A Class of Repeated-root Constacyclic Codes over the Ring Fq+uFq++uk-1Fq

Zhu Shi-xin; Li Ping; Wu Bo

doi:10.3724/SP.J.1146.2006.02001

Volume 30 Issue 6

Dec. 2010

Turn off MathJax

Article Contents

Article Navigation > Journal of Electronics & Information Technology > 2008 > 30(6): 1394-1396

WANG Yue, BAI Xueru, ZHOU Feng. High-resolution Inverse Synthetic Aperture Radar Imaging with Sparse Stepped-frequency Chirp Signals under Low Signal to Noise Ratio[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2022, 44(3): 1034-1043. doi: 10.11999/JEIT210056

Citation:

Zhu Shi-xin, Li Ping, Wu Bo. A Class of Repeated-root Constacyclic Codes over the Ring Fq+uFq++uk-1Fq[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2008, 30(6): 1394-1396. doi: 10.3724/SP.J.1146.2006.02001

Citation:

PDF( 191 KB)

A Class of Repeated-root Constacyclic Codes over the Ring Fq+uFq++uk-1Fq

doi: 10.3724/SP.J.1146.2006.02001

Received Date: 2006-12-18
Rev Recd Date: 2007-07-23
Publish Date: 2008-06-19

Abstract

Abstract

Let R=Fq+uFq++uk-1Fq,G=R[x]/ and be an invertible element in R.A new Gray mapfrom Gn to Rtn is defined.It is proved that J is a linear x-constacyclic code of length n if and only if (J) is a linear-constacyclic code over R of length tn.By means of the theory of finite rings the structure and sizes of all(u-1)-constacyclic codes over R of length pe are obtained.Especially,the structure and sizes of the duals of all (u-1)-constacyclic codes of length 2e over the ring F2m+uF2m are also obtained. Some of the results about repeated-root negacyclic codes over the ring Z2a are generalized.

FullText(HTML)

1. 引言

近年来，随着汽车行业快速迭代，毫米波雷达因其成本低、精度高、稳定性好等优点，逐渐成为自动驾驶不可或缺的传感器^[1,2]。毫米波雷达发射可设计信号并接收目标回波，而后处理所获得回波以感知环境信息，因而发射信号贯穿于信息获取全过程。通过设计发射信号可改善测量精度及杂波抑制性能从而提升目标检测估计能力进而增强无人驾驶水平，因此，波形设计一直是毫米波雷达领域的研究热点之一^[3,4]。

尽管毫米波雷达具有上述显著优势，然而也面临诸如参数估计精度较差以及分辨率较低等问题，为满足自动驾驶对毫米波雷达的高精度高分辨率要求，众多改善雷达检测估计性能的波形设计方法相继被提出^[5]。传统调频连续波(Frequency Modulated Continuous Wave, FMCW)信号具有较高距离速度分辨率，然而多目标情况下由于需要目标配对，因而会出现虚假目标^[6]。而频移键控(Frequency Shift Keying, FSK)波形可有效避免虚假目标，但是无法确定目标距离方向^[7]。针对此问题，文献[8]通过组合FMCW及FSK以消除虚假目标同时提升距离及速度分辨率。基于多频移键控(Multiple Frequency Shift Keying, MFSK)调制，文献[9]设计77 GHz汽车雷达波形以改善多目标检测能力。然而，相较于纯频率测量，基于频率相位测量的MFSK参数估计精度较低。基于此，文献[10]设计具有较短扫频时间的调频序列波形，其基于两次独立频率测量以提高距离速度估计精度。再者，自动驾驶雷达检测近距离目标需要较高距离分辨率，因而需要信号具有大带宽从而须占用大量存储资源^[11]。针对此问题，文献[12]提出具有较低调制斜率的双斜率序列，通过组合基于双斜率序列的检测结果以获得较高距离速度分辨率。此外，文献[13]提出带宽可调波形设计方法，其基于最大化输出信杂噪比(Signal-to-Clutter-plus-Noise Ratio, SCNR)准则联合设计可调带宽参数及接收权从而提高目标检测及距离分辨性能。需要注意，雷达距离速度分辨率依赖发射波形参数，且目标检测性能又较大程度上取决于波形参数，因而，可通过设计发射波形参数以改善目标检测及分辨性能进而提升无人驾驶环境感知能力。然而，现有文献较少考虑同时改善目标检测及分辨能力的雷达波形参数设计问题。

针对上述问题，本文提出距离及速度分辨率约束下毫米波雷达波形参数及接收权联合设计方法。首先，所提方法构建基于FMCW信号的目标检测模型；再者，将距离速度分辨率映射至关于发射波形的参数约束；而后，基于最大化输出SCNR准则，构造距离速度分辨率约束下发射波形参数及接收权值联合优化模型；最后，基于交替迭代方法求解所得非线性优化问题。

2. 毫米波雷达检测模型

2.1 FMCW信号

FMCW雷达由于其结构简单、低成本、高分辨率以及高集成度等特点，广泛应用于自动驾驶领域^[14,15]。FMCW信号振幅恒定，频率在扫频周期内线性变化，基于此，第 $l$ 个扫频周期内FMCW信号可表示为

$\begin{split} {s_{\rm{t}}}(t,l) =& {\rm{exp}}\left[ {{\rm{j2}}\pi {f_{\rm{0}}}(t - lT) + {\rm{j}}\pi \mu {{(t - lT)}^{\rm{2}}}} \right],\\ &t \in [lT,(l + {\rm{1}})T] \end{split}$

(1)

其中， ${f_0}$ 为初始频率， $\mu = B/T$ 为调制频率， $B$ 和 $T$ 分别为信号调频带宽和扫频周期。

假设运动目标相对雷达的径向速度为 $v$ ，初始距离为 ${R_0}$ ，则第 $l$ 个扫频周期内回波信号可表示为

$\begin{split} {s_{\rm{r}}}(t,l) =& {\rm{exp}}\left[ {{\rm{j2}}\pi {f_0}(t - lT - \tau ) + {\rm{j}}\pi \mu {{(t - lT - \tau )}^2}} \right],\\ &t \in [lT,(l + 1)T]\\[-10pt] \end{split}$

