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Citation: | ZHAO Hui, YU Mengjie, AN Jing, KUANG Kaida, LÜ Diankai, LIU Yuanni. Irregular Quasi Cyclic Low Density Parity Check Code Construction Based on Basis Matrix Arrangement Optimization Algorithm[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2023, 45(4): 1219-1226. doi: 10.11999/JEIT220075 |
低密度奇偶校验(Low Density Parity Check, LDPC)码是Gallager博士[1]在1963年提出的一类具有稀疏奇偶校验矩阵结构的线性分组码,不仅具有逼近香农(Shannon)极限的良好性能,且译码复杂度较低,结构灵活,因此成为近年信道编码领域的研究热点。准循环低密度奇偶校验(Quasi Cyclic Low Density Parity Check, QC-LDPC)码是LDPC码的一个子类[2],由于准循环结构大大降低了编译码实现对硬件存储空间的要求而被广泛关注。
根据校验矩阵中的权重是否一致,QC-LDPC码可以被分为规则QC-LDPC码和非规则QC-LDPC码。非规则QC-LDPC码由于具有更灵活的度分布设计,可以得到比规则QC-LDPC码更优异的误码率性能[3]。目前已有大量文献对非规则QC-LDPC码的构造方法进行了研究,结果表明围长、短环数量和度分布是影响码字译码性能的重要因素[4]。文献[5]提出了一种基于外部信息度最大化准则的非规则QC-LDPC码构造方法,但由于该方法是基于渐进式边缘增长(Progressive Edge Growth, PEG)算法进行贪婪式搜索,因此并不能保证算法一定成功。文献[6]提出了一种联合优化的非规则QC-LDPC码构造方法,但并没有考虑度分布对码字性能的影响,同时由于其检测算法的复杂度会随着被检环长的增加呈指数趋势增长,因此该构造算法仅适用于较小阵列大小的非规则QC-LDPC码的构造。2021年, Karimi等人[7]提出了一种基于原模图的不规则QC-LDPC码构造,该方法详细分析了无叶基本陷阱集(Leafless Elementary Trapping Sets, LETSs)和度分布对码字性能的影响,但并没有考虑相同度分布下基矩阵的不同结构对码字性能的影响,同时其利用搜索算法实现指数矩阵的设计相比于结构化构造方法在复杂度上存在一定局限性。
针对上述分析,本文提出一种基于最优度分布的基矩阵排列优化算法对非规则QC-LDPC码进行构造。本构造方法在寻求最优度分布的基础上确保目标码字的围长最大化、短环数量最小化,基于文献[7]中存在的不足,还详细分析了相同度分布下基矩阵不同排列结构对码字性能的影响,从而进一步提升非规则QC-LDPC码的译码性能。
一个
H=[I(p1,1)I(p1,2)⋯I(p1,L)I(p2,1)I(p2,2)⋯I(p2,L)⋮⋮⋱⋮I(pJ,1)I(pJ,2)⋯I(pJ,L)] |
(1) |
其中,
将奇偶校验矩阵
E=[p1,1p1,2⋯p1,Lp2,1p2,2⋯p2,L⋮⋮⋱⋮pJ,1pJ,2⋯pJ,L] |
(2) |
当存在
B=[b1,1b1,2⋯b1,Lb2,1b2,2⋯b2,L⋮⋮⋱⋮bJ,1bJ,2⋯bJ,L] |
(3) |
其中,
外部信息传递(EXtrinsic Information Transfer, EXIT)图是Stephan[13]提出的一种LDPC码性能分析理论工具,通过EXIT图分析可以得到LDPC码的收敛阈值。LDPC码的译码过程可以等效为一个并行级联码迭代译码过程,如图1所示[14]。
在二进制相移键控-加性高斯白噪声(Binary Phase Shift Keying-Additive White Gaussian Noise, BPSK-AWGN)信道上,假设变量节点译码器(Variable Node Decoder, VND)和校验节点译码器(Check Node Decoder, CND)的先验信息分别为
IE,VND(IA,VND,dv,Eb/EbN0,RN0,R)=J(√(dv−1)[J−1(IA,VND)]2+σ2ch) |
(4) |
IE,CND(IA,CND,dc)=1−J(√(dc−1)⋅J−1(1−IA,CND)) |
(5) |
其中,
IA,CND(IE,CND,dc)=1−J(√(dc−1)−1[J−1(1−IE,CND)]2) |
(6) |
由于非规则QC-LDPC码变量节点和校验节点的度数并不唯一,因此非规则QC-LDPC码的外部信息转移函数为所有变量节点和校验节点对应度数的外部信息转移函数的加权平均
IE,VND(IA,VND,dv,Eb/EbN0,RN0,R)=dvmax∑i=1dviJ(√(dv−1)[J−1(IA,VND)]2+σ2ch) |
(7) |
IA,CND(IE,CND,dc)=dcmax∑j=1dcj(1−J(√(dc−1)−1[J−1(1−IE,CND)]2)) |
