Spectral Norm Feature Detection Method in FRFT Domain of Targets in Sea Clutter

1.   引言

对海雷达能够快速、可靠地完成海杂波中的目标检测具有十分重要的意义，在国防领域有重要的研究价值。其中，海杂波抑制和有效的目标检测是雷达目标探测的重点和难点 ^[1,2]。

对海杂波的抑制，近年来主流方法有时域的对消、子空间分解、神经网络等方法^[3,4]。时域对消法，如传统AMTI，对杂波功率谱中心进行估计和补偿，相邻对消后使MTI的频率响应口与多普勒中心重合，进而滤波。此法效果好，但宽频谱使低速目标易被滤除。子空间分解，如文献[5]提出了Hankel矩阵分解法，将信号计算Hankel矩阵并奇异值分解到子空间，通过置零杂波子空间，滤除杂波。但实际中，使用需知先验信息。神经网络法，根据所使用的神经网络的不同，各具特点。

陈小龙等人^[6]提出的基于高斯短时分数阶傅里叶变换的海面微动目标检测方法，将海尖峰作为标准对回波筛选，再采用GSTFRFT对微动目标增益，改善回波信杂比。Chen等人^[7]提出一种奇异值分解-分数阶傅里叶变换(Singular Value Decomposition-FRactional Fourier Transform, SVD-FRFT)方法来实现高频地波雷达的抑制，该法使用最优阶FRFT将信号的频率进行凝聚，用逆变换回到时域，使用SVD提纯信号，使用了调频上的差异，使频谱混叠时，仍有良好性能，但在信杂比较低时，易提取到杂波，而把目标的信号抑制。此外，还有在研究实测海杂波数据时频特性的基础上，在变换域进行时频特征的提取，基于分形特征进行检测和SVM分类，以及分数域正交投影等方法^[8,9]。

对海上目标的检测，特征检测是常用手段。随着相关研究的增多，越来越多的可分辨特征被提取出来用以目标检测，但考虑到海上目标检测具有很大的复杂性，而海杂波的特征数目更是众多，且对目标检测效果有差异，选取获取方便、计算简单且检测能力有效的特征便成为目标检测算法设计的关键^[10]。

Wang等人^[11]利用多普勒频谱特征，来区别海杂波和目标，并设计了基于SVM的智能恒虚警检测器，解决背景杂波类型的自动判断问题。但这种特征检测常因低速小目标的多普勒频谱重叠于海杂波而失效。由于单一特征检测器易被环境影响，多特征检测的方法也得到了发展。水鹏朗等人^[12,13]提取了相对矢量熵、相对峰值以及相对幅度作为特征检测量，构建了相应的3维特征检测空间，并通过3维空间的凸包进行判决，提高了检测算法在高信杂比条件下目标检测的精度，但在同时使用多特征进行目标检测的过程中也会因为凸包而受到维数的约制。

本文针对经典的时域与频域统计目标检测方法，在复杂环境下检测能力不强、适应性弱等特点，使用分数阶变换域处理，改善信杂比，并进一步提取分数阶谱奇异值特征，构造海杂波抑制及目标检测方法。本文主要结构安排如下：第2节，简述了分数阶傅里叶变换与奇异值分解的性质；第3节，提出了利用分数阶傅里叶变换-奇异值分解(FRactional Fourier Transform-Singular Value Decomposition，FRFT-SVD)，将目标的分数阶域谱范数、谱范数距离，作为特征检测统计量的海杂波抑制与目标检测方法；第4节，通过海杂波及目标仿真，对所提方法进行性能评估，对各特征检测量的使用条件进行对比与分析；第5节，采用雷达实测数据进行验证，比较和分析了参与运算的回波脉冲数等不同数据矩阵处理方法对杂波抑制性能的影响，与经典的非相参积累串接单元平均恒虚警检测等方法进行对比与分析；最后，第6节对本文的工作进行总结评价。

