ORIENTED ZEROTREE WAVELET-BASED FRACTAL IMAGE CODING

1.   引言

混沌系统的伪随机性和对初始值的敏感性使其在多媒体信息安全领域受到广泛关注。例如，在信道开放的通信系统中，利用混沌同步技术处理传输数据，可防止非法窃听引起的信息泄露；在图像或视频加密中，使用基于混沌系统构建的加密算法加密图像或视频，具有比传统的DES和AES加密算法更快的加密速度和更高的安全性^[1]。具有复杂动力学行为且电路实现复杂度低的混沌系统是混沌加密应用的关键。

在Chua系统^[2]、Jerk系统^[3]、广义Lorenz系统^[4]中引入非线性函数使系统的平衡点发生扩展，可形成多涡卷吸引子，从而得到多涡卷吸引子混沌系统。相较于原混沌系统，多涡卷吸引子混沌系统的动力学行为和结构更为复杂，在安全加密领域中更有优势^[5]。多涡卷系统具有自治和非自治两种类型，其中自治多涡卷系统的控制函数主要为阶梯函数^[6]、饱和函数^[7]、多级双曲正切函数^[8]等不含时间的非线性函数，而自治多涡卷系统主要有3个问题：(1)非线性函数缺乏一般性，即产生不同的多涡卷系统需要不同类型的非线性函数；(2)非线性函数有多个参数需要确定，且各参数相互作用，致使控制较为复杂；(3)系统电路实现复杂度随涡卷数量增加而增大。利用非自治的脉冲控制方法可有效解决问题(1)和问题(2)。例如，文献[9]提出了一种基于脉冲控制设计多方向多涡卷吸引子的方法，该方法具有通用性，可应用于任意混沌系统而无需重构非线性函数。文献[10]在Sprott C系统的基础上提出了一种基于多逻辑电平脉冲生成平移多涡卷吸引子的方法，分析表明基于脉冲控制的多涡卷系统具有恒定Lyapunov指数。文献[11]基于sigmoid函数设计了一种多逻辑电平脉冲函数，sigmoid函数使系统平衡点变化变得连续。文献[12]提出了一种基于分段函数的多层嵌套混沌吸引子设计方法，将分段函数引入到Chua系统，产生多层嵌套的多涡卷吸引子。这些方法的优势是无需重构非线性函数，但缺点是涡卷数量越多，需要叠加的脉冲数量越多，这增大了系统电路实现的复杂度，给系统的硬件实现带来了较大的困难。

针对此问题，本文设计了一个Logistic电平脉冲函数，利用Logistic映射的周期分岔和混沌产生多逻辑电平脉冲和随机电平脉冲。然后，采用非自治的脉冲控制方法将Logistic电平脉冲函数作为控制函数引入到Lorenz系统，得到一个具有复杂动力学行为的新的多涡卷吸引子混沌系统，其动力学分析表明Logistic电平脉冲函数有效地提高了混沌序列的复杂度。FPGA实验结果表明系统电路可在不改变RTL代码的情况下仅通过修改控制参数即可产生不同的多涡卷吸引子，并且不改变系统电路实现的复杂度，而已有的多涡卷系统难以做到这一点。最后，设计了一种将此多涡卷系统应用于图像加密的方案，对其进行了NIST随机特性测试、密钥敏感性分析和结构相似度分析。结果表明，与Lorenz系统相比，此多涡卷系统具有更多的敏感性参数，应用于图像加密时密钥空间更大，更能有效抵抗穷举攻击。

2.   Logistic电平脉冲函数

一般使用阶梯函数、饱和函数、多逻辑电平脉冲函数等非线性函数作为多涡卷混沌系统的控制函数，这些复杂的非线性函数增加了多涡卷系统电路实现的复杂度。针对该问题，本文设计了一种Logistic电平脉冲函数，该函数利用Logistic映射^[13]的周期分岔和混沌产生多逻辑脉冲和随机电平脉冲，该函数形式为

