1.   引言

极化反映了电磁波的矢量性，作为电磁波的基本参量之一，极化信息的利用可显著提高雷达的探测性能。自20世纪50年代诞生以来，极化雷达在导弹防御、地理信息遥感、气象监测等方面的表现日益突出，成为微波感知领域的重要力量^[1-4]。近年来，数字任意波形发生器、固态发射机以及高速信号处理硬件等先进技术的大力发展，促使现代雷达系统能够摆脱传统固定波形的束缚，取而代之的是采用更加灵活的波形设计，从而适应不同目标和环境的变化。通过对波形进行优化，雷达根据当前照射得到的目标和干扰知识，优化调整下一次波形的发射参数，提高其在目标检测、参数估计以及抗干扰等方面的性能。在雷达学术界，雷达波形优化/设计已经成为包括多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷达和认知雷达在内的多种新体制雷达的重要研究方向之一^[5-7]。

虽然从数学模型上看，全极化雷达可看作具有两个发射通道和两个接收通道的集中式MIMO雷达^[8]，但全极化雷达利用电磁波的矢量性，挖掘目标和干扰在极化特性上的差异，所以有着和MIMO雷达不同的特异性，因此，需要开展全极化雷达波形设计的专门研究。在这方面，提高滤波器输出的信干噪比(Signal Interference-plus-Noise Ratio, SINR)是其中具有典型意义的代表性工作。特别地，针对发射波形功率约束的信号相关杂波背景中波形优化问题，文献[9]从最大化SINR的角度，提出了一种发射波形-接收滤波器联合优化设计方法(以作者姓氏命名，称为Pillai方法)。由于文献[9]提出的迭代方法不具有收敛性，文献[10]提出了一种新的迭代优化算法(称为Chen方法)，实现了目标函数的单调递增和收敛性。文献[11]和文献[12]则分别研究了波形在能量和峰值旁瓣比、能量和频谱耦合度双重约束条件下的最优波形设计问题，所提出的数值优化方法均能保证优化结果的收敛性。

不难理解，单纯给发射波形施加能量约束，而不施加其他条件限制，将无法保证波形在距离分辨率、峰值旁瓣比和模糊函数等方面的特性，而通过对待优化波形施加相似性约束条件可以较好地解决这一问题，也就是使得待优化波形与一个具有优良属性(比如恒定幅度、合适的距离分辨率和峰值旁瓣比)的已知波形保持一定相似度。为此，除能量约束之外，本文对发射波形施加相似性约束，研究相应的发射波形和接收滤波器联合优化方法。将提出一种发射信号和接收滤波器迭代优化流程(算法)，该流程逐次改善滤波器输出SCNR。采用实测目标数据设计的实验证实本文方法的有效性，结果表明，通过共同优化发射端和接收端，可以获得显著的SCNR改善。

2.   系统模型

考虑雷达系统发射全极化波形${{{s}}}$，在快时间域，上述波形经$N$次数字采样后为式(1)所示的$2N$维复矢量

其中，符号$\triangleq$表示“定义为”，符号“${\rm{H}}$”和“${\rm{V}}$”分别表示水平极化和垂直极化，$(\cdot)^{\rm{T}}$为矩阵转置操作。

当给定视线角为$\theta$，距离单元为$n$时，全极化目标散射矩阵${{{T}}}_n\left(\theta\right)$为目标脉冲响应矩阵(Target Impulse Response Matrix, TIRM)的一部分，即有

其中，$T_{XY,n}(\theta)$表示当雷达相对目标视线角度为$\theta$、发射极化为“$Y$”、接收极化为“$X$”($X,Y\in\{{\rm{H}},{\rm{V}}\}$)时目标第$n$个距离单元的复散射系数。相似地

为杂波的第$n$个距离单元极化散射矩阵。

取TIRM的支撑区间长度为$Q$^①，回波观测样本数目为$M$，令$M=Q+N-1$，以使目标的回波信息在一次雷达接收中完全采样。则TIRM和杂波的脉冲响应矩阵(Clutter Impulse Response Matrix, CIRM)分别表示为^[9]

