同步和异步时序电路的统一设计和分析理论

吴训威; 陈晓莉; 金瓯

同步和异步时序电路的统一设计和分析理论

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出版历程
- 收稿日期: 1993-03-01
- 修回日期: 1993-07-13
- 刊出日期: 1994-07-19

THE UNIFIED THEORY FOR DESIGNING AND ANALYSING BOTH SYNCHRONOUS AND ASYNCHRONOUS SEQUENTIAL CIRCUITS

摘要

摘要: 本文讨论了时钟信号的普遍描述和含时钟信号的触发器次态方程,并在此基础上提出了同步和异步时序电路的统一设计和分析理论。该理论的有效性已由实例予以证明。
- 时序电路; 时钟信号; 逻辑设计
Abstract: The paper discusses general expresses of the clock signal and the next state equations containing the clock signal for flip-flops, and based on it, the unified theory for designing and analysing both synchronous and asynchronous sequential circuits is proposed. The theory is proved effective by practical examples.

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1. 引言

混沌信号以初值极端敏感、良好的频谱特性和产生电路简单等优势，在多用户通信、保密通信以及扩频通信等系统中具有极大的应用价值^[1-3]。混沌通信调制技术分为相干混沌调制和非相干混沌调制，其中利用非相干混沌调制的差分混沌移位键控(DCSK)被广泛研究^[4,5]。与传统的差分相移键控(DPSK)系统相比，DCSK系统不仅继承了无需信道状态信息(CSI)进行检测的优点，且在不需要信道估计的情况下，系统也具有良好的性能^[6,7]。但DCSK在信息传输过程中，一半比特持续时间发送不含信息的参考样本，导致系统传输速率很低，且两次传输同样的混沌序列，使系统保密性极低^[8-10]。

为了改善DCSK系统的缺陷，以往的工作中提出了多种改进方案。Kaddoum等人^[11]提出了非相干短参考差分混沌移位键控(Short Reference Differential Chaos Shift Keying, SR-DCSK)通信系统，通过缩短参考时隙混沌样本的长度，在不增加系统复杂度的同时，提高了数据传输速率和能量效率。文献[12]提出的正交多级差分混沌移位键控(Orthogonal Multi-Level Differential Chaos Shift Keying)调制方案，采用I/Q通道以并行的方式发送两路信号，通过正交调制的方法，使数据传输速率加倍，在消除延迟线的同时改善了系统误码性能，但收发电路较复杂。文献[13]提出了一种多载波差分混沌移位键控(Multi-Carrier Differential Chaos Shift Keying, MC-DCSK)通信系统，通过对多个并行比特只发送一次参考信号的方案，节省传输比特能量的同时提升了频谱效率。文献[14]提出了一种短参考倍速差分混沌移位键控(Short Reference Multifold Rate Differential Chaos Shift Keying, SRMR-DCSK)通信系统，通过不同的延时时间使数据承载时隙携带多个用户信息，提升了系统传输速率。文献[15]提出了一种频分复用的高效差分混沌键控(Frequency Division Multiplexing-High Efficient Differential Chaos Shift Keying, FDM-HEDCSK)通信系统，通过将两路混沌信号的参考信号分别发送到对方信道上进行传输，然后用不同载波进行调制，在提高系统安全性的同时也提高了误码性能。

为了进一步提升传统多用户SR-DCSK系统传输速率和能量效率，本文提出的正交多用户短参考高速DCSK(OMU-SRHR-DCSK)系统，将参考信号缩短为原来的1/P，使用不同延迟时间使系统多传输2N bit，并利用希尔伯特变换将每个信息时隙内不同路混沌信号区分开，使每时隙多传输N bit用户信息，每路由不同的Walsh码区分各用户信息，有效地提升了该系统的数据传输速率和能量效率，又由于希尔伯特变换和Walsh码有着良好的正交性，避免了用户间干扰对系统误码性能的影响，进而使系统的误码性能有所改善。

2. OMU-SRHR-DCSK系统原理

2.1 标准正交基函数集的设计

严格意义上，有限持续时间内的混沌信号不具备完全正交性。该系统通过将希尔伯特变换与Walsh码两者相结合，利用希尔伯特变换将混沌信号分为两组 ${x_{i,k}}$ 和 ${{\overset{\frown} x} _{i,k}}$ ，在区分混沌信号的同时也确保不同组任意两个混沌信号间严格正交，用Walsh码定义同组内混沌信号，确保每组内的混沌信号严格正交^[16]。图1为正交混沌基信号集结构图，利用希尔伯特变换和Walsh码分别保证第1组与第2组和 ${g_1}(t)$ 与 ${g_2}(t)$ ， ${g_3}(t)$ 与 ${g_4}(t)$ 间的信号正交，对于同阶Walsh码构造的正交基信号集大小增加，会使系统比特传输速率加倍。

图 1 正交混沌基信号集

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Hadamard矩阵中的元素只有“+1”和“–1”，利用式(1)所给的 ${2^n}$ 阶Hadamard矩阵构建Walsh码序列^[17]：

