{a}}_k}{s_k}\left( t \right)} \!+\! {{n}}\left( t \right) \\ =& \left[ \begin{array}{l} {{{A}}_y} \\ {{{A}}_x} \\ \end{array} \right]{{s}}\left( t \right) + {{n}}\left( t \right) = {{As}}\left( t \right) + {{n}}\left( t \right)\\[-20pt]\end{split}$

(7)

其中， ${{s}}\left( t \right) = {\left[ {{{{s}}_1}\left( t \right), ··· ,{{{s}}_k}\left( t \right), ··· ,{{{s}}_K}\left( t \right)} \right]^{\rm{T}}}$ 为入射信号， ${{n}}\left( t \right)$ 为高斯白噪声， ${{A}}$ 为阵列导向矩阵。

3. 2D-DOA和极化参数联合估计算法

3.1 高精度有模糊的方向余弦估计

首先得到阵列接收信号的协方差矩阵 ${\hat {{R}}} =$ $\displaystyle\sum\nolimits_{l = 1}^L { x} \left( {{t_l}} \right){{ x}^{\rm{H}}}\left( {{t_l}} \right)$ ，其中上标H表示共轭转置，实际中可用有限个快拍数据的最大似然估计 ${\hat {{R}}} =$ $\dfrac{1}{L}\displaystyle\sum\nolimits_{l = 1}^L { x} \left( {{t_l}} \right){{ x}^{\rm{H}}}\left( {{t_l}} \right)$ 来替代。对 ${\hat {{R}}}$ 进行特征值分解得 ${\hat {{R}}} = {{{E}}_{\rm{s}}}{\Sigma _{\rm{s}}}{{{E}}_{\rm{s}}}^{\rm{H}} + {\sigma _{\rm{n}}}^2{{{E}}_{\rm{n}}}{{{E}}_{\rm{n}}}^{\rm{H}}$ ，其中 ${{{E}}_{\rm{s}}}$ 为信号子空间， ${{{E}}_{\rm{n}}}$ 为噪声子空间。无噪情况下，信号子空间和流形矢量张成相同空间，即 ${{{E}}_{\rm{s}}} = {{AT}}$ , ${{T}}$ 为唯一非奇异矩阵。

如图1所示，取位于 $x$ 轴且平行于 $z$ 轴放置的前 $M$ 个偶极子构成子阵1，后 $M$ 个偶极子构成子阵2；位于 $y$ 轴且平行于 $z$ 轴放置的的前 $M$ 个偶极子构成子阵3，后 $M$ 个偶极子构成子阵4；则子阵1、子阵2、子阵3和子阵4的导向矩阵 ${{{A}}_{xz1}}$ , ${{{A}}_{xz2}}$ ,和 ${{{A}}_{yz2}}$ 满足如式(8)的关系

$\left. \begin{aligned} {{{A}}_{xz1}}{{{\psi}} ^u} = {{{A}}_{xz2}} \\ {{{A}}_{yz1}}{{{\psi}} ^v} = {{{A}}_{yz2}} \end{aligned} \right\}$

(8)

可以通过选择矩阵 ${{{P}}_1}^u$ , ${{{P}}_2}^u$ , ${{{P}}_1}^v$ 和 ${{{P}}_2}^v$ 对阵列流形的选取将式(8)进一步表示为

$\left. \begin{array}{l} {{{P}}_1}^u{{A}}{{{\psi}} ^u} = {{{P}}_2}^u{{A}} \\ {{{P}}_1}^v{{A}}{{{\psi}} ^v} = {{{P}}_2}^v{{A}} \\ \end{array} \right\}$

(9)

其中， ${{{\psi}} ^u} \!=\! {\rm{diag}}\left\{\! {{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }2{u_1}}}}, ··· ,{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }2{u_k}}}}, ··· ,{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }2{u_K}}}}} \!\right\}$ , ${{{\psi}} ^v} = {\rm{diag}}\left\{ {{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }2{v_1}}}}, ··· ,{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }2{v_k}}}}, ··· ,{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }2{v_K}}}}} \right\}$ ，且子阵1、子阵2、子阵3和子阵4的选择矩阵 ${{{P}}_1}^u$ , ${{{P}}_2}^u$ , ${{{P}}_1}^v$ 和 ${{{P}}_2}^v$ 可表示为

$\left. \begin{array}{l} {{{P}}_1}^u \!=\! \left[ \!\!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{M \times 1}}}\;\;{{{{O}}_{M \times 2M}}}\;\;\!\!{\left[ \!\!\begin{array}{l} {{{O}}_{1 \times 2M}} \\ {{{P}}_{\rm{sel}}}\left( {1:M - 1,1:2M} \right) \\ \end{array}\!\! \right]} \end{array}} \!\!\right] \\ {{{P}}_2}^u \!=\! \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{O}}_{M \times \left( {2M + 1} \right)}}}&{{{{I}}_M} \otimes \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}} \right]} \end{array}} \right] \\ {{{P}}_1}^v \!=\! \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_M} \otimes \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{1}}\;\;{\rm{0}} \end{array}} \right]}\;\;{{{{O}}_{M \times \left( {2M + 1} \right)}}} \end{array}} \right] \\ {{{P}}_2}^v \!=\! \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{O}}_{M \times 1}}}\;\;{{{{I}}_M} \otimes \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\;\;1 \end{array}} \right]}\;\;{{{{O}}_{M \times 2M}}} \end{array}} \right] \\ \end{array} \!\!\!\! \right\}$

(10)

