用胶体-原子薄片模型计算W(100)-Cs吸附系统的逸出功

王宁; 王鼎盛

摘要: 碱或碱土金属的原子吸附于过渡金属表面时,会使后者的逸出功急剧下降。作者提出了胶体-原子薄片模型来研究这一现象。过渡金属基底用薄膜线性级加平面波(LAPW)法精确处理,而简单金属覆层则用胶体(jellium)模拟。此模型可在充分考虑构成基底的过渡金属特点的情况下,研究单原子层覆盖度以下的吸附系统的电子性质。文中给出了计算所得W(100)面吸附Cs后的-曲线。所得逸出功极小值min=1.441.48eV与实验结果(min=1.351.55eV)吻合较好,文中还讨论了Ev参量的选择等问题。

关键词:

Abstract: The work functions of transition metals vary drastically wirh the coverage of adsorbed alkali or alkaline earth metal atoms. This phenomenon is studied theoretically by a refined model, i.e., the transition-metal substrate is treated whh high accuracy by the film LAPW method, while the simple metal overlayer is simulated by the jellium model. Computation of the electronic structure of the adsorbed system with a coverage of lower than monolayer will become possible by using this model. The variations of work function () with the converage () of Cs on the W-substrate are presemted. the calculated min=1.441.48eV is in goood agreement with the experimental value (1.351.55eV). The close dependance of the results on the choice of parameter, Ev, is also discussed.

1. 引言

低空风切变是存在自然界中一种恶劣的气象现象，持续时间短，发生突然，预测难度大等特点^[1]，该现象发生在低层大气中，高度较低的区域内，会对飞机起飞和降落产生重要影响。飞机飞行时一旦遭遇低空风切变，容易引发飞机失速，严重威胁民航的飞行安全。为了避免事故发生，可以通过对低空风切变检测获得预警信息，其中，低空风切变风速估计准确性影响预警信息，所以准确的风速估计是低空风切变检测准确的前提。目前利用机载气象雷达实现气象探测^[2]，在雷达探测时，回波信号中不仅含有低空风切变信号还存在地杂波信号，且地杂波回波功率远大于低空风切变信号，影响低空风切变检测的准确性，为了保证风切变信号估计的准确性，需要消除地杂波影响。实现低空风切变检测需要完成杂波抑制^[3]、风速估计、平均 $F$ 因子计算和低空风切变危险性判决这4个步骤^[4]，风速估计是低空风切变检测准确的前提，若风速估计精度不准，就会影响后续 $F$ 计算，最后导致判决失效。因此，研究低空风切变准确估计有重大意义。

在机载相控阵雷达系统中，空时自适应处理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)在空时联合域进行杂波抑制并进行目标检测。计算STAP最优权矢量来对杂波进行抑制，权矢量计算准确性依靠对应杂波协方差估计的准确性，传统方法估计杂波协方差矩阵需要在样本符合独立同分布，并且样本数达到自由度2倍以上，才可以保证杂波协方差矩阵估计准确性。简而言之，系统需要获取足够数量且独立分布的样本，以保证STAP技术在实际应用达到最佳性能。由于杂波协方差矩阵的准确性直接影响STAP技术的性能，非IID的训练样本会导致STAP在实际应用中失效。在机载前视阵下特别突出，因为地杂波分布特性会随距离产生差异性，可用于估计样本数量大大减少，使得传统STAP在处理这种非均匀环境时面临更大的挑战。因此，研究小样本情况下低空风切变风速估计有重大意义。

目前，在小样本情况完成低空风切变风速估计主要方法有降秩STAP^[5]，降维STAP^[6]，稀疏STAP^[7]等。其中，直接数据域(Direct Data Domain, DDD)STAP^[8]方法仅利用待检测单元的回波数据来构造杂波协方差矩阵，该方法从根本上消除杂波非平稳性的影响，但需要通过滑窗来获得足够的训练样本数，但在空域进行滑窗可能会导致训练样本的非均匀性更强，在一定程度上会造成孔径损失无法达到次最优。知识辅助STAP^[9]将地杂波作为先验信息，减少独立样本的需求，但由于存在空域误差等其他未知因素，会影响协方差矩阵估计；此外，分别由先验知识构建杂波协方差矩阵(Clutter Covariance Matrix, CCM)与最大似然估计CCM间权系数的合理分配问题^[10]，是需要解决的重要问题；稀疏恢复(Sparse Recovery, SR) STAP^[11]中由于杂波在空时谱分布稀疏特性，通过稀疏迭代方法，实现小样本下杂波超分辨空时谱估计。但是，稀疏恢复需要通过稀疏迭代进行求解，运算量大，耗时长，以及参数设定困难，难以运用在实际情况中。所以，研究快速迭代STAP算法具有重大意义。利用卷积神经网络模型代替传统迭代算法有助于提高算法的执行效率，减少运行时间，同时降低超参数选择的复杂性，从而更好地适应实际应用的需求。