(2)

其中， $\tau = 2({R_0} + vt)/{\rm{c}}$ 为目标延迟， ${\rm{c}}$ 为光速。

将回波信号与本地参考信号混频，可得第 $l$ 个扫频周期内差拍信号为

${s_{\rm{b}}}(t,l) = {\rm{exp}}\left[ {{\rm{j2}}\pi {f_0}\tau + {\rm{j2}}\pi \mu (t - lT)\tau - {\rm{j}}\pi \mu {\tau ^2}} \right]$

(3)

考虑有效区间 ${t'} \in [0,T]$ ，令 ${t'} = t - lT$ ，并进行变量替换，将 ${t'}$ 替换为 $t$ ，则有 $\tau = 2({R_0} + vt + vlT)/{\rm{c}}$ ，将其代入式(3)，由于 ${\tau ^2} = 4{({R_0} + vt + vlT)^2}/{{\rm{c}}^2}$ , ${{\rm{c}}^2}$ 远大于 $4{({R_0} + vt + vlT)^2}$ ，故 ${\rm{j}}\pi \mu {\tau ^2}$ 可忽略，进而可得

$\begin{split} {s_{\rm{b}}}(t,l) =& \exp \bigg[ {\rm{j2}}\pi \bigg( \left( {\frac{{2v{f_0}}}{{\rm{c}}} + \mu \frac{{2\left( {{R_0} + vlT} \right)}}{{\rm{c}}}} \right)t \\ &+ \frac{{2v}}{{\rm{c}}}\mu {t^2} + \frac{{2{R_0}{f_0}}}{{\rm{c}}} + \frac{{2v{f_0}lT}}{{\rm{c}}} \bigg) \bigg] \end{split}$

(4)

由式(4)可知，该差拍信号调频带宽为 $4vB/{\rm{c}}$ ，由于目标速度远小于光速，故该调频带宽很小，因此该差拍信号可近似为单频信号，即

$\begin{split} {s_{\rm{b}}}(t,l) =& \exp \bigg[ {\rm{j2}}\pi \bigg( \left( {\frac{{2v{f_0}}}{{\rm{c}}} + \mu \frac{{2\left( {{R_0} + vlT} \right)}}{{\rm{c}}}} \right)t\\ & + \frac{{2{R_0}{f_0}}}{{\rm{c}}} + \frac{{2v{f_0}lT}}{{\rm{c}}} \bigg) \bigg] \end{split}$

(5)

基于式(5)，差拍信号的第 $n$ ( $n = {\rm{1,2,}} \cdots {\rm{,}}N$ )个采样点可表示为

$\begin{split} s(n,l) =& \exp \bigg[ {\rm{j2}}\pi \bigg( \left( {\frac{{2v{f_0}}}{{\rm{c}}} + \mu \frac{{2\left( {{R_0} + vlT} \right)}}{{\rm{c}}}} \right)\\ & \cdot\frac{{(n - 1)}}{{{f_{\rm{s}}}}} + \frac{{{\rm{2}}{R_0}{f_0}}}{{\rm{c}}} + \frac{{{\rm{2}}v{f_0}lT}}{{\rm{c}}} \bigg) \bigg] \end{split}$

(6)

其中， ${f_{\rm{s}}}$ 为采样频率，进而可得第 $l$ 个扫频周期内差拍采样信号离散化形式为

$\begin{split} s(l) = &\frac{1}{N}\sum\limits_{n = 1}^N \exp \bigg[ {\rm{j2}}\pi \bigg( \left( {\frac{{2v{f_0}}}{{\rm{c}}} + \mu \frac{{2\left( {{R_0} + vlT} \right)}}{{\rm{c}}}} \right)\\ &\cdot\frac{{(n - 1)}}{{{f_{\rm{s}}}}} + \frac{{{\rm{2}}{R_0}{f_0}}}{{\rm{c}}} + \frac{{{\rm{2}}v{f_0}lT}}{{\rm{c}}} \bigg) \bigg]\\[-18pt] \end{split}$

(7)

2.2 毫米波阵列雷达检测模型

毫米波雷达接收阵列由 $M$ 个均匀间隔且各向同性的阵元所构成，自动驾驶场景可离散化为 $K$ 个杂波块的叠加，基于式(7)，第 $l$ 个扫频周期内毫米波雷达所得阵列差拍信号可表示为

${\boldsymbol{x}}(l) = {\alpha _0}{\boldsymbol{a}}({\theta _0})s(l) + \sum\limits_{k = 1}^K {{\alpha _k}{\boldsymbol{a}}({\theta _k})} s{\rm{(}}l) + {\boldsymbol{n}}(l)$

(8)

其中， ${\boldsymbol{x}}(l) \in {\mathbb{C}^{M \times 1}}$ 为阵列差拍信号矢量， ${\alpha _0}$ 和 ${\alpha _k}$ 分别表示目标信号和第 $k$ 个杂波块的复幅度，杂波块可假设为服从均值为0，方差为 ${\sigma _k}^2$ 的高斯分布^[2]。 ${\boldsymbol{a}}({\theta _0}) = {[1\;{{\rm{e}}^{{\rm{j2}}\pi d\sin ({\theta _0})/\lambda }}\; \cdots \;{{\rm{e}}^{{\rm{j2}}\pi (M - 1)d\sin ({\theta _0})/\lambda }}]^{\rm{T}}}$ 为 ${\theta _0}$ 方向目标导向矢量， ${\boldsymbol{a}}({\theta _k}) = [1\;{{\rm{e}}^{{\rm{j2}}\pi d\sin ({\theta _k})/\lambda }}\; \cdots \;$ ${{\rm{e}}^{{\rm{j2}}\pi (M - 1)d\sin ({\theta _k})/\lambda }}]^{\rm{T}}$ 为 ${\theta _k}$ 方向杂波导向矢量， $d$ 和 $\lambda$ 分别为相邻阵元间隔及载波波长，通常 $d \le \lambda /{\rm{2}}$ 。 ${\boldsymbol{n}}(l)$ 为接收阵列噪声，可建模为服从均值为0，协方差为 ${\sigma ^{\rm{2}}}$ 的高斯分布^[16]。

