
Citation: | XU Changbiao, LI Jinlong, XU Haonan. A Multi-Scroll System and Its Application for Image Encryption Based on Logistic Level Pulse[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2022, 44(12): 4328-4336. doi: 10.11999/JEIT211169 |
混沌系统的伪随机性和对初始值的敏感性使其在多媒体信息安全领域受到广泛关注。例如,在信道开放的通信系统中,利用混沌同步技术处理传输数据,可防止非法窃听引起的信息泄露;在图像或视频加密中,使用基于混沌系统构建的加密算法加密图像或视频,具有比传统的DES和AES加密算法更快的加密速度和更高的安全性[1]。具有复杂动力学行为且电路实现复杂度低的混沌系统是混沌加密应用的关键。
在Chua系统[2]、Jerk系统[3]、广义Lorenz系统[4]中引入非线性函数使系统的平衡点发生扩展,可形成多涡卷吸引子,从而得到多涡卷吸引子混沌系统。相较于原混沌系统,多涡卷吸引子混沌系统的动力学行为和结构更为复杂,在安全加密领域中更有优势[5]。多涡卷系统具有自治和非自治两种类型,其中自治多涡卷系统的控制函数主要为阶梯函数[6]、饱和函数[7]、多级双曲正切函数[8]等不含时间的非线性函数,而自治多涡卷系统主要有3个问题:(1)非线性函数缺乏一般性,即产生不同的多涡卷系统需要不同类型的非线性函数;(2)非线性函数有多个参数需要确定,且各参数相互作用,致使控制较为复杂;(3)系统电路实现复杂度随涡卷数量增加而增大。利用非自治的脉冲控制方法可有效解决问题(1)和问题(2)。例如,文献[9]提出了一种基于脉冲控制设计多方向多涡卷吸引子的方法,该方法具有通用性,可应用于任意混沌系统而无需重构非线性函数。文献[10]在Sprott C系统的基础上提出了一种基于多逻辑电平脉冲生成平移多涡卷吸引子的方法,分析表明基于脉冲控制的多涡卷系统具有恒定Lyapunov指数。文献[11]基于sigmoid函数设计了一种多逻辑电平脉冲函数,sigmoid函数使系统平衡点变化变得连续。文献[12]提出了一种基于分段函数的多层嵌套混沌吸引子设计方法,将分段函数引入到Chua系统,产生多层嵌套的多涡卷吸引子。这些方法的优势是无需重构非线性函数,但缺点是涡卷数量越多,需要叠加的脉冲数量越多,这增大了系统电路实现的复杂度,给系统的硬件实现带来了较大的困难。
针对此问题,本文设计了一个Logistic电平脉冲函数,利用Logistic映射的周期分岔和混沌产生多逻辑电平脉冲和随机电平脉冲。然后,采用非自治的脉冲控制方法将Logistic电平脉冲函数作为控制函数引入到Lorenz系统,得到一个具有复杂动力学行为的新的多涡卷吸引子混沌系统,其动力学分析表明Logistic电平脉冲函数有效地提高了混沌序列的复杂度。FPGA实验结果表明系统电路可在不改变RTL代码的情况下仅通过修改控制参数即可产生不同的多涡卷吸引子,并且不改变系统电路实现的复杂度,而已有的多涡卷系统难以做到这一点。最后,设计了一种将此多涡卷系统应用于图像加密的方案,对其进行了NIST随机特性测试、密钥敏感性分析和结构相似度分析。结果表明,与Lorenz系统相比,此多涡卷系统具有更多的敏感性参数,应用于图像加密时密钥空间更大,更能有效抵抗穷举攻击。
一般使用阶梯函数、饱和函数、多逻辑电平脉冲函数等非线性函数作为多涡卷混沌系统的控制函数,这些复杂的非线性函数增加了多涡卷系统电路实现的复杂度。针对该问题,本文设计了一种Logistic电平脉冲函数,该函数利用Logistic映射[13]的周期分岔和混沌产生多逻辑脉冲和随机电平脉冲,该函数形式为
S(t)=k(g(t)−0.5) | (1) |
其中,k为
g(t)={g0,0≤t<Tμ⋅g(t−T)(1−g(t−T)),t≥T | (2) |
其中,
在参数
采用非自治脉冲控制方法将Logistic电平脉冲函数
˙x=a(f(y,t)−f(x,t))˙y=bf(x,t)−f(y,t)−f(x,t)f(z,t)˙z=f(x,t)f(y,t)−cf(z,t)} | (3) |
其中,
f(x,t)=x−Sx(t)f(y,t)=y−Sy(t)f(z,t)=z−Sz(t)} | (4) |
其中,
令系统式(3)中的
(xe1,ye1,ze1)=(√b(c−1)+Sx(t),√b(c−1)+Sy(t),c−1+Sz(t))(xe2,ye2,ze2)=(−√b(c−1)+Sx(t),−√b(c−1)+Sy(t),c−1+Sz(t))} | (5) |
由式(5)可知,平衡点与系统参数和对应的控制函数有关。例如,
J=[−aa01−1−√b(c−1)√b(c−1)√b(c−1)−b] | (6) |
由式(6)可知,Jacobi矩阵与控制函数无关,所以控制函数不改变系统平衡点稳定性,且每个平衡点的稳定性相同。令
取
最大Lyapunov指数(Largest Lyapunov Exponents, LLE)描述了系统两个相邻轨道的平均指数分离速率,其值越大,系统对初始值越敏感。设系统参数
采用C0算法分析本文系统混沌序列的复杂度[14],C0值越大,序列越接近随机序列,系统安全性能就越高。设控制参数
通过混沌序列进一步分析多涡卷系统对函数