${{\boldsymbol{W}}_{{2^n}}} = \left[ \begin{gathered} {W_{{2^{\left( {n - 1} \right)}}}} {W_{{2^{\left( {n - 1} \right)}}}} \\ {W_{{2^{\left( {n - 1} \right)}}}} {W_{{2^{\left( {n - 1} \right)}}}} \\ \end{gathered} \right]$

(1)

其中， $n = 1,2,\cdots,L,$ ${W_{{2^0}}} = \left[ 1 \right]$ ，矩阵的每行代表一个长度为 $P$ 的Walsh码序列， $P = {2^n}$ 。

2.2 OMU-SRHR-DCSK系统

图2为OMU-SRHR-DCSK和DCSK系统第 $k$ 帧结构对比图。OMU-SRHR-DCSK系统将参考信号长度由原来的 $\beta$ 缩短为 $R(R = \beta /P)$ ，节约了时间和能量。其中定义 $\beta = {T_{\text{s}}}/{T_{\text{c}}}$ ( ${T_{\text{s}}}$ 为比特持续时间， ${T_{\text{c}}}$ 为码片持续时间)，令 ${T_{\text{c}}} = 1$ 。先将参考信号长度重复 $P$ 次用来传输第1个信息时隙的信号，并在其后再多扩展一路信息时隙，1帧内共传输 $4N$ bit用户信息，使系统的传输速率和能量效率有很大的提升。

图 2 OMU-SRHR-DCSK和DCSK系统第

$k$ 帧结构对比图

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图3为OMU-SRHR-DCSK系统发送机结构。首先混沌信号发生器产生一段长度为 $R$ 的混沌序列 ${x_{i,k}}$ 作为参考信号在第1个时隙内传输。然后将参考信号重复 $P$ 次得到长度为 $\beta$ 的混沌序列，将其延迟 $R$ 时间后通过希尔伯特变换将混沌信号分为两路来传输前 $2N$ 个用户信息，并给每个用户分别分配Walsh码 ${w_{i,j}}(j = 1,2, \cdots ,N)$ ，最后用加法器将每路的 $N$ 个用户信息加和在第2个时隙内传输。同理，将其延迟 $(P + 1)R$ 时间后通过希尔伯特变换将混沌信号分两路来传输后 $2N$ 个用户信息，并给每个用户分别分配Walsh码 ${w_{i,j}}$ ，然后用加法器将每路的 $N$ 个用户信息加和在第3个时隙内传输。系统第 $k$ 帧内发送信号 ${s_{i,k}}$ 的表达式为

图 3 OMU-SRHR-DCSK系统发送端框图

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${s_{i.k}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_{i.k}}},&{0 < i \le R}\\ {\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {({w_{i,j}}{b_j}{x_{i - R,k}} + {w_{i,j}}{b_{N + j}}{{\overset{\frown} x}_{i - R,k}})} }\,,&{R < i \le (P + 1)R}\\ {\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {{\rm{(}}{w_{i,j}}{b_{2N + j}}{x_{i - (P + 1)R,k}} + {w_{i,j}}{b_{3N + j}}{{\overset{\frown} x}_{i - (P + 1)R,k}}{\rm{) }}} }\,,&{(P + 1)R < i \le (2P + 1)R}\\ {{x_{i - R,k}} \equiv {x_{0,k}}},&{\boldsymbolod (R)} \end{array}} \right.$

(2)

由式(2)可求得，OMU-SRHR-DCSK系统平均比特能量 ${E_{\text{b}}}$ 为

${E_{\text{b}}} = (1 + 4NP)R{T_{\text{c}}}E(x_{i,k}^2)/4N$

(3)

图4为OMU-SRHR-DCSK系统接收端框图。以解调第 $k$ 帧第 $u$ , $N + u$ ( $2N + u$ , $3N + u$ )用户为例，其中解调 ${b_u}$ , ${b_{N + u}}$ ( ${b_{2N + u}}$ , ${b_{3N + u}}$ )的原理如下：解调端将接收到的信号 ${r_{i,k}}$ 与对应Walsh码 ${w_{i,u}}$ 相乘，再分别与延迟 $R$ 后的参考信号 ${r_{i - R,k}}$ 和延迟 $R$ 并经过希尔伯特变换后的信号 ${{\overset{\frown} R} _{i - R,k}}$ 分别进行 $P$ 次相关运算，最后通过门限判决解调出信息信号 ${b_u}$ 和 ${b_{N + u}}$ 。同理分别与延迟 $(P + 1)R$ 后的信号 ${r_{i - (P + 1)R,k}}$ 和延迟 $(P + 1)R$ 并经过希尔伯特变换后的信号 ${{\overset{\frown} R} _{i - (P + 1)R,k}}$ 分别进行 $P$ 次相关运算，最后通过门限判决解调出信息信号 ${b_{2N + u}}$ 和 ${b_{3N + u}}$ 。则该系统第 $k$ 帧第 $u$ , $N + u$ ( $2N + u$ , $3N + u$ )用户的相关器输出值 ${Z_u}$ , ${Z_{N + u}}$ ( ${Z_{2N + u}}$ , ${Z_{3N + u}}$ )表示为