其中， ${{{P}}_{\rm{sel}}} = \left[ {{{{I}}_M} \otimes \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}} \right]} \right]$ , ${{{P}}_{\rm{sel}}}\left( {m:n,i:j} \right)$ 表示矩阵 ${{{P}}_{\rm{sel}}}$ 的第 $m$ 行到第 $n$ 行，第 $i$ 列到第 $j$ 列的所有元素。将 ${{{E}}_{\rm{s}}} = {{AT}}$ 代入式(10)，可得到

${{{P}}_1}^u{{{E}}_{\rm{s}}}{{{\zeta}} ^u} = {{{P}}_2}^u{{{E}}_{\rm{s}}}\quad$

(11)

${{{\zeta}} ^u} = {\left( {{{T}}_x^u} \right)^{ - 1}}{{{\psi}} ^u}\left( {{{T}}_x^u} \right)$

(12)

${{{P}}_1}^v{{{E}}_{\rm{s}}}{{{\zeta}} ^v} = {{{P}}_2}^v{{{E}}_{\rm{s}}}\quad\;$

(13)

${{{\zeta}} ^v} = {\left( {{{T}}_y^v} \right)^{ - 1}}{{{\psi}} ^v}\left( {{{T}}_y^v} \right)$

(14)

容易看出，式(11)和式(13)可以用最小二乘法进行求解，解得

${{\hat {{\zeta}}} ^u} \!=\! {\left[ {{{\left( {{{{P}}_1}^u{{{E}}_{\bf{s}}}} \right)}^{\rm{H}}}\left( {{{{P}}_1}^u{{{E}}_{\bf{s}}}} \right)} \right]^{ - 1}}{\left( {{{{P}}_1}^u{{{E}}_{\bf{s}}}} \right)^{\rm{H}}}\left( {{{{P}}_2}^u{{{E}}_{\bf{s}}}} \right)$

(15)

${{\hat {{\zeta}}} ^v} = {\left[ {{{\left( {{{{P}}_1}^v{{{E}}_{\bf{s}}}} \right)}^{\rm{H}}}\left( {{{{P}}_1}^v{{{E}}_{\bf{s}}}} \right)} \right]^{ - 1}}{\left( {{{{P}}_1}^v{{{E}}_{\bf{s}}}} \right)^{\rm{H}}}\left( {{{{P}}_2}^v{{{E}}_{\bf{s}}}} \right)$

(16)

由式(12)、式(14)可知，对 ${{\hat {{\zeta}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\zeta}}} ^v}$ 进行特征值分解，分别取 $K$ 个最大的特征值，即构成对角矩阵 ${{\hat {{\psi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\psi}}} ^v}$ 。由于 $d > {\lambda / 2}$ ，故存在角度模糊值，且一组高精度但有模糊的方向余弦估计值可由式(17)得到

$\left. \begin{aligned} & u_k^{\rm{fine}} = \dfrac{{ - {\rm{angle}}{{\left[ {{{\hat {{\psi}} }^u}} \right]}_k}\lambda }}{{4{\rm{\pi}} d}} \\ & v_k^{\rm{fine}} = \dfrac{{ - {\rm{angle}}{{\left[ {{{\hat {{\psi}} }^v}} \right]}_k}\lambda }}{{4{\rm{\pi}} d}} \end{aligned} \right\}$

(17)

其中， ${\rm{angle}}\left( \cdot \right)$ 表示取复数值角度，范围为 $- {\rm{\pi}}$ ～ ${\rm{\pi}}$ 。根据文献[4]的结论，方向余弦 $\left\{ {{u_k},{v_k}} \right\}\left( {k = 1,2, ··· ,K} \right)$ 的周期模糊值为

$\begin{split} {u_k}^{{\rm{fine}},\left( {{m_k}} \right)} =& {u_k}^{\rm{fine}}{\rm{ + }}{m_k}\frac{\lambda }{{2d}},\;\;\left\lceil {\left( { - 1 - {u_k}^{\rm{fine}}} \right)2d/\lambda } \right\rceil \hspace{15pt} \\ &\le {m_k} \le \left\lfloor {\left( {1 - {u_k}^{\rm{fine}}} \right)2d/\lambda } \right\rfloor\\[-12pt]\end{split}$

(18)

$\begin{split}{v_k}^{{\rm{fine}},\left( {{n_k}} \right)} = &{v_k}^{\rm fine}{\rm{ + }}{n_k}\frac{\lambda }{{2d}},\;\;\left\lceil {\left( { - 1 - {v_k}^{\rm{fine}}} \right)2d/\lambda } \right\rceil \\ &\le {n_k} \le \left\lfloor {\left( {1 - {v_k}^{\rm{fine}}} \right)2d/\lambda } \right\rfloor\\[-12pt]\end{split}$

(19)

式中， $\left\lceil . \right\rceil$ 表示上取整， $\left\lfloor . \right\rfloor$ 表示下取整。定义 ${{{\varXi}} ^u} = {\rm diag}\left\{ {{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{u_1}}}}, ··· ,{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{u_k}}}}, ··· ,{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{u_K}}}}} \right\} ,{{ {\varXi}} ^v} =$ ${\rm{diag}}\left\{ {{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{v_1}}}}, ··· ,{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{v_k}}}}, ··· ,{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{v_K}}}}} \right\}$ ，则根据 ${{\hat {{\psi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\psi}}} ^v}$ ，可以估计得到 ${{\hat {{\varXi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\varXi}}} ^v}$ ，但 ${{\hat {{\varXi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\varXi}}} ^v}$ 的元素估计值均存在有两种可能解，其中必有一个是正确估计值，一个是错误估计值。