针对上述稀疏恢复参数设置困难的问题，提出一种基于卷积神经网络STAP的低空风切变风速估计方法。卷积神经网络模型估计的优点是参数迭代简单，通过训练数据进行参数更新，结合杂波在空时域稀疏的特点，利用数据重构网络模型实现少量样本情况下的高分辨杂波空时谱估计。将少量样本产生的低分辨空时谱作输入数据，用确知的高分辨杂波空时谱作标签数据，通过训练得到低分辨到高分辨的准确映射，提高估计杂波协方差矩阵准确性，利用STAP计算最优权矢量，进而进行杂波抑制，并完成低空风切变精确估计。

2. 信号模型

图1为机载气象雷达前视阵示意图，载机速度为V，飞行高度H，假设天线由N阵元组成。

图 1 机载气象雷达前视阵示意图

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${\boldsymbol{x}}(l) = {\boldsymbol{s}}(l) + {\boldsymbol{c}}(l) + {\boldsymbol{n}}(l)$

(1)

其中， ${\boldsymbol{x}}(l)$ 为单个距离单元空时快拍数据， ${\boldsymbol{s}}(l), {\boldsymbol{c}}(l)$ 分别为该距离单元低空风切变信号和地杂波信号^[12]； ${\boldsymbol{n}}(l)$ 为该距离单元的高斯白噪声。

低空风切变信号回波仿真是通过对单个距离单元内分布的每一个散射点幅度和相位相加，即为对应距离单元低空风切变回波信号 ${\boldsymbol{s}}(l)$

${\boldsymbol{s}}(l) = \ell \cdot {\boldsymbol{s}}(f_{\rm d}^{},\psi _0^{})_{NK \times 1}^{} = \alpha \cdot \left[ {{{\boldsymbol{s}}_{\rm t}}({f_{\rm d}})_{K \times 1}^{} \otimes {{\boldsymbol{s}}_{\rm s}}({\psi _0})_{N \times 1}^{}} \right]$

(2)

其中， $\otimes$ 为 ${\mathrm{Kronec}}\mathrm{ker}积$ ； $\ell$ 为当前距离单元内低空风切变信号的复幅度； ${f_{\rm d}},{\psi _0}$ 为当前距离单元内低空风切变信号多普勒频率和空间锥角，并且 $\cos {\psi _0} = \cos {\theta _0}\cos {\varphi _l}$ ； ${\boldsymbol{s}}{({f_{\rm d}},{\psi _0})_{NK \times 1}}$ 为低空风切变信号的空时导向矢量， ${{\boldsymbol{s}}_{\rm t}}{({f_{\rm d}})_{K \times 1}},{{\boldsymbol{s}}_{\rm s}}(\psi _0^{})_{N \times 1}^{}$ 分别表示时域和空域导向矢量

$\begin{split} {{\boldsymbol{s}}_{\rm t}}({f_{\rm d}})_{K \times 1}^{} = \,& \left[ {1 , {{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}\pi 4v/(\lambda {f_r})}} , \cdots ,{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}\pi (K - 1)4v/(\lambda {f_r})}}} \right]_{K \times 1}^{\mathrm{T}} \\ & \odot g({\sigma _{{f_{\rm d}}}})\\[-1pt] \end{split}$

(3)

$\begin{split} \,&{{\boldsymbol{s}}_{\rm s}}(\psi _0^{})_{N \times 1}^{} \\ \,&= \left[ {1 , {{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}2\pi d\cos {\theta _0}\cos {\varphi _l}/\lambda }} , \cdots , {{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}2\pi d(N - 1)\cos {\theta _0}\cos {\varphi _l}/\lambda }} } \right]_{N \times 1}^{\mathrm{T}} \\ & \quad \odot g({\sigma _{{\psi _0}}}) \\ \,&= \left[ {1 , {{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}2\pi d\cos \psi _0^{}/\lambda }} , \cdots , {{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}2\pi d(N - 1)\cos \psi _0^{}/\lambda }} } \right]_{N \times 1}^{\mathrm{T}} \\ & \quad \odot g({\sigma _{{\psi _0}}}) \\[-1pt] \end{split}$

(4)

其中， $\odot$ 为 ${\mathrm{Hadamard}}积$ ； ${\mathrm{T}}$ 为转置； $g({\sigma _{{f_{\rm d}}}})$ 为时域导向矢量计算时的频率扩展函数， $g({\sigma _{{\psi _0}}})$ 为空域导向矢量计算时角度扩展函数^[13]。