(8) |
由上述分析可知,在非规则QC-LDPC码的度分布多项式对已知的前提下,可以利用式(7)和式(8)得到非规则QC-LDPC码在迭代译码过程中的所有外部互信息值,从而通过绘制EXIT图来分析码字的收敛行为并得到收敛阈值。也就是说,若能找到非规则QC-LDPC码在某一约束条件下所有度分布对应的收敛阈值,则可以通过寻找最小收敛阈值对应的度分布得到该约束条件下的最优度分布,这为QC-LDPC码的收敛性能分析提供了有力的理论支撑。
为了利用EXIT图对非规则QC-LDPC码的收敛阈值进行分析,首先需要得到非规则QC-LDPC码的度分布多项式对。由于基矩阵
B=[110111101111011111] |
(9) |
变量节点的度分别为
算法1 基于基矩阵结构的度分布多项式对生成算法 |
输入:基矩阵${\boldsymbol{B}}$ |
输出:变量节点度分布多项式$\lambda \left( x \right)$,校验节点度分布多项式$\rho \left( x \right)$ |
(1) 基矩阵列数$L = {\rm{size} }\left( {{\boldsymbol{B}},1} \right)$,基矩阵行数$J = {\rm{size} }\left( {{\boldsymbol{B}},2} \right)$ |
(2) ${\rm{for} }{\text{ } }i = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }L$ |
(3) ${\rm{for} }{\text{ } }j = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }J$ |
(4) ${\rm{if}}{\text{ } }{b_{i,j} } = 1$ |
(5) 保存当前列的列重,${\rm{col}}\left( i \right) = {\rm{col}}\left( i \right) + 1$ |
(6) $ {\rm{end}} $ |
(7) $ {\rm{end}} $ |
(8) $ {\rm{end}} $ |
(9) ${\rm{for} }{\text{ } }j = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }J$ |
(10) ${\rm{for} }{\text{ } }i = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }L$ |
(11) ${\rm{if}}{\text{ } }{b_{i,j} } = 1$ |
(12) 保存当前行的行权重,${\rm{row}}\left( j \right) = {\rm{row}}\left( j \right) + 1$ |
(13) $ {\rm{end}} $ |
(14) $ {\rm{end}} $ |
(15) $ {\rm{end}} $ |
(16) 根据列权重记录值计算变量节点的度分布多项式: $\lambda \left( x \right) = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^L {\left( { { { {\rm{col} }\left( i \right)} \mathord{\left/ {\vphantom { {{\rm{col}}\left( i \right)} {\sum\limits_{i = 1}^L { {\rm{col} }\left( i \right)} } } } \right. } {\sum\limits_{i = 1}^L {{\rm{col}}\left( i \right)} } } } \right)} {x^{ {\rm{col} }\left( i \right) - 1} }$ |
(17) 根据行权重记录值计算校验节点的度分布多项式: $\rho \left( x \right) = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^J {\left( { { {{\rm{row}}\left( j \right)} \mathord{\left/ {\vphantom { {{\rm{row}}\left( j \right)} {\sum\limits_{j = 1}^J {{\rm{row}}\left( j \right)} } } } \right. } {\sum\limits_{j = 1}^J {{\rm{row}}\left( j \right)} } } } \right)} {x^{{\rm{row}}\left( j \right) - 1} }$ |
根据算法1可以得到任意大小基矩阵结构的度分布多项式对,尤其适用于基矩阵
λ(x)=dv1⋅adv1⋅a+dv2⋅(L−a)xdv1−1+dv2⋅(L−a)dv1⋅a+dv2⋅(L−a)xdv2−1 |
(10) |