2.   海杂波中目标的分数阶傅里叶变换处理与奇异值分解

分数阶傅里叶变换作为信号在一组正交chirp基上的展开，比传统的傅里叶变换多了旋转角度，可旋转时频面的坐标轴，更好地体现信号的变化特征。对非平稳的海杂波，传统的傅里叶变换不足以分析出其最显著的特征，运用FRFT可以选取信号最集中的角度去进行分析，在信号处理领域有着广泛的应用。

如图1所示，FRFT可以很好地将不同运动状态的目标从变化阶数维(p维)和分数频率维(u维)进行区分。低海况下，海杂波的能量主要集中在p=1处。对低速匀速小目标，其在变换阶数维p=1附近能量最集中，此阶数下FRFT实际上是等价于傅里叶变换，中心频率存在差别的目标，其在分数频率维上也存在差异。若目标的多普勒中心频率相近，经FRFT处理后在分数频率维将有所重叠，无法通过分数频率维判断目标的个数和各自特性，可根据其加速度的不同，在变化阶数维区分。

图  1  FRFT谱

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但对海杂波中的目标使用FRFT处理，进行目标检测时，需要反复搜索变换阶数。而由于海上目标机动状态的随机性和时变性，实际场景下通常难以通过搜索得到最佳变换阶数。奇异值分解是解决这一问题的简单有效的处理方式。奇异值分解可以将数据矩阵分解为奇异值矩阵与酉矩阵乘积的形式。数据矩阵的奇异值服从Marchenko-Pastur分布，可以用最大的k个奇异值来近似表达矩阵能量。由此可以利用FRFT与奇异值分解的性质，设计目标的分数域谱范数检测方法。

3.   海杂波中目标的分数域谱范数检测方法

将各个距离单元上的若干个脉冲雷达回波数据进行FRFT谱计算。其中，FRFT谱计算时所使用的脉冲个数依据雷达相参处理间隔来确定，变换阶数的选取则依据所探测目标的最大可能加速度范围来确定。将得到的FRFT谱构造为矩阵，对其进行奇异值分解，得到奇异值矩阵${\boldsymbol{\varSigma }}$，对前n项奇异值进行累加，得到各个距离单元上相应的总特征值，具体流程如图2所示。

图  2  FRFT-SVD流程图

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奇异值特征反映的是海杂波与目标回波在变化阶数和分数频率平面上FRFT谱纹理结构和能量的差异，从FRFT域奇异值特征的计算过程可以发现，参与运算的回波脉冲数量(即一个相参处理间隔)、前n项奇异值的n值选取，都会给处理过程带来影响，同时，不同的信杂比条件也会对目标与海杂波FRFT域奇异值的差异有较大影响，下文将逐项对各影响因素进行分析。

在FRFT-SVD处理的基础上，进一步计算目标单元分数阶谱矩阵与均值矩阵的谱范数距离，使用两种检测统计量的分布模型分位点方法形成检测门限，进行目标检测。通过仿真性能分析与经典的非相参积累的单元平均恒虚警进行检测的方法比较，检验所提特征检测方法的效果，并进一步采用实测数据进行性能验证。

3.1   检测统计量设计

给出除谱范数外，第2种检测统计量，谱范数距离的设计。

由矩阵的谱范数诱导的两个矩阵${{\boldsymbol{A}}_1}$, ${{\boldsymbol{A}}_2}$间几何测度定义为^[14-16]

由于其满足向量范数的性质要求，故可将其作为几何距离。

首先计算均值矩阵。设${{\boldsymbol{R}}_1}$, ${{\boldsymbol{R}}_2}$, ···, ${{\boldsymbol{R}}_n}$为海杂波回波数据矩阵经过分数阶傅里叶变换后得到的FRFT谱矩阵。通过求解目标函数的最小解求得均值矩阵