地杂波信号仿真通过Ward^[14]模型进行仿真，在距离单元内将水平方位角均匀划分多个杂波散射单元，每个单元有其对应俯仰角和水平方位角 ${\varphi _{l,c}},{\theta _{l,m}}$ ，则空间锥角和归一化多普勒频率分别为 ${\psi _{{\mathrm{s}},m}},{f_{{\mathrm{d}},m}}$ 。

$\begin{split} {\psi _{{\mathrm{s}},m}} \,& = \arccos (\cos {\theta _{l,m}}\cos {\varphi _{l,c}}),{f_{{\mathrm{d}},m}} \\ & = \frac{{4V}}{{\lambda {f_{\mathrm{r}}}}}\cos (\alpha - {\theta _{l,m}})\cos {\varphi _{l,{\mathrm{c}}}} \end{split}$

(5)

则单个距离单元的地杂波信号 ${\boldsymbol{c}}(l)$ 为

${\boldsymbol{c}}\left( l \right) = \sum\limits_{m = 1}^M {\frac{{\sqrt {P{c_{{\mathrm{RCS}}}}} }}{{R_l^2}}F\left( {{\theta _{l,m}}} \right){\boldsymbol{a}}{{({f_{{\mathrm{d}},m}},{\psi _{s,m}})}_{NK \times 1}}}$

(6)

其中， $M$ 为杂波散射单元总数； $P$ 为雷达接收功率； ${c_{{\mathrm{RCS}}}}$ 为反射系数； ${R_l}$ 为单个距离单元杂波散射单元与载机之间的斜距； $F\left( {{\theta _{l,m}}} \right)$ 表示天线方向图； ${\boldsymbol{a}}({f_{{\mathrm{d}},m}},{\psi _{{\mathrm{s}},m}})$ 为对应杂波散射单元的空时导向矢量^[15]，可表示为

$\begin{split} \,&{\boldsymbol{a}}{({f_{{\mathrm{d}},m}},{\psi _{{\mathrm{s}},m}})_{NK \times 1}} \\ \,& \quad = [1,{{{\mathrm{e}}} ^{{\mathrm{j}}\pi {f_{{\mathrm{d}},m}}}}, \cdots ,{{{\mathrm{e}}} ^{{\mathrm{j}}\pi (K - 1){f_{{\mathrm{d}},m}}}}]_{K \times 1}^{\mathrm{T}} \\ & \qquad\otimes [1,{{{\mathrm{e}}} ^{{\mathrm{j}}2\pi d\cos {\psi _{{\mathrm{s}},m}}/\lambda }}, \cdots ,{{{\mathrm{e}}} ^{{\mathrm{j}}2\pi (N - 1)d\cos {\psi _{{\mathrm{s}},m}}/\lambda }}]_{N \times 1}^{\mathrm{T}} \end{split}$

(7)

3. 基于卷积神经网络STAP的风速估计

基于卷积神经网络STAP的风速估计初始搭建一个5层卷积神经网络模型，然后利用训练数据得到一个高分辨空时谱卷积神经网络，通过该网络可以准确估计高分辨杂波空时谱，随后，通过准确计算杂波协方差矩阵，可以构建卷积神经网络STAP最优权矢量进行杂波抑制，最终实现对低空风切变准确估计。在这个过程中，关键步骤包括基于高分辨杂波空时谱的卷积神经网络搭建，高分辨杂波空时谱卷积神经网络训练，以及低空风切变风速的估计。这些步骤是卷积神经网络STAP方法中至关重要的组成部分。下面进行说明。

3.1 基于高分辨杂波空时谱卷积神经网络搭建

高分辨杂波空时谱卷积神经网络主要是依靠卷积层进行特征提取，通过损失函数不断迭代，拟合低分辨空时谱到高分辨杂波空时谱的映射过程。借鉴神经网络SRCNN^[16-18]结构模型,，本文通过构建多层2维卷积层实现高分辨杂波空时谱估计，模型结构如图2所示，输入为低分辨空时谱，输出为高分辨杂波空时谱。

图 2 卷积神经网络模型结构

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第1层用于空时谱特征提取

${{\boldsymbol{F}}_1} = \max (0,{{\boldsymbol{W}}_1} * {\boldsymbol{Y}} + {{\boldsymbol{b}}_1})$

(8)

其中， ${\boldsymbol{Y}}$ 表示输入数据(低分辨空时谱数据)， ${{\boldsymbol{W}}_1}$ 为 $c \times {f_1} \times {f_1} \times {n_1}$ 的卷积核； $c$ 为通道个数， ${f_1}$ 为第1层卷积核长和宽， ${n_1}$ 输出特征通道数； $*$ 为卷积计算； ${{\boldsymbol{b}}_1}$ 为第1层卷积层的偏置向量。式(8)表示从低分辨空时谱数据中提取对应杂波特征，经过卷积计算构成高维特征向量，由这些特征向量得到特征矩阵。