ρ(x)=(J−dv1)⋅[(L−a)+⌊dv1⋅aJ⌋]dv1⋅a+dv2⋅(L−a)⋅x(L−a)+⌊dv1⋅aJ⌋−1+dv1⋅[(L−a)+⌊dv1⋅aJ⌋+⌈a mod εa⌉]dv1⋅a+dv2⋅(L−a)⋅x(L−a)+⌊dv1⋅aJ⌋+⌈a mod εa⌉−1 |
(11) |
其中,
在基于置零操作的非规则QC-LDPC码的构造过程中,规则指数矩阵的设计同样是影响码字译码性能的重要环节。为了确保构造的非规则QC-LDPC码的围长最大化,本节提出一种基于广义等差数列的规则指数矩阵构造方法。广义等差数列是指所有偶数位上的值与其前一位奇数位上的值之差满足等差数列定义的一组整数数列,由于广义等差数列中的元素具有差值不等性,经演绎推理得到规则指数矩阵中的移位系数值可以由式(12)进行描述
pj,l=a1+j(j−1)+12(2j−1)(l2−l) |
(12) |
其中,
E0=[24711166122133481222375782] |
(13) |
且指数矩阵
非规则QC-LDPC码的基矩阵设计包括确定列度分布以及构建基矩阵,其中构建基矩阵是在确定列度分布之后进行的。研究表明,在列度分布相同的基矩阵中,不同列的随机排列对码字译码性能的影响较小。但基于本文构造方法的特殊性,在列度分布相同的基矩阵
步骤1 获取输入参数:基矩阵行数
步骤2 将列权重集合
步骤3 根据信噪比
步骤4 若存在新的以列权重集合
步骤5 将最优度分布作为新的约束条件,构造大小为
步骤6 记录步骤5中围长最大的指数矩阵对应的基矩阵排列结构及其对应的各短环数量,在围长相同的情况下选取短环数量更少的指数矩阵对应的基矩阵作为输出,算法结束。
为了对本文所提整个构造方法进行说明,将
E0=[01361016212925112032476586611223656811111461220345483117159208] |
(14) |
同时将
B0 = [10101111010111111001111101101111] |
(15) |
最后根据规则指数矩阵
由上述分析可知,基于基矩阵排列优化算法得到的基矩阵与规则指数矩阵
本节对根据同一规则指数矩阵得到的不同非规则QC-LDPC码以及文献[6-8]中提出的非规则QC-LDPC码分别进行了蒙特卡罗仿真,并对仿真结果进行了比较。仿真环境设置如下:加扰噪声为AWGN,调制方式为BPSK调制,译码算法采用对数似然比置信传播(Log-Likelihood Ratio Belief Propagation, LLR-BP)译码算法,最大迭代次数设置为
为了说明在相同度分布多项式对下,基矩阵的不同排列对非规则QC-LDPC码性能的影响,将3.4节的
基矩阵 | 6-cycle | 8-cycle | 10-cycle | 基矩阵 | 6-cycle | 8-cycle | 10-cycle | |
${{\boldsymbol{B}}_1} = \left[ {01111011101101110111101110110111 } \right]$ | 0 | 33P | 123P | ${{\boldsymbol{B}}_3} = \left[ {10101111010111111001111101101111 } \right]$ | 0 | 16P | 59P | |
${{\boldsymbol{B}}_2} = \left[ {01110111101110111011011101111011 } \right]$ | 0 | 23P | 115P | ${{\boldsymbol{B}}_4} = \left[ {01101111100111111010111101011111 } \right]$ | 0 | 17P | 55P |
由图2可知,当规则指数矩阵同为3.4节中的
为了验证本文所提构造方法的有效性,以3.4节所示的规则指数矩阵为基础,根据本文所提出的基于最优度分布的基矩阵排列优化算法设计基矩阵结构,构造非规则QC-LDPC码进行性能仿真,为了兼顾各参考文献之间对比的可行性,令
由图3可知,与文献[6-8]提出的码字相比,本文构造的非规则QC-LDPC码在BER为
本文提出一种基于基矩阵排列优化算法的非规则QC-LDPC码构造方法,在具有最优度分布的码字集合中,进一步考虑基矩阵的不同排列对非规则QC-LDPC码性能的影响。首先,通过EXIT图分析得到目标基矩阵下的最优度分布,并将围长和短环数量作为新的约束条件,对具有最优度分布的一类基矩阵结构进行进一步分析,从而得到最优度分布下围长更大且短环数量更少的基矩阵排列结构。其次,将基矩阵
令
Cfour=(j1−j0)[(l21−l1)−(l20−l0)] |
(16) |
由于
Cfour<pj1,l0−pj0,l1+pj1,l1−pj1,l0 < pj1,l1<P |
(17) |
由不等式性质可知
令
Csix=(j0−j2)(l20−l0)+(j1−j0)(l21−l1)+(j2−j1)(l22−l2) |
(18) |
将式(18)中的
Csix>(j0−j1)(l20−l0)+(j1−j0)(l21−l1)+(j1−j1)(l22−l2)=(j1−j0)[(l21−l1)−(l20−l0)]>0 |
(19) |
同理将
Csix=−pj0,l1+pj1,l1−pj1,l2+pj2,l2<pj1,l2−pj1,l2+pj2,l2<P |