基于式(8)，可得 $L$ 个周期内所得阵列差拍信号为

${\boldsymbol{x}} = {\alpha _0}({\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M}){\boldsymbol{a}}({\theta _0}) + \sum\limits_{k = 1}^K {{\alpha _k}({\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M}){\boldsymbol{a}}({\theta _k})} + {\boldsymbol{n}}$

(9)

其中， ${\boldsymbol{x}} = {[{{\boldsymbol{x}}^{\rm{T}}}(1)\;\;{{\boldsymbol{x}}^{\rm{T}}}(2)\;\; \cdots \;\;{{\boldsymbol{x}}^{\rm{T}}}(L)]^{\rm{T}}} \in {\mathbb{C}^{LM \times 1}}$ 为 $L$ 周期内阵列差拍信号矢量， ${\boldsymbol{s}} = {[{\boldsymbol{s}}(1)\;{\boldsymbol{s}}(2)\; \cdots \;{\boldsymbol{s}}(L)]^{\rm{T}}}$ $\in {\mathbb{C}^{L \times 1}}$ 为 $L$ 周期内差拍信号矢量， ${{\boldsymbol{I}}_M}$ 为 $M$ 维单位矩阵， $\otimes$ 表示Kronecker积， ${\boldsymbol{n}} = [{\boldsymbol{n}}^{\rm{T}}{(1)}\;{\boldsymbol{n}}^{\rm{T}}{(2)}\; \cdots$ $\;{\boldsymbol{n}}^{\rm{T}}{(L)}]^{\rm{T}}$ 为接收噪声矢量。

由式(9)可得，波束形成后输出数据可表示为

$\begin{split} y =& {{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}{\alpha _0}({\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M}){\boldsymbol{a}}({\theta _0}) \\ & + {{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}\sum\limits_{k = 1}^K {{\alpha _k}({\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M}){\boldsymbol{a}}({\theta _k})} + {{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{n}} \end{split}$

(10)

其中， ${\boldsymbol{w}} \in {\mathbb{C}^{LM \times 1}}$ 为接收权矢量， ${(·)}^{\rm{H}}$ 表示共轭转置。

众所周知，高斯噪声条件下最大化检测概率可等价为最大化输出SCNR^[17]。因此，本文通过最大化输出SCNR以最大化毫米波雷达检测性能。基于式(10)，输出SCNR可表示为

$\begin{split} {\rm{SCNR}} =& \frac{{{\rm{E}}[|{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}{\alpha _0}({\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M}){\boldsymbol{a}}({\theta _0}){|^2}]}}{{{\rm{E}}\left[{\rm{|}}{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{\alpha _k}({\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M}){\boldsymbol{a}}({\theta _k})} {|^{\rm{2}}}\right] + {\sigma ^2}{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{w}}}} \\ =& \frac{{{\rm{snr}}|{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}({\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M}){\boldsymbol{a}}({\theta _0}){|^2}}}{{{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}[({\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M}){\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{\varSigma}} _{\rm{c}}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}{{({\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M})}^{\rm{H}}}{\rm{ + }}{{\boldsymbol{I}}_{LM}}]{\boldsymbol{w}}}} \\ =& \frac{{{\rm{snr}}|{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{Sa}}({\theta _0}){|^2}}}{{{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}({\boldsymbol{SA}}{{\boldsymbol{\varSigma}} _{\rm{c}}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\rm{ + }}{{\boldsymbol{I}}_{LM}}){\boldsymbol{w}}}}\\[-18pt] \end{split}$

(11)

其中， ${\boldsymbol{S}} = ({\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M}) \in {\mathbb{C}^{LM \times M}}$ 为差拍信号矩阵， ${\boldsymbol{A}} = [{\boldsymbol{a}}({\theta _1})\;{\boldsymbol{a}}({\theta _2})\; \cdots \;{\boldsymbol{a}}({\theta _K})] \in {\mathbb{C}^{M \times K}}$ 为杂波导向矢量矩阵， ${\rm{snr}} = \alpha _0^2/{\sigma ^2}$ , ${{\boldsymbol{\varSigma}} _{\rm{c}}} = {\rm{diag}}({\sigma _1}^2,{\sigma _2}^2,\cdots,{\sigma _k}^2)/{\sigma ^2}$ , ${\rm{diag}}(·)$ 表示对角矩阵。

3. 问题提出

3.1 波形参数与距离分辨关系

由文献[18]可知，FMCW雷达距离分辨率 $\Delta R$ 可表示为

$\Delta R{\rm{ = }}\frac{{\rm{c}}}{{2B}}$

(12)

由调制频率 $\mu = B/T$ ，可知距离分辨率 $\Delta R$ 与调制频率 $\mu$ 之间的关系可表示为

$\Delta R{\rm{ = }}\frac{{\rm{c}}}{{2\mu T}}$

(13)

由式(13)可知， $T$ 给定条件下， $\Delta R$ 与 $\mu$ 成反比，增加调制频率，可提升距离分辨率，即若要求距离分辨率不大于 $\Delta R$ ，则调制频率须满足 $\mu \ge$ ${\rm{c/}}2T\Delta R$ 。然而，需要注意，调制频率的选择还需考虑作用距离及工程实现复杂度，由此调制频率不能任意增加^[19]。

采样频率 ${f_{\rm{s}}}$ 确定情况下，雷达最大可测距离 ${R_{{\rm{max}}}}$ 可表示为^[19]

${R_{\max }} = \frac{{{f_{\rm{s}}}{\rm{c}}T}}{{4B}} = \frac{{{f_{\rm{s}}}{\rm{c}}}}{{4\mu }}$

(14)

由式(14)可知， ${R_{\max }}$ 与 $\mu$ 成反比，因而可通过降低调制频率以增加最大可测距离，即若要求最大作用距离不小于 ${R_{\max }}$ ，则调制频率须满足 $\mu \le$ ${f_{\rm{s}}}{\rm{c}}/4{R_{\max }}$ 。