2～4层为非线性映射，该过程把从特征矩阵获取到的特征映射高维变换矩阵中：

${{\boldsymbol{F}}_i} = \max (0,{{\boldsymbol{W}}_i} * {{\boldsymbol{F}}_{i - 1}} + {{\boldsymbol{b}}_i})\;\;{i = 2,3,4}$

(9)

其中， ${{\boldsymbol{W}}_i}$ 为维度 ${n_{i - 1}} \times {f_i} \times {f_i} \times {n_i}$ 卷积核， ${f_i}$ 为卷积核的长和宽； ${{\boldsymbol{b}}_i}$ 为 ${n_i}$ 偏置向量。

第5层为数据重构层，生成高分辨杂波空时谱数据。

${\boldsymbol{Z}} = {{\boldsymbol{W}}_5} * {{\boldsymbol{F}}_4} + {{\boldsymbol{b}}_5}$

(10)

其中， ${\boldsymbol{Z}}$ 表示高分辨杂波空时谱数据， ${{\boldsymbol{W}}_5}$ 为维度 ${n_4} \times {f_5} \times {f_5} \times c$ 的卷积核， ${q_5}$ 为卷积核长和宽； ${{\boldsymbol{b}}_5}$ 为 $c$ 维的偏置向量。这一层是对上一层卷积层的反卷积，将 ${n_4}$ 维特征矩阵恢复成 $H \times W \times c$ 高分辨杂波空时谱数据。

激活函数选取Relu, Relu作为非线性函数，可以使输出具有一定稀疏性，能够更好地挖掘数据潜在特征。损失函数采用MSE计算如式(11)，损失函数通过反向传播不断拟合低分辨空时谱到高分辨杂波空时谱的映射关系。

$L\left( {\boldsymbol{\varTheta}} \right) = \frac{1}{I}\sum\limits_{i = 1}^I {\left\| {{\boldsymbol{F}}\left( {{{\boldsymbol{Y}}_i};{\boldsymbol{\varTheta}} } \right) - {{\boldsymbol{Z}}_i}} \right\|_{\text{F}}^2}$

(11)

其中， $\left\| {\cdot} \right\|_{\mathrm{F}}^2$ 表示矩阵2范数，即所有元素平方和，I为CNN训练数据个数， ${\boldsymbol{\varTheta}} = \{ {{\boldsymbol{W}}_i},{{\boldsymbol{b}}_i}\}$ 为网络参数。数据重构过程表达为式(12)。网络模型结构如表1所示。

表 1 网络结构参数

网络层	卷积核	输出通道	填充方式	激活函数
Conv2D	$11 \times 11$	16	SAME	ReLU
Conv2D	$9 \times 9$	8	SAME	ReLU
Conv2D	$7 \times 7$	4	SAME	ReLU
Conv2D	$5 \times 5$	2	SAME	ReLU
Conv2D	$3 \times 3$	1	SAME	ReLU

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${\boldsymbol{Z}} = {\boldsymbol{F}}({\boldsymbol{Y}})$

(12)

3.2 高分辨杂波空时谱卷积神经网络训练

网络模型搭建完成以后，其参数均为初始化参数，要通过训练数据来实现参数更新。网络训练过程就是通过训练集来更新各层网络参数(卷积核中的权重及偏置)，本方法使用Adam^[19]算法更新网络权重参数，让每一层网络的参数，都根据反向传递到当前层的误差梯度和前一层的输入，在形式上表现为不断更新参数直至损失函数收敛并趋于稳定。卷积神经网络模型反向传播流程为

计算卷积层反向传播误差

$\delta _{m,n}^{(l - 1)} = {\delta ^{(l)}}\frac{{\partial {\boldsymbol{x}}_{m,n}^{(l)}}}{{\partial {\boldsymbol{x}}_{m,n}^{(l - 1)}}} = {\delta ^{(l)}} * {\text{rot}}180({\boldsymbol{W}}_{m,n}^{(l)}) \odot {\sigma {'}}({\boldsymbol{x}}_{m,n}^{(l - 1)})$

(13)

其中， ${\delta ^l}$ 为最后一层的误差， ${\text{rot}}180$ 表示卷积核旋转180°， ${\boldsymbol{W}}$ 为权重矩阵， $(m,n)$ 表示运算起始坐标， $x_{m,n}^{(l - 1)}$ 表示当前层输入量， ${\sigma ^{'}}$ 表示求偏导， $*$ 表示卷积运算。

计算卷积核权重梯度和偏置梯度

$\frac{{\partial E}}{{\partial {{\boldsymbol{\omega}} ^{(l)}}}} = {\delta ^{(l)}} * r{({\boldsymbol{x}}_{m,n}^{(l - 1)})^{\text{T}}},\frac{{\partial E}}{{\partial {{\boldsymbol{b}}^{(l)}}}} = \sum\limits_m {\sum\limits_m {{\delta ^{(l)}}} }$