${{\hat {{ {\varXi}}}}_k ^u} = \left\{ \begin{aligned} & {\hat {\varXi} _k^{u,\left( 1 \right)} = \sqrt {\psi _k^u} } \\ & {\hat {\varXi} _k^{u,\left( 2 \right)} = - \sqrt {\psi _k^u} } \end{aligned} \right., \;\;\; {k{\rm{ = }}1{\rm{,}}2, ··· {\rm{,}}K}$

(20)

${{\hat {{{\varXi}}}}_k ^v} = \left\{ \begin{aligned} & {\hat {\varXi} _k^{v,\left( 1 \right)} = \sqrt {\psi _k^v} } \\ & {\hat {\varXi} _k^{v,\left( 2 \right)} = - \sqrt {\psi _k^v} } \end{aligned} \right.,\;\;\; {k{\rm{ = }}1{\rm{,}}2, ··· {\rm{,}}K}$

(21)

3.2 粗估计无模糊方向余弦估计

如图1所示，取平行于 $x$ 轴放置的电偶极子构成子阵5，平行于y轴放置的电偶极子构成子阵6，类似于3.1节，同理可得

${{{P}}_2}^u{{{E}}_{\rm{s}}}{{{\varOmega}}^u} = {{{J}}_1}^u{{{E}}_{\rm{s}}}\quad\;\;\;$

(22)

${{{\varOmega}} ^u} = {\left( {{{T}}_{xz}^u} \right)^{ - 1}}{{{\phi}} ^u}\left( {{{T}}_{xz}^u} \right)$

(23)

${{{P}}_1}^v{{{E}}_{\rm{s}}}{{{\varOmega}} ^v} = {{{J}}_2}^v{{{E}}_{\rm{s}}}\qquad$

(24)

${{{\varOmega}} ^v} = {\left( {{{T}}_{yz}^v} \right)^{ - 1}}{{{\phi}} ^v}\left( {{{T}}_{yz}^v} \right)$

(25)

其中， ${{{\phi}} ^u} \!\!=\!\! {\rm{diag}}\!\!\left\{\! \dfrac{{ \!-\! \sin \!{\varphi _1}\cos \!{\gamma _1} \!+\! \cos\! {\theta _1}\cos \!{\varphi _1}\sin \!{\gamma _1}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _1}}}}}{{ \!-\! \sin\!{\theta _1}\sin \!{\gamma _1}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _1}}}}}{{\rm{e}}^{^{{\rm{j}}\frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{u_{1}}}}}, \right.$ $\left.··· ,\dfrac{{ \!-\! \sin {\varphi _K}\cos {\gamma _K} \!+\! \cos {\varphi _K}\cos {\theta _K}\sin {\gamma _K}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _K}}}}}{{ \!-\! \sin{\theta _K}\sin {\gamma _K}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _K}}}}}{{\rm{e}}^{^{{\rm{j}}\frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{u_{K}}}}} \right\}$ , ${{{\phi}} ^v} = {\rm{diag}}\left\{ \dfrac{{\cos {\varphi _k}\cos {\gamma _k} + \sin {\varphi _k}\cos {\theta _k}\sin {\gamma _k}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _k}}}}}{{ - \sin{\theta _1}\sin {\gamma _1}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _1}}}}}{{\rm{e}}^{^{-{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{v_{_1}}}}}, ··· ,\right.$ $\left.\dfrac{{\cos {\varphi _K}\cos {\gamma _K} \!+\! \sin {\varphi _K}\cos {\theta _K}\sin {\gamma _K}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _K}}}}}{{ \!-\! \sin{\theta _K}\sin {\gamma _K}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _K}}}}}{{\rm{e}}^{^{\!-\!{\rm{j}} \frac{{2{\rm{\pi}} d}}{\lambda }{v_{K}}}}} \right\}$ ，且 ${{{J}}_1}^u$ , ${{{J}}_2}^v$ 分别为子阵5和子阵6的选择矩阵， ${{{J}}_1}^u =$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{O}}_{M \times \left( {2M \!+\! 1} \right)}}}\!&\!{{{{I}}_M}\! \otimes\! \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\!&\!0 \end{array}} \right]} \end{array}} \right]$ , ${{{J}}_2}^v \!=\! \left[ {{{{I}}_M} \!\otimes \!\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\!&\!1 \end{array}} \right]}\right.$ $\left.{{{{O}}_{M \times \left( {2M + 1} \right)}}} \right]$ 。同样地，式(22)和式(24)可用最小二乘法求解，如式(26)，式(27)。

${{{\varOmega}} ^u} = {\left[ {{{\left( {{{{P}}_2}^u{{ E}_{\rm{s}}}} \right)}^{\rm{H}}}\left( {{{{P}}_2}^u{{ E}_{\rm{s}}}} \right)} \right]^{ - 1}}{\left( {{{{P}}_2}^u{{ E}_{\rm{s}}}} \right)^{\rm{H}}}\left( {{{{J}}_1}^u{{ E}_{\rm{s}}}} \right)\!\!\!$

(26)

${{{\varOmega}} ^u} = {\left[ {{{\left( {{{{P}}_1}^v{{ E}_{\rm{s}}}} \right)}^{\rm{H}}}\left( {{{{P}}_1}^v{{ E}_{\rm{s}}}} \right)} \right]^{ - 1}}{\left( {{{{P}}_1}^v{{ E}_{\rm{s}}}} \right)^{\rm{H}}}\left( {{{{J}}_2}^v{{ E}_{\rm{s}}}} \right)$

(27)