综上所述，雷达距离分辨率 $\Delta R$ 与最大可检测距离 ${R_{\max }}$ 相互掣肘，故而须在实际应用中加以权衡。由此，同时满足距离分辨率 $\Delta R$ 及最大可检测距离 ${R_{\max }}$ 的调制频率应满足如下约束： ${\rm{c/}}2T\Delta R \le$ $\mu \le {f_{\rm{s}}}{\rm{c}}/4{R_{\max }}$ 。

3.2 波形参数与速度分辨关系

由文献[20]可知，速度分辨取决于多普勒分辨率，而多普勒分辨率 $\Delta {f_{\rm{d}}}$ 与扫频周期数有关，即

$\Delta {f_{\rm{d}}} = \frac{1}{{LT}}$

(15)

其中， $L$ 为扫频周期数。基于式(15)，可得速度分辨率为

$\Delta v = \frac{{\Delta {f_{\rm{d}}}\lambda }}{2} = \frac{\lambda }{{2LT}}$

(16)

由式(16)可知， $L$ 给定条件下，速度分辨率 $\Delta v$ 与扫频周期 $T$ 成反比，因此，若要求速度分辨率不大于 $\Delta v$ ，则调制周期须满足： $T \ge \lambda /2L\Delta v$ 。同时，扫频周期亦受制于如下所示最大可检测速度 ${v_{\max }}$ ^[21]

${v_{\max }} = \frac{\lambda }{{4T}}$

(17)

由此可得， $T$ 与 ${v_{\max }}$ 成反比，基于此，若要求最大可检测速度不小于 ${v_{\max }}$ ，则调制周期须满足： $T \le \lambda /4{v_{\max }}$ 。

综合考虑速度分辨率 $\Delta v$ 和最大可检测速度 ${v_{\max }}$ ，则发射信号扫频周期应满足如下条件： $\lambda /2L\Delta v \le T \le \lambda /4{v_{\max }}$ 。

3.3 分辨率约束下目标检测性能改善问题表述

由式(11)可知，目标检测性能依赖于接收权及发射信号，而发射信号又取决于调制频率及扫频周期；再者，基于式(12)及式(15)，距离速度分辨率又分别由调制频率及扫频周期决定。基于以上所述，可通过联合优化接收权、调制频率及扫频周期改善毫米波雷达检测及速度距离分辨性能，进而提升自动驾驶系统环境感知能力。基于此，速度距离分辨约束下，最大化输出SCNR以提高毫米波雷达检测性能的发射波形及接收权联合优化问题可表述为

$\begin{split} & \mathop {{\rm{max}}}\limits_{{\boldsymbol{w}},\mu ,T} \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\dfrac{{{\rm{snr}}|{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{Sa}}({\theta _0}){|^2}}}{{{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}({\boldsymbol{SA}}{{\boldsymbol{\varSigma}} _{\rm{c}}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\rm{ + }}{{\boldsymbol{I}}_{LM}}){\boldsymbol{w}}}}} \end{array},\\ & \quad{\left\{ \begin{array}{l} {\rm{c/}}2T\Delta R \le \mu \le {f_{\rm{s}}}{\rm{c}}/4{R_{\max }} \\ \lambda /2L\Delta v \le T \le \lambda /4{v_{\max }} \\ \end{array} \right.} \end{split}$

(18)

由式(18)可知，优化参数 $\mu$ 和 $T$ 以非线性形式包含于信号矩阵 ${\boldsymbol{S}}$ ，而目标函数又为关于 ${\boldsymbol{S}}$ 的非线性函数，由此优化问题式(18)为关于优化变量的复杂非线性问题，因而无法直接采用传统的凸优化方法求解。

4. 所提求解方法

针对上述复杂非线性优化问题，本节基于交替迭代策略进行求解。首先，波形参数 $\mu$ 和 $T$ 给定条件下，考虑关于接收权 ${\boldsymbol{w}}$ 的优化问题，舍弃与优化变量 ${\boldsymbol{w}}$ 无关项，优化问题式(18)可改写为

$\mathop {\max }\limits_{\boldsymbol{w}} \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\dfrac{{{\rm{snr}}|{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{Sa}}({\theta _0}){|^2}}}{{{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}({\boldsymbol{SA}}{{\boldsymbol{\varSigma}} _{\rm{c}}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\rm{ + }}{{\boldsymbol{I}}_{LM}}){\boldsymbol{w}}}}} \end{array}$

(19)

基于最小方差无失真响应(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)准则，式(19)可等价为

$\mathop {\min }\limits_{\boldsymbol{w}} \begin{array}{*{20}{c}} {}&{{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}({\boldsymbol{SA}}{{\boldsymbol{\varSigma}} _{\rm{c}}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\rm{ + }}{{\boldsymbol{I}}_{LM}}){\boldsymbol{w}}} \end{array} ,\;\;{{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{Sa}}({\theta _0}) = 1}$

(20)

由瑞利商定理可知^[22]，上述问题最优解可表示为

${\boldsymbol{w}} = \frac{{{{({\boldsymbol{SA}}{{\boldsymbol{\varSigma}} _{\rm{c}}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\rm{ + }}{{\boldsymbol{I}}_{LM}})}^{ - 1}}{\boldsymbol{Sa}}({\theta _0})}}{{{\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{{({\theta _0})}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{{({\boldsymbol{SA}}{{\boldsymbol{\varSigma}} _{\rm{c}}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\rm{ + }}{{\boldsymbol{I}}_{LM}})}^{ - 1}}{\boldsymbol{Sa}}({\theta _0})}}$

(21)

将式(21)所得最优接收权 ${\boldsymbol{w}}$ 代入式(11)，可得

$\begin{split} &\frac{{{\rm{snr}}|{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{Sa}}({\theta _0}){|^2}}}{{{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}({\boldsymbol{SA}}{{\boldsymbol{\varSigma}} _{\rm{c}}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\rm{ + }}{{\boldsymbol{I}}_{LM}}){\boldsymbol{w}}}}\\ &\quad= {\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{({\theta _0})}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{({\boldsymbol{SA}}{{\boldsymbol{\varSigma}} _{\rm{c}}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\rm{ + }}{{\boldsymbol{I}}_{LM}})^{ - 1}}{\boldsymbol{Sa}}({\theta _0}) \end{split}$