其中，k为$S(t)$的缩放因子，将Logistic映射连续化得到函数$g(t)$

其中，$\mu \in (0,4]$和${g_0} \in (0,1)$分别为Logistic映射的系统参数和初值，$T$为周期，决定了$S(t)$的脉冲宽度。函数$S(t)$的幅值变化与Logistic映射一致，其取值范围为$(k(\mu /4 - 0.5),\,k({\mu ^2}/4 - {\mu ^3}/4 - 0.5))$。

在参数$\mu$的控制下，$S(t)$的MALTAB的仿真曲线如图1所示。当$0 < \mu < 3$时，$S(t)$可近似为常数。当$3 < \mu < 3.57$时，Logistic映射出现周期$2n$分岔，$S(t)$是逻辑电平数为$2n$的多逻辑电平脉冲，如图1(a)和图1(b)所示。传统构造多逻辑电平脉冲函数的方式为脉冲叠加，如$\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^N {A \times {{\rm{sgn}}} (\sin (wt - {\phi _i}))}$，其中$N \ge 2$，但该方式存在$N$越大，函数越复杂，多涡卷系统的硬件实现难度越高的问题。当$3.57 < \mu \le 4$时，Logistic映射处于混沌态，$S(t)$是一个随机电平脉冲，如图1(c)所示，其电平高度呈随机规律变化，具有对初始条件敏感、伪随机性以及长期不可预测性的特点，使初值${g_0}$和控制参数$\mu$具备保密性。

图  1  Logistic电平脉冲的波形变化曲线

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3.   多涡卷吸引子混沌系统模型及系统分析

3.1   系统模型

采用非自治脉冲控制方法将Logistic电平脉冲函数$S(t)$作为控制函数引入到Lorenz系统，得到一个新的多涡卷吸引子混沌系统，系统模型为

其中，$a$, $b$, $c$为系统参数，原Lorenz系统中的状态变量$x$, $y$, $z$分别用$f(x,t)$, $f(y,t)$, $f(z,t)$代替

其中，${S_x}(t)$, ${S_y}(t)$, ${S_z}(t)$均为Logistic电平脉冲函数，对应参数分别为$({g_{0x}},{\mu _x},{k_x},{T_x})$, $({g_{0y}},{\mu _y},{k_y},{T_y})$, $({g_{0z}},{\mu _z},{k_z},{T_z})$。多涡卷吸引子混沌系统的设计原理为当状态变量受到Logistic电平脉冲函数的控制时，系统平衡点随${S_x}(t)$, ${S_y}(t)$, ${S_z}(t)$的变化在$x$, $y$。$z$坐标方向上发生扩展，形成结构丰富的多涡卷吸引子。通过调节参数${\mu _x}$, ${\mu _y}$, ${\mu _z}$，可使系统产生1维4涡卷吸引子、2维8涡卷吸引子、3维16涡卷吸引子、时变多涡卷吸引子等。已有文献一般通过叠加多个子脉冲的方式得到多逻辑电平脉冲，其缺点是多涡卷系统电路实现的复杂度随涡卷数量增加而增大。周期分岔与混沌属于Logistic映射的自发行为，改变其参数$\mu$可使$S(t)$产生周期或随机间断点，使系统式(3)形成各种多涡卷吸引子而不增加系统电路实现的复杂度。因此，基于Logistic电平脉冲的多涡卷系统在实际应用中更有优势。

3.2   平衡点分析

令系统式(3)中的$\dot x = \dot y = \dot z = 0$，求得系统平衡点$e_1 = (x_1^e,y_1^e,z_1^e)$, $e_2 = (x_2^e,y_2^e,z_2^e)$。

由式(5)可知，平衡点与系统参数和对应的控制函数有关。例如，$e_1$在$x$方向的坐标为$\sqrt {b(c - 1)}$与${S_x}(t)$的和，而与${S_y}(t)$和${S_z}(t)$无关。系统在平衡点$e_1$处的Jacobi矩阵为