其中，符号“$\otimes$”表示Kronecker乘积，${{J}}_n$为$M\times N$维转移矩阵，即

将接收回波样本放入$2M$维矢量${{r}} \buildrel \Delta \over = \left[ \left(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{{r_{{\rm{H}},{\rm{0}}}},{r_{{\rm{V}},{\rm{0}}}}}\end{array}} \!\!\right),$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{r_{{\rm{H}},{\rm{1}}}},{r_{{\rm{V}},{\rm{1}}}}}\end{array}} \right), ··· ,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{r_{{\rm{H}},M - 1}},{r_{{\rm{V}},M - 1}}}\end{array}} \right) \right]^{\rm{T}}$_，则全极化雷达回波信号为

其中，$\alpha_{{\rm{T}}}$是雷达方程等决定的(已知)复系数，${{c}}$为(发射波形相关)杂波矢量，${{v}}$为$2M$维加性噪声矢量，有${{v}} \buildrel \Delta \over = \left[ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_{{\rm{H}},{\rm{0}}}},{v_{{\rm{V}},{\rm{0}}}}} \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_{{\rm{H}},{\rm{1}}}},{v_{{\rm{V}},{\rm{1}}}}} \end{array}} \right), ··· , \left( {v_{{\rm{H}},M - 1}},$${v_{{\rm{V}},M - 1}} \right) \right]^{\rm{T}}$_。

对于噪声的统计特性，取复噪声矢量${{v}}$是均值为0(即${\mathbb{E}}[{{v}}]={{\textit{0}}}$)、2阶协方差矩阵等于${{M}}_{{{v}}}=\sigma_v^2{{I}}$的圆对称矢量，其中$\sigma_v^2$为单个极化通道的噪声功率。对于杂波的统计特性，首先，根据互易性定理有$C_{{\rm{HV}},n}=C_{{\rm{VH}},n},~n\in\{-N+1,-N+2,···,M-1\}$；其次，对于单个距离单元$n$，假定杂波的均值为0，即${\mathbb{E}}[{{C}}_n]={{\textit{0}}}$，于是有${\mathbb{E}}[{{C}}]={{\textit{0}}}$。此外，定义第$n$个距离单元“$j$”极化通道杂波和第$n'$个距离单元“$k$”极化通道杂波的相关系数为

不难看出，式(7)表征了杂波在极化域和距离域两个维度的相关性。

将式(5)进一步展开得到${{C}}=\displaystyle\sum\nolimits_{n=-N+1}^{M-1}\left[{{C}}_{{\rm{HH}},n}$${{J}}_n \otimes{{A}}_1+ C_{{\rm{HV}},n}{{J}}_n\otimes{{A}}_2+C_{{\rm{VV}},n}{{J}}_n\otimes{{A}}_3\right]$，其中${{{A}}_1} \buildrel \Delta \over = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&0 \end{array}} \right]$, ${{{A}}_2} \buildrel \Delta \over = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]$, ${{{A}}_3} \buildrel \Delta \over = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&1 \end{array}} \right]$。又记$\{ 1,2,3\} \buildrel \Delta \over = \{ {\rm{HH}},{\rm{HV}},{\rm{VV}}\}$，则$2M\times 2M$维杂波协方差矩阵为

其中，$\sigma_n$，$\epsilon_n$和$\chi_n$为引入文献[8]中的参数，分别有$\sigma_{n}\triangleq$$\mathbb{E}[|C_{{{\rm{HH}}},n}|^2],~\epsilon_{n}\triangleq\dfrac{\mathbb{E}[|C_{{{\rm{HV}}},n}|^2]}{\mathbb{E}[|C_{{{\rm{HH}}},n}|^2]},~\chi_{n}\triangleq\dfrac{\mathbb{E}[|C_{{{\rm{VV}}},n}|^2]}{\mathbb{E}[|C_{{{\rm{HH}}},n}|^2]}$。

3.   问题描述

首先，$2M$维接收矢量${{r}}$包括目标回波$\alpha_{{\rm{T}}}{{T}}(\theta){{s}}$、系统噪声${{v}}$和信号相关杂波${{C}}{{s}}$，则将${{r}}$经过滤波器${{w}}\triangleq [w(0),w(1),···,w(2M-1)]^{{\rm{T}}}$处理的输出为$y = {{w}}^\dagger{{r}}=\alpha_{{\rm{T}}}{{w}}^\dagger{{T}}(\theta){{s}} + {{w}}^\dagger{{C}}{{s}}+{{w}}^\dagger{{v}}$，相应的SCNR为