(22)

利用矩阵求逆及相关矩阵运算，式(22)可进一步表示为

$\begin{split} {\rm{SCNR}} =& {\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{({\theta _0})}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{[{\boldsymbol{S}}{{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\rm{ + }}{{\boldsymbol{I}}_{LM}}]^{ - 1}}{\boldsymbol{Sa}}({\theta _0}) \\ =& {\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{({\theta _0})}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}({{\boldsymbol{I}}_{LM}} - {\boldsymbol{S}}{{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}}({{\boldsymbol{I}}_M} + {{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}}{{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}})^{ - 1}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}){\boldsymbol{Sa}}({\theta _0}) \\ =& {\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{({\theta _0})}({{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}} - {{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}}{{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}}({{\boldsymbol{I}}_M} + {{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}}{{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}})^{ - 1}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}}){\boldsymbol{a}}({\theta _0}) \\ =& {\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{({\theta _0})}({{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}} - ({{\boldsymbol{I}}_M} - ({{\boldsymbol{I}}_M} + {{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}}{{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}})^{ - 1}){{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}}){\boldsymbol{a}}({\theta _0}) \\ =& {\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{({\theta _0})}{({{\boldsymbol{I}}_M} + {{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}}{{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}})^{ - 1}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{Sa}}({\theta _0}) = {\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{({\theta _0})}{({({{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}})^{ - 1}} + {{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}})^{ - 1}}{\boldsymbol{a}}({\theta _0}) \end{split}$

(23)

其中， ${{\boldsymbol{R}}_{\rm{c}}} = {\boldsymbol{A}}{{\boldsymbol{\varSigma}} _{\rm{c}}}{{\boldsymbol{A}}^{\rm{H}}}$ 。

由于 ${{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}} = ({{\boldsymbol{s}}^{\rm{H}}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M})({\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M}) = {{\boldsymbol{s}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M}$ , ${\boldsymbol{s}} =$ ${[{\boldsymbol{s}}(1)\;{\boldsymbol{s}}(2)\; \cdots \;{\boldsymbol{s}}(L)]^{\rm{T}}} \in {\mathbb{C}^{L \times 1}}$ ，因此， ${{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}}$ 可表示为

$\begin{split} {{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}} =& {{\boldsymbol{s}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{s}} \otimes {{\boldsymbol{I}}_M} = \sum\limits_{l = 1}^L \bigg(\frac{1}{N}\sum\limits_{n = 1}^N\exp \left[ {{\rm{j2}}\pi \left( {\left( {\frac{{2v{f_0}}}{{\rm{c}}} + \mu \frac{{2\left( {{R_0} + vlT} \right)}}{{\rm{c}}}} \right)\frac{{\left( {n - 1} \right)}}{{{f_{\rm{s}}}}} + \frac{{2{R_0}{f_0}}}{{\rm{c}}} + \frac{{2v{f_0}lT}}{{\rm{c}}}} \right)} \right] \\ & \times \frac{1}{N}\sum\limits_{m = 1}^N {\exp \left[ {{\rm{j2}}\pi \left( {\left( {\frac{{2v{f_0}}}{{\rm{c}}} + \mu \frac{{2\left( {{R_0} + vlT} \right)}}{{\rm{c}}}} \right)\frac{{\left( {m - 1} \right)}}{{{f_{\rm{s}}}}} + \frac{{2{R_0}{f_0}}}{{\rm{c}}} + \frac{{2v{f_0}lT}}{{\rm{c}}}} \right)} \right]} \bigg) \otimes {{\boldsymbol{I}}_M} \\ =& \frac{1}{{{N^2}}}\sum\limits_{l = 1}^L {\sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{m = 1}^N {\exp \left[ {{\rm{j2}}\pi \left( {\frac{{2v{f_0}}}{{\rm{c}}} + \mu \frac{{2\left( {{R_0} + vlT} \right)}}{{\rm{c}}}} \right)\frac{{\left( {m - n} \right)}}{{{f_{\rm{s}}}}}} \right]} } } \otimes {{\boldsymbol{I}}_M} \\ =& C(\mu ,T){{\boldsymbol{I}}_M} \\ \end{split}$

(24)

其中， $C(\mu ,T) = \frac{1}{{{N^2}}}\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^L \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^N \displaystyle\sum\limits_{m = 1}^N \exp \bigg[ {\rm{j2}}\pi \bigg( \dfrac{{2v{f_0}}}{{\rm{c}}} +$ $\mu \dfrac{{2\left( {{R_0} + vlT} \right)}}{{\rm{c}}} \bigg)\dfrac{{\left( {m - n} \right)}}{{{f_{\rm{s}}}}} \bigg]$ 。则式(23)可改写为

${\rm{SCNR}} = {\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{({\theta _0})}{(C^{ - 1}{(\mu ,T)}{I_M} + {{\boldsymbol{R}}_c})^{{\rm{ - 1}}}}{\boldsymbol{a}}({\theta _0})$

(25)

将式(25)代入式(18)，关于调制频率 $\mu$ 及扫频周期 $T$ 的优化问题可简化为

$\begin{split} &\mathop {\max }\limits_{\mu ,T} {\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{({\theta _0})}{(C^{{\rm{ - }}1}{(\mu ,T)} + {{\boldsymbol{R}}_c})^{{\rm{ - 1}}}}{\boldsymbol{a}}({\theta _0}),\\ &{\rm{c/}}2T\Delta R \le \mu \le {f_{\rm{s}}}{\rm{c}}/4{R_{\max }},\;\lambda /2L\Delta v \le T \le \lambda /4{v_{\max }} \end{split}$

(26)

在扫频周期 $T$ 已知条件下，式(26)可化简为关于调制频率 $\mu$ 的优化问题，即

$\begin{split} &\mathop {\max }\limits_\mu {\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{({\theta _0})}{(C{(\mu ,T)^{{\rm{ - }}1}} + {{\boldsymbol{R}}_c})^{{\rm{ - 1}}}}{\boldsymbol{a}}({\theta _0}) {\rm{,}}\\ &\quad{{\rm{c/}}2T\Delta R \le \mu \le {f_{\rm{s}}}{\rm{c}}/4{R_{\max }}} \end{split}$