由式(6)可知，Jacobi矩阵与控制函数无关，所以控制函数不改变系统平衡点稳定性，且每个平衡点的稳定性相同。令$\det (\lambda {\mathbf{E}} - {\mathbf{J}}) = 0$，其中$a = 10$, $b = 28$, $c = 8/3$，求得3个特征值为${\lambda _1} = - 13.85$, ${\lambda _2} = 0.094 + {\rm{j}}10.194$, ${\lambda _3} = 0.094 - {\rm{j}}10.194$。由劳斯稳定判据可知，平衡点$e_1$为稳定的指标2的鞍焦平衡点。同理，平衡点$e_2$也为稳定的指标2的鞍焦平衡点。当$3 < {\mu _x} < 3.57$时，${S_x}(t)$是$2n$逻辑电平脉冲，平衡点在$x$方向上的分布具有$2n$种可能。参数${\mu _y}$和${\mu _z}$对平衡点的影响与此类似。取${\mu _x} = {\mu _y} = {\mu _z} = 3.3$，平衡点在xy平面上存在${2^2} = 4$种分布可能，如图2(a)所示。此时，系统在$x = - 2$处的${\text{Poincare}}$截面如图2(b)所示。Poincare截面中4条连续曲线对应系统的4个吸引子。当$3.57 < {\mu _x},{\mu _y},{\mu _z} \le 4$时，${S_x}(t)$, ${S_y}(t)$和${S_z}(t)$均为随机电平脉冲，平衡点同时在$x$, $y$, $z$方向上随机遍历，其位置在空间上是时变的，呈不规律分布，难以被预测，如图2(c)所示。因此，可通过改变${S_x}(t)$, ${S_y}(t)$, ${S_z}(t)$中的参数${\mu _x}$, ${\mu _y}$, ${\mu _z}$来调整系统平衡点位置，而不影响平衡点的稳定性。

图  2  平衡点分布和Poincare截面

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3.3   多涡卷吸引子

取${\mu _x} = {\mu _y} = {\mu _z} = 2.8$，${S_x}(t),$ ${S_y}(t)$, ${S_z}(t)$可近似为常数，系统退化为Lorenz系统，如图3(a)所示。取${\mu _x} = 3.3$, ${\mu _y} = {\mu _z} = 2.8$，平衡点在$x$方向上周期性扩展，形成$x$方向的1维4涡卷吸引子，如图3(b)所示。取${\mu _x} = {\mu _y} = 3.3$, ${\mu _z} = 2.8$，平衡点同时在$x$和$y$方向上周期性扩展，形成2维4涡卷吸引子，如图3(c)所示。参数$T$也会影响多涡卷吸引子的数量，例如，在图3(c)的基础上，令${T_y} = 2{T_x}$，可得到2维8涡卷吸引子，如图3(d)所示，以及图3(e)所示的3维16涡卷吸引子。当${\mu _x}$, ${\mu _y}$, ${\mu _z}$中的任一参数处于$(3.57,4]$时，系统可产生时变多涡卷吸引子，例如，取${\mu _x} = {\mu _y} = 3.9$, ${\mu _z} = 2.8$，平衡点在$x$和$y$方向上随机遍历，形成时变多涡卷吸引子，如图3(f)所示。时变多涡卷吸引子在空间中随机扩展，使吸引子的分布变得不可预测。

图  3  多涡卷吸引子混沌系统相图

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3.4   Lyapunov指数和混沌序列复杂度

最大Lyapunov指数(Largest Lyapunov Exponents, LLE)描述了系统两个相邻轨道的平均指数分离速率，其值越大，系统对初始值越敏感。设系统参数$b = 28$, $c = 8/3$，控制参数${\mu _x} = 2.8$, ${\mu _y} = 2.8$, ${\mu _z} = 2.8$，初始状态基准点$({x_0},{y_0},{z_0})$=$(0.1,0.1,0.1)$，初始状态偏离点$({x'_0},{y'_0},{z'_0})$=$(0.1 + d,0.1,0.1)$，偏离距离$d = {10^{ - 7}}$，当参数a变化时，系统的最大Lyapunov指数如图4(a)所示。系统在A点处的${\text{LLE}} = 0.91$，表现为混沌态。将仿真参数设置为A点的对应参数，且Logistic映射初始值基准点${g_{0x}} = 0.6$，偏离点${g'_{0x}} = 0.6 + d$，绘制系统随${\mu _x}$变化的最大Lyapunov指数曲线，如图4(b)所示。在${\mu _x}$变化的过程中，LLE始终大于A点。当${\mu _x} < 3.57$，LLE保持在0.91附近，表明系统轨道分离程度基本不变；随着${\mu _x}$的继续增大，LLE在总体上显著提高，并在${\mu _x} = 4$处取得最大值13.1，这表明系统对初值${g_0}$极度敏感。