约束条件方面，要求发射波形满足功率和相似性双重约束。功率约束方面，不失一般性，取$\|{{s}}\|^2=1$，其中$\|\cdot\|$表示Frobenius范数。相似性约束方面，令$\|{{s}}-{{s}}_0\|\leq \gamma$_，其中$\gamma$为相似性参数，它给定了相似度的可行域，${{s}}_0$为满足$\|{{s}}_0\|^2=1$的给定已知波形。不难发现，$\gamma\leq 2$，且$\gamma=2$对应于无相似性约束的情形。

综上，在发射波形的功率和相似性约束下，以最大化滤波器输出SCNR为准则的波形和滤波器联合优化问题归结为

其中由于不影响优化问题的求解，式(10)的目标函数部分省去了式(9)中的常数项$|\alpha_{{\rm{T}}}|^2$。

然而，由于式(10)的目标函数是非凸函数，约束条件是非凸集，因此${\cal{P}}$是一个非凸优化问题。在继续求解${\cal{P}}$之前，给出引理1如下(证明过程可通过套用文献[13]第2章定理2得到，限于篇幅，不再赘述)。

引理1　优化问题${\cal{P}}$可解且对于任意$\gamma$, ${\cal{P}}$等价于

其中，$\Re\left(\cdot\right)$指取实部操作。换句话说，给定问题${\cal{P}}$的最优解，可以相应得到${\cal{P}}_1$的解，反之亦然。

可以看出，由于目标函数非凸，所以${\cal{P}}_1$依然是一个非凸优化问题。但与${\cal{P}}$不同的是，问题${\cal{P}}_1$的目标函数是准凹(quasi-concave)的，且其约束条件为凸集。

4.   迭代方法求解问题${\cal{P}}$

虽然对$\cal{P}$进行了变形，但直接求解问题$\cal{P}_1$仍无从下手。针对这一情形，本文提出一种迭代求解方法，即迭代优化式

具体来说，若已知第$m-1$步接收滤波器的最优解${{w}}^{(m-1)}$，则搜索第$m$步雷达发射波形${{s}}^{(m)}$使得函数$g({{s}},{{w}})$最大；一旦解得${{s}}^{(m)}$，搜索第$m$步滤波器${{w}}$的解${{w}}^{(m)}$使得函数$g({{s}},{{w}})$最大，以此类推。整个迭代优化的起点为${{s}}_0$，即令${{s}}^{(0)}={{s}}_0$。从解析的角度看，${{s}}^{(m)}$和${{w}}^{(m)}$分别是优化问题

以及

的解。已经证明^[14]，上述循环迭代流程的结果具有单调不减性质，也就是说，迭代过程每一步的输出SCNR均大于等于上一步的输出结果。另外，需要说明的是，上述迭代方法求解得到的最优解是全局最优的^[15]。根据上述迭代求解方法，下面将分别求解优化问题${\cal{P}}_{{{s}}^{(m)}}$和${\cal{P}}_{{{w}}^{(m)}}$，接着给出完整的问题${\cal{P}}_1$求解方案。

4.1   接收滤波器优化：解优化问题${\cal{P}}_{{{w}}^{(m)}}$

对于优化问题${\cal{P}}_{{{w}}^{(m)}}$，已经证明，其解为如下形式的Capon滤波器^[16]，即

可以看出，接收滤波器${{w}}^{(m)}$与发射波形${{s}}^{(m)}$和目标散射矩阵${{T}}\left(\theta\right)$相关。

4.2   发射波形优化：解优化问题${\cal{P}}_{{{s}}^{(m)}}$

为解问题${\cal{P}}_{{{s}}^{(m)}}$，基于分式规划(Fractional Programming, FP)相关知识，首先给出定理1^[17]。

定理1　令${\cal{X}}\subseteq \mathbb{C}^N$为凸紧集，函数$f({{x}})$为定义在${{x}}\in{\cal{X}}$上的非负凹函数，$g({{x}})$为${{x}}\in{\cal{X}}$上的凸函数且$g({{x}})\geq 0$，则分式规划问题