(14)

计算1个批次内各权重梯度和偏置梯度之和，根据梯度下降法对权重和偏置进行更新

${{\boldsymbol{b}}}^{(l+1)}={{\boldsymbol{b}}}^{(l)}-\frac{\eta }{\text{batch}}{\displaystyle \sum \frac{\partial E}{\partial {{\boldsymbol{b}}}^{(l)}}}$

(15)

式中 $\eta$ 为学习率，batch为训练批次，将预先准备好的训练数据集输入网络模型，以更新卷积神经网络的卷积核，直到到达指定的迭代次数。经过训练各层卷积核的权重和偏置更新，神经网络输出结果不断趋近标签数据。网络模型训练参数如表2所示。

表 2 训练参数

训练参数	数值
损失函数	MSE
优化函数	Adam
学习速率	0.0001
Batch	4
Epoch	300

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网络模型参数的更新依赖训练数据集，训练数据集是由低分辨空时谱和高分辨杂波空时谱组成的空时谱数据集。输入数据是低分辨空时谱，利用少量样本估计的低分辨空时谱 ${\boldsymbol{Y}} \in {{{R}}^{{N_{\text{s}}} \times {N_{\text{d}}}}}$ 如式(16)， ${\hat {\boldsymbol{R}} _{{l}}}$ 为少量样本估计所得协方差矩阵；标签数据是高分辨杂波空时谱，采用最小无失真方差响应谱估计求取的高分辨杂波空时谱 ${\boldsymbol{Z}} \in {{{R}}^{{N_{\text{s}}} \times {N_{\text{d}}}}}$ 如式(16)， ${{\boldsymbol{R}}_{\text{h}}}$ 为仿真所得确知CCM，其中 ${\boldsymbol{\varPsi}} = [{{\boldsymbol{\omega}} _1},{{\boldsymbol{\omega}} _2}, \cdots ,{{\boldsymbol{\omega}} _{{N_{\text{s}}}{N_{\text{d}}}}}] \in {\mathbb{C}^{NM \times {N_{\text{s}}}{N_{\text{d}}}}}$ ( ${N_{\text{s}}},{N_{\text{d}}}$ 分别将空域和多普勒域离散化 ${N_{\text{s}}} \times {N_{\text{d}}}$ 个网格点， ${N_{\text{s}}} = {\rho _{\text{s}}}N,\;{N_{\text{d}}} = {\rho _{\text{d}}}K$ , ${\rho _{\text{s}}},{\rho _{\text{d}}}$ 为离散化因子，通常选取 $4{\text{～}}10$ ，本方法 ${\rho _{\text{s}}},{\rho _{\text{d}}}$ 均为8)为空时字典矩阵

$\left.\begin{aligned} & {\boldsymbol{Y}} = ({{\boldsymbol{\varPsi}} ^{\text{H}}}{\boldsymbol{X}}){({{\boldsymbol{\varPsi}} ^{\text{H}}}{\boldsymbol{X}})^{\text{H}}}/L \\ & \quad = {{\boldsymbol{\varPsi}} ^{\text{H}}}{\hat {\boldsymbol{R}} _l}{\boldsymbol{\varPsi}} \\ & {\boldsymbol{Z}} = \frac{1}{{{{\boldsymbol{\varPsi}} ^{\text{H}}}{{\boldsymbol{R}}_{\text{h}}}^{ - 1}{\boldsymbol{\varPsi}} }} \end{aligned}\right\}$

(16)

为了实现高分辨杂波空时谱估计的性能，需要大量的训练数据驱动各层参数的更新，为确保网络性能并提高预测准确性，必须对数据集进行扩充。在考虑到杂波仿真的过程中，幅相误差和杂波起伏分别在杂波空时域发生去相关，导致在空时谱平面出现展宽。除此之外，由于地貌影响，地面后向反射系数也会导致杂波功率发生改变。因此，需要进行上述3种情况下训练集仿真，参数设置如下：

杂波起伏由风速影响，通常假设杂波内部运动时频谱服从高斯分布，其中， $i = 1,2, \cdots ,K$ ， $K$ 表示脉冲个数， ${\sigma _v}$ 表示由风速引起的杂波谱展宽方差， ${{\boldsymbol{R}}_{\text{c}}}$ 是最大似然估计协方差矩阵， ${{\boldsymbol{E}}_{\text{t}}}$ 是一个对称的Toeplitz矩阵，杂波起伏情况下协方差矩阵如式(17)中 ${\hat {\boldsymbol{R}} _{{l}}}$ 。