图  4  最大Lyapunov指数和混沌序列复杂度

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采用C₀算法分析本文系统混沌序列的复杂度^[14]，C₀值越大，序列越接近随机序列，系统安全性能就越高。设控制参数${\mu _y} = 2.8$, ${\mu _z} = 2.8$，绘制C₀随${\mu _x}$变化的曲线，如图4(c)所示。在控制参数${\mu _x}$小于3时，多涡卷系统退化为Lorenz系统，C₀值小于0.15，表明其混沌序列的复杂度较低；在${\mu _x}$从3变化到4的过程中，Logistic映射的局部分岔导致C₀曲线出现了局部上升或回落，但从整体上看，在${\mu _x} > 3.57$后，参数${\mu _x}$越大，C₀值越大，且可达到0.5，表明本文系统的混沌序列的复杂度远高于Lorenz系统。

3.5   初始条件敏感性

通过混沌序列进一步分析多涡卷系统对函数$S(t)$的初始条件的敏感性。以参数${\mu _x}$和初始值${g_{0x}}$为例，设控制参数${\mu _x} = 3.9$，初值${g_{0x}} = 0.6$，迭代系统5000次，得图5中红色曲线所示的混沌序列；保持${g_{0x}}$不变，将${\mu _x}$修改为$3.9 + {10^{ - 5}}$, $3.9 + {10^{ - 10}}$和$3.9 + {10^{ - 15}}$，得到相应的混序列分别如图5(a)、图5(b)和图5(c)所示；保持${\mu _x}$不变，将${g_{0x}}$修改为$0.6 + {10^{ - 5}}$, $0.6 + {10^{ - 10}}$和$0.6 + {10^{ - 15}}$，得到相应的序列分别如图5(d)、图5(e)和图5(f)所示。显然，控制函数的参数和初值的微小改变可使系统的混沌序列发生显著变化。

图  5  混沌序列

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4.   多涡卷混沌系统的FPGA实现

4.1   FPGA设计

混沌系统在系统控制、保密通信和图像加密等领域有重要应用，而多涡卷混沌系统具有比一般混沌系统更复杂的动力学行为和吸引子结构，在实际应用中更有优势。利用FPGA设计了本文多涡卷系统的硬件电路，其中FPGA芯片型号为Cyclone IV EP4CE30F23。使用4阶龙格库塔算法对系统式(3)进行离散化

其中，${x_0}$, ${y_0}$, ${z_0}$为初始状态，${K_{ij}}$为递归参数，其计算规则为

其中，取样时间$h = {2^{ - 10}}$。对于式(8)，当$j = 1$时，${x_t} = 0$, ${y_t} = 0$, ${z_t} = 0$；当$j = 2,3$时，${x_t} = 0.5 {K_{1(j - 1)}}$, ${y_t} = 0.5{K_{2(j - 1)}}$, ${z_t} = 0.5{K_{3(j - 1)}}$；当$j = 4$时，${x_t} = {K_{1(j - 1)}}$, ${y_t} = {K_{2(j - 1)}}$, ${z_t} = {K_{3(j - 1)}}$。