(20) |
由不等式性质可知
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算法1 基于基矩阵结构的度分布多项式对生成算法 |
输入:基矩阵${\boldsymbol{B}}$ |
输出:变量节点度分布多项式$\lambda \left( x \right)$,校验节点度分布多项式$\rho \left( x \right)$ |
(1) 基矩阵列数$L = {\rm{size} }\left( {{\boldsymbol{B}},1} \right)$,基矩阵行数$J = {\rm{size} }\left( {{\boldsymbol{B}},2} \right)$ |
(2) ${\rm{for} }{\text{ } }i = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }L$ |
(3) ${\rm{for} }{\text{ } }j = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }J$ |
(4) ${\rm{if}}{\text{ } }{b_{i,j} } = 1$ |
(5) 保存当前列的列重,${\rm{col}}\left( i \right) = {\rm{col}}\left( i \right) + 1$ |
(6) $ {\rm{end}} $ |
(7) $ {\rm{end}} $ |
(8) $ {\rm{end}} $ |
(9) ${\rm{for} }{\text{ } }j = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }J$ |
(10) ${\rm{for} }{\text{ } }i = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }L$ |
(11) ${\rm{if}}{\text{ } }{b_{i,j} } = 1$ |
(12) 保存当前行的行权重,${\rm{row}}\left( j \right) = {\rm{row}}\left( j \right) + 1$ |
(13) $ {\rm{end}} $ |
(14) $ {\rm{end}} $ |
(15) $ {\rm{end}} $ |
(16) 根据列权重记录值计算变量节点的度分布多项式: $\lambda \left( x \right) = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^L {\left( { { { {\rm{col} }\left( i \right)} \mathord{\left/ {\vphantom { {{\rm{col}}\left( i \right)} {\sum\limits_{i = 1}^L { {\rm{col} }\left( i \right)} } } } \right. } {\sum\limits_{i = 1}^L {{\rm{col}}\left( i \right)} } } } \right)} {x^{ {\rm{col} }\left( i \right) - 1} }$ |
(17) 根据行权重记录值计算校验节点的度分布多项式: $\rho \left( x \right) = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^J {\left( { { {{\rm{row}}\left( j \right)} \mathord{\left/ {\vphantom { {{\rm{row}}\left( j \right)} {\sum\limits_{j = 1}^J {{\rm{row}}\left( j \right)} } } } \right. } {\sum\limits_{j = 1}^J {{\rm{row}}\left( j \right)} } } } \right)} {x^{{\rm{row}}\left( j \right) - 1} }$ |
基矩阵 | 6-cycle | 8-cycle | 10-cycle | 基矩阵 | 6-cycle | 8-cycle | 10-cycle | |
${{\boldsymbol{B}}_1} = \left[ {01111011101101110111101110110111 } \right]$ | 0 | 33P | 123P | ${{\boldsymbol{B}}_3} = \left[ {10101111010111111001111101101111 } \right]$ | 0 | 16P | 59P | |
${{\boldsymbol{B}}_2} = \left[ {01110111101110111011011101111011 } \right]$ | 0 | 23P | 115P | ${{\boldsymbol{B}}_4} = \left[ {01101111100111111010111101011111 } \right]$ | 0 | 17P | 55P |