混沌系统在系统控制、保密通信和图像加密等领域有重要应用,而多涡卷混沌系统具有比一般混沌系统更复杂的动力学行为和吸引子结构,在实际应用中更有优势。利用FPGA设计了本文多涡卷系统的硬件电路,其中FPGA芯片型号为Cyclone IV EP4CE30F23。使用4阶龙格库塔算法对系统式(3)进行离散化
xn+1=xn+(K11+2K12+2K13+K14)/6yn+1=yn+(K21+2K22+2K23+K24)/6zn+1=zn+(K31+2K32+2K33+K34)/6} | (7) |
其中,
K1j=a[(yn−yt−Sy(t))−(xn−xt−Sx(t))]×hK2j=[b(xn−xt−Sx(t))−(yn−yt−Sy(t))−(xn−xt−Sx(t))(zn−zt−Sz(t))]×hK3j=[(xn−xt−Sx(t))(yn−yt−Sy(t))−c(zn−zt−Sz(t))]×h} | (8) |
其中,取样时间
基于Quartus Prime16.1开发平台实现多涡卷系统的FPGA设计,图6为FPGA设计的顶层RTL视图。FPGA设计主要包括3个模块:Lglp_ParamCtrl, Lglp_top和MSACS模块,分别用于Logistic电平脉冲函数的参数控制、Logistic电平脉冲函数的产生以及多涡卷吸引子混沌系统的迭代。Lglp_top中的3个子模块u1_Lglp, u2_Lglp和u3_Lglp分别产生Logistic电平脉冲
由FPGA输出的数字信号通过14位的双通道DAC芯片ACM9676传输给示波器,结果如图7所示。图7表明FPGA实验结果与MATLAB仿真结果一致,验证了本文多涡卷系统的物理可实现性。对于文献[9]和文献[10]中的系统,其涡卷数量与多逻辑电平脉冲函数的子脉冲数呈正线性关系,这不利于系统在硬件实现后多涡卷吸引子的调节。由于Logistic电平脉冲函数是通过周期分岔而非脉冲叠加产生多逻辑电平脉冲,所以本文所设计的多涡卷系统的优势是可直接通过修改输入参数而无需更新RTL代码产生如图7所示的多种类型的多涡卷吸引子。
混沌系统的对初始值敏感和伪随机性使混沌加密已成为密码学领域中一个新的研究热点。图8为基于本文所设计的多涡卷混沌系统的块图像加密方案,此方案采用块加扰操作[15],保持了密文与明文在图像格式上的一致性。
图像加密流程为:(1)明文
k1=⌊(xn+yn)×1010⌋mod3MN/3MN6464+1k2=⌊(xn+zn)×1010⌋mod5k3=⌊(yn+zn)×1010⌋mod2} | (9) |
其中,
将多涡卷混沌系统产生的混沌序列
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
测试项目 | 单bit测试 | 块内单bit测试 | 游程测试 | 块内最长 游程测试 | 二进制矩阵 秩测试 | 离散傅里 叶测试 | 非重叠模块 匹配测试 | 重叠模块 匹配测试 |
P-value | 0.2270 | 0.8625 | 0.8341 | 0.7408 | 0.0134 | 0.9768 | 0.0634 | 0.4551 |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||
测试项目 | Maurer通用统计测试 | 线性复杂度测试 | 序列测试 | 近似熵测试 | 累加和测试 | 随机旅行测试 | 随机旅行变种测试 | |
P-value | 0.0472 | 0.9422 | 0.4575 | 0.5921 | 0.6842 | 0.0719 | 0.0260 |
微小改变上述密钥key中的
SSIM=(2μXμY+c1)(2σXY+c2)(μ2X+μ2Y+c1)(σ2X+σ2Y+c2) | (10) |
其中,
以USC-SIPI图像数据库中的39组图像为明文样本,计算明文与对应密文的SSIM,得到所有39组样本的平均SSIM为
本文设计了控制简单且复杂度不随参数改变的Logistic电平脉冲函数,利用Logistic映射的周期分岔和混沌产生多逻辑电平脉冲和随机电平脉冲,采用非自治的脉冲控制方法将Logistic电平脉冲函数作为控制函数引入到Lorenz系统,得到一个新的多涡卷吸引子混沌系统,有如下结论:(1)控制函数不影响系统平衡点稳定性;(2)增加涡卷数量不改变系统电路实现的复杂度;(3)FPGA电路可在不改变RTL代码的情况下仅通过控制参数的改变即可产生不同的多涡卷吸引子;(4)与Lorenz系统相比,此多涡卷系统具有更多的敏感性参数,应用于图像加密时密钥空间更大,更能有效抵抗穷举攻击。
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
测试项目 | 单bit测试 | 块内单bit测试 | 游程测试 | 块内最长 游程测试 | 二进制矩阵 秩测试 | 离散傅里 叶测试 | 非重叠模块 匹配测试 | 重叠模块 匹配测试 |
P-value | 0.2270 | 0.8625 | 0.8341 | 0.7408 | 0.0134 | 0.9768 | 0.0634 | 0.4551 |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||
测试项目 | Maurer通用统计测试 | 线性复杂度测试 | 序列测试 | 近似熵测试 | 累加和测试 | 随机旅行测试 | 随机旅行变种测试 | |
P-value | 0.0472 | 0.9422 | 0.4575 | 0.5921 | 0.6842 | 0.0719 | 0.0260 |