$\begin{split} & {{\boldsymbol{R}}_{\text{c}}} = \frac{1}{L}\sum\limits_{i = 1}^L {{{\boldsymbol{x}}_i}{\boldsymbol{x}}_i^{\text{H}}} ,{{\boldsymbol{E}}_{\text{t}}}({k_i},{k_{i + 1}}) = {{\text{e}}^{ - \frac{{8{\pi ^2}\sigma _{{v}}^2}}{{{\lambda ^2}f_{\text{r}}^2}}{{({k_{i + 1}} - {k_i})}^2}}},\\ & {\hat {\boldsymbol{R}} _l} = {{\boldsymbol{R}}_{\text{c}}} \odot {{\boldsymbol{E}}_{\text{t}}}\\[-1pt] \end{split}$

(17)

幅相误差主要由阵元位置误差引起，误差矢量如

$\begin{split} & {{\boldsymbol{e}}_{\text{s}}} = (\begin{array}{*{20}{c}} {1 + {\varepsilon _n})} \end{array}{{\text{e}}^{{\text{j}}{\phi _n}}},{{\boldsymbol{e}}_{\text{t}}} = {\left( {\underbrace {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1& \cdots &1 \end{array}}_K} \right)^{\text{T}}},\\ & {{\boldsymbol{E}}_{\text{s}}} = {\boldsymbol{E}}(({{\boldsymbol{e}}_{\text{t}}} \otimes {{\boldsymbol{e}}_{\text{s}}}){({{\boldsymbol{e}}_{\text{t}}} \otimes {{\boldsymbol{e}}_{\text{s}}})^{\text{T}}}) \end{split}$

(18)

${{\hat{\boldsymbol{R}}_l}} = {{\boldsymbol{R}}_{\text{c}}} \odot {{\boldsymbol{E}}_{\text{s}}}$

(19)

${\varepsilon _n}$ 和 ${\phi _n}$ ( $n \in \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2& \cdots &N \end{array}} \right\}$ , $N$ 为阵元个数)分别表示幅度误差和相位误差。 ${{\boldsymbol{e}}_{\text{s}}},{{\boldsymbol{e}}_{\text{t}}}$ 分别表示空域矢量和时域矢量，由于幅相误差由阵元引起的，所以时域矢量保持不变。幅相误差矩阵计算如 ${{\boldsymbol{E}}_{\text{s}}}$ ，幅相误差情况下协方差矩阵如式(19)。

地面后向反射系数如式(20)

${\sigma ^0}\left( r \right) = \gamma \sin {\theta _{\text{g}}} + {\sigma _{{\text{0s}}}}\exp \left[ { - \frac{{{{\left( {\pi /2 - {\theta _{\text{g}}}} \right)}^2}}}{{\Delta \theta _0^2}}} \right]$

(20)

其中， ${\theta _{\text{g}}}$ 为擦地角， ${\sigma _{{\text{0s}}}}$ 为镜面反射系数， $\Delta {\theta _0}$ 为镜面反射区域角， $\gamma$ 表示地貌类型，地面后向反射系数^[20]直接作用于 ${\boldsymbol{x}}(l)$ ，地面后向反射情况下协方差矩阵 ${{\hat{\boldsymbol{R}}_l}} = {{\boldsymbol{R}}_{\text{c}}}$ 。

将上述制作的训练集输入待训练的卷积神经网络，在训练数据集的驱动下，各层网络参数利用Adma算法不断更新参数，待损失函数收敛并趋于稳定时，神经网络完成训练。

3.3 低空风切变风速估计

高分辨杂波空时谱卷积神经网络完成离线训练后即可应用于低空风切变杂波抑制，处理雷达回波数据，使其符合卷积神经网络的输入，经过训练后的高分辨杂波空时谱卷积神经网络得到高分辨杂波空时谱，则可估计高性能CCM，其中 ${a_q}$ 为高分辨杂波空时谱第 $q$ 个位置上的杂波功率强度。

${\boldsymbol{R}} = \sum\limits_{q = 1}^{{N_{\text{s}}} \times {N_{\text{d}}}} {{a_q}} {\boldsymbol{\varPsi}} \left( {{\theta _{{\text{s}},q}},{f_{{\text{d}},q}}} \right){\boldsymbol{\varPsi}} {\left( {{\theta _{{\text{s}},q}},{f_{{\text{d}},q}}} \right)^{\text{H}}}$

(21)

利用式(21)估计CCM，可以估计对应的空时自适应滤波器为

${{\boldsymbol{w}}_{{\text{d}}l}} = \mu {{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\boldsymbol{s}}$

(22)

式中， $\mu {\text{ = }}{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {({s^{\text{H}}}{R^{ - 1}}s)}}} \right. } {({{\boldsymbol{s}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\boldsymbol{s}})}}$ 。根据式(22)得到最优权矢量^[21]，利用 ${{\boldsymbol{w}}_{{\text{d}}l}}$ 进行杂波抑制，对抑制之后多普勒频率进行最大搜索