图 4 OMU-SRHR-DCSK系统接收端框图

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$\left. \begin{split} &{Z_u} = \sum\limits_{p = 1}^P {\sum\limits_{i = 1}^R {{r_{i,k}}} } {r_{i - R,k}}{w_{i,u}}\quad\qquad\\ & {Z_{N + u}} = \sum\limits_{p = 1}^P {\sum\limits_{i = 1}^R {{r_{i,k}}} } {{\overset{\frown} r} _{i - R,k}}{w_{i,u}} \end{split}\right\}$

(4)

$\left. \begin{split} & {Z_{2N + u}} = \sum\limits_{p = 1}^P {\sum\limits_{i = 1}^R {{r_{i,k}}} } {r_{i - (P + 1)R,k}}{w_{i,u}}\\ & {Z_{3N + u}} = \sum\limits_{p = 1}^P {\sum\limits_{i = 1}^R {{r_{i,k}}} } {{\overset{\frown} r} _{i - (P + 1)R,k}}{w_{i,u}} \end{split}\right\}$

(5)

根据式(6)和式(7)的判决准则，可恢复出信息信号 ${b_u}$ , ${b_{N + u}}$ ( ${b_{2N + u}}$ , ${b_{3N + u}}$ )。

$\left. \begin{aligned} \qquad\qquad & {b_u} = \left\{ \begin{array}{l} - 1{\rm{ , }}\;\;{{\rm{Z}}_u} < 0\\ + 1{\rm{ ,}}\;\;{{\rm{Z}}_u} \ge 0 \end{array} \right. \;\\ & {b_{N + u}} = \left\{ \begin{array}{l} - 1{\rm{ ,}}\;\;{{\rm{Z}}_{N + u}} < 0\\ + 1{\rm{ ,}}\;\;{{\rm{Z}}_{N + u}} \ge 0 \end{array} \right. \end{aligned}\right\}$

(6)

$\left. \begin{aligned} \qquad\qquad\qquad & {b_{2N + u}} = \left\{ \begin{gathered} - 1{\text{ , }}{{\text{Z}}_{2N + u}} < 0 \\ + 1{\text{ , }}{{\text{Z}}_{2N + u}} \ge 0 \\ \end{gathered} \right. \\ & {b_{3N + u}} = \left\{ \begin{gathered} - 1{\text{ , }}{{\text{Z}}_{3N + u}} < 0 \\ + 1{\text{ , }}{{\text{Z}}_{3N + u}} \ge 0 \\ \end{gathered} \right. \end{aligned}\right\}$

(7)

3. OMU-SRHR-DCSK系统传输效率、能量效率和安全性能分析

分别计算OMU-SRHR-DCSK系统和DCSK系统的传输速率 ${R_{{\text{OMU - SRHR - DCSK}}}} = 4N/ ((R + 2\beta ){T_{\text{c}}})$ 和 ${R_{{\text{DCSK}}}} = 1/(2\beta {T_{\text{c}}})$ ，代入式(8)中，得到OMU-SRHR-DCSK系统相对于DCSK系统传输速率提升百分比 ${R_{\text{d}}}$ 。OMU-SRHR-DCSK系统和DCSK系统的平均比特能量 ${E_{{\text{b}},{{\text{OMU - SRHR - DCSK}}}}} = ((1 + 4NP)\cdot$ $R{T_{\text{c}}}{\rm E}(x_{i,k}^2))/4N$ 和 ${E_{{\rm{b}},{\rm{DCSK}}}} = 2\beta {T_{\text{c}}}{\rm E}(x_{i,k}^2)$ ，代入式(9)中，得到OMU-SRHR-DCSK系统相对DCSK系统比特能量节约百分比 ${E_{\text{B}}}$ 。

$\begin{split} {R_{\text{d}}} & = \frac{{{R_{{\text{OMU - SRHR - DCSK}}}} - {R_{{\text{DCSK}}}}}}{{{R_{{\text{DCSK}}}}}} \times 100\% {\text{ }}\\ & = \frac{{8N\beta - (R + 2\beta )}}{{R + 2\beta }} \times 100\% \end{split}$

(8)

$\begin{split} {E_{\text{B}}} & = \frac{{{E_{{\rm{b}},{\rm{DCSK}}}} - {E_{{\text{b}},{{\text{OMU - SRHR - DCSK}}}}}}}{{{E_{{\rm{b}},{\rm{DCSK}}}}}} \times 100\% \\ & = \frac{{4N\beta - R}}{{8N\beta }} \times 100\% \end{split}$

(9)

图5和图6分别为 $[N,\beta ] = [2,128],[4,128]$ 时传输速率提升百分比 ${R_{\text{d}}}$ 和比特能量节约百分比 ${E_{\text{B}}}$ 的仿真图。曲线表明，OMU-SRHR-DCSK系统相比DCSK系统，由于缩短了参考信号的长度，节约了系统比特能量，并且使传输速率有了极大地提升。从式(8)和式(9)可知，当 $R = \beta$ 时， ${R_{\text{d}}}$ 和 ${E_{\text{B}}}$ 只与用户数 $4N$ 有关。