基于Quartus Prime16.1开发平台实现多涡卷系统的FPGA设计，图6为FPGA设计的顶层RTL视图。FPGA设计主要包括3个模块：Lglp_ParamCtrl, Lglp_top和MSACS模块，分别用于Logistic电平脉冲函数的参数控制、Logistic电平脉冲函数的产生以及多涡卷吸引子混沌系统的迭代。Lglp_top中的3个子模块u1_Lglp, u2_Lglp和u3_Lglp分别产生Logistic电平脉冲${S_x}(t)$, ${S_y}(t)$和${S_z}(t)$，并输出到MSACS模块。${x_n}$, ${y_n}$, ${z_n}$和${K_{ij}}$均采用32 bit的定点数表示，该定点数由1 bit符号位、7 bit整数位以及24 bit小数位组成。为了减少硬件资源消耗，在Lglp模块和MSACS模块中通过乒乓操作和状态合并减少了乘法器与寄存器的消耗数量，最终共使用48个9 bit乘法器和2559个逻辑单元。

图  6  FPGA设计顶层RTL视图

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4.2   实验结果

由FPGA输出的数字信号通过14位的双通道DAC芯片ACM9676传输给示波器，结果如图7所示。图7表明FPGA实验结果与MATLAB仿真结果一致，验证了本文多涡卷系统的物理可实现性。对于文献[9]和文献[10]中的系统，其涡卷数量与多逻辑电平脉冲函数的子脉冲数呈正线性关系，这不利于系统在硬件实现后多涡卷吸引子的调节。由于Logistic电平脉冲函数是通过周期分岔而非脉冲叠加产生多逻辑电平脉冲，所以本文所设计的多涡卷系统的优势是可直接通过修改输入参数而无需更新RTL代码产生如图7所示的多种类型的多涡卷吸引子。

图  7  FPGA实现效果

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5.   多涡卷混沌系统在图像加密中的应用

5.1   图像加密流程

混沌系统的对初始值敏感和伪随机性使混沌加密已成为密码学领域中一个新的研究热点。图8为基于本文所设计的多涡卷混沌系统的块图像加密方案，此方案采用块加扰操作^[15]，保持了密文与明文在图像格式上的一致性。

图  8  图像加密流程

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图像加密流程为：(1)明文${I_p}$经过颜色空间转换变为灰度图像${I_g}$，将${I_g}$分成大小为$8 \times 8$大小的块矩阵，得到图像${I_b}$；(2)根据密钥确定多涡卷吸引子混沌系统的初值和控制参数，密钥参数设置为${\text{key}}$=$\{ {x_0},{y_0},{z_0},a,b,c,{g_{0x}},{g_{0y}},{g_{0z}},{\mu _x},{\mu _y},{\mu _z}\}$，其中$3.57 < {\mu _x},{\mu _y},{\mu _z} \le 4$，迭代多涡卷吸引子混沌系统产生混沌序列$\{ {x_n}\}$、$\{ {y_n}\}$和$\{ {z_n}\}$，根据式(9)将其转换为伪随机整数序列${k_1}$,${k_2}$,${k_3}$。

其中，${\rm mod} ( \cdot )$表示求余函数；(3)采用${k_1}$, ${k_2}$, ${k_3}$对图像${I_b}$依次执行块置乱、块旋转与块翻转、颜色负正变换操作，整合加密后的块图像得到最终密文${I_e}$。设密钥${\text{key}}$={1, 1, 1, 10, 28, 8/3, 0.6, 0.61, 0.62, 3.95, 3.96, 3.97}，采用此图像加密流程对Baboon图像进行加密，加密效果如图9所示。

图  9  图像加密效果

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5.2   安全性分析

将多涡卷混沌系统产生的混沌序列$\{ {x_n}\}$, $\{ {y_n}\}$和$\{ {z_n}\}$转化为0-1序列，使用NIST SP800-22测试其随机特性，分别有15个测试编号，结果如表1所示，可看出所有测试${\text{P - value}}$值均大于0.01，表明混沌序列具有良好的随机性。因此，伪随机整数${k_1}$, ${k_2}$, ${k_3}$可有效地破坏明文图像的视觉信息，使密文图像具有良好的视觉安全性。