可解，且其解可通过算法1给出的Dinkelbach算法求得，见表1。

表 1  算法1：Dinkelbach算法求解${\cal{P}}_{\rm{FP}}$

已知：${\cal{X}}\subseteq \mathbb{C}^N$, $f({{x}})$和$g({{x}})$

求：优化问题${\cal{P}}_{\rm{FP}}$的解${{x}}^\star$

(1) 令$m=0,~\lambda_m=0$；

(2) 重复

(3)　　　计算${{x}}_m^\star= \arg \displaystyle{\max_{{{x}}\in {\cal{X}}}}\left\{f({{x}})-\lambda_m g({{x}})\right\}$；

(4)　　　$F_{\lambda}=f({{x}}_m^\star)-\lambda_m g({{x}}_m^\star)$；

(5)　　　$m=m+1$；

(6)　　　$\lambda_m=\dfrac{f({{x} }_m^\star)}{g({{x} }_m^\star)}$；

(7) 直到 $F_\lambda=0$；

(8) 输出 ${{x}}^\star={{x}}^\star_m$。

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需要说明的是，算法1具有线性收敛率^[17]，且对于每一步迭代，它只要求求解一个计算量为多项式时间的凸问题。另外，实际计算时，退出条件$F_\lambda=0$采用$F_\lambda\leq\eta$，其中$\eta$为足够小的预设值。

然后，可以证明，问题${\cal{P}}_{{{s}}^{(m)}}$属于上述${\cal{P}}_{\rm{FP}}$问题。

证明　首先，根据文献[10]式(20)，有${{w}}^\dagger{{M}}_{{{c}}}({{s}}){{w}}+\sigma_v^2{{w}}^\dagger{{w}}={{s}}^\dagger\left(\bar{{{M}}}_{{{c}}}({{w}})+\sigma_v^2{{w}}^\dagger{{w}}{{I}}\right){{s}}$。其中${\bar{{M}}}_{{{c}}}({{w}})$为与${{M}}_{{{c}}}({{s}})$相似的对称结构。于是，式(13)可以等价变形为

不难看出，式(17)中目标函数的分子为变量${{s}}$的仿射函数，因此是${{s}}$的凹函数。又因分母部分中，矩阵$\left(\bar{{{M}}}_{{{c}}}({{w}}^{(m-1)})+\sigma_v^2\|{{w}}^{(m-1)}\|^2{{I}} \right)$是Hermit矩阵，且对于任意${{s}}\neq{\bf{0}}$，有${{s}}^\dagger\left(\bar{{{M}}}_{{{c}}}({{w}}^{(m-1)})+\sigma_v^2\|{{w}}^{(m-1)}\|^2{{I}} \right)$${{s}}>0$，因此上述Hermit矩阵是正定的。于是，该Hermit矩阵可以等价表示为$\left(\bar{{{M}}}_{{{c}}}({{w}}^{(m-1)})$$+ \sigma_v^2\|{{w}}^{(m-1)}\|^2{{I}} \right)\triangleq{{B}}^\dagger{{B}}$，则有${{{s}}}^\dagger\left(\bar{{{{M}}}}_{{{{c}}}}\left({{{w}}}^{(m-1)}\right)$$+\sigma_v^2{{{w}}}^{(m-1)\dagger}{{{w}}}^{(m-1)}{{{I}}}\right){{{s}}}=({{B}}{{{s}}})^\dagger{{B}}{{{s}}}$。这样，上述目标函数的分母可看作$2N$维矢量${{B}}{{s}}$的范数，进而它是凸的。

又${\cal{P}}_{{{s}}^{(m)}}$的可行域为凸紧集。这样一来，目标函数和可行域与定理1的${\cal{P}}_{\rm{FP}}$一致，于是，${\cal{P}}_{{{s}}^{(m)}}$可以通过算法1求解。证毕

最终，${\cal{P}}_{{{s}}^{(m)}}$可以通过算法1求解。

4.3   发射-接收联合优化：完整迭代流程

在完成了对${\cal{P}}_{{{w}}^{(m)}}$和${\cal{P}}_{{{s}}^{(m)}}$的求解之后，结合本节一开始对迭代方法的描述，这里给出发射波形和接收滤波器联合优化的完整迭代流程，如算法2所述，见表2。