图 5 传输速率提升百分比

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图 6 比特能量节约百分比

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图7和图8分别为DCSK系统和OMU-SRHR-DCSK系统 $N = 2$ 时的平方幅度谱对比图。图7中，由于DCSK系统的参考信号和数据承载信号同相或反相，相似性极高，因此归一化比特频率为奇数时，其平方幅度谱数值近似为零，安全性较差，用户信息在传输时容易被泄露。由于OMU-SRHR-DCSK系统传输的是 ${\text{4}}N$ 个相互正交的信息信号的加和，与参考信号没有相似性，且参考时隙与信息时隙所占比例不相等，因此该系统传输的信息不易被侦破。图8中频谱所表现的类噪声性，也证明了该系统具有良好的保密性。

图 7 DCSK的平方幅度谱图

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图 8 OMU-SRHR-DCSK的平方幅度谱

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4. OMU-SRHR-DCSK系统性能分析

OMU-SRHR-DCSK系统采用2阶Logistic混沌映射产生混沌序列，并对其进行归一化处理，使生成的混沌信号的比特能量恒定。2阶Logistic混沌映射方程为

${x}_{i+1}=1-2{x}_{i,k}^{2}\text{ },\text{ }{x}_{i,k}\in (-1,+1)$

(10)

其中， ${\rm E}[{x_i}] = 0$ , ${\rm E}[x_i^2] = 1$ , ${\text{Var[}}{x_i}{\text{]}} = 1$ , ${\text{Var[}}x_i^2{\text{]}} = 0$ 。

由于高斯近似法在扩频因子较大的情况下，系统接收端输出判决变量中各项均服从高斯分布，解调时可得到较为精确的分析结果。且多径瑞利衰落信道(Rayleigh Fading Channel, RFC)更符合信号实际传输的信道。因此OMU-SRHR-DCSK系统采用高斯近似(Gaussian Approximation, GA)法^[18]在多径RFC信道传输模型下，对其BER公式进行分析和推导。图9为多径RFC信道模型，AWGN信道是多径RFC的特例，假设多径RFC信道的延迟时间间隔远远小于符号间隔，可忽略符号间干扰的影响。

图 9 多径RFC信道模型

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${s_{i,k}}$ 经图9的信道传输后，接收端信号 ${r_{i,k}}$ 表示为

${r_{i,k}} = \sum\limits_{l = 1}^L {{\alpha _l}{s_{i - {\tau _l},k}}} + {n_{i,k}}$

(11)

其中， $L$ 是信道衰落路径数， ${\alpha _l}$ 和 ${\tau _l}$ 分别是第 $l$ 条路径的衰落因子和信道延迟。 ${n_{i,k}}$ 是均值为0且方差为 ${N_0}{\text{/2}}$ 的加性高斯白噪声， ${x_{i,k}}$ 和 ${n_{i,k}}$ 互不相关，且当 $i \ne j$ 时， ${n_{i,k}}$ 和 ${n_{i,j}}$ 两者相互独立。

由于第 $k$ 帧第 $u$ 个用户，第 $N + u$ ( $2N + u$ 、 $3N + u$ )个用户的解调方式相同，所以以第 $u$ 个用户为例，分析和推导OMU-SRHR-DCSK系统BER公式。则相关运算器输出值 ${Z_u}$ 的表达式为

$\begin{split} {Z_u} =& \displaystyle\sum\limits_{p = 1}^P {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^R {{r_{i,k}}{r_{i - R,k}}{w_{i,u}}} } \\ =& {\rm{ }}\displaystyle\sum\limits_{p = 1}^P {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^R {\left( {\left( {\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^L {\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {{\alpha _l}\left( {{w_{i,j}}{b_j}{x_{i - R - {\tau _l},k}} + {w_{i,j}}{b_{N + j}}{{\overset{\frown} x}_{i - R - {\tau _l},k}}} \right)} + {n_{i,P,k}}} } \right)\left( {\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^L {{\alpha _l}{x_{i - R - {\tau _l},k}} + {n_{i - R,k}}} } \right)} \right)} } {w_{i,u}}\\ =& A + B + C \end{split}$

(12)

由Logistic映射的自相关瓣为零、希尔伯特变换的良好正交性以及Walsh码的正交性，则

$A = \sum\limits_{p = 1}^P {\sum\limits_{i = 1}^R {\sum\limits_{l = 1}^L {\alpha _l^2{b_u}x_{i - R - {\tau _l},k}^2} } }$

(13)

