A Construction Method of Quantum Error-correcting Codes over ${\boldsymbol F_{{2^m}}}$

1.   引言

量子纠错码在量子通信和量子计算领域具有非常重要的应用。因此，构造具有良好参数的量子纠错码成为编码理论领域的一个研究热点。CSS构造^[1]和厄米特构造^[2]是利用经典纠错码构造量子纠错码的两种常用方法。研究表明，有限域上的循环码及常循环码是构造好量子码的重要来源^[3-5]。文献[6]首次通过有限环上的循环码来构造二元量子码，利用的是链环$ {F_2} + u{F_2} $。之后，有限非链环上的循环码也被证实可以产生新的量子码，如环$ {F_2} + v{F_2} $^[7]和$ {F_p} + v{F_p} $^[8]等。近年来，有限环上的常循环码成为量子码构造的新途径。文献[9]利用CSS构造，通过环$ {F_p} + u{F_p} $上的常循环码构建$ p $元量子码。文献[10,11]将这种方法推广到了两类更一般的有限交换非链环上。文献[12]采用厄米特构造，通过环$ {F_{{q^2}}} + v{F_{{q^2}}} $上的常循环码得到了一类$ q $元量子MDS码。文献[13,14]分别利用环${F_{{q^2}}} + u{F_{{q^2}}} + \cdots + {u^{r - 1}}{F_{{q^2}}}$及$ {F_{{q^2}}} + {u_1}{F_{{q^2}}} + \cdots + {u_r}{F_{{q^2}}} $上的常循环码获取了新的$ q $元量子码。文献[15]利用链环$ {F_{{2^{2m}}}} + u{F_{{2^{2m}}}} $上的厄米特对偶包含常循环码来构建$ {2^m} $元量子码。

截至目前，有限环上常循环码相关文献中构造的量子码主要是二元^[6,7]、$ p $元^[8-10]和$ {p^m} $元^[11-14]($ p $为奇素数)，构造$ {2^m} $元量子码的研究还较为少见。本文通过非链环$ R = {F_{{4^m}}} + v{F_{{4^m}}} $上的常循环码来构造$ {2^m} $元量子码。首先定义了一个从环$ R $到域$ {F_{{4^m}}} $上的新Gray映射，然后确定了环$ R $上常循环码为厄米特对偶包含码的条件，最后给出了一种构造$ {2^m} $元量子码的新方法，并例举了一些新的4元和8元量子码。

2.   基础知识

记$ {F_{{4^m}}} $为$ {4^m} $元有限域，$ m $为正整数。令$R = {F_{{4^m}}} + v{F_{{4^m}}} = \{ a + vb|a,b \in {F_{{4^m}}}\}$，其中$ {v^2} = v $。容易验证，$ R $是一个有限非链环，且具有极大理想$ \langle 1 + v\rangle $和$ \langle v\rangle $。$ {R^n} $的$ R $-子模$ C $称为环$ R $上长为$ n $的线性码。记

则$ {C_v} $和$ {C_{1 + v}} $都是有限域$ {F_{{4^m}}} $上长为$ n $的线性码，且线性码$ C $可以唯一分解表示为$ C = (1 + v){C_v} \oplus v{C_{1 + v}} $。设线性码$ {C_v} $和$ {C_{1 + v}} $的生成矩阵分别为$ {{\boldsymbol {G}}_1} $和$ {{\boldsymbol {G}}_2} $，则线性码$ C $具有生成矩阵$ {\boldsymbol {G}} = \left( {

设$ C $是环$ R $上长为$ n $的线性码，$ \lambda = \alpha + v\beta $是环$ R $的一个单位。若对任意$ ({c_0},{c_1}, \cdots ,{c_{n - 1}}) \in C $，都有$ (\lambda {c_{n - 1}},{c_0}, \cdots ,{c_{n - 2}}) \in C $，则称$ C $为环$ R $上的$ \lambda $-常循环码。将码字$ {\boldsymbol {c}} = ({c_0},{c_1}, \cdots ,{c_{n - 1}}) $等同于其多项式表示$ c(x) = {c_0} + {c_1}x + \cdots + {c_{n - 1}}{x^{n - 1}} $，则环$ R $上长为$ n $的$ \lambda $-常循环码可视为商环$ R[x]/\langle {x^n} - \lambda \rangle $的一个理想。