进而对 ${{{\varOmega}} ^u}$ 和 ${{{\varOmega}} ^v}$ 进行特征值分解，分别取 $K$ 个最大的特征值，即构成对角矩阵 ${{\hat {{\phi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\phi}}} ^v}$ 。

需要注意的是，由于式(12)、式(14)、式(23)、式(25)的特征值分解是独立进行的，得到的特征向量矩阵顺序可能不同，但都来自于同一个矩阵 ${{T}}$ ，所以需要进行配对。参照文献[15]的配对方法，构造相关矩阵 ${{{M}}_1} = {\left( {{{T}}_x^u} \right)^{ - 1}}\left( {{{T}}_y^v} \right)$ , ${{{M}}_2} = {\left( {{{T}}_x^u} \right)^{ - 1}}\left( {{{T}}_{xz}^u} \right)$ , ${{{M}}_3} = {\left( {{{T}}_x^u} \right)^{ - 1}}\left( {{{T}}_{{\rm{y}}z}^v} \right)$ ，找出每行中的最大值，特征向量依据 ${{T}}_x^u$ 进行排序，即可得到对应信号的对角矩阵 ${{\hat {{\psi}}} ^u}$ , ${{\hat {{\psi}}} ^v}$ , ${{\hat {{\phi}}} ^u}$ , ${{\hat {{\phi}}} ^v}$ , ${{\hat {{\varXi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\varXi}}} ^v}$ 。定义

$\begin{split} {{{\xi}} ^v} = &{\rm{diag}}\left\{ \frac{{\cos {\varphi _k}\cos {\gamma _k} + \sin {\varphi _k}\cos {\theta _k}\sin {\gamma _k}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _k}}}}}{{ - \sin{\theta _1}\sin {\gamma _1}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _1}}}}}, ··· ,\right.\\ &\left.\frac{{\cos {\varphi _K}\cos {\gamma _K} + \sin {\varphi _K}\cos {\theta _K}\sin {\gamma _K}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _K}}}}}{{ - \sin{\theta _K}\sin {\gamma _K}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _K}}}}} \right\}\\[-18pt] \end{split}$

(28)

$\begin{split}{{{\xi}} ^u} =& {\rm{diag}}\left\{ \frac{{ \!-\! \sin {\varphi _1}\cos {\gamma _1} \!+\! \cos {\varphi _1}\cos {\theta _1}\sin {\gamma _1}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _1}}}}}{{ \!-\! \sin{\theta _1}\sin {\gamma _1}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _1}}}}}, ··· ,\right.\\ &\left.\frac{{ \!-\! \sin {\varphi _K}\cos {\gamma _K} \!+\! \cos {\varphi _K}\cos {\theta _K}\sin {\gamma _K}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _K}}}}}{{ \!-\! \sin{\theta _K}\sin {\gamma _K}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\eta _K}}}}} \right\}\\[-18pt]\end{split}$

(29)

则根据 ${{\hat {{\varXi}}} ^u}$ , ${{\hat {{\varXi}}} ^v}$ , ${{\hat {{\phi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\phi}}} ^v}$ ，可得 ${{{\xi}} ^v}$ 和 ${{{\xi}} ^u}$ 的估计值，而 ${{\hat {{\xi}}} ^v}$ 和 ${{\hat {{\xi}}} ^u}$ 的元素各存在有两种可能取值情况，并结合文献[12]的结论，可对应得到4组DOA、极化参数估计值，其中必有一组是正确估计值。

$\left. \begin{array}{l} {{\hat {{\xi}}}^v} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat {{\xi}}}^{v,\left( 1 \right)}} = \left( {{{\hat {{\phi}} }^v}{{\left( {{{{\hat {{\varXi}}} }^{v,\left( 1 \right)}}} \right)}^{ - 1}}} \right)} \\ {{{\hat {{\xi}}}^{v,\left( 2 \right)}} = \left( {{{{\phi}} ^v}{{\left( {{{{\hat {{\varXi}}} }^{v,\left( 2 \right)}}} \right)}^{ - 1}}} \right)} \end{array}} \right. \\ {{\hat {{\xi}}}^u} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat {{\xi}}}^{u,\left( 1 \right)}} = \left( {{{\hat {{\phi}} }^u}{{{\hat {{\varXi}}} }^{u,\left( 1 \right)}}} \right)} \\ {{{\hat {{\xi}}}^{u,\left( 2 \right)}} = \left( {{{{\phi}} ^u}{{{\hat {{\varXi}}} }^{u,\left( 2 \right)}}} \right)} \end{array}} \right. \\ \end{array} \right\}$

(30)

$\varphi _k^{c,\left( {h,l} \right)} = \left\{ \begin{align} \arctan \left\{ {\dfrac{{ - {\rm{Im}} \left\{ {{{\left[ {{{\hat {{\xi}}}^{u,\left( h \right)}}} \right]}_k}} \right\}}}{{{\rm{Im}} \left\{ {{{\left[ {{{\hat {{\xi}}}^{v,\left( l \right)}}} \right]}_k}} \right\}}}} \right\},\quad \;\,\sin {\eta _k}\cdot{\rm{Im}} \left\{ {{{\left[ {{{\hat {{\xi}}}^{v,\left( l \right)}}} \right]}_k}} \right\} \ge 0, \\ \arctan \left\{ {\dfrac{{ - {\rm{Im}} \left\{ {{{\left[ {{{\hat {{\xi}}}^{u,\left( h \right)}}} \right]}_k}} \right\}}}{{{\rm{Im}} \left\{ {{{\left[ {{{\hat {{\xi}}}^{v,\left( l \right)}}} \right]}_k}} \right\}}} + {\rm{\pi}} } \right\},\sin {\eta _k}\cdot{\rm{Im}} \left\{ {{{\left[ {{{\hat {{\xi}}}^{v,\left( l \right)}}} \right]}_k}} \right\} < 0, \\ \end{align} \right. {h,l = 1,2}$