$B={\displaystyle\sum\limits_{p=1}^{P}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{R}\left(\begin{array}{l}{\displaystyle\sum\limits_{l=1}^{L}{\displaystyle\sum\limits_{j=1,j\ne u}^{N}{\alpha }_{l}^{2}{w}_{i,j}{b}_{j}{x}_{i-R-{\tau }_{l},k}{x}_{i-R-{\tau }_{l},k}}}{w}_{i,u}+{\displaystyle\sum\limits_{l=1}^{L}{\alpha }_{l}{b}_{u}{x}_{i-R-{\tau }_{l},k}{n}_{i-R,k}}\\ +{\displaystyle\sum\limits_{l=1}^{L}{\alpha }_{l}{b}_{N+u}{{\overset{\frown}x}}_{i-R-{\tau }_{l},k}{n}_{i-R,k}}+\displaystyle\sum\limits_{l=1}^{L}{\displaystyle\sum\limits_{j=1,j\ne u}^{N}{\alpha }_{l}{w}_{i,j}{b}_{j}{x}_{i-R-{\tau }_{l},k}{n}_{i-R,k}{w}_{i,u}}\\ +\displaystyle\sum\limits_{l=1}^{L}{\displaystyle\sum\limits_{j=1,j\ne u}^{N}{\alpha }_{l}{w}_{i,j}{b}_{N+j}{{\overset{\frown}x}}_{i-R-{\tau }_{l},k}}{n}_{i-R,k}{w}_{i,u} +{\displaystyle\sum\limits_{l=1}^{L}{\alpha }_{l}{x}_{i-R-{\tau }_{l},k}{n}_{i,P,k}{w}_{i,u}}\end{array}\right)}}$

(14)

$C = \sum\limits_{p = 1}^P {\sum\limits_{i = 1}^R {{n_{i,P,k}}{n_{i - R,k}}} } {w_{i,u}}$

(15)

由高斯近似法可知式(12)中的每一项都服从高斯分布，则计算式(12)的均值和方差分别为

${\rm E}\left[ {{Z_u}} \right] = {\rm E}\left[ A \right] + {\rm E}\left[ B \right] + {\rm E}\left[ C \right] = \frac{{4NP}}{{4NP + 1}}\sum\limits_{l = 1}^L {\alpha _l^2} {E_{\text{b}}}$

(16)

$\begin{split} \qquad {\text{Var}}\left[ {{Z_u}} \right] =& {\text{Var}}\left[ A \right] + {\text{Var}}\left[ B \right] + {\text{Var}}\left[ C \right] + 2{\text{Cov}}\left[ {A{\text{,}}B} \right] + 2{\text{Cov}}\left[ {A{\text{,}}C} \right] + 2{\text{Cov}}\left[ {B{\text{,}}C} \right] \\ =&\sum\limits_{l = 1}^L {\alpha _l^2} \frac{{2NP(1 + 2NP)}}{{1 + 4NP}}{E_{\text{b}}}{N_0} + \frac{{{N_0}^2}}{4}PR \end{split}$

(17)

${\text{BER}}\left[ {{Z_u}} \right] = \frac{1}{2}{\rm P}r\left( {\left. {{Z_u} < 0} \right|{b_u} = + 1} \right) + \frac{1}{2}{\rm P}r\left( {\left. {{Z_u} \ge 0} \right|{b_u} = - 1} \right) {\text{ = }} \frac{1}{2}{\text{erfc}}\left( {\frac{{\left| {{\rm E}\left[ {{Z_u}} \right]} \right|}}{{\sqrt {2{\text{Var}}\left[ {{Z_u}} \right]} }}} \right)$

(18)

其中， ${\text{Cov[}}A{\text{,}}B{\text{]}} = {\text{Cov[}}A{\text{,}}C{\text{]}} = {\text{Cov[}}B{\text{,}}C{\text{]}} = 0$ , ${\text{E[}} \cdot {\text{]}}$ 为期望运算， ${\text{Var[}} \cdot {\text{]}}$ 为方差运算， ${\rm{erfc}}( \cdot )$ 是互补误差函数， ${\rm{erfc}}(x) = {\text{2}}\displaystyle\int_x^\infty {{{\text{e}}^{ - {\mu ^2}}}{\text{d}}\mu {\text{/}}} \sqrt {\pi}$ 。将式(16)和式(17)代入式(18)中，计算得到第 $k$ 帧第 $u$ 用户的BER公式为

${\text{BER}}\left[ {{Z_u}} \right] = \frac{1}{2}{\text{erfc}}{\left( {\frac{{(1 + 2NP)(1 + 4NP)}}{{4NP\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^L {\alpha _l^2} }}{{\left( {\frac{{{E_{\text{b}}}}}{{{N_0}}}} \right)}^{ - 1}} + \frac{{{{(1 + 4NP)}^2}R}}{{32{N^2}P{{\left( {\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^L {\alpha _l^2} } \right)}^2}}}{{\left( {\frac{{{E_{\text{b}}}}}{{{N_0}}}} \right)}^{ - 2}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$

(19)

同理，第 $N + u$ ( $2N + u$ ， $3N + u$ )用户的BER公式和式(19)相同。则OMU-SRHR-DCSK系统在多径RFC信道下的瞬时BER公式为