对$ \forall \alpha \in {F_{{4^m}}} $，记$ \alpha $的共轭$ {\alpha ^{{2^m}}} $为$ \bar \alpha $。环$ R $中元素$ \lambda = \alpha + v\beta $的共轭定义为$ \bar \lambda = \bar \alpha + v\bar \beta $。任取两个$ n $维向量$ {\boldsymbol {x}} = ({x_0},{x_1}, \cdots ,{x_{n - 1}}) $和${\boldsymbol {y}} = ({y_0},{y_1}, \cdots ,{y_{n - 1}}) \in {R^n}$，其厄米特内积定义为

设$ C $是环$ R $上长为$ n $的线性码，其厄米特对偶码定义为$ {C^{{ \bot _H}}} = \{ {\boldsymbol {x}} \in {R^n}|{\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle _H} = 0,\forall {\boldsymbol {y}} \in C\} $。若$ {C^{{ \bot _H}}} \subseteq C $，则称$ C $为厄米特对偶包含码。利用有限域上的厄米特对偶包含码可以构造量子码，其方法如下。

定理1^[2](厄米特构造)　设$ \mathfrak{C} $是一个有限域$ {F_{{q^2}}} $上参数为$ [n,k,d] $的厄米特对偶包含码，则存在一个参数为${[[n,2k - n, \ge d]]_q}$的量子码。

3.   新的Gray映射

下面定义一个从环$ R $到$ F_{{4^m}}^2 $的Gray映射$ \phi $，并证明：如果$ C $是环$ R $上的厄米特对偶包含码，那么$ \phi (C) $是有限域$ {F_{{4^m}}} $上的厄米特对偶包含码。

定义1　设$ \omega $是有限域$ {F_{{4^m}}} $的一个本原元，记$ \bar \omega = {\omega ^{{2^m}}} $。定义Gray映射

容易验证，当$ m > 1 $时，$ \phi $是一个双射。可以自然地将它推广到$ \phi :{R^n} \to F_{{4^m}}^{2n} $，即

其中，$ {c_i} = (1 + v){r_i} + v{q_i},i = 0,1, \cdots ,n - 1 $。

对$ \forall a \in R $，定义$ a $的Gray重量为$ \phi (a) $的汉明重量，即$ {w_G}(a) = {w_H}(\phi (a)) $。向量${\boldsymbol {x}} = ({x_0},{x_1}, \cdots , {x_{n - 1}}) \in {R^n}$的Gray重量为$ {w_G}({\boldsymbol {x}}) = {w_H}(\phi ({\boldsymbol {x}})) $。$ {R^n} $中向量$ {\boldsymbol {x}} $与$ {\boldsymbol {y}} $的Gray距离定义为${d_G}({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}) = {w_G}({\boldsymbol {x}} - {\boldsymbol {y}})$。定义环$ R $上线性码$ C $的极小Gray距离为$ {d_G}(C) = \min \{ {d_G}({\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {c'}})|{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {c'}} \in C,{\boldsymbol {c}} \ne {\boldsymbol {c'}}\} $。

根据上述定义，可以得到如下结论：

命题1　设$ C $是环$ R $上长为$ n $的线性码，则$ \phi (C) $是有限域$ {F_{{4^m}}} $上长为$ 2n $的线性码。映射$ \phi $是从$ C $(Gray距离)到$ \phi (C) $(汉明距离)的保矩映射。

证明　对$ \forall {k_1},{k_2} \in {F_{{4^m}}} $及$ {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}} \in {R^n} $，易证得$ \phi ({k_1}{\boldsymbol {x}} + {k_2}{\boldsymbol {y}}) = {k_1}\phi ({\boldsymbol {x}}) + {k_2}\phi ({\boldsymbol {y}}) $。因此，$ \phi (C) $是有限域$ {F_{{4^m}}} $上长为$ 2n $的线性码。任取$ {\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {c'}} \in C $, ${d_G}({\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {c'}}) = {w_G}({\boldsymbol {c}} - {\boldsymbol {c'}})$ = ${w_H}(\phi ({\boldsymbol {c}} - {\boldsymbol {c'}})) = {w_H}(\phi ({\boldsymbol {c}}) - \phi ({\boldsymbol {c'}})) = {d_H}(\phi ({\boldsymbol {c}}),\phi ({\boldsymbol {c'}}))$，因此，$ \phi $是从$ C $(Gray距离)到$ \phi (C) $(汉明距离)的保矩映射。 证毕

命题2　设$ C = (1 + v){C_v} \oplus v{C_{1 + v}} $是环$ R $上长为$ n $的线性码，$ {d_G} $为$ C $的极小Gray距离，线性码$ {C_v},{C_{1 + v}} $的维数分别为$ {k_1},{k_2} $，生成矩阵为$ {{\boldsymbol {G}}_1},{{\boldsymbol {G}}_2} $，则$ \phi (C) $具有参数$ {[2n,{k_1} + {k_2},{d_G}]_{{4^m}}} $和生成矩阵$ \left( {