(31)

${P_k}^{\left( {h,l} \right)} = - {\rm Re} \left\{ {{{\left[ {{{\hat {{\xi}}}^{u,\left( h \right)}}} \right]}_k}} \right\}\cos \varphi _k^{c,\left( {h,l} \right)} - {\rm Re} \left\{ {{{\left[ {{{\hat {{\xi}}}^{v,\left( l \right)}}} \right]}_k}} \right\}\sin \varphi _k^{c,\left( {h,l} \right)},\;\; {h,l = 1,2} \qquad\;\;\;$

(32)

$\theta _k^{c,\left( {h,l} \right)} = \left\{ \begin{array}{l} \arctan \left\{ {\dfrac{1}{{{P_k}^{\left( {h,l} \right)}}}} \right\},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{P_k}^{\left( {h,l} \right)} \ge 0, \\ \arctan \left\{ {\dfrac{1}{{{P_k}^{\left( {h,l} \right)}}} + {\rm{\pi}} } \right\},\;\;\;\;{P_k}^{\left( {h,l} \right)} < 0, \\ \end{array} \right. {h,l = 1,2}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$

(33)

$\gamma _k^{c,\left( {h,l} \right)} = \arctan \left\{ {\dfrac{{\cos \varphi _k^{c,\left( {h,l} \right)}\sin \eta _k^{c,\left( {h,l} \right)}}}{{{\rm{Im}} \left\{ {{{\left[ {{{\hat {{\xi}}}^{v,\left( l \right)}}} \right]}_k}} \right\}\sin \theta _k^{c,\left( {h,l} \right)}}}} \right\}, {h,l = 1,2}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$

(34)

$\begin{split}\eta _k^{c,\left( {h,l} \right)}\! =&\! \!-\! \angle \left(\! {{{\left[\! {{{\hat {{\xi}} }^{u,\left( h \right)}}} \!\right]}_k}\sin \varphi _k^{c,\left( {h,l} \right)} \!\!-\! \!{{\left[\! {{{\hat {{\xi}} }^{v,\left( l \right)}}}\! \right]}_k}\cos \varphi _k^{c,\left( {h,l} \right)}} \right),\\ & {h,l = 1,2} \\[-11pt]\end{split}$

(35)

用得到的每组参数估计值均可对应表达出一种阵列流形矢量 ${\hat {{a}}}{_k^{\left( {h,l} \right)}}\left( {h,l = 1,2} \right)$ ，定义

$z_k^{\left( {h,l} \right)} = {\left[ {{\hat {{a}}}_k^{\left( {h,l} \right)}} \right]^{\rm{H}}}{{{E}}_{\rm{n}}}{{{E}}_{\rm{n}}}^{\rm{H}}\left[ {{\hat {{a}}}_k^{\left( {h,l} \right)}} \right]$

(36)

根据信号导向矢量与噪声子空间的正交性可知，正确的参数粗估计值对应的阵列流形矢量使式(36)取得最小值。令

$\left\{ {{h^o},{l^o}} \right\} = \mathop {\arg \;\min }\limits_{h,l} \left| {z_k^{\left( {h,l} \right)}} \right|, {h,l = 1,2}$

(37)

则 $\left\{ {{h^o},{l^o}} \right\}$ 对应的一组参数估计值即为DOA、极化参数的粗估计值 $\left(\! {\theta _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)}\!,\varphi _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)},\!\gamma _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)},\!\eta _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)}} \!\right)$ ，从而得到方向余弦的无模糊粗估计值

$\left. \begin{aligned} & u_k^c = \sin \theta _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)}\cos \varphi _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)} \\ & v_k^c = \sin \theta _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)}\sin \varphi _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)} \end{aligned} \right\}$

(38)

3.3 基于解模糊的4维参数闭式解

无模糊方向余弦估计值 $\left\{ {u_k^c,v_k^c,\left( {k = 1,2, ··· ,K} \right)} \right\}$ 可作为解周期性模糊方向余弦精估计 $\{ u_k^{\rm{fine}},v_k^{\rm{fine}},$ $\left( {k = 1,2, ··· ,K} \right) \}$ 的参考值，利用文献[4]的解模糊方法，可得到方向余弦无模糊精估计值

$\begin{split}{u_k}^{fl} =& {u_k}^{\rm{fine}}{\rm{ + }}m_k^0\frac{\lambda }{{2d}},m_k^0 \\ =& \mathop {\arg \;\min }\limits_{m_k^{}} \left| {u_k^c - {u_k}^{\rm{fine}} - m_k^{}\lambda /\left( {2d} \right)} \right|\end{split}$

(39)

$\begin{split}{v_k}^{fl} =& {v_k}^{\rm{fine}}{\rm{ + }}n_k^0\frac{\lambda }{{2d}},\;n_k^0 \\ =& \mathop {\arg \;\min }\limits_{n_k^{}} \left| {v_k^c - {v_k}^{\rm{fine}} - n_k^{}\lambda /\left( {2d} \right)} \right|\end{split}\;\;$

(40)