${\text{BER}}\left( {{\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots ,{\alpha _L}} \right) = \frac{1}{2}{\text{erfc}}{\left( {\frac{{(1 + 2NP)(1 + 4NP)}}{{4NP\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^L {\alpha _l^2} }}{{\left( {\frac{{{E_{\text{b}}}}}{{{N_0}}}} \right)}^{ - 1}} + \frac{{{{(1 + 4NP)}^2}R}}{{32{N^2}P{{\left( {\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^L {\alpha _l^2} } \right)}^2}}}{{\left( {\frac{{{E_{\text{b}}}}}{{{N_0}}}} \right)}^{ - 2}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$

(20)

令 ${\gamma _l} = \alpha _l^2\left( {{E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}} \right){\text{，}}{\gamma _{\text{b}}} = \displaystyle\sum\nolimits_{l = 1}^L {\alpha _l^2\left( {{E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}} \right)}$ ，将式(20)化简为

${\text{BER}}\left( {{\gamma _{\text{b}}}} \right) = \frac{1}{2}{\text{erfc}}{\left( {\frac{{(1 + 2NP)(1 + 4NP)}}{{4NP{\gamma _{\text{b}}}}} + \frac{{{{(1 + 4NP)}^2}R}}{{32{N^2}P\gamma _{\text{b}}^2}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$

(21)

对与 $L$ 条路径间相互独立且各路径平均信道增益相等的多径RFC信道， ${\gamma _b}$ 的瞬时概率密度函数为

$f\left( {{\gamma _{\text{b}}}} \right) = \frac{{\gamma _{\text{b}}^{L - 1}}}{{(L - 1)\bar \gamma _l^L}}\exp \left( { - \frac{{{\gamma _{\text{b}}}}}{{{{\bar \gamma }_l}}}} \right) = f\left( {{\gamma _{\text{b}}},{{\bar \gamma }_l},L} \right)$

(22)

其中， $l = 1,2, \cdots ,L$ , ${\bar \gamma _l}$ 为第 $l$ 条路径的平均信道增益。 ${\bar \gamma _l}$ 的表达式为

${\bar \gamma _l} = E({\gamma _l}) = ({E_{\text{b}}}/{N_0})E[\alpha _l^2] = ({E_{\text{b}}}/{N_0})E[\alpha _v^2],\,l \ne v$

(23)

由于信道参数是持续变化的，故OMU-SRHR-DCSK系统在多径RFC信道下的平均BER公式为

$\overline {{\text{BER}}} = \int\limits_0^\infty {{\text{BER}}\left( {{\gamma _{\text{b}}}} \right)f\left( {{\gamma _{\text{b}}}} \right){\rm{d}}{\gamma _{\text{b}}}} {\text{ = }}\frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {{\text{erfc}}\left( {{{\left( {\frac{{(1 + 2NP)(1 + 4NP)}}{{4NP{\gamma _{\text{b}}}}} + \frac{{{{(1 + 4NP)}^2}R}}{{32{N^2}P\gamma _{\text{b}}^2}}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}} \right)f\left( {{\gamma _{\text{b}}}} \right){\rm{d}}{\gamma _{\text{b}}}}$

(24)

令 ${\alpha _1} = 1{\text{，}}{\alpha _2},{\alpha _3}, \cdots ,{\alpha _L} = 0{\text{，}}{\gamma _{\text{b}}} = {{{E_{\text{b}}}} \mathord{\left/{\vphantom {{{E_{\text{b}}}} {{N_0}}}} \right.} {{N_0}}}$ ，AWGN信道下的BER公式表示为

${\text{BE}}{{\text{R}}_{{\text{AWGN}}}} = \frac{1}{2}{\text{erfc}}{\left( {\frac{{(1 + 2NP)(1 + 4NP)}}{{4NP}}{{\left( {\frac{{{E_{\text{b}}}}}{{{N_0}}}} \right)}^{ - 1}} + \frac{{{{(1 + 4NP)}^2}R}}{{32{N^2}P}}{{\left( {\frac{{{E_{\text{b}}}}}{{{N_0}}}} \right)}^{ - 2}}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$

(25)

5. 系统仿真结果和分析

本节对OMU-SRHR-DCSK系统在AWGN信道和多径RFC信道下分别作了仿真分析，为保证仿真结果的准确性，仿真值的采样点数均是在10⁶下取平均得到。

5.1 AWGN信道下的误码性能分析

图10为当各参数值设为 $[N,P,R] = [1,2,128],$ $[2,2,128]$ 时，BER随 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 变化的仿真图。从图中可看出系统理论值与仿真值相一致，证明了公式(29)推导的正确性。图10表明，在 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 一定的情况下，BER随用户数的增加而增大，BER性能变差。这是由于N的增大使得噪声干扰项增多，噪声干扰项方差随之变大。在P和R一定的情况下，当 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0} < 10{\text{dB}}$ 时，不同N值对应的BER值几乎相等；当 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0} > 11{\text{dB}}$ 时，不同N值对应的BER差值随信噪比的增大逐渐增大，即曲线纵向间隔逐渐变大。