其中，N表示矩阵个数，也即原始数据矩阵中所使用的距离单元个数，${\eta _i}$为比例系数，要求有$\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^N {{\eta _i} = 1}$，根据实际情况，默认不同距离单元的权重一致，即${\eta _i}$=1/N。所以有

相应的均值矩阵解为

又因为$f({\boldsymbol{R}})$满足

即有

由范数的正定性，解得均值矩阵为

计算$d({{\boldsymbol{R}}_i},{\hat {\boldsymbol{R}}_{{\text{mean}}}}) = {\left\| {{{\boldsymbol{R}}_i} - {{\hat {\boldsymbol{R}}}_{{\text{mean}}}}} \right\|_2}$，作为谱范数外的第2种特征检测量，谱范数距离。

3.2   算法流程设计

建立矩阵FRFT域谱范数检测方法，流程图如图3。

图  3  基于FRFT域矩阵谱范数的特征检测方法流程图

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其主要组成是均值矩阵估计、检测统计量计算和检测判决。

根据前述设计，得到两种矩阵在FRFT域谱范数检测器的子算法。其具体步骤及判决流程如下：

(1)根据接收的回波数据在各个距离单元上进行FRFT计算。

(2)将FRFT谱构建矩阵。

(3)分为两种估计子算法：

算法A： 进行奇异值分解，得到各距离单元谱范数。

算法B： 优先计算均值矩阵${\hat {\boldsymbol{R}}_{{\text{mean}}}} = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^N {{{\boldsymbol{R}}_i}}$。

(4)计算两种算法的检测统计量：

算法A：计算检测单元谱范数${\left\| {{{\boldsymbol{R}}_D}} \right\|_2}$。

算法B：计算谱范数距离${d_{{\text{SN}}}}( {{\boldsymbol{R}}_D}, \hat {\boldsymbol{R}}) = {\left\| {{{\boldsymbol{R}}_D} - \hat {\boldsymbol{R}}} \right\|_2}$。

(5)进行判决检测。为了记述方便，分别记算法A、算法B为谱范数法(Spectral Norm, SN)和谱范数距离法(Spectral Norm Distance, SND)。

4.   仿真性能评估与分析

首先，采用分布模型法进行所提检测方法的检测门限计算：估计纯噪声背景下，FRFT-SVD的谱范数检测量分布情况，以虚警概率为${10^{ - 4}}$作为分位点，使用大量数据计算对应检测概率下的分位点以形成理论门限。

设矩阵D为m×n的随机高斯白噪声矩阵，其每个元素为${d_{ij}} = {\alpha _{d,ij}} + {\rm{j}}{\beta _{d,ij}}$的复随机变量。将矩阵D的行向量视作每个脉冲得到的回波，将列向量视作每个距离单元上得到的回波时间序列。对矩阵D进行FRFT计算得到谱矩阵F，不失一般性地将其视为m×n的矩阵。由于FRFT为线性变换，故对于F的每个元素为${f_{ij}} = {\alpha _{f,ij}} + {\rm{j}}{\beta _{f,ij}}$的复随机变量，应与矩阵D的列向量的各元素分布类型一致，其中的${\alpha _{f,ij}}$, ${\beta _{f,ij}}$也均可视作服从高斯分布的随机变量。

对得到的FRFT谱矩阵F进行奇异值分解得到奇异值矩阵$\varSigma$。对每个奇异值${\sigma _k}$都有，${\sigma _k} = \sqrt {{\lambda _{k,{{\boldsymbol{F}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{F}}}}}$，其中${\lambda _{k,{{\boldsymbol{F}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{F}}}}$为矩阵${{\boldsymbol{F}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{F}}$的第k个特征值。

设矩阵${\boldsymbol{A}} = {{\boldsymbol{F}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{F}}$，则对矩阵A的每个元素${a_{ij}}$都有：${a_{ij}} = \left\langle {{f_i},{f_j}} \right\rangle$。