证明　由命题1知，$ \phi (C) $具有码长$ 2n $和极小汉明距离$ {d_G} $。因为$|\phi (C)| = |C| = |{C_v}| \cdot |{C_{1 + v}}| = {({4^m})^{{k_1} + {k_2}}}$，所以$ \phi (C) $具有维数$ {k_1} + {k_2} $。又因为$ C $具有生成矩阵$ \left( {

$ \phi (C) $

$ \left( {

注　从生成矩阵可以看出，$ \phi (C) $的极小距离${d_G} \le \min \{ 2{d_H}({C_v}),2{d_H}({C_{1 + v}})\}$，而在非链环${F_q} + v{F_q}({v^2} = v)$上常用Gray映射$\varphi :a + vb \to (a,a + b)$的作用下，$ {d_H}(\varphi (C)) = \min \{ {d_H}({C_v}),{d_H}({C_{1 + v}})\} $。对比发现，本文定义的Gray映射能够提高Gray像的极小距离，这对构造参数好的量子码具有重要的意义。

定理2　设$ C $是环$ R $上长为$ n $的线性码，则$ \phi ({C^{{ \bot _H}}}) = \phi {(C)^{{ \bot _H}}} $。特别地，若$ {C^{{ \bot _H}}} \subseteq C $，则$\phi {(C)^{{ \bot _H}}} \subseteq \phi (C)$。

证明　任取$ {{\boldsymbol {c}}_1} = (1 + v){{\boldsymbol {r}}_1} + v{{\boldsymbol {q}}_1} \in C $, ${{\boldsymbol {c}}_2} = (1 + v){{\boldsymbol {r}}_2} + v{{\boldsymbol {q}}_2} \in {C^{{ \bot _H}}}$，其中$ {{\boldsymbol {r}}_1},{{\boldsymbol {r}}_2},{{\boldsymbol {q}}_1},{{\boldsymbol {q}}_2} \in F_{{4^m}}^n $，则

因为$ {\langle {{\boldsymbol {c}}_1},{{\boldsymbol {c}}_2}\rangle _H} = 0 $，所以$ {{\boldsymbol {r}}_1}{{\boldsymbol {\bar r}}_2} = 0 $且$ {{\boldsymbol {q}}_1}{{\boldsymbol {\bar q}}_2} = 0 $。因此

这表明$ \phi ({C^{{ \bot _H}}}) \subseteq \phi {(C)^{{ \bot _H}}} $。另外，

因此，$ \phi ({C^{{ \bot _H}}}) = \phi {(C)^{{ \bot _H}}} $。 特别地，若$ {C^{{ \bot _H}}} \subseteq C $，则$ \phi {(C)^{{ \bot _H}}} = \phi ({C^{{ \bot _H}}}) \subseteq \phi (C) $。 证毕

4.   环R上的厄米特对偶包含常循环码

设$ C = (1 + v){C_v} \oplus v{C_{1 + v}} $是环$ R $上长为$ n $的线性码，$ \lambda = \alpha + v\beta = (1 + v)\alpha + v(\alpha + \beta ) $是环$ R $的一个单位，其中$ \alpha ,\beta \in {F_{{4^m}}} $。文献[16]给出了环$ {F_{{q^2}}} + v{F_{{q^2}}} $上常循环码的一些基本性质，$ q $为素数方幂。令其中$ q = {2^m} $，可以直接得到下面两个结论。

命题3　$ C $是环$ R $上的$ \lambda $-常循环码当且仅当$ {C_v} $是域$ {F_{{4^m}}} $上的$ \alpha $-常循环码，$ {C_{1 + v}} $是域$ {F_{{4^m}}} $上的$ (\alpha + \beta ) $-常循环码。

命题4　设$ C $是环$ R $上的$ \lambda $-常循环码，则$ {C^{{ \bot _H}}} = (1 + v)C_v^{{ \bot _H}} \oplus vC_{1 + v}^{{ \bot _H}} $，其中$ C_v^{{ \bot _H}} $，$ C_{1 + v}^{{ \bot _H}} $分别是域$ {F_{{4^m}}} $上的$ {\alpha ^{ - {2^m}}} $-常循环码和$ {(\alpha + \beta )^{ - {2^m}}} $-常循环码。

从命题4容易得出：

引理1　设$ C $是环$ R $上的$ \lambda $-常循环码，则$ {C^{{ \bot _H}}} \subseteq C $的充分必要条件是$ C_v^{{ \bot _H}} \subseteq {C_v} $且$ C_{1 + v}^{{ \bot _H}} \subseteq {C_{1 + v}} $。

