图共 4个 表共 3个

    • 图  1  基于自动秩估计的黎曼优化矩阵补全算法的图像补全

      Figure 1. 

    • 图  2  低秩矩阵构建示意图

      Figure 2. 

    • 图  3  黎曼流形上的共轭梯度法

      Figure 3. 

    • 图  4  30%采样率下各算法图像补全结果

      Figure 4. 

    • 　算法1 自动秩估计算法
      　输入：${\text{A}} = {{\text{A}}_p} \in {\mathbb {R}^{m \times n}}$，索引矩阵${\text{Ω}}$，正则项系数$\mu $, $\alpha $，初始秩$\hat k$，最大迭代次数$K$，容错度${\tau _2}$。
      　初始化：执行奇异值分解${\text{A}}{\rm{ = }}{\text{U}}{\text{W}}{{\text{V}}^{\rm{T}}}$，将${\text{U}}$的第$r$列单位化记为${{\text{u}}_r}$，将${\text{V}}$的第$r$行单位化记为${{\text{v}}_r}$, ${\text{w}} = \left\{ {{w_r}} \right\}_{r = 1}^{\min \left( {m,n} \right)}$为${\text{W}}$中奇异值组成的　　　　　向量。令${\text{Z}} = {\text{0}}$, ${{\text{P}}_{{\Omega ^c}}}\left( {\text{A}} \right) = {\text{0}}$。
      　输出：${\text{Z}} $, $k$。
      　(1) for $i = 1,2,·\!·\!·,K$ do：
      　(2) ${{\text{A}}_r} = {\text{A}}$；
      　(3) 更新${{\text{u}}_r}$, ${{\text{v}}_r}$, ${w_r}$: for $r = 1,2, ·\!·\!· ,\hat k$ do：
      　　　　　　　　　　若${w_r} \ne 0$，根据式(8)、式(9)和式(11)依次更新${{\text{u}}_r}$, ${{\text{v}}_r}$, ${w_r}$,
      　　　　　　　　　　${{\text{A}}_r} = {{\text{A}}_r} - {w_r}{{\text{u}}_r}{\text{v}}_r^{\rm{T}}$，
      　　　　　　　　　　end；
      　(4) 更新${\text{A}}$：更新${\text{Z}} = {\text{A}} - {{\text{A}}_r}$，令${ {\text{P} }_{ {\varOmega ^c} } }\left( {\text{A} } \right) = { {\text{P} }_{ {\varOmega ^c} } }\left( {\text{Z} } \right)$；
      　(5) 更新$k$：for $k = 1,2, ·\!·\!· ,\min\left( {m,n} \right)$ do：
      　　　　　计算$f\left( k \right) = {\rm{ } }\mu \left| { { {\text{w} }_r} } \right|_{r = 1}^k + 0.5\parallel {\text{A} } - \sum\limits_{r = 1}^k { {w_r}{ {\text{u} }_r}{ {\text{v} }_r}^{\rm{T} } } \parallel _{\rm F}^2 + \alpha k$，若$f\left( k \right) < f\left( {k + 1} \right)$，则结束循环，
      　　　　　end；
      　(6) $\hat k = k$；
      　(7) 若${{\parallel {{\text{P}}_\Omega }\left( {{\text{A}} - {\text{Z}}} \right){\parallel _{\rm{F}}}} /{\parallel {{\text{P}}_\Omega }\left( {\text{A}} \right){\parallel _{\rm{F}}}}} < {\tau _2}$或${{\parallel {{\text{A}}^{i + 1}} - {{\text{A}}^i}{\parallel _{\rm{F}}}} / {\parallel {{\text{A}}^{i + 1}}{\parallel _{\rm{F}}}}} < {\tau _2}$，则结束循环；
      　(8) end。