${{\boldsymbol{f}}_i}$, ${{\boldsymbol{f}}_j}$分别是矩阵F的第i个、第j个列向量${{\boldsymbol{f}}_i} = {\left( {{f_{1,i}},{f_{2,i}}, \cdots ,{f_{m,i}}} \right)'}$, ${{\boldsymbol{f}}_j} = {\left( {{f_{1,j}},{f_{2,j}}, \cdots ,{f_{m,j}}} \right)'}$。

由矩阵A迹的性质有

由高斯分布与$\Gamma$分布的关系知， ${f_{ij}}^2{\text{～}}{\text{G}}({\alpha _{{f_{ij}}}},\beta )$。

由$\Gamma$分布的可加性

$\sigma _i^2$为第i个奇异值的平方。同时，由于此$\Gamma$分布的尺度参数为较大，由$\Gamma$分布性质及中心极限定理知，此条件下$\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {\sigma _i^2}$也近似服从高斯分布^[17]。假定$\sigma _i^2$为同类型分布，有$\sigma _i^2{\text{～}}{\text{G}}(\eta ,\xi )$。进一步，$\sigma _i^2{\text{～}}{\text{N}}({\mu _{{\sigma _i}}},\sigma _{{\sigma _i}}^2)$。

对高斯分布，很少进行开方计算，原因是其概率密度函数左侧拖尾的无限长度，使其始终存在$x < 0$的情况。由于$\Gamma$分布是典型的非负值下的分布模型，即始终有$x \ge 0$，其在形态参量较大时近似得到的高斯分布同样具备非负值的性质。故可开方，${\sigma _i}$可视作高斯分布。

在得到${\sigma _i}$的分布模型后，以虚警概率为${10^{ - 4}}$作为分位点，使用大量数据进行理论门限的计算。

对目标数据在FRFT域上，使用复数据、包络数据和包络平方数据进行谱范数距离法、谱范数法的仿真性能分析，与特征值之和作为检测统计量、非相参积累的单元平均恒虚警目标检测方法进行对比。其在不同信杂比条件下的对比结果如图4所示。

图  4  基于FRFT域的矩阵谱范数目标检测器数据的性能分析

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观察使用复数据、包络数据、包络平方数据3类不同数据下FRFT域的谱范数检测方法的性能分析结果，得到结论：不论使用哪种数据，检测方法的性能效果始终是，谱范数法(SN)优于谱范数距离法(SND)，并远优于特征值之和的方法。同时，使用大量数据对经典的非相参积累的单元平均恒虚警目标检测法进行了性能仿真，与本文提出的FRFT域的谱范数检测方法进行性能对比。可以看出，在所测试的低信杂比条件下，经典的在各个距离单元上直接进行非相参积累的单元平均恒虚警目标检测法，对目标的检测概率远低于所提方法。可以看出本文方法在随机高斯白噪声条件下，目标检测性能优于非相参积累的单元平均恒虚警目标检测方法。

对比上节提出的两种谱范数特征检测量所对应的目标检测器，在不同SNR(dB)上的检测概率，看到：

(1)在信杂比大于–10 dB且低于–5 dB时，对比其他检测方法，谱范数法(SN)和谱范数距离法(SND)都具有很高的检测概率。且在使用包络平方数据进行性能分析时，谱范数法的检测概率为谱范数距离法的检测概率的2倍，在使用包络数据进行性能分析时，谱范数法的检测概率达到谱范数距离法的检测概率的3倍。说明在信杂比较低的条件下，谱范数法的性能远优于谱范数距离法及所对比的其他检测方法。

(2)在信杂比大于–5 dB小于0 dB时，谱范数距离法的检测概率曲线随信杂比的提升而陡升，在信杂比为–2 dB时，所提两种方法的检测概率基本达到完全检测。对比之下，特征值之和作为特征量的检测方法，检测概率曲线在此信杂比区间内斜率有所增加，依旧未能达到理想的检测效果，在使用各种类型的数据进行性能测试时，0 dB处的最高检测概率为使用包络平方数据所得到的0.66，约为所提两种特征检测量测试结果的2/3。