表  1  NIST SP800-22随机特性测试结果

	1	2	3	4	5	6	7	8
测试项目	单bit测试	块内单bit测试	游程测试	块内最长 游程测试	二进制矩阵 秩测试	离散傅里 叶测试	非重叠模块 匹配测试	重叠模块 匹配测试
P-value	0.2270	0.8625	0.8341	0.7408	0.0134	0.9768	0.0634	0.4551
	9	10	11	12	13	14	15
测试项目	Maurer通用统计测试	线性复杂度测试	序列测试	近似熵测试	累加和测试	随机旅行测试	随机旅行变种测试
P-value	0.0472	0.9422	0.4575	0.5921	0.6842	0.0719	0.0260

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微小改变上述密钥key中的${g_{0x}}$为$0.6 + {2^{ - 32}}$或控制参数${\mu _x}$为$3.95 + {2^{ - 32}}$，分别对Baboon密文进行解密，解密图像如图10所示。从图10可看出，密钥的微小变化均会导致解密失败。结构相似度(Structural SIMilarity, SSIM)可用于衡量两幅图像的相似程度，若${\text{SSIM < 0}}{\text{.1}}$表明两幅图像差异较大。图像$X$与图像$Y$的SSIM计算方法为

图  10  密文解密效果

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其中，${\mu _X}$和${\mu _Y}$分别表示$X$和$Y$的像素灰度平均值，$\sigma _X^2$和$\sigma _Y^2$表示$X$和$Y$的方差，${\sigma _{XY}}$表示$X$和$Y$的协方差，${c_1} =$${(0.01L)^2}$, ${c_2} = {(0.03L)^2}$，其中$L = 255$。为了定量衡量图像加密方案对参数${\mu _x}$, ${\mu _y}$, ${\mu _z}$和初值${g_{0x}}$, ${g_{0y}}$, ${g_{0z}}$的敏感性程度，计算图10的3幅解密图像的SSIM值，结果如表2中序号1和序号2对应的数据。这两组SSIM均远小于0.1，即图10(a)，图10(b)，图10(c)之间存在巨大差异，表明参数${\mu _x}$, ${\mu _y}$, ${\mu _z}$和初值${g_{0x}}$, ${g_{0y}}$, ${g_{0z}}$具有强的密钥敏感性，密钥敏感程度大于${2^{ - 32}}$，密钥空间为${2^{384}}$，远大于${2^{128}}$的要求。

表  2  参数敏感性和密文视觉安全性分析

组号	图像X	图像Y	SSIM
1	图10(a)	图10(b)	$1.49 \times {10^{ - 4}} < 0.1$
2	图10(a)	图10(c)	$1.70 \times {10^{ - 4}} < 0.1$
3	Baboon明文	Baboon密文	$9.28 \times {10^{ - 5}} < 0.1$
4	House明文	House密文	$5.98 \times {10^{ - 5}} < 0.1$
5	Airplain明文	Airplain密文	$8.81 \times {10^{ - 5}} < 0.1$

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以USC-SIPI图像数据库中的39组图像为明文样本，计算明文与对应密文的SSIM，得到所有39组样本的平均SSIM为$2.43 \times {10^{ - 4}}$，其中3组测试结果如表2的后3组数据所示。表中所有SSIM均小于0.1，表明由本文图像加密方案得到的密文具有较好的视觉安全性。

6.   结束语

本文设计了控制简单且复杂度不随参数改变的Logistic电平脉冲函数，利用Logistic映射的周期分岔和混沌产生多逻辑电平脉冲和随机电平脉冲，采用非自治的脉冲控制方法将Logistic电平脉冲函数作为控制函数引入到Lorenz系统，得到一个新的多涡卷吸引子混沌系统，有如下结论：(1)控制函数不影响系统平衡点稳定性；(2)增加涡卷数量不改变系统电路实现的复杂度；(3)FPGA电路可在不改变RTL代码的情况下仅通过控制参数的改变即可产生不同的多涡卷吸引子；(4)与Lorenz系统相比，此多涡卷系统具有更多的敏感性参数，应用于图像加密时密钥空间更大，更能有效抵抗穷举攻击。