由命题3、命题4及引理1易知，满足$ {C^{{ \bot _H}}} \subseteq C $的必要条件是$ {\alpha ^{ - {2^m}}} = \alpha $且$ {(\alpha + \beta )^{ - {2^m}}} = \alpha + \beta $，即$ {C^{{ \bot _H}}} $也是环$ R $上的$ \lambda $-常循环码。

引理2　设$ C $是环$ R $上的$ \lambda $-常循环码，$ \omega $是有限域$ {F_{{4^m}}} $的一个本原元。令$\alpha = {\omega ^{{\mu _1}({2^m} - 1)}}, \alpha + \beta = {\omega ^{{\mu _2}({2^m} - 1)}}$，其中$ {\mu _1},{\mu _2} \in \{ 0,1, \cdots ,{2^m}\} $，则$ {C^{{ \bot _H}}} $也是环$ R $上的$ \lambda $-常循环码。

证明　因为$ {\omega ^{{4^m}}} = \omega $，所以${\alpha ^{ - {2^m}}} = {\omega ^{{\mu _1}( - {4^m} + {2^m})}} = {\omega ^{{\mu _1}({2^m} - 1)}} = \alpha$。类似地，可以证明${(\alpha + \beta )^{ - {2^m}}} = \alpha + \beta$。由命题4和命题3知，$ {C^{{ \bot _H}}} $也是环$ R $上的$ \lambda $-常循环码。 证毕

接下来补充一个有限域$ {F_{{q^2}}} $($ q $为素数方幂)上厄米特对偶包含常循环码的结论。设$ \mathfrak{C} = \langle g(x)\rangle $是有限域$ {F_{{q^2}}} $上长为$ n $的$ \eta $-常循环码，$ {\text{or}}{{\text{d}}_{{q^2}}}(\eta ) = r $且$ \gcd (q,n) = 1 $，则存在一个$ rn $次本原单位根$ \delta $使得$ {\delta ^n} = \eta $，即${x^n} - \eta = \displaystyle\prod\nolimits_{i = 0}^{n - 1} {(x - {\delta ^{1 + ir}})}$。令$\varOmega = \{ 1 + ir|0 \le i \le n - 1\} n - 1\}$，对每个$j \in \varOmega$，记$ C_j^{rn} $为包含$ j $的$ {q^2} $-模$ rn $的分圆陪集。称集合$Z = \{ j \in \varOmega |g({\delta ^j}) = 0\}$为常循环码$ \mathfrak{C} $的定义集，它是一些分圆陪集$ C_j^{rn} $的并集。

引理3^[3] 设$ \mathfrak{C} $是有限域$ {F_{{q^2}}} $上长为$ n $的$ \eta $-常循环码，其定义集为$ Z $。若$ {\mathfrak{C}^{{ \bot _H}}} $也是一个$ \eta $-常循环码，则$ {\mathfrak{C}^{{ \bot _H}}} \subseteq \mathfrak{C} $当且仅当$Z \cap {Z^{ - q}} =\varnothing$，其中${Z^{ - q}} = \{ - qj{\text{ }}\bmod rn|j \in Z\}$。

根据引理1—引理3，可以得到环$ R $上常循环码是厄米特对偶包含码的一个判定条件。

定理3　设$ C $是环$ R $上长为$ n $的$ \lambda $-常循环码，$ \alpha = {\omega ^{{\mu _1}({2^m} - 1)}},\alpha + \beta = {\omega ^{{\mu _2}({2^m} - 1)}} $，${\mu _1},{\mu _2} \in \{ 0,1, \cdots , {2^m}\}$。设$ {Z_1} $和$ {Z_2} $分别是域$ {F_{{4^m}}} $上常循环码$ {C_v} $和$ {C_{1 + v}} $的定义集，则$ {C^{{ \bot _H}}} \subseteq C $当且仅当${Z_i} \cap {Z_i}^{ - {2^m}} = \varnothing ,{\text{ }}i = 1,2$，其中$ {Z_i}^{ - {2^m}} = \{ - {2^m}j{\text{ }}\bmod {r_i}n|j \in {Z_i}\} $, $ {r_1} = {\text{or}}{{\text{d}}_{{4^m}}}(\alpha ) $，$ {r_2} = {\text{or}}{{\text{d}}_{{4^m}}}(\alpha + \beta ) $。