(3)在目标检测概率达到0.5时，使用复数据进行分析，谱范数法和谱范数距离法所适应的SNR条件，分别低于非相参积累的单元平均恒虚警方法12.5 dB和11 dB。说明此条件下所提方法的高适应性。

5.   实测数据验证与分析

本文所使用海杂波数据为机载雷达对海探测数据，利用直升飞机作为移动平台、搭载C波段雷达在烟台海域的对海外场试验中取得。雷达侧视放置，脉冲发射方向垂直于直升机的行驶速度，以1000 Hz的脉冲重复频率对海面进行定向凝视地发射脉冲。擦地角范围涵盖20°～56°，距离采样点的间距为0.5625 m，雷达距离分辨率为0.71 m。试验海域浪高为0.25 m，海况等级为2级。试验移动平台的平均飞行参数如表1。

表  1  试验平均飞行参数表

UTC	Vel_E(m/s)	Vel_N(m/s)	Vel_U(m/s)	Lon(°)	Lat(°)	Height(m)
0200-0800	–29.1	0.06	–5.30	121.52	37.62	4432

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UTC为世界协调时间，Vel_E为速度东向分量，Vel_N为速度北向分量，Vel_U为速度垂直分量，Lon为经度，Lat为纬度，Height为垂直高度。

添加4个匀变速仿真目标的回波信号${s_0}$, ${s_1}$, ${s_2}$和${s_3}$

其中，${f_{0k}}$为其中心频率，${m_k}$为其调频斜率。

在第172个距离单元添加1个线性调频信号的匀变速目标${s_1}(t)$，${f_{01}}$=100，${m_1}$=2 000。

在第250个距离单元添加3个线性调频信号的匀变速目标${s_2}(t)$，${s_3}(t)$，${s_4}(t)$，${f_{01}}$=${f_{02}}$=${f_{03}}$=100，${m_2}$=1 000，${m_3}$=2 000，${m_4}$=–2 000。如图5所示。

图  5  回波数据图

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首先，使用实测数据对所提方法的海杂波抑制效果进行验证。如图6所示，前n项奇异值进行累加时，n的选取可以通过实际情况进行调整。在SCR较大的回波数据中，尽量选取较小的n，如n=1；在SCR较小的回波数据中，适当增加n的选取，可选取n=5或更大。本章所使用数据经过实际计算判断，选取n=4时效果较好。在实际场景中，可以使n由低到高进行运算取最优效果。同等目标条件下，累加更多项奇异值的和，来表征该距离单元上的能量大小，不利于奇异值-距离单元图中SCR的提升。使用本文所使用数据计算知，奇异值矩阵的前4项普遍为能量占比的95%以上，本节采用n=4进行效果验证。对获取目标数据截取320个距离单元和128个脉冲，进行上述流程处理，最终得到距离-奇异值图，如图7、图8所示。

图  6  前n项奇异值和对比图

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图  7  距离-奇异值图

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图  8  目标FRFT-SVD处理结果对比

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可以看出：

(1)由图7所示，奇异值可以在各距离单元上体现不同目标的累加结果，由此对该距离单元上是否存在目标进行判断。

(2)对比图8，在同一距离单元上出现多个匀加速目标时，相较单个的匀加速目标，其FRFT谱在奇异值分解后得到奇异值矩阵的最大的4个奇异值(前4位)在总奇异值中能量占比更多。参与运算的回波脉冲越多，目标单元前4项奇异值的能量占比更大。实际上，距离-奇异值图中各个距离单元上的奇异值积累大小，与回波脉冲的数量正相关，但其奇异值的信杂比基本不变。