表 2  算法2：发射波形-接收滤波器联合优化算法

已知：$\sigma_v^2$, $\Big\{(r_{ij}(n,n'),\sigma_n,\epsilon_n,\chi_n),$$\{i,j\}\in\{1,2,3\},\{n,n'\}=$$-N+1,···,M-1\Big\}$, ${{T}}(\theta)$, ${{s}}_0$, $\gamma$和$\zeta$

求：优化问题$\cal{P}$的解$\left({{s}}^\star,{{w}}^\star\right)$

(1) 令$m:=0,{{s}}^{(m)}={{s}}_0$，代入式(15)得到${{w}}^{(0)}$，对应${\rm{SINR}}^{(0)}=\left(g\left({{s}}_0, {{w}}^{(0)}\right)\right)^2$；

(2) 重复

(3)　　　　$m:=m+1$；

(4)　　　　采用算法1解${\cal{P}}_{{{s}}^{(m)}}$得到第$m$步的最优发射波形 　　　　　　　　 ${{s}}^{(m)}$；

(5)　　　　将${{s}}^{(m)}$代入式(15)得到第$m$步的最优接收滤波 　　　　　　　　 器${{w}}^{(m)}$；

(6)　　　　计算${\rm{SINR}}^{(m)}=\left(g\left({{s}}^{(m)}, {{w}}^{(m)}\right)\right)^2$；

(7)　　　直到$|{\rm{SCNR}}^{(m)}-{\rm{SCNR}}^{(m-1)}|<\zeta$；

(8)　　　输出${{s}}^\star={{s}}^{(m)}$, ${{w}}^\star={{w}}^{(m)}$。

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计算量方面，算法2的计算量与外层迭代次数$\bar{N}$和每一步迭代所需计算量有关。具体来说，外层计算量与迭代次数$\bar{N}$呈线性关系，而对于每一步迭代，它包括计算协方差项$\left({{M}}_{{{c}}}\left({{s}}^{(m)}\right)+\sigma_v^2\|{{s}}^{(m)}\|^2{{I}}\right)^{-1}$和求解算法1，前者复杂度在3.2节已分析，后者复杂度与内层迭代次数呈线性关系。对于每一步迭代，其复杂度对应于解2阶锥问题的复杂度，为$O\left((2M)^{3.5}\lg(1/\eta)\right)$^[18]。

5.   性能验证

采用佐治亚理工学院公开的T-72坦克^②全极化雷达实测数据作为目标特性数据，有关目标的详细信息可参见文献[13]第2章。在本文仿真中，取$|\alpha_{{\rm{T}}}|^2=1$，随机取雷达俯仰角为31.64°，TIRM的支撑区间^②取$Q=37$，为方便接下来设定杂波和噪声功率水平，对目标散射矩阵进行归一化处理，即

其中，$\bar{{{T}}}_n(\theta)$和${{T}}_n(\theta)$分别表示归一化前和归一化后的目标散射矩阵。发射波形长度$2N=60$，初始发射波形${{s}}_0$的H和V极化分量均取式(19)的线性调频信号

算法1的精度控制参数取$\eta=10^{-6}$，算法2的退出条件门限取$\zeta=10^{-3}$。此外，凸优化问题的求解采用Matlab CVX工具包。

杂波参数采用文献[8]报道的草地杂波参数，即$\epsilon_n=\epsilon=0.19$, $\chi_n=\chi=1.03$和$\rho_n=\rho=0.52$。杂波和噪声功率$\sigma_n$, $\sigma_v^2$分别根据信噪比(Signal Noise Ratio, SNR)和杂噪比(Clutter Noise Ratio, CNR)确定，其定义分别为

其中，$\Big [\mathbb{E}[{{C}}_n{{C}}_n^\dagger]\Big]|_{\sigma_n=1}$表示$\sigma_n=1$时的统计平均值。在整个仿真过程中，取SNR=5 dB, CNR=10 dB。最后，有不同距离单元杂波间相互独立。下面从几个不同角度检验本文方法的性能。