(27)

将式(27)所得最优调制频率 $\mu$ 代入式(26)，可得

$\begin{split} &\mathop {\max }\limits_T {\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}{({\theta _0})}{(C{(\mu ,T)^{{\rm{ - }}1}} + {{\boldsymbol{R}}_c})^{{\rm{ - 1}}}}{\boldsymbol{a}}({\theta _0}) {\rm{,}}\\ &\quad{\lambda /2L\Delta v \le T \le \lambda /4{v_{\max }}} \end{split}$

(28)

由式(24)可得， ${{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}}$ 为关于调制频率 $\mu$ 及扫频周期 $T$ 的复杂非线性函数，由式(23)又可知，输出SCNR与 ${{\boldsymbol{S}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{S}}$ 之间为复杂非线性关系，因而式(27)和式(28)无法直接利用传统凸优化方法求解。与罚函数法以及可行方向法等约束非线性规划问题求解方法相比，序列二次规划(Sequential Quadratic Programming, SQP)算法具有收敛性好、计算效率高、边界搜索能力强等优点，因此，本节基于SQP算法求解上述非线性问题^[23]。

基于以上讨论，固定发射波形参数 $\mu$ 和 $T$ 条件下基于MVDR准则获得最优接收权 ${\boldsymbol{w}}$ ，将所得接收权 ${\boldsymbol{w}}$ 代入联合优化问题以构造关于波形参数 $\mu$ 及 $T$ 的优化问题，固定扫频周期 $T$ 条件下基于SQP算法获得最优调制频率 $\mu$ ，固定调制频率 $\mu$ 利用SQP算法优化扫频周期 $T$ ，重复迭代直至收敛，可获得最优发射波形参数和接收权以及相应的输出SCNR。综上所述，本文所提算法具体步骤可表述如下：

(1)求解式(21)以获得最优接收权 ${\boldsymbol{w}}$ ；

(2)求解式(27)获得最优调制频率 $\mu$ ；

(3)求解式(28)获得最优扫频周期 $T$ ；

(4)重复迭代步骤(1)—步骤(3)，直至满足如下准则： $\left| {{\rm{SCN}}{{\rm{R}}^{i + 1}} - {\rm{SCN}}{{\rm{R}}^i}} \right| \le \varepsilon$ ，其中 $i$ 为迭代次数， $\varepsilon$ 为阈值，本文取 $\varepsilon = 0.001$ 。

通过上述算法，可获得最优波形参数 $\mu$ 和 $T$ 及接收权值 ${\boldsymbol{w}}$ ，将所得最优 $\mu$ ， $T$ 及 ${\boldsymbol{w}}$ 代入式(11)，即可得最优输出SCNR。

5. 实验仿真及分析

远近距离场景下，通过与未优化FMCW对比，并逐次分析接收权、调制频率以及扫频周期对输出SCNR之影响，以验证所提算法的有效性。实验环境如下：仿真软件为MATLAB R2016a，处理器为Intel i7-7700，主频为4 GHz，内存为8 GB。仿真条件如下：接收阵元数 $M = {\rm{8}}$ ，阵元间距 $d = \lambda /2$ ，杂波块个数 $K = 1000$ ，波形初始频率 ${f_0}{\rm{ = 77}}$ GHz，采样频率 ${f_{\rm{s}}} = 200$ MHz，采样点数 $N = 1024$ ，目标相对雷达径向速度 $v = 20\;{\rm{m/s}}$ ，最大可检测速度 ${v_{{\rm{max}}}} = {\rm{64}}\;{\rm{m/s}}$ ，目标入射方向 ${\theta _0} = {15^\circ }$ 。远近距离下雷达参数设置如表1所示。

表 1 远近距离下雷达参数设置

目标初始距离 ${R_0}{\rm{(m)}}$	距离分辨率 $\Delta R({\rm{m)}}$	速度分辨率 $\Delta v({\rm{m/s}})$	最大可检测距离 ${R_{\max }}({\rm{m)}}$	扫频周期数 $L$
$0 < {R_0} < 75$	$\Delta R \le 0.1$	$\Delta v \le 0.3$	$75$	$512$
$75 \le {R_0} \le 200$	$\Delta R \le 0.5$	$\Delta v \le 1.0$	$200$	$256$

下载: 导出CSV

| 显示表格

实验1　考虑如下场景：目标初始距离 ${R_0} = 30\;{\rm{m}}$ , SNR=20 dB, CNR=30 dB。基于波束方向图评估所提方法目标检测性能，波束方向图定义为

${\rm{BeamPattern(}}\theta {\rm{) = }}\left| {{{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{Sa}}({\theta _0})} \right|$

(29)

图1为所提算法及未优化FMCW所得波束方向图。由图1可知，所提算法在 ${\theta _0} = {15^\circ }$ 放置一个高峰，且旁瓣相对电平明显低于–20 dB，而未优化FMCW旁瓣电平相对较高，优化后旁瓣电平降低7 dB以上，表明所提算法可将功率集中于目标所在方向，同时可降低由场景杂波引起的检测门槛大幅波动，进而提升感兴趣目标检测概率。