证明　由引理2知，当$ \alpha = {\omega ^{{\mu _1}({2^m} - 1)}} $，$ \alpha + \beta = {\omega ^{{\mu _2}({2^m} - 1)}} $时，$ C_v^{{ \bot _H}} $是域$ {F}_{{4}^{m}} $上的$ \alpha $-常循环码，$ C_{1 + v}^{{ \bot _H}} $是域$ {F_{{4^m}}} $上的$ (\alpha + \beta ) $-常循环码。根据引理3，此时$ C_v^{{ \bot _H}} \subseteq {C_v} $及$ {C}_{1+v}^{{\perp }_{H}}\subseteq {C}_{1+v} $当且仅当${Z_i} \cap {Z_i}^{ - {2^m}} = \varnothing$。再由引理1及等价的传递性可知，$ {C^{{ \bot _H}}} \subseteq C $当且仅当${Z_i} \cap {Z_i}^{ - {2^m}} = \varnothing$。 证毕

5.   $ {2^m} $元域上量子码的构造

设$ \lambda = (1 + v)\alpha + v(\alpha + \beta ) $，且$ \alpha = {\omega ^{{\mu _1}({2^m} - 1)}} $，$ \alpha + \beta = {\omega ^{{\mu _2}({2^m} - 1)}} $，$ {\mu }_{1},{\mu }_{2}\in \{0,1,\cdots ,{2}^{m}\} $。根据定理1—定理3，本节给出一种利用环$ R $上$ \lambda $-常循环码来构造$ {2^m} $元量子码的方法，具体如下：

定理4　设$ C=(1+v){C}_{v}\oplus v{C}_{1+v} $是环$ R $上长为$ n $的$ \lambda $-常循环码，$ {Z}_{1} $和$ {Z_2} $分别是码$ {C_v} $和$ {C_{1 + v}} $的定义集，若对$ i = 1,2 $都有$ {Z_i} \cap {Z_i}^{ - {2^m}} = \varnothing $成立，则存在一个参数为$ {[[2n,2k - 2n, \ge d]]_{{2^m}}} $的量子码，其中$ k $和$ d $分别为线性码$ \phi (C) $的维数和极小汉明距离。

证明　根据定理3，若对$ i = 1,2 $都有${Z_i} \cap {Z_i}^{ - {2^m}} = \varnothing$成立，则$ {C^{{ \bot _H}}} \subseteq C $。再由定理2可得$ \phi {(C)^{{ \bot _H}}} \subseteq \phi (C) $，即$ \phi (C) $是有限域$ {F_{{4^m}}} $上的厄米特对偶包含码。又因为$ \phi (C) $具有参数$ {[2n,k,d]_{{4^m}}} $，由定理1知，存在一个参数为$ {[[2n,2k - 2n, \ge d]]_{{2^m}}} $的量子码。 证毕

下面通过两个具体的例子来解释定理4中的构造方法。

例1　设$m = 2,\;n = 17,\;{\mu _1} = 0,\;{\mu _2} = 1$，则$ \alpha = {\omega ^0} = 1,{\text{ }}\alpha + \beta = {\omega ^3} $，即$ C $是环$ R = {F_{{4^2}}} + v{F_{{4^2}}} $上长为$ 17 $的$ (1 + v + v{\omega ^3}) $-常循环码。易知${{\rm{ord}}_{{4^2}}}(\alpha ) = 1,{\text{ }}{{\rm{ord}}_{{4^2}}}(\alpha + \beta ) = 5$。设${Z_1} = C_1^{17} = \{ 1,\;16\} , \;{\text{ }}{Z_2}\; =\; C_1^{85}\; \cup\; C_6^{85}$ $ =\; \{ 1,16,6,11\} $，则${C_v} = \langle {g_1}(x)\rangle = \langle {x^2} + {\omega ^3}x + 1\rangle$, ${C_{1 + v}} = \langle {g_2}(x)\rangle = \langle ({x^2} + {\omega ^2}x + {\omega ^3}) ({x^2} + {\omega ^3}x + {\omega ^3})\rangle$。此外，$Z_1^{ - 4} = \{ 13,4\}$，$Z_2^{ - 4} = \{ 81,21,61,41\}$。因此对$ i = 1,2 $有${Z_i} \cap {Z_i}^{ - 4} = \varnothing$。由命题2知，$ \phi (C) $具有码长34和维数28。借助MAGMA软件，通过命题2中生成矩阵可以计算出$ \phi (C) $的极小汉明距离为5。因此，$ \phi (C) $具有参数$ {[34,28,5]_{{4^2}}} $。根据定理4，可以构造出一个参数为$ {[[34,22, \ge 5]]_4} $的新量子码。类似地，利用环$R = {F_{{4^2}}} + v{F_{{4^2}}}$上长为$ 17 $的$ (1 + v + v{\omega ^3}) $-常循环码，通过选择不同的定义集，可以得到多个码长为34的4元新量子码，如表1所示，其中生成多项式$ {x^k} + {a_1}{x^{k - 1}} + \cdots + {a_{k - 1}}x + {a_k} $被简记为$ 1{a_1} \cdots {a_k} $。