5.1   算法的收敛性

随机取目标相对雷达方位角^③$\theta_0=26.4^\circ$和$116.3^\circ$，图1描述了滤波器输出SCNR随算法2迭代次数的变化曲线，其中图1(a)、图1(b)分别对应方位角$\theta_0=26.4^\circ$和$116.3^\circ$，而每个图中又包括$\gamma$对应于0.01, 0.10, 0.50和1.00的4条曲线。根据图1(a)和图1(b)可以看出，随着迭代次数的增加，本文方法单调增加SCNR。而$\gamma$越大，输出SCNR值越大，这是由于$\gamma$值的增加提高了目标函数的可行域，这证实了本文方法的有效性。

图 1  信杂噪比随迭代次数的变化曲线

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5.2   发射波形模糊度函数

取目标相对雷达方位角$\theta_0=116.3^\circ$，如图2给出了经优化后水平极化通道发射波形的模糊度函数幅度图，其中图2(a)、图2(b)、图2(c)和图2(d)分别对应于相似性参数$\gamma$为0(即未作优化处理，${{s}}={{s}}_0$), 0.1, 0.5和1.0时的结果。与5.1节结果相反，随着$\gamma$的增加，其波形的模糊度函数的主峰越来越弱，纯度越来越低，而杂散分量越来越多(垂直极化通道的结果也呼应上述情形)。这是由于随着$\gamma$的增加，虽然输出SCNR的值提高，但是因为发射波形的约束降低，所以偏离原模板波形程度更高，造成原模板波形所固有的一些特性丢失。因此，在实际工程中，需要综合权衡SCNR提高和波形特性损失之间的折中。

图 2  经优化后的全极化雷达水平极化通道发射波形模糊度函数幅度图

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5.3   与现有算法的性能比较

对本文方法和现有其他方法进行性能比较。定义

为名义方位角等于$\theta_\triangle$时(此时雷达发射波形取对应$\theta_\triangle$的最优发射波形${{s}}_\triangle$，接收滤波器为对应最优接收滤波器${{w}}_\triangle$)，实际方位角$\theta$处的接收SCNR值。令$\theta_\triangle=26.4^\circ$, $\theta\in [25.9^\circ,26.9^\circ]$，选用Pillai方法、Chen方法，对比它们与本文方法之间的性能。如图3所示给出不同方法的滤波器输出SCNR随方位角$\theta$的变化曲线，其中本文方法分别给出相似性约束参数$\gamma=0.01,0.10$和0.50的结果(Pillai方法和Chen方法仅有波形能量约束，等价于取$\gamma=2.0$)。

图 3  本文方法和Pillai方法、Chen方法的性能对比结果

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可以看出，由于不能保证算法的收敛性，Pillai方法的性能明显不及Chen方法，而由于施加了相似性约束，本文方法的输出SCNR均小于Chen方法，结合5.2节的结果，不难得出，施加相似性约束实现了输出SCNR与优化波形特性之间的折中，这也印证了本文最初的设定。另外，随着相似性参数$\gamma$值的提高，输出SCNR的水平也相应升高，这是因为，$\gamma$越大，相似性约束越宽松。值得一提的是，当$\gamma=0.5$时，SCNR水平已逼近没有相似性约束的情形。最后，当实际方位角$\theta$偏离名义方位角$\theta_\triangle$时，可以看到显著的SCNR性能下降，这表明，高分辨条件下全极化雷达目标特性敏感于实现角的改变。

6.   结论

以最大化全极化雷达的输出SCNR为优化准则，本文研究了发射波形的能量约束和相似性约束双重约束下，全极化雷达的发射波形和接收滤波器联合优化问题。提出了一种发射波形-接收滤波器的迭代优化方法。通过解算，最优接收滤波器具有Capon滤波器结构，最优发射波形的设计通过采用Dinkelbach算法解一个典型的分式规划问题求解。在实验环节，通过采用实测目标数据验证了本文算法的有效性，证实了波形优化可提高雷达的输出SCNR，但同时也展示了其对雷达波形在模糊度函数方面的不利影响，强调了在实际工程中，要折中考虑上述因素。最后对比了本文方法和其他两种方法的性能，印证了本文方法的初始的设计考虑。