调整目标的回波幅值以改变数据的信杂比，选取13 dB, 9 dB, 4 dB, 0 dB 4组信杂比条件下的目标，分别单独、叠加设置于纯海杂波背景中的第172个、第250个距离单元处，进行FRFT-SVD处理，得到结果如图9所示。

图  9  距离-奇异值图

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对比不同信杂比下的距离-奇异值图，目标在不同距离单元上对奇异值的积累均有所下降，目标与海杂波奇异值的比值也下降。在信杂比为4 dB时，处于第172个距离单元上的单个匀加速运动目标恰好被海杂波淹没，但第250个距离单元上3个叠加目标的奇异值依旧有一定的区分度。

经过以上分析，本实测数据下，利用分数阶傅里叶变换后进行奇异值分解得到的目标与海杂波奇异值差异，能适应一定范围内脉冲回波序列信杂比的变化，在低信杂比及多目标环境中进行杂波抑制，凸显目标信号。

接下来通过海杂波及目标的实测数据对提出的FRFT域的谱范数检测方法进行检验。

计算得到，两组不同条件下，第172个与第250个距离单元上的回波幅度信杂比，分别为5.23 dB与10.49 dB, 4.74 dB与8.73 dB。对实测数据进行基于FRFT域的谱范数检测方法处理，在检测器的优化上使用数据包络进行筛选参考单元的平滑化，得到其数据及门限如图10、图11所示。

图  10  谱范数距离法(SND)实测数据检测

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图  11  谱范数法(SN)实测数据检测

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观察图10、图11，在使用实测数据进行检测时，谱范数距离法(SND)与谱范数法(SN)均有使原始信杂比提升的能力，且谱范数距离法提升更高，使得具有更强的目标检测能力。同时注意到，谱范数距离法(SND)在各个距离单元上检测量值，相较谱范数法(SN)对应的检测量值更大。

当目标为第172距离单元处的小型匀变速目标、信杂比为4.74 dB时，在使用谱范数距离法时，明显超过检测门限；在使用谱范数法时，刚好达检测门限。而此时，图12所示的经典非相参积累检测方法，虽然可以观察到存在较大的能量幅度，但其信杂比条件依旧使得CA-CFAR门限系数过大，相应门限提升而均检测不到目标。说明两类FRFT域的谱范数目标检测方法，在此信杂比条件下谱范数法的目标检测能力良好。同时表明谱范数距离法(SND)适合低信杂比条件下的目标检测，谱范数法(SN)更适合进行在信杂比较高时的目标检测。

图  12  同条件下非相参积累的单元平均恒虚警法实测数据检测

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验证表明：相比经典非相参积累的单元平均恒虚警检测，本实测数据条件下谱范数法(SN)和谱范数距离法(SND)具有优越性。相比利用最佳变换阶数下FRFT域谱峰值的海杂波抑制法，所提方法既考虑了目标与海杂波分数阶域谱能量和形状差异，又避免了最佳变换阶数的反复搜索，实现了FRFT谱的特征降维，同时，通过对矩阵奇异值的筛选，又进一步实现了对海杂波和噪声能量的抑制，改善了信杂噪比。

6.   结束语

本文研究了基于分数阶域奇异值的海杂波抑制与目标检测问题。设计了矩阵的分数阶域谱范数特征检测算法流程。该方法结合利用了分数阶域处理和奇异值处理的特点，将矩阵的分数阶域谱范数、谱范数距离特征作为检测统计量，计算其分布模型分位点以形成检测门限，进行目标检测。首先通过仿真实验进行了所提出算法的性能分析，所提抑制方法能够适应一定范围内脉冲回波序列信杂比的变化，并且在低信杂比及多目标环境中进行杂波抑制，凸显目标信号。然后采用海杂波实测数据，与计算特征值之和、非相参积累的单元平均恒虚警等一般检测方法进行效果比较，结果证明，本方法在使用目标分数阶域的谱信息基础上，利用谱范数特征进行检测，既避免了复杂运算，又具有较高的准确性，具备有效性及可靠性。