表  1  码长为34的新的4元量子码

$ {g_1}(x) $	$ {g_2}(x) $	$ \phi (C) $	$ {[[n,k,d]]_4} $
$ 1{\omega ^3}1 $	$ (1{\omega ^2}{\omega ^3})(1{\omega ^3}{\omega ^3}) $	[34,28,5]16	[[34,22,$ \ge $5]]4
$ (1{\omega ^3}1)(1{\omega ^6}1) $	$ (1{\omega ^2}{\omega ^3})(1{\omega ^3}{\omega ^3}) $	[34,26,6]16	[[34,18,$ \ge $6]]4
$ (1{\omega ^3}1)(1{\omega ^6}1) $	$ (1{\omega ^3}{\omega ^3})(1{\omega ^{11}}{\omega ^3})(1{\omega ^{13}}{\omega ^3}) $	[34,24,7]16	[[34,14,$ \ge $7]]4
$ (1{\omega ^3}1)(1{\omega ^6}1)(1\omega 1) $	$ (1{\omega ^3}{\omega ^3})(1{\omega ^{11}}{\omega ^3})(1{\omega ^{13}}{\omega ^3}) $	[34,22,8]16	[[34,10,$ \ge $8]]4
$ (1{\omega ^3}1)(1{\omega ^6}1)(1\omega 1) $	$ (1{\omega ^3}{\omega ^3})(1{\omega ^{11}}{\omega ^3})(1{\omega ^{13}}{\omega ^3})(1{\omega ^6}{\omega ^3}) $	[34,20,9]16	[[34,6,$ \ge $9]]4

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注　从极小距离$ d $和码率$\dfrac{k}{n}$两个方面，将表1中量子码与通用量子码表文献[17]中相近长度的最优量子码参数进行比较，可以发现：$ {[[34,22, \ge 5]]_4} $比文献[17]中的$ {[[33,21,4]]_4} $及$ {[[36,22,4]]_4} $具有更好的参数；$ {[[34,18, \ge 6]]_4} $比文献[17]中的$ {[[33,13,5]]_4} $及$ {[[32,15,6]]_4} $参数更好；$ {[[34,14, \ge 7]]_4} $和$ {[[34,10, \ge 8]]_4} $分别比文献[17]中的$ {[[32,10,7]]_4} $和$ {[[33,6,8]]_4} $的码率更大；$ {[[34,6, \ge 9]]_4} $比文献[17]中的$ {[[40,2,8]]_4} $具有更好的参数。

例2　设$ m = 3,n = 35,{\mu _1} = 0,{\mu _2} = 3 $，则$\alpha \;=\; {\omega ^0} \;=\; 1,{\text{ }}\alpha + \beta \;=\; {\omega ^{21}}$，即$ C $是环$R \;=\; {F_{{4^3}}} \;+ v{F_{{4^3}}}$上长为$ 35 $的$ (1 + v + v{\omega ^{21}}) $-常循环码。易知$ {\text{or}}{{\text{d}}_{{4^3}}}(\alpha ) = 1,{\text{ or}}{{\text{d}}_{{4^3}}}(\alpha + \beta ) = 3 $。设${Z_1} = C_5^{35} \cup C_6^{35} = \{ 5,6,34\} ,$$ {Z_2} = C_{10}^{105} $ $ = \{ 10\} $，则${C_v} = \langle {g_1}(x)\rangle = \langle (x + {\omega ^9})({x^2} + {\omega ^{57}}x + {\omega ^9})\rangle$，${C_{1 + v}} = \langle {g_2}(x)\rangle = \langle x + {\omega ^6}\rangle$。此外，$ Z_1^{ - 8} = \{ 30,22,8\} $，$ Z_2^{ - 8} = \{ 25\} $。因此对$ i = 1,2 $有${Z_i} \cap {Z_i}^{ - 8} = \varnothing$。由命题2知，$ \phi (C) $具有码长70和维数66。借助MAGMA 软件，通过命题2中生成矩阵可以计算出$ \phi (C) $的极小汉明距离为$ 4 $。因此，$ \phi (C) $具有参数$ {[70,66,4]_{{8^2}}} $。根据定理4，可以构造出一个参数为$ {[[70,62, \ge 4]]_8} $的新量子码，它比量子码表文献[17]中的$ {[[70,46,3]]_8} $具有更大的极小距离和维数。