图 1 所提算法及未优化FMCW所得波束方向图

下载: 全尺寸图片幻灯片

实验2　目标初始距离 ${R_0} = 30\;{\rm{m}}$ , SNR=20 dB, CNR=10 dB，检验所提算法不同分辨约束下波形参数设计性能。图2为不同距离分辨率约束下优化波形实部、虚部以及调制频率与距离分辨率关系图。图2(a)、图2(b)、图2(c)及图2(d)、图2(e)、图2(f)分别为 $\Delta R \le 0.1\,{\rm{m}}$ 和 $\Delta R \le 0.5\;{\rm{m}}$ 约束下波形实部、虚部及调制频率与距离分辨率关系图。图3为不同速度分辨率约束下优化波形实部、虚部以及扫频周期与速度分辨率关系图。图3(a)、图3(b)、图3(c)及图3(d)、图3(e)、图3(f)分别为 $\Delta v \le 0.3\;{\rm{m/s}}$ 和 $\Delta v \le {\rm{1}}{\rm{.0}}\;{\rm{m/s}}$ 约束下波形实部、虚部及扫频周期与速度分辨率关系图。由图2(c)及图2(f)可知， $\Delta R \le 0.1\;{\rm{m}}$ 约束下可得最优 $\mu =$ ${\rm{100}}{\rm{.7}}\;{\rm{MHz/}} {\rm{μs}}$ ，而 $\Delta R \le 0.5\;{\rm{m}}$ 约束下最优 $\mu =$ ${\rm{23}}{\rm{.7}}\;{\rm{MHz/}} {\rm{μs}}$ ，表明距离分辨率越高则调制频率须越大，此与式(10)所得结论一致；由图3(c)及图3(f)可得， $\Delta v \le 0.3\;{\rm{m/s}}$ 约束下可得最优 $T = {\rm{14}}{\rm{.92}}\; {\rm{μs}}$ ，而 $\Delta v \le 1.0\;{\rm{m/s}}$ 约束下最优 $T = {\rm{13}}{\rm{.35}}\; {\rm{μs}}$ ，表明增加扫频周期可改善速度分辨性能，此与式(13)所得结果符合。此外，由图2及图3可知，所提算法在不同距离及速度分辨率下可自适应地获得相应最优调制频率及扫频周期，以满足不同分辨约束。

图 2 不同距离分辨率约束下优化波形实部、虚部以及调制频率与距离分辨率关系图

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 不同速度分辨率约束下优化波形实部、虚部以及扫频周期与速度分辨率关系图

下载: 全尺寸图片幻灯片

实验3　目标初始距离分别为 ${R_0} = 30\;{\rm{m}}$ 及 ${R_0} = {\rm{12}}0\;{\rm{m}}$ ，验证远近不同距离场景下所提算法目标检测性能。图4为远近距离下所提算法及未优化FMCW所得输出SCNR随CNR或SNR的变化曲线。由图4可知，远近距离下所提算法及未优化FMCW所得输出SCNR均随CNR增加而下降，而随SNR增加而增加。此外，无论SNR或CNR为何值，所提算法所得输出SCNR均优于未优化FMCW，这是由于所提算法联合优化调制频率及扫频周期以自适应调整波形参数，同时优化接收权值以尽可能抑制杂波，从而大幅提升输出SCNR。由此可得，所提算法可显著降低杂波干扰，聚焦功率于感兴趣目标，从而改善系统检测性能。

图 4 远近距离下所提算法及未优化FMCW所得输出SCNR随CNR或SNR的变化曲线

下载: 全尺寸图片幻灯片

实验4　目标初始距离分别为 ${R_0} = 30\;{\rm{m}}$ 及 ${R_0} = {\rm{12}}0\;{\rm{m}}$ , SNR=20 dB。图5为远近距离下单独优化接收权值、调制频率以及扫频周期所得输出SCNR随CNR变化曲线。其中，图5(a)及图5(d)分别为远近距离下仅优化接收权值所得输出SCNR随CNR变化曲线，由图5(a)和图5(b)可知，仅优化接收权值所得输出SCNR随CNR增加而缓慢降低，这是由于接收权可将功率聚焦于感兴趣目标同时抑制其他空域方向回波；图5(b)、图5(e)和图5(c)、图5(f)分别为远近距离下仅优化调制频率及扫频周期所得输出SCNR随CNR变化曲线，由此可知，仅优化调制频率及扫频周期所得输出SCNR随CNR增加显著降低，这是因为仅优化调制频率或扫频周期无法实现空域滤波，因而无法较大程度上抑制杂波。此外，由图5可知，在任何场景下，相较于未优化FMCW，所提算法中每个优化参数皆可提升输出SCNR，因而，所提算法中所优化参数皆对目标检测性能提升有益，且同时提升目标分辨性能。

图 5 远近距离下单独优化接收权值、调制频率以及扫频周期所得输出SCNR随CNR变化曲线

下载: 全尺寸图片幻灯片

实验5　目标初始距离 ${R_0} = 30\;{\rm{m}}$ , SNR=20 dB, CNR=10 dB，验证所提算法收敛性。图6为所提算法所得输出SCNR随迭代次数变化曲线。从图6可看出，随迭代次数增加，所提算法所得输出SCNR波动逐渐变小，经过4次迭代后趋于稳定且SCNR提升6 dB以上，表明所提算法具有较好的收敛性。

图 6 所提算法所得输出SCNR随迭代次数变化曲线

下载: 全尺寸图片幻灯片

实验6　目标初始距离 ${R_0} = 30\;{\rm{m}}{\rm{,}}\,{\rm{120}}\;{\rm{m}}$ ， SNR=20 dB，匀速目标速度 $v = 20\;{\rm{m/s}}$ ，机动目标速度 $v \in [10:30]$ ，验证目标机动运动时所提算法检测性能。图7为远近距离下目标匀速及机动运动所得输出SCNR随CNR变化曲线。由图7可知，远近距离下匀速运动SCNR均优于机动运动，其缘于长时积累下机动运动所导致距离及多普勒频率徙动对相参积累产生较大影响，进而弱化目标检测能力。

图 7 远近距离下目标做匀速运动及机动运动所得输出SCNR随CNR变化曲线

下载: 全尺寸图片幻灯片

6. 结束语

为改善自动驾驶中毫米波雷达目标检测及分辨性能，本文提出一种分辨率约束下提升毫米波雷达目标检测概率的波形参数及接收权联合设计方法。所提方法首先基于FMCW信号构建毫米波雷达检测模型，而后在分析目标距离速度分辨率与发射波形参数关系的基础上，基于最大化SCNR准则构造距离及速度分辨约束下发射波形参数及接收权值联合优化模型，最后利用交替迭代方法求解所得非线性优化问题。仿真结果表明，远近不同距离及不同杂波场景下，相较于参数未优化的FMCW，所提方法均可显著改善目标检测性能，同时满足给定距离及速度分辨需求。

References(1)