      表 1  自动秩估计算法伪代码

    • 　算法2 基于自动秩估计的黎曼优化矩阵补全算法
      　输入：${{\text{X}} _1}{\rm{ = }}Z \in {{\cal M}_k}$(${\text{Z}} $和$k$源于算法1)，容错度${\tau _1}$，切向量${{\text{η}} _0}{\rm{ = }}0$。
      　输出：${{\text{X}}^ * }$。
      　(1) for $i = 1,2, ·\!·\!· ,K$ do：
      　(2) 梯度${\xi _i}: = {\rm{gradf}}\left( {{{\text{X}}_i}} \right)$；　　　　　　　　　　　　　% 计算黎曼梯度
      　(3) 若$\parallel {\xi _i}\parallel \le {\tau _1}$，则停止迭代，令${{\text{X}}^ * }{\rm{ = }}{{\text{X}}_i}$，否则转(4)；% 终止条件
      　(4) 共轭方向${{\text{η}} _i}: = - {\xi _i} + {\beta _i}{{\cal T}_{{{\text{X}} _{i - 1}} \to {{\text{X}}_i}}}\left( {{{\text{η}}_{i - 1}}} \right)$；　　　　　　% 计算共轭方向
      　(5) 步长${t_i} = {{\rm{argmin}}_t}f\left( {{{\text{X}}_i} + t{{\text{η}} _i}} \right)$；　　　　　　　　　　% 计算步长
      　(6) 执行Armijo回溯以找到满足$f\left( {{{\text{X}}_i}} \right) - f\left( {{R_{{{\text{X}}_i}}}\left( {0.{5^m}{t_i}{{\text{η}} _i}} \right)} \right) \ge - 0.0001 \times 0.{5^m}{t_i}\left\langle {{\xi _i},{{\text{η}} _i}} \right\rangle $且m≥0的最小整数，计算${X_{i + 1}}: = {R_{{{\text{X}}_i}}}\left( {0.{5^m}{t_i}{{\text{η}} _i}} \right)$；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 % 收缩算子
      　(7) end。

      表 2  基于自动秩估计的黎曼优化矩阵补全算法伪代码

    • 采样率(%)图像补全算法
      本文算法SVPOptSpaceSVTIALM
      10Barbara25.1371/0.101827.1138/0.074928.4540/0.270326.4330/0.181727.9684/0.2217
      House25.0207/0.073727.0100/0.084528.8611/0.380526.0756/0.212227.3161/0.0319
      20Barbara29.5855/0.618729.4788/0.370529.0277/0.350927.7929/0.363829.0097/0.3175
      House32.1346/0.775030.5881/0.468129.2989/0.409628.0950/0.456929.1008/0.0667
      30Barbara31.8223/0.777530.5821/0.553029.7224/0.413829.0192/0.519329.6337/0.4010
      House34.3279/0.843432.6125/0.685829.8818/0.443730.2986/0.647229.9081/0.4560
      40Barbara33.1805/0.805431.3704/0.624930.4532/0.492230.2063/0.647130.2152/0.4592
      House36.9926/0.917533.4685/0.744930.5393/0.468732.2618/0.771830.6276/0.4546
      50Barbara34.3090/0.854532.3230/0.704531.1457/0.534931.6388/0.760731.0285/0.5060
      House37.9729/0.934234.4193/0.790931.8817/0.585434.2940/0.857531.3316/0.4965
      60Barbara35.5808/0.893233.3609/0.761232.2731/0.595533.4085/0.855231.9375/0.5660
      House39.5723/0.950435.5242/0.829733.5629/0.709936.5579/0.915032.3391/0.4992
      70Barbara37.1206/0.927734.6884/0.812433.4690/0.645335.7766/0.919133.0595/0.6449
      House41.0744/0.962236.8819/0.869034.4479/0.739539.3028/0.952433.4229/0.5724
      80Barbara39.0801/0.952936.4704/0.866535.3219/0.747938.8081/0.956534.7671/0.6462
      House43.1665/0.972838.6710/0.904237.2815/0.828841.8076/0.923435.2485/0.6317
      90Barbara42.3685/0.969939.3773/0.921338.4127/0.865340.6578/0.935738.0598/0.7796
      House46.1068/0.981041.9691/0.944240.3322/0.894342.0364/0.970738.1441/0.7449

      表 3  基于各算法的补全后图像PSNR(dB)/SSIM指标评价