表2和表3分别利用环$ {F_{{4^2}}} + v{F_{{4^2}}} $及$ {F_{{4^3}}} + v{F_{{4^3}}} $上长为$ n $的常循环码构造出一些不同长度的4元和8元新量子码。与量子码表文献[17]及文献[15]中的量子码相比，它们具有更大的码率或者极小距离，即参数更优。特别地，表中量子码$ {[[6,2,3]]_4} $, $ {[[10,2,5]]_8} $, $ {[[14,10,3]]_8} $, $ {[[14,8,4]]_8} $, $ {[[42,38,3]]_8} $为量子MDS码(量子码参数$ {[[n,k,d]]_q} $必须满足$ 2d \le n - k + 2 $，使等式成立的量子码称为量子MDS码)。此外，量子码$ {[[30,24, \ge 3]]_4} $, $ {[[34,26, \ge 4]]_4} $, $ {[[70,62, \ge 4]]_8} $, $[[98, 92, \ge 3]]_8$, $ {[[126,118, \ge 4]]_8} $的参数满足$ 2d \ge n - k $。考虑到当$ n > {q^2} + 2 $时，量子MDS码不存在，因此这些码的参数也是最优的。

表  2  新的4元量子码

$ n $	$ \lambda $	$ {g_1}(x) $	$ {g_2}(x) $	$ \phi (C) $	$ {[[n,k,d]]_4} $	$ {[[n',k',d']]_4} $
3	$ 1 + v + v{\omega ^3} $	$ 1{\omega ^5} $	$ 1\omega $	$ {[6,4,3]_{16}} $	$ {[[6,2,3]]_4} $	MDS
7	$ 1 + v + v{\omega ^3} $	$ 1011 $	$ 1{\omega ^9}0{\omega ^{12}} $	$ {[14,8,6]_{16}} $	$ {[[14,2, \ge 6]]_4} $	$ {[[14,0,4]]_4}{\text{ }}$[15]
11	$ 1 + v + v{\omega ^3} $	$ 1{\omega ^5}11{\omega ^{10}}1 $	$ 1{\omega ^8}{\omega ^6}{\omega ^9}{\omega ^7}1 $	$ {[22,12,7]_{16}} $	$ {[[22,2, \ge 7]]_4} $	${[[24,0,6]]_4}$[17]
15	$ 1 $	$ (1\omega )(1{\omega ^2}) $	$ 1{\omega ^4} $	$ {[30,27,3]_{16}} $	$ {[[30,24, \ge 3]]_4} $	$ {[[31,21,3]]_4} $[17]
17	$ 1 $	$ 1{\omega ^3}1 $	$ 1{\omega ^6}1 $	$ {[34,30,4]_{16}} $	$ {[[34,26, \ge 4]]_4} $	$ {[[34,24,4]]_4} $[15]
19	$ 1 + v + v{\omega ^3} $	$ 1{\omega ^{10}}0{\omega ^{10}}{\omega ^{10}}{\omega ^5}{\omega ^5}{\omega ^5}1 $	$ 1{\omega ^7}0\omega {\omega ^{13}}{\omega ^5}{\omega ^2}{\omega ^{11}}{\omega ^8} $	$ {[38,20,11]_{16}} $	$ {[[38,2, \ge 11]]_4} $	$ {[[40,2,8]]_4} $[17]
45	$ 1 $	$ (1\omega )(100{\omega ^4}) $	$ (1{\omega ^2})(100{\omega ^5}) $	$ {[90,82,4]_{16}} $	$ {[[90,74, \ge 4]]_4} $	$ {[[90,66,4]]_4} $[17]
63	$ 1 + v + v{\omega ^3} $	$ 111{\omega ^5} $	$ 1\omega $	$ {[126,122,3]_{16}} $	$ {[[126,118, \ge 3]]_4} $	$ {[[127,113,3]]_4} $[17]
77	$ 1 $	$ 1{\omega ^5}11{\omega ^{10}}1 $	$ 1011 $	$ {[154,146,4]_{16}} $	$ {[[154,138, \ge 4]]_4} $	$ {[[154,128,4]]_4} $[17]
85	$ 1 $	$ (1{\omega ^2}{\omega ^3})(1{\omega ^4}{\omega ^6}) $	$ (1{\omega ^9}{\omega ^9})(1{\omega ^8}{\omega ^{12}}) $	$ {[170,162,4]_{16}} $	$ {[[170,154, \ge 4]]_4} $	$ {[[171,151,4]]_4} $[17]
91	$ 1 + v + v{\omega ^3} $	$ 1{\omega ^4}{\omega ^{13}}1 $	$ (1{\omega ^3}{\omega ^8}{\omega ^9})(1{\omega ^7}{\omega ^4}{\omega ^9}) $	$ {[182,173,5]_{16}} $	$ {[[182,164, \ge 5]]_4} $	$[[185,149,5]]_4$[17]