其中， ${m_k}$ 和 ${n_k}$ 的取值范围已在式(18)和式(19)中定义。进而可得信号俯仰角和方位角的高精度无模糊估计值：

$\left. \begin{array}{l} {{\hat \theta }_k} = \left\{ \begin{array}{l} \arcsin \left( {\sqrt {{{\left( {{u_k}^{fl}} \right)}^2} + {{\left( {{v_k}^{fl}} \right)}^2}} } \right),\;\;{P_k}^{} \ge 0 \\ \arcsin \left( {\sqrt {{{\left( {{u_k}^{fl}} \right)}^2} + {{\left( {{v_k}^{fl}} \right)}^2}} } \right) + {\rm{\pi}} ,\;{P_k}^{} < 0 \\ \end{array} \right. \\ {{\hat \varphi }_k} = \left\{ \begin{array}{l} \arctan \left\{ {\dfrac{{{v_k}^{fl}}}{{{u_k}^{fl}}}} \right\},\;\;{u_k}^{fl} \ge 0\;\; \\ \arctan \left\{ {\dfrac{{{v_k}^{fl}}}{{{u_k}^{fl}}}} \right\} + {\rm{\pi}} ,\;\;{u_k}^{fl} < 0\;\;\; \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \!\!\!\!\!\!\! \right\}$

(41)

3.4 算法流程

综上所述，本文所提信号DOA和极化参数的4维联合估计算法流程总结如下：

步骤 1　根据式(7)，利用最大似然估计得到协方差矩阵 ${\hat {{R}}}$ ，对其进行特征值分解得信号子空间 ${{ E}_{\rm{s}}}$ 和噪声子空间 ${{ E}_{\rm{n}}}$ ；

步骤 2　通过选择矩阵 ${{{P}}_1}^u$ , ${{{P}}_2}^u$ , ${{{P}}_1}^v$ 和 ${{{P}}_2}^v$ 构造关于信号子空间 ${{ E}_{\rm{s}}}$ 的大于半波长的旋转不变关系式(11)和式(13)，利用最小二乘法解得对应旋转不变关系矩阵 $\left\{ {{{{\zeta}} ^u},{{{\zeta}} ^v}} \right\}$ ，分别对 $\left\{ {{{{\zeta}} ^u},{{{\zeta}} ^v}} \right\}$ 进行特征值分解得到对角矩阵 ${{\hat {{\psi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\psi}}} ^v}$ ，进而得到方向余弦的模糊精估计 $\left\{ {u_k^{\rm{fine}},v_k^{\rm{fine}}} \right\}\left( {k = 1,2, ··· ,K} \right)$ ；

步骤 3　通过式(20)，式(21)得到 ${{\hat {{\varXi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\varXi}}} ^v}$ ，再根据旋转不变方程式(22)、式(24)，利用最小二乘法解得对应旋转不变矩阵 $\left\{ {{{{\varOmega}} ^u},{{{\varOmega}} ^v}} \right\}$ ，分别对 $\left\{ {{{{\varOmega}} ^u},{{{\varOmega}} ^v}} \right\}$ 进行特征值分解，得到对角矩阵 ${{\hat {{\phi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\phi}}} ^v}$ ；

步骤 4　利用特征值、特征向量和矩阵之间的相互关系实现 ${{\hat {{\psi}}} ^u}$ , ${{\hat {{\psi}}} ^v}$ , ${{\hat {{\varXi}}} ^u}$ , ${{\hat {{\varXi}}} ^v}$ , ${{\hat {{\phi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\phi}}} ^v}$ 的自动配对，使同一位置处的对角元素对应同一信号源；

步骤 5　根据 ${{\hat {{\varXi}}} ^u}$ , ${{\hat {{\varXi}}} ^v}$ , ${{\hat {{\phi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\phi}}} ^v}$ ，由式(30)得到 ${{\hat {{\xi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\xi}}} ^v}$ ，它们的元素分别对应存在两种可能取值 $\left\{ {{\hat {{\xi}}} _k^{u,\left( h \right)},{\hat {{\xi}}} _k^{v,\left( l \right)}} \right\}\;\;\left( {h,l = 1,2} \right)$ ，由式(31)—式(35)得到对应的4组可能的参数估计值 $\left( \!{\theta _k^{c,\left( {h,l} \right)}\!,\!\varphi _k^{c,\left( {h,l} \right)}\!,\!\gamma _k^{c,\left( {h,l} \right)}\!,\!\eta _k^{c,\left( {h,l} \right)}}\! \right)$ $\left( {h,l = 1,2} \right)$ ，进而重构出对应的导向矢量 ${\hat {{a}}}{_k^{\left( {h,l} \right)}}$ $\left( {h,l = 1,2} \right)$ ，然后由式(36)、式(37)确定出正确的参数估计值 $\left( {\theta _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)},\varphi _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)},\gamma _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)},\eta _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)}} \right)$ ，最终得到方向余弦的无模糊粗估计值 $\left\{ {u_k^c,v_k^c} \right\}$ ；

步骤 6　根据式(39)、式(40)进行方向余弦解模糊，得到高精度无模糊方向余弦估计值 ${u_k}^{fl}$ 和 ${v_k}^{fl}$ ，再根据式(41)得到高精度方位角和俯仰角的估计值。

3.5 运算量分析

本文算法的运算复杂度可根据3.4小节的算法流程来计算得到。

(1) 在步骤1中需要获取信号子空间 ${{ E}_{\rm{s}}}$ ，需要1次协方差矩阵的计算和1次 $4M + 1$ 维的特征值分解，其计算量为 $O\left\{ {{{\left( {4M + 1} \right)}^2}L + {{\left( {4M + 1} \right)}^3}} \right\}$ ；