图 10 N不同，BER随

${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 变化曲线

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图11为当各参数值设为 $[N,P,R] = [2,1,256],$ $[2,2,256], [2,4,256]$ 时，BER随 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 变化的仿真图。图11表明，在N和R一定的情况下，当 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0} < 6$ 时，随着P 的增加，系统BER值几乎保持不变；当 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0} > 8$ 时，随P的增加，BER间的差值随着信噪比的增大逐渐增大。由此可得， ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 较小时，P值的变化只会引起BER性能曲线发生微小的变化，而 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 大于某一特定值时，参数P的变化是决定BER性能的主要因素。相对于用户数的增大对BER性能的影响，重复次数增大所导致的误码性能恶化程度更大。

图 11 P不同，BER随

${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 变化曲线

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图12为各参数值设为 $[N,P,R] = [2,2,64],$ $[2,2,128],[2,2,256]$ 时，系统的BER随 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 变化的仿真图。图12表明，在N和P一定的情况下，随着R的增大，系统的BER性能发生恶化，且随着信噪比的增大，BER恶化的程度没有重复次数增大所导致的恶化程度大；在R较小时，系统的理论值与仿真值在信噪比较大时有一定的差别，这是由于当扩频因子较小时式(14)的各项并不完全服从高斯分布。即当R=64时，理论值与仿真值在 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 较大时BER会出现偏差。

图 12 R不同，BER随

${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 变化曲线

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图13和图14为不同 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 下N和P变化对系统的BER影响的仿真图。图13和图14表明，在N和P分别一定的情况下， ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 大的系统的BER性能远优于 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 小的系统的BER性能。系统的BER值随R增大逐渐增大，由于R的增大，用户间干扰项增多，导致BER性能变差。图13显示，对于相同 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 不同N的情况下，BER值会随R增大最后将均趋于同一定值，而图14显示，对于相同 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 不同P的情况下，BER值随R增大最后将趋于不同定值。

图 13 不同N和

${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ ，BER随R的变化曲线

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图 14 不同P和

${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ ，BER随R变化曲线

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图15为在AWGN信道中不同系统的BER性能对比图。假设所有系统的 $\beta$ 值和传输的比特数均相等。图15表明，在 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0} < 9{\text{ dB}}$ 时，OMU-SRHR-DCSK, SRMR-DCSK, HMU-DCSK和FDM-HEDCSK的误码率基本相等，而在 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0} > 9{\text{ dB}}$ 时，OMU-SRHR-DCSK系统的误码性能最佳，且随着 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 的增加，误码性能的优越性相比于其他3个系统越明显。且从表1中可以看出，在N=1时，传输速率OMU-SRHR-DCSK系统远优于传统多用户短参考SRMR-DCSK和长参考HMU-DCSK系统，但略低于FDM-HEDCSK，能量效率OMU-SRHR-DCSK最优；而在N>1时，OMU-SRHR-DCSK系统的传输速率和能量效率均远优于SRMR-DCSK，HMU-DCSK和FDM-HEDCSK。

图 15 不同系统在AWGN信道中误码性能对比

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表 1 OMU-SRHR-DCSK, SRMR-DCSK, HMU-DCSK和FDM-HEDCSK系统的传输速率和能量效率

系统	传输速率(R)	能量效率(EE)
OMU-SRHR-DCSK	$4N/(R + 2\beta )$	$4N\beta /(R + 4N\beta )$
SRMR-DCSK	$N/(R + \beta )$	$N\beta /(R + N\beta )$
HMU-DCSK	$N/\beta$	$2N/(1 + 2N)$
FDM-HEDCSK	$2/\beta$	$1/2$

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5.2 Rayleigh衰落信道下误码性能分析

本小节对OMU-SRHR-DCSK系统在两径Rayleigh衰落信道中进行BER性能分析，主要分析以下两种情况下的BER性能仿真曲线。

情况1：两条独立路径增益相等，各路径平均能量增益分别为 ${\text{E(}}\alpha _1^2{\text{)}} = {\text{E}}(\alpha _2^2) = 1/2$ 。

情况2：两条独立路径增益不相等，各路径平均能量增益分别为 ${\text{E}}(\alpha _1^2) = 1/11,\;{\text{E}}(\alpha _2^2) = 10/11$ 。

图16为在两径Rayleigh衰落信道中不同系统的BER性能对比图。假设所有系统的 $\beta$ 值和传输的信息比特数均相等。从图16中可以看出，在 ${E_{\text{b}}}{\text{/}}{N_0}$ 较大时，OMU-SRHR-DCSK系统的误码率性能优于SRMR-DCSK, HMU-DCSK和FDM-HEDCSK系统，仿真对比结果和AWGN信道下的一致。Rayleigh衰落信道中的误码率变化比较平缓，没有AWGN信道中的陡峭，说明OMU-SRHR-DCSK系统的抗信道衰落能力更强。

图 16 不同系统在两径RFC信道中误码性能对比

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图17为不同R时OMU-SRHR-DCSK系统在两种不同情况下的BER性能对比图。图17表明，在R一定的情况下，等增益路径下的BER性能均比非等增益路径下的BER性能好。对于同一种情况，R小的BER性能更加良好。这主要是因为，R越大，系统的用户间干扰越多，导致BER性能越差。