References

Bachoc C. Application of coding theory to the construction ofmodular lattices[J].J. Combin. Theory Ser. A.1997, 78(1):92-119[2]Udaya P and Siddiqi M U. Optimal large linear complexityfrequency hopping patterns derived from polynomial residuerings[J].IEEE Trans. on Inform.Theory.1998, 44(4):1492-1503[3]Qian J F and Zhu S X. Cyclic codes overk 1p P p F+uF +.+u.F[J].. IEICE Trans. on Fundamentals.2005, E88-A(3):795-797[4]Ozen M and Siap I. Linear codes over [ ]/ sq F u u withrespect to the Rosenbloom-Tasfasman Metric[J].Designs,Codes and Crypt.2006, 38(1):17-29[5]Ling S and Sole P. Duadic codes over 2 2 F+uF [J]. ApplicableAlgebra in Engineering, Communication and Computing,2001, 2(12): 365-379.[6]Siap I. Linear codes over 2 2 F +uF and their completeweight enumerators [J]. Codes and Designs, Ohio State Univ.Math Res. Inst. Publ. 2000, 10(1): 259-271.[7]Bonnecaze A and Udaya P. Cyclic codes and self-dual codesover 2 2 F +uF[J].IEEE Trans. on Inform.Theory.1999, 45(5):1250-1255[8]Gulliver T A and Harada M. Construction of optimal TypeIV self-dual codes over 2 2 F +uF [J].IEEE Trans. onInform.Theory.1999, 45(7):2520-2521[9]Dougherty S T, Gaborit P, and Harada M, et al.. Type IIcodes over 2 2 F +uF[J].IEEE Trans. on Inform.Theory.1997,50(8):1728-1744[10]Massey J L and Justesen C. Polynomial weights and codeconstructions[J].IEEE Trans. on Inform.Theory.1973, 19(1):101-110[11]Castagnoli G, Massey J L, and Schoeller P A, et al.. Onrepeated-root cyclic codes[J].IEEE Trans. on Inform.Theory.1991, 37(3):337-342[12]Van Lint J H. Repeated-root cyclic codes [J].IEEE Trans. onInform. Theory.1991, 37(3):343-345[13]Nechaev A A. Kerdock code in a cyclic form[J](in Russian).Diskr. Math. 1989, 1(1): 123-139.[14]Hammons A R, Kumar P V, and Calderbank A R, et al.. TheZ4-linearily of Kerdock, Preparata, Goethals, and relatedcodes[J].IEEE Trans. on Inform. Theory.1994, 40(1):301-319[15]Abualrub T and Oehmke T. On the generators of Z4 cycliccodes [J].IEEE Trans. on Inform.Theory.2003, 49(9):2126-2133[16]Blackford T. Cyclic codes over Z4 of oddly even length [J].Discrete Mathematics.2003, 128(1):27-46[17]Blackford T. Negacyclic codes over Z4 of even length [J].IEEE Trans. on Inform. Theory.2003, 49(6):1417-1424[18]Dougherty S T and Ling S. Cyclic codes over Z4 of evenlength [J].Designs, Codes and Crypt.2006, 39(1):127-153[19]Salagean A. Repeated-root cyclic and negacyclic codes over afinite chain ring[J].Discrete Appl. Math.2006, 154(2):413-419[20]Dinh H Q and Lopez-Permouth S K. Cyclic and negacycliccodes over finite chain rings[J].IEEE Trans. on Inform.Theory.2004, 50(8):1728-1744[21]Dinh H Q. Negacyclic codes of length 2s over Galois rings[J].IEEE Trans. on Inform. Theory.2005, 51(12):4252-4262[22]李光松，韩文报.有限链环上的循环码及其Mattson-Solomn多项式[J]. 高校应用数学学报A 辑，2004, 19(2): 127-134.Li G S and Han W B. Cyclic codes and their Mattson- Solomnpolynomials over finite chain rings[J]. Appl. Math. J. ChineseUniv. Series A, 2004, 19(2): 127-134.

Relative Articles

Supplements(0)

Cited By

Cited by

Periodical cited type(2)

1.	吴其华，赵锋，赵铁华，刘晓斌，王俊杰，肖顺平. 基于二维非周期相位调制的步进线性调频成像雷达干扰方法（英文）. Frontiers of Information Technology & Electronic Engineering. 2023(03): 433-447 .
2.	吴其华，赵锋，艾小锋，刘晓斌，顾赵宇，肖顺平. 对步进线性调频成像雷达的间歇采样转发干扰方法. 信息对抗技术. 2023(01): 12-20 .

Other cited types(4)

Proportional views

Proportional views

通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

1.
沈阳化工大学材料科学与工程学院沈阳 110142

Get Citation

PDF

XML

Article Metrics

Article views (3605) PDF downloads(763)

A Class of Repeated-root Constacyclic Codes over the Ring Fq+uFq++uk-1Fq

doi: 10.3724/SP.J.1146.2006.02001

Abstract

1. 引言

2. 毫米波雷达检测模型

2.1 FMCW信号

2.2 毫米波阵列雷达检测模型

3. 问题提出

3.1 波形参数与距离分辨关系

3.2 波形参数与速度分辨关系

3.3 分辨率约束下目标检测性能改善问题表述

4. 所提求解方法

5. 实验仿真及分析

6. 结束语

References

Cited by

Periodical cited type(2)

Other cited types(4)

Proportional views

Catalog

通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

Article Metrics

Proportional views

Related

A Class of Repeated-root Constacyclic Codes over the Ring Fq+uFq++uk-1Fq

doi: 10.3724/SP.J.1146.2006.02001

Abstract

1. 引言

2. 毫米波雷达检测模型

2.1 FMCW信号

2.2 毫米波阵列雷达检测模型

3. 问题提出

3.1 波形参数与距离分辨关系

3.2 波形参数与速度分辨关系

3.3 分辨率约束下目标检测性能改善问题表述

4. 所提求解方法

5. 实验仿真及分析

6. 结束语

References

Cited by

Periodical cited type(2)

Other cited types(4)

Proportional views

Catalog

通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

Article Metrics

Proportional views

Related

Export File

Citation

Format

Content