(2) 在步骤2中需要计算方向余弦的模糊精估计 $\left\{ {u_k^{\rm{fine}},v_k^{\rm{fine}}} \right\}\left( {k = 1,2, ··· ,K} \right)$ ，在计算 $x$ 轴方向余弦的模糊精估计 $u_k^{\rm{fine}}\!\left( {k \!=\! 1,2, ··· ,K} \!\right)$ 时，需要1次 $M\! \times K\!$ 维Moore-Penrose 广义逆、1次 $K\! \times\! M$ 与 $M\! \times\! K$ 维矩阵的复乘运算以及1次 $K$ 维的特征值分解，其计算量为 $O\left\{\! {\left[\! {2M{K^2} \!+\! {K^3}} \!\right] \!+\! \left[\! {M{K^2} \!+\! {K^3}}\! \right]} \!\right\} \!=\! O\left\{\! {3M{K^2} \!+\! 2{K^3}}\! \right\}$ 次复乘运算。同理，在计算 $y$ 轴方向余弦的模糊精估计 $v_k^{\rm{fine}}\left( {k = 1,2, ··· ,K} \right)$ 时，需要 $O\{ \left[ {2M{K^2}+ {K^3}}\right] +$ $\left[ {M{K^2} + {K^3}} \right] \} = O\left\{ {3M{K^2} + 2{K^3}} \right\}$ 次复乘运算。则步骤2总需要的计算量为 $O\left\{ {6M{K^2} + 4{K^3}} \right\}$ 次复乘运算。

(3) 在步骤3中需要计算对角矩阵 ${{\hat {{\phi}}} ^u}$ 和 ${{\hat {{\phi}}} ^v}$ ，如同步骤2，共需要的计算量为 $O\left\{ {6M{K^2} + 4{K^3}} \right\}$ 次复乘运算。

(4) 在步骤4中需要进行自动配对，其主要涉及3次 $K$ 维矩阵求逆和3次 $K \times K$ 与 $K \times K$ 维矩阵的复乘运算，共需计算量为 $O\left\{ {6{K^3}} \right\}$ 次复乘运算。

(5) 在步骤5中需要确定出正确的参数估计值 $\left( {\theta _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)},\varphi _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)},\gamma _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)},\eta _k^{c,\left( {{h^o},{l^o}} \right)}} \right)$ ，主要涉及正文中式(30)和式(36)所需要的运算。式(30)需要 $O\left\{ {8{K^3}} \right\}$ 次复乘运算，式(36)需要 $O\{ 4[ \left( {4M + 1} \right)$ $\left( {4M + 1 - K} \right) + \left( {4M + 1 - K} \right)\left( {4M + 1} \right) + \left( {4M + 1} \right)] \}$ 次复乘运算。因此，步骤5主要共需要 $O\{ 4[ \left( {4M + 1} \right)$ $\left( {4M + 1 - K} \right) + \left( {4M + 1 - K} \right)\left( {4M + 1} \right) + \left( {4M + 1} \right)]$ $+ 8{K^3}\}$ 次复乘运算。

(6) 步骤6相对于其它步骤运算量较小，可忽略不计。

综上所述，本文所提算法总的计算量为 $O\{ ( 4M +$ $1 )^2L + {{\left( {4M + 1} \right)}^3} + 8{{\left( {4M + 1} \right)}^2} + 22{K^3} + 12M{K^2} +$ $4\left( {4M + 1} \right) -8\left( {4M + 1} \right)K\}$ 次复乘运算。

4. 计算机仿真结果

本节用计算机仿真来说明本文算法的有效性。不失一般性，如图1，设 $M = 5$ ，即阵列是由平行于 $x$ 轴和 $y$ 轴的偶极子各5个，平行于 $z$ 轴的偶极子 $2M + 1 = 11$ 个所组成的拉伸式L型均匀阵列，相邻阵元间距 $d = 2\left( {{\lambda / 2}} \right)$ 。假设接收信号是远场窄带TEM波，且信号之间相互独立，均为零均值高斯随机过程，噪声为加性高斯白噪声。

仿真1　2维波达方向和极化参数联合估计及配对

3个信号入射到极化敏感阵列，信号方位角分别为： $\theta \! =\! \left( {{\rm{3}}{{\rm{0}}^ \circ },{\rm{7}}{{\rm{0}}^ \circ },{\rm{3}}{{\rm{0}}^ \circ }} \right)$ ，俯仰角分别为： $\varphi = ( {\rm{7}}{{\rm{0}}^ \circ },$ ${\rm{2}}{{\rm{0}}^ \circ },{\rm{1}}{{\rm{5}}^ \circ })$ ，极化辅助角分别为： $\gamma = \left( {{\rm{4}}{{\rm{0}}^ \circ },{\rm{4}}{{\rm{5}}^ \circ },{\rm{5}}{{\rm{5}}^ \circ }} \right)$ ，极化相位差分别为： $\eta = \left( {{\rm{8}}{{\rm{0}}^ \circ },{\rm{6}}{{\rm{0}}^ \circ },{\rm{7}}{{\rm{0}}^ \circ }} \right)$ 。快拍数 $L = 800$ ，信噪比 ${\rm{SNR}} = 20\,{\rm{dB}}$ 。图2给出了100次蒙特卡洛实验的2维波达方向和极化参数估计星座图。从图2中可看出该算法能够正确估计出目标俯仰角、方位角、极化辅助角和极化相位差4维参量，且配对正确。