算法1 基于基矩阵结构的度分布多项式对生成算法 |
输入:基矩阵${\boldsymbol{B}}$ |
输出:变量节点度分布多项式$\lambda \left( x \right)$,校验节点度分布多项式$\rho \left( x \right)$ |
(1) 基矩阵列数$L = {\rm{size} }\left( {{\boldsymbol{B}},1} \right)$,基矩阵行数$J = {\rm{size} }\left( {{\boldsymbol{B}},2} \right)$ |
(2) ${\rm{for} }{\text{ } }i = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }L$ |
(3) ${\rm{for} }{\text{ } }j = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }J$ |
(4) ${\rm{if}}{\text{ } }{b_{i,j} } = 1$ |
(5) 保存当前列的列重,${\rm{col}}\left( i \right) = {\rm{col}}\left( i \right) + 1$ |
(6) $ {\rm{end}} $ |
(7) $ {\rm{end}} $ |
(8) $ {\rm{end}} $ |
(9) ${\rm{for} }{\text{ } }j = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }J$ |
(10) ${\rm{for} }{\text{ } }i = 1{\text{ } }{\rm{to}}{\text{ } }L$ |
(11) ${\rm{if}}{\text{ } }{b_{i,j} } = 1$ |
(12) 保存当前行的行权重,${\rm{row}}\left( j \right) = {\rm{row}}\left( j \right) + 1$ |
(13) $ {\rm{end}} $ |
(14) $ {\rm{end}} $ |
(15) $ {\rm{end}} $ |
(16) 根据列权重记录值计算变量节点的度分布多项式: $\lambda \left( x \right) = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^L {\left( { { { {\rm{col} }\left( i \right)} \mathord{\left/ {\vphantom { {{\rm{col}}\left( i \right)} {\sum\limits_{i = 1}^L { {\rm{col} }\left( i \right)} } } } \right. } {\sum\limits_{i = 1}^L {{\rm{col}}\left( i \right)} } } } \right)} {x^{ {\rm{col} }\left( i \right) - 1} }$ |
(17) 根据行权重记录值计算校验节点的度分布多项式: $\rho \left( x \right) = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^J {\left( { { {{\rm{row}}\left( j \right)} \mathord{\left/ {\vphantom { {{\rm{row}}\left( j \right)} {\sum\limits_{j = 1}^J {{\rm{row}}\left( j \right)} } } } \right. } {\sum\limits_{j = 1}^J {{\rm{row}}\left( j \right)} } } } \right)} {x^{{\rm{row}}\left( j \right) - 1} }$ |
基矩阵 | 6-cycle | 8-cycle | 10-cycle | 基矩阵 | 6-cycle | 8-cycle | 10-cycle | |
${{\boldsymbol{B}}_1} = \left[ {01111011101101110111101110110111 } \right]$ | 0 | 33P | 123P | ${{\boldsymbol{B}}_3} = \left[ {10101111010111111001111101101111 } \right]$ | 0 | 16P | 59P | |
${{\boldsymbol{B}}_2} = \left[ {01110111101110111011011101111011 } \right]$ | 0 | 23P | 115P | ${{\boldsymbol{B}}_4} = \left[ {01101111100111111010111101011111 } \right]$ | 0 | 17P | 55P |