图 17 OMU-SRHR-DCSK系统在两种增益下的性能对比

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6. 结束语

OMU-SRHR-DCSK系统通过缩短参考信号长度节约能量，利用希尔伯特变换和Walsh码良好的正交性，使系统在一帧内多传输2N个信息比特，同时也消除了用户间干扰。在提高传输速率和能量效率的同时，也弥补了缩短参考信号所导致信噪比降低造成BER性能恶化的影响。该系统所具有的高安全性适合用于多用户保密通信系统中。系统通过引入希尔伯特变换器件，重新设计了系统结构，虽然增加了系统的复杂度，但相比于传统多用户SR-DCSK系统，其传输速率与能量效率均有很大提升。该系统所表现良好的特性为其应用于实际中提供了理论基础与参考价值。此外，国内外学者还未提出载波调制技术与多用户SR-DCSK系统相结合的通信系统，下一步将会结合载波调制技术研究其对多用户短参考系统性能的影响。

参考文献(1)

Rhyne V T. Fundamentals of Digital System Design. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1973, 267-272.[2]吴训威,李亦宁.杭州大学学报,1983,10(2): 187-189.[3]万栋义.脉冲与数字电路.北京:高等教育出版社,1986,361-371.[4]陈偕雄,吴训威.杭州大学学报,1987,14(3): 301-312.[5]方振贤.电子学报,1990,18(5): 91-96.[6]吴训威,陈偕雄.Comparison Logic and Its Application in Digital Circuits. Proc. Int. Conf. on[7]CAS. Beijing: 1985, 440-443.

施引文献

期刊类型引用(1)
1. 郭慧君，黄禹璋，蒋迪，王博，李振一，郭慧敏. 纳米材料对纤维复合材料机械性能影响. 山东化工. 2022(06): 106-108 . 百度学术
其他类型引用(1)

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1. 引言
2. OMU-SRHR-DCSK系统原理
2.1 标准正交基函数集的设计
2.2 OMU-SRHR-DCSK系统
3. OMU-SRHR-DCSK系统传输效率、能量效率和安全性能分析
4. OMU-SRHR-DCSK系统性能分析
5. 系统仿真结果和分析
5.1 AWGN信道下的误码性能分析
5.2 Rayleigh衰落信道下误码性能分析
6. 结束语

1. 引言
2. OMU-SRHR-DCSK系统原理
2.1 标准正交基函数集的设计
2.2 OMU-SRHR-DCSK系统
3. OMU-SRHR-DCSK系统传输效率、能量效率和安全性能分析
4. OMU-SRHR-DCSK系统性能分析
5. 系统仿真结果和分析
5.1 AWGN信道下的误码性能分析
5.2 Rayleigh衰落信道下误码性能分析
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同步和异步时序电路的统一设计和分析理论

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THE UNIFIED THEORY FOR DESIGNING AND ANALYSING BOTH SYNCHRONOUS AND ASYNCHRONOUS SEQUENTIAL CIRCUITS

1. 引言

2. OMU-SRHR-DCSK系统原理

2.1 标准正交基函数集的设计

2.2 OMU-SRHR-DCSK系统

3. OMU-SRHR-DCSK系统传输效率、能量效率和安全性能分析

4. OMU-SRHR-DCSK系统性能分析

5. 系统仿真结果和分析

5.1 AWGN信道下的误码性能分析

5.2 Rayleigh衰落信道下误码性能分析

6. 结束语

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目录

1. 引言

2. OMU-SRHR-DCSK系统原理

2.1 标准正交基函数集的设计

2.2 OMU-SRHR-DCSK系统

3. OMU-SRHR-DCSK系统传输效率、能量效率和安全性能分析

4. OMU-SRHR-DCSK系统性能分析

5. 系统仿真结果和分析

5.1 AWGN信道下的误码性能分析

5.2 Rayleigh衰落信道下误码性能分析

6. 结束语

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同步和异步时序电路的统一设计和分析理论

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出版历程

THE UNIFIED THEORY FOR DESIGNING AND ANALYSING BOTH SYNCHRONOUS AND ASYNCHRONOUS SEQUENTIAL CIRCUITS

1. 引言

2. OMU-SRHR-DCSK系统原理

2.1 标准正交基函数集的设计

2.2 OMU-SRHR-DCSK系统

3. OMU-SRHR-DCSK系统传输效率、能量效率和安全性能分析

4. OMU-SRHR-DCSK系统性能分析

5. 系统仿真结果和分析

5.1 AWGN信道下的误码性能分析

5.2 Rayleigh衰落信道下误码性能分析

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1. 引言

2. OMU-SRHR-DCSK系统原理

2.1 标准正交基函数集的设计

2.2 OMU-SRHR-DCSK系统

3. OMU-SRHR-DCSK系统传输效率、能量效率和安全性能分析

4. OMU-SRHR-DCSK系统性能分析

5. 系统仿真结果和分析

5.1 AWGN信道下的误码性能分析

5.2 Rayleigh衰落信道下误码性能分析

6. 结束语