图 2 基于本文算法的信号4维参数估计星座图

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仿真2　参数估计性能随信噪比变化的性能分析

设2个相互独立的信号入射到极化敏感阵列，信号波达方向和极化参数分别为 $\left( {{\theta _1},{\varphi _1},{\gamma _1},{\eta _1}} \right) =$ $\left( {{\rm{3}}{{\rm{0}}^ \circ }\!,{\rm{7}}{{\rm{0}}^ \circ }\!,{\rm{4}}{{\rm{0}}^ \circ }\!,{\rm{8}}{{\rm{0}}^ \circ }} \right)$ , $\left( {{\theta _2},\!{\varphi _2},\!{\gamma _2},\!{\eta _2}} \right) \!=\! \left( {{\rm{7}}{{\rm{0}}^ \circ },{\rm{2}}{{\rm{0}}^ \circ },{\rm{4}}{{\rm{5}}^ \circ },{\rm{6}}{{\rm{0}}^ \circ }} \right)$ ，载波频率 $f = 11\,{\rm{MHz}}$ ，快拍数 $L = 800$ ，进行100次蒙特卡洛实验，并定义衡量估计性能的均方根误差 ${\rm{RMSE}}$ 为

${\rm{RMSE}} = \sqrt {\frac{1}{K}\sum\limits_{k = 1}^K {E\left[ {{{\left( {{{\tilde \alpha }_k} - {\alpha _k}} \right)}^2}} \right]} }$

其中， $\tilde \alpha \!=\! \left( {\tilde \theta ,\tilde {\phi} ,\tilde \gamma ,\tilde \eta } \right)$ 为4维参量估计值， $\alpha \!=\! \left( {\theta ,\phi ,\gamma ,\eta } \right)$ 为4维参量真实值。考察本文方法与文献[15]做对比，且文献[15]设置的天线数目、阵元间距及其它仿真条件均与本文方法相同。所得实验结果如图3所示，可以看出，在天线数目相同的前提下，本文方法估计精度明显高于文献[15]，这是因为本文阵型的完全拉伸配置有效扩展了阵列孔径，从而提高了参数估计精度，同时也可以降低天线间的互耦影响。但本文方法没有逼近克拉美罗界，这是因为本文算法是将整个阵列划分为6个子阵，根据子阵间的关系进行参数估计，没有完全利用整个阵列的孔径。

图 3 2维波达方向估计均方根误差随信噪比变化曲线

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仿真3　参数估计性能随快拍数变化的性能分析

假设 ${\rm{SNR}} = 20\,{\rm{dB}}$ ，其它仿真条件与仿真2相同，图4给出了信号2维波达方向估计值的均方根误差随快拍数变化曲线，可以看到，随着快拍数的增加，本文所提算法和文献[15]方法参数估计精度都会提高，且本文所提算法的参数估计精度明显高于文献[15]。

图 4 2维波达方向估计均方根误差随快拍数变化曲线

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5. 结束语

本文提出了一种稀疏拉伸式L型极化敏感阵列，并针对这种阵列提出了2D-DOA和极化参数联合估计算法。相比于现有的一些方法，本文方法可在不增加阵元数目和硬件复杂度的前提下进一步扩展阵列孔径，提高参数估计精度，相对于现有的含有共心配置的极化敏感阵列结构，本文所提阵列的完全拉伸配置可使偶极子天线间的互耦大大降低，同时避免了电磁响应不一致的问题，阵列可扩展性强。然而，本文方法是假设来波信号为远场、窄带、相互独立的完全极化波信号，且运算复杂度较高。研究近场、宽带、相关、部分极化波信号的参数估计方法，并降低运算复杂度，将是有待进一步开展的工作。

参考文献(1)

Gallager R G. Low density parity check codes. IRE Trans. on Information Theory, 1962, IT-8(3):208-220.[2]Wiberg N. Codes and decoding on general graphs. [Ph.D. Thesis], Sweden, Linkoping University,1996.[3]Prabhakar A, Narayanan K. Pseudorandom construction of low-density parity-check codes using linear congruential sequences. IEEE Trans. on Comm., 2002, COM-50(9): 1389-1396.[4]柯召,孙琦.数论讲义(第二版).北京:高等教育出版社,1999:29-31.[5]MacKay D J C. Good error correcting codes based on very sparse matrices. IEEE Trans. on Information Theory, 1999, IT-45(2): 399-431.

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1. 引言
2. 信号模型和阵列结构
3. 2D-DOA和极化参数联合估计算法
3.1 高精度有模糊的方向余弦估计
3.2 粗估计无模糊方向余弦估计
3.3 基于解模糊的4维参数闭式解
3.4 算法流程
3.5 运算量分析
4. 计算机仿真结果
5. 结束语

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不含小环的低密度校验码的代数构造方法

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Algebraic Construction of Low-Density Parity-Check Codes without Short Cycles

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3. 2D-DOA和极化参数联合估计算法

3.1 高精度有模糊的方向余弦估计

3.2 粗估计无模糊方向余弦估计

3.3 基于解模糊的4维参数闭式解

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2. 信号模型和阵列结构

3. 2D-DOA和极化参数联合估计算法

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3.2 粗估计无模糊方向余弦估计

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出版历程

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3. 2D-DOA和极化参数联合估计算法

3.1 高精度有模糊的方向余弦估计

3.2 粗估计无模糊方向余弦估计

3.3 基于解模糊的4维参数闭式解

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2. 信号模型和阵列结构

3. 2D-DOA和极化参数联合估计算法

3.1 高精度有模糊的方向余弦估计

3.2 粗估计无模糊方向余弦估计

3.3 基于解模糊的4维参数闭式解

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