$\hat f_l^{} = \arg \max {\boldsymbol{\omega}} _{{\text{d}}l}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{x}}(l)$

(23)

第 $l$ 个距离单元的低空风切变风速估计结果为

${\hat v_l} = \frac{{\lambda \hat f_l^{}f_{\text{r}}^{}}}{4}$

(24)

4. 方法流程

基于卷积神经网络STAP的低空风切变风速估计方法流程图如下图3所示。

图 3 基于卷积神经网络STAP的低空风切变风速估计方法流程图

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本文提出卷积神经网络STAP方法可以实现小样本情况下杂波抑制，主要步骤如下：

步骤1　处理雷达回波数据，使其符合高分辨杂波空时谱卷积神经网络的输入。

步骤2　将步骤1得到的数据输入经训练高分辨杂波空时谱卷积神经网络，获得高分辨杂波空时谱。

步骤3　利用高分辨空时谱上各网点杂波功率强度计算杂波协方差矩阵，并计算卷积神经网络STAP最优权矢量，进而实现杂波抑制。

步骤4　杂波抑制之后即为风切变风速信号多普勒频率，对其进行最大值搜索后得到风速估计结果。

5. 仿真结果及分析

5.1 仿真条件描述

低空风切变场仿真场景位于载机前方12.5 km处，风场的水平风速范围为–50～50 m/s，杂波起伏对应的功率谱展宽方差 $\sigma _v^2 = 0.02$ ，幅相误差 ${\varepsilon _n} = 0.04,\;{\phi _n} = 0.02$ ，地面后向散射系数中漫反射系数 $\gamma =0.05,{\sigma }_{\text{0s}}\text{=}12,\;\Delta {\theta }_{0}^{2}\text{=}{4}^{\circ }$ ，具体参数如表3所示。

表 3 雷达仿真具体参数

参数	参数值	参数	参数值
载机高度(m)	600	阵元数	8
波长(m)	0.05	相干脉冲数	64
脉冲重复频率(Hz)	7000	杂噪比(dB)	30～60
载机速度(m/s)	75	信噪比(dB)	5
距离分辨率(m)	150	主瓣角度(°)	(90,0)

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5.2 仿真结果分析

图4为3种误差情况下空时2维谱。从图4(d)中可以看出，地杂波回波信号在空时域呈半椭圆形稀疏分布；图4(e)、图4(f)是由于幅相误差和杂波起伏导致空时域去相关，引起地杂波回波信号在空时域中发生展宽。图4(a)-图4(c)图均为各误差情况下低分辨空时谱，可以看出由于样本数太少，无法准确估计高分辨空时谱。图4(d)-图4(f)图均为对应情况下高分辨杂波空时谱，利用最大似然估计准则得到标签数据。

图 4 3种误差情况下空时2维谱

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图5为卷积神经网络训练和验证时损失函数曲线，从图中可以看出随着训练数据增加，训练集稳定收敛于一个较小值，证明模型训练参数稳定；验证集稳定收敛于一个较小值，证明了模型的泛化效果，模型训练完成。

图 5 损失函数曲线

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图6为小样本情况下计算的低分辨空时谱，可以看出小样本情况下难以准确估计高分辨杂波空时谱，图7为通过神经网络估计出来的高分辨杂波空时谱，可以证明在小样本时利用训练后的卷积神经网络可以较好恢复高分辨杂波空时谱。

图 6 小样本情况下低分辨杂波空时谱

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图 7 基于卷积神经网络估计高分辨杂波空时谱

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如图8为卷积神经网络STAP, OMP STAP^[22], SBL STAP^[23]和Focuss STAP^[24]，传统STAP方法用4个IID样本时的风速估计结果对比。如表4所示，在IID样本极少情况下，传统STAP, OMP STAP和SBL STAP由于缺少足够的IID样本难以准确估计风速，出现误差，而本文提出的卷积神经网络STAP依然可以准确估计风速。Focuss STAP虽然可以较好估计风速，但其运算复杂度高于卷积神经网络STAP，如表5所示。因此，这突显了本文方法在小样本情况下的有效性，为风速估计提供更可靠和精确的解决方案。

图 8 不同方法的低空风切变风速估计对比

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表 4 不同方法误差比较

方法	均方根误差(m/s)
STAP	29.3629
OMP STAP	14.9378
SBL STAP	11.0052
Focuss STAP	2.1438
卷积神经网络STAP	1.1618

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卷积神经网络模型的前期训练过程需要较多的时间，但在实际运行时速度很快，计算方式不依靠迭代更新参量，省去迭代运行时间，训练好的网络只需要进行简单矩阵运算，即可实现高分辨空时谱估计。下式为卷积神经网络运算复杂度公式