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表  3  新的8元量子码

$ n $	$ \lambda $	$ {g_1}(x) $	$ {g_2}(x) $	$ \phi (C) $	$ {[[n,k,d]]_8} $	$ {[[n',k',d']]_8} $
$ 5 $	$ 1 + v + v{\omega ^7} $	$ 1{\omega ^{42}}1 $	$ 1{\omega ^{56}}{\omega ^{28}} $	$ {[10,6,5]_{64}} $	$ {[[10,2,5]]_8} $	MDS
$ 7 $	$ 1 + v + v{\omega ^{21}} $	$ 1{\omega ^9} $	$ 1{\omega ^3} $	$ {[14,12,3]_{64}} $	$ {[[14,10,3]]_8} $	MDS
$ 7 $	$ 1 + v + v{\omega ^{21}} $	$ 1{\omega ^9} $	$ (1{\omega ^3})(1{\omega ^{12}}) $	$ {[14,11,4]_{64}} $	$ {[[14,8,4]]_8} $	MDS
$ 21 $	$ 1 + v + v{\omega ^{21}} $	$ 1{\omega ^3} $	$ 1\omega $	$ {[42,40,3]_{64}} $	$ {[[42,38,3]]_8} $	MDS
$ 35 $	$ 1 + v + v{\omega ^{21}} $	$ (1{\omega ^9})(1{\omega ^{57}}{\omega ^9}) $	$ 1{\omega ^6} $	$ {[70,66,4]_{64}} $	$ {[[70,62, \ge 4]]_8} $	$ {[[70,46,3]]_8} $[17]
$ 39 $	$ 1 + v + v{\omega ^{21}} $	$ (1{\omega ^{47}}{\omega ^{42}})(1{\omega ^{31}}{\omega ^{21}}) $	$ (1{\omega ^{27}}{\omega ^{35}})(1{\omega ^{45}}{\omega ^{14}}) $	$ {[78,70,5]_{64}} $	$ {[[78,62, \ge 5]]_8} $	$ {[[78,46,5]]_8} $[17]
$ 49 $	$ 1 + v + v{\omega ^7} $	$ 1{\omega ^9} $	$ (1{\omega ^{22}})(1{\omega ^{31}}) $	$ {[98,95,3]_{64}} $	$ {[[98,92, \ge 3]]_8} $	$ {[[99,89,3]]_8} $[17]
$ 63 $	$ 1 $	$ (1\omega )(1{\omega ^2}) $	$ (1{\omega ^3})(1{\omega ^4}) $	$ {[126,122,4]_{64}} $	$ {[[126,118, \ge 4]]_8} $	$ {[[127,113,3]]_8} $[17]
$ 65 $	$ 1 + v + v{\omega ^{21}} $	$ (1{\omega ^4}1)(1{\omega ^8}1) $	$ (1{\omega ^{52}}{\omega ^{21}})(1{\omega ^{19}}{\omega ^{21}}) $	$ {[130,122,5]_{64}} $	$ {[[130,114, \ge 5]]_8} $	$ {[[133,113,5]]_8} $[17]
$ 73 $	$ 1 + v + v{\omega ^7} $	$ 1{\omega ^{36}}01 $	$ 10{\omega ^{50}}{\omega ^{21}} $	$ {[146,140,4]_{64}} $	$ {[[146,134, \ge 4]]_8} $	$ {[[147,122,4]]_8} $[17]
$ 91 $	$ 1 + v + v{\omega ^7} $	$ (1{\omega ^9})(1{\omega ^{31}}{\omega ^{36}}) $	$ (1{\omega ^{52}})(1{\omega ^{44}}{\omega ^{50}})(1{\omega ^{61}}) $	$ {[182,175,5]_{64}} $	$ {[[182,168, \ge 5]]_8} $	$ {[[183,143,4]]_8} $[17]

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6.   结束语

本文定义了一个从有限环$ R = {F_{{4^m}}} + v{F_{{4^m}}} $到有限域$ {F_{{4^m}}} $上的Gray映射，研究了环$ R $上厄米特对偶包含常循环码的条件，在此基础上提出了一种构造$ {2^m} $元量子码的新方法，并据此构造了有限域$ {F_4} $和$ {F_8} $上的一些新量子码。通过不同有限环上的常循环码构造更多$ {2^m} $元新量子码是一个值得继续探索的问题。