$O\left( {\sum\limits_{l = 1}^L {f_l^3} \left( {{N_{\text{s}}} - {f_l} + 1} \right)\left( {{N_{\text{d}}} - {f_l} + 1} \right){n_l}} \right)$

(25)

其中， $L$ 表示网络模型层数， ${f_l}$ 为卷积层核维度， ${n_l}$ 为卷积核个数。结合本文神经网络模型参数计算，结果即为该网络运算复杂度，为5种方法运算复杂度结果对比图，所用CPU配置为3.4 GHz Intel(R) Core(TM) i7-6700。其中， ${k_{{\mathrm{OMP}}}}$ , ${k_{{\mathrm{SBL}}}}$ 和 ${k_{{\mathrm{Focuss}}}}$ 分别表示迭代次数。从表5中可以看出OMP STAP, SBL STAP, Focuss STAP运算量相比于卷积神经网络STAP 运算量高了4个量级，可表明卷积神经网络STAP计算复杂度更低。

表 5 不同方法运算复杂度对比

方法	运算复杂度
STAP	$O(2NM{({N_{\rm s}}{N_{\rm d}})^3})$
OMP STAP	$O((NM{N_{\rm s}}{N_{\rm d}}) + {(NM)^3} + {(NM)^3}{N_{\rm s}}{N_{\rm d}} + 2NM{({N_{\rm s}}{N_{\rm d}})^2}{k_{{\mathrm{OMP}}}})$
SBL STAP	$O((NM{N_{\rm s}}{N_{\rm d}}) + {(NM)^3} + 3{(NM)^3}{N_{\rm s}}{N_{\rm d}} + 2NM{({N_{\rm s}}{N_{\rm d}})^2}{k_{{\mathrm{SBL}}}})$
Focuss STAP	$O((NM{N_{\rm s}}{N_{\rm d}}) + {(NM)^3} + 2{(NM)^2}{N_{{\mathrm{s}}}}{N_{{\mathrm{d}}}} + NM{({N_{\rm s}}{N_{\rm d}})^2}{k_{{{\mathrm{Focuss}}}}})$
卷积神经网络STAP	$O(28777{N_{{\mathrm{s}}}}{N_{{\mathrm{d}}}})$

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表6给出在本文设定参数情况下，STAP, OMP STAP, SBL STAP, Focuss STAP和卷积神经网络STAP计算运行时间，运行时间表示估计单个距离单元空时谱运行时间。从表6可以看出，其他四个方法耗时时间多于卷积神经网络在线运行时间。尽管卷积神经网络STAP的离线运算时间相对较长，但其是离线训练，不会对实时谱估计的计算造成影响。因此，本文方法在小样本情况下进行空时谱估计是可行的。

表 6 不同方法在线运行时间对比

方法	在线时间(s)
STAP	64
OMP STAP	578
SBL STAP	50
Focuss STAP	14
卷积神经网络STAP	5

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6. 结束语

本文将卷积神经网络中的数据重构算法引入机载气象雷达空时自适应处理STAP中，实现非均匀情况下小样本杂波抑制。该方法通过将小样本得到的低分辨空时谱输入经过训练的卷积神经网络，借助神经网络估计高分辨杂波空时谱，通过高分辨杂波空时谱可以计算准确杂波协方差矩阵，随后计算空时自适应滤波器最优权矢量进行杂波抑制并估计风速。实验证明，在小样本情况下仍能较好的估计高分辨杂波空时谱，并且运算量小，且可以准确估计风速，为机载气象雷达在实际应用提供更为灵活和高效的解决方案。

N. D. Lang and W. Kohn, Phys. Rev. B, 1(1970), 4555.[2]N. D. Lang and W. Kohn, ibid., 3(1971), 1215.[3]N. E. Lang, ibid., 4(1971), 4234.[4]H. Krakauer, M. Posternak and A. J. Freeman, Bull. Am. Phys., 23(1978), 258.[5]H. Krakauer, and M. Posternak, Phys. Rev. B, 19(1979), 1706.[6]M. Posternak and H.Krakauer, ibid., 21(1980), 5601.[7]Wang Dingsheng, A. J. Freeman and H. Krakauer, ibid., 24(1981), 3092.[8]O. K. Anderson, ibid., 12(1975), 3060.[9]D. D. Knelling and G. O. Arbman, J. Phys. F, 5(1975), 2055.[10]L. W. Swanson and R. W. Strayer, J. Chem. Phys.,48(1968), 2421.[11]R. W. Strayer, W. Mackie and L. N. Swanson, Surf. Sci. 34(1973), 225.[12]私人通讯.[13]S. L. Cunningham, Phys. Rev. B, 10(1974), 4998.

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